Elektronická forma

Aplikace Coulombova zákonaa) Silové působení soustavy bodových nábojů1F =4πεb) Silové působení spojitě rozloženého náboje0n∑j=1Q Q02rjj.Q0ρdVF = ∫ 24πεr0V

1.3. INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLENáboje v klidu na sebe působí prostřednictvím svých polí.Elektrostatické pole se projevuje silovým působením na nabité částice.Intenzita elektrostatického pole (v místě P, kde je Q 0 )F −1−1E = [ N.C ],[ V.m ],Q0Q 0 – "zkušební" náboj.F = Q0ENebo platíPozor na směr působení síly = nutno vyjádřit vektoremrF = QVýpočet intenzity elektrostatického polea) Intenzita elektrostatického pole bodového náboje Q0rE1 Q0QZ Coulombova zákona F =24πε0rDosazením dostaneme pro intenzitu elektrostatického pole bodového náboje v bodě rE1 Q=24πεrPro kladný bodový náboj E má orientaci "od náboje" (pro záporný náboj je orientaceopačná)Takové pole se nazývá radiální.b) Intenzita elektrostatického pole soustavy bodových nábojůpro soustavu bodových nábojů podleE=14πε00n∑j=1Qrj2j.

4. Pro znázornění používáme jen několika siločar .5. Na velikost pole E můžeme usuzovat z hustoty siločar.Počet siločar dN procházejících elementem plochy dS = hustota siločar,⊥dN =dS⊥E

Pro tok uzavřenou plochouΦe=∫Sr rEdS=∫SEdS cosα.1.5. GAUSSOVA VĚTA ELEKTROSTATIKYVyjadřuje vztah mezi tokem intenzity elektrostatického pole Φeuzavřenou plochou S anábojem Q uvnitř této plochy (náboj může být rozložen různým způsobem).Pro libovolnou uzavřenou plochu platíQΦ .e=Gaussova věta:Tok intenzity elektrostatického pole libovolnou uzavřenou plochou je ve vakuu rovenpodílu celkového náboje uvnitř plochy a permitivity vakuaPro případ dvou rovnoběžných rovin nabitých náboji opačných znamének rozloženými s= −plošnou hustotou stejné velikosti ( σ σ = σ )zatímco v okolním prostoru se obě pole ruší a E = 0.ε 0+ prostoru mezi rovinami jeσ=E ,Intenzita elektrického pole uvnitř nabitého vodičeNáboj nabitého vodiče je rozložen jen na povrchu (uvnitř jsou náboje kompenzovány)Uvažujme: uzavřenou plochu S vedenoutěsně pod povrchem nabitého vodičeε 0V celém objemu vodiče je intenzitaE = 0Poznámka:• pokud by E ≠ 0 , působila by navolné elektrony síla F = −eE, což byvedlo k jejich přemisťování,• využití při stínění elektrických polí.Poznámka:Plošná hustota náboje σ (x, y, z) nemusí býtve všech místech povrchu nabitého vodičestejná. Měřením bychom se mohlipřesvědčit, že největší hustotanáboje je na hranách a na hrotechnabitého vodiče, nejmenšíhustota (téměř nulová) jev dutinách. V okolí hrotů docházík sršení náboje (sání elektřinyhrotem – hromosvod).Elektrický vítr.

1.6. POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLESkalární veličina, která souvisí s potenciální energií náboje v elektrostatickém poli.a) Práce při přenášení náboje v elektrostatickém poliPři přemístění náboje Q 0 podél elementu dráhy dl se vykoná prácedA = F. dl = Q0E.dl .Při přemístění náboje Q 0 z bodu M do N po křivce l bude celková práce A dána dráhovýmintegrálemN∫A = Q E.dl0Mb) Potenciální energie náboje v elektrostatickém poliNáboje vzbuzující pole E a náboj Q 0 lze považovat za soustavu, ve které působí vnitřní síly.Síla F = Q0Eje výslednicí vnitřních sil působící na náboj Q 0 .V této soustavě lze zavést potenciální energii W pdWp = Fv. dl = −Q0E.dlPři přemístění náboje Q 0 v poli z bodu N do bodu M je přírůstek potenciální energie nábojeQ 0∆W = W −W= −QE.dlppMpNM∫0NRovnice určuje rozdíl potenciální energie náboje Q 0 v bodech M a N.Volba místa nulové potenciální energie. (zpravidla v ∞, prakticky povrch Země).Pro N →∞ je W pN = 0 potenciální energie náboje Q 0 v libovolném místě M elektrostatickéhopole je funkcí místa (polohy bodu M) v elektrostatickém poli.M∫W = −QE dl = Q E.dlpM0∞∞∫.0M

Potenciální energie náboje Q 0 je rovna práci, kterou vykoná vnější síla při přenesení tohotonáboje z nekonečna do daného bodu M (nebo opačně).c) Potenciál elektrostatického poleϕMW=QpM0= −M∫∞E.dl=∞∫ME.dlPotenciál elektrostatického pole v bodě M je:• číselně roven potenciální energii kladného jednotkového náboje v daném místě pole,• číselně roven práci vykonané vnější silou při přenesení kladného jednotkového náboje znekonečna do daného bodu pole,• číselně roven práci vykonané polem při přenesení kladného jednotkového náboje z bodupole do nekonečna.Potenciál je skalární veličina – J.C -1 = V (volt)Rozdíl potenciálů ϕ M - ϕ N nazýváme elektrické napětí U MN mezi body M a N pole E.V homogenním poli (E = konst.) platíkde d je vzdálenost bodů M a N.UMN= ϕmU MN= Ed ,− ϕPráce A je přímo úměrná velikosti přenášeného náboje a elektrického napětí mezi body M a NNA = Q0 ∫ E. dl = Q0MϕN=0M( ϕ − ) Q UMNVýpočet potenciálu elektrostatických polí některých soustav nábojůa) pole bodového náboje Q (umístěný v počátku), poloha bodu M je určena polohovýmrrvektorem MN1ϕM=4πε0QrM

Poznámka: stejný výsledek platí pro potenciál elektrického pole vodivé koule o poloměruR. Je-li Q záporný potom potenciál je rovněž záporný.b) potenciál buzený nábojem spojitě rozloženým s objemovou hustotou náboje ρϕM=14πε0∫VρdVrMPotenciál buzený nábojem spojitě rozloženým na ploše S s plošnou hustotou náboje σϕM=14πε0∫SσdSrPotenciál buzený nábojem spojitě rozloženým na křivce l s lineární hustotou náboje τϕM=M14πε0∫lτdlrd) Ekvipotenciální plochyPlochy, ve které má potenciál stejnou hodnotu (bodový náboj – soustředné koule, homogennípole – rovnoběžné roviny kolmé k siločárám).Vlastnosti ekvipotenciálních ploch:• přemístění náboje po ekvipotenciální ploše – práce sil elektrostatického pole = 0• E je kolmá k ekvipotenciální ploše.Elektrické siločáry jsou všude kolmé na ekvipotenciální plochy• Každým bodem prochází jediná siločára (ekvipotenciální plochy se nikde neprotínají).• Ekvipotenciální plochy v radiálním poli jsou soustředné kulové plochy.• Siločáry jsou kolmé k povrchu nabitého vodiče ⇒ ve všech bodech povrchu vodiče máelektrický potenciál stejnou hodnotu ϕ S .• Uvnitř vodiče je E = 0 a elektrický potenciál je v celém objemu vodiče konstantní a jeroven potenciálu na jeho povrchu.M

1.7. NENABITÝ VODIČ V ELEKTROSTATICKÉM POLIa) Kovové vodičeV kovových tělesech – volné elektrony (valenční elektrony atomů).Není-li těleso nabito, je náboj volných elektronů kompenzován zcela kladnými iontykrystalové mřížky kovu. Kladné ionty jsou vázány na uzlové body krystalové mříže anepohybují se.Počet volných elektronů u kovů:6429Cu – 29 elektronů (slupky 2, 8, 18 a 1),M m = 63,54.10 -3 kg.mol -1 , ρ Cu = 8900 kg.m -3 . 1 mol látky obsahuje 6,023.10 23 atomů• počet volných elektronů v 1 m 3 Cu23 36,023.10 .8,9.1028n0= = 8,4. 10−363,54.10Celkový náboj volných elektronů v 1 m 3 Cu– n 0 .e = – 1,3.10 10 C (je zcela kompenzován nábojem kladných iontů).b) Elektrostatická indukcePři vložení nenabitého vodiče do pole o intenzitě E0 působí na nabité částice snábojem q síly 0elektrostatická indukceF = qE ⇒ volné náboje (v kovech elektrony) se budou přemisťovat –Indukované náboje vytváří vlastní pole o intenzitěEi (orientované proti vnějšímu poli).Ustálený stavE=iE0 − E = 0Pole indukovaných nábojů na povrchu vodiče ruší ve vodiči vnější pole 0E (za cca 10-12s).Původně nenabité těleso se změní v elektrický dipól.Pomocí elektrostatické indukce je možné provádět nabíjení vodičů.

