Poglavje 4 Gibanje v 1 dimenziji

Poglavje 4Gibanje v 1 dimenzijiOglejmo si nekaj primerov rešitev Schroedingerjeve enačbe v eni dimenziji.4.1 Prost delecVzemimo delec, na keterega ne deluje nobena sila. Potencialna energijaje tedaj konstanta, neodvisna od kraja, in lahko vzamemo, da je nič.Potem je Schroedingerjeva enačba− 2 ∂ 2 Ψ2m ∂x = i ∂Ψ2 ∂tNajpreprostejša rešitev te enačbejeravnivalΨ(x, t) =Ae i(kx−ωt)kjer je ω = k 2 /2m. Ravni valovi imajo časovno odvisnost e −iωt in sotorej tudi rešitve stacionarne Schroedingerjeve enačbe in s tem lastnefunkcije energije z lastno vrednostjo W = ω = 2 k 2 /2m. Ravni valoviimajo tudi dobro določeno gibalno količino p = k. Zato so tudi lastnefunkcije operatorja gibalne količine:pΨ =−i ∂Ψ∂x = kΨTu smo prvičsrečali valovno funkcijo, ki je lastna funkcija več operatorjevfizikalnih količin.1

2 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIVzemimo sedaj kot začetno stanje valovni paketΨ(x, 0) = A (k) e ikx dkČasovno odvisnost ravnih valov poznamo, zato je rešitev karΨ(x, t) = A (k) e i(kx−ωt) dk == A (k) et/2m) i(kx−k2 dkČasovni razvoj začetne valovne funckije smo lahko zapisali kot vsotolastnih funkcij energije. Videli bomo, da je to vselej mogoče.Če imamo ob t = 0 Gaussov paket, je A (k) =A 0 e (k−k 0) 2 σx 2 .Tedajjerezultat gornjega integrala vedno Gaussov paket, kar je mogoče dobitiz integracijo. Paket ima seveda povprečno gibalno količino k 0 . Vrhpaketa se giblje s hitrostjo k 0 /m, obenempasepaketširi. Vse te lastnostividimo preprosto z numerično integracijo in risanjem rezultata zMathematico v http://www.fiz.uni-lj.si/˜tine/fizikaII.html.Če začetnaoblika ni Gaussova, se funkcijska oblika ne ohranja, ostale lastnosti paso podobne. Zanimivo je še, da se Gaussov paket od vseh oblik širinajpočasneje.4.2 Delec v neskončno globoki potencialnijamiKot drugi primer si oglejmo rešitve stacionarne Schroedingerjeve enačbeza potencialno energijo, ki je na intervalu dolžine a nič, drugod paneskončno velika. Neskončno visok skok potencialne energije predstavljaza delec, ki ima na intervalu, kjer je potencialna energija nič,končno kinetično energijo, idealno togo steno. Klasično je izbrana potencialnaenergija torej model za delec, ki se dobija med dvema togimastenama. Poetncialno energijo zapišemoV (x) ={ 0∞0

4.2. DELEC V NESKONČNO GLOBOKI POTENCIALNI JAMI 3Ker delec ne more imeti neskončno velike energije, je verjetnost, danajdemo delec izven jame, nič injetudiψ (x) =0zaxa.Znotraj jame je V (x) = 0 in je stacionarna S. enačba− 22mSplošna rešitev te enačbe jed 2 ψ= Wψ alidx 2d 2 ψ= k 2 ψ k 2 = 2mWdx 2 2ψ (x) =A sin kx + B cos kxKonstanti A in B sta še nedoločeni in potrebujemo še robne pogoje, daju določimo. V Schroedingerjevi enačbi nastopa drugi odvod po x. Dabo ta obstojal, mora biti valovna funkcija zvezna, zato imamo robnapogojaψ (0) = 0ψ (a) = 0Prvi pogoj pove, da je B = 0. Iz drugega pogoja dobimokar lahko zadovoljimo le, če jesin ka =0k = k n = nπ akjer je n =1, 2, 3, ...Valovno število k lahko zavzame le diskretne vrednosti.Ustrezne lastne vrednosti energije soW n = 2 kn22m = n2 π 2 22ma 2lastne funkcije paψ n (x) =A n sin nπa xLastnih vrednosti in lastnih funkcij je neskončno mnogo. Naravnemuštevilu n, skaterimoštevilčimo lastne funkcije, pravimo kvantno število.

