Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Vysoká škola báňská – Technická univerzita OstravaTEORIE OBVODŮ IIučební textPetr Orság a kolektivOstrava 2012

Recenze: Prof. Ing, Josef Paleček, CSc.Mgr. Tomáš FismolNázev: Teorie obvodů IIAutor: Petr Orság a kolektivVydání: první, 2012Počet stran: 162Náklad: 20Studijní materiály pro studijní obory Měřicí a řídicí technika, Aplikovaná a komerčníelektronika, Biomedicínský technik, Elektroenergetika fakulty Elektrotechnikya informatikyJazyková korektura: nebyla provedena.Určeno pro projekt:Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnostNázev: Personalizace výuky prostřednictvím e-learninguČíslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0339Realizace: VŠB – Technická univerzita OstravaProjekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR© Petr Orság© VŠB – Technická univerzita OstravaISBN 978-80-248-2598-4

OBSAHPokyny ke studiu 41. Trojfázové obvody 61.1. Prvky trojfázového obvodu 61.2. Zapojení zdrojů 91.3. Zapojení zátěže 131.4. Analýza trojfázových obvodů 162. Přechodné jevy 232.1. Analýza přechodných dějů 232.2. Řešení obvodů 1. řádu 252.3. Řešení obvodů 2. řádu 343. Dvojbrany 433.1. Popis a rozdělení dvojbranů 433.2. Matematické a obvodové modely dvojbranů 463.3. Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranů 543.4. Řazení dvojbranů 573.5. Vybrané dvojbrany 634. Přenosy, obrazové parametry dvojbranů, zpětná vazba, OZ 714.1. Přenosy dvojbranů 714.2. Obrazové parametry souměrného dvojbranu 774.3. Operační zesilovač 835. Obvody s proměnnými parametry. Fázorové čáry, amplitudové a fázovécharakteristiky, Bodeho metoda 935.1. Hodografy jednoduchých obvodů s proměnným parametrem 945.2. Kmitočtové charakteristiky 1005.3. Bodeho charakteristiky 1026. Zesílení, činitelé zesílení 1136.1. Charakteristiky bipolárního tranzistoru 1136.2. Nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru 1197. Obvody s rozprostřenými parametry, homogenní vedení při harmonickémnapájení 1307.1. Definice obvodu s rozprostřenými parametry 1307.2. Homogenního vedení při harmonickém napájení 133Laboratorní úlohy 143

POKYNY KE STUDIUTeorie obvodů IIPro předmět Teorie obvodů II 2. semestru oborů Elektrotechnika a Projektování elektrickýchzařízení jste obdrželi studijní balík obsahující• integrované skriptum pro distanční studium obsahující i pokyny ke studiu• CD-ROM s doplňkovými animacemi vybraných částí kapitol• harmonogram průběhu semestru a rozvrh prezenční části• rozdělení studentů do skupin k jednotlivým tutorům a kontakty na tutory• kontakt na studijní odděleníPrerekvizityPro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu Teorie obvodů I.Cílem předmětuje naučit studenty tvůrčím způsobem aplikovat fyzikální zákony a principy při analýzeelementárních jevů ve trojfázových obvodech, přechodných jevech, dvojbranech lineárních inelineárních a vedeních s rozloženými parametry. Poznatky z teorie obvodů patří mezizákladní znalosti, které student uplatní v celém průběhu studia. Po absolvování výukypředmětu Teorie obvodů II by měl student být schopen vypočítat napětí a proudy kdekoliv vobvodu a na jejich základě posuzovat vlastnosti elektrických zařízení.Pro koho je předmět určenModul je zařazen do letního semestru bakalářského studia oborů Měřicí a řídicí technika,Aplikovaná a komerční elektronika, Biomedicínský technik, Elektroenergetika studijníhoprogramu Elektrotechnika, Projektování elektrických zařízení a Mechatronika.V prezenční formě studia je výuka zajištěna dvěma hodinami přednášek, dvěma hodinamivýpočetních cvičení a dvěma hodinami laboratorních cvičení týdně ve 14-ti týdennímsemestru, tedy celkem 84 hodinami. Laboratorní cvičení vedou dva pedagogové. Prezenčníforma studia se liší od kombinované počtem měřených laboratorních úloh.Kombinovaná forma studia je tvořen sedmi tutoriály, z nichž dva zahrnují laboratorní cvičenía je určena studentům, kteří jsou schopni samostatně studovat a mají dostatečnou motivaci aodpovědnost za svůj vzdělávací postup.Skriptum se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, alenejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsouvelké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura.Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:Čas ke studiu: xx hodinNa úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vámsloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Někomu se čas4

může zdát příliš dlouhý, někomu naopak. Jsou studenti, kteří se s touto problematikou ještěnikdy nesetkali a naopak takoví, kteří již v tomto oboru mají bohaté zkušenosti.Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět• popsat ...• definovat ...• vyřešit ...Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly –konkrétní dovednosti, znalosti.VÝKLADNásleduje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, všedoprovázeno obrázky, tabulkami, řešenými příklady, odkazy na animace.Shrnutí pojmů 3.1.Na závěr kapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které si v ní máte osvojit. Pokud některémuz nich ještě nerozumíte, vraťte se k nim ještě jednou.Otázky 2.1.Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretickýchotázek.Úlohy k řešení 2.1.Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využitív databázové praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich jehlavní význam předmětu a schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálnýchsituací hlavním cílem předmětu.KLÍČ K ŘEŠENÍVýsledky zadaných příkladů i teoretických otázek výše jsou uvedeny v závěru učebnicev Klíči k řešení. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen tak si samokontrolou ověříte,že jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli.Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu5Petr Orság

1. TROJFÁZOVÉ OBVODYČas ke studiu: 2 hodinyCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• modelovat trojfázový zdroj a trojfázovou zátěž• vymezit souměrný zdroj a symetrickou zátěž• vytvořit trojfázovou soustavu napětí a rozlišovat sled jejich fází• definovat vyváženou soustavu napětí• vymezit podmínku optimálního provozu trojfázového zdrojeVýkladTrojfázový obvod vznikne spojením trojfázového zdroje a trojfázové zátěže vedením.1.1. Prvky trojfázového obvoduTrojfázový zdrojTrojfázový zdroj vznikne spojením tří samostatných jednofázových zdrojů stejného úhlovéhokmitočtu ω o okamžitých hodnotáchuu( ω + )A= UmAsin t ψA( ω + )B= UmBsin t ψB,A'B'u Au BABu( ω + )C= UmCsin t ψCC'u CCJsou-li amplitudy napětí ve všech fázích stejné a jsou-li shodné i fázové posuny mezi dvěmapo sobě následujícími fázemi nazýváme zdroj souměrným. Pro takový zdroj platíuA B C A0T/3 2T/3 T tU = U = U = Ua ψ −ψ= kmmAmBPodle pořadí fází zdroje může získat sled fází A, B, C nebo A, C, B.6mCAA

uA C B A0T/3 2T/3 T tJe-li součet okamžitých hodnot fázových napětí v každém časovém okamžiku nulový, platía mluvíme o vyvážené soustavě napětí zdroje.uA+ u B + uC= 0Příklad 1.1.Trojfázová soustava napětí je popsána průběhy napětí u A 2 ⋅ 230 sin( 2π⋅50 t)u = 2 ⋅ 230 sin( 2π⋅50 t)a u = 2 ⋅ 230 sin( 2π⋅50 t). Je tato soustava souměrná?B♦Řešení:C= ,Efektivní hodnoty fázových napětí mají hodnotu 230 V a jsou stejné. Kmitočty napětí majíhodnotu 50 Hz a jsou stejné. Fázové posuny dvou po sobě jsoucích fází nemají žádny posun ajsou tudíž stejné. Tato soustava tedy splňuje podmínky souměrnosti a je souměrná.Trojfázová zátěžTrojfázovou zátěž vznikne spojením tří imitancí. Mají-li imitance stejné komplexní hodnotymluvíme o symetrické zátěži. Připojíme-li ji k souměrnému zdroji, je zatěžován symetricky,jeho celkový okamžitý výkon p je konstantní a roven hodnotěp = u i + u i + u i = p + p + p = P + P + P = P konst. ,A A B B C C A B C A B C 3 A =kde P A , P B , P C jsou fázové činné výkony zdroje. Za těchto podmínek je trojfázový zdrojoptimálně provozován.uA B C0Tt7

iA B C0TtpA B C0TtPříklad 1.2.Trojfázová zátěž má ve svých fázích zapojený každý jeden ze základních pasivních obvodovýchprvků o hodnotě impedance 1 Ω. Jedná se o souměrnou zátěž?♦Řešení:Zátěž není souměrná, jelikož imitance mají různý charakter a tudíž jejich komplexní hodnotaje různá. Je-li např. v 1. fázi rezistor, 2. fázi induktor a 3. fázi kapacitor jsou jejich hodnotyimitancí následující: impedance ˆj0°Z = 1 = 1e Ω resp. admitance ˆj0°Y = 1 = 1e S ,ˆ02ˆ021ˆ031ˆ-j90°3 = −1j= 1e-j9 °j9 °j9 °Z = −1j= 1e Ω resp. Y = 1j = 1e S a Z = 1j = 1e Ω resp. Y S .11‘11‘2R2‘2Z ˆ1,Y ˆ12‘3C3‘3Zˆ , Yˆ223‘LZˆ ˆ 3,Y3Shrnutí pojmů 1.1.Trojfázový obvod vznikne spojením trojfázového zdroje a trojfázové zátěže. Trojfázovásoustava napětí se používá pro své výhodné vlastnosti k výrobě, rozvodu a spotřebě elektrickéenergie.8

Souměrný trojfázový zdroj, souměrná trojfázová soustava napětí, fáze, sled fází, symetrickátrojfázová zátěž, vyvážená soustava napětí, podmínka optimálního provozu trojfázovéhozdroje.Otázky 1.1.1. Jak modelujeme trojfázový zdroj napětí?2. Co musí být splněno, aby trojfázový zdroj byl souměrný?3. Vyložte významy pojmu fáze.4. Čím je dán sled fázových napětí zdroje?5. Co musí být splněno, aby trojfázová zátěž byla symetrická?.6. Napište podmínku vyváženosti trojfázové soustavy napětí.7. Napište podmínku optimálního provozu trojfázového zdroje.8. Jakou velikost mají fázové proudy a napětí trojfázového zdroje, je-li optimálněprovozován?Úlohy k řešení 1.1.1. Určete hodnoty impedance fází pasivní zátěže a rozhodněte, je-li zátěž symetrická čine, znáte-li hodnoty fázových veličin trojfázové zátěže s harmonickými průběhy napětía proudů U 1 = 400 V , S 1 = 10 kVA , sin ϕ 1 = 0, 5 , U 2 = 400 V , P 2 = 8,66 kW , Q 2 = 5 kvar ,U 3 = 400 V , I 3 = 20 A , Q 3 = 5 kvar .1.2. Zapojení zdrojůTrojfázový zdroj vytvoříme zapojením jednofázových zdrojů do hvězdy (Y) nebo dotrojúhelníku (D).Souměrný trojfázový zdroj vytváří soustavu napětí s okamžitými hodnotamiuuBC( ω t) 2 U sin( ω t)u A = U m sin =,( t −120°) = 2 U sin( ω t − ° )= U sin ω 120 ,m( t + 120°) = 2 U sin( ω t + ° )= U sin ω 120 ,které reprezentují v komplexní rovině fázory napětímˆˆj0°U A = U A (0) = U e ,ˆˆ− j120°U B = U B (0) = U e ,U ˆC= UˆC(0) = U ej120°a jejich grafické uspořádání nazýváme fázorový diagram napětí zdroje.9

u+1A B CÛ A0Tt+jÛ CÛ BPoznamenejme jen, že souřadný systém os komplexní roviny je z historických důvodův trojfázových obvodech natočen oproti zvyklostem o 90°.Zapojení zdrojů do hvězdyZapojení do hvězdy vznikne spojením začátků A, B, C resp. konců A‘, B‘, C‘ svorek třísamostatných jednofázových zdrojů do společného uzlu N, který je vyveden tak zvanýmnulovým vodičem. Pro fázory napětí tohoto zdroje plat툈j0°U AN = U A = U e ,ˆˆ− j120°U BN = U B = U e ,ˆˆj120°U CN = U C = U e .Û AAA‘BÛ BB‘Û ANA‘Û AN =Û A+1Û AN =Û AÛ BNÛ CAÛ CN =Û C N Û BN =Û BC C‘+jC BÛ CNC‘B‘Û CN =Û C Û BN =Û BNKromě fázových napětí proti společnému uzlu N v zapojení do hvězdy definujeme i sdruženánapětí mezi nepropojenými konci svorek zdrojeuAB( t) − 2 U sin( ω t −120°) = 6 U sin( ω t + ° )= u − u = 2 U sin ω 30 ,AB( t −120°) − 2 U sin( ω t + 120°) = 6 U sin( t − ° )u = u − uC = 2 U sin ω ω 90 ,BCB10

uCA( ω t + 120°) − 2 U sin( ω t) = 6 U sin( ω t + ° )= u − u = 2 U sin150CAuAB BC CA0Ttnebo v komplexní roviněˆˆˆj0°− j120°j30°U AB = U A −UB = U e −Ue = 3 U e ,ˆˆˆ− j120°j120°− j90°U BC = U B −UC = U e −Ue = 3 U e ,ˆˆˆj120°j0°j150°U CA = UC−UA= U e −Ue = 3Ue .Û AABCÛ BÛ CA‘A‘Û ABÛ ABÛ AB‘Û AAÛÛ CÛ BBC Û CA+ju CA C BÛ CC‘C‘B‘Û BC-Û AÛ CA-Û B+1Û ABÛ BÛ BC-Û CFázová napětí jsou definována v čtyřvodičové napájecí soustavě a sdružená napětív třívodičové napájecí soustavě.Zapojení zdrojů do trojúhelníkaZapojení do trojúhelníka vznikne spojením začátků jedněch a konců jiných, odlišněoznačených svorek tří samostatných jednofázových zdrojů do série. Existují dvě možnostizapojení trojfázového zdroje, z nichž uvažujme variantu propojení svorek A‘B, B‘C, C‘A.Souměrná soustava napětí je definována rovnicemiu( ω t)= u 2 U sin ,AB A =11

( t − ° )u = u = 2 U sin ω 120 .BCB( t + ° )u = u = 2 U sin ω 120CACuAB BC CA0Tta v komplexní roviněˆˆj0°U AB = U A = U e ,ˆˆ− j120°U BC = U B = U e ,ˆˆj120°U CA = U C = U e .Û AAA‘Û ABCA‘+1Û CA =Û CÛ AB =Û AÛ BÛ AB =Û ABB‘Û BCC‘AB B‘+jÛ CA =Û CÛ BC =Û BCÛ CC‘Û CAÛ BC =Û BV zapojení do trojúhelníku jsou fázová napětí zdroje rovna sdruženým napětím trojvodičovénapájecí soustavy.VIRTUÁLNÍ LABORATOŘMožné varianty způsobů propojení svorek trojfázového zdroje si můžete vyzkoušetve virtuální laboratoři, aplikace 1_3_Vytvor3fzdroj.xls,1_4_VytvorLomenouHvezdu.xls.12

Shrnutí pojmů 1.2.Zapojením trojfázových zdrojů do hvězdy nebo trojúhelníku můžeme vytvořit různé napájecísoustavy. Napětí obou zapojení trojfázových zdrojů mohou být vyvedeny trojvodičově azdroje zapojeného do hvězdy i čtyřvodičově. Napětí trojvodičové soustavy nazývámesdružená. V čtyřvodičové soustavě kromě sdružených napětí existují i napětí fázová, kterájsou definována vůči nulovému vodiči soustavy.Zapojení trojfázového zdroje do hvězdy, zapojení trojfázového zdroje do trojúhelníku, fázovénapětí, sdružené napětí, trojvodičová napájecí soustava, čtyřvodičová napájecí soustava,nulový vodič.Otázky 1.2.1. Kolika způsoby lze zapojit trojfázový zdroj do hvězdy a trojúhelníka? Nakresletevšechny varianty zapojení.2. Mění se fázový posun mezi po sobě následujícími časovými průběhy napětí napájecíchsoustav vytvářených trojfázovými zdroji zapojenými do hvězdy?3. Jak se mění počáteční fáze časových průběhů napětí resp. natočení fázorů napětínapájecích soustav vytvářených trojfázovými zdroji zapojených do hvězdy atrojúhelníku?4. Jak poznáme z fázorového diagramu, že zdroj je vyvážený?5. Která napětí rozlišujeme v čtyřvodičové napájecí soustavě?6. Co je to nulový vodič?Úlohy k řešení 1.2.1. Odvoďte z fázorového diagramu vztah mezi fázovým a sdruženým napětím na základěpodobnosti trojúhelníků.1.3. Zapojení zátěžeTrojfázovou zátěž s impedancemi Z ˆ ˆ1,Zˆ2 , Z 3 nebo admitancemi Y ˆ ˆ1,Yˆ2 , Y3můžeme zapojit dohvězdy nebo trojúhelníku.Zapojení zátěže do hvězdyZapojení zátěže do hvězdy vznikne spojením začátků 1, 2, 3 resp. konců svorek 1‘, 2‘, 3‘ třísamostatných imitancí do společného uzlu, který označme 0. Tuto zátěž můžeme ke zdrojipřipojit troj nebo čtyřvodičově.13

11‘123Z ˆ1,Y ˆ1Zˆ , Yˆ222‘3‘Zˆ ˆ 3,Y30Z ˆ1,Y ˆ1Zˆ , Yˆ220Zˆ ˆ 3,Y332Zapojení zátěže do trojúhelníkuZapojení zátěže do trojúhelníku vznikne spojením začátků jedněch a konců jiných, odlišněoznačených svorek tří samostatných imitancí. Tuto zátěž můžeme ke zdroji připojit pouzetrojvodičově.11‘Z ˆ , Y1 ˆ13‘12 2‘Zˆ , Yˆ33ˆ , Y1 ˆ1Zˆ , Yˆ223Z1‘33‘2‘Zˆ , Yˆ222Zˆ ˆ 3,Y3Trojfázové vedeníVedení z pohledu svorek trojfázového zdroje představuje další zátěž, která je kaskádněvčleněna mezi zdroj a trojfázovou zátěž. Symetrické vedení charakterizujeme imitancemi fázívedení Ẑ v , Y ˆ v případně nulového vodiče Ẑ 0 , Y ˆ 0 . Mají-li imitance nulovou hodnotu, mluvímeo vedení ideálním. Napětí a proudy vedení nazýváme síťové.14

A‘1A‘1Zˆv1, Yˆv1B‘2B‘2Zˆv2, Yˆv2C‘3C‘3Zˆv3, Yˆv3N0N0Zˆ, YˆPro další výklad uvažujme idealizované vedení doplněné o imitanci nulového vodiče.00Shrnutí pojmů 1.3.Trojfázovou zátěž zapojujeme do hvězdy a trojúhelníku. Zátěž do hvězdy lze ke zdrojipřipojit troj nebo čtyřvodičovým vedením, zátěž do trojúhelníku jen trojvodičovým vedením.Veličiny vedení nazýváme síťové.Zapojení trojfázové zátěže do hvězdy, zapojení trojfázové zátěže do trojúhelníku, trojfázovévedení, síťové napětí, síťový proud.Otázky 1.3.1. Čím modelujeme trojfázové spotřebiče v harmonicky ustáleném stavu?2. Kolika způsoby lze zapojit trojfázovou zátěž do hvězdy a trojúhelníka? Nakresletevšechny varianty zapojení.3. Kolik vodičů může mít trojfázové vedení?4. Jak nazýváme napětí a proudy vedení?Úlohy k řešení 1.3.1. Je dána souměrná ohmická zátěž zapojená do trojúhelníka, nahraďte tuto zátěžekvivalentním zapojením zátěže do hvězdy a stanovte hodnoty náhradních odporůzátěže.15

1.4. Analýza trojfázových obvodůAnalýzu a řešení trojfázových obvodů v harmonicky ustáleném stavu provádíme v komplexnírovině obecnými metodami řešení elektrických obvodů nebo přímou aplikaci Kirchhoffovýchzákonů a Ohmova zákona v symbolickém tvaru. Prvním krokem řešení je zakreslenípočítacích šipek opatřených symboly hledaných komplexních hodnot napětí a proudů doschématu zapojení trojfázového obvodu.Zdroj a zátěž zapojené do hvězdyŘešení tohoto obvodu proveďme užitím Milmanovy věty, pomocí které nejprve určímehodnotu napětíUˆUˆYˆ+ UˆYˆ+ UˆYˆ= .A 1 B 2 C 30Yˆ1 + Yˆˆ ˆ2 + Y3+ Y0Fázová napětí zátěže určíme ze známých parametrů zdroje a napětí Û 0 užitím 2. KirchhoffovazákonaUˆUˆUˆ1 UˆˆA −U0= ,2 UˆˆB −U0= ,3 UˆˆC −U0= .Fázové proudy obvodu stanovíme pomocí Ohmova zákona v symbolickém tvarua proud nulového vodičeI ˆ = ,1 Uˆˆ1Y1I ˆ = ,2 Uˆˆ2Y2I ˆ =3 Uˆˆ3Y3I ˆ = .0 Uˆˆ0Y0AÛ AA‘1Û 11‘BÛ BB‘2Z ˆ1,Y ˆ1Û 2Î 12‘Zˆ , Yˆ22Î 2CÛ CC‘3Û 33‘Zˆ ˆ 3,Y3Î 3NÛ 0Î 00Zˆ , Yˆ0016

Kontrolu správnosti řešení provedeme dosazením vypočtených proudů obvodu do 1.Kirchhoffova zákona I ˆ1 + Iˆˆ ˆ1 + I1= I 0 .Zdroj zapojený do hvězdy a zátěž zapojená do trojúhelníkuTento obvod řešme přímou aplikací 1. a 2. Kirchhoffova zákona. Fázová napětí zátěže určímeužitím 2. Kirchhoffova zákonaUˆUˆUˆ1 UˆˆA −UB= ,2 UˆˆB −UC= ,3 UˆˆC −UA= .Fázové proudy zátěže stanovíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaruI ˆ = ,1 Uˆˆ1Y1I ˆ = ,2 Uˆˆ2Y2I ˆ = .3 Uˆˆ3Y3Síťové proudy určíme užitím 1. Kirchhoffova zákona pro uzly zátěžeIˆIˆIˆABC= Iˆ− Iˆ,123= Iˆ− Iˆ,31= Iˆ− Iˆ.Kontrolu správnosti řešení provedeme dosazením vypočtených síťových proudů do 1.Kirchhoffova zákonaI ˆ + Iˆ+ Iˆ0 .2A B C =Fázové výkony zdroje a zátěže i výkon nulového vodiče počítáme stejným způsobem jakov jednofázových střídavých obvodech v harmonicky ustáleném stavu. Výkon zdroje a příkonzátěže získáme sečtením fázových výkonů.AÛ AA‘Î A1Û 11‘BÛ BB‘Î B2Z ˆ1,Y ˆ1Û 2Î 12‘CÛ CC‘Î C3Zˆ , Yˆ22Û 3Î 23‘Î 3Zˆ ˆ 3,Y317

Příklad 1.3.Je dán trojfázový obvod složený ze souměrného zdroje napětí o efektivní hodnotě napětí 1 V azátěže nakreslené na obrázku. Pro velikost impedancí fází zátěže platí Z = Zˆ= Zˆ1 Ω .ˆ1 2 3 =Stanovte fázové výkony zátěže. Uvažujte počítací šipky veličin obvodu zavedené na obrázku.AÛ AA‘1Û 11‘Ẑ 1Î 1BÛ BB‘2Û 22‘Ẑ 2Î 2CÛ CC‘3Û 33‘Ẑ 3Î 3NÛ 00♦Řešení:Impedance fází zátěže jsouZ ˆ1 = 1 Ω ,Z ˆ 2 = −j Ω ,Z ˆ 3 = j Ω ,takže pro jejich admitance platí1 1Y ˆ1 = = = 1 S,Z ˆ 111 1Y ˆ2 = = = j S ,Z ˆ − j21 1Y ˆ3 = = = −jS.Z ˆ j1Uvažujme následující hodnoty fázových napětí zdrojeU ˆ A = 1V ,ˆ- j120°1 3U B = 1e = − − j V ,2 2ˆj120°1 3U C = 1e − + j V .2 218

Zátěž není symetrická, takže musíme nejprve vypočítat hodnotu nulového napětí⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞1⋅1+⎜ j ⎟ j ⎜ j ⎟ (-j)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ− − ⋅ +2 2− + ⋅U2 2ˆAY1+ UBY2+ UCY3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1+3U0=== = 1+3 V ,Yˆ+ Yˆ+ Yˆ+ Yˆ1+j+11230pomocí kterého vypočteme fázová napětí zátěže( 1+3) = − 3 = 1,732VU ˆ ˆ ˆ1 = U A −U0 = 1−& − ,( − j)3 3( 1+3) = − − 3 − j = −3,2320,866j V1 3U ˆ ˆ ˆ2 = U B −U0 = − − j−& − ,2 22 23 3( 1+3) = − − 3 + j = −3,2320,866jV1 3U ˆ ˆ ˆ3 = U C −U0 = − + j−& + .2 22 2Fázové proudy vypočítáme pomocí Ohmova zákona v symbolickém tvaru( − 3) = − 3 = 1,732AI ˆ ˆ ˆ1 = Y 1U1 = 1⋅& − ,⎛ 3 3 ⎞ˆ ˆ ˆ3 ⎛ 3 ⎞I2= Y2U2= j⋅⎜3 j⎟− − − = − ⎜ + 3 ⎟j= 0,866 − 3,232jA2 2&,⎝⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎛ 3 3 ⎞ˆ ˆ ˆ3 ⎛ 3 ⎞I 3 = Y 3U3 = −j⋅⎜3 j⎟− − + = + ⎜ + 3 ⎟j= 0,866 + 3,232j A2 2&.⎝⎠ 2 ⎝ 2 ⎠Kontrola správnosti řešeníˆ ˆ ˆ3 ⎛ 3 ⎞ 3 ⎛ 3 ⎞I 1 + I1+ I1= − 3 + − ⎜ + 3 ⎟j++ ⎜ + 3 ⎟j= 0 A .2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠Fázové výkony zátěže jsou složkami zdánlivého fázového výkonu zátěžeˆ*( − 3) = 3 VAS ˆ ˆ1 = U 1 I1= − 3 ⋅ & − ,Sˆ2= Uˆ2Iˆ*2⎛= ⎜−⎝= & −11,196jVA,32−3 −32⎞ ⎡j⎟⋅ ⎢⎠ ⎣3 ⎛ 3− ⎜ +2 ⎝ 2⎞ ⎤3 ⎟j⎥⎠ ⎦*⎛= ⎜−⎝32−3 −32⎞ ⎡j⎟⋅ ⎢⎠ ⎣3 ⎛ 3+ ⎜ +2 ⎝ 2⎞ ⎤3 ⎟j⎥= &⎠ ⎦Sˆ3= Uˆ3Iˆ*3⎛= ⎜−⎝= & 11,196j VA,32−3 +32⎞ ⎡j⎟⋅ ⎢⎠ ⎣3 ⎛ 3+ ⎜ +2 ⎝ 2⎞ ⎤3 ⎟j⎥⎠ ⎦*⎛= ⎜−⎝32−3 −32⎞ ⎡j⎟⋅ ⎢⎠ ⎣3 ⎛ 3− ⎜ +2 ⎝ 2⎞ ⎤3 ⎟j⎥= &⎠ ⎦takže fázový výkon 1. fáze zátěže je činný a má hodnotu P 1 = 3 W , fázové výkony zbývajícíchfází jsou jalové a mají hodnoty Q 2 = −11,196 var a Q 3 = 11,196 var . Výkon 2. fáze je kapacitní avýkon 3. fáze je induktivní.19

VIRTUÁLNÍ LABORATOŘK procvičení analýzy trojfázových obvodů v různých provozních stavech a kekontrole ručních výpočtů řešení trojfázového obvodu dle vámi zvolených parametrůmůžete použít aplikace 1_1_Hvezda.xls, 1_2_Trojuhelnik.xls,1_5_LomenaHvezda.xls.Shrnutí pojmů 1.4.Analýzu trojfázových obvodů v harmonicky ustáleném stavu provádíme v komplexní rovině.Řešení obvodu se zdrojem i zátěží zapojenou do hvězdy, kde fázový proud zdroje je rovenfázovému proudu zátěže vychází z hodnoty napětí nulového vodiče, stanoveného pomocíMilmanovy věty. Řešení obvodu se zdrojem zapojeným do hvězdy a zátěží do trojúhelníkavychází ze sdružených napětí zdroje, která jsou rovny fázovým napětím zátěže.Analýza trojfázového obvodu, nulové napětí.Otázky 1.4.1. Co je jádrem řešení trojfázového obvodu se zdrojem a zátěží zapojenými do hvězdy?2. Kdy jsou fázová napětí zátěže a zdroje zapojených do hvězdy stejná?3. Jak se projeví přerušení nulového vodiče u symetrické a nesymetrické zátěže zapojenédo hvězdy?4. Jaký následek má zkrat v jedné fázi zátěže zapojené do hvězdy a trojúhelníka?Úlohy k řešení 1.4.1. Určete hodnotu příkonu trojfázové zátěže z obrázku platí-li pro velikost fázovýchimpedancí Z = Zˆ= Zˆ10 Ω , má-li souměrný trojfázový zdroj efektivní hodnotunapětí 10 V.ˆ1 2 3 =Û AAA‘11‘RÛ BBB‘22‘CÛ CC‘3C3‘L20

Klíč k řešení1. Z = 8( 3 + j)Ω, Z = 8( 3 + j)Ω, Z = & 16,013 + 11,983jΩ . Zátěž není symetrická.2.ˆ1ˆ 2ˆ 3+jÛ C+1Û ABÛ AÛ BÛ AÛ AB30°60°cos30°=UˆAB=32=3 ⋅ UˆAUˆAB2UˆAÛ CAÛ BCÛ B3.11R 1R CR AR 3R 23232RRRA C1 = RA+ RB+ R,CR = R = R = R ,R4.ABC1= R2= R3R .31 =2R( 3 ⋅10)R BRRA B2 = RA+ RB+ R,CU 1P = + 0 + 0 = = 30 W .R102R3= B C,RARR+ RB+ RCZadání samostatné práce č. 1:Na straně souměrné zátěže zapojené do hvězdy nebo trojúhelníka připojené ksouměrnému trojfázovému zdroji třemi vodiči vytvořte jednoduchý poruchový stav21

přerušením a zkratem jedné její fáze. Nakreslete obvodová schémata respektující obaporuchové stavy, zakreslete do nich počítací šipky obvodových veličin a vytvořte obecnýmatematický model těchto obvodů. Zvolte hodnoty parametrů zdroje a zátěže, obvodyvyřešte ve virtuální laboratoři (aplikace 1_1_Hvezda.xls, 1_2_Trojuhelnik.xls), zobraztefázorové diagramy obvodů, do tabulek uveďte vypočtené efektivní hodnoty obvodovýchveličin a hodnoty výkonů na straně zdroje a zátěže. Posuďte fázorové diagramy avypočtené hodnoty v tabulkách, jak na straně zdroje a zátěže, tak i navzájem.Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVUTPraha1999; článek 7.11[2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 1122

2. PŘECHODNÉ DĚJEČas ke studiu: 4 hodinyCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• definovat příčiny vzniku přechodného děje a stanovit počáteční podmínky• určit řád obvodu ( z hlediska přechodného děje)• sestavit obvodové rovnice v časové oblasti• řešit přechodné děje v obvodech 1. a 2. řádu• posoudit význam časové konstanty obvodu ( z hlediska ustálení stavu obvodu)VýkladPřechodný děje popisuje chování obvodu mezi jeho dvěma ustálenými stavy. Je vyvolámzměnou topologické struktury obvodu a modelujeme ho spínačem, odpínačem nebopřepínačem. Energie akumulovaná v pasivních prvcích definuje počáteční podmínkystavových veličin obvodu.2.1. Analýza přechodných dějůPočáteční podmínkyPočáteční podmínky dělíme na fyzikální a matematické. Matematické jsou počátečnípodmínky řešení rovnic popisujících chování obvodu v přechodném ději. Určujeme jez fyzikálních počátečních podmínek. Fyzikální souvisí s elektrickou energií akumulovanouv kapacitorech a induktorech obvodu, která se vždy mění spojitě stejně jako stavové veličinyakumulačních prvků obvodu. Stavovou veličinou kapacitoru je napětí. Stavovou veličinouinduktoru je proud. Počáteční podmínku napětí zapisujeme u(0 + ) = u(0 - ) a proudu i(0 + )= i(0 - ),kde časový okamžik 0 - označuje hodnotu veličiny před počátkem přechodného děje a časovýokamžik 0 + těsně po zahájení přechodného děje.Příklad 2.1.Stanovte počáteční podmínky stavových veličin obvodu na obrázku. Předpokládejte, že kapacitornení nabitý.RSt=0 sR LLU oC♦Řešení:23

Počáteční podmínky určujeme pro obvod z obrázku.u RiRSR Lu RLU oi Ci Lu CCLu LVětev s kapacitorem je rozpojená, neprochází ní proud a nemusíme ji uvažovat pro stanoveníustálené hodnoty proudu, platí tedy i L (0 - ) = i(0 - ). Protože kapacitor je vybitý, je jeho ustálenáhodnota napětí nulová, tedy u C (0 - ) = 0 V a pro počáteční podmínku napětí kapacitoru platíu C (0 + ) = u C (0 - ) = 0 V.Ustálenou hodnotu proudu určíme pomocí 2. Kirchhoffova zákona z rovnicedi(0 )u R (0=dtL −− ) + uR(0 ) + uL(0) = RiL(0 ) + RLiL(0) + L UL −−−−o .V ustáleném stavu stejnosměrného obvodu je napětí u L (0 - ) = 0 V, takže platí pro ustálenýproud obvodu a tím i pro počáteční podmínku proudu induktoruiUoL (0 + ) = iL(0 − ) = .R + RLShrnutí pojmů 2.1.Stavové veličiny obvodu jsou napětí kapacitorů a proudy induktorů. Mění se spojitě, stejnějako se mění spojitě energie pasivních akumulačních prvků, se kterými úzce souvisí. Definujífyzikální i matematické počáteční podmínky obvodu na počátku přechodného děje.Přechodný děj, stavová veličina, počáteční podmínka, odezva obvodu, přechodovácharakteristika.Otázky 2.1.1. Proč dochází k přechodnému ději obvodu?2. Co charakterizuje změnu stavu obvodu?3. Proč se stavové veličiny mění spojitě?4. Co jsou to matematické počáteční podmínky obvodu?24

Úlohy k řešení 2.1.1. Určete počáteční hodnotu stavové veličiny obvodu na obrázku. Parametry obvodu jsouU o = 10 V, R 1 = 80 kΩ, R 2 = 20 kΩ, C = 1 μF.R 1St=0 sU oCR 22.2. Řešení obvodů 1. řáduObvod 1. řádu obsahuje rezistory a jeden akumulační prvek kapacitor nebo induktor.RC obvodŘešme přechodný děj v RC obvodu na obrázku vlevo. Rovnici popisující přechodný dějsestavíme podle 2. Kirchhoffova pro náhradní schéma vpravo na stejném obrázku.iu Su RU oSRCU oSRCu CPo sepnutí spínače S platía po dosazeníu + u = URduR i=dtCC+ uC= R C + uCU o .Obecná homogenní rovnice obvodu je dána rovnicí s nulovou pravou stranouduCR C + uC= 0 ,dtJejí obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristické rovnice1R C λ + λ = R C λ + 1 = 01 1λ = − = −R C τ250o

ve tvaruut−λ t= C e = C eτCh 11 ,kde τ = RC je časová konstanta obvodu. Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisujícíchování obvodu v ustáleném stavu jeÚplné řešení má tvaruu Cp = U o .λ tC = uCh+ uCp= C1e + U oKonstantu C 1 určíme pomocí známé počáteční podmínky u C (0)C1λ ⋅0u ( 0) = C e + U = C + UC1 uC0)= ( −U,takže úplné řešení má konečný tvar po normovánío1o.a není-li kapacitor nabituC−−λ t( u 0) −U) e + U = U (1 − eτ) + u (0)τ= eC ( oo oCttuCλ t= U 1−e ) = U (1 − eτ) .o ( oPrůběh nabíjení nenabitého kapacitoru je na obrázku. Z grafu je zřejmé, že přechodný dějkončí prakticky za dobu několika časových konstant. V čase t = τ napětí kapacitoru dosáhneasi 63,2 % (přesně (1-e -1 ) tiny) ustálené hodnoty napětí U, v časech t = 3τ se přiblíží na 5%,t = 5τ na 1%, t = 7τ na 0,1% k ustálené hodnotě napětí. Časové konstanta je to doba, za kteroudosáhne napětí vybitého kapacitoru (1-e -1 ) tinu své ustálené hodnoty.t−uCU o(1-e -1 ) Uu Ru Cu o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τtOkamžitou hodnotu proudu obvodu i získáme derivací průběhu napětí kapacitorut⎛− ⎞d⎜Uτ ⎟o (1 − e )ttdu⎜ ⎟U − U −C ⎝ ⎠ oi = C = C= Cτ oe = eτ= I R edtdtτ R26t−τ.