Vodič ve tvaru tenké kovové deskyV důsledku elektrostatické indukce se na stěnách indukují náboje s plošnou hustotou+ σi, −σ i.Velikost intenzity elektrostatického pole indukovaných nábojůσEii= ( iε 0Výsledná intenzita pole uvnitř vodiče musí být nula, takžeEσE má opačnou orientaci k E0 ).i0− = 0 ⇒ σi= ε0E0ε0Poznámka: V Maxwellově teorii kromě E r zavádíme vektor elektrické indukce D rZ toho vyplývá, že D r =σi [C.m -2 ].rD= ε 0rE

1.8. KAPACITA VODIČŮ. KONDENZÁTORYTělesa různého tvaru mají při nabití stejným nábojem různý potenciál (závisí na tvaru,vzdálenosti okolních vodičů a na prostředí, kterým jsou obklopena).a) Kapacita osamoceného vodiče∫Q = σ dS .SPotenciál ϕS v libovolném bodě N na povrchuϕS=14πε0∫SσdSrkde r N je vzdálenost bodu N od elementu plochy dS na povrchu vodiče.Zvětšením náboje n-krátPotenciál na povrchu vodiče∫⇒ Q´ = nQ = nσdSa také σ ´ = nσ0 S N4S1 nσdS1 σdSϕS´= = n= nϕS4πε∫r πε ∫rCelkový náboj na osamoceném vodiči a potenciál na jeho povrchu jsou přímo úměrnéveličinyQ = CϕKonstanta úměrnosti C se nazývá kapacita osamoceného vodiče (ve vakuu je C funkcígeometrického tvaru).Jednotka kapacity je 1 F a platí 1 F = C. V -1 (1 F je příliš velká jednotka).Používají se dílčí jednotky: 1 µF = 10 -6 F, 1 nF = 10 -9 F, 1pF = 10 -12 FQC = ϕSKapacita – schopnost jímat elektrický náboj.Příklad: Kapacita osamocené koule o poloměru R1 QϕS= , Q = 4πε RϕS4πε0R0 ⇒ C = 4πε0RKapacitu 1 F by musela mít koule o R = 10 7 km.b) Kapacita soustavy dvou vodičůKapacita osamoceného vodiče A nabitého nábojem Qna potenciál ϕ A jeCQϕ= .V blízkosti nechť je nenabitý vodič B.ASN0,SN

Potenciál elektrostatického pole indukovaných nábojů v místě A má opačné znaménko jakoϕ A , takže potenciál na povrchu vodiče A je nyní ϕ A´ ( ϕ ´ 〈 ϕ ).Při stejném náboji Q se zvětšila kapacita C APoznámka:Q QC = 〉 = C´ AAϕA´ϕ.AUzemněním vodiče B se ještě více sníží ϕ A´ a tím zvětší C A´.Bude-li tvar vodiče B takový, že bude obklopovat vodič A, nebo bude-li v těsné blízkostivodiče A, bude kapacita ještě větší. Sestava takových vodičů se nazývá kondenzátor.c) Kapacita kondenzátorůVodič A nabitý nábojem Q, vodič B má náboj -Q (tok intenzity z kladně nabitého vodičevstupuje celý do druhého vodiče). Potom kapacita kondenzátoru nezávisí na okolníchvodičích.Q QKapacita kondenzátoru C = =ϕA−ϕBUABdeskový kondenzátorNáboj Q je rozložen s plošnou hustotou náboje σ, plocha desek S, vzdálenost desek je d.Napětí mezi deskami U = Ed, kde E =DosazenímQ = σSσε 0, takžeσU = dε 0C = ε0Poznámka: Je-li prostor mezi deskami vyplněn dielektrikem (izolantem) pak C = ε r C 0 .Bezrozměrná veličina ε r se nazývá relativní permitivita a charakterizuje dané dielektrikum.d) Spojování kondenzátorůA) Paralelní spojení kondenzátorů (pro získání větší kapacity než má kterýkoliv zkondenzátorů spojených)SdCelkový náboj Q je dánAAQ= Q1+ Q2+ ... Qn = C1U+ C2U+ ... + CnUC = C + C + ... +12C n

B) Sériové spojení kondenzátorů (použití - chceme-li vytvořit kondenzátor na vyšší napětínež je jmenovité napětí jednotlivýchkondenzátorů).Při napětí U se nabijí kondenzátory stejnýmnábojem Q (vnitřní elektrody se nabíjíelektrostatickou indukcí)Q QU = U1+ U2+ ... + Un= + + ... +C1C21 1 1 1= + + ... +C C C12C nQCne) Některé typy kondenzátorů• Svitkové kondenzátory.• Kondenzátory s proměnnou kapacitou (dolaďovací – trimry).• Elektrolytické kondenzátory.• Keramické kondenzátory (velká kapacita při malých rozměrech).1.9. ELEKTROSTATICKÉ POLE V DIELEKTRIKUa) Polarizace dielektrikaDielektrikum (nevodič, izolant) – za normálních podmínek neobsahuje větší počet volnýchnábojů. Nabité částice v dielektriku jsou vázány na atomy nebo molekuly látky (nepřemisťujíse).Polarizace dielektrika – odezva dielektrika na přítomnost elektrického pole.Dielektrika – polární,– nepolární.Polární dielektrika mají nenulový dipólový moment ( p ra≠ 0 ) i bez přítomnosti vnějšíhopole.Nepolární dielektrika – vyznačují se středovou souměrností a mají nulový dipólový moment( p r = 0 ).aVázaný náboj – mají dielektrika na povrchu (makroskopicky – nelze ho od tělesa oddělit).Volný náboj – náboj z nabitých vodičů lze odvést na jiné vodiče.A. Elektronová polarizace – posunutí "těžiště" záporného náboje vzhledem k "těžišti"kladného náboje v atomu ( p ra≠ 0 ). Deformace elektronových obalů sleduje změny E aždo kmitočtů 10 -15 Hz.B. Iontová polarizace – změní se relativní polohy iontů v molekulách dielektrika.Molekulová polarizace se uplatňuje i v polích o změně kmitočtu do 10 -13 Hz.C. Orientační polarizace – projevuje se u dielektrik s polárními molekulami (nenulovýmoment bez přítomnosti pole). Elektrické momenty se natočí ve směru pole.