4 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIStanje z najnižjoenergijojeosnovno stanje. Energija osnovnega stanjaje večja od nič, kar je spet posledica tega, da je delec omejen na končenprostor.Lastne funkcije ψ n (x) sostoječi valovi. Matematično je problemkvantnega delca v neskončni potencialni jami enak kot problem lastnihnihanj strune. Tudi pri struni imajo lastna nihanja obliko stoječihvalov, to je vsote dveh nasprotnih potujočih valov, ki se odbijata odkoncev strune.Valovni vektor stoječegavalajepravtakokotzadelecvjami k n = nπ/a.Iz pogoja za normalizacijo |ψ| 2 dx = 1 dobimo še konstanto A: aA 2 n sin 2 nπ0 a xdx = 1A 2 an2 = 1A n =2aLastnim vrednostim energije pravimo tudi spekter energij. Za vezanedelce, to je, delce, ki jih potencialna energija omejuje na končno območjeprostora, je spekter vedno diskreten.4.2.1 Lastnosti lastnih funkcijLastne funkcije energije imajo nekatere pomembne lepe lastnosti. Najpomembnejšaje, da lahko vsako valovno funkcijo delca v jami razvijemopo lastnih funkcijah energije. Naj je ob času t =0delecvstanjuΨ(x, 0) . To valovno funkcijo lahko zapišemo v oblikiΨ(x, 0) = nc n ψ n (x) (4.1)Koeficienti c n so seveda odvisno od funkcije Ψ (x, 0). Tak zapis je moženzaradi naslednje lastnosti lastnih funkcij energije: aψ n ψ n dx = 2 asin nπ0a 0 a x sin n πa xdx== 2 πsin nφ sin n φdφ=π0

4.2. DELEC V NESKONČNO GLOBOKI POTENCIALNI JAMI 5= π0[cos (n − n ) φ − cos (n + n ) φ] dφ == sin (n − n ) π(n − n ) π − sin (n + n ) π(n + n ) πIntegral je enak 1, če je n = n , sicer je 0. To lahko krajše zapišemo sKroneckerjevim simbolom δ nn ,zakateregaveljaδ nn =1inδ nn =0zan = n : aψ n (x) ψ n (x) dx = δ nn (4.2)0Funkcije s to lastnostjo so med seboj ortogonalne in normirane, alikrajše, ortonormirane. Z njo zlahka pokažemo, da razvoj 4.1 obstaja.Pomnožimo 4.1 na levi in na desni z ψ n (x) in integrirajmo: a0ψ n (x) Ψ(x, 0) dx = n ac n ψ n (x) ψ n (x) dx0V vsoti na desni je od nič različen le člen z n = n ,takodajec n = a0ψ n (x) Ψ(x, 0) dxRazvoj 4.1 nam omogoča zapisati, kako se dana valovna funkcijarazvija s časom. Časovna odvisnost lastnih stanj energije je e −iωnt ,kjerje ω n = W n /. Ker so funkcije ψ n (x) e −iωnt rešitve časovno odvisneSchroedingerjeve enačbe, je rešitev tudi njihova linearna kombinacija.Tako je valovna funkcija delca v poljubnem trenutkuΨ(x, t) = nc n ψ n (x) e −iω ntS tem smo dobili rešitev časovno odvisne Schroedingerjeve enačbe zadano začetno stanje Ψ (x, 0) .Zgled: lokaliziran delecPoglejmo zelo poučen zgled. Podobno kot za prost delec lahko zazačetno stanje delca ob t = 0 vzamemo Gaussov valovni paket, ki naj

6 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIbo znatno ožji od širine jame (σ π/a, toje,paketmoravsebovati