iI Re -1 IR0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τNapětí rezistoru určíme z Ohmova zákonatut−= R i = U eτR o .Průběh tohoto napětí je až na měřítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejný jako proudu.Podle toho, který z úbytků napětí RC obvodu zvolíme za výstupní, má přechodovácharakteristika derivační nebo integrační charakter. RC obvod nazýváme derivačním článkem,je-li výstupem napětí rezistoru a integračním článkem, je-li výstupem napětí kapacitoru.Okamžité výkony obvodu v přechodném ději určíme součinem příslušného napětíobvodového prvku a společného proudu obvoduppCR= u= uCRi = Ui = Uooet−τ( 1−eIt−τR)et−τIR2U o= eRet−τ= Pt−2τR⎛⎜ e⎜⎝= Pt−τRe− et−2τt−2τ⎞⎟⎟⎠pot−τ= U i = U I e = P eooRRt−τpP Re -1 PRp Rp Cp o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τta z nich integrací okamžité hodnoty energií27

wRtt ξξt−2⎡ τ −2⎤ τ ⎛ −2⎞ ⎛ −= == ⎢ − ⎥ = ⎜ − ⎟Wτττ =R ⎜∫pRd ξ ∫PRe dξPRe PR1 e 1 1 − e⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜00⎣2⎦2⎝ ⎠2⎝t0t2τ⎞⎟⎟⎠wξξttt t tt t⎛ − −2⎞ ⎡ −2 ⎤ ⎛2 ⎞C C d ⎜R e e ⎟τ − τ− −=d R e e⎜R 2 e e 1⎟∫p ξ =∫Pτ−τξ = P ⎢−ττ+τ⎥ = P −τ+τ+ =⎜ ⎟2 2 ⎜⎟00 ⎝ ⎠ ⎢⎣⎥⎦0 ⎝⎠t2t2τ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞= ⎜RR 1 − eτ ⎟WP= ⎜1− eτ ⎟2w⎜⎝⎟⎠2⎜⎝⎟⎠ttτo .tt ξξt− ⎡ − ⎤ ⎛ − ⎞ ⎛ −= ⎢ ⎥ = ⎜ − ⎟ = ⎜∫p =τ = −ττo dξ∫PRe dξPRτ e τ PR1 e W R 1 − e⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜00⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝0⎞⎟⎟⎠wW R(1-e -1 )WR(1-e -1 )WR/2w Rw Cw o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τtLR obvodŘešení tohoto obvodu je analogické.u RiU oSRLU oSRLu LPo sepnutí spínače S platí podle 2. Kirchhoffova zákonau + u = URa po dosazení získáme obecnou homogenní rovnicidiR i + L = U o .dtJejí obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristickéd ihomogenní rovnice R i + L = 0dt28Lo

ve tvaruL λ + R = 0,λ = −RL1= −τit−λ t= C e = C eτh 11 ,kde τ = L/R je časová konstanta obvodu.Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu jeU oip = R.Úplné řešení má tvarλ t U oi = ih + ip= C1e + .RKonstantu C 1 určíme pomocí známé počáteční podmínky i(0)U Ui ( 0) = 0 ooC1 e λ ⋅+ C1R= + RU oC1 = i( 0)− ,Rtakže úplné řešení má konečný tvar po normovánít−τ⎛ U o ⎞ λ t U o Ui = ⎜i(0)− ⎟ e + = (1 − e ) + i(0)e⎝ R ⎠ R Ra byl-li induktor bez proudutU−o λ ti = ( 1−e ) = I R (1 − eτ) .RPrůběh proudu induktoru s nulovým počátečním proudem je na následujícím obrázku.t−τiI R(1-e -1 ) IR0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τOkamžitou hodnotu napětí rezistoru stanovíme užitím Ohmova zákonat29

uRt−= R i = R I 1−eτ) = U (1 − eτ) ,R ( okterá je až na měřítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejná jako proud obvodu a napětíinduktoru pomocí Faradayova zákonaut−d⎜Iτ ⎟R (1 − e )⎜ ⎟tttdi⎝ ⎠ I − U L −−R= L = L= L eτ o= eτ= U eτL o .dt⎛dt⎞τRt−τiU oe -1 Uu Ru Lu o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τtPodle toho, který z úbytků napětí RL obvodu zvolíme za výstupní, má přechodovácharakteristika derivační nebo integrační charakter. RL obvod nazýváme derivačním článkem,je-li výstupem napětí induktoru a integračním článkem, je-li výstupem napětí rezistoru.Okamžité výkony obvodu v přechodném ději určíme součinem příslušného napětíobvodového prvku a společného proudu obvodupR= uRi = Uo( 1− et−τ) IR(1 − et−τ2U o) =R(1 − et−τ 2)= PR⎛⎜1−2 e⎜⎝t−τ+ et−2τ⎞⎟⎟⎠pL= uLi = Uoet−τIR(1 − et−τ) = PR⎛⎜ e⎜⎝t−τ− et−2τ⎞⎟⎟⎠p = uooi = UoItR ( −1−eτ) = PR(1 − et−τ)30

pP Re -1 PRp Rp Lp o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τta z nich integrací okamžité hodnoty energiíwR=t∫0pτ= P2RRdξ=∫0R⎛⎜ t2 + 4 e⎜⎝τtP⎛⎜1−2 e⎜⎝t−τ− eξ−τξ−2τ+ e⎞− 3⎟⎟⎠ξ−2τ⎞⎟ dξ= P⎟⎠R⎡⎢ξ+ 2τe⎢⎣ξ−ττ− e2ξt−2τ⎤⎥⎥⎦0=wL=t∫0pLdξ=t∫0PR⎛⎜e⎜⎝t−τ− et−2τ⎞⎟ dξ= P⎟⎠R⎡⎢−τe⎢⎣ξ−ττ+ e2ξt−2τ⎤⎥⎥⎦0τ = P2R⎛⎜1− e⎜⎝t−τ⎞⎟⎟⎠2tttξt− ⎡ − ⎤ ⎛ ⎞⎥ = ⎜ t −w = = − = ⎢ −+ − ⎟o ∫podξ∫P (1 eτR ) dξPRξ τ eττ PReτ1 .⎢ ⎥⎜ ⎟00⎣ ⎦ ⎝τ⎠t0τ ⋅PRww Rw Lw o0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τtPříklad 2.2.Navrhněte řešení, jak omezit velikost napětí spínače S při rozpojení LR obvodu.♦Řešení:31

Příčinou vzniku vysokého napětí je přerušení proudu induktoru. Aby k němu nedošlo, musímek induktoru nebo spínači zařadit paralelně větev obvodu, která právě zajistí, že proudinduktoru nebude okamžitě přerušen. Zaměřme se podrobněji na druhou variantu řešení, kdyke spínači paralelně připojíme rezistor R S .u Si Rsu SR S i St → 0 - t → 0i +Rsu Ri Lu Su SR Si Su Ri LUSR LLu LUSR LLu LPřed rozepnutím spínače je ustálená hodnota proudu obvodui =S (0 − ) = iL(0 − )URL, která jesoučasně počáteční podmínkou obvodu. Rezistor R S je vyzkratován, takže tato větev mánulový proud.Po rozepnutí spínače je chování obvodu popsáno řešením rovnice odvozeným postupem přiLpřipojení LR obvodu k stejnosměrnému zdroji, kde dosadíme za R = R S +R L , τ = aR S + R LUpočáteční podmínku i (0) = iL (0 + ) = iL(0 − ) = , takže získámeRLiR S= iS=UR + RSL(1 − et−τ) +URLet−τ=UR + RSL⎛⎜R1 +⎜⎝RSLet−τ⎞⎟⎟⎠uS= R iS SRSU=R + RSL⎛⎜1+⎜⎝RRSLe− τt⎞⎟⎟⎠uR L= R iL LRLU=R + RSL⎛⎜1+⎜⎝RRSLe− τt⎞⎟⎟⎠utR −S= U − u − u = U eτL S L -RLPo rozepnutí spínače bude na jeho svorkách konečná hodnota napětíuStR U ⎛ R − ⎞SS RS= lim ⎜1+ eτ ⎟ = U .t→ 0 + RS+ R ⎜L R ⎟⎝ L ⎠RL32

Shrnutí pojmů 2.2.Změnu stavu obvodu v důsledku změny topologické struktury obvodu modelujeme spínačem,který má dva provozní stavy. V rozepnutém stavu má nekonečně velký odpor a v sepnutémstavu nemá žádný odpor. Chování LC a LR obvodů je popsáno diferenciální rovnicí 1. řádu.Okamžité hodnoty obvodových veličin v přechodném ději, dané homogenním řešenímdiferenciální rovnice, jsou monotónní, exponenciální funkce, ustálené okamžité hodnotyodpovídají partikulárnímu řešením diferenciální rovnice. Důležitým parametrem přechodnýchsložek průběhů obvodových veličin je časová konstanta obvodu, která udává dobu nárůstu na(1-e -1 )- tinu své ustálené hodnoty nebo dobu poklesu na e -1 -tinu své ustálené hodnoty.Přechodný děj sice teoreticky tvá nekonečně dlouho, ale prakticky končí po uplynutí několikačasových konstant. V okamžiku změny stavu obvodu se kapacitor chová jako ekvivalentnízdroj napětí a induktor jako ekvivalentní zdroj proudu. Rozpojení větve s induktorem má zanásledek naindukování nekonečně velkého napětí na jeho svorkách. Chceme-li tomu zabránit,musíme do obvodu vhodně zařadit paralelní větev, která vytvoří smyčku s proudeminduktoru.Ekvivalentní náhradní zapojení kapacitoru, ekvivalentní náhradní zapojení induktoru,přechodná složka, výkon a energie RC a LR obvodu.Otázky 2.2.1. Jakou diferenciální rovnicí popisujeme chování RC a LR obvodu?2. Jak je definována časová konstanta RC a LR obvodu a jak ji interpretujeme?3. Po uplynutí kolika časových konstant můžeme považovat přechodný děj za ukončený4. Jak se chová kapacitor a induktor v okamžiku změny topologické struktury obvodu?5. Proč ve stejnosměrném RC obvodu dochází po odeznění přechodného jevu k zánikuproudu obvodu?6. Proč se při rozpojení větvě s induktorem objeví na jejich svorkách limitně neomezenáhodnota napětí. Dá se tomu zabránit?7. Jakým způsobem můžeme modelovat derivační a integrační článek?Úlohy k řešení 2.2.1. Určete průběh proudu obvodu na obrázku a nakreslete jeho průběh, je-li spínač obvodustřídavě spínán a rozpínán, tak aby nepřesáhla jeho maximální hodnota úrověň I 2 aminimální hodnota úroveň I 1 proudu, které leží mezi oběma ustálenými hodnotamiproudu obvodu.33

Su SU oR 1R 2L2.3. Řešení obvodů 2. řáduObvod 2.řádu obecně obsahuje rezistory a po jednom z akumulačních prvků, tj. kapacitor ainduktor.RLC obvodŘešme přechodný děj v RCL obvodu na obrázku nahoře. Rovnici popisující přechodný dějsestavíme podle 2. Kirchhoffova zákona pro náhradní schéma dole na stejném obrázku.Předpokládejme, že kapacitor je obecně nabit na napětí u C (0) a proud induktoru má hodnotui(0).iu Su Ru CU oSRCLu LPo sepnutí spínače Su + u + u = URCa po dosazení Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona získámeintegrodiferenciální rovnici1 diR i + i dtL U oC ∫+ = ,dtpo jejímž derivování dostaneme nehomogenní diferenciální rovnici 2. řádu2d i diL + R +2dtdt34LiCodu=dtObecná homogenní rovnice, která popisuje přechodný děj proudu obvodu, má nulovou pravoustranu2d i diiL + R + = 0 .2dtdtCJejí obecné řešení až na integrační konstanty určíme pomocí kořenů charakteristické rovniceo

Kořeny kvadratické rovnice jsouλ1,2− R ±=2 1 1 0 2 1L λ + R λ + λ = L λ + R λ + = 0 .CCR22L− 4LCR= − ±2L35⎛ R ⎞⎜ ⎟⎝ 2L⎠21−LC= −α±2α −ω,kde α je konstanta útlumu a ω o rezonanční úhlový kmitočet, vedený cizím zdrojem. Podlehodnot obvodových parametrů mohou nastat tyto případy kořenů:1) reálné λ2 21,2−α± α − ωo= pro α > ωo,2) dvojnásobný reálný kořen λ1 ,2 = −αpro α = ωo,3) komplexně sdružené kořeny2 22 22 2( ωo−α) = −α± −1 ( ωo−α) = −α± j ωo−α= −αωd1,2= −α± −jλ ±2 2pro α < ωo. Členωd= ωo−αnazýváme vlastním úhlovým kmitočtem obvodu, který je přinenulovém tlumení vždy menší než rezonanční úhlový kmitočet obvodu. Úhlové kmitočtyvlastních a rezonančních kmitů jsou totožné jen při nulovém tlumení obvodu.Obecné řešení homogenní rovnice pro kořeny 1) a 3) má tvara pro dvojnásobný kořenλ1 t λ2tih= C1e + C2eλ1,t( C + C t) e2ih1 2= .di(0)Hodnoty integračních konstant určíme z matematických počátečních podmínek i (0), adtúplného řešení nehomogenní rovnice RLC obvodu. První podmínka je i podmínkou fyzikální,druhou určíme z obou fyzikálních počátečních podmínek dosazených do výchozí rovniceobvodu.Analýzou řešení s dvojnásobným kořenem se nebudeme zabývat, protože ho v praxi nelzerealizovat.Pro integrační konstanty C 1 a C 2 platí následující soustava rovnic1λ1⋅0λ2⋅0+ C2ei ( 0) = C e= C + Cdi(0)λ1 ⋅0λ2⋅0i ′( 0) = = C1λ1e + C2λ2e = C1λ1+ C2λ2,dtjejímž řešením jsou konstantyi(0)λ2− i′(0) i′(0) − λ1i(0)λ1i(0)− i′(0)C 1 =, C 2 == −,λ − λλ − λ λ − λkde pro hodnotu i′ (0)platí21U − R i(0)− uC(0)i′ (0) =.L2112212o

Řešení diferenciální rovnice pro dva reálné kořeny má tvari = −21τ 1 τ 2= −τ −τ1222oα −ω⎡⎛1 U − u⎢⎢⎜ i(0)−⎣⎝τ1 L⎡⎛1 U − u⎢⎢⎜ i(0)−⎣⎝τ1 La pro komplexně sdružené kořeny⎡⎛i = − ⎢⎜2ωj ⎣⎝CC(0) ⎞⎟ e⎠(0) ⎞⎟ e⎠t−τ1t−τ1⎛ 1 U − u−⎜ i(0)−⎝τ2 L⎛ 1 U − u−⎜ i(0)−⎝τ2 LCC(0) ⎞⎟ e⎠(0) ⎞⎟ e⎠U − uC(0) ⎞ −αt jωt ⎛U − u (0) ⎞ ⎤d−αt − jωdt( α − jω) i(0)− ⎟ e e − ⎜( α + jω) i(0)− ⎟ e e ⎥⎦1 CddL ⎠ ⎝Ldkdyž pro zjednodušení zápisu bylo použito následujících vztahů212λ⎛⎝2 22 22 22 − λ1= −α− α −ωo− ⎜−α+ α −ωo⎟ = −2 α −ωo2 22 2 2λ 2 λ1= ⎜⎛−α− α −ωo⎟⋅ ⎞ ⎜⎛−α+ α −ωo⎟⎞= ωo,⎝⎠ ⎝⎠1 1τ 1 = − =,λ21 α − α −ω2oα −ω122oτ 1 τ 21= , τ 1 τ 2 = L C resp.τ −τω= 2oJsou-li počáteční podmínky stavových veličin nulové, tj.se obě řešenít t⎡ − −U τ τ⎤ ⎡2 τ τ⎢2i = e − e ⎥ = I ⎢m1eL τ 1 −τ2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎞⎠t t− −1 τ τt−τ 2t−τ 2⎤⎥⎥⎦⎠⎤⎥ =⎥⎦1 1τ 2 = − =,λ22 α + α −ω2o2ωo 1=2 22 α −ωτo1 −τ2i( 0) = 0 A a u (0) 0 V , zjednoduší−1 1e2⎤⎥⎥⎦C =,.iI m10 τ 1 2τ 1 3τ 1 4τ 1 5τ 1 6τ 1t-I m1ajωdt − jωdtjωt j t U t eUd− ωd−α−−αt−αt[ e − ] = e= e sin( ωdt) = I m3 e sin( ωdt)U −αti = e.2 LωjLω2 j Lωddd36

iI m30T d 2 T d 3 T d 4 T d 5 T d 6 T dtOkamžité hodnoty napětí RCL obvodu získáme dosazením řešení proudové odezvy doOhmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona. Definiční vztahy a jejich grafy proreálné kořeny charakteristické rovnice jsou následujícíuR= R i = RULττ −τ11τ22⎡⎢e⎢⎣t−τ− et−τ⎤ ⎡ τ 1 τ 2⎥ = 2Uα ⎢ e⎥ ⎢τ1 −τ2⎦ ⎣t−ττ 1 τ 2−τ −τ1 21e1 2t−τ2⎤⎥⎥⎦uC=1Ct∫0i dξ=1Ct∫U τ 1 τ 2L τ −τ0 1 2⎡⎢e⎢⎣ξ−τ− eξ−τ⎤ ⎡ τ 2⎥ dξ= U ⎢1+ e⎥ ⎢ τ 1 −τ2⎦ ⎣t−ττ 1−τ −τ1 22e12t−τ1⎤⎥⎥⎦uLdi= Ldt⎛⎜ U τ ⎡1 τ 2d ⎢⎜eL τ 1 −τ2 ⎢⎝ ⎣= Ldtt−τ1− et−τ2⎤ ⎞⎥⎟⎥⎟⎦⎡⎠ τ 1= U ⎢⎢τ1 −τ2⎣et−τ2τ 2−τ −τ12et−τ1⎤⎥⎥⎦uUu Ru Cu Lu o0 τ 1 2τ 1 3τ 1 4τ 1 5τ 1 6τ 1t37

a pro komplexně sdružené kořenyuC=Uu1C2Rt∫0ω= R i = R Ii dξ=2o2dα + ωuL1Ct∫0⎡⎢1− e⎢⎣m3d−αte−αtUeω Lsin−α ξ⎛⎜αsin⎝ ωdU 2 −αtα −αt( ω t) = R e sin( ω t) = 2Ue sin( ω t)dsin⎛⎜Ud edi⎝ ωdL= L = Ldt( ω ξ )ω L 2⎞( ω t) + cos( ω t) ⎟⎥⎥d−αtdtdsindUωdLdξ=Cd( ω t)d⎤⎟⎠⎦⎞⎟⎠= U e⎡ e⎢−⎢⎣−αtd−α ξωd( α sin( ω ξ ) + ω cos( ω ξ)⎡ α⎢−sin⎢⎣ωdd2α + ωd2d( ω t) + cos( ω t)dddd⎤⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎦t0=uUu Ru Cu Lu o0 T d 2T d 3 T d 4 T d 5 T d 6 T dtGrafy obvodových veličin pro dva různé reálné kořeny jsou aperiodické a pro kořenykomplexně sdružené kvaziperiodické. Hodnota parametrů RCL obvodu rozhoduje ocharakteru přechodného děje. Z meze stability obvodu můžeme po dosazení do rovnostiLω o = α odvodit hodnotu tzv. kritického odporu obvodu Rk = 2 , který je rovenCdvojnásobku charakteristického odporu RCL obvodu. Je-li hodnota kritického odporu většínež hodnota odporu obvodu tj. R k > R , je přechodný děj tlumený a kmitavý(kvaziperiodický), je-li menší, tj. R k < R , je nekmitavý (aperiodický).Míru tlumení kvaziperiodického případu RLC obvodu můžeme stanovit z poměru dvou posobě následujících amplitud stejné polarity obvodové veličiny, vztažených vůči její ustálenéhodnotě. Poměr nazýváme dekrement úhlu38

Vm( t m )Δ ==V ( t + T ) VmmdmeV−αm( tme−αt+ Td )sinsin( ωdt m)( ω ( t + T ))dmd=e−αtmee−αt−αTkterý po logaritmování označujeme jako logaritmický dekrement úhluα Td δ = ln Δ = ln(e ) = α T ,dd⎛ 2π⎞sin⎜t ⎟mT⎝ d ⎠⎛ 2πsin⎜( t m + T⎝ Tdpomocí kterého při známé periodě vlastních kmitů T d určíme činitel tlumeníδα = .T dd= e⎞) ⎟⎠α Td,Příklad 2.3.Určete hodnotu činitele tlumení obvodu naměřeného průběhu proudu RLC obvodu.♦Řešení:i (mA)10I m (0,05)I m (0,25)T d0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6t (s)Z digitalizovaného průběhu proudu v časech 0,05 s a 0,25 s, jejichž rozdíl definuje perioduvlastních kmitů obvoduT d= 0,2 s, odečteme hodnoty 1. a 2. amplitudy kvaziperiodickéhoprůběhu proudu. Dekrement úhlu určíme dosazením odečtených hodnotI m (0,05) 9,69Δ = = = & 2,82I (0,25) 3.44ma činitel útlumuln Δ ln 2,82-1α = = = & 5,17s .T 0,2d39

VIRTÁLNÍ LABORATOŘK analýze RC, RL a RLC obvodů pro vámi zvolené parametry obvodu, danépočáteční podmínky stavových veličin obvodu a různé průběhy napájecího zdrojeobvodu můžete použít aplikace 2_1_PrechodnyDejRD.xls,2_2_PrechodnyDejRL.xls, 2_3_PrechodnyDejRLD.xls,2_4_PrechodnyDejRD_AC.xls, 2_5_PrechodnyDejRL_AC.xls,2_6_PrechodnyDejRLD_AC.xls, 2_7_PrechodnyDejRLD_exp.xls,2_8_VlastniKmity_gen1.xls, 2_9_VlastniKmity_gen2.xls,2_10_DerivacniIntegracni_odezva_gen1.xls,2_11_DerivacniIntegracni_odezva_gen2.xls.Shrnutí pojmů 2.3.Chování RLC obvodu je popsáno diferenciální rovnicí 2. řádu. Charakter odezvypřechodného děje závisí na hodnotách parametrů RLC obvodu resp. na hodnotách činiteleútlumu α a rezonančního úhlového kmitočtu obvodu ω o . Platí-li pro parametry rovnostLR = Rk = 2Cresp. ω o = α , řešení charakteristické rovnice má dvojnásobný reálný kořen,kterému odpovídá řešení homogenní diferenciální rovnice s nejkratší dobou trvánípřechodného jevu, a které je mezním případem mezi aperiodickým ( R k < R , ω o < α ) akvaziperiodickým ( R k > R , ω o > α ) řešením rovnice obvodu.V případě kvaziperiodické odezvy RLC obvodu dochází ke vzniku vlastních kmitů obvodu,nezávisle na kmitočtu zdroje. Zajímavá situace nastává při malých hodnotách činitele útlumu,kdy vlastní kmitočet je blízký rezonančnímu a obvod se nachází blízko stavu rezonance, kdyamplitudy napětí kapacitoru resp. induktoru jsou prakticky stejně velké a dosahují násobkuamplitudy napětí zdroje, jenž závisí na činiteli jakosti obvodu.Činitel útlumu, rezonanční kmitočet, vlastní kmitočet, kritický odpor, aperiodická odezva,kvaziperiodická odezva, dekrement úhlu.Otázky 2.3.1. Diskutujte možné případy řešení má charakteristická rovnice RLC obvodu.2. Kolik a jaké matematické počáteční podmínky musíme znát, abychom stanoviliintegrační konstanty obecného řešení diferenciální rovnice RLC obvodu.3. Jaký je vztah mezi fyzikálními a matematickými počátečními podmínkami RLCobvodu?4. Co je to kritický odpor obvodu?5. Můžeme nějakým způsobem zabránit vzniku vlastních kmitů obvodu?6. Závisí kmitočet vlastních kmitů obvodu na kmitočtu zdroje obvodu?7. Na kterém obvodovém prvku se nejvíce projeví přechodná složka řešení RLC obvodu?40

8. Jak určíme činitel útlumu z kvaziperiodické odezvy RLC obvodu?Úlohy k řešení 2.3.1. Lze určit hodnoty obvodových parametrů RLC obvodu, znáte-li hodnotu činiteleútlumu α a úhlový kmitočet vlastních kmitů ω d . Proveďte diskuzi řešení.Klíč k řešeníR2200001. u ( 0 + ) = uC(0 − ) = u R (0 ) =o =10 = 2 V2 − UR + R 80000 + 20000C .1 2t−τ⎛ U o ⎞ λ t U o Ui = ⎜i(0)− ⎟ e + = (1 − e ) + i(0)e⎝ R ⎠ R Ra byl-li induktor bez prouduU−o λ ti = ( 1−e ) = I R (1 − eτ) .RtU o2. Při sepnutém spínači by ustálená hodnota byla I 1u = a při rozepnutém spínači IRt−τ22uU o= ,R + Rtakže v souladu se zadáním platí I 1u> I1, I 2u< I 2 s předpokladem I 1 > I 2 . Při sepnutém spínači je−−Lτ1 τ1časová konstanta τ 1 = pro proud platí rovnice i = I1u( 1−e ) + I 2 e a při rozepnutém spínačiR2−−Lτ 2 τ 2je časová konstanta τ 2 = pro proud platí rovnice i = I 2u ( 1 − e ) + I1e .R + R12tttt12iI 1uI 1I 2I 2u0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τt3. Hodnoty parametrů RCL obvodu nelze obecně určit pouze ze známých hodnot činitele útlumuRα = a vlastního úhlového kmitočtu obvodu ωd=2Lk dispozici pouze dvě rovnice pro tři neznámé parametry.412oω −α2=1 ⎛ R ⎞− ⎜ ⎟LC ⎝ 2L⎠2, protože máme

Zadání samostatné práce č. 2:Nakreslete jednoduchý smíšený obvod s jedním typem pasivního akumulačního prvku advěma rezistory, který je napájen ze skutečného zdroje stejnosměrného napětí, ke kterémubude tento obvod připojen nebo odpojen spínačem a zakreslete do něj počítací šipkyobvodových veličin. Aplikujte Theveninovu větu na větev s akumulačním prvkem,nakreslete ekvivalentní sériový model obvodu, sestavte matematický model obvodu vpřechodném ději a uveďte rovnici odezvy stavové veličiny. Zvolte hodnoty parametrůobvodu a na základě simulace obvodu ve virtuální laboratoři určete časovou konstantuobvodu, počáteční podmínku stavové veličiny a zobrazte její odezvu. Proveďte shrnutízjištěných skutečností. K simulaci použijte aplikace 2_1_PrechodnyDejRD.xls,2_2_PrechodnyDejRL.xls.Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů 1. Skriptum ČVUT Praha1999; kapitola 6[2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 1042

3. DVOJBRANYČas ke studiu: 6 hodinCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• používat šipkovou konvenci dvojbranů a umět je klasifikovat• určit parametry lineárních dvojbranů ze stavů naprázdno a nakrátko• přiřadit ekvivalentní obvodové modely k rovnicím dvojbranu• určit parametry regulárního řazení dvojbranů• určit vztah mezi jednotlivými typy parametrů dvojbranu• definovat ideální transformátor a gyrátor a transformaci zatěžovací impedance navstupní bránu• definovat základní aktivní dvojbrany, energetickou bilanci vstupní brányVýkladObvodový prvek se 4 póly, se dvěma dvojicemi pólů nazývaných brány se společnýmnapětím a proudem nazýváme dvojbranem. Svorky 1, 1‘ nazýváme vstupní a svorky 2, 2‘výstupní viz obrázek. K analýze chování dvojbranu používáme pouze vztahy mezi branovýminapětími a proudy, vnitřní zapojení a veličiny nás nezajímají. Při výkladu se omezme jen napopis dvojbranů pomocí fázorů napětí a proudu vstupní brány Û 1 , Î 1 a výstupní brány Û 2 , Î 2 ,kdy je obvod harmonicky ustáleném stavu.3.1. Popis a rozdělení dvojbranůK popisu dvojbranu máme k dispozici čtyři veličiny, dvě branová napětí Û 1 , Û 2 a dva branovéproudy Î 1 , Î 2 . Ze čtyř veličin můžeme ke zvoleným dvěma nezávislým veličinám přiřadit dvězávislé veličiny celkem 6 způsoby. Existuje tedy 6 modelů dvojbranu. Je-li dvoubran lineárníje obecně definován čtyřmi parametry, přičemž parametry různých modelů dvojbranu lzenavzájem přepočítat.1Î 1Î 221Î 22Û 1PasivnídvojbranÛ 2Î 1AktivníÛ 1Û 2dvojbran1‘2‘1‘2‘Podle energetické bilance rozlišujeme dvojbrany pasivní a aktivní. Pasivní dvojbran mápočítací šipky proudu obou bran orientované dovnitř dvojbranu a počítací šipky napětí odhorní svorky ke svorce dolní. Jelikož je tvořen jen pasivními obvodovými prvky,předpokládáme, že obě jeho brány odebírají energii z vnějšího obvodu, čemuž odpovídá ispotřebičová orientace počítacích šipek obou bran dvojpólu. Aktivní dvojbran má počítací43

šipky proudu obou bran orientované ven z dvojbranu a počítací šipky napětí od horní svorkyke svorce dolní. Jelikož je tvořen i nezávislými zdroji, předpokládáme, že obě jeho bránytrvale dodávají energii do vnějšího obvodu, čemuž odpovídá i zdrojová orientace počítacíchšipek obou bran dvojpólu.Podle typu charakteristik dělíme dvojbrany na lineární a nelineární. U lineárního dvojbranuplatí princip superpozice, žádný parametr dvojbranu není funkcí branových veličin, a protolze pro určení jeho parametrů použít stavy naprázdno a nakrátko. Nelineární dvojbran máparametry závislé na branových veličinách, proto se snažíme podmínku lineárnosti splnitalespoň v jistém okolí tzv. pracovního bodu dvojbranu.Obsahuje-li dvojbran nezávislý zdroj energie, může dodávat trvale energii do obvodu, nazýváse autonomní. Neautonomní dvojbran potom obsahuje pasivní prvky a řízené zdroje, ne všaknezávislé zdroje energie. Příkladem jsou např. tranzistory, operační zesilovače a jiné zesilujícístruktury.Podle topologické struktury dělíme dvojbrany na příčně a podélně souměrné. Na rozdíl odpodélné souměrnosti nemá příčná souvislost vliv na parametry dvojbranu, takže obě bránypříčně souměrného dvojbranu jsou zaměnitelné.Příklad 3.1.Rozhodněte, který z odporových dvojbranů na obrázku je podélně a příčně souměrný.1212RRR2R2R1‘2‘1‘3R2‘♦Řešení:Dvojbran vlevo na obrázku je podélně souměrný, protože má v podélné větvi stejné hodnotyodporů. Tento dvojbran je ale i krajně příčně nesouměrný, protože je vlastně trojpólemmodelovaným dvojbranem, protože má propojené svorky 1‘ a 2‘. Dvojbran vpravo je příčněsouměrný a nezáleží u něj na hodnotách, protože příčná souměrnost nemá vliv na parametrydvojbranu.Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvků, platí pro něj princip reciprocity, což sníží početnezávislých parametrů dvojbranu na tři. Pouze dvěma parametry je určen podélně souměrnýdvojbran.Typické dvojbrany jsou děliče napětí a proudu, zesilovače, zpožďovací články, filtry,derivační a integrační obvody, aj.44

VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEOVýklad základních pojmů dvojbranů ilustrují videa 3_1_Dvojbrany.wmv.3_2_Dvojbrany.wmv.Shrnutí pojmů 3.1.Dvojbran je čtyřpólový prvek, se dvěma branami, vymezenými dvojicemi svorek. Bez ohleduna jeho vnitřní strukturu můžeme jeho vlastnosti vyjádřit vztahy mezi proudy a napětími jehobran. Vlastnosti dvojbranu jsou obecně určeny čtyřmi parametry. Parametry lineárníhodvojbranu určujeme ze stavů naprázdno a nakrátko. Dvojbrany dělíme podle různých hledisekna aktivní a pasivní, lineární a nelineární, autonomní a neautonomní a příčně a podélněsouměrné.Čtyřpóĺ, brána, aktivní dvojbran, pasivní dvojbran, lineární dvojbran, nelineární dvojbran,autonomní dvojbran, neautonomní dvojbran, parametry dvojbran, aktivní prvek, řízený zdroj,příčně souměrný dvojbran, podélně souměrný dvojbran.Otázky 3.1.1. Definujte dvojbran.2. Co je to brána dvojbranu?3. Kolik veličin potřebujeme k popisu dvojbranu?4. Kolika parametry je charakterizován dvojbran?5. Jakým způsobem určíme parametry dvojbranu?6. Na čem závisí volba počítacích šipek dvojbranu?7. Jak dělíme z energetického hlediska dvojbrany?8. Charakterizujte nelineární dvojbran?9. Vyložte pojmy autonomní a neautonomní dvojbran?10. Má záměna bran příčně souměrného dvojbranu vliv na parametry dvojbranu?Úlohy k řešení 3.1.1. Při spotřebičové šipkové konvenci byly zjištěny ve stejnosměrném obvodu veličinyvstupní brány U 1 = 5 V, I 1 = 0,1 A a výstupní brány dvojbranu a) U 2 = 2 V, I 2 = 0,2 Ab) U 2 = 2 V, I 2 = -0,25 A; c) U 2 = -2 V, I 2 = -0,3 A. Posuďte situace z hlediska pasivitya aktivity dvojbranu.45

Impedanční modely (charakteristiky)Za nezávisle veličiny volíme branové proudy Î 1 , Î 2 , závisle veličiny jsou branová napětí Û 1 ,Û 2 a konstantami úměrnosti jsou impedanční parametry Ẑ . Matematický model dvojbranu jeMaticovém tvar je⎡Uˆ⎢ˆ⎣UU ˆ = ZˆIˆ+ Zˆ211121111222IˆU ˆ = ZˆIˆ+ ZˆIˆ.12⎤ ⎡Zˆ⎥ = ⎢⎦ˆ⎣Z1121ZˆZˆ122222⎤ ⎡Iˆ⎥ ⋅ ⎢⎦ˆ⎣Ikde parametry dvojbranu jsou definovány impedanční maticí[ ˆ ]⎡Zˆ⎤11 Zˆ12Z = ⎢ ⎥ ,ˆ ˆ⎣Z21 Z 22⎦která je současně charakteristikou dvojbranu. Každy prvek impedanční matice má rozměr Ω.Parametry impedanční matice jsou nazvány a definovány následovně:vstupní impedanci (naprázdno)Z ˆ11Uˆ=Iˆ11I 2 = 0přenosovou impedanci (naprázdno)Z ˆ21Uˆ=Iˆ21I 2 = 012⎤⎥ ,⎦přenosovou impedanci (naprázdno)Z ˆ12Uˆ=Iˆ12I1= 0výstupní impedanci (naprázdno)ˆUˆ2Z 22 = .Iˆ2 I1=0Obvodový model sestavíme podle 2. Kirchhoffova zákon, kterému odpovídá sériové řazeníobvodových prvků, odtud plyne název impedančního modelu sériově sériový.Î 1Î 2Û 1Ẑ11Ẑ22Z ˆ I12 ˆ2Z ˆ I21 ˆ1Û 247

Příklad 3.2.Určete impedanční parametry dvojbranu T článku z obrázku.1Î 1Î 22Û 1R 1 R 2R 3Û 21‘2‘♦Řešení:Parametry určíme přímou aplikací Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona z definičníchvztahů provstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem Î1Zˆ11Uˆ=Iˆ11I 2 = 0=( Zˆ+ Zˆ)1Iˆ13Iˆ1= Zˆ1+ Zˆ3= R + Rpřenosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudemÎ2Zˆ12Uˆ=Iˆ12I1= 0Zˆˆ3 I=Iˆ22= Zˆ3= R313přenosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem Î1Zˆ21Uˆ=Iˆ21I 2 = 0Zˆˆ3 I=Iˆ11= Zˆ3= R3výstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudem Î 2Zˆ22Uˆ=Iˆ22I1= 0=( Zˆ+ Zˆ)2Iˆ23Iˆ2= ZˆImpedanční matice má parametry[ ˆ⎡R1+ R3R3⎤Z ] =⎥ ⎦⎢⎣R3R2+ R32+ Zˆ3= R2+ R .a odpovídá matici obvodu sestavené metodou smyčkových proudů.348

Smíšený model paralelně sériovýZa nezávisle veličiny volíme branové napětí Û 1 a proud Î 2 , závisle veličiny jsou branovýproud Î 1 a Û 2 konstantami úměrnosti jsou parametry Kˆ . Matematický model dvojbranu jeMaticovém tvar je⎡ Iˆ⎢ˆ⎣UI ˆ = KˆUˆ+ Kˆ121121111222IˆU ˆ = KˆUˆ+ KˆIˆ.12⎤ ⎡Kˆ⎥ = ⎢⎦ˆ⎣K1121KˆKˆ122222⎤ ⎡Uˆ⎥ ⋅ ⎢⎦ˆ⎣ Ikde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí[ Kˆ]⎡Kˆ= ⎢⎢ ˆ⎣K1121která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozměr,ˆK 12 a ˆK 21 jsou bezrozměrné, ˆK 11 má jednotku S a ˆK 22 jednotku Ω.Parametry smíšené matice jsou nazvány a definovány následovně:vstupní admitanci (naprázdno)K ˆ11Iˆ=Uˆ11 I 2 = 0napěťový přenos (naprázdno)K ˆ21Uˆ=Uˆ21 I 2 = 0KˆKˆ1222⎤⎥⎥⎦,12⎤⎥ ,⎦proudový přenos (nakrátko)K ˆ12Iˆ=Iˆ12 U1= 0výstupní admitanci (nakrátko)ˆUˆ2K 22 = .Iˆ2 U1= 0Obvodový model sestavíme podle 1. a 2. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá paralelněsériové řazení obvodových prvků, odkud pochází i název modelu.Î 1Î 2Û 1ˆKK ˆ12Iˆ2ˆ ˆK 22K21Uˆ1Û112Smíšený model sériově paralelníZa nezávisle veličiny volíme branový proud Î 1 a napětí Û 2 , závisle veličiny jsou branovénapětí Û 1 a proud Î 2 a konstantami úměrnosti jsou parametry Ĥ . Matematický modeldvojbranu je49