) Vektor elektrické polarizace P r :Popis polarizace dielektrika makroskopickyrP = lim∆V→0Vektor elektrické polarizace P r se rovná elektrickému momentu objemové jednotkydielektrika (jednotka – C.m -2 ).Při popisu uvažujeme, že všechny elementární dipóly p ra jsou stejně velké a stejněorientované. Elektrická polarizace je dána součtem všech momentů p rav objemové jednotcedielektrikar rP = n ,kde n 0 je počet molekul v objemové jednotce.∑∆Vrp∆V0p aac) Elektrostatické pole v dielektrikuVázané náboje vytvoří uvnitř dielektrikapole o intenzitě EP , které má opačnouorientaci než intenzita E0 od volnýchnábojů na elektrodách kondenzátoru.Intenzita výsledného elektrostatického poleE v dielektrikuE = E 0− E P .kde konstantaκe=p a= αEα polarizovatelnost dielektrika (konstantapro dané dielektrikum)P = n αEEP můžeme vyjádřit s pomocí předchozíhovztahun0αε0EP0n0α= − E = −κeEεse nazývá elektrická susceptibilita dielektrika (nezáporné bezrozměrné číslo).Výsledná intenzita E pole v lineárním dielektriku vycházíE = E 0− κ E ,odtudE0E = 1 + κee.0

Konstanta1 + κ = εese nazývá relativní permitivita dielektrika a platí r≥ 1(bezrozměrné číslo)Intenzita elektrostatického pole v dielektriku jerEεE0ε= ,je εr - krát menší než intenzita E r 0pole od volných nábojů ve vakuu.Poznámka: rozdíl mezi relativní permitivitou plynů a vakua je minimální (nepatrně seodlišují od 1), proto jej zanedbáváme.r1.10. ENERGIE ELEKTROSTATICKÉHO POLEPotenciální energie náboje Q v bodě MWPM= QϕPři buzení pole soustavou nábojů v klidu je tato energie jen částí celkové potenciální energie.a) Energie osamoceného nabitého vodičePředstava postupného nabíjení vodiče po množstvích dq do konečné hodnoty Q.Vyjádření vztahu v různých tvarechWp2Q2C1= Cϕ22SM1= QϕS2= .b) Energie nabitého kondenzátoruPoužití předchozího postupu – náboj dq je postupně přenášen z jedné desky na druhou.Analogicky dostáváme2W Q 1 2 1= = CU = QUp2C2 2 .Poznámka:Za nositele energie můžeme spíše pokládat elektrostatické pole, než samotné náboje.c) Energie elektrostatického poleVyjádření energie elektrického pole pomocí vektorů pole E a DWe1 r rVeličinawe= = E . D .V 2se nazývá hustota energie elektrostatického pole.

2. STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE – USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD2.1. VZNIK A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ELEKTRICKÉHO PROUDUa) Elektrický proud a jeho druhyUvažujeme jevy související s uspořádaným pohybem elektrického náboje.Uspořádaný pohyb elektricky nabitých částic nazýváme elektrickým proudem.Tři druhy elektrického proudu:A. Kondukční proudVzniká působením elektrického pole ve vodiči na nositele náboje.Podmínka vzniku kondukčního proudu: E ≠ 0 .Zdroj elektromotorického napětí – k udržení pole ve vodiči, vznik Joulova tepla – významnýúčinek kondukčního prouduB. Konvekční proudVzniká při pohybu nabitého makroskopického tělesa (např. nabité kuličky, pásu Van deGraafova generátoru apod.)Konvekční proud nemá tepelné účinkyC. Posuvný proudVzniká v dielektriku při časové změně polarizace dielektrika.b) Základní charakteristiky elektrického prouduZavedení elektrického proudu jako fyzikální veličiny. Uvažujme orientovanou plochu S,kterou procházejí náboje. Předpokládáme, že za ∆ t projde v kladném směru ∆ Q a vzáporném směruPrůměrný proud∆Qzap− . Celkový náboj Q∆ Q = ∆QOkamžitý proud pro 0kl∆ za čas t∆ orientovanou plochou S− ( −∆Qzap) = ∆Qkl+ ∆Qzap.∆QI P=∆t∆t →∆QdQI = lim =∆ t →0.∆tdtProud I je skalární veličina (může být kladný nebo záporný)I P=Pro případ ustáleného (stacionárního) proudu jeQI =tV soustavě SI je jednotkou proudu 1 ampér (A) – základní jednotka definovaná na základěmagnetických účinků elektrického proudu.Poznámky:• Ze vztahu vyplývá odvozená jednotka Coulomb.• Ve vodiči s ustáleným proudem jsou náboje obou znamének rovnoměrně rozložené aelektrické pole v okolí vodičů s proudem můžeme zanedbat. Vlivem pohybu nabitýchčástic vzniká v okolí vodičů s proudem pole magnetické.Ikl

• Směr proudu je historicky zaveden jako směr pohybu kladných nositelů nábojů (tj. odmísta s vyšším potenciálem k místu s nižším potenciálem).• V případě ustáleného proudu prochází průřezem vodiče velký náboj Q i při malém napětí,které na vodiči udržuje zdroj (v elektrostatice se nabil vodič na velký potenciál i velmimalým nábojem). Měřící přístroje pro měření ustáleného proudu jsou založeny na jinémprincipu (magnetické účinky proudu) než elektrostatické přístroje.c) Hustota prouduVystihuje na rozdíl od I rozložení proudu po ploše S.Pro velikost hustoty proudu vyplýváαdI dIJ = =dS cosα dSkde dS⊥= dS cos je velikost průmětu elementární plošky dS do roviny kolmé k J.Velikost hustoty proudu je číselně rovna velikosti proudu procházejícího kolmou plochoujednotkové velikosti. Jednotkou je A.m -2 .Souvislost hustoty proudu s veličinami charakterizujícími uspořádaný pohyb nositelůprouduProud I je tokem vektoru hustoty proudu J r orientovanou plochou S.Pro J r = konst. a rovinnou S⊥I = J S cosαV každém bodě prostoru, kterým prochází elektrický proud lze stanovit vektor J r a hovořímeo proudovém poli.Proudové čáry – vektorové čáry tohoto pole.Proudová trubice – svazek proudových čar.d) Rovnice kontinuity (spojitosti) prouduPři stacionárním proudu se nositelé proudunemohou nikde hromadit ani ztrácet – proudovéčáry jsou uzavřené křivky (uzavírají se přes zdrojEMN).Uzavřená orientovaná plocha v proudovém poli+ proud – v místech, kde proudové čáry vstupujídovnitř uzavřené plochy,– proud – v místech kde vystupují z uzavřenéplochyCelkový proud libovolnou uzavřenou plochou je roven 0,r rI = ∫ J.dS = 0Scož je rovnice kontinuity stacionárního proudu.

Uvažujme jediný vodič v izolujícím prostředí. Jeho dvěma kolmými průřezy S 1 a S 2proložíme uzavřenou orientovanou plochu S. S 1 proud vstupuje, S 2 proud vystupuje. Podlerovnice kontinuity platítedy I1+ I2= 0 , nebo − I1+ I2= 0 a tedy I1= I2 .Při ustáleném proudu protéká každým průřezem vodiče proud stejné velikosti.Z rovnice kontinuity odvodíme I. Kirchhoffův zákon.e) První Kirchhoffův zákonV určitém místě je vodivě spojeno n vodičů ( n ≥ 3 ) – uzel.S1, S2,...,S nkolmé průřezy vodičů stýkajících se v uzlu a proložíme jimi libovolnouuzavřenou plochu S . Vodiči procházejí proudy I I ,..., I1,2 n.S přihlédnutím k vzájemné orientaci vektoru hustoty proudu J r a vektoru elementuplochy S d r můžeme proudy vyjádřit pomocí velikostí proudů a dostáváme− I + I − I − I + I 0 ,1 2 3 4 n=

tedy proudy přitékající do uzlu jsou záporné, proudy odtékající z uzlu jsou kladné.První Kirchhoffův zákon: součet všech proudů stýkajících se v uzlu je roven nule.n∑j=1Ij=0 .2.2. OHMŮV ZÁKON A JEHO APLIKACEZdroj napětí U vytváří pole Est . Na volné elektrony s nábojem q0 = −epůsobí poleve vodiči silou F = −eEst. Působením této síly získá elektron rychlost v (pohyb je bržděnionty krystalové mřížky). Srážkami částic volných a vázaných vzrůstá vnitřní energie – vodičse zahřívá.Pro lineární vodiče je tato průměrná rychlost přímo úměrnárJrγ= ,E stEst. Souvislost mezi J a E stkde γ je měrná vodivost (konduktivita).Ohmův zákon v diferenciálním tvaru (v daném místě lineárního vodiče je hustota prouduJ přímo úměrná intenzitě E elektrického pole v tomto místě.a) Ohmův zákon pro úsek homogenního vodiče.stUvažujme konstantní průřez S⊥. Mezi body M a N zdroj udržuje konstantní rozdíl potenciálůrϕ − ϕ U , ve vodiči je E st= konst.M N=vyjádřímevelikost hustoty proudu ve vodičiUE st=lIJ = SVýrazy pro E st a J dosadíme do Ohmova zákona v diferenciálním tvaru a obdržímeIS⊥⊥U= γl