4.2. DELEC V NESKONČNO GLOBOKI POTENCIALNI JAMI 7predvsem stanja z velikimi n. To je splošna značilnost stanj, ki sopodobna klasičnim: njihova povprečnaenergijamorabitimnogovečjaod najnižje energije delca.Za prost delec so bila lastna stanja energije tudi lastna stanja gibalnekoličine. Pri delcu v neskončni potencialni jami ni tako. Lastno stanjeenergije ψ n (x) = 2/a sin (nπx/a) lahkozapišemo kot vsoto dveh eksponentnihfunkcijψ n (x) = 1 2 eik n x − e −ik nx2i aPrvi člen je valovna funkcija z dobro določeno pozitivno gibalno količinok n , drugi pa valovno funkcijo z nasprotno enako gibalno količino. Toprav lahko razumemo: klasično se delec odbija od sten jame in se pravtoliko časa giblje v pozitivni smeri kot v negativni. Povprečna gibalnakoličina je seveda nič, popvrečni kvadrat pa p 2 = 2 k 2 n = 2 n 2 π 2 /a 2 .Povezavo s klasičnim gibanjem si oglejmo še nekoliko podrobneje.Kvantna verjetnostna gostota, da najdemo delec, ki je v n-tem stanjuenergije, pri točki x, je|ψ n (x)| 2 = 2 nπsin2a a xTa verjetnostna gostota ima n − 1 ničel - vozlov, njena povprečnavrednost pa je 1/a. Definiramo lahko tudi klasično verjetnostno porazdelitev.Mislimo si, da v slučajno izbranih trenutkih izmerimo položajdelca. Ker se delec klasično giblje enakomerno z enako verjetnostjo veno ali drugo smer, se nahaja v okolici vseh točk v jami enako dolgo inje klasična vejetnost p kl ,daganajdemomedx in x + dx, neodvisna odx. Ker vemo, da se delec nahaja nekje v jami, je ap 0 kl dx = ap kl =1in je p kl =1/a, tojepravtolikokotjepovprečna kvantna vrejetnostnagostota. Prava kvantna verjetnostna gostota ima vozle, pri katerih jeverjetnost, da najdemo tam delec, enaka 0, kar ni mogoče uskladiti sklasično predstavo, kako se delec giblje od točke do točke, saj bi pri temmoral prečkati tudi vozle. Pač pa smo tudi v kalsični fiziki navajeni, daima stoječe valovanje vozle. Ugotovitev, da so lastne funkcije energijeza delec med dvema togima stenama stoječi valovi, bo kasneje še zelopomembna.

8 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJI4.2.2 Meritev energijeDenimo, da je v izbranem trenutku delec v nekem stanju ψ (x), ki nilastno stanje energije. Vemo, da ga lahko zapišemo kot razvojψ (x) = nc n ψ n (x)Povprečnoenergijoizračunamo po pravilu za kvantnomehansko povprečjefizikalne količineW = a0= n,n c ∗ n c nψ ∗ (x) Hψ (x) dx = a0ψ n (x) Hψ n (x) dxFunkcije ψ n (x) so lastne funkcije Hamiltonovega operatorja, zato jeHψ n (x) =W n ψ n (x). Lastne funckije so tudi ortonormirane, zato jeW = ac ∗ n c nW n ψ n (x) ψ n (x) dx = (4.3)n,n 0= n,n c ∗ n c nW n δ nn = n|c n | 2 W nValovna funkcija ψ (x) mora biti normirana, zato je a0ψ ∗ (x) ψ (x) dx = n,n c ∗ n c n a0ψ n (x) ψ n (x) dx == n,n c ∗ n c nδ nn = n|c n | 2 =1Izraz 4.3 kaže, da absolutni kvadrati koficientov razvoja |c n | 2 predstavljajoverjetnosti,dadelcuvstanjuψ(x) izmerimo eno od lastnihvrednosti energije. Velja še več: pri kakršnikoli posamezni meritvi energijelahko izmerimo samo eno od lastnih vrednosti Hamiltonovegaoperatorja.