Maticovém tvar je⎡Uˆ⎢ˆ⎣ I2U ˆ = HˆIˆ+ Hˆ211121111222UˆI ˆ = HˆIˆ+ HˆUˆ.1⎤ ⎡Hˆ⎥ = ⎢⎦ˆ⎣H1121HˆHˆ122222⎤ ⎡ Iˆ⎥ ⋅ ⎢⎦ˆ⎣Ukde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí[ ˆ ]⎡Hˆ⎤11 Hˆ12H = ⎢ ⎥ ,ˆ ˆ⎣H21 H 22⎦která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozměr,Ĥ 12 a Ĥ 21 jsou bezrozměrné, Ĥ 11 má jednotku Ω a Ĥ 22 jednotku S.Parametry smíšené matice jsou nazvány a definovány následovně:vstupní impedanci (nakrátko)H ˆ11Uˆ=Iˆ11 U 2 = 0proudový přenos (nakrátko)H ˆ21Iˆ=Iˆ21 U 2 = 012⎤⎥ ,⎦napěťový přenos (naprázdno)H ˆ12Uˆ=Uˆ12 I1= 0výstupní admitanci (naprázdno)H ˆ22Iˆ=Uˆ22 I1= 0Obvodový model sestavíme podle 2. a 1. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá sériověparalelní řazení obvodových prvků, odkud pochází i název modelu.Î 1Î 2Û 1Ĥ 11H ˆ ˆ 12U2H ˆI21 ˆ1Ĥ Û22 2Kaskádní modelKaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního řazení dvojbranů, ukterých zpravidla předpokládáme přenos energie ze vstupní brány na výstupní bránu, takže.volíme opačný směr proudu výstupní brány, tj. Iˆ′ = −Iˆ. Za nezávisle veličiny volímebranové napětí Û 2 a proud -Î 2 , tj. proud Î ′ , závislé veličiny jsou branové napětí Û 21 a proud Î 1a konstantami úměrnosti jsou parametry  . Matematický model dvojbranu jeUˆ= Aˆ111Uˆ250+ Aˆ122( − Iˆ)22

Pro první dvojbran platí ve stavu naprázdno Iˆ2′ = 0 A , takže i I ˆ.1 = 0 A , na rezistoru nevznikneúbytek, a proto U ˆ2 = Uˆ1 a parametry mají hodnotyAˆ11Uˆ=Uˆ12Uˆ=ˆ1ˆ UI 0 12′ == 1Aˆ21Iˆ=Uˆ12=0ˆˆ UI 0 12′ == 0 .Ve stavu nakrátko platí U ˆ . 0 V , takže ˆ = I ˆ′= U ˆ R a pro parametry platíAˆ12Uˆ1=Iˆ′Uˆ=Uˆ12 U 2 = 0 1 /= RR2 =AˆKaskádní matice dvojbranu je [ ˆ]Pro prostřední dvojbran platí pro22Iˆ1=Iˆ′I 1 2 1Iˆ=ˆ12 U 2 = 0I1⎡1R⎤A = ⎢ ⎥ .⎣01 ⎦= 1 .Iˆ2′ = 0 A , že I ˆ.1 = 0 A a U ˆ2 = Uˆ1 a parametry mají hodnotyAˆ11Uˆ=Uˆ12Uˆ=ˆ1ˆ UI 0 12′ == 1Aˆ21Iˆ=Uˆ12=0ˆˆ UI 0 12′ == 0 .Ve stavu nakrátko platí U ˆ . 0 V , takže I ˆ Iˆ′ → ∞ a pro parametry platí2 =ˆˆ Uˆ1A 12 = lim = 0 ˆ I1AIˆ22 = lim = 1.2′→∞ Iˆˆ′I 2′→∞ Iˆ′2 U 2 = 0Kaskádní matice dvojbranu je [ ]Pro poslední dvojbran platí proAˆ11Uˆ=UˆUˆ=ˆ112 Iˆ2′ = 0U1= 1 Aˆ21Iˆ=Uˆˆ .2 =12 U 2 = 0⎡11⎤ = ⎢ ⎥ .⎣01 ⎦1 = 2Iˆ2 ′ = 0 A , že2 Iˆ2′= 0Uˆ1=RUˆ11= .RUˆ. 1Iˆ 1 = a U ˆ2 = Uˆ1 a parametry mají hodnotyRVe stavu nakrátko platí U 0 V , takže I ˆ Iˆ′ → ∞ a pro parametry plat툈 Uˆ1A 12 = lim = 0 ˆ I1AIˆ22 = lim = 1.2′→∞ Iˆˆ′I 2′→∞ Iˆ′2 U 2 = 0Kaskádní matice dvojbranu je [ ˆ]2 U 2 = 01 = 2⎡ 1 0⎤A = ⎢ 1 ⎥ .⎢ 1⎣ R ⎥⎦Zpětně kaskádní modelZpětně kaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního řazení dvojbranů,u kterých zpravidla předpokládáme přenos energie z výstupní brány na vstupní bránu, takže.volíme opačný směr proudu výstupní brány, tj. Iˆ′ = −Iˆ. Za nezávisle veličiny volíme branové5211

napětí Û 2 a proud –Î 1 , tj. proud Î 1′ , závisle veličiny jsou branové napětí Û 1 a proud Î 1 akonstantami úměrnosti jsou parametry Bˆ . Matematický model dvojbranu jeMaticovém tvar jeUˆIˆ⎡Uˆ⎢ˆ⎣ I2222= Bˆ1121Uˆ11+ Bˆ1222( − Iˆ1)( − Iˆ)= BˆUˆ+ Bˆ.⎤ ⎡Bˆ⎥ = ⎢⎦ˆ⎣B1121BˆBˆ12221⎤ ⎡ Uˆ⎤1⎥ ⋅ ⎢ ⎥ ,⎦⎣−Iˆ1⎦kde parametry dvojbranu jsou definovány zpětně kaskádní maticí[ ˆ]⎡Bˆ⎤11 Bˆ12B = ⎢ ⎥ ,ˆ ˆ⎣B21B22⎦která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek kaskádní matice má jiný rozměr,ˆB 11 a ˆB 22 jsou bezrozměrné, ˆB 12 má jednotku Ω a ˆB 21 jednotku S.Parametry zpětně kaskádní matice jsou nazvány a definovány následovně:napěťový přenos (naprázdno)B ˆ11Uˆ=Uˆ21 I1=0přenosová admitance (naprázdno)B ˆ21Iˆ=Uˆ21 I1= 0přenosová impedance (nakrátko)B ˆ12Uˆ2=− Iˆ1 U1=0proudový přenos (nakrátko)ˆIˆ2B 22 = .− Iˆ1 U1=0Obvodový model zpětně kaskádního dvojbranu neexistuje.Poznamenejme, že pro reciprocitní dvojbrany platí Z ˆ ˆ12 = Z 21 , Y ˆ12 = Yˆ21 , Kˆˆ12 = −K21,Hˆˆ12 = −H21 , A ˆ ˆ ˆ ˆ11 A22− A12A21= 1 a B ˆ ˆ ˆ ˆ11 B22− B12B21= 1 a pro podélně souměrné dvojbranyZ ˆ ˆ11 = Z 22 , Y ˆ11 = Yˆ22 , K ˆ ˆ ˆ ˆ11K22 − K12K 21 = −1, H ˆ ˆ ˆ ˆ11 H 22 − H12H 21 = 1, A ˆ ˆ11 = A22a B ˆ ˆ11 = B22.Shrnutí pojmů 3.2.Ze čtyř branových veličin lze pro dvě závislé proměnné vytvořit, šest matematických modelůdvojbranů, a to admitančni paralelně-paralelní, impedanční sériově-sériově, smíšenýparalelně-sérový, smíšený sériově-paralelní, kaskádní a zpětně kaskádní a pro první čtyřiz nich i obvodové modely. Parametry dvojbranu nejsnáze určíme z jeho stavů naprádno anakrátko. Reciprocitní dvojbrany jsou určeny třemi parametry a podélně souměrné dvěmaparametry. Podmínky reciprocity a souměrnosti jsou různé pro jednotlivé modely. Proreciprocitní dvojbrany platí Z ˆ ˆ12 = Z 21 , Y ˆ ˆ12 = Y21, Kˆˆ12 = −K21 , Hˆˆ12 = −H21 , A ˆ ˆ ˆ ˆ11 A22− A12A21= 153

a B ˆ ˆ ˆ ˆ11 B22− B12B21= 1. Pro podélně souměrné dvojbrany platí Z ˆ ˆ11 = Z 22 , Y ˆ ˆ11 = Y22,K ˆ ˆ ˆ ˆ11K22 − K12K 21 = −1, H ˆ ˆ ˆ ˆ11 H 22 − H12H 21 = 1, A ˆ ˆ11 = A22a B ˆ ˆ11 = B22.Admitančni paralelně-paralelní model dvojbranu, impedanční sériově-sériově modeldvojbranu, smíšený paralelně-sérový model dvojbranu, smíšený sériově-paralelní modeldvojbranu, kaskádní model dvojbranu, zpětně kaskádní model dvojbranu, reciprocitnídvojbran, podélně souměrný dvojbran.Otázky 3.2.1. Je počet matematických a obvodových modelů dvojbranů shodný?2. Z jakých stavů určujeme parametry dvojbranu?3. Je možné nakreslit obvodové schéma kaskádního a zpětně kaskádního modeludvojbranu?4. Jak byste prakticky ověřili princip reciprocity dvojbranu?5. Kolika parametry je charakterizován reciprocitní dvojbran?6. Co musí splňovat dvojbran, aby byl jednoznačně určený dvěma parametry a jak honazýváme?7. Jaká je podmínka podélné souměrnosti kaskádního dvojbranu?8. Který matematický model dvojbranu je charakterizován Ĥ -parametry?Úlohy k řešení 3.2.1. Určete kaskádní parametry dvojbranu z obrázku.12R 1R 21‘2‘3.3. Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranůKaždý z modelů dvojbranu je výhodný pro řešení jiné obvodové situace, proto je výhodnéznát vzájemné vztahy mezi jednotlivými modely.Vztahy mezi imitančními modelyMaticový tvar admitančního modelu zapišme zjednodušeným zápisem[ Yˆ ] [ Uˆ] = [ Iˆ]⋅ .Po vynásobení jeho pravé i levé strany inverzní maticí [ ] 1 ˆ −Y zleva dostaneme54

−1−1[ Yˆ] ⋅[ Yˆ] ⋅[ Uˆ] = [ Yˆ] ⋅[ Iˆ]Jelikož součin inverzní admitanční matice a admitanční matice se rovná jednotkové matici, aprotože platízískáme impedanční model−[ ˆ] = [ Yˆ] 1Z ,[ Uˆ] [ Zˆ] ⋅[ Iˆ]= .Ze známých parametrů admitanční matice získáme vztahy pro výpočet parametrů impedančnímatice srovnáním prvků matic levé a pravé strany[ Zˆ] = [ Yˆ]⎡Zˆ⎢ˆ⎣Z1121−1ZˆZˆ1222⎤⎥ =⎦1YˆPrvky admitanční matice ze znamých prvků impedanční matice získáme formální záměnouduálních prvků, protože oba tyto modely jsou navzájem inverzní, následovně[ Yˆ] = [ Zˆ]⎡Yˆ⎢ˆ⎣Y1121YˆYˆ−11222⎤⎥ =⎦1Zˆ⎡ Yˆ⎢ˆ⎣−Y⎡ Zˆ⎢ˆ⎣−Z22222121.−YˆYˆ11− ZˆZˆ111212⎤⎥.⎦⎤⎥.⎦Vztahy mezi smíšenými modelyAnalogický postup můžeme aplikovat i u smíšených modelů, protože i tyto modely jsounavzájem inverzní, takže pro vzájemné přepočty platí⎡Hˆ⎢ˆ⎣H1121HˆHˆ1222⎤ ⎡Kˆ⎥ = ⎢⎦ˆ⎣K1121KˆKˆ1222⎤⎥⎦−1=1Kˆ⎡ Kˆ⎢⎣−Kˆ2221− KˆKˆ1112⎤⎥ ,⎦⎡Kˆ⎢ˆ⎣K1121KˆKˆ1222⎤⎥ =⎦1Hˆ⎡ Hˆ⎢⎣−Hˆ2221− HˆHˆ1112⎤⎥ .⎦Vztahy mezi kaskádními modelyVzájemné vztahy mezi oběma kaskádními modely nejsou navzájem inverzní, takže postupjejich odvození je poněkud zdlouhavý. Vychází z algebraických úprav rovnic dvojbranů. Tytovztahy lze nalézt v literatuře, stejně jako vzájemné vztahy mezi různými modely.Transformační matice jsou následující⎡Bˆ⎢ˆ⎣B1121BˆBˆ1222⎤⎥ =⎦1Aˆ⎡Aˆ⎢⎢ ˆ⎣A2221AˆAˆ1211⎤⎥ ,⎥⎦⎡Aˆ⎢⎢ ˆ⎣ A2221AˆAˆ1211⎤⎥ =⎥⎦1Bˆ⎡Bˆ⎢ˆ⎣B1121BˆBˆ1222⎤⎥ .⎦55

Příklad 3.4.Z impedančních parametrů dvojbranu T článku z příkladu 3.2 určete transformací parametrůimpedanční matice parametry matice kaskádní. Přepočet ověřte stanovením kaskádníchparametrů ze stavů naprázdno a nakrátko.1Î 1Î 22Û 1R 1 R 2R 3Û 21‘2‘♦Řešení:Impedanční matice má parametry[ ˆ⎡R1+ R3R3⎤] =⎥ ⎦Z ⎢,⎣ R3R2+ R3čímž po dosažení odpovídajících parametrů do transformační matice získáme⎡ R1R1R2⎤2 ⎢1+ R1+ R2+− R ⎤⎥3⎢⎥ = ⎢R3R3A ⎥ .Zˆ⎢ ˆ⎣ ⎥⎦3 ⎣ 12 + 3 ⎦ ⎢ 1221 1 Z RR RR+⎥221⎢⎥⎣ R3R3⎦⎡ ˆ ˆ ⎤ ⎡[ ˆ 1 Z11Z 1 R1+ R3]( R1+ R3)( R2+ R3)= ⎢ ⎥ =Ověření provedeme dosazením do následujících definičních vztahůAˆUˆUˆ1111 = = = 12 I 2 = 0UˆR Uˆ131R + R3R+R13,Aˆ12Uˆ1=− Iˆ2U = 02⎛ R2R3⎞⎜ R ⎟ ˆ1 + IR2R⎝ + 3 ⎠=⎛ R ˆ3 I ⎞⎜ 1− − ⎟R2R⎝ + 3 ⎠1= R + R12R1R+R32,Aˆ21Iˆ=Uˆ12I = 02Uˆ131R1+ R3=R Uˆ1R + R31= ,R3AˆIˆ− Iˆ1122 = == 12U = 02Iˆ⎛ R ˆ3 I ⎞1− ⎜−⎟R2R⎝ + 3 ⎠R+RZe srovnání obou způsobů určení parametrů vidíme, že dávají stejné výsledky.23.56

VIRTUÁLNÍ LABORATOŘK ověření přepočtů číselně daných hodnot parametrů mezi jednotlivými modelydvojbranů můžete použít virtuální laboratoř, aplikaci 3_1_DvojbranyPrevody.xls.Shrnutí pojmů 3.3.Každý ze šesti uvedených modelů jednoznačně charakterizuje dvojbran, ale je výhodný prořešení jiné obvodové situace. Za tímto účelem provádíme přepočty charakteristik dvojbranů.Jelikož imitanční modely dvojbranu jsou navzájem inverzní a podobně i oba smíšené modely,můžeme pouze pro ně použít k vzájemnému přepočtu inverzní matici. Zcela obecně lze naléztvztahy pro přepočet mezi dvojicemi charakteristik dvojbranů algebraickými úpravami rovnictransformovaného modelu dvojbranu a jeho následným srovnáním s modelem, jehožparametry hledáme.Transformace, přepočet charakteristik dvojbranu.Otázky 3.3.1. Který ze zápisů modelů dvojbranů – algebraický nebo maticový je univerzálnější proodvození transformačních vztahů mezi modely dvojbranů?2. Pro které modely dvojbranů nemůžeme použít k vzájemnému přepočtu jejichcharakteristik vlastnosti inverzní matice?3. U některých transformačních vztahů v tabulce nejsou uvedeny všechny prvkytransformované matice modelu, znamená to, že po transformaci se snížil početparametrů definujících dvojbran?Úlohy k řešení 3.3.1. Odvoďte z rovnic dvojbranů vztah pro vyjádření impedančních parametrů dvojbranu zeznámých kaskádních parametrů dvojbranu.3.4. Řazení dvojbranůDva dvojbrany můžeme zapojit celkem 5-ti způsoby – oba vstupy a výstupy paralelně nebosériově, vstup paralelně a výstup sériově, vstup sériově a výstup paralelně a kaskádně, zasebou. Při zapojování dvojbranů, ale musíme dbát na to, aby výsledné zapojení dvojbranůbylo regulární, což znamená, že se jejich spojením nesmí změnit vlastnosti dílčích dvojbranů.Zapojení příčně souměrných dvojbranů je vždy regulární. U dvojbranů s krajní příčnounesouměrností se musíme o regularitě zapojení nejdříve přesvědčit.Paralelní řazení dvojbranů (paralelně paralelní)57

Î 1Î′1Î′2Î 2U′ ˆ1[ Y ˆ′]U ˆ ′2Uˆ1Uˆ2Î ′′1Î ′2U ˆ ′1[ Y ˆ′ ′]U ˆ ′′2Pro zapojení platía podle 1. Kirchhoffova zákonaU ˆ ˆ ′ ˆ ′U ˆ ˆ ′ ˆ ′1 = U1= U1a 2 = U 2 = U 2I ˆ ˆ′ˆ′I ˆ = ˆ′ˆ′.1 = I1+ I1a 2 I 2 + I 2Zapíšeme-li poslední dvě rovnice maticovým zápisem, dostaneme⎡Iˆ⎢ˆ⎣Ikam dosadíme admitanční modely dvojbranučímž dostanemetedy⎡Iˆ⎤1′⎢ ⎥ =⎣Iˆ2′⎦⎡Iˆ⎢ˆ⎣I12⎤⎥ =⎦[ Yˆ′]12⎡Uˆ⎤1′⋅ ⎢ ⎥⎣Uˆ2′⎦⎤ ⎡Iˆ⎤ ⎡ ⎤1′Iˆ1′′⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ,⎦⎣Iˆ2′⎦ˆ⎣I2′′⎦⎡Iˆ⎤1′′, ⎢ ⎥ = [ Yˆ′′ ]⎢⎣Iˆ2′′⎥⎦⎡ ˆ ⎤ ⎡ ˆ ⎤[ ˆ U1′] ⋅ + [ ˆ U1Y Y ′′ ] ⋅ = [ Yˆ]⎢ˆ⎣U2⎥⎦⎢ˆ⎣U2[ Y ] = [ Yˆ′] + [ Yˆ′]⎥⎦ˆ .⎡Uˆ⎤1′′⋅ ⎢ ⎥ ,⎣Uˆ2′′⎦⎡Uˆ⋅ ⎢ˆ⎣U12⎤⎥ ,⎦58

Sériové řazení dvojbranů (sériově sériové)Î 1Î′1Î′2Î 2U′ ˆ1[ Z′ ˆ ]U ˆ ′2Uˆ1Uˆ2Î ′′1Î ′2U ˆ ′1[ Z ˆ′ ′]U ˆ ′′2Toto zapojení je duální k admitančnímu, takže pro tento model analogicky platía podle 2. Kirchhoffova zákonaI ˆ ˆ′ˆ′I ˆ ˆ′ˆ′1 = I1= I1a 2 = I 2 = I 2U ˆ ˆ ′ ˆ ′takže pro výslednou impedanční matici platíU ˆ = ˆ ′ ˆ ′,1 = U1+ U1a 2 U 2 + U 2[ Z ] = [ Zˆ′] + [ Zˆ′]ˆ .Paralelně sériové řazení dvojbranůÎ 1Î′1Î′2Î 2U′ ˆ1[ K′ ˆ ]U ˆ ′2Uˆ1Uˆ2Î ′′1Î ′2U ˆ ′1[ K ˆ ′]U ˆ ′′2Pro zapojení platíU ˆ ˆ ′ ˆ ′1 = U1= U 2 a 2 = I 2 = I 259I ˆ ˆ′ˆ′

a podle 1. a 2. Kirchhoffova zákonaI ˆ ˆ′ˆ′U ˆ = ˆ ′ ˆ ′.1 = I1+ I1a 2 U 2 + U 2Zapíšeme-li poslední dvě rovnice maticovým zápisem, dostanemekam dosadíme smíšené modely dvojbranučímž dostanemetedy⎡ Iˆ⎤1′⎢ ⎥ =⎣Uˆ2′⎦⎡ Iˆ⎢ˆ⎣U12⎤⎥ =⎦⎡ Iˆ⎢ˆ⎣U[ Kˆ′]12⎤ ⎡ Iˆ⎤ ⎡ ⎤1′Iˆ1′′⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ,⎦⎣Uˆ2′⎦ˆ⎣U2′′⎦⎡Uˆ⎤1′⋅ ⎢ ⎥⎣ Iˆ2′⎦ˆ⎢ ⎥⎣Uˆ2′′⎦⎡ I ⎤1′′, = [ K&′′ ]⎡ ˆ ⎤ ⎡ ˆ ⎤[ ˆ U1′] ⋅ ⎢ ⎥ + [ ˆ U1K K ′′ ] ⋅ ⎢ ⎥ = [ Kˆ]⎢ ˆ⎣ I2⎥⎦⎢ ˆ⎣ I[ K ] = [ Kˆ′] + [ Kˆ′]2⎥⎦ˆ .⎡ ˆ ⎤& U1′′⋅ ⎢ ⎥ ,ˆ⎣ I 2′′⎦⎡Uˆ⋅ ⎢ˆ⎣ I12⎤⎥ ,⎦Sériové paralelní řazení dvojbranůÎ 1Î′1Î′2Î 2U′ ˆ1[ H ˆ ′]U ˆ ′2Uˆ1Uˆ2Î ′′1Î ′2U ˆ ′1[ H ˆ ′]U ˆ ′′2Toto zapojení je duální k paralelně sériovému, takže pro tento model analogicky platía podle 2. Kirchhoffova zákonaI ˆ ˆ′ˆ′U ˆ ˆ ′ ˆ ′1 = I1= I1a 2 = U 2 = U 2U ˆ ˆ ′ ˆ ′takže pro výslednou smíšenou matici platíI ˆ = ˆ′ˆ′,1 = U1+ U1a 2 I 2 + I 2[ H ] = [ Hˆ′] + [ Hˆ′]ˆ .60

Kaskádní řazení dvojbranůÎ11Î ′21Î′Î′ Î ′′ 2Î2U ˆU′ ˆ[ A′ ˆˆ U ˆ1′1]21 [ A′ ˆ′ ]U ′ U ˆ ′′2Uˆ2Pro zapojení platíaU ˆ Uˆ ′1 = 1 , 1 = 2I ˆ ˆ′1 = I1, 1 = −I2což můžeme zapsat pomocí maticového zápisu⎡Uˆ⎢ˆ⎣ I11⎤ ⎡Uˆ⎤1′⎥ = ⎢ ⎥ ,⎦⎣ Iˆ1′⎦U ˆ ′ Uˆ ′ , U ˆ2 = Uˆ2′I ˆ′ ˆ′, I ˆ ˆ2 = I 2′⎡Uˆ⎤ ⎡ ⎤1′′Uˆ2′⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ,⎣ Iˆ1′′⎦⎣−Iˆ2′⎦⎡ Uˆ2⎢ˆ⎣ IUžitím kaskádního modelu dvojbranu a dosazením do rovností získáme⎡Uˆ⎢ˆ⎣ I11⎤⎥ =⎦[ Aˆ′]⎡ Uˆ⎤2′⋅ ⎢ ⎥⎣−Iˆ2′⎦a jejich zřetězením díky rovnostitedyPříklad 3.5.⎡Uˆ⎤1′′, ⎢ ⎥ = [ Aˆ′′ ]⎡Uˆ⎢ˆ⎣ I11⎢⎣Iˆ1′′⎥⎦⎤⎥ =⎦⎡ Uˆ2⋅ ⎢⎣−Iˆ2⎤⎥⎦⎡ ˆ[ ˆ⎤′] ⋅[ ˆ U 2A A′′] ⋅ ⎢ ⎥ = [ Aˆ]⎢⎣− Iˆ2⎥⎦[ A ] = [ Aˆ′] ⋅[ Aˆ′]ˆ .⎤ ⎡ Uˆ⎤2′′⎥ = ⎢ ⎥ .⎦⎣−Iˆ′′⎦− 22⎡ Uˆ⎤2′resp. ⎢ ⎥ = [ Aˆ′′ ]⎡ Uˆ2⋅ ⎢⎣−Iˆ2⎢⎣− Iˆ2′⎥⎦⎤⎥ ,⎦⎡ Uˆ2⋅ ⎢⎣−IˆUrčete výslednou matici kaskádně řazených dvojbranů na obrázku a posuďte jeho vlastnosti.2⎤⎥⎦12RR1‘♦Řešení:[ A′ ˆ ][ A′ ˆ ′ ] [ A ˆ′′ ′ ]2‘61

K řešení využijme výsledky příkladu 3.3, kde pro jednotlivé dvojbrany byly určenynásledující kaskádní matice:[ ˆ ⎡1R⎤⎡11⎤A ′] = ⎥ , [  ′′ ] = ⎥ , [ ˆ ′′′ ]⎦ ⎦⎢⎣01⎢⎣01⎡ 1 0⎤A = ⎢ 1 ⎥ .⎢ 1⎣ R ⎥⎦Výslednou matici zapojení dostaneme násobením dílčích matic[ ˆ] = [ Aˆ′] ⋅[ Aˆ′′ ] ⋅[ Aˆ′′′ ]⎡1R⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⋅ 1 1 1 0= ⋅⎢⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ 1 2 RA 1⎥ .⎣01⎦⎣01⎦⎢ 1⎣⎥⎦⎢1R ⎣ R ⎥⎦1Dvoubran je reciproký protože determinat výsledné matice A ˆ = 2⋅1−R = 1 a nesouměrný,Rjelikož Aˆˆ11 ≠ A22, protože 2 ≠ 1.Virtuální laboratořK ověření správnosti stanovených hodnot kaskádních parametrů T-článku a π-článku provámi zvolené hodnoty obvodových parametrů těchto článků a dále i k ověření jejichreciprocity a podélné symetrie můžete použít virtuální laboratoř, aplikace3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls. K analýze kaskádního řazení dvojbranů využijteaplikace 3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls, 3_5_RetezovyClanek.xls.Shrnutí pojmů 3.4.Řazením dvojbranů vznikne nový dvojbran, jehož vlastnosti jsou definovány parametrydílčích dvojbranů. Celkem existuje pět možností zapojení dvojbranů. Výsledné maticezískáme součtem dílčích matic dvojbranů s výjimkou modelu kaskádního, který je dánsoučinem dílčích matic dvojbranů. Zapojení dvojbranů musí být regulární, což je splněnovždy u příčně souměrných dvojbranů. U dvojbranů s krajní příčnou nesouměrností se musímeo regularitě zapojení nejprve přesvědčit.Paralelně-paralelní řazení dvojbranů, sériově-sériové řazení dvojbranů, paralelně-sérovéřazení dvojbranů, sériově-paralelní řazení dvojbranů, kaskádní řazení dvojbranů, regularitazapojení.Otázky 3.4.1. Co rozumíme regulárním zapojením dvojbranů?2. Jakým způsobem můžeme zapojit dva nebo více dvojbranů?3. Proč musíme u zapojení dvojbranů, z nichž je alespoň jeden krajně příčně nesouměrný,zkoumat regularitu zapojení?4. U kterého řazení nemusíme zkoumat regularitu zapojení dvojbranů?5. Které modely dvojbranů jsou definovány součtem matic dílčích dvojbranů?62

6. Jak určíme výslednou matici kaskádně řazených dvojbranů?Úlohy k řešení 3.4.1. Nakreslete případ neregulárního spojení dvou odporových T-článků.3.5. Vybrané dvojbranyNěkteré jednoduché dvojbrany nazýváme degenerované, protože pro ně není možné sestavitvšechny maticové modely. Příklad takového dvojbranu je uveden na následujícím obrázku.12Yˆ1‘2‘Pokud bychom chtěli určit prvky jeho admitanční matice z definičních vztahů, zjistíme, ževlivem zkratování jedněch bran a při napájení druhých bran dvojbranu ze zdroje napětíporostou jeho proudy nade všechny meze, a tím i hodnoty prvků admitanční maticeˆˆIˆ1Y 11 = lim → ∞ , ˆI1Y =→ ∞Iˆ12 lim,1→∞UˆIˆ1→∞Uˆ1 U2= 02 U = 0ˆˆIˆ2Y 21 = lim → ∞ , ˆI 2Y =→ ∞Iˆ22 lim.2 →∞UˆIˆ2 →∞ Uˆ1 U2= 012 U = 0Admitanční matice tohoto dvojbranu není definována, ale ostatní matice dvojbranů tohotoobvodu existují a jsou⎡ 11 ⎤⎢ ⎥[ ] = ⎢YˆZ Yˆ⎡ˆ ⎥ , [ ˆ Yˆ −1⎤⎡ ⎤K ] = ⎥ , [ Hˆ 0 1 ⎡10⎤] = ⎥ , [ A ˆ] = ⎥ , [ ˆ ⎡10⎤] = ⎥⎦ ⎦ ⎦ ⎦⎢1⎢⎣Yˆ1⎥Yˆ⎥⎦⎢⎣10⎢⎣−1avšak impedanční matice je singulární.Yˆ⎢ ˆ⎣Y11B ⎢ ˆ,⎣Y1Ideální transformátorIdeální transformátor má nulové odpory vinutí, dokonalou vazbu mezi primárním asekundárním vinutím (nemá žádný rozptyl), nekonečně velké hodnoty primární indukčnostiL 1 a sekundární indukčnosti L 2 a tím i vzájemné indukčnosti ( M = L 1 L 2 ). Ideálnítransformátor má napětí připadající na jeden závit Uˆ 1Zstejné pro obě vinutí. Napětíprimárního vinutí tak můžeme vyjádřit63

a napětí sekundárního vinutí1ˆ=ˆU1N1U 1ZˆU 2 N 2 U1Z⋅= ⋅ ˆ .MÎ Î1 22N 1 N 2Uˆ1U2 Ẑ2ˆ1‘2‘Jeho jediným parametrem převodní poměrn = Uˆˆ ˆ ˆ = N .1 / U 2 = −I2 / I1N1/Úpravou tohoto vztahu získáme kaskádní rovnice ideálního transformátorua tedy i kaskádní maticiUˆIˆ= nUˆ= nUˆ+ 0⋅(− ˆ ) ,1 2 2 I 2− Iˆ2 ˆ 1= = 0⋅U( ˆ2 + − 2 ) ,n n1 I[ ]⎡n0 ⎤Aˆ = ⎢ 1 ⎥ .⎢0⎣ n ⎥⎦Tento dvojbran je degenerovaný, neboť pro něj není definována admitanční a impedančnímatice. Zbývající matice modelu ideálního transformátoru existují a jsou⎡0⎢1⎢⎣n1 ⎤−⎥0 ⎥⎦⎢ ⎥[ K ˆ ] = n , [ ˆ ⎡ 0 n⎤H ] = ⎥ , [ B]⎦⎢⎣−nIdeální transformátor je bezeztrátový, pro zdánlivý výkon platí6402⎡1⎤ˆ ⎢ 0= n⎥ .⎢ ⎥⎣0n⎦⎛⎞S = UˆIˆ⎜ ˆ⎜ ˆ ⎜ ˆ⎝U⎠ U⎝ ⎝ I ⎠ ⎠ ⎝Vstupní impedance ideálního transformátoru zatíženého impedancí Ẑ 2 je*ˆ * ˆ*1 1 + U 2 2 2 22 22 22 2 =ˆ*2 I ⎟⎟⎜ ⎟22 2⎟⎝ n ⎠⎝ ⎝ n ⎠ ⎠ˆ ˆ*ˆ ˆ** ⎛ ⎞11( ˆ ) ˆ ˆ*1 11 ˆ ˆ*⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜U I⎟U1⎜I1⎟1 ˆ ˆ*⎜ ⎛ ⎞1⎟ˆ ˆ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞− I = U I − = U I ⎟ − = U I n ⎜ ⎟ − = U I ⎜n⎜ ⎟ −1⎟0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ U nU U − Z IZ =1 2 2 2 2 2 2 21 = = = n = n n Z 2 .Iˆˆ ˆ ˆ1 I 2 − I 2 − I 2−nMá tedy stejný charakter jako zatěžovací impedance 2 Ẑ , mění se pouze velikost jejíhomodulu se čtvercem převodu. Této vlastnosti se využívá u přizpůsobovacího transformátoru,kterým se provádí impedanční přizpůsobení zátěže.ˆ⎠