Odtud po úpravěU UI = =l Rγ S1 , kde⊥R =1γlS⊥l= ρS1veličina ρ = je měrný odpor materiálu vodiče a R je elektrický odpor uvažovanéhoγúseku vodiče. Vztah je Ohmův zákon pro úsek homogenního vodiče.Pro R = konst. (lineární vodič) je proud I přímo úměrný napětí U na tomto vodiči.Jednotka odporu v SI soustavě je ohm (Ω). Ohm je odpor vodiče, jímž prochází proud1 A, je-li mezi konci tohoto vodiče napětí 1V.Převrácená hodnota odporu R je elektrická vodivost G, tj.G =1RJednotkou vodivosti je jeden siemens (S). Platí 1 S = 1 Ω -1 = A.V -1 .Ekvivalentní tvar Ohmova zákona, zapsaného pomocí elektrické vodivosti jeI = GU neboIU =GJednotka měrného odporu ρ v SI jednotkách je Ω.m (ohmmetr).Měrný odpor závisí na druhu materiálu vodiče a na jeho fyzikálním stavu (teplotě).Typické hodnoty měrného odporu:• 10 -8 Ω.m až 10 -7 Ω.m – kovy,• 10 -6 Ω.m až 10 7 Ω.m – polovodiče,• 10 8 Ω.m až 10 19 Ω.m – izolanty.Hodnoty ovlivňují příměsi, mechanické a tepelné zpracování.b) Práce a výkon stacionárního elektrického prouduPráce při přemístění náboje Q z místa o různých potenciálechQ( ϕ − ) QUA ==1ϕ2Uvedený vztah platí i pro stacionární elektrické poleproud.což lze vyjádřit pomocí Ohmova zákonaVýkon elektrického proudu ve vodiči jeA = QU = UIt22 UA = UIt = RI t = t .R2AUP = = UI = RI2 = .tR⊥E r st, které ve vodiči vyvolává ustálený

Jednotka výkonu v SI soustavě je watt (W); 1 W = J.s -1 = V.A. (v praxi µW, mW, kW, MW,GW).Jednotka práce v SI soustavě je joule (J). Při odběru se často vyjadřuje součinem výkonu P.t.Proto se práce vyjadřuje ve wattsekundách (W.s) nebo násobcích (kW.s, W.h, kW.h apod.).Průchodem proudu vodičem se vodič zahřívá. Vzniklé (Jouleovo) teplo ve vodiči22 UQ j= UIt = RI t = tRtento vztah se nazývá Joulův zákon. (Objevil jej v roce 1844 anglický fyzik J.P. Joule).Poznámka:Pozitivní praktický význam – ohřev v odporových pecích, topení, sušení apod., rozžhavenávlákna žárovek jako zdroj světla.Negativní důsledky – ztráty elektrické energie. Nutnost zajištění odvodu tepla u různýchelektrických spotřebičů. Spotřebiče chráníme např. tavnými pojistkami.c) Závislost odporu na teplotěOdpor všech vodivých látek závisí na teplotě. Pro kovy a většinu vodivých látek platízávislostkde R T je odpor vodiče při teplotě T,R T0 odpor při teplotě T 0 ,BRT⎛ 1 1 ⎞B⎜ −⎟⎝ T T ⎠0= RTe0je konstanta materiálu vodiče, která má rozměr teploty (pro kovy je záporná, propolovodiče kladná).Závislost odporu vodiče na teplotě charakterizujeme tzv.teplotním součinitelem odporu α T ,který se číselně rovná změně odporu 1 Ω při změně teploty o 1 K, tedy1=RdRdTTαT.TRozměr teplotního součinitele odporu α T je K -1 .Pro odpor vodiče v závislosti na teplotě je možné odvoditRT[ + ( T − )]= R α ,T 01T 0T0rozdíl je stejný v absolutní i Celsiově teplotní stupnici. Obdobná závislost platí i pro měrnýodporρ = ρ αt[ + ( t − )]t0 1t0t0Pro kovy je teplotní součinitel odporu kladný (10 -3 K -1 ) – odpor kovového vodiče s teplotouroste. Pro uhlík, elektrolyty a polovodiče αT 0〈 0 ,tj. odpor s rostoucí teplotou se zmenšuje.Grafické vyjádření závislosti napětí U na proudu I procházejícího vodičem (resp. I na U) senazývá voltampérová (ampérvoltová) charakteristika daného vodiče.Pro lineární vodič (R = konst.) – přímka procházející počátkem (obr.2.5 a). SměrniceUtg α = = R se rovná odporu R daného vodiče.I

Pro nelineární vodiče (R ≠ konst.) je závislost U na I složitější funkcí U = f(I) avoltampérovou charakteristika je určitá křivka – určujeme měřením. Nelinearita může býtzpůsobena vnitřní stavbou látky, odpor může záviset i na směru proudu ve vodiči.SupravodivostPři jisté kritické teplotě T K se zmenší odpor vodiče téměř k nule.1911 – H.Kammerling Onnes (holadský fyzik) provedl pokus na rtuti (T K = 4,2 K),1933 – Meissner a Ochsenfeld ukázali levitaci supravodiče (vnější magnetické pole je„vytlačované“ ze supravodiče a uvnitř je B = 0).Důležitým parametrem je i kritická magnetická indukce B K , která může narušitsupravodivý stav.Dělení supravodičů:1. Supravodiče 1. typu – jedná se většinou o čisté kovy s jedinou hodnotou B K jejíž hodnotaje nízká (supravodivý stav je možné narušit slabým magnetickým polem).2. Supravodiče 2. typu – dvě hodnoty B K ( Bk 2〉 Bk1) Vhodné pro konstrukci supravodivýchelektromagnetů a velmi silným magnetickým polem.3. Vysokoteplotní supravodiče – keramické oxidy s T K od 30 K do 135 K (LN 2 – 77 K).Vysvětlení supravodivosti – kvantověmechanický popis systému elektronů ve vodiči (1957 –J. Bardeen, L. N. Cooper aj. R. Schriffer).Dvojice elektronů s opačně orientovanými spiny si nevyměňují energii s iontykrystalové mřížky kovu a proto se v ní mohou pohybovat téměř bez odporu.d) Spojování rezistorůRezistor – elektrotechnická součástka, jejíž hlavní parametr je elektrický odpor (drátové,vrstvové, hmotové apod.)Dvě možnosti spojování sériové (za sebou), paralelní (vedle sebe).A. Sériové zapojení rezistorů (za sebou)Rezistory o odporechR1, R2,...R nspojené sériově –výstupní svorka je spojená sevstupní svorkou dalšího rezistoru –po připojení rezistorů ke zdrojinapětí U bude jimi procházet stejnýproud I.