10 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIPri velikih vrednostih |x| narašča potencialna energija čez vse meje,zato mora za vsako končno energijo delca težiti verjetnost, da najdemodelec v zelo veliki oddaljenosti od izhodisč”a, proti nič, tako da imamorobna pogojaψ (x →∞)=ψ (x →−∞)=0Reševanje difernecialnih enačb, kjer koeficienti niso konstante, jenekoliko bolj zapleteno. Pogljemo glavne korake, s katerimi pridemodo rešitev enačbe 4.4.4.3.1 *Iskanje lastnih vrednosti in lastnih funkcijZaradi večje preglednosti najprej preoblikujmo enačbo 4.4 v brezdimenzijskoobliko. Z novo spremenljivko ξ =(mω 0 /) 1/2 x preide enčbavd 2 ψ (ξ)− ξ 2 ψ (ξ)+εψ(ξ) =0dξ 2kjer je ε =2W/ (ω 0 ). Tako ξ kot ε sta brez enote. Vidimo še, da vnovi enačbi ni nobenega prostega parametra, v prvotni obliki enčbe pasta dva (m in ω 0 )inše konstanta . Rešitvezapoljubnoizbiromasein lastne frekvence (ali konstante vzmeti) so si torej podobne.Za dovolj velike ξ, tako da je ξ 2 >> ε, lahko v zadnjem členu venačbi postavimo ε =1. Enačbo ψ − ξ 2 ψ + ψ =0rešita funkcijie −ξ2 /2 in e ξ2 /2 ,očemer se zlahka prepričamo z odvajanjem. Zato privzamemonastavek ψ (ξ) =e −ξ2 /2 f (ξ). Druga asimptotična rešitev e ξ2 /2ne pride v poštev, ker v neskončnosti narašča. Za funkcijo f dobimonovo diferencialno enačbod 2 f df− 2ξ +(ε − 1) f =0dξ2 dξRešitev poskusimo poiskati v obliki potenčne vrste f(ξ) = ∞j=0 c jξ j .Prvi odvod je f = ∞j=1 jc jξ j−1 ,drugipaf = ∞j=2 j (j − 1) c jξ j−2 = ∞j=0 (j +2)(j +1)c j+2ξ j . Te izraze postavimo v diferencialno enačboin zberemo člene z enako potenco ξ:∞[(j +2)(j +1)c j+2 − (2j +1− ε) c j ] ξ j =0j=0

12 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJI4ξ 2 − 2, H 3 =8ξ 3 − 12ξ, ..... Zaradi oblike rekurzijske zveze so sodipolinomi sode funkcije, lihi pa lihe. V splošnem lahko Hermitove polinomeizračunamo iz enačbeH n (ξ) =(−1) n e ξ2dndξ n e−ξ2*Tako smo dobili lastne vrednosti energije za harmonski oscilatorW n = ω 0n +12in lastne funkcijeψ n (x) = mω 1/4 1/2 1mωe −mωx2 /2 Hπ 2 n nn! x(4.6)Te lastne funckije so že normirane. Podobno kot pri neskončni potencialnijami so med seboj ortogonalne in sestavljajo ortonormiran sistem: ∞−∞ψ n (x) ψ n (x) dx = δ n nNekaj najnižjih lastnih funkcij kaže slika 1. Hermitov polinom stopnjen ima n ničel. Slika 2 pa kaže ustrezne verjetnostne gostote.

4.3. HARMONI”CNI OSCILATOR 13Pri klasičnem harmoničnem nihanju je obarčalna točka določena sskupno energijo nihala. V skrajni legi delec miruje in je vsa energijapotencialna. Na gornjih slikah so klasične obračalne točke pri vrednostihx c = √ 2n +1. Če pozorno pogledamo slike verjetnostne gostote,vidimo, da je za vsako stanje znatna verjetnost, da delec najdemo prix>x c .Tudi pri harmoničnem oscilatorju je energija osnovnega stanja W 0 =ω 0 /2 pozitivna zaradi lokalizacije delca, medtem ko je skupna energijaklasičnega delca na vzmeti, ki miruje v ravnovesnem položaju, nič.Osnovno stanje je kar naš znani valovni paket.Kot v neskončni potencialni jami lahko tudi tu vidimo, da postanepri dovolj velikih kvantnih številih n kvantna verjetnostna gostota vpovprečju podobna klasični. Klasična verjetnost, da najdemo delecmed x in x + dx je obratno sorazmerna s hitrostjo delca na mestu x:p kl =Cv (x)kjer je C normalizacijska konstanta, ki poskrbi, da je √p kl dx = 1.Ker je x = x 0 cos ω 0 t in v = x 0 ω 0 sin ω 0 t = x 0 ω 0 1 − cos2 ω 0 t =ω 0 x20 − x 2 ,je1p kl (x) = πω 0 x20 − x 2