GyrátorGyrátor je bezeztrátový dvojbran, který realizuje inverzi zatěžovací impedance Ẑ 2 . Je popsánrovnicemia tedy i admitanční maticiIˆI ˆ = g Uˆ= 0⋅Uˆ+ g Uˆ,212= −g Uˆ11= −g Uˆ⎡ 0 g ⎤[ ˆ] = ⎥⎦12+ 0⋅UˆY ⎢ ,⎣− g 0kde g je gyrační vodivost. Jeho schematická značka je nakreslena na následujícím obrázku.21Î Î122Uˆ1U2 Ẑ2ˆ1‘2‘Užitím transformačních vztahů z převodní tabulky vidíme, že obě smíšené matice nejsoudefinovány vlivem nulových hodnot prvků Y ˆ11 , Yˆ22 admitanční matice. Gyrátor jedegenerovaný dvojbran, neboť pro něj nejsou definovány smíšené matice, ostatní maticegyrátoru existující a jsou⎡⎢ 0[ ˆgZ ] = ⎢ ⎥ , [ ] ⎢0A ˆ = g⎥ , [ ˆ]⎢ 1⎢⎣g−1 ⎤⎥0⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣g1⎤⎥0 ⎥⎦⎡ 1 ⎤⎢ 0 −B = g⎥ .⎢ ⎥⎢⎣− g 0 ⎥⎦Ideální transformátor je bezeztrátový, neboť pro zdánlivý výkon platíSˆ= UˆIˆ= U2= 2jS*1 1I22+ UˆIˆ*2 2⎛ Iˆ⎜−=⎝ g**( ˆ ) ˆ ˆ*ˆ ˆ * ˆ ˆ*jψI jψ2Ujψ2U jψ2I 2gU 2 + U 2 I 2 = −I2U2 + U 2 I 2 = −I2 e ( U 2 e ) + U 2 e ( I 2 e )jψI − jψ( ) ( )2 U jψ2U − jψjj2 Iψ2U −ψ2 I − ψ2U −ψ2 I 2[ − e e + e e ] = S 2[ e − e ]sin( ψ −ψ).U2I22⎞⎟⎠= 2j S2j( ψ U −ψ) j( )2 I − ψ2U −ψ⎡2 I 2e − e ⎤⎢⎥ =⎢⎣2j ⎥⎦*=Vstupní impedance gyrátoru zatíženého impedancí Ẑ2je− Iˆ2ˆ1 ˆˆU g − I 1 1Z =1221 = = == r22Iˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 gU 2g − Z 2 I 2g Z 2 Z 2165

a jak vidíme, realizuje inverzi zatěžovací impedance, jejíž velikost se mění se čtvercemgyrační konstanty g nebo s její převrácenou hodnotou gyračním odporem r. Významnýmpřípadem je zapojení kapacitoru na výstup gyrátoru, potom bude jeho vstupní impedanceZˆ1 1= ωLe,Zˆ12jωC2221 r = r = jrωC= jkde L e je ekvivalentní hodnota tzv. syntetické indukčnosti. Této vlastnosti se využívá přikonstrukci aktivních filtrů, které obsahují pouze rezistory, kapacitory a zesilovací prvky - tzv.ARC filtry.Aktivní dvojbranyAktivní dvojbrany jsou zvláštní případy imitančních a smíšených modelů dvojbranů, ukterých neuvažujeme v jejich modelech pasivní obvodové prvky a přenos energie z výstupníbrány směrem k bráně vstupní. Jde o tzv. unilaterární dvojbrany, které přenášejí energiijedním směrem. Tyto dvojbrany jsou charakterizovány pouze jediným parametrem a definujíje následující matice⎡ 0 0⎤[ Y ˆ] = ⎥ , [ ˆ⎡ 0 0⎤⎡ 0 0⎤Z ] = ⎥ , [ K ˆ ] = ⎥ , [ ˆ⎡ 0 0⎤] = ⎥ ⎦ ⎦ ⎦ ⎦⎢ ˆ⎣Admitanční matici [ ]Y 210⎢ ˆ⎣Z 210⎢ ˆ⎣K 210H ⎢ ˆ.⎣H 21 0Yˆ odpovídá rovnice I ˆ ˆ ˆ2 = Y21U1, která platí i pro obecné časové průběhynapětí ve tvaru i 2 = y 21 u 1 . V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje prouduřízeného napětím, který je modelem převodníku napětí na proud nebo transadmitančníhozesilovače. Konstanta y 21 se nazývá přenosová admitance nebo strmost a má rozměr S.u 1i 1 = 0 Ai 2u 2Ẑ odpovídá rovnice U ˆ ˆ ˆ2 = Z 21I1, která platí i pro obecné časové průběhynapětí ve tvaru u 2 = z 21 i 1 . V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje napětířízeného proudem, který je modelem převodníku proudu na napětí nebo transimpedančníhozesilovače. Konstanta z 21 se nazývá přenosová impedance nebo transimpedance a má rozměrΩ.Impedanční matici [ ]66

u 1 = 0 Vi 2i 1 u 2Kˆ odpovídá rovnice U ˆ ˆ ˆ2 = K 21 U1, která platí i pro obecné časové průběhynapětí ve tvaru u 2 = k 21 u 1 . V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje napětířízeného napětím, který je modelem ideálního zesilovače napětí. Bezrozměrná konstanta k 21 senazývá napěťové zesílení.Smíšené matici [ ]u 1i 1 = 0 Ai 2u 2Ĥ odpovídá rovnice I ˆ ˆ ˆ2 = H 21 I1, která platí i pro obecné časové průběhynapětí ve tvaru i 2 = h 21 i 1 . V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje prouduřízeného proudem, který je modelem ideálního zesilovače proudu. Bezrozměrná konstanta h 21se nazývá proudové zesílení nebo proudový zesilovací činitel.Smíšené matici [ ]u 1 = 0 Vi 1i 2 u 2Řízené zdroje jsou závislé tzn. že nejsou schopny trvale dodávat energii do obvodu, zajišťujípouze distribuci energie z vnějšího nezávislého zdroje do obvodu. Řídící výkon všechřízených zdrojů p 1 = u 1 i 1 je nulový.Shrnutí pojmů 3.5.Dvojbrany u nichž nelze vytvořit všechny maticové modely nazýváme degenerované. Patřísem všechny dvojbrany definované jediným parametrem. K základním degenerovanýmdvojbranům patří ideální transformátor, gyrátor a řízené zdroje. Důležitou vlastností těchtodvojbranů je, že jsou bezeztrátové. Ideální transformátor je obvodový prvek, který v závislostina převodním poměru mění velikost impedance k němu připojené. Gyrátor je obvodovýprvek, který modeluje inverzi impedance, připojené k jeho výstupní bráně. Velikostimpedance závisí na gyrační vodivosti nebo gyračním odporu. Řízené zdroje slouží67

k modelování zesilovačů nebo převodníků elektrických veličin. Zesilovače jsoucharakterizované převodní konstantou – zesílením, převodníky – transimitancí.Degenerovaný dvojbran, ideální transformátor, gyrátor, unilaterální dvojbran, zdroj proudu řízenýnapětím, zdroj napětí řízený proudem, zdroj napětí řízený napětím, zdroj proudu řízený proudem.Otázky 3.5.1. Kolika parametry je definován ideální transformátor?2. K čemu slouží ideální transformátor?3. Které degenerované dvojbrany jsou bezeztrátové?4. Je ideální transformátor kmitočtově závislý?5. Jak se chová kapacitor připojený k výstupním svorkám gyrátoru?6. Co je to gyrační odpor?7. Kolika parametry je definován model řízeného zdroje?8. Jak nazýváme bezrozměrné konstanty řízených zdrojů?9. Které řízené zdroje jsou spojeny s transimitancemi?10. Jaký je řídící výkon řízených zdrojů?Úlohy k řešení 3.5.1. Určete velikost a fázi vstupní impedance ideálního transformátoru s převodem n = 0,1má-li zatěžovací impedance hodnotu 8+j6 Ω.Klíč k řešení1. Při spotřebičové orientaci je výkon dodávaný do stejnosměrného obvodu definovánvztahem P = P1 + P2= U1I1+ U 2 I 2 . Pro P > 0 se jedná o obvod pasivní, pro P = 0bezeztrátový a pro P < 0 o obvod aktivní. Pro vstupní bránu platí P 1 = U1I1= 5⋅0,1= 0,5 W .Pro výstupní bránu a celý dvojbran platí pro jednotlivé body zadání:a) P = P + U I = 0,5 + 2⋅0,20,9 W , pasivní dvojbran1 1 1=b) P = P + U I = 0,5 + 2⋅( − 0,25) 0 W1 1 1=c) P = P + U I = 0,5 + 2⋅( − 0,3) = 0,1 W1 1 1−2. Ve stavu naprázdno platí pro Iˆ2 ′ = 0 A , žemají hodnoty, bezeztrátový dvojbran, aktivní dvojbran.IˆUˆˆ R= Uˆ , takže parametry. 121 = a U 21R1+ R2R1+ R268

AˆUˆUˆ1111 = == 1UˆR2 ˆ2I 0ˆ2′=U1R1+ R2R+R12,Aˆ21Iˆ=Uˆ12 Iˆ′ = 021Uˆ1R1+ R2=R2Uˆ1R + R21=RVe stavu nakrátko platí U ˆ .2 = 0 V , takže ˆˆ ˆ U1I 1 = I 2′= a pro parametry platíR1AˆUˆ=Uˆ=1112Iˆˆ2′UU = 0 123. Rovnice kaskádního modeluUˆIˆ11= Aˆ1121Uˆ22+ Aˆ1222R1ˆ= R1, ˆ I1A 22 = = 1.Iˆ′( − Iˆ2)( − Iˆ)= AˆUˆ+ Aˆ,2upravíme do tvaru impedančního modeluU ˆ = ZˆIˆ+ Zˆ121121111222IˆU ˆ = ZˆIˆ+ ZˆIˆ,222U = 0tak, že z druhé rovnice kaskádního modelu si vyjádříme napětíˆIˆ+ AˆIˆIˆ1 22 2U 2 == 1 +Aˆˆ21 A211AˆAˆa dosadíme ho do rovnice první2221Iˆ2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AˆU ˆ1 = Aˆ11Uˆ2 + Aˆ12+Aˆˆˆˆˆ ˆ21 A21A21A21A21A21Z následného srovnání odpovídajících prvků plyneˆ ˆ ˆ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ11 22 12 21)Z 11 = A11/ A21, ˆA A − A A AZ 12 ==AˆA ˆˆˆZ 21 = 1/ A21, 22 A22/ A212( ˆA1111 22 21 1211) ˆA11A22ˆ ˆ ˆA11ˆA A − A AˆA− Iˆ ˆ2 = I1+ I 2 − A12I 2 = I1+I 2 = I1I 221Z ˆ = ˆ ˆ .Impedanční matice je tak definována pomocí matice kaskádní takto⎡Zˆ⎢ˆ⎣Z1121ZˆZˆ1222⎤⎥ =⎦1Aˆ21⎡Aˆ⎢⎢⎣111Aˆ⎤⎥.Aˆ⎥22 ⎦212.69

4.12R 1 R 2R 31‘12‘2R 4 R 5R 61‘2‘Zapojením horního dvojbranu s krajní příčnou nesouměrností mění vlastnosti dolníhodvojbranu, protože jeho rezistory R4, R5jsou zkratovány, takže výsledný dvojbran jeneregulární.5. ˆ 2= ˆ 2Z n = 0,1 ⋅( 8 + j6 ) = 0,08 + j0,06 Ω ,1 Z 2ˆ 2= 0,08 + 0,062⎛ 0,06 ⎞Z 1= 0, 1 Ω , ϕ Z 1= arctan⎜⎟ = 36, 87 ° .⎝ 0,08 ⎠Zadání samostatné práce č. 3:Pro zvolené parametry T-článku a π-článku stanovte hodnoty jejich kaskádních parametrů.Na jejich základě ověřte jejich reciprocitu a posuďte podélnou souměrnost těchtodvojbranů. Ke kontrole správnosti řešení použijte virtuální laboratoř, aplikace3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls, 3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls.Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVUTPraha1998; podkapitola 4.1 a 4.3.[2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 8.70

4. PŘENOSY, OBRAZOVÉ PARAMETRY DVOJBRANŮ,ZPĚTNÁ VAZBA, OZČas ke studiu: 6 hodinCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• definovat přenosy souměrného dvojbranu a pochopit jejich význam• definovat obrazové parametry souměrného dvojbranu a pochopit jejich význam• definovat přenosy nesouměrného dvojbranu a pochopit jejich význam• definovat obrazové parametry nesouměrného dvojbranu• definovat základní zapojení obvodů se zpětnou vazbou• modelovat ideální operační zesilovač a definovat jeho vlastnosti• realizovat a popsat základní zapojení s operačním zesilovačem• definovat vliv zpětné vazby na vlastnosti obvoduVýklad4.1. Přenosy dvojbranůMíru vlivu dvojbranu na přenášenou energii mezi zdrojem a spotřebičem posuzujemepřenosy.Přenosy dvojbranů jsou dány přenosovými funkcemi., definovanými obvykle v harmonickyustáleném stavu poměry komplexních efektivních hodnot napětí a proudů vstupních avýstupních bran dvojbranů stejného typu veličin nebo poměry smíšenými. Získáme jeanalýzou modelu přenosové cesty nebo měřením v požadovaném kmitočtovém pásmu.Kmitočtové přenosy jsou definoványa inverzní kmitočtové přenosyP ˆ =ˆXˆXˆXˆXˆ71211G = ,kde X ˆ ˆ1,X 2 jsou příslušné komplexní efektivní hodnoty veličin. Dosazením branových veličindo definičního vztahu získáme následující bezrozměrné přenosynapěťový přenosa smíšené přenosyˆUˆ2P U = , proudový přenosUˆ12ˆIˆ2P I = ,Iˆ1ˆpřenosovou impedanci ˆUˆ2P UI = ( Ω), přenosovou admitanci ˆ− I 2PIU= (S).I ˆUˆ11

Příklad 4.1.Určete napěťový přenos naprázdno a proudový přenos nakrátko Π článku z obrázku, je-lik vstupní bráně připojen harmonický zdroj napětí o úhlovém kmitočtu ω.12RCR1‘2‘♦Řešení:Napěťový přenos naprázdno Π článku je dán přenosem RC článku, protože kapacitor C arezistor R (připojený mezi výstupní svorky) nevzniká úbytek napětí. Z děliče napětí protosnadno určímePˆUUˆ=Uˆ2o1R jωRC= =1 1+jωRCR +jωCÎ 1o1212CCÛ 1 RR Û 2o ≡ Û 1R Û 2o1‘2‘1‘2‘a pro proudový přenos nakrátko z děliče prouduIˆC RCPˆ− 2 jωjωI = = = .Iˆ1 1+jωRC1 + jωCRÛ 11Î 1k-Î 2k Î 1k-Î 2k212CCRR ≡ Û 1 R1‘2‘1‘2‘72

Oba přenosy vyšly stejné, protože Π článek je souměrný.Pro určení impedancí dvojbranu uvažujme přenosovou cestu modelovanou kaskádnímiparametry dvojbranu se zdrojem napětí Uˆ a vnitřní impedancí Ẑ na vstupní stranědvojbranu a zátěžíẐ připojenou k jeho výstupu.siiÛ 1Î 1Û 21-Î 22Û iẐ i[ Â]Ẑs1‘2‘Vstupní impedanci dvojbranu určíme dosazením kaskádních rovnic do Ohmova zákonav symbolickém tvaruˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆU1A11U2 + A12( −I2 ) A11Zs + A12Z 1 = ==IˆAˆUˆ+ Aˆ( −Iˆ) AˆZˆ+ A ˆ .121Pomocí vstupní impedance kaskádního dvojbranu určíme napětí vstupní bránya externí napěťový přenosPˆUˆ2Uˆ122Zˆ1=Zˆ+ ZˆUˆiUˆ7312Uˆ2 2 11Ue = = = PU.Uˆˆ ˆ ˆ ˆi U1U i Z i+Z1Výstupní impedanci dvojbranu určíme aplikací Theveninova teorému na výstupní bránu.Výstupní napětí naprázdno je dáno vztahemUˆ1ˆ1Zˆ1o2o = U1o=U i =U i ,Aˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ11 A11Z i+Z1oA21Zi + A11do kterého jsme dosadili z 1. kaskádní rovnice ve stavu naprázdno za napětíza napětí vstupní brány naprázdnoUˆa za hodnotu vstupní impedance naprázdnoVýstupní proud nakrátko je dán vztahem1o11ˆ2oˆU ˆ = AˆUˆ,1oZˆ= Uˆi .Zˆ1oˆi + Z1oˆˆAZ = .111oAˆ21i21Zˆs122ˆ

Iˆ1ˆ1Zˆ1k2k = U1k= −U i = −U i ,− Aˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ12 A12Z i+Z1kA22Zi + A12do kterého jsme dosadili z 1. kaskádní rovnice ve stavu nakrátko za napětíza napětí vstupní brány nakrátko1k12ˆUˆ= −AˆIˆ,Uˆa za hodnotu vstupní impedance nakrátko1kZˆ=Zˆ1kˆi + Z1k121kAˆ222kˆˆAZ = .Impedanci výstupní brány pak určíme pomocí Ohmova zákonaZˆUˆ1Uˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= .iU 2o A21Zi + A11A22Zi + A122 ==− Iˆˆ ˆ ˆ2k⎛ 1 ⎞ Aˆ 21Zi + A11− ⎜−U ⎟iAˆˆ ˆ22Zi + A12⎝Známe-li vstupní impedanci dvojbranu a parametry náhradního napěťového zdroje jehovýstupní brány, můžeme nakreslit i impedanční náhradní obvodové schéma přenosové cestyi⎠1ˆÛ 1Î 1Û 212-Î 2Û iẐ iẐ 1Ẑ 2Û 2oẐs1‘2‘Příklad 4.2.Určete vstupní impedanci naprázdno a výstupní impedanci dvojbranu z příkladu 1.1. Uvažujte, žeze vstupní strany je dvojbran buzen zdrojem napětí U ˆ1, který nemá žádnou vnitřní impedanci.♦Řešení:Vstupní impedance dvojbranu naprázdno je dánaZ ˆ =Aˆ111oAˆ21a výstupní impedance dvojbranu (vnitřní impedance zdroje Ẑ je nulová)ˆˆAZ = .122Aˆ1174i

Pro stanovení obou impedancí musíme určit konstanty A ˆ ˆ11,Aˆ12 , A21. Konstanta  11 byla jižurčena a je dána inverzním napěťovým přenosem naprázdno v příkladu 1.1, platí tedyAˆ11Uˆ1RCGˆ1 1+jω= = U = = .UˆPˆjωRC2UKonstantu  12určíme ze stavu nakrátko dvojbranuAˆUˆUˆ11 1= =.− IˆjωC UˆjωC12 =2k1Konstantu  21určíme ze stavu naprázdno dvojbranuAˆIˆ=Uˆ2jωCUˆ1+jωRC=jωRCUˆ1+jωRC11o21 =2o12.RDosazením konstant do definičních vztahů určíme vstupní impedanci naprázdnoZˆ1oAˆ=Aˆ11211+jωRCjωRC=2R1+jωRC=2jωCa výstupní impedanci pro vnitřní impedance zdroje Z ˆi = 0 ΩZˆ21Aˆ12 jωCR= = = .Aˆ1 + jωRC1 + jωRC11jωRCZpětná vazbaBlokové schéma zpětnovazební struktury je na obrázku, kde blok S definuje způsob slučováníˆ2zpětnovazebního ˆX z a vstupního ˆX i signálu. Přenos přímé větve je ˆXP a = a zpětné větveXˆ1ˆˆX zP z = . Pro vstupní signál platí XˆXˆXˆi = 1 + z , tedy i XˆXˆXˆ1 = i − z , takže zpětná vazba jeXˆ2záporná. Pro přenos zpětnovazební struktury platídosazením a úpravou přenosuXˆ21PˆPˆ1+PˆPˆa= ,az( Xˆ− Xˆ) = Pˆ( Xˆ− PˆXˆ)= PˆXˆ= Pˆ.aaiZaiZ275

ˆXSiˆX 1ˆˆ XˆX22Pa=Xˆ1ˆX zP ˆ =zXˆXˆz2Typ zpětné vazby posuzujeme podle relace mezi absolutní hodnotou přenosu zpětnovazebnístruktury a absolutní hodnotou přenosu přímé cesty, pro který platíPˆPˆPˆaa= = ≥ Pˆa .1+Pˆˆ ˆ ˆa Pz1+PaPzPro absolutní hodnotu jmenovatele přenosu + P ˆ Pˆ1, je zpětná vazba záporná a pro+ P ˆ Pˆ1 a z≤ 1, kladná.1 a z >Zvláštním případem kladné zpětné vazby, je případ kdy hodnota jmenovatele přenosu Pˆ je1nulová, což nastane, platí-li Pˆz = − . Struktura se dostává na mez stability a produkujePˆavýstupní signál i tehdy, je-li vstupní signál nulový. Stává se zdrojem oscilací, které mohou býtžádoucí, ale i nežádoucí. Jde-li o oscilace žádoucí, mluvíme o oscilátorech nebo klopnýchobvodech, u kterých je podmínka oscilací splněna v širokém pásmu kmitočtů.Roste-li hodnota přenosu přímé cesty nade všechny meze Pˆa → ∞ , jsou vlastnostizpětnovazební struktury (obvodu) určeny výhradně přenosem zpětnovazební cesty ˆP z , takže1platí P ˆ = .PˆzShrnutí pojmů 4.1.Míru přenesené energie z jedné brány dvojbranu k druhé posuzujeme pomocí přenosů.Přenosy jsou definovány v harmonicky ustáleném stavu v kmitočtové oblasti poměrybranových veličin. Nejsou-li veličiny stejného typu mluvíme o přenosech smíšených. Externínapěťový přenos užíváme, je-li dvojbran napájen ze zdroje s nenulovou vnitřní impedancí.Vstupní a výstupní impedanci přenosové cesty a její náhradní obvodový model určímeaplikací Ohmova zákona v symbolickém tvaru, kaskádních rovnic a užitím věty o náhradnímnapěťovém zdroji případně věty o náhradním proudovém zdroji. Zpětná vazba může býtzáporná nebo kladná a definujeme ji podle absolutní hodnoty jmenovatele přenosuzpětnovazební struktury 1 + Pˆa P ˆ . Je-li + P ˆ Pˆ1 jde o zápornou zpětnou vazbu, jinak jde oz1 a z >vazbu kladnou. Zvláštním případem kladné zpětné vazby je nulová hodnota jmenovatele76

přenosu Pˆ , kdy velikosti přenosu přímé a zpětnovazební cesty jsou stejné a fáze se liší o180 °. Zpětnovazební struktura tak produkuje výstupní signál i bez přítomnosti vstupníhosignálu a chová se jako oscilátor. Je-li podmínka oscilací splněna v širokém pásmu kmitočtů,mluvíme o klopném obvodu.Napěťový přenos, proudový přenos, smíšený přenos, přenosová impedance, přenosováadmitance, externí napěťový přenos, vstupní impedance dvojbranu, výstupní impedancedvojbranu, impedanční náhradní schéma přenosové cesty.Otázky 4.1.1. K čemu slouží přenosy a jak jsou definovány?2. Existuje vztah mezi inverzními přenosy a kaskádními parametry dvojbranu?3. Vyložte pojem obrazové přizpůsobení.4. Který model dvojbranu je výhodný pro určení vstupní impedance přenosové cesty?5. Jakým způsobem určíme výstupní impedanci přenosové cesty?6. Nakreslete impedanční model přenosové cesty.7. Podle čeho posuzujeme vlastnosti struktury se zpětnou vazbou?8. Jak byste obecně definovali zápornou a kladnou zpětnou vazbu?9. Jaký typ zpětné vazby využívá oscilátor?10. Definujte klopný obvod?Úlohy k řešení 4.1.1. Určete přenosovou admitanci nakrátko dvojbranu z příkladu 1.1, je-li napájen ze zdrojes vnitřní impedancí Z = 0 Ω .ˆi4.2. Obrazové parametry souměrného dvojbranuObrazová impedance Ẑ o je taková impedance dvojbranu, kdy vstupní impedance dvojbranuẐ 1 je rovna výstupní impedanci Ẑ 2 , takže platíˆ ˆ ˆˆ ˆA11Zo + A12Z 1 = Z o =AˆZˆ+ A ˆ ,ZˆA ˆ = Aˆ21o22ˆ ˆ ˆˆA Z + A= .22 o 122 Z o =Aˆˆ ˆ21Zo + A11Je-li dvojbran souměrný, platí22 11a pro obrazovou impedanci platíZˆoAˆ=Aˆ1121ZˆZˆoo+ Aˆ+ Aˆ121177

a po úpravě a rozšíření pravé strany rovnice členemˆAˆAˆAˆAˆ2 11 12Z o = ,Aˆˆ21 A111111dostanemekde první člen představuje vstupní impedanci naprázdno a druhý vstupní impedanci nakrátko,tedyˆAˆ= ZˆZˆ.12Z o =Aˆ21Obrazová impedance je rovna geometrickému průměru impedancí vstupní brány přinezatížené a zkratované bráně výstupní, čehož využíváme v praxi k jejímu určení.Definujme dále inverzní přenosy při obrazovém přizpůsobení zátěže tj. při.inverzní napěťový přenos platía inverzní proudový přenosGˆGˆoUUˆ=UˆIˆ11o2 Zˆˆs = Zo1oI = .− Iˆ2 Zˆˆs = ZoTyto přenosy jsou při obrazovém přizpůsobení zátěže stejné, neboť platíGˆoIUˆ1Zˆo=⎛ Uˆ− ⎜ −Zˆ⎝Inverzní obrazový přenos je definovánGˆˆ2o⎞⎟⎠Zˆˆs = ZoˆUˆ=Uˆ11k2 Zˆˆs = ZoUˆ1o = GoU= GoI= .Uˆ2 Zˆˆs = ZoDosadíme-li do něj kaskádní napěťovou rovnici, dostaneme= Gˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ U1A11U2 + A12( −I2 ) ˆ ˆ 1 ˆ AG o = == A11+ A12= A11+Uˆˆˆ ˆ2 U 2U 2 Z− Iˆ2oU.12oZ ˆ = Zˆso. Proa po dosazení zaAˆ12Z ˆo = a ˆ ˆ ˆ 2A 12 A21= A 11 −1Aˆ2178

ˆˆ ˆ A21= Aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ11 + A12= A11+ A12A21= A11+ AAˆˆ 2o1112GK obrazovému přenosuˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2A = A A − A A = A ˆ ˆ11 − A A 1).11 22 12 2112 21 =−1(odvozeno zĜodefinujme obrazovou míru přenosu ĝ ovztahemGˆo= Gˆo⋅ ejarg( Gˆo ) gˆo ao+ jbo= e = e =Po logaritmování obdržíme obrazovou míru přenosueaoejbo.gˆo( ˆ jarg( Gˆo )G e ) ln ˆ jarg( ˆo ⋅ = Go+ Go)= a + jb= ln Gˆ= ln,oookde jeho reálná složkaˆUˆ1a o = ln Go= ln =Uˆ2IˆlnIˆje obrazový útlum, který udává míru tlumení přenosové cesty a imaginární složkabo= arg( )⎟ ⎞⎜ ⎛=⎟ ⎞⎜ ⎛ ˆ ˆˆ U1I1Go= arg argUˆˆ2 I 2 ⎠je obrazový úhel přenosu, který udává fázový posun mezi vstupním a výstupním napětímnebo proudem.Hledejme nyní vztah mezi kaskádními parametry a obrazovými parametry dvojbranu.Vyjděme z následujících rovnicˆ gˆo e ˆ ˆ ˆo = A11+ A12A 21G⎝= ,ˆ 2A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ11 − A12A21= ⎜⎛ A11− A12A21⎟⎞⎜⎛ A11+ A12A21⎟⎞ = 1.⎝⎠ ⎝⎠Upravme druhou rovnici s využitím první rovnice do tvaruSoučtem a rozdílem rovnic získámeˆ ˆ ˆ−gˆo⎜⎛ A11 − A12A21⎟⎞ == = = e .gˆo⎝GˆGˆ⎠⎜⎛ Aˆ11 +⎝1Gˆ1Aˆ12Aˆ⎠21⎟⎞⎠12⎝1Gˆgˆ o −gˆ oo + = 2A11= e + e ,1oˆˆgˆ o −gˆ oo − = 2 A12A21= e − e .GˆoUžitím hyperbolických funkcí dostaneme rovnice pro káskádní parametryˆoe1Aˆ22= Aˆ11e=gˆo+ e2−gˆo= cosh( gˆo) ,Aˆ12Aˆ21e=gˆo− e279−gˆo= sinh( gˆo) .

Dosadíme-li druhou rovnici do vztahů pro obrazovou impedanciˆ ˆ ˆ ˆˆA A A AZ =získáme12 21 12 21 12 21o = =neboAˆˆ21 Aˆˆ ˆ A21 A21A2121AˆAˆˆsinh( gˆ)A = ,ˆo21ZˆoA ˆ = Zˆsinh( ˆ ) .12 o g oAˆAˆAˆAˆ12 12 12 12Z o ===Aˆ21 Aˆˆ ˆ12 A12A21Kaskádní matice reciprokého, podélně souměrného dvojbranu vyjádřená pomocí obrazovýchparametrů má tvar⎡ cosh( gˆˆ ⎤o ) Z o sinh( gˆo )A =⎢ 1⎥⎢ sinh( ˆo ) cosh( ˆo ) ⎥.g g⎢ ˆ⎣ Z o⎥⎦[ ˆ]Vstupní impedance naprázdno a nakrátko dvojbranu vyjádřená pomocí obrazových parametrůjsouJejich poměřem získámea po úpravěZˆZˆˆˆA11cosh( gˆo )Z ˆ1o= = = Z o coth( gˆo ) ,Aˆsinh( gˆo )21Zˆoˆ ˆˆA12Z o sinh( gˆo )Z ˆ1k= == Z o tanh( gˆo ) .Aˆcosh( gˆ)1k1oZˆ=Zˆoo22tanh( gˆcoth( gˆootanh()=)otanh( gˆ1tanh( gˆoo)= tanh)1kg ˆo ) = .Zˆ1oZměříme-li na vstupní straně přenosové cesty impedanci naprázdno a nakrátko, můžemepomocí těchto hodnot určit obrazové parametry pasivního, souměrného dvojbranu.Obrazovou impedancijiž z dříve odvozeného vztahuZˆ2( gˆo)AˆAˆ1212Aˆ21a obrazový přenosZ ˆ =oZˆ1oZˆ1k80

⎛ ⎞⎜ Zˆ1k1+⎟⎜ ⎟1 Zˆ1og ˆ = ⎜ ⎟o ln ,2 ⎜ Zˆ⎟⎜1k1−⎟ˆ⎝ Z1o⎠odvozený z relací mezi hyperbolickými funkcemi−2gˆo1 − etanh(ĝ o ) = ,−2gˆo1 + e1 tanh(ĝ )e2 gˆ+o o=1 − .tanh(ĝ )oPříklad 4.3.Určete obrazové parametry dvojbranu z příkladu 4.1.♦Řešení:1UˆCÎ − Î1 Î C2Î R1Î R 2CUˆ1 RR Uˆ22J1‘2‘Odvození kaskádních parametrů proveďme přímou aplikací Kirchhoffových zákonů a užitímOhmova zákona v symbolickém tvaru. 1. kaskádní rovnici určíme pomocí 2. Kirchhoffovazákona( Iˆ− ( − Iˆ)ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1ˆ 1 U 2 1Uˆ ˆ1 = U C + U 2 = I C + U 2 =R 2 + U 2 = + I22 + UjωCjωCjωCR jωC⎛ 1 ⎞ˆ 1= 1 U ˆ⎜ +2 + I 2.jωRC⎟⎝ ⎠ jωCDruhou kaskádní rovnici určíme pomocí 1. Kirchhoffova zákona aplikovaného na řez J arovnice předchozíIˆ= Iˆ+ Iˆ1 R1R 2−( − Iˆ)1 ⎛ 1 ⎞= 2 UˆR⎜ +j RC⎟⎝ ω ⎠22⎛ 1 ⎞1 UˆUˆˆ1 U⎜ +2 ˆj RC⎟⎝ ω ⎠= + + I 2 =R RR⎛ 1 ⎞+ 1 Iˆ⎜ +2.j RC⎟⎝ ω ⎠Parametry kaskádní matice dvojbranu tedy jsou21+ IˆjωC2Uˆ2+R+ Iˆ2=281

A= 1ˆ11 +1jωRCAˆ12 =1jωCAˆ 211 ⎛=⎜2+R ⎝1 ⎞⎟jωRC⎠A ˆ 1= 1 + .22jωRCDvojbran je souměrný, protože platí platí A ˆ ˆ11 = A22, takže lze určit jeho obrazové parametry.Po dosazení příslušných parametrů získáme vztah pro obrazovou impedanciZˆo1Aˆ212 jωCR= ==,Aˆ1 ⎛ 1 ⎞ 1+2jωRC212R⎜ +jωRC⎟⎝ ⎠obrazový přenosGˆ( 1−1 2jωRC)AˆAˆ2 1 ⎛ 1 ⎞1= 11 + 11 − 1 = 1 + + 1 −1= 1+jωRC⎜ +jωRC⎟.⎝ ⎠ jωRCo +2Virtuální laboratořPraktické výpočty obrazových parametrů dvojbranu umožňuje provádět aplikace3_6_ObrazovéParametryDvojbranu.xls.Shrnutí pojmů 4.2.K posouzení vlivu přenosové cesty na přenos energie nebo signálu slouží především napěťovýa proudový přenos. Oba tyto přenosy jsou u obrazově přizpůsobeného dvojbranu stejné adefinujeme pro ně obrazovou míru přenosu, která má dvě složky obrazový útlum a obrazovýúhel přenosu. Obrazově přizpůsobený dvojbran má stejnou hodnotu vstupní i výstupníimpedance, která je rovna hodnotě obrazové impedance. Hodnotu obrazové impedancemůžeme experimentálně určit výpočtem z naměřených hodnot vstupní impedance naprázdnoa nakrátko.Obrazové parametry dvojbranů, obrazová impedance, obrazová míra přenosu, obrazovýútlum, obrazový úhel přenosu.Otázky 4.2.1. Co jsou to obrazové parametry a k čemu slouží?2. Proč máme jen dva obrazové parametry dvojbranu?3. Jaký je vztah mezi napěťovým a proudovým přenosem pasivního, souměrnéhodvojbranu?82

4. Pro jaký dvojbran jsou obrazové parametry definovány?5. Jak můžeme stanovit hodnotu obrazové impedance?6. Jak je definována obrazová míru přenosu?7. Co udává obrazový útlum a úhel přenosu?8. Pomocí kterých funkcí můžeme zapsat obrazové parametry dvojbranu?Úlohy k řešení 4.2.1. Určete obrazovou impedanci odporového dvojbranu z obrázku.12RRR1‘2‘4.3. Operační zesilovačOperační zesilovač je dnes v analogové elektronice nejrozšířenějším funkčním blokem. Jehodiferenční uspořádání je nakresleno na obrázku. Z dvojbranového pohledu je to zdroj napětířízený napětím. Je-li ideální, jsou proudy do řídících vstupů nulové, což znamená, žediferenční odpor mezi neinvertujícím vstupem (+) a invertujícím vstupem (-) je nekonečněvelký, naproti tomu, jak plyne z náhradního schématu, jeho výstupní odpor je nulový. Dalšívlastností ideálního operačního zesilovače je, že má nekonečně velkou hodnotu napěťovézesílení ˆK 21.(+)Uˆ +U ˆ = Uˆd1UˆrUˆ2Uˆ −(–)Výstupní napětí je nejčastěji vztaženo vůči referenčnímu uzlu. Je-li výstupní i vstupní napětívztaženo vůči zemi, jedná se o trojpól a tedy dvojbran s krajní příčnou nesouměrností.V případě obecných časových průběhů vstupních napětí a kmitočtově závislé operační sítěníže odvozené přenosy zachovávají platnost, musíme však provést transformaci komplexníchpřenosů do roviny časové.Pro napětí mezi vstupy ideálního operačního zesilovače U ˆ1 , které také nazýváme diferenční(rozdílové) napětí U ˆ , platí z přenosu řízeného zdroje napětíd83

Uˆd= Uˆ1=Kˆlim21→∞UˆKˆ221= 0 V ,což znamená, že pro rozdíl napětí neinvertujícího a invertujícího vstupu zesilovače platí podle2. Kirchhoffova zákonaa tedy iU ˆUˆ= U ˆ − ˆ+ Ud = 1− =U ˆ+ = U ˆ− .Napětí na invertujícím vstupu a neinvertujícím vstupu ideálního operačního zesilovače jsoustále stejná, a proto hovoříme o tzv. virtuálním zkratu (propojení) - virtuální proto, žediferenční napětí je sice nulové, ale nevtéká žádný proud do vstupů zesilovače, což s výhodouvyužíváme při analýze obvodů s operačními zesilovači v lineárním režimu, kdy existujeúměra mezi vstupním a výstupním napětím zesilovače.0Invertující zesilovač s ideálním operačním zesilovačemInvertující zesilovač získáme doplněním ideálního operačního zesilovače o paralelnínapěťovou zpětnou vazbu zařazením impedance Ẑ 2 mezi výstup a invertující vstupzesilovače a zapojením impedance Ẑ 1 do uzlu s invertujícím vstupem zesilovače podleobrázku.UˆZ 2Î 2Î 1UˆZ 1Î −Ẑ 2–Ẑ 1UˆdÎ +Uˆi+Uˆ2Pro ideální operační zesilovač platíIˆ1= −Iˆ,U ˆ −Uˆ−Uˆ0 ,2Z 1 d i =U ˆ + Uˆ−Uˆ0 .2 d =Z 2Ideální operační zesilovač má diferenční napětí U ˆd nulové (virtuální zkrat), takže pro oběsmyčky platí po aplikaci Ohmova zákona v symbolickém tvaruU ˆ = Uˆ= ZˆIˆ,i2ZZ1U ˆ = Uˆ= ZˆIˆ.Po vyjádření proudů z napěťových rovnic a jejich dosazení za proudy dostaneme2841212

a pro napěťový přenosPˆUˆZˆi1UˆUˆ= −Zˆ2 2U = = − .Uˆˆi Z1Z definice napěťového přenosu plyne, že invertující zapojení zesilovače, pokud je zpětnávazba kmitočtově nezávislá, obrací fázi budícího napětí U ˆi . Zpětná vazba je záporná, protoževýstupní napětí je přivedeno na invertující vstup operačního zesilovače.Vstupní impedanci invertujícího zapojení určíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaruUˆUˆˆ 122ZˆZˆIˆi Z 1 1Z vst = = = =Iˆˆ ˆ1 I1I1a není již neomezeně velká jako diferenční (vstupní) odpor ideálního zesilovače. Výstupníimpedance však zůstává nulová.Zˆ1Příklad 4.4.Určete přenos a vstupní impedanci invertujícího ideálního operačního zesilovače proZˆ 2 =1. Nakreslete schéma zapojení obvodu.jωCZ ˆ 1 = R a♦Řešení:Napěťový přenos a vstupní impedanci získáme dosazením za impedance do odvozenýchvztahůPˆU1UˆZˆ2 2 jωC1= = − = − = − .UˆZˆR jωRCZ ˆ Zˆ= R .ivst = 11R–CUˆi+Uˆ285

Neinvertující zesilovač s ideálním operačním zesilovačemNeinvertující zesilovač získáme doplněním ideálního operačního zesilovače o sériovounapěťovou zpětnou vazbu zařazením impedance Ẑ 2 mezi výstup a neinvertující vstupzesilovače, která s impedancí Ẑ1tvoří dělič napětí proti zemi.UˆZ 2Î 2Î 1UˆZ 1Î −Ẑ 2–Ẑ 1UˆdÎ +Uˆi+Uˆ2Pro ideální operační zesilovač platíU ˆIˆ= −Iˆ.1−Uˆ2+ UˆZ 1 d i =0U ˆ + Uˆ−Uˆ0 .2 Z 1 Z 2=Ideální operační zesilovač má diferenční napětí U ˆd nulové (virtuální zkrat), takže pro oběsmyčky platí po aplikaci Ohmova zákona v symbolickém tvaru a dosazení za proud Î 1a pro napěťový přenosU ˆ = −Uˆ= −ZˆIˆ= ZˆIˆ,iZ1U ˆ+1112( Zˆ1 Zˆ2) I 22 = −UˆZ + UˆZ = −Zˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 I 1 + Z 2 I 2 = Z 1 I 2 + Z 2 I 2 =12( Zˆ+ Zˆ)ˆˆ ˆ ˆ ˆˆUI Z + Z ZP +2 1 2 2 1 22U = == = 1 .Uˆˆ ˆ ˆ ˆi Z1I 2 Z1Z1Z definice napěťového přenosu plyne, že neinvertující zapojení zesilovače, pokud je zpětnávazba kmitočtově nezávislá, zachovává fázi budícího napětí U ˆi . Zpětná vazba je záporná,protože výstupní napětí je přivedeno na neinvertující vstup operačního zesilovače.Vstupní impedance neinvertujícího zapojení je stejná jako diferenční (vstupní) odporideálního zesilovače, čili nekonečně velká a výstupní impedance je nulová.Ideální operační zesilovač je elektronický prvek modelovaný zdrojem napětí řízenýmnapětím, tedy aktivním dvojbranem se závislým zdrojem. Jeho technická realizace, reálnýoperační zesilovač je neautonomní dvojbran, který vyžaduje ke své činnosti externí napájeníze souměrného stejnosměrného zdroje napětí o velikosti napětí ± U N . Z tohoto důvodu jev dalším textu u schematické značky operačního zesilovače kresleno i napájecí napětí, kterése objeví na jeho výstupu, jestliže absolutní hodnota součinu K ˆ U > U , pokud zanedbáme21 ˆ1N86