Napětí na jednotlivých rezistorechU1= R I U = R I,U1,2 2Sečtením dostaneme celkové napětí UU = U1 + U2+ ... + Un= ( R1+ R2+ ... + Rn) I .Pro celkový odpor platíR = R + R + ... +12n=Dáme-li do poměru napětí na jednotlivých rezistorech, vyjdeR nRU U U R R ::2: ... :n 1:2: ... R n1= .Celkové napětí se rozdělí na jednotlivé rezistory v přímém poměru k jejich odporům. Sériověřazené rezistory vytvářejí dělič napětí.B. Paralelní zapojení rezistorů (vedle sebe)Vstupní svorky jsou spojeny do uzlu 1, výstupní do uzlu 2 – na všech rezistorech je stejnénapětí U , proudy stanovíme podle Ohmova zákonaU UI = , I = ,..., I =U1 2n .R1R2RnOznačíme-li R odpor celého obvodu mezi uzly 1 a 2, pakpodle 1. Kirchhoffova zákona platí− I+ I1 + I2+ ... + In= 0Dosazením do této rovnice za jednotlivé proudy⎛ 1I = U⎜⎝ R1+1R2+ ... +Označíme-li R odpor celého obvodu mezi uzly 1 a 2, potompodle Ohmova zákona je vodivost rovna1R nI 1 1 1 1= + + ... +U R R R12⎞⎟⎠= .R nTedyG = G1 + G2+ ... + Gn.Tedy výsledná vodivost je rovna součtu vodivostí jednotlivých rezistorů. Pro poměr proudů1 1 1I : ... : G1: I2: ... : In= : : ... : = G1: G2R1R2Rne) Zdroj elektromotorického napětí. Ohmův zákon pro uzavřený obvod.Zdroj EMN udržuje na vodičích připojeného obvodu konstantní rozdíl potenciálů –nenulová intenzita stacionárního elektrického pole Est. Proudové čáry se uzavírají přes zdrojEMN. Elektrické náboje se uvnitř zdroje přesouvají proti směru elektrických sil (sílyneelektrického původu –mechanické, chemické apod.)Intenzita „vtištěných sil“ Ei– na udržení elektrického pole (elektrického proudu) zdroj EMNkoná práci na úkor neelektrické energie (mechanické, chemické apod.)nIn

Předpokládejme galvanický článek jako zdroj EMNA. Nezatížený zdroj EMNU 0 = U ekde U 0 je svorkové napětí nezatíženého zdroje (svorkové napětí naprázdno), U e jeelektromotorické napětí zdroje (vlivem vtištěných sil uvnitř zdroje). Schematická značkanezatíženého (ideálního zdroje EMN je na obr. 2.9a)B. Zatížený zdroj EMNMezi elektrodami je uvnitř vodivé prostředí, které klade procházejícímu elektrickémuproudu jistý odpor R i – vnitřní odpor zdroje EMN. Ideální zdroj EMN má R i velmi malý –nulový R i .Po připojení vnějšího odporu R ke svorkám zdroje, bude obvodem procházet proud I. Tímvznikne na vnitřním odporu úbytek napětíU =iIR iNa vnějším odporu bude napětí U = IR, což je svorkové napětí zatíženého zdroje. Musí platitU = IR +eIR i

Vyjádříme z této rovnice proud I procházející obvodemIUe= .R + RiC. Zkratovaný zdroj EMN.Pro R〈〈 Rije proud v obvodu omezen jen vnitřním odporem zdroje a obvodem protékázkratový proud I zkI =zkTvrdé zdroje napětí (malý vnitřní odpor) – I zk řádově stovky ampérů ⇒ nutnost chránit je předpoškozením pojistkami nebo jističi.Měkké zdroje napětí (velký vnitřní odpor) – U → 0.D. Zatěžovací charakteristika zdrojeJe závislost svorkového napětí U na odebíraném proudu I : U=f(I)Pro svorkové napětí U = RI dostanemeU = Ue− RiI .lineární zdroj – R i = konst.nelineární zdroj – R i≠ konst.Grafem je přímka, viz. obr. 2.10. Sklon přímky závisí na vnitřním odporu zdroje R iURiZe dvou bodů zatěžovací charakteristiky ( U , I )( U I )odporu zdrojeUU12= U= U1 1 2,ee− R Ii1− R IPo odečtení obou rovnic a úpravě dostaneme pro vnitřní odporR iU=I12−U− I1i222můžeme určit hodnotu vnitřního

E. Účinnost zdrojeČást výkonu se spotřebuje na vnitřním odporu zdroje a zbývající část na vnějším odporu.Výkon P spotřebovaný na vnitřním odporu zdroj zahřívá – ztráty energie. Výkon P –intvnější výkon a celkový výkon Pcelkurčíme ze vztahu P = RI 2 .ÚčinnostProPPPintextcelk= R Ii= RI= P=2int2P⎛ Ue= Ri⎜⎝ R + R⎛ Ue= R⎜⎝ R + R+ Pext=ii⎞⎟⎠⎞⎟⎠22U e=R + RRextη .PcelkR + RiR i〈〈 R se účinnost zdroje blíží 1, pro měkké zdroje η 〈 1.F. Spojování zdrojů EMN.Sériové spojování – záporná svorka se spojí s kladnou dalšího zdroje (obr.2.11).i2,.,extVnitřní odpory jsou zapojeny sériověU = U + U + ... + Uiee1 e2en .R = R + R + ... + Ri1 i2in .Paralelní spojení – obr. 2.12 jen pro stejné zdroje (se stejným EMN). Výsledné EMNVnitřní odpory paralelněU = .ReU e1iRin1= .Spojení umožní odebírat n-krát větší proud než z jednohozdroje.

2.3. ŘEŠENÍ STEJNOSMĚRNÝCH ELEKTRICKÝCH SÍTÍUzel – místo vodivého spojení alespoň 3 vodičů.Větev – část obvodu spojující 2 uzly (neprocházející dalšími uzly).Jednoduchý uzavřený obvod (uzavřená smyčka – vybraná z rozvětvené sítě) – odjednoduchého uzavřeného obvodu se liší tím, že v různých jejích větvích jsou obecně různéproudy.Pro uzavřené smyčky, libovolně vybrané z lineární rozvětvené sítě platí II. Kirchhoffůvzákon.a) Druhý Kirchhoffův zákon• Výběr z elektrické sítě (obr. 2.14) libovolné uzavřené smyčky, např. 1-2-3-4-…-1,• označení směrů EMN,• označení směrů proudu u rezistorů jimiž protékají,• volby směru postupu a výpočet cirkulace E r po této smyčce.rNrr rplatí ∫ E . dl= 0 a ∫ E . dl = .lstMstU MNr rr rNapětí U MN je kladné, když E st↑↑ dla záporné v případě E st↑↓ dla můžeme je téžvyjádřit pomocí Ohmova zákona jako RI .Upozornění: ve zdrojích EMN je integrál z intenzity vtištěných sil od – elektrody k +elektrodě roven U e .Er . dlrU .Cirkulace E r kolem smyčky+∫−i= e

∫r rE.dl =∫R I − R I1121´1r rEst.dl +1232↑↑+ R I33233´4∫ ( Est+ Ei).dl + ∫ Est.dl + ∫ Est.dl + ∫ ( Est+ Ei).1´r± ... =n∑rj=1r± R Ijj2r r123↑↓3r r123Cirkulaci E r kolem smyčky lze vyjádřit ještě jiným způsobem24r r r r r r r r∫ E.dl = ∫ Est.dl + ∫ Ei.dl + ∫ Ei.dl = Ue1−U123 123l1l42431´↑↑3´↑↓0↑↑e2r rdl + ... =14243.3´0=n∑j=1± ULevé strany předcházejících výrazů jsou stejné, takže musí se rovnat i pravé strany, tj.R1I1− R2I2+ R3I3± ... = U e 1−Ue2± ... .nebo ∑ ± RjIj= ∑nj= 1 j=1n± Uej. (2.41)Rovnice (2.41) vyjadřuje II. Kirchhoffův zákon:V uzavřené smyčce libovolně vybrané z elektrické sítě se algebraický součet úbytků napětína jednotlivých rezistorech rovná algebraickému součtu všech elektromotorických napětí.b) Řešení jednoduché elektrické sítě metodou postupného zjednodušováníJednoduchou síť s jedním zdrojem EMN řešíme postupným nahrazováním výslednýmiodpory sériově či paralelně řazených rezistorů. Následně z U a celkového I vypočítámeproudy v jednotlivých větvích.c) Řešení elektrických sítí užitím Kirchhoffových zákonůAnalýza elektrické sítě – při známých hodnotách odporů rezistorů a EMN zdrojů a jejichpropojeních vypočítat proudy přes jednotlivé větve.Elektrická síť – n uzlů, v větví. (v nezávislých rovnic pro stejný počet proudů)Podle I. Kirchhoffova zákona sestavíme u - 1 nezávislých rovnic, podle II. Kirchhoffovazákona sestavíme zbytek.Celkový počet v - (u-1) = v - u + 1. (2. 42)Je tedy třeba ze sítě vybrat v - u +1 nezávislých uzavřených smyček.Kostra sítě – větve sítě a uzly v podobě jednoduchých čar (obr.2.15a)Úplný strom – neuzavřená čára spojující všechny uzly (obr. 2.15b)ej.Nezávislé větve – nepatří do úplného stromu – počet v - u + 1