14 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJISlika 3 kaže klasično in kvantno gostoto verjetnosti za n =10.Ker tvorijo lastne funkcije energije ortonormiran sistem, lahko ponjih razvijemo poljubno začetno stanje:Ψ(x, 0) = nc n ψ n (x)Koeficiente razvoja spet izračunamo z integralomc n =Časovni razvoj je potem ∞−∞ψ n (x)Ψ(x, 0) dxΨ(x, t) = nc n ψ n (x) e −iω 0(n+1/2)tGaussov paket, ki ima neko začetno povprečno gibalno količino, nihaokoli ravnovesne lege s klasično frekvenco nihanja ω 0 , kar lahko vidimo vprogramu v Mathematici na http://www.fiz.uni-lj.si/˜tine/fizikaII.html.

4.4. GOSTOTATOKADELCEVINKONTINUITETNAENAČBA154.4 Gostota toka delcev in kontinuitetnaenačbaPreden nadaljujemo s primeri gibanja, si poglejmo še, kako lahko izračunamoiz valovne funkcije gostoto toka delcev. Ta je pomembna, kadar imamoopravka z nevezanimi stanji, torej v primerih, ko potencialna energija neomejuje delcev na končni del prostora. Vzemimo najprej, da je delec vdelu prostora, kjer je potencial konstanten, lahko kar 0. Tedaj so dobrerešitve Schroedingerjeve enačbe ravni valovi z dobro določeno gibalnokoličino p = k :Ψ(x, t) =Ae i(kx−ωt)Ustrezna hitrost delca je p/m = k/m. Vklasični fiziki je gostota tokadelcev produkt gostote delcev in njihove hitrosti. V kvantni mehanikije torej smiselno definirati gostoto toka kot produkt gostote verjetnosti,da najdemo delec na danem mestu, in pričakovane vrednosti hitrosti:j = k m Ψ∗ Ψ= k m |A|2 (4.7)Ta zveza nam tudi za raven val omogoča smiselno normalizacijo konstanteA: namesto da zahtevamo, da je integral |Ψ| 2 po vsem prostoruenak 1, izberemo A tako, da dobimo predpisano gostoto toka delcev.Za stanja, ki niso ravni valovi, postopamo takole. Zapišimo Schroedingerjevoenačbo in njej konjugirano kompleksno enačbo:− 2 ∂ 2 Ψ+ V (x)Ψ = i ∂Ψ2m ∂x2 ∂t− 2 ∂ 2 Ψ ∗2m ∂x + V 2 (x)Ψ∗ = −i ∂Ψ∗∂tPrvo enčbo pomonožimo s Ψ ∗ , drugo pa s Ψ in drugo enačbo odštejmood prve.Člena s potencialom se odštejeta, ostane− 2Ψ ∗ ∂2 Ψ2m ∂x − Ψ ∗2 Ψ∂2 = i ∂x 2To enačbo lahko preoblikujemo vi ∂2m ∂xΨ ∗ ∂Ψ∂x − Ψ∂Ψ∗ ∂xΨ ∗ ∂Ψ∂t +Ψ∂Ψ∗ ∂t= ∂ |Ψ|2∂t(4.8)

16 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJINadesnistraniimamočasovni odvod gostote verjetnosti. Zamislimosi za trenutek, da imamo opravka s klasično gostoto delcev ρ (x, t), kise na intervalu med x in x + dx spreminja s časom, recimo zmanjšuje.Če naj se število delcev ohranja, mora pri x + dx več delcev odtekatizintervala,kotjihprix pritekanainterval. Število delcev na dx jeρSdx,kjerjeS površina v prečni smeri. Velja−S ∂ρ∂jdx = Sj (x + dx) − Sj (x) =S∂t ∂x dxkjer je j gostota toka delcev. Tako imamo kontinuitetno ena”bo− ∂j∂x = ∂ρ∂tki pravi le, da se število delcev ohranja. V enačbi 4.8 imamo na desniodvod gostote verjetnosti. Če se število delcev ohranja, se mora ohranjatitudi integral gostote verjetnosti, kar pomeni, da mora količina nalevi strani en. 4.8j = −i Ψ ∗ ∂Ψ 2m ∂x − Ψ∂Ψ∗(4.9)∂xpredstavljati gostoto toka verjetnosti, ki je sorazmerna z gostoto tokadelcev. Izraz 4.9 tako privzamemo za definicijo gostote toka delcev.4.5 Odboj na potencialni stopniciPoglejmo še primer nevezanega delca, najprej s posebej preprosto potencialnoenergijo - potencialno stopnico, ki jo kaže slika. Takemupotencialu ustreza pri svetlobnem valovanju prehod preko meje z različnimilomnimi količniki. Vemo, da se na taki meji del valovanjavselej odbije. Za elektrone bi približno tak stopničast potencial lahkodobili tako, da bi elektrone zavrli med dvema mrežicama, na katere bipriključili napetost V 0 .Razdaljamedmrežicami bi morala biti majhnav primerjavi z de Broglievo valovno dolžino, da bi lahko prostorskoodvisnost potenciala približno obravnavali kot ostro stopnico.