úbytky napětí. Zesilovač je potom v saturaci a přestává pracovat jako lineární prvek. Kladnésaturaci odpovídá u 2 = + U 2sat = + U N a záporné u 2 = −U2sat = −UN .Astabilní klopný obvodAstabilní klopný obvod, využívá ke své funkci kladnou i zápornou zpětnou vazbu kegenerování výstupního pravoúhlého průběhu napětí klopného obvodu, jehož kmitočet závisína hodnotách parametrů zpětnovazební sítě. Jde o spojení komparátoru a invertujícíhozapojení operačního zesilovače.u Ri 2i 1u−= u Ci −R–+U NCu R1i +R 1Ui u++u R 2–U Nu 2R 2Úrovně, při kterých dochází k změně výstupního napětí komparátoru u 2 cyklicky zesaturační úrovně + U 2sat= + U N na − U 2sat= −UN a z úrovně − U 2sat= −UN na + U 2sat= + U Njsou dány rovnicíR1R2u+ = u2+ U i , kam dosadíme za u 2 = + U 2 sat a u 2 = −U 2 sat .R + R R + R1212Tato hodnota napětí slouží jako počáteční podmínka napětí kapacitoru u C (0).Zápornou zpětnou vazbu operačního zesilovače tvoří RC obvod, jehož odezva je danáskokovou změnou výstupního napětí komparátoru. Uvažujme nejprve chování RC obvoduv přechodném ději při změně výstupního napětí ze záporné saturační hodnoty − nakladnou+ , který je popsán rovnicíU 2 satu + u = u ,RC872U 2 satdo které dosadíme za napětí u R z Ohmova zákona, za proud rovnici kontinuitydq duCi = i1 = i2= = C a výstupní napětí u 2 = + U 2 sat , čímž získáme lineární diferenciálnídt dtrovnici 1. řádudq duR i=dtdtC+ uC= R + uC= RC + uCU 2sat ,

jejímž řešením je rovniceuttt−−−ττ( )τC = U 2sat ( 1−e ) + uC(0)e = U 2sat + uC(0) −U2sate ,kde časová konstanta τ = RC. Počáteční napětí kapacitoru uC(0)má v našem případě hodnotuprvní komparační úrovně U k . Je to minimálně možná hodnota napětí, na kterou se nabije1kapacitor C, což zapíšemeVýsledný tvar řešení rovnice je tedyuu RR( 0)UC+12= U k 1= − U 2sat +i .R1+ R2R1R2t−τ( U −U)tt−−ττC= U2sat( 1−e ) + uC(0)e = U2sat+k 2sate1.Dobu trvání kladného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu T 1 zakončenoupřechodem výstupního napětí do záporné polarity, určíme tak, že za hodnotu napětíkapacitoru u C dosadíme hodnotu druhé komparační úrovněUk 2R12= U 2sat + U i ,R1+ R2R1+ R2která je maximálně možnou kladnou hodnotou, na kterou se může nabít kapacitor C. Napětíkapacitoru dosáhne této úrovně právě v čase t = T1, což zapíšemea po přeskupení členů dostanemea úpraváchT1uC−( T ) = U = U + ( U −U) eτ1k2UUkk212sat−U−U2sat2satk= e1RT1−τ⎛ 2R1+ R2R2⎞⎜ − U 2sat + U i ⎟⎛ U k −U2sat⎞⎜ ⎟ ⎜ R1+ R2R1+ R12 ⎟= τ ln= τ ln⎜ ⎟ ⎜⎟.⎝U k −UR2sat ⎠2R22⎜ − U 2sat + U i ⎟⎝ R1+ R2R1+ R2⎠Dobu trvání záporného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu T 2 zakončenoupřechodem výstupního napětí do kladné polarity, určíme analogickým postupem, kdyžv příslušných rovnicích si vymění pozice komparační úrovně a otočí se znaménka výstupníhosaturačního napětí, takže pro dobu trvání T 2 platíT2⎛ 2R1+ R2R2⎞⎜ U 2sat + U i ⎟⎛Uk + U 2sat⎞⎜ ⎟ ⎜ R1+ R2R1+ R22 ⎟= τ ln= τ ln⎜ ⎟ ⎜⎟.⎝U k + UR2sat ⎠2R21⎜ U 2sat + U i ⎟⎝ R1+ R2R1+ R2⎠Součtem dob T 1 a T 2 dostaneme periodu výstupního napětí astabilního klopného obvodu2satT188

Bude-li napětí⎛ U k − U= + = ⎜1T T1T2τ ln⎝U k − U2nebo2sat2satU⋅Ukk21+ U+ U22⎛⎞⎜ ⎛ 2R1+ R2⎞ ⎛ R2⎞−⎜⎜ U 2sat⎟ +⎜ U i⎟⎜⎝ R1+ R2⎠ ⎝ R1+ R2⎠T = τ ln.2⎜ ⎛ R2⎞ 2 2( ) ⎜⎜⎟ − U 2sat + U i ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝ ⎝ R1+ R2⎠⎠U i= 0 V, potom se vztah pro periodu T zjednoduší na tvar⎛⎜ ⎛ 2R1+ R2−⎜⎜ U⎜⎝ R1+ R2T = τ ln⎜ ⎛ R2⎜ −⎜ U⎝ ⎝ R1+ R2a pro R 1 = R2je T 1 = T2, perioda má hodnotu2sat2sat⎞⎟⎠⎞⎟⎠22T = 2τ ln( 3)2sat2sat⎞⎟⎠⎞⎟⎟ ⎛ 2R1+ R⎟ = 2τln⎜⎟ ⎝ R2⎟⎠a astabilní klopný obvod generuje pravoúhlé napětí se střídou 1:1.2⎞⎟⎠u+0T/2 T tu-U 2satU k20U k1T/2 T t-U 2satu20 T/2Tt89

Virtuální laboratořK analýze a studiu chování obvodů s operačním zesilovačem použijte aplikace4_1_InvertujiciOZ.xls, 4_2_InvertujiciOZ_derivacni.xls,4_3_InvertujiciOZ_integracni.xls, 4_4_AstabilniKlopnyObvod.xls,4_5_NeinvertujiciOZ.xls, 4_6_Komparator.xls, 4_7_KmitoctovePrenosy_OZ.xls.Shrnutí pojmů 4.3.Zápornou zpětnou vazbu využíváme u operačního zesilovače k realizaci jeho invertujícího aneinvertujícího zapojení. Pokud není výstup zesilovače v saturaci vstupní napětí je úměrnévýstupnímu napětí. Zesílení obvodu s ideálního operačním zesilovačem je dáno vlastnostmizpětnovazební sítě, protože má nekonečně velké zesílení. Neomezené zesílení má za následeki nulové diferenční (rozdílové) napětí mezi jeho neinvertujícím a invertujícím vstupem.Kromě nulového diferenčního napětí, nazývaného také virtuálním zkratem, má ideálníoperační zesilovač nulové proudy do vstupů a tím i nekonečně velký vstupní odpor. Jehovýstupní odpor je nulový, protože obvodovým modelem je zdroj napětí řízený napětím.Operační zesilovač bez zpětné vazby nazýváme komparátorem. Je-li diferenční napětí kladné,je i výstup zesilovače v kladné saturaci. Při záporném diferenčním napětí je výstup zesilovačev záporné saturaci. Zavedením kladné zpětné vazby komparátoru se zavede hystereze dopřeklápění výstupního napětí. Současné zavedení kladné i zpětné vazby využíváme přirealizaci astabilního klopného obvodu, u něhož kmitočet výstupního pravoúhlého napětízávisí na parametrech kladné i záporné zpětné vazby. Pokud je zapojen zdroj napětís nenulovou hodnotou v obvodu kladné zpětné vazby je střída, čili poměr kladné a zápornéčásti periody výstupního pravoúhlého napětí astabilního klopného obvodu různý od 1:1.Výstup operačního zesilovače je v saturaci, překročí-li vlivem velkého zesílení diferenčnínapětí reálného zesilovače hodnotu jeho souměrného napájecího napětí.Ideální operační zesilovač, zdroj napětí řízený napětím, diferenční napětí, virtuální zkrat,neinvertující vstup, invertující vstup, neinvertující zapojení operačního zesilovače, invertujícízapojení operačního zesilovače, komparátor, komparátor s hysterezí, astabilní klopný obvod,střída, saturace operačního zesilovače.Otázky 4.3.1. Jaké jsou vlastnosti ideálního operačního zesilovače?2. Co je to virtuální zkrat?3. Čím jsou určeny přenosové vlastnosti obvodu s ideálním operačním zesilovačem?4. Kterou zpětnou vazbu vyžíváme u invertujícího a neinvertujícího zapojení operačníhozesilovače?5. Jak se liší zesílení invertujícího a neinvertujícího operačního zesilovače?6. Jak nazýváme komparátor s operačním zesilovačem?7. Jaký vliv má kladná zpětná vazba na funkci komparátoru?90

8. Kterou zpětnou vazbu vyžíváme u astabilního klopného obvodu?9. Na čem závisí kmitočet výstupního napětí astabilního klopného obvodu?Úlohy k řešení 4.3.1. Určete velikost výstupního napětí obvodu s reálným operačním zesilovačemzapojeném v neinvertujícím zapojení, který je napájený ze symetrického zdroje napětío velikosti ± 15 V pro hodnotu odporu rezistoru R 1= 10 kΩa hodnoty odporů rezistorua) R 2 = 100 kΩa R 2 = 150 kΩb) při hodnotě vstupního stejnosměrného napětí 1 V.Předpokládejte, že pro diferenční odpor zesilovače R d platí, že R d >> R1, R2a prozesíleníRA d >> 1+1. R2Klíč k řešení1. Proud nakrátko je obecně definován1− Iˆˆ2k =U i , takže pro ˆ 1Z = 0 ΩAˆZˆ+ Aˆi platí − I ˆ ˆ2k = U i , ale U ˆ1 = Uˆi .Aˆ22iPřenosová admitance nakrátko je122. Dvoubran má hodnoty kaskádních parametrůPˆ121Uˆi− IˆAˆ2k 12 1 1= = = = jωC.UˆUˆAˆ11i 12jωCIU =ˆ ˆ ˆˆ U1U1U1UˆUˆUˆA 11 = = = = 2 , Aˆ11112 = == = 3R,UˆR ˆˆ2o UU1− IˆR Uˆ1 Uˆ2k111R + R 2R + R RR 2 3R +RR + R 2AˆUˆ11UˆUˆ1 1RR 3IˆR R 2R1ˆ R +R1o= =+= , ˆ I1kA222 = =R + R= = 2 .UˆUˆUˆRˆˆ 1 12o 1 1− I 2k R U12 2R + R RR 2 3R +RR + R 221 =Je souměrný A ˆ ˆ11 = A22a obrazoví impedance jeAˆRZˆ12 3o = = = 3R.Aˆ121R91

3. Jelikož R d >> R1, R2aRA d >> 1+1můžeme zesilovač považovat za ideální. Zesilovač jeR2buzen stejnosměrně, takže ho můžeme popsat stejnosměrnými veličinami a nemusímeU 2 R2používat k popisu fázory, takže pro přenos zesilovače platí P U = = 1 + .U Ri1R 2–+U NR 1U dU i+–U NU 2⎛ R2⎞ ⎛ 100000 ⎞a) U 2 = ⎜1 +⎟ U i = ⎜1+ ⎟⋅1= 11V, U d = 0 V ,⎝ R1⎠ ⎝ 10000 ⎠⎛ R2⎞ ⎛ 150000 ⎞b) U 2 = ⎜1 +⎟ U i = ⎜1+ ⎟⋅1= 16 V , ale U 2 > U N , takže U 2 =15 V a U d ≠ 0 V .⎝ R1⎠ ⎝ 10000 ⎠Zadání samostatné práce č. 4:Nakreslete obvodový model dvojbranu ve tvaru T nebo Π článku. Zvolte komplexníhodnoty imitancí větví zvoleného článku, tak aby byl podélně nesouměrný, nakresletejeho blokové schéma, do kterého zakreslete počítací šipky branových veličin, uveďtesymbol kaskádního modelu dvojbranu, pomocí virtuální laboratoře určete hodnotykomplexní kaskádní matice dvojbranu, sekundární parametry dvojbranu a popištedvojbran kaskádními rovnicemi ve vlnovém tvaru. Dále pomocí virtuální laboratoře určetekomplexní vstupní a výstupní obrazové impedance dvojbranu. Poté uvažujte, že tytoobrazové impedance jsou připojeny k výstupním svorkám dvojbranu a určete komplexníhodnoty vstupní impedance dvojbranu. Vypočtené hodnoty uveďte přehledně do tabulek aposuďte. Použijte aplikace virtuální laboratoře 3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls,3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls, 3_6_ObrazovéParametryDvojbranu.xls.Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.:Základy teorie elektrických obvodů 2. Skriptum ČVUTPraha1998; podkapitola 4.2, 4.4 a 4.5[2] Punčochář, J.: Operační zesilovače - historie a současnost. BEN - technická literatura,Praha 2002, kapitola 3[3] Punčochář, J.: Operační zesilovače v elektronice. BEN - technická literatura, Praha 1996až 2002 (1. až 5. vydání), čl. 2192

5. OBVODY S PROMĚNNÝMI PARAMETRY. FÁZOROVÉČÁRY, AMPLITUDOVÉ A FÁZOVÉCHARAKTERISTIKY, BODEHO METODAČas ke studiu: 6 hodinCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• vhodným způsobem modelovat změny parametrů obvodových prvků a zdrojů anakreslit přímkové hodografy impedancí a admitancí (fázorové čáry)• sestrojit hodograf (fázorovou čáru) admitance (impedance), známe-li přímkovýhodograf impedance (admitance)• aplikovat nově získané poznatky a i na změny frekvence - kmitočtové charakteristiky• sestrojit kmitočtové asymptotické charakteristiky (Bodeho)VýkladZměny velikosti obvodových parametrů v harmonicky ustáleném stavu reprezentujemev komplexní rovině souborem fázorů, jejichž koncové body se pohybují po křivkách, ježnazýváme fázorovými čarami nebo hodografy. Označíme-li změnu parametru reálným číslemp, můžeme popsat změnu odporu R = p R 0 , kapacity C = p C 0 , indukčnosti vlastní L = p L 0 ,případně změnu parametru nezávislého nebo řízeného zdroje např. kmitočtu ω = pω 0 .Indexem 0 je označena vztažná hodnota parametru, což může být např. jmenovitá hodnota,rezonanční úhlový kmitočet nebo jiná hodnota parametru. Funkční závislosti parametru pzkoumáme pomocí komplexní funkce reálné proměnné F ˆ ( p ) , kterou můžeme zapsat vesložkovém tvaruF ˆ ( p)= Re{ Fˆ ( p)}+ jIm{ Fˆ ( p)},a zobrazit hodografem nebo zapsat ve tvaru exponenciálnímˆ ˆ jarg( F ˆ ( p)F ( p)= F(p)e )a zobrazit amplitudovou (modulovou) charakteristikou F ( p)= F ˆ ( p)a fázovou⎛ ⎞⎜Im{ ˆˆ F(p)ϕ (.charakteristikou ( )⎟ P = arg F p)= arctan⎜ ˆ⎝ Re{ F(p)⎠Fázorové čáry jsou orientované, takže jim přiřazujeme orientaci pomocí šipky. Kladnáorientace odpovídá nárůstu hodnot parametru p. Opatřujeme je kvůli odečtu hodnot parametrup parametrickou stupnicí, která je v některých případech nelineární.Grafickou podobu funkce můžeme získat stanovením funkčních hodnot pro dostatečný počethodnot parametru p z požadovaného intervalu, ať už zobrazujeme hodograf či amplitudovou afázovou charakteristiku. Tento postup je v době masového využití výpočetní techniky snadnorealizovatelný a jediný možný u složitějších obvodů. V jednodušších případech obvodů93

můžeme využít i geometrické konstrukce, neboť hodografy jsou většinou přímky nebokružnice, pro které lze jednoduše konstruovat i parametrické stupnice.Základními hodografy či přesněji fázorovými čárami jsou impedanční charakteristiky Z ˆ(p ) aadmitanční charakteristiky Y ˆ(p ) , ze kterých užitím zobecněného Ohmova zákona můžemesnadno odvodit hodografy napětí a proudu ze vztahůU ˆ ( p)= Zˆ(p)Iˆ(p)a I ˆ(p)= Yˆ(p)Uˆ( p)ˆ *a z jejich součinů i hodografy výkonů ˆ ˆ*S ( p)= U ( p)I ( p)= Uˆ( p)Iˆ(p).5.1. Hodograf jednoduchého obvodu s proměnným parametremPříklad obvodu s proměnným parametrem si ukažme na obvodu s proměnným induktorem asériově zařazeným rezistorem R s nenulovou hodnotou odporu.Rezistor a proměnný induktor v sériiImpedanční charakteristika tohoto obvodu jeZ ˆ(p)= R + jω p L + X ,Û(p)0 = R p jL 0Î(p)Û R (p)Û L (p)RpL 0kde L 0 a X L je vztažná hodnota indukčnosti a její reaktance. Je to polopřímka, které můžeme0využít k stanovení měřítka parametrické stupnice, která je lineární. Měřítko parametrickéstupnice je dané hodnotami impedanční charakteristiky Ẑ(0)a Ẑ (1)viz obrázek.Admitanční charakteristika je inverzní k charakteristice impedanční1Yˆ(p)= =Zˆ(p)R +1jωp L01=R + p jXL0=R2+R02 2( p X ) R + ( p X ) 2Je to rovnice kružnice, jejíž poloha v komplexní rovnice je určena třemi body, které nejsnázezískáme pro tzv. hlavní hodnoty parametru p = 0, p = 1 a p → ∞L0− jp XYˆ 1R X L0(0) = , Yˆ(1)= − j , Y ˆ ( ∞)02 2 2 2RR + X R + X= .L0L0LL0.94

k 1Yˆ ( ∞ )SYˆ(0)+jZ ˆ(p )4332Yˆ(1)1Yˆ ( p )+121R 11R 2k 2 2Ẑ(1)Ẑ(0)1-jR+1Parametrická stupnice umístěná po obvodu půlkruhu je nerovnoměrná. Linearizujeme ji tak,že ji promítneme na polopřímku s rovnoměrným dělením stupnice užitím geometrické inverzevůči středu inverze, který leží v bodě s hodnotou Y ˆ(∞ ) . Půlkružnice a jí odpovídající inverznípolopřímka jsou inverzní vůči řídicí kružnici k 1 se středem v bodě Y ˆ(∞ ) a libovolnýmpoloměrem R 1 , přičemž polopřímku získáme spuštěním kolmice z průsečíku řídící kružnice apůlkružnice hodografu Y ˆ(p ) na spojnici středu inverze Y ˆ ( ∞)a středu kružnice S. Tím, žepoloměr řídící kružnice je libovolný, může být kolmice vztyčena v libovolném místěz průsečíku řídicí kružnice a půlkružnice. Neexistuje-li tento průsečík, konstrukci provedemepomocí řídicí kružnici k 2 postupem naznačeným na obrázku. V bodě Y ˆ(0)vztyčíme kolmici av místě jejího průsečíku s kružnicí k 2 sestrojíme tečnu ke kružnici. V místě, kde tato tečnaprotne polopřímku určenou bodem s hodnotou Y ˆ(∞ ) a středem kružnice S leží parametrickápřímka, která je na ni kolmá. Střed půlkružnice S stanovíme geometrickou konstrukcí obecněz průsečíku os tětiv daných dvojicemi bodů určených hodnotami Y ˆ(0), Y ˆ(1)a Y ˆ(1), Y ˆ(∞ ) .Měřítko parametrické stupnice určíme promítnutím hodnot Y ˆ(0), Y ˆ(1)do inverzní přímky zestředu inverze Y ˆ(∞ ) . Nula parametrické stupnice přímky tedy leží na polopřímce začínajícíbodem Y ˆ(∞ ) a procházející středem kružnice S.Při napájení tohoto obvodu ze zdroje s konstantními parametry získáme připojenímproudového zdroje I ˆ(p)= I ˆ hodograf napětío( R + j p L ) Iˆ= R Iˆ+ j p X Iˆ= UˆUˆ( p)U ˆ ( p)= Zˆ(p)Iˆ= ω ω+ ,o 0 oL0oRLkterý bude po podělení velikostí prouduI = Î totožný s hodografem impedančníoocharakteristiky Z ˆ(p ) . Pokud zavedeme měřítko impedance mZ dané velikostí impedance Ẑpřipadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf U ˆ ( p ) totožnýs hodografem Z ˆ(p ) , jak plyne z Ohmova zákona, při měřítku napětí mU = m Z I o .95

Podobně při napájení tohoto obvodu z napěťového zdrojedanýIˆ(p)= Yˆ(p)UˆoUˆo=R + jωp L0⎛⎜= ⎜R⎝2+RU ˆ ( p)= Uˆbude hodograf proudu02 22 ⎟ o( p X ) R + ( p X ) L0− jop XLL0⎞⎟Uˆ⎠+jRZ ˆ(p )a po podělení velikostí napětí4321( p)31Yˆ ( p )221-j(U ) I ˆ(p )13U) p ) +1R2U = Uˆ bude totožný s hodografem admitančníoocharakteristiky Y ˆ(p ) . Zavedeme-li měřítko admitance mY dané velikostí admitance Yˆpřipadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf I ˆ(p ) totožnýs hodografem Y ˆ(p ) , jak plyne z Ohmova zákona, při měřítku proudu mI = m Y U o . Podobněhodograf napětí rezistoru U ( p)po podělení velikostí součinu RUˆ resp. při měřítku napětím U = R m I = m Y R U o splyne s hodografem ˆ(p )ˆR+1UˆRY1o = Yˆ(p)RUˆˆo =RU oR + jpX L( p)= R Iˆ(p)= RYˆ(p)Uˆ.Stejné měřítko napětí má i hodograf napětí induktoru, protože z 2. Kirchhoffova zákona platíUˆL( p)= Uˆ= jpXL0o− UˆIˆ(p)R( p)= Uˆo− Yˆ(p)R Uˆ=( 1 − Yˆ(p)R)Uˆo⎛ R=⎜1−⎝ R + jp X00⎞Uˆ⎟⎠ojp X L0=R + jp XL0Uˆo=Ra po rozšíření posledního členu rovnice podílem , získáme rovniciRˆR p X L0U ( ) j ˆ( ) j ˆL p = p X L I p = U R ( p),0R R96

ˆLze které vidíme, že napětí U ( p)je natočeno o 90° vůči napětí U ( p)a že jeho velikost jep X L0p Xnásobkem velikosti ˆ L0U R ( p). Protože podíl je bezrozměrný, mají obě napětíRRstejné měřítko.ˆR+jUˆL( p)UˆoUˆR( p)UˆL( p)+1Uˆo+1UˆR( p)-jHodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu při napájení z proudového zdroje je dán rovnicí( R jpX ) 2 L I o2**o = Zˆ(p)Iˆˆ ˆo I o = Zˆ(p)I o =0S ˆ(p)= Uˆ ( p)Iˆ+ ,ze které vidíme, že po podělení kvadrátem efektivní hodnoty prouduměřítka výkonu m S = m Z I je totožný s hodografem Z ˆ(p ) .2o2I o nebo po zavedeníPodobně hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu při napájení z napěťového zdroje je dánrovnicíSˆ( p)**2 ⎛**** *1 ⎞2= Uˆo Iˆ( p)= Uˆo Iˆ( p)= Uˆo( Yˆ(p)Uˆo) = Yˆ( p)Uˆˆ ˆ ˆo U o = Y U⎟o = ⎜U o .⎜ R + jpX⎟LK jeho konstrukci musíme sestrojit komplexně sdružený hodograf k Y ˆ(p ) , což je v našempřípadě půlkružnice zrcadlově překlopená kolem reálné osy nebo můžeme použít hodografY ˆ(p ) , s tím, že fázový posun mezi napětím a proudem budeme orientovat opačným směremtj. ve směru hodinových ručiček, tedy od napětí zdroje U ˆ k proudu obvodu I ˆ(p ) . Potom i2v tomto případě po podělení kvadrátem efektivní hodnoty napětí U o nebo po zavedeníměřítka výkonu m S = m Z U bude hodograf S ˆ(p ) totožný s hodografem Y ˆ ( p)resp. Y ˆ * ( p )2oo⎝0⎠Příklad 5.1.Určete a nakreslete hodograf proudu a obou napětí sériového zapojení rezistoru R a proměnnéhokapacitoru se vztažnou hodnotou C 0 ..♦Řešení:97

Náhradní schéma obvodu s počítacími šipkami je nakresleno na obrázku.Û(p)Î(p)Û R (p)Û C (p)RpC 0Admitanční charakteristika je dána rovnicí21 11p pR + jXC p R p X0C0Yˆ(p)= ====+ j,ˆ( ) 1 12 22 2Z ppR − jXjjC pR + XR + R − XC ( p R) + X C( p R)+ X000C0C0jωp C0ppro p ∈( 0, ∞). Hlavní hodnoty charakteristiky jsou pro hodnoty parametru p = 0, p = 1 ap → ∞Yˆ(0)= lim Yˆ(p)= limp→0p→0p2R+ j2 2( p R) + X ( p R)C0p X2C0+ X2C0= 0 ,Yˆ(1)= limYˆ(p)= limp2R2 22 2 2 2 2 2( p R) + X ( p R) + X R + X R Xp →1p→1CCC +0+ jp XC00=R0+ jXC0C0,Yˆ(∞)= lim Yˆ(p)= limp→∞p→∞p2R+ jp X1= .2 22 2( p R) + X ( p R) + X RC0Hodograf proudu při napájení obvodu ze zdroje napětí U ˆ ( p)= UˆjeI ˆ ( p)= Yˆ(p)ˆ aU opro hodograf napětí rezistoruU ˆ ( p)= R Iˆ(p)= RYˆ(p)Uˆ.RoC0C0o+jŶ (0)Y ˆ(p )Ŷ (1)2+j211I ˆ(p )Î(1)Y ˆ(∞ )I ˆ(∞ )Î(0)+1+198

Hodograf proudu při měřítku m I = m Y U o a hodograf napětí při měřítku m U = R m I = m Y R U osplynou s hodografem Y ˆ(p ) . Pro hodograf napětí kapacitoru platíUˆC1− j X C0p1( p)= Uˆˆo = − j X C Yˆ(p)U0 o,Zˆ(p)pˆCze kterého vidíme, že fázor U ( p)je natočený o -90° stupňů vůči fázoru U ( p).ˆR+jUˆR( p)UˆC( p)Uˆo+1UˆoUˆR( p)+1UˆC( p)-jDuální obvod k zadanému obvodu je nakreslen na obrázku. Provedeme-li duální záměnuveličin a charakteristik budou rovnice a hodografy duálního obvodu napájeného ze zdrojeproudu I ˆ ( p)= Iˆstejné jako zadaného obvodu tedyoShrnutí pojmů 5.1.Fázorová čára je spojitá křivka zobrazená v komplexní rovině, na které leží geometrická místabodů vymezená definičním intervalem reálné proměnné p komplexní obvodové funkce F ˆ ( p ) .Fázorovou čarou či hodografem modelujeme vliv změny obvodového parametru na chováníelektrického obvodu. Základními hodografy jsou impedanční a admitanční charakteristiky, zekterých lze odvodit hodografy napětí a proudu užitím Ohmova zákona v symbolickém tvaru.Hodografy obvodů s proměnnými parametry konstruujeme pomocí imitančních charakteristik,kterými jsou komplexní funkce impedance a admitance obvodu s reálným parametrem p.Proměnný parametr se používá k modelování změny hodnoty obvodového parametru –odporu, indukčnosti a kapacity. Inverzní imitanční charakteristiky jednoduchých obvodůkonstruujeme užitím geometrické inverze vůči řídicí kružnici a pomocí středu inverze.Geometrickou inverzi používáme i k linearizaci parametrické stupnice půlkruhového nebokruhového diagramu. Lineární parametrická stupnice je kolmice vztyčená na spojnici středuinverze a středu kružnice.99

Fázorová čára, hodograf, amplitudová charakteristika, fázová charakteristika, impedančnícharakteristika, admitanční charakteristika, Proměnný induktor, proměnný kapacitor, inverze,střed inverze, řídící kružnice, parametrická stupnice, hlavní hodnota proměnného parametru.Otázky 5.1.1. Jakým způsobem modelujeme vliv změn obvodových parametrů?2. Co je to fázorová čára?3. Je rozdíl mezi hodografem a fázorovou čarou?4. Co udává amplitudová a fázová charakteristika?5. Jak konstruujeme hodograf nebo amplitudovou a fázovou charakteristiku obvodus proměnným parametrem?6. Které charakteristiky definují fázové a amplitudové poměry v elektrickém obvodu ?7. Jak nazýváme inverzní charakteristiku k charakteristice impedanční?8. Kterou charakteristiku použijeme pro konstrukci hodografů obvodových veličinsériového řazení základních obvodových prvků s jedním proměnným parametrem přijeho napájení ze zdroje proudu?9. Je-li impedanční charakteristikou polopřímka, jak jakou podobu bude mítcharakteristika admitanční? Kde leží střed její inverze?10. Které hlavní hodnoty parametru používáme ke konstrukci půlkruhového hodografu?11. K čemu slouží parametrická stupnice a jak určíme její měřítko?12. Jak linearizujeme nelineární parametricku stupnici?Úlohy k řešení 5.1.1. Nakreslete impedanční a admitanční hodografy základních jednoprvkových obvodů sproměnným parametrem.5.2. Kmitočtové charakteristikyV praxi často vyšetřujeme změnu charakteristik obvodu na kmitočtu f = p f 0 resp. úhlovémkmitočtu ω = pω 0 , kdy vztažným kmitočtem je charakteristický kmitočet obvodu, kterýmmůže být lomový kmitočet, rezonanční kmitočet aj. Amplitudové a fázové kmitočtovécharakteristiky RC a RL obvodů uvedené v kapitole 1.1, můžeme popsat následujícímiprototypy komplexních funkcí ˆ ( p )neboF reálného parametru p:+ jωK = K + jpωK = K ( 1 pωτ )F ˆ ( p,ω)= K+0 1 0 0 1 0 j111Fˆ ( p,ω)= ==.K ωωPro jejich amplitudové charakteristiky platí0 + j K1K 0 + jp0 K1K 0 j10001( 1 + pωτ )01

ˆ⎛ K1⎞F ( p)= F(p)= K( ) 20 ⎜1+ jpω0= K 0 1+pω0τ 1K⎟,⎝0 ⎠F(p)= Fˆ ( p)=1⎛K 0⎜1+ jp⎝K⎞=( τ ) 21ω K 0 1+pω00K⎟0K 0 1a zvolíme-li vztažnou hodnotu úhlového kmitočtu ω 0 = = , kde τ je časová konstanta jeK 1 τ 1L/R nebo RC, bude normovaná amplitudová charakteristika nezávislá na hodnotách parametru21K 0 a K 1 , tedy F ( p)= K 0 1+p a F(p)= .2K + p0 1Jejich fázové charakteristiky jsou kmitočtově závislé funkce( Fˆ ( p)) = arg K ( 1+jp)⎠1( ) arctan( p)ϕ P ( p)= arg0 = ,( Fˆ ( p))⎛ 1 ⎞ϕ p⎜= ( − p)K ( p)⎟P ( ) = arg = argarctan .⎝ 0 1+j ⎠1F(p) (-)F ( p)= 1+p2K 0 = 10F(p)=11+p1 2 3 42ϕ (°)9001 2 3 4-90p (-)101

Shrnutí pojmů 5.2.Normováním komplexní funkce F ˆ ( p ) reálného parametru p získáme univerzálníamplitudovou a fázovou kmitočtovou charakteristiku daného obvodu, nezávislou nahodnotách vztažného úhlového kmitočtu. Vztažný úhlový kmitočet je dán převrácenou(inverzní) hodnotou časové konstanty obvodu.Prototyp komplexní funkce F ˆ ( p ) , normovaná amplitudová a fázová kmitočtovácharakteristika.Otázky 5.2.1. Jaký je vztah mezi vztažným úhlovým kmitočtem a časovou konstantou obvodu?2. Jakou výhodu má normovaný tvar amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky?ˆ p3. Který prototyp komplexní funkce F ( ) reálného parametru p má amplitudovoukmitočtovou charakteristiku přímku? Jakou má fázovou charakteristiku?4. Jakou hodnotu amplitudy a fáze mají prototypy komplexních funkcí F ( ) LR a RCobvodu pro hodnotu parametru p = 1?ˆ pÚlohy k řešení 5.2.1. Nakreslete obvodové schéma tvořené dvěma různými základními obvodovými prvky,které má normovanou amplitudovou charakteristiku napěťového přenosu danou rovnicí1PU= F(p)= .21+p5.3. Bodeho charakteristikyBodeho charakteristiky jsou asymptotické amplitudové i fázové kmitočtové charakteristiky,jejichž kmitočtová osa je zobrazena v logaritmickém měřítku. Logaritmické měřítko má i osaamplitudová a tím pádem je vynášena v decibelech. Výhodou zavedení logaritmickéhoměřítka amplitudové charakteristiky jsou nejen vlastnosti funkce logaritmus, ale i možnostzobrazení velkého rozsahu amplitud. Normované amplitudové Bodeho charakteristiky RL aRC obvodu jsou dányneboF ( + pdB p)= 20 log F(p)= 20 log 1F1+1+p22dB ( p)= 20 log F(p)= 20 log = 20 log1−20 log 1+p = −20 log 1 p .22Asymptoty logaritmických amplitudových charakteristik získáme diskuzí rovniccharakteristik pro hodnoty parametru p. Pro p

2čtverec parametru p , takže pro oba případy charakteristik platí, že první část asymptotickécharakteristiky má rovnici F ( p)= 20log1 0 dB , což odpovídá charakteristice jednotkovéhodB =zesílení. Pro p >> 1 pod odmocninou můžeme zanedbat jedničku vůči členu2p , takže druhá2část asymptotické charakteristiky je dána rovnicí FdB ( p)= 20 log p = 20 log p , což jecharakteristika ryze derivačního obvodu a pro inverzní případ charakteristiky rovnicíFdB( p)= −20log p , což je charakteristika ryze integračního obvodu. Obě části asymptotickécharakteristiky jsou přímky, které se protínají v bodě definovaném normovaným kmitočtemp =1 a hodnotou amplitudy 0 dB. První asymptota má v obou případech charakteristikhodnotu amplitudy 0 dB a druhá má směrnici +20 dB/dekádu resp. v inverzním případě -20 dB/dekádu. Výsledná asymptotická logaritmická amplitudová charakteristika je popsánafunkcíF ( p)0 dB pro p ∈< 0,1),1dB =a její inverzní případF21dB =( p)= 20 log p 20 log p pro p ∈ ,2Pϕ ( p)= −90°pro p ∈ ( 10, ∞).2PAsymptoty se zobrazují v semilogaritmických souřadnicích jako přímky. První asymptota mákonstantní hodnotu fáze 0 ° stupňů pro oba případy charakteristik, druhá má směrnici 45 ° a

pro inverzní případ -45 ° a třetí má konstantní hodnotu fáze 90 ° a pro inverzní případ -90 °.První a druhá asymptota má společný bod definovaný hodnotou parametru p = 0, 1 a nulovouhodnotou fáze, přičemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bodě odskutečné činí Δϕ1P(0,1) = 0° − arctan( 0,1) = & −5,7°a pro inverzní případ 5 ,7 ° . Druhá a třetíasymptota má společný bod definovaný hodnotou parametru p = 10 a hodnotou fáze 90 °resp. pro inverzní případ hodnotou fáze -90 °, přičemž odchylka asymptotické fázovécharakteristiky v tomto bodě od skutečné činí Δϕ2P (10) = 90° − arctan( 10) = & 5, 7°a pro inverznípřípad − 5 , 7 ° .FdB (dB)40200-20F 1dB( p)2dB( p )F )-40ϕ (°)9045ϕ 1P( p0-45( 2P)-900,01 0,1 1 10 100p (-)Skládání Bodeho charakteristikSložitější tvary přenosů mají tvar komplexní racionální lomené funkce, které můžeme ponormování upravit do tvaruFˆ (jω)= kωω ω Kωa1b1a 2b2amω ω Kωbn⎛ ω ⎞⎛ω ⎞ ⎛ ω ⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟j + 1j + 1Kj + 1⎝ ωa1⎠⎝ωa 2 ⎠ ⎝ ωam ⎠= k⎛ ω ⎞⎛ω ⎞ ⎛ ω ⎞⎜ ⎟⎜⎟ ⎜ ⎟j + 1j + 1Kj + 1⎝ ωb1 ⎠⎝ωb2 ⎠ ⎝ ωbn⎠ωk = m∏k = 1l=n∏l = 1ωωakbl( 1+jpa1)( 1+jpa 2) K( 1+jpam)( 1+jp)( 1+jp) K( 1+jp) =b1b2bn104

k = m∏ ( 1+jpak)k = 1( ) ,P l =∏ 1+jp= knkdel=1pakblω= jsou po normované kořenové činitele čitatele,ωakpblω= jmenovatele jsou poωnormované kořenové činitele, ωaka ωbljsou normovací úhlové kmitočty a k ω,zesílení.Pro amplitudu této funkce v logaritmickém platíFdBblkPjsouk = m⎛2 2⎞⎜ ∏ ω + ω ⎟akk = ml=n⎜ k = 1 ⎟⎛2 2⎞ ⎛2 2( )⎟ ⎞( ω ) = 20 log⎜k⎟ = + ⎜⎟ − ⎜ω20 log k∑ +∑ +l=nω 20 log ω ωak20 log ω ωbl,⎜2 2 ⎟⎝ k = 1 ⎠ ⎝ l=1 ⎠∏ ω + ωbl⎝ l = 1 ⎠takže dílčí logaritmické charakteristiky můžeme sečítat.Pro fázovou charakteristiku platíϕ ( ω)= arg=Pk = m∑( Fˆ(jω))⎛ ω ⎞arctan⎜⎟−⎝ ω k ⎠k = 1 a⎛⎜⎜ a= arg⎜⎜b⎝l=n∑k = m∏( jω+ ωak)k = 1l=n∏( jω+ ωbl)l=1⎛ ω ⎞arctan⎜⎟,⎝ ω l ⎠l=1 b⎞⎟⎟ ⎛ a ⎞ ⎛⎟ = arg⎜⎟ + arg⎜⎝ ⎠⎟b ⎝⎠k = ml=n⎞ ⎛∏( jω+ ωa) ⎟ − arg⎜k ∏( jω+ ωbl)kterou dostaneme součtem dílčích fázových charakteristik. Reálné konstanty a, b, což jsouzesílení čitatele a jmenovatele přenosu, mají fázovou charakteristiku nulovou a tím pádemnemají vliv na výslednou fázovou charakteristiku.k = 1⎟⎠⎜⎝l=1⎞⎟=⎠.Příklad 5.2.Nakreslete asymptotickou modulovou a fázovou charakteristiku napěťového přenosu obvoduz obrázku pro parametry R 1 = 25 kΩ, R 2 = 2 kΩ, C 1 = 200 nF.R 1Û 1 Û 2C 1R 2♦Řešení:105