Do každé smyčky zařadíme jednu nezávislou větev, která ještě nebyla použita v předchozíchsmyčkách.Postup řešení:síť: 3 uzly ( u = 3), 5 větví (v = 5) (obr. 2.16)Úkol: určit 5 neznámých proudů.Podle I. K.z. = 2 nezávislé rovnice.Podle II. K.z. = 3 rovnice (pro vyznačené smyčky).a) vyznačíme směry proudů ve větvích (libovolně),b) určíme tři uzavřené nezávislé smyčky a zvolíme směr, kterým budeme ve smyčkáchpostupovat,c) Napíšeme I. K.z. pro uzly 1 a 2:− I1+ I2+ I3= 0. (2.43)− I3+ I4+ I5= 0d) Napíšeme II. K.z. pro vyznačené smyčky:R I + R I = U1 1 2 2 e1− R I + R I + R I = U2 2 3 3 4 4 e4− R I + R I = U e−U. (2.44)4 4 5 5 5 e4e) Řešíme soustavu 5 rovnic pro 5 neznámých proudů I1 − I5.e) Po ukončení výpočtu opravíme směry proudů, jejichž hodnoty vyšly záporné.d) Věta o náhradním zdroji napětí (věta Théveninova)Někdy potřebujeme znát jen proud v jedné větvi a ostatní nás nezajímají. Nahradíme celouelektrickou síť vzhledem ke dvěma uzlům jedním náhradním zdrojem EMN.Uvažujme síť na obr. 2.17, ve které potřebujeme určit proud I jen ve větvi mezi uzly 1 a 2,jejíž odpor je R.Věta o náhradním zdroji napětí:A. Náhradní zdroj napětí o vnitřním odporu R in a EMN U en .B. Elektromotorické napětí U en náhradního zdroje je rovno napětí mezi rozpojenýmiuzly.

C. Vnitřní odpor R in náhradního zdroje EMN je roven odporu elektrické sítě mezirozpojenými uzly, nahradíme-li všechny zdroje spojkami nakrátko (obr. 2.17)znázornění konkrétního postupu při určení parametrů náhradního zdroje (obr. 2.18)• odpojení větve mezi uzly 1 a 2 ,• stanovení (výpočtem nebo měřením) napětí mezi uzly U120U en= U 120– EMN náhradního zdroje napětí,• nahrazení všech zdrojů EMN spojkami nakrátko (silně vyznačené),• stanovení odporu sítě mezi rozpojenými uzly 1 a 2 (výpočtem nebo měřením) ⇒ vnitřníodpor R náhradního zdroje napětíinZapojíme-li v síti mezi uzly 1 a 2 větev o odporu R, platí pro proud IUenI = . (2.52)R + Rin

e) Řešení obvodů s nelineárními rezistoryA. Statický a dynamický (diferenciální) odpor nelineárního rezistoru.Elektrické vlastnosti nelineárního rezistoru nejlépe vystihuje jeho V-A charakteristika (obr.2.19).Statický odpor v daném bodě V-A charakteristikyUA( RS )A= = tgα , (2.53)IAv každém bodě je jiná hodnota (R S ) A .Nahrazení části křivky v okolí pracovního bodu přímkou (tečna t ke křivce ve zvolenémpracovním bodě).Dynamický (diferenciální) odpor nelineárního rezistoru (R d ) AR∆U=⎛ dU ⎞= ⎟ ⎠A(d)A ⎜ , (2.54)∆IA ⎝ dIAR = 0 na vrcholu V-A charakteristiky,dRd〉0 na vzestupné části V-A charakteristiky,Rd〈0 na sestupné části V-A charakteristiky.Případ Rd〈 0 je nestabilní (připojením k dostatečně tvrdému zdroji by proud neustále narůstal,dokud by nedošlo ke zničení–proto proud omezujeme zapojením lineárního rezistoru do séries nelineárním rezistorem).B. Řešení obvodu s paralelně zapojenými nelineárními rezistoryUvažujme dva nelineární rezistory R * 1 a R * 2 zapojené paralelně a připojené ke zdroji o napětíU (obr. 2.20)Napětí je stejné, proud I se rozdělí na proudy I 1 a I 2 . Podle I. Kirchhoffova zákona platí: I = I 1+ I 2 .Při známé V-A charakteristice jednotlivých rezistorů, určíme výslednou V-A charakteristikugraficky (obr. 2.20). Tak můžeme nahradit uvažované zapojení jediným nelineárnímrezistorem R * .

C. Řešení obvodu se sériově zapojenými nelineárními rezistoryOběma rezistory prochází stejný proud I , napětí se rozdělí U=U 1 + U 2 .Výsledná V-A charakteristika je nalezena sečtením hodnot napětí na jednotlivých rezistorech⇒ V-A charakteristika celkového nelineárního rezistoru R * .D. Stanovení ustáleného stavu v obvodu se sériovým zapojením lineárního anelineárního rezistoruUstálený stav zjišťujeme po připojení této kombinace ke zdroji o U e (obr. 2.22).Vnitřní odpor zdroje R i zahrnujeme do hodnoty R lineárního rezistoru.Řešení:• Stanovíme proud I po připojení ke zdroji EMN.• Napětí U 1 na lineárním rezistoru R a napětí na nelineárním rezistoru R * .Výhodnější postup:• Svorky 1 a 2 považujeme za svorky zdroje o U e a vnitřním odporu R.• Sestrojíme zatěžovací charakteristiku tohoto zdroje (prochází body I = 0, U = U e a I zk =U e /R , U = 0) – viz. obr. 2.22b.• Zakreslíme do soustavy os V-A charakteristiku nelineárního rezistoru.

• U 2 je jednak svorkovým napětím uvažovaného zdroje a napětím nelineárního rezistoru• ⇒ průsečík P zatěžovací charakteristiky s V-A charakteristikou vyhovuje oběmapodmínkám.Ustálený stav odečteme z grafu – určíme proud I a napětí na lineárním rezistoru U 1 a U 2 nanelineárním rezistoru.2.4. MĚŘENÍ ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH VELIČINa) Měření proudu a napětíVyužití magnetických účinků elektrického proudu.Nejrozšířenější systémy:• deprézské,• elektromagnetické,• elektronické měřící přístroje s digitální indikací na displeji.Měřidla proudu• ampérmetry (miliampérmetry, mikroampérmetry apod.),• galvanoměry (s citlivostí menší než 10 -6 A).Měřidla napětí• voltmetry (milivoltmetry, kilovoltmetry apod.).Měřící systém má vnitřní odpor R i . Při průchodu proudu I tímto odporem je na svorkáchměřícího systému napětí U = R i I ⇒ lze tedy stejným systémem měřit i napětí (ocejchovánístupnice)Základní proudový rozsah I zakl ⇒ proud registrovaný na posledním číslovaném dílkustupnice.Základní napěťový rozsah U zakl ⇒ napětí na svorkách měřícího systému, které způsobívýchylku na posledním číslovaném dílku stupnice.Oba parametry splňují Ohmův zákonU zakl = R i I zakl .b) Změna rozsahu měřicích přístrojůNutnost měřit napětí a proudy v širokých rozmezích hodnot.Změna měřícího rozsahu ampérmetru (obr. 2.23a)