4.5. ODBOJ NA POTENCIALNI STOPNICI 17Denimo, da na stopnico z leve pada curek delcev z dano gostototoka. Po klasični fiziki bi curek delcev, ki ima levo od stopnice kinetičnoenergijo več odV 0 , brez odbitega dela preiti stopnico, ker pa se valovnafunkcija obnaša kot valovanje, dobimo v kvantnem računu tudi odbiticurek. Naj bo za x0jesevedaW 1 − V 0 ,zatoje valovno število k 2 = 2m (W 1 − V 0 )/. Valovna funkcija levo odstopnice je vsota vpadnega in odbitega delaψ 1 (x) =a 1 e ik 1x + b 1 e −ik 1xDesno od stopnice imamo samo prepuščeni curek, v katerem se delcigibljejo le v pozitivnio smeri, zato je tam valovna funkcijaψ 2 (x) =a 2 e ik 2xAmplituda a 1 določa gostoto vpadnega toka j 0 = |a 1 | 2 k 1 in jo obravnavamokot znan podatek. Izračunati moramo amplitudi b 1 in a 2 ,kidoločata odbiti in prepuščeni del vpadnega toka. Za to uporabimorobne pogoje, da morata biti valovna funkcija in njen odvod pri x =0zvezna:ψ 1 (0) = ψ 2 (0) ψ1 (0) = ψ2 (0)

18 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIS tema pogojema dobimo enačbiRešitev jea 1 + b 1 = a 2k 1 a 1 − k 1 b 1 = k 2 a 2b 1 = k 1 − k 2a 1k 1 + k 22k 1a 2 = a 1k 1 + k 2Definirajmo odbojnost kot razmerje odbite in vpadne gostote toka: R =j 1 /j 0 . Ker je velikost hitrosti odbitih in vpadnih delcev enaka, jeR = |b 1| 2 2|a 1 | 2 = k1 − k 2k 1 + k 2Prepustnost je razmerje preupščene in vpadne gostote toka: T = j 2 /j 0 .Tu moramo upoštevati tudi, da se pri prehodu čez stopnico spremenihitrost delcev, zato je po enačbi 4.7 za gostoto tokaT = |a 2| 2 k 2|a 1 | 2 k 1= 4 k 1k 2(k 1 + k 2 ) 2Enačbi za R in T sta analogni enčbam za odbojnost in prepustnostdielektričnemejevoptiki.Zanimivo je pogledati še primer, ko je začetna kinetična energijamanjša od višine potencialne stopnice. Tedaj je k 2 = 2m (W 1 − V 0 )/ =i 2m (V 0 − W 1 )/ = iκ imaginaren in je valovna funkcija na desniψ 2 (x) =a 2 e −κxVerjetnostna gostota, da najdemo delec v prepovedanem področju, kjerje njegova kinetična energija negativna, je različna od nič, kar je spetpovsem kvanten pojav. Odbojnost je v tem primeruR =k 1 − iκ2k 1 + iκ=1kot pričakujemo tudi klasično.