Napěťový přenos určíme z impedančního děličePˆU(jω)ˆ (jUˆZˆR( 1+jωR C )2 22221 1= F ω)= = ===,Uˆ11 2(1 1)1 Zˆ1 j1 + ZˆRR + R + ωR C R21 + R2+ jωR1R2C1+ R21+jωR1C11+jωR1C1kde jsme dosadili za impedanceZˆ1111 = = = a 2 R2Yˆ1 1+jωR 1 j1C+ ωC11R1a který upravíme buď do tvaruPˆU1RZ ˆ = ,( 1+jωR C ) R ( 1+jωR C )R21 1(jω)=R + R + jωRR CneboP ˆUkdekωR2(jω)=R + RR1212( 1 + jωR C )211121+ jωRR C32 210P = ==3 3R1+ R22510 + 210a1=R C2=R + R11211⎛ ωR1R2C⎜1+j⎝ R1+ R21= k⎞⎟⎠⎛ 1 ⎞R1R2C1⎜ + jω⎟⎝ R1C1⎠==⎛ R1+ R2⎞R1R2C1⎜ + jω⎟⎝ R1R2C1⎠2271 1−1== 200 = 0,2 krad⋅s3−91 1 2510 ⋅ 20010PR1+jp1+jpa1b11+ jωR1C1ω=R1+ R2ω+ jωR R C121Ra1b1+ jω,+ jωωpR+ RR+ R1 2 1 211b1 = = ωa1=1 ωa1= 200 = 2700 = 2,7 krad ⋅ s−R22R1C1R2k Pa1ω ω= ω R1C1= =ω 200a1ωR1R2C1ω ωp b1 = = = neboR + R ω 270012b127ω ω ω 2 ωp b1 = = = k P = .ω 1b1ωa127 200ωa1kPo zavedení substituce F ˆ (jω)= P ˆU (jω)kvůli konstrukci asymptotických charakteristikoznačme nově jednotlivé členy racionální lomené funkceˆˆ ˆ1+jpa1ˆFa1(jω)F(jω)= PU(jω)= k P = Fkp(jω),1+jpFˆ(jω)b1Ptakže pro logaritmickou amplitudovou charakteristiku platíb1106

FdB= F( ω)= 20 log Fˆ (jω)= 20 log FˆkpdB( ω)+ Fa1dB( ω)− Fb1dB( ω),kpFˆ(jω)Fˆa1b1(jω)(jω)= 20 log Fˆkp(jω)+ 20 log Fˆa1(jω)− 20 log Fˆb1(jω)=kdeFˆ⎛ 2 ⎞ω ) = 20 log Fkp( ω)= 20 log( k ) = 20 log⎜⎟ & 22,6 dB ,⎝ 27 ⎠kp dB ( P=Fa1dB( ω)= 20log Fˆ⎛= 20log⎜⎜⎝a1⎛ ω ⎞1 + ⎜ ⎟⎝ 200 ⎠( ω)= 20 log1 + jp2⎞⎟⎟⎠a1= 20log⎜⎛ 1⎝+ p2a1⎛⎜⎟⎞= 20 log⎠ ⎜⎝⎛ ω ⎞1 +⎜⎟⎝ ωa1⎠2⎞⎟⎟ =⎠ ,Fb1dB( ω)= 20 log Fˆ⎛= 20log⎜⎜⎝b1⎛ ω ⎞1 + ⎜ ⎟⎝ 2700 ⎠a fázovou charakteristiku( ω)= 20log1 + jp2⎞⎟⎟⎠b1= 20 log⎜⎛ 1⎝+ p1072b1⎛⎜⎟⎞= 20 log⎠ ⎜⎝⎛ ω ⎞1 +⎜⎟⎝ ωb1⎠2⎞⎟⎟ =⎠ ,⎛ ˆ( ) ˆ1(jω)⎞ˆ(jω)arg⎜FaF = F (jω)⎟ = arg( Fˆ(jω)) + arg( Fˆ(jω)) − arg( ˆ (jω))ϕP( ω)= argkpkpa1 F⎜ ˆb1(jω)⎟⎝ F ⎠= ϕ ( ω)+ ϕ ( ω)− ϕ ( ω),kpPa1Pb1Pkde⎛ ⎞⎜ ⎟( ) ( ) ⎜0ϕ = ˆ⎟kpP( ω)arg Fkp(jω)= arg k p = arctan = 0 ° ,⎜ 2 ⎟⎝ 27 ⎠ϕϕ( ˆ⎛ ω ⎞(jω)) = arg( 1+jp) = arctan( p ) = arctan⎜⎟⎠a1P ( a1ω)= arg F a1a1,⎝ 200( ˆ⎛ ω ⎞(jω)) = arg( 1+jp) = arctan( p ) = arctan⎜⎟⎠ω)= arg F b1b1.⎝ 2700b1P ( b1Asymptoty amplitudových charakteristik konstruujeme tak, že dílčí funkce vyneseme dografu. Amplituda funkce F ω)nezávisí na kmitočtu, je to konstantní funkce s hodnotou -( kpdB 22,6 dB. Asymptoty funkce F ω)jsou tvořeny dvěma přímkami, které se protínají v boděa1dB (daném kmitočtem ω a1 a amplitudou 0 dB. První část asymptoty je tedy konstantní funkces amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci F a1dB ( ω)pro úhlové kmitočty ω

⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞Fa1dB ( ω)pro úhlové kmitočty ω >> ωa1, kdy platí F ⎜⎟a1dB ( ω)= 20 log = 20 log⎜⎟ .⎝ ωa1⎠ ⎝ 200 ⎠Přímka má počátek v bodě daném kmitočtem ω a1 a amplitudou 0 dB a má sklon +20 dB/dek.Podobně asymptoty funkce F ω)jsou tvořeny dvěma přímkami, které se protínají v boděb1dB (daném kmitočtem ω b1 a amplitudou 0 dB. První část asymptoty je tedy konstantní funkces amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci Fb1dB ( ω)pro úhlové kmitočty ω > ωb1, kdy platí F ⎜⎟b1dB ( ω)= 20 log = 20 log⎜⎟ .⎝ ωb1⎠ ⎝ 200 ⎠Přímka má počátek v bodě daném kmitočtem ω a amplitudou 0 dB a má sklon -20 dB/dek.Asymptoty fázových charakteristik konstruujeme tak, že dílčí funkce opět vyneseme do grafu.Fáze funkce ϕ ω)nezávisí na kmitočtu, je to konstantní funkce s hodnotou 0 °.kpP (Asymptoty funkce ϕ ( ω)jsou tvořeny třemi přímkami. První část asymptoty je konstantnía1Pfunkce s fází 0 °, která aproximuje funkci ϕ a1P ( ω)pro úhlové kmitočty ω > 10ω a1 , kdy platíϕ ω)= 90° . Podobně asymptoty funkce ϕ ω)jsou tvořeny třemi přímkami. První částa1P (b1b1P (asymptoty je konstantní funkce s fází 0 °, která aproximuje funkci ϕ ω)pro úhlovékmitočtyaproximujeb1a1Pb1P (ω > 10ωb1, kdy platí ϕ ω)= 90°.b1PVýslednou asymptotickou logaritmickou amplitudovou a fázovou charakteristiku získáme superpozicípříslušných tří diskutovaných funkcí.b1P (108

FdB (dB)4020F a1ω)dB(0F dB( ω)-20-40F kpω)dB(F b1ω)dB(ϕ (°)9045ω a1ω b1ϕ P( ω)ϕ a1ω)P(0ϕ kp P( ω)-45-90ϕ b1 P( ω)0,01 0,1ω a1 0,1 0,1ω b1 1 10ω a1 10 10ω b1 100kω (rad⋅s -1 )Virtuální laboratořHodografy, amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky vybraných obvodůrealizují aplikace 5_1_HorníPropust_RCclanek.xls,5_2_DolniPropust_RCclanek.xls, 5_3_Hodograf_RLC_zadrze.xls,5_4_KmitoctoveCharakteristiky_RLC_zadrze.xls,5_5_Hodograf_RLC_propusti.xls,5_6_KmitoctoveCharakteristiky_RLC_propusti.xls.Shrnutí pojmů 5.3.Bodeho logaritmické amplitudové a fázové charakteristiky jsou asymptotické charakteristikyaproximující skutečné funkce, které zobrazujeme v semilogaritmických souřadnicích, kdykmitočtová osa má logaritmické měřítko. Asymptoty jsou přímky, které u jednoduchých tvarůracionálních lomených funkcí jdou snadno a rychle konstruovat a poskytují orientačnípředstavu o chování kmitočtově závislých obvodů. Amplitudová osa je logaritmická, jednotkaosy již není bezrozměrná, ale je cejchovaná v decibelech a má lineární měřítko, kteréumožňuje zobrazit velký rozsah amplitud funkcí.Bodeho charakteristiky, asymptota, racionální lomená funkce, logaritmická amplituda,logaritmické měřítko.109

Otázky 5.3.1. Co jsou to Bodeho charakteristiky?2. Jakou jednotku a měřítko má Bodeho amplitudová charakteristika?3. Jakou jednotku a měřítko má Bodeho fázová charakteristika?4. Proč vynášíme kmitočtovou osu Bodeho charakteristik v logaritmickém měřítku?5. Proč je výhodné zobrazovat grafy Bodeho charakteristik v semilogaritmickém měřítku?6. Jaká je výhoda zobrazení amplitudové osy v logaritmickém měřítku?7. Jaký je obecný postup konstrukce asymptot Bodeho charakteristik?Úlohy k řešení 5.3.1. Nakreslete asymptotické Bodeho charakteristiky obvodu z obrázku pro hodnotyparametrů R = 9 kΩ, R = 1kΩ, C = 500 nF .1212R 1CR 21‘2‘Klíč k řešení1.+j+jˆ1 1Z ( p)= p RY ˆ(p)= = G00p R p0Î(p)Û(p)pR 0ˆ(p )Yˆ ( p )Z0 1 2 3 4 → ∞ +1 ∞ 4 2 1,33 1 → 0+1110

∞421,331↓0-jZ ˆ(p )+1 +j∞ Y ˆ(p )ˆ↑1 1 1Z ( p)= jω p L0 = p jXL 0Yˆ( p)= = = − j BL0j ω p L0p jXLp04Î(p)Û(p)32pC 010+1+j∞↑43210+1Z ˆ(p )4ˆ 1 11Z ( p)= = − jXCj0Y ˆ(p)= = p jωC0= p jBCω pC200p1jωpC01,33Û(p)Î(p)1pL 0+1∞-j↓0Yˆ ( p )2.1212RCLR1‘Pˆ1U=1+jωRC1=ω1+jωRC2‘1=1+jp1‘Pˆ1U=L1+jωR1=ω1+jωLR2‘1=1+jp3.ω a1 =ω =b1R1 1−1== 2000rads3− 92C1⋅10⋅ 500 ⋅101 1−1== 200rads3− 92 ⋅10⋅ 500 ⋅10( R + R ) C ( 1 + 9)1111

ˆ jωR2CF (jω)=1+jωFdB( R + R )12ωjωa1=C ω1+jωb1Fˆ=Fˆa1b1ωj(jω)=2000(jω)ω1+j200Fˆa1(jω)( ω)= Fˆ (jω)= 20log = 20log Fˆ(j ) 20log ˆa1 ω − Fb1(jω)= Fa1dB( ω)− Fb1dB( ω)Fˆ(jω)b1( F ˆ (jω)) = arg( Fˆ(jω)) − arg( ˆ (jω)) = ϕ ( ω)−ϕ( ω)ϕP( ω)= arga1 Fb1a1P b1PFdB (dB)4020F a1ω)dB (0F b1ω)dB (-20F dB( ω)-40ϕ (°)9045ω a1ω b1ϕ P( ω)ϕ a1ω)P (0-45-90ϕ ( b1 Pω)0,01 0,1ω a1 0,1 0,1ω b1 1 10ω a1 10 10ω b1 100kω (rad⋅s -1 )Zadání samostatné práce č. 5:Nakreslete schéma obvodu realizujícího pásmovou propust, zvolte parametry obvodu,určete napěťový přenos naprázdno a nakreslete asymptotickou modulovou a fázovoukmitočtovou charakteristiku obvodu.Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.:Základy teorie elektrických obvodů 1. Skriptum ČVUTPraha1999; podkapitola 7.8[2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, podkapitola5.3112

6. ZESÍLENÍ, ČINITELÉ ZESÍLENÍČas ke studiu: 2 hodinyCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• popsat princip zesílení signálu• stanovit činitel zesílení proudu, napětí a výkonu• určit vstupní a výstupní imitace zesilovače• modelovat vstupní a výstupní imitace zesilovače• vymezit šířku pásma a posoudit účinnost zesilovačeVýklad6.1. Charakteristiky bipolárního tranzistoruZesilování signálů je jeden z nejčastějších a nejdůležitějších úkolů kladených na elektronickéobvody. Zařízení zesilující signály nazýváme zesilovač, může být tvořen tranzistory,elektronkami a integrovanými strukturami.K modelování tranzistoru do oblasti středních kmitočtů (jednotky MHz) používáme modeldvojbranu s h parametry. Dvojbran je to degenerovaný, neboť tranzistor je trioda s třemielektrodami - bází B, kolektorem C, emitorem E, takže jedna elektroda je vždy společná provstupní a výstupní obvod. S ohledem na linearizaci charakteristik tranzistoru rozložmevstupní napětí u1a proud i 1 a výstupní napětí u 2 a proud i 2 na složku stejnosměrnourozlišenou indexem DC a složku střídavou s indexem ACu 1 = U1DC+ u1AC, i 1 = I1DC+ i1AC,u 2 = U 2DC + u 2AC , i 2 = I 2DC + i2AC,když stejnosměrné složky odpovídají souřadnicím pracovního bodu P. Stejnosměrné charakteristikyStejnosměrné čili statické vlastnosti bipolárního tranzistoru nejčastěji popisujeme čtyřminelineárními statickými charakteristikami, a tovstupní charakteristikou U 1 = f ( I 1 ) při U 2 = konst.,výstupní charakteristiou I 2 = f ( U 2 ) při I 1 = konst.,převodní proudovou charakteristikou I 2 = f ( I 1 ) při U 2 = konst.,převodní napěťovou charakteristikou U 1 = f ( U 2 ) při I 1 = konst.,které jsou zobrazeny na obrázku.113

I = f ( 1 )2 II 2 (A)I =2 f U) ( 2U2= konst.I 2DCPI1= konst.I 1 (A)I 1DCU 2DCU 2 (V)U2= konst.U 1DCIB= konst.U = f ( 1 )1 IU 1 (V)U = f ( 2 )1 UStatický model bipolárního tranzistoru je popsán stejnosměrnými rovnicemi s H parametryv pracovním bodě PU = + ,1 H11I1H12U2I = + .2 H 21 I1H 22U2Statické H parametry můžeme určit ze souřadnic pracovního bodu a pojmenovat následovněU1DCH 11 = vstupní stejnosměrný odpor nakrátko,I1DCU1DCH 12 = zpětný stejnosměrný napěťový přenos naprázdno,U 2DCI2DCH 21 = zpětný stejnosměrný proudový přenos nakrátko,I1DCI2DCH 22 = výstupní stejnosměrná vodivost naprázdno.U 2DCPoznamenejme, že v odborné literatuře se stejnosměrné parametry většinou označují malýmpísmenem h, když se k jejich indexu přidávají kvůli rozlišení podle zapojení tranzistoru velkápísmena E, C, B. Příkladem je značení stejnosměrného proudového zesilovacího činitelev zapojení SE h = .21EH 21E114

Střídavé parametry tranzistoruStřídavé či diferenciální parametry tranzistoru jsou definovány pro malé změny signáluv okolí pracovního bodu, které působí jeho pohyb v síti parametrických statickýchcharakteristik. Tranzistor modelujeme soustavou nelineárních rovnic či charakteristik( i )u = ,1 h11,u2( i )i = .2 h21,u21i 1i 22u 1hh1( i1,u2)( i , u )212u 21‘2‘Linearizaci parametrů provedeme diferenciací nelineárních rovnic tranzistoru v okolípracovního bodu P, po které obdržímedudi∂u∂u= + u ,111 di1d∂i1∂uP2 P∂i∂i= + u ,222 di1d∂i1∂uP2 Pkteré pro zavedení diferenciálních h parametrů můžeme zapsatkdeh111∂i1P2 = U 2 =du = + u ,1 h11di1h12ddi = + u ,2 h21di1h22d∂u= je vstupní diferenciální (střídavý) odpor nakrátko při du2 = 0 V tj. přiu konst. ,h12∂u1= je zpětný diferenciální (střídavý) napěťový přenos naprázdno při di1 = 0 A tj. při∂u2Pi = I konst. ,1 1 =h∂i= je zpětný diferenciální (střídavý) proudový přenos nakrátko při du2 = 0 V tj. při221∂i1P2 = U 2 =u konst. ,hi22∂i2= je výstupní (střídavý) diferenciální vodivost naprázdno při di1 = 0 A tj. při∂u1 = I1=2Pkonst.1152222

Chápeme-li změny polohy pracovního bodu P jako projev střídavých složek obvodovýchveličin, můžeme diferenciály nahradit těmito složkami a linearizované rovnice zapsatu = + ,1ACh11i1ACh12u 2ACi = + .2ACh21i1ACh22u 2ACTento obvodový model je platný pro všechna zapojení tranzistoru (SE, SC, SB), která se všakliší hodnotou diferenciálních (střídavých) parametrů h, z tohoto důvodu se h parametrůmpřidávají kvůli rozlišení k indexu podle způsobu zapojení malá písmena e, c, b. Jsou-li tatopísmena velká, jedná se o parametry stejnosměrné.Příklad 6.1.Nakreslete náhradní obvodové schéma linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru.♦Řešení:Postup sestavení obvodového modelu je stejný jako u modelu dvojbranu se smíšenýmiparametry. 1. rovnici linearizovaného modelu tranzistoru u 1 = h11i1+ h12u2modelujemev duchu 2. Kirchhoffova zákona sériovým řazením rezistoru o hodnotě11a řízeného zdrojenapětí h 12 u2. 2. rovnici linearizovaného modelu tranzistoru i 2 = h21i1+ h22u2modelujemev duchu 1. Kirchhoffova zákona vodivosti o hodnotě h 22 a řízeného zdroje proudu h 21i1.hi 1ACi 2ACu 1ACh 11h 12 u 2ACh i 21 1ACh22u 2ACPřenosy a impedance tranzistoruBudeme se zabývat pouze odporovým modelem bipolárního tranzistoru, k jehož popisupoužíváme okamžité hodnoty střídavých složek vstupních a výstupních veličin tranzistoru areálné hodnoty h parametrů. Definice jeho přenosů i vstupní a výstupní impedance by takmohly být reálné, pokud v náhradním modelu na obrázku budou reálné i vnitřní impedance Ẑ izdroje napětí U ˆi a zatěžovací impedance tranzistoru Ẑ s , což je častý případ využitítranzistorového zesilovače v praxi. Přesto dále uvažujme zcela obecně komplexní popisobvodu s tranzistorem, kde střídavé složky veličin tranzistoru nahradíme komplexnímiefektivními hodnotami, čímž automaticky předpokládáme, že průběhy těchto veličin jsouharmonické a nemá tedy smysl v jejich označení ponechávat na pozici indexu symbol AC. hparametry budeme zapisovat také jako komplexní čísla, i když mají jen reálnou část. Platítedy následující korespondenceu1AC→ 1, 1AC Î1Uˆi → , u 2AC → Uˆ2 , i2AC→ Î 2116

a rovnostiˆh 11 = h11, 12 h12h ˆ = , h ˆ21 = h21, h ˆ22 = h22.Û 1Î 1Û 21Î 22Û iẐ i[ ĥ]Ẑs1‘2‘(Střídavý) napěťový přenos tranzistoru je definován117ˆˆ UP U =Uˆ21, ale v literatuře zabývající seproblematikou zesilovačů je obvykle označován  U a nazýván činitelem zesílení napětí, takžeplat툈 ˆUA =2U = PU,Uˆ1pro který můžeme úpravou linearizovaných rovnic tranzistoru odvodit vztahAˆhˆhˆ21( hˆ11 hˆ22 − hˆˆ12 h 21) Zˆs2121 ssU = ==.1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆhˆˆ ˆ ˆ ˆ12 21 s 11 22 s 11 1121 hh h Z h h Z h h12 − h11h22− h− − +11Zˆscož je obecný vztah pro napěťový přenos  U.(Střídavý) proudový přenos tranzistoru resp. činitelem zesílení proudu je definovánZˆˆˆ ˆ IA I = PI=Iˆa odvodíme ho úpravou proudové rovnice modelu bipolárního tranzistoru, kam za výstupnínapětí dosadíme Uˆˆ ˆ2 = −Z s I 2 , čímž získáme vztahAˆIhˆ=1 + hˆKomplexní výkonový přenos resp. činitelem zesílení výkonu je potom definován součinemnapěťového a komplexně sdruženého proudového přenosu212221Zˆs.− hˆˆ ˆ*jϕu -jj( )* 2 2 2 e 2ϕi 2e 2ϕu −ϕ2 i2 ˆˆ ˆ ˆ U I U I U 2 I2 e SA P = AUAI= ==ˆ ˆ*j u1 - jje( u1U I U) =ϕϕϕ −ϕi1i1I e U I e Sˆ111Úpravou rovnic modelu tranzistoru rovněž odvodíme vztahy pro jeho vstupní a výstupníimpedanci( hˆhˆ− hˆhˆ)ˆˆ ˆˆU111 22 12 21 Z s + h11Z 1 = =aIˆhˆZˆ+ 1122s1Zˆ11ZˆZˆ+ hˆ= .i 11( hˆhˆ− hˆh )2 hˆ22 Zˆˆi + 11 22 12 2121.

Shrnutí pojmů 6.1.Bipolární tranzistor je nelineární polovodičový prvek. S ohledem na linearizaci veličintranzistoru je výhodné rozložit vstupní a výstupní veličiny na stejnosměrnou a střídavousložku. Stejnosměrná složka veličin tranzistoru definuje jeho pracovní bod a střídavá složkacharakterizuje změnu jeho parametrů. Linearizace jeho charakteristik v okolí pracovního bodunám umožňuje modelovat bipolární tranzistor pro malé změny jeho obvodových veličincharakteristickými rovnicemi dvojbranu s diferenciálními (střídavými) h parametry. V oblastistředních kmitočtů jsou tyto parametry reálné a tranzistor modelujeme degenerovánýmodporovým dvojbranem, tedy trojpólem. Přenosy napětí, proudu a výkonu tranzistorunazýváme také činiteli zesílení a stejně jako jeho vstupní a výstupní impedance jsou obecnědány komplexními hodnotami Ĥ parametrů, jejichž hodnoty závisí na zapojení tranzistoru,ale také hodnotami zatěžovací impedance Ẑ a vnitřní impedance budícího zdroje Ẑ .sBipolární tranzistor, stejnosměrná složka, střídavá složka, linearizace, pracovní bod,charakteristiky tranzistoru, dvojbran, Ĥ parametry dvojbranu, náhradní schéma tranzistoru,činitel zesílení napětí, činitel zesílení proudu, činitel zesílení výkon, vstupní impedancetranzistoru, výstupní impedance tranzistoru, vnitřní impedance zdroje, zatěžovací impedance.Otázky 6.1.1. Proč rozkládáme vstupní a výstupní veličiny tranzistoru na stejnosměrnou a střídavousložku?2. Která ze složek veličin definuje pracovní bod tranzistoru?3. Která ze složek veličin je odpovědná za pohyb pracovního bodu tranzistoru?4. Pro jaké kmitočty jsou hodnoty h parametrů tranzistoru reálné?5. Co rozumíme malosignálovým modelem tranzistoru?6. Které definice činitelů zesílení znáte a jak jsou definovány?7. Na čem závisí činitelé zesílení tranzistoru a jeho impedance?iÚlohy k řešení 6.1.1. Stanovte hodnotu stejnosměrného parametru h 21E a zakreslete do charakteristiky odhadpolohy tečny v pracovním bodě převodní charakteristiky z obrázku.118

I C (mA)40P80I B (μA)6.2. Nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoruAbychom tranzistor využili k zesilování signálů, musíme ho nastavit do stejnosměrnéhopracovního, který umístíme do sítě jeho výstupních charakteristik tak aby se co nejméněprojevilo zkreslení zesilovaného signálu nelinearitou jeho charakteristik. V okolí pracovníhobodu provedeme linearizaci jeho parametrů a modelujeme ho střídavými Ĥ parametry.Pracovní bod nastavujeme rezistorem R, kterým omezujeme velikost proudu zestejnosměrného zdroje.i o = I oDC + i oACR1 2U ou i = U iDC + u iAC1‘2‘Odpovídající hodnoty souřadnic pracovního bodu v síti vstupních charakteristik, kterémusíme nastavit rezistory připojenými k stejnosměrnému zdroji, získáme průmětempracovního bodu P v síti výstupních charakteristik přes charakteristiku převodní. Postup siilustrujme na zapojení NPN tranzistoru se společným emitorem.119

I oI DI 2 = I CU DR DU CR CI B1 2U oI FU FR FU 1 = U BEU 2 = U CEI E1‘2‘I =CU CE= konst.f ( I B )I C (A)I 2kI CPI =Cf( U CEP)IB= konst.I B (A)I BPU CEPU 2oU CE (V)U CE= konst.U BEPIB= konst.U =BEf ( I B )U BE (V)U =BEf ( U CE )Pracovní bod tranzistoru P daný souřadnicemi U CEP , I CP ve výstupní charakteristiceI = f U ) nastavíme do požadované polohy volbou hodnoty rezistoruC( CEHodnotu rezistoruRU−Uo CEPC = .I CPR D pro proudové buzení, kdy platíRUU−UR F → ∞D o BEPD = = .I D I BP, určíme120

Hodnoty rezistorů R D , R F pro napěťové buzení určíme s podmínkouI = k + 1 I ze vztahůD( ) BPI = k I , kdy platíFBPRU−Uo BEPD = ,( k + 1) I BPU UR =F BEPF = .I F k I BPS ohledem na napěťové přizpůsobení děliče volíme hodnotu konstanty k 5-10.Pracovní bod zesilovače P je definován průsečíkem výstupní charakteristiky tranzistoru(nelineárního rezistoru) I C = f ( U CE ) a zatěžovací charakteristiky zdroje U 2 = U o − RCI 2 ,U okterá je vymezena napětím naprázdno U 2o= U o a proudem nakrátko I 2k = .RZe stejnosměrných charakteristik v okolí pracovního bodu, získaných měřením, můžeme určitdiferenční parametry tranzistoru, tak že v definičních vztazích střídavých parametrůtranzistoru nahradíme diferenciály veličiny jejich diferencemi v okolí pracovního bodu.CI =CUCE= konst.f ( I B )I C (A)I 2kI C2I =Cf ( U CE )IB= konst.I C1I B (A)I B2I B1U CE2U CE1U 2oU CE (V)UCE= konst.U BE1IB= konst.U =BEf ( I B )U BE (V)U BE2U =BEf ( U CE )Diferenční parametry jsou tak dányhΔUU−UBE BE2 BE111e = =,ΔIB I B2 − I B1h12eΔUBE BE2 BE1= =,ΔUCEUUCE2−U−UCE1h21eΔIC C2 C1= = ,ΔIBIIB2− I− IB1hΔI− IC C2 C122e = =.ΔUCE U CE2 −UCE1I121

Zesilovač s bipolárním tranzistorem v zapojení v SEK zesilování malých střídavých signálů používáme tranzistor nastavený do pracovního bodu.Polohu pracovního bodu volíme tak, aby nedocházelo k nežádoucímu zkreslení výstupníhonapětí tranzistoru. Z tohoto důvodu volíme pracovní bod uprostřed zatěžovací přímky zdrojenapájejícího tranzistor. Pro souřadnice pracovního bodu tedy platíU oU CEP = U 2o=a21 1 UI =oCP = I 2k .2 2 RCTranzistor připojujeme ke střídavému zdroji napětí a k zátěži přes vazební kapacitory C v1 aC v2 , abychom zamezili nežádoucímu ovlivňování stejnosměrného pracovního bodutranzistoru.i oi Di CR Du CR C1i B2U oC v1i FC v2u 1 R Fu 22‘1‘Kapacitor, jak víme, se chová v pásmu středních kmitočtů při dostatečně velké hodnotěkapacity jako zkrat (má téměř nulovou reaktanci). Po vyřazení kapacitorů a stejnosměrnéhozdroje, který se chová pro střídavý signál rovněž jako zkrat, můžeme obvod překreslit astřídavý obvod jednoduše řešit jako čistě odporový. Náhradní schéma střídavého obvodu je naobrázku a jeho dvoubranový model na obrázku dole.i Ei CACR Du CACi 1ACi BACR C2‘1 2u 1ACR Fu 2ACi E1‘122

1i 1ACi BACBCi CACi 2AC2u 1ACR DR Fu BEACh 11eh 12ue2ACh 21ie 1ACh 22 eu CEACR Cu 2AC1‘EE2‘Jelikož obvod je odporový, můžeme vztah pro napěťové zesílení zesilovače zapsat místokomplexních hodnot parametrů a veličin reálnými hodnotami parametrů a střídavýmiokamžitými hodnotami veličinAuu− h2AC CEAC21e sU = = =.u1ACuBEACh 11e+ ( h 11e h 22e − h 12e h 21e) R sPodobně vstupní odpor zesilovače je dán paralelním řazením rezistorůRRR+ R+ RD F D BE F BE1= ,RDRFRBEkde R BE je vstupní odpor tranzistoru definovanýRVýstupní odpor tranzistoru jeRuh+RRR( h h − h h )BEAC 11e 11e 22e 12e 21e sBE= =.iBAC1+h22 Re suuR + h2AC CEACi 11e2= = =.iCACiCACh Ri+ ( h h − h h )22e 11e 22e 12e 21eRRDRF,, RVe všech vztazích uvažujeme R s = RC(nezatížený výstup tranzistoru), buzení ideálnímzdrojem napětí, takže platí R i = 0 Ω nebo buzení reálným zdrojem napětí s vnitřním odporemRgRD+ RgRF+ RFRDR g a hodnotu Ri= .R R RV praxi většinou můžeme zanedbat parametrymůžeme zapsatAhgDFh 12e, h 22e21eU = − RC,BEheh1111e, takže se výše uvedené vztahyR = , R → ∞ .2BE123

Příklad 6.2.Určete hodnotu vstupního odporu tranzistorového zesilovače z obrázku a nakreslete jehomalosignálový model. V náhradním modelu tranzistoru zanedbejte parametry h 12e, h 22e.R DR C1 2U oC v1 C v2R zR F1‘♦Řešení:2‘i 1ACi B ACi CAC1 BC 2i 2ACu 1ACR DR Fh11eh 21ie 1ACR Cu 2ACR z1‘EE2‘Vstupní odpor R 1 určíme ze zjednodušeného náhradního modelu tranzistoru, ze kterého jezřejmé, že po zanedbání parametru h 12eztrácí výstupní obvod vliv na vstupní obvod, takžepro vstupní odpor samotného tranzistoru platí R = a vstupní odpor zesilovače je dánR1=RDRF+ RRDDRhF11eh+ R11eFh11e.BE h 11 eŠířka pásma zesilovače s bipolárním tranzistorem v zapojení SEŠířka pásma je definována na kmitočtové modulové charakteristice rozdílem kmitočtůω − ω , kteréHD1vymezují pokles výkonu signálu na jeho maximální hodnoty, tj. pokles napětí signálu na 212jehonejvětší hodnoty, což je v jednotkách dB pokles o − 3 dB, viz obrázek.124

AUdB (dB)20100ω Dω' Hω Hω (rad⋅s -1 )Dolní kmitočet zesilovače ω D je určen děličem napětí, tvořeným kapacitorem C v1 a vstupnímodporem tranzistoru R 1 , který je danýkam dosadíme za vstupní odpor tranzistorua za vstupní odpor tranzistoruRR1R=hD1ω D = ,R CTřídám A, B, C odpovídá řídící charakteristika na obrázku vlevo, třídě D vpravo.125R+F+ RRDD1RRFv1BER+ RBEFRBE( h h − h h )11e 11e 22e 12e 21e sBE = ,1+h22 eRsdo kterého dosadíme v případě zesilovače zatíženého rezistorem R z hodnotu odporuRRRC zs = .RC+ RzHorní kmitočet zesilovače ω H pokud není omezen na hodnotu ω′ H integračním článkem je dánparazitní kapacitou tranzistoru (Millerova kapacita, což je kapacita C BC transformovaná navstup zesilovače, která je mnohem větší než kapacita C BE ).Účinnost zesilovačůPodle nastavení pracovního bodu na řídící charakteristice i 2 = f ( u1)na obrázku rozeznávámetři základní třídy zesilovačů:- třída A - (nejrozšířenější), pracovní bod nastavujeme na polovinu hodnoty proudunakrátko, zesiluje po celou dobu periody - nezkresluje, účinnost přeměny energie napájecíhostejnosměrného zdroje na energii zesilovaného signálu až 25 %, zbytek energie dodanéstejnosměrným zdrojem se přemění na teplo, které zvyšuje provozní teplotu zesilovače. Patřísem i zesilovače s bipolárním tranzistorem v zapojení v SE.- třída B – pracovní bod nastavujeme do stavu naprázdno ( do nulové hodnoty proudu )zesiluje po dobu poloviny periody - zkresluje, účinnost až 78 %,- třída C – pracovní bod nastavujeme na zápornou hodnotu vstupního napětí, zesiluje podobu kratší polovině periody - zkresluje, účinnost až 100 %a jednu speciální:- třída D – pracuje ve spínacím režimu, účinnost 100 %.R

i 2 (A)i 2 (A)I 2kI 2kI 2k /2ACBu 1 (V)U 1maxu 1 (V)-I 2kShrnutí pojmů 6.2.Nastavení stejnosměrného pracovního bodu na výstupu tranzistoru provádíme pomocízatěžovací přímky zdroje zakreslené v síti výstupních charakteristik tranzistoru, která jegeometrickým místem možných poloh pracovních bodů tranzistoru. Přímka je určenaparametry stejnosměrného napájecího zdroje a kolektorového odporu tranzistoru. Aby bylzaručen požadovaný rozkmit střídavého nezkresleného výstupního napětí volíme polohupracovního bodu uprostřed zatěžovací přímky. Nastavení odpovídajícího stejnosměrnéhopracovního bodu na vstupu tranzistoru provádíme při proudovém buzení jediným rezistorem apři napěťovém buzení děličem napětí. Z naměřených charakteristik tranzistoru v praxigraficky určujeme místo diferenciálních parametrů diferenční parametry tranzistoru. Typotom definují střídavé parametry tranzistoru. Vlivem nasuperponovaného střídavého signáluna stejnosměrné složky veličin tranzistoru dochází ke změně polohy pracovního bodutranzistoru. Naopak kvůli zamezení nežádoucího posunu nastaveného stejnosměrnéhopracovního bodu tranzistorového zesilovače malého signálu připojujeme vstup a výstupzesilovače vazební kapacitory. Zjednodušený náhradní obvodový model zesilovače maléhostřídavého signálu v pásmu středních kmitočtů získáme zakreslením zkratů na místa, kde senacházejí kapacitory a stejnosměrný zdroje napětí v schéma zapojení střídavého zesilovače.Náhradní obvodový model je již jen odporový, a tak snadno analýzou náhradního obvoduurčíme střídavé přenosy zesilovače a jeho vstupní a výstupní odpory. Šířku pásma definujítranzistorového zesilovače definují vazební kapacity tranzistoru. Podle polohy pracovníhobodu na řídící charakteristice rozeznáváme třídy zesilovačů A, B, C a D. Jednotlivé třídy seliší účinností zesilovače.Nastavení pracovního bodu, zapojení tranzistoru se společnou bází, proudové buzení,napěťové buzení, diferenční parametry tranzistoru, zatěžovací přímka, tranzistorovýzesilovač, šířka pásma tranzistorového zesilovače, řídící charakteristika, třída zesilovače,účinnost zesilovače.126