• Zvětšení rozsahu n – krát (I = nI zakl ),• připojení bočníku o odporu R b (paralelně),• proud bočníkem (n – 1)I zakl ,• proudy paralelně zapojenými rezistoryodtud hodnota odporu bočníkuRRbiIzakl=( n −1) IRbRi= n −1Změna rozsahu voltmetru (obr. 2.23b)• Zvětšení rozsahu n – krát (U = nU zakl ),• zapojení předřadného rezistoru do série s měřícím systémem,• napětí na sériově zapojených rezistorech jsou ve stejném poměru jako jejich odporyodtud hodnota odporu předřadného rezistoruRp ( n −1)U=R UizaklR = ( n −1)zaklzaklPR ic) Zapojování měřících přístrojů do elektrického obvodu• Při měření proudu rezistorem R s : ampérmetr do série.• Vnitřní odpor R A musí být co nejmenší (aby nedošlo k podstatné změně proudu).• Ampérmetr nemůžeme připojit přímo ke svorkám tvrdého zdroje napětí (zkratový proudby ho zničil) ⇒ omezení proudu v obvodu do série zapojeným spotřebičem (rezistoremR S ), viz. obr. 2.24aMěření napětí: voltmetr paralelně.• Vnitřní odpor voltmetru R V musí být co největší (zapojený paralelně) jinak se zmenšícelkový odpor měřené části obvodu a dojde k poklesu napětí v této části obvodu.• Elektronické voltmetry – odpor 10 – 100 MΩ.• Voltmetr lze připojit přímo ke svorkám zdroje EMN.

d) Třída přesnosti měřidla. Konstanta přístroje.Nejistoty způsobené náhodnými příčinami < nejistoty způsobené použitím měřícího přístroje.Třída přesnosti – vyznačení v pravém dolním rohu stupnice nad značkou proudu (0,1; 0,2;0,5; 1,0; 2,5; 5,0).Přístroje normálové – třída přesnosti 0,1 nebo 0,2 – slouží pro kalibraci laboratorních atechnických měřidel.Příklad: třída přesnosti p = 2,5 (%) na rozsahu 100 V ⇒ každá hodnota napětí na tomtorozsahu má absolutní nejistotu δU = 2,5 V.Relativní nejistota pro U = 50 V ± 2,5 V ⇒ 5 %,pro U = 25 V ± 2,5 V ⇒ 10 %.Obecně: 1/2 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 2p %,1/4 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 4p %,1/10 výchylky stupnice ⇒ relativní nejistota 10p %,z toho plyne: snažíme se měřit v druhé polovině stupnice.U digitálních měřidel (dnes nejběžnější) bývá absolutní nejistota měřených hodnot udávánavýrobcem v technické dokumentaci.Konstanta přístroje:na daném rozsahu udává hodnotu měřené veličiny připadající na jeden dílek stupnice.Pro 600 mA při stupnici 120 dílků je konstanta miliampérmetru K600K = 5mA/ dílek120= .Při měření odečítáme měřené hodnoty v dílcích stupnice a později je vynásobíme konstantoupřístroje (hodnoty v mA).2.5. TERMOELEKTRICKÉ JEVYa) Pásový model pevných látek. Výstupní práce elektronu z kovu• Elektrony v látce se nachází v poli kladných jader atomů.• Elektrony -e mají v tomto poli zápornou potenciální energii W P = – eϕ.• WK〈 WPtedy jejich celková energie je záporná.• Elektrony (fermiony) jsou částice se spinem 1/2 a tedy jejich energie je kvantovaná (vosamoceném atomu tvoří diskrétní energetické hladiny).• V pevné látce (interakce více atomů) se tyto hladiny rozpadají do pásů (velký počet velmiblízkých hladin energie).Elektrony ve valenční slupce atomů způsobují vodivost látky.Pásový diagram dielektrik a polovodičů (obr. 2.30a.)Jednotka energie elektronvolt, 1 eV = 1,602.10 -19 J.valenční pás – vyjadřuje povolené hodnoty energie valenčních elektronů v atomech látky.Volný elektron ⇒ přechod z valenčního pásu přes zakázaný pás (nutná dostatečná energie) dovodivostního pásu.Šířka zakázaného pásu:• u dielektrik velmi široká (více než 3 eV) ⇒ neobsazené hladiny ve vodivostním pásu atedy látka nevede elektrický proud,• u polovodičů šířka kolem 1 eV ⇒ za pokojové teploty jistá část elektronů z valenčníhopásu přechází do vodivostního a způsobuje částečnou vodivost látky.

Pásový diagram u kovů (obr. 2.30 b,c)vodivostní pás navazuje (překrývá se) s valenčním pásem ⇒ vodivost kovů je velmi dobrá.Způsob obsazení hladin závisí na teplotě látky. U kovů při teplotách blízkých 0 K se nejvyššíobsazená hladina ve vodivostním pásu označuje W F – Fermiho energie.Poznámka: u izolantů a polovodičů prochází hladina Fermiho energie W F středemzakázaného pásu.Vně kovu je ϕ = 0 a tedy i W P = 0.Výstupní práce A V energie potřebná pro uvolnění volného elektronu ze systému hladin. (A V jedáno rozdílem energií mezi hladinou W = 0 a hladinou Fermiho energie W = W F .Různé kovy mají různé hodnoty výstupní práce elektronů z kovů ⇒ při dotyku těchto kovůvzniká kontaktní potenciál.b) Kontaktní rozdíl potenciálůElektrony přecházejí z kovu o menší A V do kovu s větší A V ⇒ kov s menší A V se nabíjí kladněa kov s větší A V se nabíjí záporně.Rozdíl jejich potenciálů se nazývá kontaktní rozdíl potenciálů (kontaktní napětí).Koncem 18. stol. A. Volta experimentálně sestavil následující řadu kovů:+ Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd –.Každý kov v řadě při dotyku s libovolným následujícím kovem se nabíjí kladně (čím je většívzdálenost v této řadě, tím je větší kontaktní rozdíl potenciálů).Uvažujme řadu kovů A, B, C a DKovy se nabíjí na potenciály ϕ A ϕ B ϕ C ϕ D a jejich kontaktní napětíUAB= ϕA− ϕB , UBC= ϕB− ϕC, UCD= ϕC−ϕDKontaktní napětí mezi prvním a posledním kovem jeU AD = U AB + U BC + U CD = ϕ A – ϕ B + ϕ B – ϕ C + ϕ C – ϕ D = ϕ A – ϕ D .KN závisí na materiálu prvního a posledního kovu v řadě a nezávisí na složení vnitřních kovůřady.