4.6. POTENCIALNA PLAST IN TUNELSKI POJAV 194.6 Potencialna plast in tunelski pojavLotimo se še nekoliko bolj zapletenega primera potencialne plasti, kjerje potencial V (x) =V 0 vobmočju 0

20 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIOdbojnost je R = j 1 /j 0R =1− T = |b 1| 2 1|a 1 | 2 = 41+ 1 4k 2 2k 2sin 2 k 2 x 0 2k 2k 1− k 1k 2sin 2 k 2 x 0k 1− k 1Odvisnost T od k 2 x 0 kaže slika. Podobno odvisnost prepustnosti odrazmika dobimo v optiki pri Fabri-Perotovem interferometru Pri vrednostihk 2 x 0 = nπ je T = 1. Tedaj je debelina plasti ravno mnogokratnikpolovične valovne dolžine in dobimo konstruktivno interferenco medodboji na obeh mejah. Za energijo velja tedaj W 1 = V 0 + n2 π 2 2.2mx 2 0T10.80.60.40.21 2 3 4 5k2x0Kinetična energija vpadnih delcev je lahko manjša od višine potecialneplasti V 0 . Klasično bi se tedaj morali vsi delci odbiti in prepustnostbi bila 0. V našem računu postane za V 0 >W 1 vrednost k 2imaginarna, vendar je račun še vedno veljaven. Tedaj lahko zapišemok 2 = i 2m (V0 − W 1 )=iκValovna funkcija v plasti je vsota realnih eksponentnih funkcijψ 2 = a 2 e −κx + b 2 e κx

4.6. POTENCIALNA PLAST IN TUNELSKI POJAV 21desno od plasti pa ima zopet obliko vala z amplitudoa 3 =2 ik 1 κe −ik 1x 02ik 1 κ chκx 0 +(k 2 1 − κ 2 )shκx 0a 1Valovna funkcija je različna od nič tudi desno od bariere in delci lahkoprehajajo skozi plast, kar klasično ni mogoče.Temu pojavu pravimotuneliranje skozi potencialno bariero. Naslednja slika kaže realni delvalovne funkcije pri tuneliranju skozi plastPrepustnost je T = |a 3 | 2 / |a 1 | 2 . Če je κx 0 > 1, sta funkciji chκx 0 inshκx 0 približno e κx 0in jeT 4k2 1κ 2(k 2 1 + κ 2 ) e−2κx 0= 4k2 1κ 2(k 2 1 + κ 2 ) e−2 x 0√2m(V0 −W 1 )Potek gostote verjetnosti pri tuneliranju kaže slika. Oscilacije gostoteverjetnosti na levi strani palsti so posledica tega, da se večina valovnefunkcije odbije in dobimo na levi skoraj stoječi val.

22 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIPojav tuneliranja ima analogijo v optiki. Pri totalnem odboju svetlobena optično redkejšem sredstvu električna poljska jakost v redkejšemsredstvu pojema eksponentno, enako kot valovna funkcija vprepovedanem območju. Če pri totalnem odboju na hipotenuzi pravokotneprizme toliko približamo drugo prizmo, da seže v eksponentopojemajo”e polje, dobimo v drugi prizmi del valovanja, katerega gostotatoka pojema eksponentno z razdaljo med prizmama.Pojav tuneliranja je praktično pomemben pri elektronskem vrstičnemelektronskem mikroskopu. Ta deluje tako, da preiskovani prevodnipovršini približamo na razdaljo pod 1 nm čim bolj ostro kovinsko konico.Med njo in površino pritisnemo napetost nekaj voltov. Elektroni izpovršine lahko pri dovolj majhni razdalji do konice tunelirajo. Tunelskitok je eksponentno odvisen od razdalje. Navadno naprava deluje tako,da s povratno zvezo, s katero približuje in oddaljuje konico, vzdržuje

4.6. POTENCIALNA PLAST IN TUNELSKI POJAV 23konstanten tok. Ko se konica premika vzdolž površine, tako signalpovratne zveze predstavlja vertikalne pomike konice in dobimo slikopovršine. Zaradi eksponentne odvisnosti je naprava zelo občutljiva,zazna razlike v oddaljenosti od površine manj od 0,01 nm, torej 0,1velikosti atoma in je z njo mogoče delati slike površine, na keterih jemogoče videti atomsko strukturo površine.Drug primer, kjer je tuneliranje bistveno, je razpad α atomskihjeder, o katerem bomo govorili na koncu leta.