Otázky 6.2.1. Kde se nachází v síti výstupních charakteristik tranzistoru pracovní bod?2. Na čem závisí poloha zatěžovací přímky zdroje napájejícího tranzistor?3. Jak volíme polohu pracovního bodu tranzistoru, aby zesílený signál nebyl zkreslený?4. Jak určujeme diferenční parametry dvojbranu?5. Jak nastavíme pracovní bod tranzistoru na jeho vstupu?6. Co je to proudové a napěťové buzení tranzistoru?7. Uveďte případ nežádoucí změny pracovního bodu tranzistoru?8. K čemu slouží vazební kapacitory?9. Jak zjednodušujeme náhradní obvodové schéma zesilovače malého střídavého signálu?10. Na čem závisí šířka pásma tranzistorového zesilovače?11. Jakou účinnost mají jednotlivé třídy zesilovačů?Úlohy k řešení 6.2.1. Sestrojte zatěžovací charakteristiku zdroje pro pracovní bod definovaný souřadnicemivýstupní charakteristiky UCEP= 4,5 V, ICP= 3 mA pro zesilovač třídy A, určete hodnotynapětí stejnosměrného zdroje a zatěžovacího odporu.Klíč k řešení1. Dosazením souřadnic hodnot pracovního bodu v převodní charakteristice tranzistorudostaneme hodnotu stejnosměrného proudového zesilovacího činitele0,04H 21 E = h21E= = 500 .−680⋅10Ze sklonu tečny v pracovním bodě a sklonu statické převodní charakteristiky, která jev počátku prakticky lineární vidíme, že hodnota stejnosměrného činitele H 21Eadiferenciálního (střídavého) činitele h21edefinovaného směrnicí tečny jsou v okolí pracovníhobodu blízké, takže přibližně platíh ~ = H .21e21E127

I C (mA)40P80I B (μA)2. Zatěžovací charakteristika zdroje je dána napětím naprázdno a proudem nakrátko. Prozesilovač třídy A nastavujeme pracovní bod uprostřed zatěžovací charakteristiky, cožznamená, že napětí naprázdno U 2 oje dvojnásobkem napětí pracovního bodu, tj. U 2 o= 9 V ,rovněž proud nakrátko je dvojnásobkem proudu pracovního bodu, tj. I 2k = 6 mA .Z těchto hodnot sestrojíme zatěžovací charakteristiku zdroje a vypočteme hodnotu rezistoruU 0 9R C = = = 1,5 kΩ.−3I 6⋅10KI C (A)I 2kI CPPU CEPU 2oU CE (V)Zadání samostatné práce č. 6:Proveďte návrh nastavení pracovního bodu zesilovače třídy A s absolutní hodnotoustřídavého zesílení 5 a dolním mezním kmitočtem 50 Hz pro napěťové a proudovénastavení pracovního bodu. Zesílení nastavte poměrem kolektorového a emitorovéhorezistoru. Nakreslete schémata zapojení obou způsobů nastavení pracovního bodu aproveďte návrh vazebních kapacitorů. Uvažujte, že zátěží střídavého zesilovače jezvukový měnič o odporu 2,5 kΩ a příkonu 100 mW. Jako zesilovač použijte tranzistor BC546.128

Další zdroje[1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů 2. Skriptum ČVUT Praha2004. Kapitola 4.[2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1998. Kapitola 5.4.129

7. OBVODY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY,HOMOGENNÍ VEDENÍ PŘI HARMONICKÉM NAPÁJENÍČas ke studiu: 4 hodinyCíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět• vymezit pojem obvod s rozprostřenými parametry• odvodit obecné rovnice homogenního vedení• odvodit obecné rovnice homogenního vedení pro harmonický ustálený stav• definovat primární a sekundární parametry vedení• definovat činitel odrazuVýklad7.1. Definice obvodu s rozprostřenými parametryU obvodů, jimiž jsme se zatím zabývali jsme předpokládali, že se elektrické veličiny(především proud a napětí) mohou měnit v závislosti na čase, ale nikoliv, nebo jenzanedbatelně málo, v závislosti na prostorových souřadnicích. Takové obvody nazvěmeobvody se soustředěnými (koncentrovanými) parametry. V nich mají elektrické veličiny vevšech bodech daného obvodu stejné hodnoty. Závislost změny obvodových veličin naprostorových souřadnicích však nemůžeme zanedbat ve všech případech. Obvody, kde totonelze provést nazvěme obvody s rozprostřenými parametry. Měřítkem, podle něhož uvedenouklasifikaci provádíme je poměr délky vedení a délky elektromagnetické vlny, šířící se vobvodu, kterou vypočteme ze známého vztahu:λ = vU elektrických zařízení jejichž rozměry jsou větší, stejné nebo porovnatelné s délkouelektromagnetic-ké vlny bychom v obecném případě nemohli využít vztahy využívané v teoriiobvodů a museli by-chom provádět analýzu elektrických poměrů v takovém zařízení postupy,používanými více v oblasti elektrotechniky, nazývané teorie elektromagnetického pole(základem jsou Maxwellovy rovnice). Situace je ale jednodužší v případech, kdy u zmíněnéhozařízení převládá jeden rozměr – např. u dvojvodičového vedení, ať již dvojlinky nebokoaxiálního kabelu. V těchto případech je příčný rozměr, tj. vzdálenost vodičů od sebezanedbatelný vůči délce vedení. Takováto vedení nazýváme elektricky dlouhými nebo stručnědlouhými vedeními. Takovéto vedení pak můžeme analyzovat jako obvod, sestaven zparametrů R, L, G, a C, které jsou spojitě rozloženy po vedení Odtud vedení také nazývámejako vedení s rozprostřenými parametry. Respektujeme tím jednak rovnoměrné ztráty podélvedení a také rovnoměrné rozložení elektrické energie akumulované v kapacitách amagnetické energie akumu-lované v indukčnostech.Vedení s rozprostřenými parametry je jednoznačně charakterizováno čtyřmi parametry, kterénazýváme jako primární – měrný odpor, měrný svod, měrná indukčnost a měrná kapacita.Měrný od-por R 0 (Ω/m) je činný odpor obou vodičů vedení o jednotkové délce, měrný svod130f

G 0 (S/m) je reciproká hodnoty odporu dielektrika mezi oběma vodiči v příčném směru vedeníjednotkové délky a měrná kapacita C 0 (F/m) je kapacita mezi oběmi vodiči tvořícími dlouhévedení a měrná indukčnost L 0 (H/m) je vlastní indukčnost dvojvodičového vedení jednotkovédélky. Zde jsou uvedeny jednotky na 1m, častěji se vztahují na 1km. Vymezení těchto pojmůpřibližuje následující obrázek, s jednotkovým úsekem vedení (např. 1m nebo 1 km).R 0 /2 L 0G 0 C 0R 0 /21 m (km)Uvedené primární parametry se mohou podél vedení měnit spojitě nebo nespojitě. V případěnespojité změny se popisuje vedení rovnicemi jako vedení po částech spojité (homogenní).V této kapitole nás ale budou zajímat vedení homogenní, které mají podél celého vedeníprimární parametry konstantní. Navíc se budeme zajímat o vedení s rozloženými parametrylineární, tj. takové, u něhož nezávisí velikost primárních parametrů na proudu, resp. napětí.Pro odvození rovnic uvažujme homogenní dvojvodičové vedení, jehož krátký úsek délky dxje na obrázku.i(x)R 0 dx, L 0 dxi(x+dx)Ju(x)G 0 dx, C 0 dxu(x+dx)xdxx + dxParametry elementárního úseku jsou úměrné délce elementu dx a měrným parametrům tedy:R 0 .dx, L 0 .dx, G 0 .dx, C 0 .dx. Předpokládejme, že na začátku proudového elementu, tedy nasouřadnici x je velikost proudu i(x) a napětí u(x). Přírůstky takovýchto funkcí proudů a napětína velmi malých úsecích dx lze nahradit totálními diferenciály∂u∂idu = dxdi = dx∂x∂xNa konci elementu. tj. na souřadnici (x+dx) získáme hodnoty proudu a napětí pomocíTaylorova polynomu tak, že derivace vyššího než prvního řádu s vědomím přijatelnénepřesnosti zanedbáme∂u(x,t)∂i(x,t)u(t,x + dx)= u(x,t)+ du= u(x,t)+ dx, i(t,x + dx)= i(x,t)+ di= i(x,t)+ dx∂x∂xUžitím Kirchhoffových zákonů na element vedení získáme pro smyčku (kladný referenčníoběh je ve směru hodinových ručiček)131

∂i(t,x)− u( x,t)+ R0dx i(t,x)+ L0dx+ u(t,x + dx)= −u(x,t)+ R0dx i(t,x)+ L0∂t∂u(x,t)+ dx= 0∂xa pro řez J (kladný referenční směr proudu je orientován ven z řezu)∂u(t,x)− i( x,t)+ G0dx u(t,x)+ C0dx+ i(t,x + dx)= −i(x,t)+ R0dx u(t,x)+ C0∂t∂i(x,t)+ dx= 0∂x∂i(t,x)dx+ u(x,t)+∂t∂u(t,x)dx+ i(x,t)+∂tzískáme rovnice, z nichž každá zahrnuje obě proměnné – proud i napětí jako funkce času t asouřadnice x, které upravíme je do tvarua∂u(x,t)− = R∂x0i(x,t)+ L0∂i(x,t)∂t∂i(x,t)∂u(x,t)− = G0 u(x,t)+ C0.∂x∂tJedná se o soustavu dvou diferenciálních rovnic 1.řádu, z nichž odvodíme parciálnídiferenciální rovnice 2. řádu, z nichž jedna bude zahrnovat jako proměnnou jen napětí, druhájen proud. Provedeme to tak, že derivací druhé rovnice podle x a dosazením do prvnídostáváme diferenciální rovnici pro proud, zatímco derivací první rovnice a dosazením dodruhé dostáváme diferenciální rovnice pro napětí. Matematický zápis tohoto postupu je2∂ u(x,t)−2∂x= R0∂i(x,t)+ L∂x02∂ i(x,t),∂t∂x2∂ i(x,t)− = G2∂x0∂u(x,t)+ C∂x02∂ u(x,t),∂t∂xa dále2222∂ u(x,t)∂i(x,t)∂ i(x,t)∂ i(x,t)∂u(x,t)∂ u(x− = R0+ L0, − = G20 + C02∂x∂t∂t∂t∂x∂t∂t∂t, t)2∂ u(x,t)= R2 0 G∂x2∂ i(x,t)= G2∂x00R0u(x,t)+i(x,t)+∂u(x,t)∂t( R0C0+ L0G0) + L0C02∂i(x,t)∂t( G0L0+ C0R0) + C0L022∂ u(x,t),∂t2∂ i(x,t).∂tTyto rovnice nazýváme vlnové nebo telegrafní rovnice, protože byly odvozeny promatematický popis šíření telegrafních signálů. Jejich řešením zjistíme velikost napětí a proudův kterémkoliv místě x a čase t, a to pro libovolný průběh napájecího napětí.Shrnutí pojmů 7.1.U obvodů s prostorově rozloženými parametry zohledňujeme jak časovou, tak i prostorovouzávislost obvodových veličin, neboť se u těchto obvodů projevuje konečná rychlost šířeníelektromagnetického vlnění. Typickým představitelem obvodu s rozprostřenými parametry je132

dlouhé, homogenní vedení charakterizované primárními parametry R 0 , L 0 , G 0 , C 0 , což jsouměrné hodnoty parametrů vedení udávané na jednotku délky. Jevy na vedení popisujemevlnovými rovnicemi, jejichž řešením získáme proudové a napěťové vlny na vedení pro danépočáteční a okrajové podmínky.Soustředěné parametry, prostorově rozložené parametry, element vedení, primární parametryvedení, homogenní vlnová rovnice.Otázky 7.1.1. Které elektrické soustavy nelze modelovat obvody se soustředěnými parametry?2. Za jakých podmínek lze i na tyto soustavy uplatnit principy používané více v teorii obvodů nežv teorii elektromagnetického pole?3. Uveďte primární parametry dlouhého vedení.4. Napište telegrafní rovnice a výchozí rovnice pro jejich odvození.Úlohy k řešení 7.1.1. Které další jevy a přeměny energií vznikají na elementu skutečného vedení?7.2. Homogenního vedení při harmonickém napájeníVedení s rozprostřenými parametry napájené z harmonického zdroje napětí či prouduprovádíme v komplexní rovině. Parciální diferenciální rovnice z předcházejícího odstavcev harmonicky ustáleném stavu lze eliminaci časové závislosti v komplexní rovině popsatobyčejnými diferenciálními rovnicemi s fázory napětí a proudu, které popisují jejich rozloženípodél vedení. Prakticky to znamená nahradit u parciálních diferenciálních rovnic časovouderivaci násobením konstantou jω, čímž získáme rovnicedUˆ ( x)dx− = ( R + jωL) Iˆ() , − = ( G + jωC) Uˆ ( )0 0 x133dˆ( I x)dx0 0 xkde Û(x)a Î(x) jsou komplexní efektivní hodnoty, které jsou již jen funkcí souřadnice x, a včase jsou konstantní.Element dlouhého vedení můžeme modelovat dvojbranem, a to T, L Π nebo Г článkem,případně zjednodušeně kaskádním řazením těchto dvojbranů, které nahrazují elementy vedenídélky dx. Použijeme-li k jeho modelování Γ článek z následujícího obrázku, můžemedefinovat měrnou podélnou impedanciZˆ= R + jωLaměrnou příčnou admitanciYˆql000= G + jωC.Obě veličiny jsou pochopitelně vztaženy na jednotku délky, např. Ω/m, Ω/km, S/m, S/km.Dosazením vztahů do výše uvedených rovnic dostaneme0

dUˆ ( x)ˆdˆ( I x)− = Z l Iˆ(x), − = Yˆˆq U ( x)dxdxa po derivování a úpravách vlnou rovnici napětí a proudu2 ˆ 2d U ( x)ˆ ˆ ˆ d Iˆ(x)= Z l YqU ( x), = Yˆˆ ˆ( )22 q Z l I x ,dxdxcož jsou homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty scharakteristickou rovnicíˆ 22λ − ˆ γ = 0 .i(x,t)i(x+dx,t)R 0 dxL 0 dxu(x,t)G 0 dxC 0 dxu(x+dx,t)dxTa má dva komplexní kořeny( R + jωL)( G ωC)ˆ λ = m ˆ γ m ˆ ˆ m+ ,1,2= Z l Yq= 0 0 0 jčímž jsme zavedli sekundární parametr vedení - činitel šíření γˆ , který má jednotku m -1 .Obecné řešení vlnové rovnice napětí jekdeˆ − ˆ λ x ˆ1 λ xˆ γ x( x)ApeAze2−= + = Ape+UˆˆˆAˆe,ˆ γ xz p a  z jsou integrační konstanty, které odvodíme z okrajových podmínek později.Pro průběh proudu lze psátI ˆ 1( x)= −ZˆldUˆ ( x)1 d= −dxZˆlx x( Aˆ− ˆ γˆ γe + Aˆe )pdxz1= −Zˆl0γ xγ xγ x γ x( γ Aˆ− ˆγ Aˆˆ 1 ˆˆ) ( Aˆ−− ˆ e + ˆ e = e − Aˆe )kde jsme zavedli další sekundární parametr vedení -vlnovou impedanci dlouhého vedenípzZˆvpz,ZˆvZˆYˆl 0 0= =.qRG0+ jωL+ jωC0Integrační konstanty určíme z počátečních podmínek v místě x = 0 m134

které jsouIˆ1ˆ ˆ ˆ − ˆ0 γU = U (0) = A e + Aˆ= Aˆ+ Aˆ,1= Iˆ(0)=1Zˆvp135ˆ0 γze( ˆ − ˆ0 γ ˆ ˆ0 γ 1A e − A e ) = ( Aˆ− Aˆ)p1( ˆ ˆ ˆ1= U Z I ) a Aˆ( Uˆ− ZˆIˆ)A ˆp 1 +2v1zzZˆvpp= 1 v 1 .,2Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme rovnice popisující rozložení napětí a proudupodél vedeníUˆ( x)=12Uˆp ( x)Uˆz ( x)1 ⎛ UˆIˆ(x)= − = ⎜Zˆv Zˆ2v Zˆ⎝xx( UˆZˆIˆ− ˆ γ 1ˆ γ+ ) e + ( Uˆ− ZˆIˆ)1 v 11 v 1 e1v+ Iˆ12⎞⎟ e⎠− ˆ γ xz1 ⎛ Uˆ− ⎜2Zˆ⎝kde index p představuje vlnu, která postupuje od počátku vedení směrem k jeho konci a indexz vlnu zpětnou, která postupuje od konce vedení směrem k jeho počátku.Tyto rovnice lze přeskupením členů a užitím hyperbolických funkcí zapsatIˆ(x)= IˆUˆ ( x)= UˆUˆ−Zˆeˆ γ x+ e2− ˆ γ xˆ ˆ e− Z Iˆ γ x− e2− ˆ γ x= Uˆ1vz,,− Iˆ1⎞⎟ e⎠ˆ γ xcosh( ˆ γ x)− ZˆIˆsinh( ˆ γ ) ,1 v 11v 1 xUˆ= −ZˆUˆ= −Zˆˆ γ x − ˆ γ xˆ γ x − ˆ γ xˆ γ x − ˆ γ x ˆ γ x − ˆ γ xe + e1 e − e1 e − e ˆ e + e11 + I11 x2222vvv.,sinh( ˆ γ x)+ Iˆcosh( ˆ γ )Tyto rovnice umožňují zjistit komplexní efektivní hodnoty napětí a proudů ve kterémkolivmístě x vedení, tedy i na jeho konci, v místě x = l.Uˆ= Uˆ ( l)= Uˆcosh( ˆ γ l)− ZˆIˆsinh( ˆ γ ) ,2 1v 1 lˆˆ U1I ˆ( ) sinh( ˆ ) ˆ cosh( ˆ2′ = I l = − γ l + I1γ l).ZˆZáměnou závislých proměnných tyto rovnice můžeme upravit do tvaruUˆv= Uˆcosh( ˆ γ l)+ ZˆIˆ′ sinh( ˆ γ ) ,1 2v 2 lˆˆ U 2I sinh( ˆ ) ˆ cosh( ˆ1 = γ l + I 2′γ l),Zˆcož jsou kaskádní rovnice obrazového dvojbranu, protože platíovZ ˆ = Zˆa gˆ o = γˆ l .vVedení se z pohledu jeho okrajů chová jako dvojbran, což lze využít ke stanovenísekundárních parametrů vedení ze stavu naprázdno a nakrátko.Zavedeme-li nový souřadný systém s, který bude mít počátek v místě x = l, rovnice vedení lzepřepsat na základě substituce s = l − x

Uˆ ( s)= Uˆcosh( ˆ γ s)+ ZˆIˆ′ sinh( ˆ γ ) ,2 v 2 sUˆ2Iˆ(s)= sinh( ˆ γ s)+ Iˆcosh( ˆ2′γ s),Zˆvze kterých snáze určíme sekundární parametry vedení, tak jako u dvojbranů nebo získatrozložení vln napětí a proudu podél vedení v novém souřadném systémuss( UˆZˆIˆˆ γ 1ˆ γ) e ( UˆZˆIˆ−+ ′ + − ′ ) eUˆ1( s)= Uˆp ( s)+ Uˆz ( s)= 2 v 22 v 2 ,22Iˆ( s)ˆˆ1 ⎛Uˆ⎜⎝ˆ1 ⎛Uˆ⎜⎝2ˆ γ s2− ˆ γ s= I p ( s)+ I z ( s)= + I 2′e − − I 2′e .2 ⎜ Zˆ⎟ 2 ⎜vZˆ⎟vZ rovnic vidíme, že zpětné vlny nebudou existovat na vedení, bude-li platitˆ2Z s =Iˆ2′⎞⎟⎠Uˆ= Zˆ.Takovéto vedení nazýváme přizpůsobené, což je případ, kdy je na konci zatíženo impedancíẐ s , která je rovna vlnové impedanci vedení.vˆ⎞⎟⎠∧ ∧∧I 1 = I(l)∧∧ ∧ I′ 2 = I (0)- I z (s) I(s), I p (s)∧ ∧∧∧ ∧U 1 = U ( l)U z (s) U ∧ ∧(s), U p (s) U 2 =U (0)∧Î' 212[ Â]Û 1Î 1Û 2Ẑs∧∧I 1′ 2s0 xls = l - xl0I1‘2‘s = l s 0Není-li vedení přizpůsobené, dochází na konci vedení k odrazu, což postihuje činitel odrazunapětí a prouduZˆ− Zˆs vˆ ρ U=aZˆˆs + Z vZˆ− Zˆs vˆ ρ I = − ,Zˆˆs + Z vkteré jsou až na znaménko shodné. Poznamenejme, že není-li odražená (zpětná) vlnautlumena vedením, dochází k odrazu vln i na počátku vedení, kde roli zatěžovací impedanceẐ s zastupuje v činitelích odrazu vnitřní impedance zdroje vlnění umístěného na počátkuvedení, o kterém předpokládáme, že má harmonický průběh.Jak víme, vedení (také nazýváno linka) je pasivní prvek, který zajišťuje přenos energie.Elektromagnetická energie přenášená dvěma paralelními vodiči se šíří v prostoru mezi těmitovodiči, přičemž vlastní vodiče určují směr přenosu této energie. Prostor kolem vodičů můžebýt tvořen vzduchem nebo jiným dielektrikem. Každá nehomogenita prostředí kolem vedení,a to včetně zakončení vodičů vedení vede k odrazům vln postupujícím po vedení a kezměnám amplitudy a fáze prostupující vlny. Pomineme-li idealizovaný případ nekonečnědlouhého vedení, na jehož konci nikdy nedochází k odrazu, mohou tedy nastat tyto typicképřípady: vedení je přizpůsobeno ( ˆ ρ U = 0 a ˆ ρ I = 0 ), vedení je zakončeno nějakou obecnou136

impedancí (nejčastější případ, ˆ ρ U< 1 a ˆ ρ I< 1), zkratem ( ρ = −1a ˆ ρ I= 1) nebo může býtna konci otevřené ( ˆ ρ U= 1 a ˆ ρ I= −1). Záporné znaménko znamená odraz vlny s opačnoufází.Poznamenejme, že zkratovaný a otevřený konec vedení působí vznik stojatého vlnění, kterénepřenáší žádnou energii podél vedení. Na tomto vedení totiž dochází jen k přelévání energiemezi jeho λ/4 vlnnými úseky. Fyzikální význam sekundárních parametrů vedeníČinitel šířeníˆ U( R + jωL)( G ωC)ˆ γ = α + jβ=+ ,0 0 0 jmá dvě složky, reálnou, kterou nazýváme činitel fáze a imaginární, činitel útlumu . Oběsložky mají jednotku m -1 , pro které platí1⎤⎢⎣⎡ 22 2 2 2= Re{ ˆ} = ( − ) + ( + )( + 2 2α γ R0G0ω L0C0R0ω L0G0ω C0) ,2⎥⎦1⎤⎢⎣⎡ 22 2 2 2= Im{ˆ} = − ( − ) + ( + )( + 2 2β γ R0G0ω L0C0R0ω L0G0ω C0) .2⎥⎦činitel fáze udává, o kolik stupňů je na jednotku délky vedení pootočen fázor napětí neboproudu vůči počátku vedení. Určuje také délku vlny na vedení2πλ = ,βneboť fázor napětí či proudu se natočí o 2π nebo 360° na vzdálenosti délky vlny λ.0Vydělíme-li délku vlny dobou kmitu, tedy periodou zdroje vlnění T, dostaneme fázovourychlost šíření vlny podél vedeníkde f je kmitočet vlnění.vλ= = λ ⋅ fTf ,Vliv prostředí obklopující vodiče vedení zahrnuje vlnová impedance vedení, pro jejíž modul afázi platíZv2 2 2R0+ ω L0= 4,2 2 2G0+ ω C01 ⎡ ⎛ ωL ⎤0⎞ ⎛ ω C0⎞ϕ ⎢⎜⎟ −⎜⎟v = arctan arctan ⎥ .2 ⎢⎣⎝ R0⎠ ⎝ G0⎠⎥⎦137

Im{Û(x) e jωt }Im{Û(s) e jωt }U e−αx1neboα ( s−l) α l α sU1e = U1e e= Uα s2et = konst.arg(Û(x) e jωt )arg(Û(s) e jωt )λ180°-180°0lsλl-λ2 λl-2 λxPříklad 1.1.Určete sekundární parametry vedení, jsou-li známy primární parametry vedení R 0 = 3,16 Ω/km,L 0 = 1,85 mH/km, G 0 = 0,5 μS/km, C 0 = 6,4 nF/km. Kmitočet vedení je 800 Hz a jeho délka je100 km.♦Řešení:Podélná impedance a příčná admitance vedení jsouˆ−3j71,23°-1Z l = R0+ j2πfL0= 3,16 + j2π⋅ 800 ⋅1,85⋅10= 3,16 + j9,3 = 9,82e Ω km ,ˆ −6−3−7−5−5j89,11°j2 0,5 10 j2 800 1,85 10 5 10 j3,217 10 3,22 10 e S km-1q = G0+ πfC0= ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅YHodnotu činitele šíření vypočteme z definiceˆ γ = ZˆYˆlq== 3,03 ⋅10−39,82ej71,23°+ j1,75 ⋅10⋅ 3,22 ⋅10−2kma vlnové impedance z definice-1−5ej89,11°=3,16 ⋅10−4ej160,34°= 1,78 ⋅10−2ej80,17°ˆj71,23°ˆ Z l 9,82e- j17,88°- j8,94°Z v = == 305284,8e = 545,82 − j85,85 = 552,53eΩ .ˆ−5j89,11°Y 3,22 ⋅10eqReálnou složku činitele šíření - činitel útlumu α určíme ze vztahu=.138

α = Re γ−3−2−3-1{} ˆ = Re{ 3,03 ⋅10+ j1,75 ⋅10} = 3,03 ⋅10kma jeho imaginární složku - činitel fáze−3−2−2-1{} ˆ = Im{ 3,03 ⋅10+ j1,75 ⋅10} = 1,75 ⋅10kmβ = Re γ.Bezeztrátové vedeníBezeztrátové vedení je idealizací skutečného vedení nebo modelem vedenívysokofrekvenčního, u kterého lze u měrných imitancí Ẑ l a Y ˆq zanedbat jejich reálnou složku( R0

Zˆ(l)a pro vedení naprázdno, kdyZˆ(l)Uˆ ( l)=ˆ(ˆ ˆ ⎛ 2π⎞jZv I 2′sin⎜l ⎟⎝ λ=⎠= jZˆvUˆ2 = 0I l)ˆ20 ˆ ⎛ π ⎞U 2 I 2′cos l⎝ λ= ⎜ ⎟Uˆ ( l)=ˆ(⎝ λ⎠⎛ 2π⎞tan⎜l ⎟ = jX⎠Iˆ2 = 0 A , platí pro vstupní impedanci vedení, tj. pro místo s = l,ˆ ⎛ 2π⎞U 2 cos⎜l ⎟⎝ λ ⎠ ˆ ⎛ 2π⎞== −jZcotan⎜l ⎟ = −jXˆ⎠j sin⎜l ⎟Zˆ⎝ λ ⎠vIˆ2 = 0I l)ˆ U0 2 2⎝I =⎛ π ⎞λ2vPodle relace mezi fyzickou délkou vedení a délkou vlny na vedení, z rovnic vidíme, že sezkratované a otevřené vedení chová podle následující tabulky.naknap.X LX CX LX CX LX Cλ / 4 < l < λ / 2l = λ / 4l = λ / 2λ / 4 < l < λ / 2l < λ / 4l = λ / 4Příklad 1.2.Určete, jaký charakter má vedení na konci zkratované, kratší než λ/4.♦Řešení:Z výše uvedené tabulky vidíme, že vedení této délky má indukční charakter.VIRTUÁLNÍ LABORATOŘKmitočtovou závislost vstupní impedance různých modelů vedení realizují aplikace7_1_Z1_VedeniGAMAclanek.xls, 7_2_Z1_VedeniLclanek.xls,7_3_Z1_VedeniPIclanek.xls.Shrnutí pojmů 7.2.Analýzu dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu provádíme v oboru komplexníchhodnot zavedením sekundárních parametrů vedení, kterými jsou činitel šíření γˆ a vlnová140

impedance dlouhého vedení Ẑv. Reálnou složku činitele šíření nazýváme činitel útlumu α,který je mírou exponenciálního tlumení velikosti vlnění podél vedení a jeho imaginární složkučinitel fáze β, který je mírou natočení fáze vlnění na jednotkovém úseku vedení. Činitel fázedefinuje délku vlny λ na vedení, na jejíž relaci vůči délce vedení můžeme rozhodnout,budeme-li muset modelovat vedení jako obvod s prostorově rozloženými parametry.Zvláštním případem vedení je impedančně přizpůsobené vedení, které je na začátku i koncizatížené právě vlnovou impedancí. Takovéto vedení jako celek můžeme modelovatobrazovými parametry dvojbranu. Míru odrazu vln vedení na jeho okrajích definují činiteleodrazu napětí ˆρ a proudu Uˆρ I . Oba tyto činitele mají co do hodnoty stejné velikosti, avšak seliší znaménkem. K odrazům nedochází na přizpůsobeném vedení, kdy na vedení existujepouze přímá vlna napětí a proudu. Bezeztrátové vedení je vhodnou aproximacívysokofrekvenčního vedení. Na vedení zakončeném nakrátko a naprázdno vzniká stojatévlnění, které nepřenáší energii.Primární parametry vedení, sekundární parametry vedení, vlnové rovnice vedenív harmonicky ustáleném stavu, činitel odrazu, přizpůsobené vedení, přímá vlna, zpětná vlna,fázová rychlost šíření vlnění, stojaté vlnění, bezeztrátové vedení.Otázky 7.2.1. Jaký je rozdíl mezi primárními a sekundárními parametry vedení?2. Co slouží k posouzení ztrát vedení?3. Jak je definována vlnová impedance vedení a co udává?4. Jak je definován činitel útlumu a činitel fáze a co oba dva udávají5. Jaký je vztah mezi sekundárními obrazovými parametry dvojbranu a dlouhého vedení?6. Co je to přizpůsobené vedení?7. Jakou hodnotu mají činitele odrazu napětí a proudu, je-li konec dlouhého vedenínakrátko?8. Jaký typ vedení vzniká na dlouhém vedení, jehož konec je otevřený?9. Jakou hodnotu má vstupní impedance vedení, které je zakončené nakrátko, má-li délkurovnou čtvrtině délky vlny?Úlohy k řešení 7.2.1. Určete dobu, za kterou dorazí rozruch vyvolaný zdrojem na počátku přizpůsobenéhovysokofrekvenčního vedení o délce 400 m po odrazu od konce vedení do místax = 100 m vzdáleného konce vedení, znáte-li R 0 = 5 mΩ/m, G 0 = 0,1 nS/m,L 0 = 36 μH/m, C 0 = 1 pF/m, f = 1 GHz.Klíč k řešení141

1. Z nevratných změn jsou to ztráty v dielektriku vyvolané jeho polarizací a magnetizací.První jsou úměrné časové změně intenzity elektrického pole (napětí mezi vodiči), a lze jezahrnout do příčné vodivosti, druhé (např. ve feritu dielektrika) jsou úměrné časové změněintenzity magnetického pole, tj. proudu a zahrnují se do podélného odporu R. V rámciindukčnosti L není rovněž zahrnuto pole uvnitř vodičů, které lze respektovat zvětšením L otzv. vnitřní indukčnost. Vůbec se neuvažuje magnetické pole příčných posuvných proudů(příčná indukčnost) a elektrické pole ve směru osy vodičů (podélná kapacita). Tato pole jsouobvykle zanedbatelná, neboť změna u(x), i(x) podél vedení probíhá velmi pozvolna vesrovnání s příčnou vzdáleností vodičů.2. Fázová rychlost vlnění je11-1v f = == ms .6 12−9L0C− −0 36 ⋅10⋅1⋅106 ⋅10Potřebnou dráhu s = 500 m vlna urazí za čast =svf=50016 ⋅10−9= 3μs.Zadání samostatné práce č. 7:1Nakreslete možné varianty ekvivalentního náhradního zapojení zátěže vedení a určetehodnoty jejich parametrů, tak aby zátěž byla vedení impedančně přizpůsobena. Primárníparametry vedení jsou: R 0 = 3,16 Ω/km, L 0 = 1,85 mH/km, G 0 = 0,5 μS/km, C 0 = 6,4nF/km, kmitočet vedení je 800 Hz a jeho délka 200 km.Další zdroje[1] Székely, J.: Teoretická elektrotechnika I, druhý diel. Alfa, Bratislava 1979, s.45 – 80[2] Szekély, J., Perény, M.: Príklady z teoretickém elektrotechniky - Riešenie obvodov,skripta VŠD v Žilině, s.265 – 277[3] Mikulec, M.; Havlíček,V.:Základy teorie elektrických obvodů II. Skriptum ČVUT Praha1999, kapitola 5[4] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981[5] Černohorský, D., Svačina, J., Raida, Z.: Elektromagnetické vlny a vedení, PC-DIR spol.s r.o. – Nakladatelství Brno, 1995 s. 38-50142

LABORATORNÍ ÚLOHYVIDEO A ANIMACES měřicími přístroji používanými v laboratorních úlohách se můžete předemseznámit ve videích 0_1_Generator_DC.wmv, 0_2_Generator_AC.wmv,0_3_Generator.wmv, 0_4_OsciloskopDigitalni.wmv,0_5_OsciloskopAnalogovy.wmv.Postup, jak vytvořit a upravit graf v programu MS Excel je animován v souborech0_1_VytvoreniGrafuExcel97_2003.ppt, 0_2_UpravaGrafuRegreseExcel97_2003.ppt,0_3_UpravaGrafuVedlejsiOsaExcel97_2003.ppt, 0_4_VytvoreniGrafuExce2010.ppsx,0_5_UpravaGrafuRegreseExcel2010.ppsx,0_6_UpravaGrafuVedlejsiOsaExcel2010.ppsx, 0_7_ZapisRovnicExce2010.ppsx.Laboratorní úloha č. 1 - Trojfázové obvodyZadání:1. Zapojte do hvězdy (Y) jednotlivá vinutí transformátorů přípravku tak, aby vzniklsouměrný trojfázový zdroj a změřte fázová a sdružená napětí ve stavu naprázdno.2. Změřte obvodové veličiny pro případy tří (zapojení Y, D zátěže) a čtyřvodičovénapájecí soustavy (zapojení Y zátěže) v uspořádáních:a) souměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do Y,b) souměrný zdroj nesymetrický spotřebič zapojený do Y,c) nesouměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do Y,d) souměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do trojúhelníku (D),3. Nakreslete fázorové diagramy napětí a proudu.4. Určete činné výkony všech zapojení, výsledky zpracujte do tabulky a posuďte jespolu s obvodovými veličinami.5. Vyslovte se ke vztahu mezi fázovým a síťovým proudem při zapojení souměrnézátěže do trojúhelníku a dokažte jeho platnost.6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky pro zápis měřených hodnotobvodových veličin dílčích zapojení.143

U ˆAU ˆBU ˆCUsYUfYUsY= 3 U fU ˆAAU ˆBBCYABCNÎAÎBÎAÎBÎCÎ0AAAA/VAAAÛ oU ˆCUˆ31ÎCÎ sÎ sU sU fUˆ12Uˆ231231230Î 1Î 2Î3I fÎ 1Î 2Î3Î 31Î 12Î 23U ˆ1U ˆ2U ˆ3U = Uf DsDAObr. 8. 1.1 Měřicí schéma zapojení trojfázových obvodů: zapojení zátěže do hvězdy (3 nebo4-vodičová soustava napájení), zapojení zátěže do trojúhelníku (3-vodičová soustavanapájení)Upozornění:Fázory v trojfázových obvodech obvykle zobrazujeme jako fázorové diagramy 2.druhu. Liší se od fázorových diagramů 1. druhu (používaných v jednofázových obvodech)tím, že rovina komplexních čísel je pootočena o 90° a opačnou orientací fázorů. Důvodem jelepší názornost.Pracovní postup:ad 1. Doporučujeme, nejprve si vyzkoušet, jak správně zapojit konec vinutíjednotlivých transformátorů, aby vznikl souměrný trojfázový zdroj zapojený do hvězdy.K měření obvodových veličin použijeme 4 nebo 5 měřicích přístrojů. Třemi měříme síťovéproudy, jeden používáme jako voltmetr k měření U0, respektive po přepnutí na proudovérozsahy jako ampérmetr k měření I0, jeden můžeme použít k měření fázových napětí, resp.měření veličin k verifikaci podle bodu 5. V případě použití 5 multimetrů dbáme toho, aby přizapojení zátěže do Y nebyl mezi uzel zdroje a zátěže zapojen ampérmetr trvale, ale jen vpřípadě čtyřvodičové soustavy napájení, kdy máme za úkol měřit proud nulovým vodičem I0.Napětí U0nemá v tomto případě smysl měřit, neboť je dáno pouhým úbytkem bočníkuamérmetru. Zátěž realizujeme pomocí tří modulů odporové dekády s rozsahem hodnot 20 –1119 Ω. Hodnoty odporů odporníků zátěže volíme z intervalu hodnot 170 – 300 Ω.Nesouměrný zdroj nejsnáze získáme záměnou konců jednoho vinutí transformátoru anesouměrný spotřebič nastavením hodnoty odporu jedné fáze zátěže na maximální hodnotuodporové dekády.ad 2. a) Pozor neexistuje ideální souměrnost, možno naměřit I0≠ 0 , U0≠ 0 .144

1119 Ω.b) Nesymetrii v jedné fázi vytvoříme nastavením odporu dekády na hodnotuc) Buď přehodíme začátek a konec jedné fáze zdroje nebo jednu fázi zdrojespojíme se svorkou 0 spotřebiče a svorku N zdroje s příslušnou svorkou spotřebiče (záměnanulového a síťového vodiče).d) Zdroj je zapojen do hvězdy.ad 3. Fázorové diagramy zátěže zapojené do Y kreslíme pro oba případy napájecíchsoustav. Nezapomeňme ve fázorovém diagramu třívodičové soustavy zakreslit fázor U ˆ0(předpoklad Iˆ0= 0Atj. Ẑ0→ ∞ ) a ve fázorovém diagramu čtyřvodičové soustavy zakreslitfázor Î0(předpoklad U ˆ0= 0Vtj. Z ˆ0= 0Ω). Při konstrukci fázorových diagramůpředpokládáme, že se odporník při daném kmitočtu chová jako rezistor.ad 4. Srovnejte výkony, ale i napětí a proudy při zapojení zátéže do Y a D a posuďtevýkony v nesouměrných stavech zátěže zapojené do Y.ad 5. Vztah nejsnáze dokážete na základě fázorového diagramu proudů obvodu.VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEONaměřené hodnoty ověřte aplikacemi virtuální laboratoře 1_1_Hvezda.xls,1_2_Trojuhelnik.xls.Praktickou realizaci trojfázového zdroje a zátěže v laboratoři ilustrují videa1_1_Zapojeni3fzdroje.wmv, 1_2_Pripojeni3fzateze.wmv.Laboratorní úloha č. 2 – Určování parametrů odporových dvojbranů akmitočtové charakteristiky RC členůZadání:1) Z měření naprázdno a nakrátko dle obr. 8.2.2 určete kaskádní parametry zapojení naobr. 8.2.1a, 1b a 1c.2) Kaskádní parametry dvojbranů v zapojení na obr. 8.2.1a ověřte výpočtem pomocíkaskádních parametrů dvojbranů v zapojení podle obr. 8.2.1b a 1c.3) Výpočtem určete vstupní a výstupní odpor zapojení na obr. 8.2.1a ve stavunaprázdno, nakrátko a pro obecnou zatěžovací impedanci a vstupní a výstupní obrazovýodpor.4 ) Změřte celkové napětí U a dílčí napětí U R , U C na nezatíženém RC členu vzávislosti na kmitočtu podle obr. 8.2.3.5) Experimentálně ověřte charakteristický kmitočet RC členu.Uˆ6) Odvoďte komplexní přenosy Fˆ= RURUˆ, UˆFˆCUC= z kmitočťově závislého děličeUˆnapětí, pojmenujte je podle jejich chování v kmitočtové oblasti, nakreslete pro každý přenosobvodové schéma typu L článku a pojmenujte toto schéma z hlediska jeho chování v časovéoblasti. V semilogaritmických souřadnicích vyneste modulové a fázové kmitočtovécharakteristiky těchto přenosů. Moduly přenosů U R /U, U C /U stanovte v decibelech. Grafickyz kmitočtových charakteristik určete charakteristický kmitočet obvodu.145

7) V komplexní rovině zobrazte fázorové čáry obou přenosových funkcí ˆF UR, ˆFUCpro parametr f nebo ω. U obou fázorových čar zvýrazněte bod odpovídajícícharakteristickému kmitočtu.8) Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání.9) Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených hodnot, do kterýchuveďte i vypočtené hodnoty kaskádních parametrů dvojbranu (případ měření nastejnosměrném dvojbranu) a vypočtené moduly a fáze přenosů ˆFUR, ˆFUC(případ měření RCčlánku). V návrhu tabulek stejnosměrného dvojbranu zohledněte fakt, že ve stavu naprázdno anakrátko má jedna z měřených veličin nulovou hodnotu.1a) b) c)32 13 32R 1R 2R 3R 1R 2R 31‘3‘2‘1‘3‘3‘2‘Obr. 8. 2.1 Schéma zapojení stejnosměrných dvojbranů: T-článek, L-článek, degenerovanýdvojbranA~═UI 10U 20VVU 10AI 1kI' 2k~═UVAU 1kObr. 8. 2.2 Měřicí schéma parametrů dvojbranu: stav naprázdno, stav nakrátko146

INf. generátor~VRUU RVCVU CObr. 8. 2.3 Měřicí schéma RC článkuUpozornění:V žádném z provozních stavů stejnosměrného dvojbranu nesmí zapůsobit proudovéomezení zdroje!Pracovní postup:ad 1. Hodnoty odporníků R 1 < R 2 < R 3 volíme z intervalu 150 – 450 Ω a napětístejnosměrného zdroje do 10 V.AR 1 =AR2ad 2. Pro matice kaskádně řazených dvojbranů platí [ ˆ ] [ Aˆ][ Aˆ]11A=Aad 3. Vstupní odpor dvojbranu je dán obecně21 I2 = 02221 I2 = 0obrazový odpor, nakrátko, nakrátkoAAR 1 =ARA21222 U2 = 0A=A22 12R 2o = .A21A111211 U2 = 0), výstupní odpor), vstupní obrazový odporA = .U 2ad 6. Moduly napěťových přenosů v decibelech určíme ze vztahu F U ( dB) = 20log,Ukde U 2 je U R nebo U C . Charakteristický kmitočet určíme graficky na základě 3 dB odchylkyskutečné modulové charakteristiky od asymptotické Bodeho modulové charakteristiky na147RRa)ARb)+ Ac)11 z 121 = (ve stavu naprázdnoA21Rz+ A22AR+ A22 z 122 = ( ve stavu naprázdnoA21Rz+ A11AA11 12R 1o = , výstupníA21A22ad 4. Měření napětí provádíme na kmitočtech 0,05f o ; 0,1f o ; 0,3f o ; 0,5f o ; 0,8f o ; f o ; 1,1 f o ;3f o ; 5f o ; 8f o ; 10f o a 15f o kHz, kde f o je charakteristický kmitočet obvodu definovaný1f o = , který volíme tak aby ležel v intervalu 150 – 200 Hz. Hodnoty odporu odporníku2πRCR volíme z intervalu 800 – 1119 Ω a kapacity kondenzátoru C z intervalu 800 – 999 nF.ad 5. Hodnotu charakteristického kmitočtu experimentálně určíme z rovnostiefektivních hodnot napětí U R , U C , kdy platí U R = U C = U / 2 .

kmitočtu f o nebo z fázové charakteristiky, ke kmitočtu f o odpovídájí fáze přenosů⎛UR ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛UC ⎞ ⎛ 1 ⎞ϕR= arccos⎜⎟ = arccos⎜⎟ = 45 ° , ϕC= −arccos⎜⎟ = −arccos⎜⎟ = −45° .⎝ U ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ U ⎠ ⎝ 2 ⎠Kmitočtovou osu modulové i fázové charakteristiky zobrazíme v logaritmickém měřítku.ad 7. Fázorové čáry obou přenosů jsou půlkružnice, orientované ve směru nárůstukmitočtu. Orientaci názorové čáry provádíme šipkou. Fázorová čára přenosu ˆFURleží v 1.kvadrantu komplexní roviny a ˆF UCv jejím 4. kvadrantu. Souřadnice bodů fázorové čáryprakticky zobrazíme v kartézském souřadném systému. Na daném kmitočtu platí pro bodU 2 U 2fázorové čáry x = cos( ϕ 2 ) , y = sin( ϕ 2 ) , kde U 2 je U R nebo U C a ϕ 2 je ϕ R nebo ϕ C.UUReálná část přenosů ˆFUR, ˆFUCodpovídá souřadnici x, jejich imaginární část souřadnici y.Laboratorní úloha č. 3 - Měření přenosu zpětnovazební struktury soperačním zesilovačemZadání:1. Zapojte operační zesilovač jako invertující zesilovač, neinvertující zesilovač,sledovač signálu, integrační a derivační obvod podle obr. 8.3.1 – 8.3.6.2. Změřte hodnoty napětí zapojení podle obr. 8.3.6, ze kterých určete napěťovépřenosy v závislosti na kmitočtu.3. Zobrazte moduly jednotlivých napěťových přenosů v decibelech v závislosti nakmitočtu v semilogaritmických souřadnicích.4. Ze zvolených parametrů obvodu určete časové konstanty obvodů na obr. 8.3.4 a8.3.5, z jejichž převrácených hodnot určíme charakteristické úhlové kmitočty ω oa , ω ob , zekterých stanovíme charakteristické kmitočty těchto obvodů f oa , f ob . Hodnotu příslušnéhocharakteristickýho kmitočtu určete i graficky z kmitočtové charakteristiky obvodů na obr.8.3.4 a 8.3.5.5. Zobrazte v grafech pro zvolené hodnoty parametrů obvodů i napěťové přenosyplynoucí z matematických modelů jednotlivých zapojení v daném kmitočtovém pásmu, kteréodvoďte.6) Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání.7. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených hodnot, do kterýchuveďte vypočtené přenosy z hodnot napětí měřených i vypočtených z matematických modelůobvodů, navrhněte hodnoty parametrů zpětnovazební sítě a vypočtěte charakteristické lomovékmitočty obou propustí.148

R bR bR a–+15 VR a–+15 VÛ 1+–15 VÛ 2Û 1+–15 VÛ 2Obr. 8.3.1 Invertující zesilovačObr. 8.3.2 Neinvertující zesilovačC bR bR bR a+15 V–R a+15 V–Û 1+–15 VÛ 2Û 1+–15 VÛ 2Obr. 8.3.3 Sledovač signáluObr. 8.3.4 Integrační obvodR bC b+15 VR aC aR b+15 V–≈Û 1R a–+–15 VÛ 2Û 1+–15 VÛ 2~Obr. 8.3.5 Derivační obvodObr. 8.3.6 Příklad zapojení měřeného obvoduUpozornění:K napájení přípravku s operačním zesilovačem použijte výhradně stejnosměrný zdrojRC Didactic s pevnou hodnotou napětí ±15 V. Toto napětí snížené o úbytek napětí, vzniklý vobvodu ochrany napájení přípravku se zesilovačem proti jeho přepólování a ve vnitřnístruktuře zesilovače se objeví při saturaci zesilovače na jeho výstupu. Neopomeňte nejprve149

připojit k přípravku zem zdroje! Jelikož osciloskop a nízkofrekvenční generátor majínesymetrické vstupy/výstup jsou spojeny přes zem napájecí síť, je tedy možné měřit vstupní avýstupní napětí zesilovače jedním, a to živým hrotem sondy. Dbejte tedy, ať neprovedete ujednoho z těchto přístrojů záměnu svorek, která vede k vzájemnému vyzkratování přístrojů!V případě neočekávaného chování obvodu ověřte rovněž vodivost vodičů a propojovacíchbodů. S ohledem na korespondenci mezi schématem zapojení a realizovaným obvodempropojujte pokud možno přímo svorky odporových či kapacitních dekád krátkými vodiči sdvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v operační síti přípravku. Všechnaosciloskopická měření provádíme s nastavenou DC vazbou!Pracovní postup:ad 1. Zapojte postupně operační zesilovač podle obr. 8.3.1 – 8.3 5. Zvolte jednuhodnotu každého z parametrů operační sítě z intervalu hodnot: R a 10 – 20 kΩ, R b 20 – 30 kΩ,s podmínkou R a < R b , C a 30 – 50 nF, C b 7 – 14 nF. Doporučujeme začít měření zapojenímneinvertujícího zesilovače na obr. 8.3.2, ze kterého je snadné pouhým odpojením větves odporníkem R a realizovat sledovač na obr. 8.3.3. Poté realizujete zapojení invertujícíhozesilovače, když v napěťové zpětné vazbě ponecháme odporník R b a uzemníme neinvertujícívstup zesilovače a dopojíme požadované prvky zpětnovazební sítě dle obr. 8.3.1, 8.3.4, 8.3.5 .ad 2. Na nízkofrekvenčním generátoru MTX 3240 zvolte harmonický průběhvýstupního napětí a nastavte úroveň signálu, tak aby na jeho svorkách byla hodnota napětíšpička - špička U p-p z intervalu hodnot 280 – 1120 mV nebo efektivní hodnota napětí 100 –400 mV. Pro zapojení na obr. 8.3.1 – 8.3.3 dporučujeme volit kmitočty 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 a20 kHz Pro zapojení na obr. 8.3.4 a 8.3.5 doporučujeme volit kmitočty 0,05f o ; 0,1f o ; 0,3f o ;0,5f o ; 0,8f o ; f o ; 1,1 f o ; 3f o ; 5f o ; 8f o ; 10f o a 15f o kHz, kde f o je f oa nebo f ob . Hodnoty vstupního avýstupního napětí operačního zesilovače potřebné ke stanovení jeho přenosu nejsnázeodečteme u analogového osciloskopu z napětí špička – špička U p-p , u digitálního osciloskopulze využít i funkce automatického měření, tedy kromě napětí U p-p i jeho amplitudy čiefektivnní hodnoty.ad 3. Moduly napěťových přenosů v decibelech určíme ze vztahuKmitočtovou osu modulové charakteristiky zobrazíme v logaritmickém měřítku.U2F U ( dB) = 20log.U1ad 4. Charakteristický kmitočet určíme na základě 3 dB odchylky skutečnécharakteristiky od asymptotické Bodeho charakteristiky na tomto kmitočtu.ad 5. Přenosy matematických modelů odvodíme dosazením hodnot impedancízpětnovazební sítě do vztahů pro zesílení invertujícího a neinvertujícho zesilovače.VIRTUÁLNÍ LABORATOŘMatematické modely přenosů si můžete vygenerovat pomocí aplikace4_7_KmitoctovePrenosy_OZ.xls.150

Laboratorní úloha č. 4 - Charakteristiky nelineárního dvojbranuZadání:1. Změřte veličiny vstupní a výstupní brány nelineárního dvojbranu, reprezentovanéhobipolárním tranzistorem BC 546A podle obr. 8.4.1 potřebné ke konstrukci hlavníchcharakteristik tranzistoru.2. Nakreslete síť výstupních charakteristik tranzistoru I C = f ( U CE ) při I B = konst.,převodních charakteristik I C = f ( I B ) při U CE = konst., vstupních charakteristik U BE = f ( I B )při U CE = konst. a zpětně převodních charakteristik U BE = f ( U CE ) při I B = konst. viz obr.8.4.2.3. Sestrojte zatěžovací přímku zdroje v síti výstupních charakteristik a zvolte pracovníbod tranzistoru, ve kterém stanovte statické parametry smíšeného H modelu tranzistoru.4. V okolí pracovního bodu určete diferenční střídavé h parametry tranzistoru anakreslete pro tyto číselné hodnoty náhradní linearizovaný model tranzistoru pro střídavýsignál.5. Na následující laboratorní cvičení proveďte návrh odporové sítě k nastavenípracovního bodu tranzistoru. Na vstupní straně tranzistoru realizujte nastavení pracovníhobodu děličem napětí R F , R D (napěťové buzení) i odporníkem R D o velké hodnotě odporu(proudové buzení) viz obr. 8.4.3. Vypočtené hodnoty uveďte do tabulky této laboratorníúlohy.6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulku k zápisu měřených veličintranzistoru.R CI CAR BAI B~═+–VU BEU CEV+–═~Obr. 8.4.1 Měřicí schéma nelineárního dvojbranu151

I C (mA)U CE > 5 VI CkΔI BPI BΔI CI B (μA)I DkΔU CEU oU CE (V)I BU CE > 5 VΔU BEU BE (V)Obr. 8.4.2 Statické charakteristiky nelineárního dvojbranu - bipolárního tranzistoruUpozornění:Z důvodu přehlednosti dbáme, aby svorky odporníků dekád a ampérmetrů bylypropojeny přímo vodiči se dvojicemi svorek vytvořenými za tímto účelem v zapojovací sítipřípravku!Pracovní postup:ad 1. Zapojte stejnosměrný obvod podle obr. 8.4.1. Dbejte na správnou polarituzdrojů! Hodnotu odporníku R C volte z intervalu 20 – 100 Ω a R B z intervalu 50 – 150 kΩ.Požadované hodnoty veličin nastavte změnou napětí zdrojů. Dostavení požadované hodnotyveličin můžeme v případě potřeby dosáhnout i změnou odporu dekády. Hlavní charakteristikytranzistoru se vynášejí při konstantních hodnotách parametrů U CE a I B . Hodnoty I Bnastavujeme pro zvolený krok v rámci intervalu 1 – 200 μA, hodnoty U CE nastavujeme prozvolený krok v rámci intervalu 0 – 15 V, přičemž s ohledem na tvar výstupních charakteritikmezi nulou a krokem napětí vložíme alespoň další dvě hodnoty napětí U CE . Doporučujemevolit hodnoty I B = 20 μA, 40 μA, 60 μA, 80 μA, 100 μA, 120 μA, 140 μA a U CE = 0 V, 0,5V, 1 V, 2,5 V, 5 V, 7,5 V, 10 V, 12,5 V, 15 V.ad 2. Síť výstupních charakteristik sestrojíme pro hodnoty bázového proudu I B =20 μA, 40 μA, 60 μA, 80 μA, 100 μA, 120 μA, 140 μA, převodních charakteristik pro U CE =1 V, U CE = 5 V, U CE = 7,5 V, vstupních charakteristik pro U CE = 1 V, U CE = 5 V, U CE =7,5 V a zpětně převodních charakteristik při I B = 20 μA, 60 μA, 100 μA.ad 3. Pracovní bod daný napětím U CE a proudem I C volíme v síti výstupníchcharakteristik podle požadovaného rozkmitu výstupního střídavého napětí tranzistorovéhozesilovače. Aby limitace byla pokud možno souměrná, požadujeme splnění rovnosti U C =U CE . Pracovní bod má souřadnice (U CE ; I C ) a leží na zatěžovací přímce zdroje. Zatěžovací152

přímku konstruujeme vynesením dvou bodů do sítě výstupních charakteristik, které mají⎛ ⎞souřadnice (U o ; 0 mA) a (0 V; I Ck ) a pro které platí ⎜1U⎟oU o = U CE 2 + a ICk = .⎝ AU⎠ RC+ REAbsolutní hodnotu napěťového zesílení A s ohledem na návrh tranzistorového zesilovače proUlaboratorní úlohu č. 5 volíme 2 – 5 a součet hodnot kolektorového a emitorového odporníku R C + R Ez intervalu hodnot 200 – 1000 Ω. V místě zvolené hodnoty napětí U CE vztyčíme kolmici, jejížprůsečík se zatěžovací přímkou zdroje nám definuje pracovní bod, pro který odečtemehodnotu kolektorového proudu I C , ze kterého určíme hodnotu kolektorového odporníkuUCERCRC= a následně i hodnotu emitorového odporníku R E = . Hodnoty veličin pracovníhoIACUbodu na vstupní straně tranzistoru, zíkáme ze sítě hlavních charakteristik tranzistoruprůmětem pracovního bodu výstupní charakteristiky do charakteristiky vstupní, kde odečtemehodnoty pracovního bodu (I B ; U BE ) viz obr. 8.4.2.Pro statické H parametry nelineárního dvojbranu v pracovním bodu platíU BE U BEI CICH 11 = , H 12 = , H 21 = , H22= .I BU CE I BUCEad 4. Střídavé parametry určíme z diferencí veličin v okolí pracovního boduzobrazených na obr. 8.4.2 a stanovených ze souřadnic dvou bodů podle definicUBE1−UBE1Δ UBEUBE1−UBE1Δ UBEh11= = , h12= = ,I − I Δ IU −UΔ IhIB1− IB2Δ IC1 C2 C21= = ,IB1− IB2Δ IBBhICE1− ICE1Δ IC1 C2C22 = = .U CE1 − U CE1 Δ U CELinearizovaný model bipolárního tranzistoru pro střídavý signál popište odpovídajícímisymboly veličin s vypočtenými hodnotami parametrů. Pozor, hodnoty parametrů h 12 , h 22 jsouvlivem hodnoty Δ U záporné.CEad 5. Návrh pracovního bodu na vstupní straně tranzistoru pro případ napěťového buzenínakresleného na obr. 8.4.3 provedeme dosazením znamých hodnot do definičních vztahůU F U BE + U EU o − U F U o − U BE − U ERF= = a RD= =, kde k je činitel napěťového přizpůsobení,I F k I B( k + 1) I B( k + 1) I Bkterý volíme 10. Proudové buzení je limitním případem napěťového buzení pro k = 0, takže R F → ∞U o − U BE − U Ea RD= .I Bad 6. Tabulku navrhneme tak, aby bylo možné efektivně zapisovat hodnoty měřenýchveličin pro zvolené konstantní hodnoty U CE , I B potřebné k vynesení hlavních charakteristiktranzistoru na obr. 8.4.2.B153

I oI D = (k +1) I BI CU DR DU CI B1R C22‘U BEU CEU oI F = k I B1‘I EU FR FU ER EObr. 8.4.3 Můstkové zapojení pro nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoruVIRTUÁLNÍ LABORATOŘK ověření vypočtených hodnot pracovního bodu tranzistoru použijte aplikaci6_1_PracovniBodTranzistoru.xls.Laboratorní úloha č. 5 - Nastavení pracovního bodu nelineárníhodvojbranu a realizace střídavého zesilovačeZadání:1. Zapojte obvod podle obr. 8.5.1, kde odporovými dekádami nastavte tranzistor dopracovního bodu podle návrhu provedeného v rámci laboratorní úlohy č. 4 a ověřte měřenímjeho nastavení pro napěťové a proudové buzení tranzistoru. Hodnoty zapište do tabulky, vekteré uveďte i vypočtené hodnoty veličin a srovnejte je. Navržené hodnoty odporníků uveďtedo samostatné tabulky.2. V rámci přípravy na laboratorní cvičení navrhněte hodnoty vazebních kondenzátorůstřídavého zesilovače ve třídě A, nakreslete malosignálový model zesilovače pro napěťové aproudové buzení tranzistoru, určete vstupní střídavý odpor tranzistoru pro oba způsobybuzení tranzistoru. Vypočtené hodnoty C 1 , C 2 a R 1 uveďte do tabulky pro oba způsoby buzení.3. Realizujte střídavý zesilovač zapojením vazebních kondenzátorů a připojenímgenerátoru podle obr. 8.5.2 pro oba způsoby buzení.4. Nízkofrekvenčním generátorem MTX 3240 postupně nastavte pro oba způsobybuzení efektivní hodnoty napětí U 1 0,1 V; 0,2 V; 0,5 V; 1 V; 2 V harmonického průběhunapětí o kmitočtu 2 kHz. Tyto hodnoty spolu s naměřenými efektivními hodnotami napětí U 2a vypočtenými hodnotami přenosů napětí bezrozměrných i v decibelech uveďte do tabulky a154

srovnejte s hodnotou navrženého napěťového zesílenízávislosti U 2 = f(U 1 ) a psuďte je.A U tranzistoru. Do grafu zobrazte5. Ověřte nastavený dolní mezní kmitočet horní propusti měřením na výstupuzesilovače.6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot.R D R CI CmACV 2BEV 1R F R EU CE=+- U oU FObr. 8.5.1 Měřicí schéma k ověření nastavení pracovního bodu tranzistoruR DR C~1C 1C 2CBER F R EV 12´2V 2+=-U o1´Obr. 8.5.2 Měřicí schéma střídavého zesilovačeU 1U 2Pracovní postup:ad 1. Při proudovém buzení nezapomeňte odpojit odporník R F a nastavit odpovídajícíhodnotu odporníku R D . U napěťového buzení v případě potřeby zapojte do série s kilohmovoudekádou i dekádu ohmovou. Svorky odporníků dekád a voltmetrů a ampérmetru propojte155

přímo s dvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v zapojovací síti přípravku v souladus dispozicí prvků ve schématu zapojení.ad 2. Vazební kondenzátory C 1 , C 2 slouží k oddělení stejnosměrné a střídavé složky1vstupních a výstupních veličin tranzistoru. Hodnotu kapacity kondenzátoru C1=2πfo1R1vypočteme z hodnoty zvoleného charakteristického kmitočtu f o1 horní propusti, kterou tvořítento kondenzátor a vstupní odpor tranzistoru R 1 . Kmitočet f o1 volte z intervalu hodnot 20 –100 Hz. Pro vstupní odpor tranzistoru R 1 platí pro napěťové buzeníRDRF( h11+ RE(1 + h21))RD+ RF( h11+ RE(1 + h21)) RDvztah R1= a pro proudové buzení R1= .RDRFh11+ RE(1 + h21)+ RDh11+ RE(1 + h21)+RD+ RFJelikož tranzistorový zesilovač není zatížený, volte hodnotu C 2 = C 1 .ad 3. Svorky odporových dekád, vazebních kondenzátorů a voltmetrů opět propojtepřívodními vodiči s dvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v zapojovací sítipřípravku.ad 4. Blíží-li se součin 2U 1 AUhodnotě napětí U CE nebo přesáhne-li ji, dochází klimitaci (zkreslení) výstupního napětí, a tudíž k poklesu efektivní hodnoty výstupního napětí.ad. 5. Hodnotu charakteristického kmitočtu f o1 ověřte na základě poklesu amplitudyvýstupního napětí o 29,3 % (na hodnotu 1/ 2 násobku) na tomto kmitočtu a útlumemzesílení pod tímto kmitočtem.Laboratorní úloha č. 6 - Využití zpětných vazeb a přechodných jevů vobvodu s operačním zesilovačem ke generování obdélníkových impulzůZadání:1. Zapojte astabilní multivibrátor se střídou výstupního napětí S = 1 podle obr. 8.6.1 aosciloskopem změřte periodu T a stanovte kmitočet f výstupního obdélníkového napětíobvodu. Nastavte odporovými dekádami, zapojenými v obvodu kladné zpětné vazby operačnísítě hodnotu odporníku R 2 = 100 kΩ a jednu vybranou hodnotu z množiny hodnot odporníkuR 1 = 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ. V obvodu záporné zpětné vazby nastavte hodnotu odporníku R b= 50 kΩ a postupně v pořadí prováděných měření nastavujte hodnoty kapacit kondenzátoru C az množiny hodnot 1, 3, 5, 10, 20 nF. Do tabulek zapište měřené i odpovídající vypočtenéhodnoty. Ze stanovených hodnot vyneste grafy závislostí T = f(τ) a f = f(τ) a posuďte je. Projednu zvolenou hodnotu časové konstanty záporné zpětné vazby dále změřte osciloskopem azapište do tabulky dobu trvání kladného impulsu t 1 , dobu trvání záporného impulsu t 2 , oběúrovně výstupního napětí u 2 , obě úrovně komparačního napětí u R1 spolu s jejichodpovídajícími vypočtenými hodnotami a porovnejte je.2. Ponechejte obvod zapojený podle obr. 8.6.1 a pro následující měření vybertez množiny hodnot kapacit 1, 3, 5, 10, 20 nF její jednu hodnotu, kterou nastavte v obvoduzáporné zpětné vazby současně s hodnotou odporníku R b = 50 kΩ. V obvodu kladné zpětnévazby nastavte hodnotu odporníku R 2 = 100 kΩ a postupně v pořadí prováděných měřenínastavujte hodnoty odporníku R 1 = 10 kΩ, 20 kΩ, 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ, 200 kΩ.Osciloskopem změřte periodu výstupního napětí, stanovte jeho kmitočet a změřte obě úrovněkomparačního napětí u R1 , které uveďte do tabulky spolu s odpovídajícimi vypočtenýmihodnotami. Ze stanovených hodnot vyneste grafy závislostí T = f(R 1 ) a T = f(u R1 ) a posuďte je.156

3. Zapojte astabilní multivibrátor podle obr. 8.6.2, kde je střída S výstupního napětířízena napětím stejnosměrného zdroje U i a osciloskopem změřte periodu, stanovte kmitočet astřídu výstupního obdélníkového napětí obvodu. Nastavte odporovými dekádami,zapojenými v obvodu kladné zpětné vazby operační sítě hodnotu odporníku R 2 = 100 kΩ ajednu vybranou hodnotu z množiny hodnot odporníku R 1 = 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ.V obvodu záporné zpětné vazby nastavte hodnotu odporníku R b = 50 kΩ a jednu vybranouhodnotu z množiny hodnot kapacit kondenzátoru C a = 1, 3, 5 nF. Hodnoty stejnosměrnéhonapětí U i nastavte postupně na hodnoty -9 V, -6 V, -3 V, 0 V, 3 V, 6 V, 9 V a do tabulekzapište měřené i odpovídající vypočtené hodnoty. Ze stanovených hodnot vyneste grafyzávislostí T = f(U i ) a S = f(U i ) a posuďte je.4. Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání.5. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot.R b–+15 V+–15 Vu CaC aR 2u 2R 1u R1~Obr. 8.6.1 Měřicí schéma astabilního klopného obvodu se střídou výstupního napětí S = 1157

R b+15 V–+–15 Vu CaC aR 1R 2u 2U i═~~Obr. 8.6.2 Měřicí schéma astabilního klopného obvodu s proměnnou střídou výstupníhonapětí S ≠ 1Upozornění:Před započetím měření si nejprve znovu přečtěte Upozornění, uvedené k laboratorníúloze č. 3. Příznakem správné funkce obvodu jsou žluté LED, indikující saturaci výstupuoperačního zesilovače, které se pro zvolené parametry prvků zpětnovazbní sítě jeví lidskémuoku, jako současně svítící.Pracovní postup:ad 1. Změnu výstupního kmitočtu f u tohoto měření provádíme změnou časové konstantyv obvodu záporné zpětné vazby při konstantních parametrech prvků kladné zpětné vazby a při U i =0 V. Kmitočet f určíme jako převrácenou hodnotu periody T výstupního napětí. Do tabulek grafů⎛ 2R1+ R2⎞uveďte měřené i vypočtené hodnoty, pro které platí t = =⎜2 t1τ ln⎟ , T = t 1 + t2. Komparační⎝ R2⎠napětí (kladná vstupní svorka operačního zesilovače) je na obr. 8.6.1 totožné s napětím u R1odporníku R 1 . Špičkové hodnoty napětí kondenzátoru C a odpovídají dosažené úrovnikomparačního napětí tj. počáteční hodnotě napětí kondenzátoru, ze které dochází opakovaněk jeho přebíjení po překlopení výstupu astabilního klopného obvodu z jedné hodnoty158

saturačního napětí na druhou. Střídu ověříme z naměřených dob trvání kladné t 1 a záporné t 2t1šířky pulsu výstupního napětí podle vztahu S = .tad 2. Změnu výstupního kmitočtu f u tohoto měření provádíme změnou úrovně komparačníhonapětí v obvodu kladné zpětné vazby při konstantních parametrech prvků záporné zpětné vazby tj. přikonstantní časové konstantě τ a při U i = 0 V. Do tabulek a grafů uveďte měřené i vypočtené hodnoty,1⎛ U k − U 2sat⎞ ⎛Upro které platí T = t 1 + t2, f = , kde ⎜1k + U ⎞t =⎟1 τ ln, ⎜2 2satt ⎟T2 = τ ln,⎝U k − U2 2sat ⎠ ⎝U k + U1 2sat ⎠R1R1U k 1= − U 2sat je dolní a U k 2satR1+ R2= U je horní komparační úroveň napětí a U 2sat je2R1+ R2absolutní hodnota saturačního napětí astabilního klopného obvodu. Jelikož je střída výstupníhonapětí S =1, osciloskopem neměřte doby t 1 a t 2 , ale jen periodu a obě úrovně komparačníhonapětí.ad. 3 Změnu kmitočtu a střídy výstupního napětí u tohoto měření provádíme změnoustejnosměrného napětí U i při konstantních parametrech obvodu kladné i záporné zpětné vazby. Do1 t1tabulek grafů uveďte měřené i vypočtené hodnoty, pro které platí T = t 1 + t2, f = , S = , kdeT t⎛ 2R1+ R2R2⎞ ⎛ 2R1+ R2R2⎞⎜ − U 2sat + U i ⎟ ⎜ U 2sat + U i ⎟⎜ R1+ R2R1+ R2t =⎟1 τ ln⎜ R⎟,⎜ R1+ R2R1+ R2t⎟2 = τ ln2R⎜⎟.2R2R2⎜ − U 2sat + U i ⎟ ⎜ U 2sat + U i ⎟⎝ R1+ R2R1+ R2⎠ ⎝ R1+ R2R1+ R2⎠22VIRTUÁLNÍ LABORATOŘK ověření vypočtených hodnot astabilního klopného obvodu použijte aplikacivirtuální laboratoře 4_4_AstabilniKlopnyObvod.xls.Laboratorní úloha č. 7 - Rezonanční, vedený a vlastní kmitočet RLCobvoduZadání:1. Zapojte obvod podle obr. 8.7.1 a pomocí osciloskopu nalezněte jeho rezonančníkmitočet, stanovte hodnotu indukčnosti L a ekvivalentní hodnotu odporníku R L technickécívky. Stanovené hodnoty uvěďte do tabulky.2. Zapojte obvod podle obr. 8.7.2 a pro kvaziperiodickou odezvu obvodu pomocíosciloskopu změřte periodu valstních kmitů T d , a amplitudy dvou po sobě následujícíchexponenciálně tlumených sinusoid, ze kterých stanovte vlastní kmitočet obvodu f d ,logaritmický dekrement útlumu δ, činitel útlumu α a ekvivalentní odpor obvodu R e . Zeznámých parametrů obvodu určete hodnoty vlastního kmitočtu f d a ekvivalentního odporu obvodu R e asrovnejte je s hodnotami stanovenými z naměřených hodnot. Oběma způsoby stanovené hodnotyuvěďte do tabulky.3. Zapojte do obvodu na obr. 8.7.2 odporník R, tak jako na obr. 8.7.1, jehož hodnotunastavte na hodnotu kritického odporu obvodu R krit a osciloskopem změřte dobu ustálení159

aperiodické odezvy a srovnejte ji s dobou ustálení kvaziperiodické odezvy napětíkondenzátoru u D . Oba případy nasimulujte pomocí aplikace 2_3_Prechodny_dej_RLD.xls azobrazte do jednoho grafu a posuďte.4. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot.5. Na následující laboratorní cvičení vypracujte prezentaci náplně a výsledků tétolaboratorní úlohy.iRR LLC D = D -1R g≈u Ru=U m sin(ωt)~u Lru Du r =U r m sin(ωt)Obr. 8.7.1 Měřicí schéma pro nalezení rezonančního kmitočtu obvodui R Lu Lru DLC D = D -1R gu~Upozornění:Obr. 8.7.2 Měřicí schéma pro nalezení vlastního kmitočtu a útlumu obvoduOsciloskopická měření provádíme s nastavenou DC vazbou!Pracovní postup:ad 1. Nízkofrekvenční generátor MTX 3240 s vnitřním odporem R g = 50 Ω nastavtedo režimu harmonického napájení obvodu, hodnotu odporu odporníku R zvolte z intervaluhodnot 50 – 100 Ω a hodnotu kapacity kondenzátoru C D volte z intervalu hodnot 300 –500 nF. Rezonanční kmitočet f o nalezneme tak, že generátorem naladíme takový kmitočet,aby amplituda napětí u r na sériové kombinaci technické cívky a kondenzátoru měřená podleobr. 8.7.1 osciloskopem byla minimální. Napětí u r je při rezonanci rovno úbytku napětí narezistoru R L , protože při harmonickém napájení je součet napětí na induktoru L a kapacitoru C160

obvodu v každém časovém okmažiku roven nule. Hledanou indukčnost cívky stanovíme ze1Urmvztahu L = a ekvivalentní hodnotu odporu cívky ze vztahu R2L= R , který( 2πfo) CUDm−Urmvznikl ůpravou vztahu pro dělič napětí.ad 2. Nízkofrekvenční generátor MTX 3240 s vnitřním odporem R g = 50 Ω nastavtedo režimu střídavého obdélníkového napájení obvodu se střídou 1:1, jehož kmitočet nastavtepřibližně na hodnotu desetiny rezonančního kmitočtu f o . Na hranách obdélníkových impulsůviz obr. 8.7.3 pozorujeme exponenciálně tlumené vlastní kmity, jejichž periodu T d změřteosciloskopem spolu s amplitudami U Dm1 (t 1 ) , U Dm1 (t 1 +T d ). Vlastní kmitočet obvodu je1U Dm( t1)f d = , pro logaritmický dekrement útlumu platí δ = ln= α Td, činitel útlumuTU ( t + T )dδα = a ekvivalentní odpor obvodu R e = 2Lα. Hodnoty vlastního kmitočtu f d a ekvivalentníhoT dodporu obvodu R e ze známých parametrů obvodu stanovíme ze vztahůfd=12π1LCD⎛ Rg+ R− ⎜⎝ 2LL⎞⎟⎠2aR = R + R .ead 3. Kritický odpor obvodu vypočítáme ze vztahugLDm1Rkrit = 2dLC D. Za ustálenou hodnotupovažujte 1 % odchylku ustáleného průběhu odezvy u D od amplitudy obdélníkového impulsu.ad 5. Prezentace obsahuje titulní list s názvem laboratorní úlohy a jménem autora, následujepředstavení autora, třetí snímek zahrnuje osnovu vystoupení, pak následuje 5 – 7 snímků jádraprezentované úlohy (vzorce, schémata, tabulky, grafy a dosažené výstupy), předposlední snímekobsahuje závěrečné shrnutí a poslední snímek poděkování za pozornost.uC (V)U Dm (t 1 )U Dm (t 1 +T d )T d0t (s)Obr. 8.7.3 Stanovení periody vlastního kmitočtu a logaritmického dekrementu útlumuRLC obvodu161

VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEOPraktickou realizaci měření vlastních kmitů obvodu ilustruje video2_1_PrechodneJevy.wmv. K ověření chování obvodu použijte aplikaci virtuálnílaboratoře 2_3_Prechodny_dej_RLD.xls a 2_8_VlastniKmity_gen1.xls.K přípravě prezentace laboratorní úlohy vám jako inspirace poslouží videa4_1_PrezentaceMachova.wmv a 4_2_PrezentaceMiculka.wmv162