Uzavřený obvod: Celkové kontaktní napětí UU = U AB + U BA = ϕ A – ϕ B + ϕ B – ϕ A = 0.Součet všech kontaktních napětí v uzavřeném obvodu je roven nule v případě, že teplota Tvšech spojů je stejná.c) Seebeckův jevVelikost kontaktního rozdílu potenciálů závisí na teplotě. V obvodu z kovů A a B na obr. 2.32a je jeden konec udržován na teplotě T 1 a druhý na teplotě T 2 > T 1 .( AB) ( U BA) 1U ≠ ⇒ obvodem bude procházet termoelektrický proud (objevil Seebeck r.1821).T 2 TTermoelektrický proud v uzavřeném obvodu je způsoben termoelektrickým napětím U t(důsledkem rozdílných teplot spojů – velikost závisí na materiálu a na ∆T mezi spoji).Přibližně platíUt12( a − a ) ∆T+ ( b − b )( ∆T) 2= .AKoeficienty a A , a B , b A , b B – Seebeckovy koeficienty kovu A a kovu B.BAB

Termočlánek – zařízení pro regulační účely nebo k měření teploty (známe-li průběh závislostiU t na ∆T můžeme stanovit teplotu).V praxi se termočlánek realizuje třemi dráty (krajní jsouze stejného materiálu),Referenční spoj se udržuje na konstantní teplotě 0 0 C (směs vody a ledu).Měrný spoj je v tepelném kontaktu s předmětem, jehož teplotu zjišťujeme.d) Peltiérův jevJedná se inverzní Seebeckův jev objevený J.Peltierem r. 1834. Zařadíme-li do uzavřenéhoobvodu složeného ze dvou kovů zdroj EMN U e , který v obvodu vyvolá proud I, začne sejeden spoj zahřívat a druhý ochlazovatQ P= pIt ,Peltierovo teplokde p je Peltiérův koeficient. Kontaktní napětí v jednom spoji elektrony urychluje (zahřívá se)v druhém brzdí (teplo se odnímá mřížce a spoj se ochlazuje).Peltierovy baterie – spojení kovu s polovodičem.Ochlazované spoje jsou na jedné straně a zahřívané na druhé (chladí se). Lze dosáhnoutsnížení až o 20 0 C od okolní teploty. Peltierova baterie se napájí velkým proudem (až 20 A)při malém napětí napájecího zdroje.e) Thomsonův jevW. Thomson r. 1851 zjistil, že při vyvolání teplotního spádu na vodiči jednoho druhu vzniknena koncích nepatrné termoelektrické napětí (nemá praktický význam).Elektrické pole ve vodiči E rstsměřuje od teplejšího konce ke studenějšímu. Intenzitavtištěných sil E rivyvolaná teplotním spádem a způsobující přemístění elektronů má směropačný (obr.2.35)Termoelektrické napětíU T= ϑ ( T 2− T1)kde ϑ je Thomsonův koeficient (kladný nebo záporný, pro olovo nulový).

2.6. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V POLOVODIČÍCHMěrný elektrický odpor polovodičů 10 -6 Ω.m – 10 8 Ω.m.Silná závislost vodivosti polovodičů na:• teplotě,• osvětlení,• čistotě látky,• jiných fyzikálních faktorech.Do skupiny polovodičů patří řada anorganických a organických látek,Největší praktické využití mají Se, PbS, CuO, Ge, Si, GaAs, CdTe atd.Teorie polovodičů pro Si (Ge)Dva mechanismy vodivosti: vlastní vodivost a nevlastní vodivost.a) Vlastní polovodičeVlastní vodivostí se vyznačují všechny polovodiče.Nevlastní vodivost existuje jen u příměsových polovodičů.• Vlastní polovodič se při 0 K podobá izolantu (prázdný vodivostní pás).• Při vyšších teplotách dochází k tepelné excitaci některých atomů polovodiče (elektronypřejdou z valenčního do vodivostního pásu).Elektron musí z excitace (tepelné nebo jiné) získat energii potřebnou k překonání šířkyzakázaného pásu energií (Ge – 0,72 eV, Si – 1,12 eV).• Počet uvolněných elektronů rychle roste s rostoucí teplotou ⇒ měrný elektrický odpor srostoucí teplotou rychle klesá.Díra – neobsazené místo po elektronu ve valenčním pásu (přesouvá se v elektrickém poli jakokladný náboj).Ve vlastním polovodiči jsou nosiči proudu elektrony a díry (vznikají v párech).Ge a Si – prvky ve 4. sloupci Mendělejevova periodického systému ⇒ čtyřmocné prvky(krystalizují v diamantové mřížce – obr. 2.36a).Kolem každého atomu jsou v prostoru symetricky rozmístěné čtyři atomy (obr. 2.36b),se kterým je středový atom vázán kovalentní vazbou.

) Nevlastní polovodičeNevlastní vodivost – zabudováním jiných atomů s odlišným počtem valenčních elektronů dokrystalové mřížky. Zabudováním trojmocného atomu (Al, B, In) do krystalové mřížky sečtyřmocnými atomy (Si) vznikne díra – akceptor (obr. 2.37).Polovodič typu P – v polovodiči dotovaném trojmocnými atomy převládá děrová vodivost.Nahrazením atomu Si pětimocným atomem (As, P) vznikne volný elektron (vazebníenergie jen 0,05 eV) – donor.Polovodič typu N – polovodič s převládající elektronovou vodivostí.Majoritní (ve většině) a minoritní (menšinoví nositelé proudu opačného znaménka).c) Jevy na přechodu PN• Elektrony přecházejí z míst o velké koncentraci do míst o nižší koncentraci, tedy zpolovodiče N do polovodiče P, díry difundují z polovodiče P do polovodiče N (ϕ P < ϕ N )– na přechodu vznikne potenciálová přehrada, viz. obr. 2.38a).

Přivedení napětí na PN přechod:• Záporný pól k P polovodiči, kladný pól k N polovodiči (obr. 2.38b), majoritní nositelébudou odpuzování od přechodu ⇒ šířka potenciálové bariéry se rozšíří vlivem napětí U –zapojení v závěrném směru.• Kladný pól zdroje k P polovodiči, záporný pól k N polovodiči (obr. 2. 38c), potenciálovábariéra se sníží a zúží (majoritní nositelé jsou odpuzováni směrem k přechodu PN) –zapojení přechodu v propustném směru.• Přechod PN má nesouměrnou vodivost – záleží na polaritě připojeného zdroje napětí(základ polovodičových diod).d) Polovodičové diodyV-A charakteristikaV propustném směru – proud prochází po překonání potenciálové bariéry (Ge dioda 0,2 V až0,3 V, Si dioda 0,65 V). Pro každý typ diody výrobce udává I max v propustném směru (jinakpřehřátí a zničení).V závěrném směru – malý závěrný proud tvořený minoritními nosiči. Překročením U zav.maxdojde k lavinovitému narůstání proudu (destruktivní průraz).Zenerova dioda – speciálně zkonstruovaná dioda s malou šířkou přechodu PN anedestruktivním průrazem v závěrném směru (po snížení napětí se přechod vrátí dopůvodního stavu) ⇒ stabilizace napětí.Využití diod:• Usměrňování střídavých proudů – využití nesymetrické vodivosti polovodičových diod.• Plošné diody – usměrnění větších proudů technických frekvencí (velká kapacitapřechodu),

• hrotové diody – usměrnění malých proudů (malá kapacita přechodu),• kapacitní diody (varikapy) – velikostí závěrného napětí lze řídit šířku přechodu (kapacitupřechodu). Pracuje jako proměnný kondenzátor řízený napětím,• luminiscenční diody – pro indikační a signalizační účely (napětí vyvolá na přechoduemisi světla),• fotodiody – světlo dopadající na přechod vyvolá zvětšení napětí na přechodu PN.Schematické značky jednotlivých typů polovodičových diod2.7. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V ELEKTROLYTECHa) Elektrolyty. Elektrolytická disociace a rekombinaceElektrolyty – roztoky vedoucí elektrický proud – vodiče II. třídy,Schopnost rozpouštědel vytvářet vodivé roztoky závisí na ε r (větší ε r ⇒ většíschopnost. H 2 O má ε r = 80).Elektrolytická disociace – rozštěpení části molekul na kladné a záporné ionty vlivempůsobení molekul rozpouštědla.• Rozpouštění heteropolárních látek (dva ionty opačných znamének),• nenulový elektrický dipólový moment molekul rozpouštědla – molekula +H 2 O (obr.2.41a).

Solváty – ionty rozpuštěné látky obklopené molekulami rozpouštědla.Hydráty – totéž ve vodných roztocích (obr. 2.41b),V elektrickém prostředí se útvary pohybují jako celek (překonávají odpor prostředí).Rekombinace iontů – spojování kladných a záporných iontů na neutrální molekuly.Pro n 0 molekul rozpuštěné látky v 1 m 3 elektrolytu a n disociovaných molekul v 1m 3stupeň disociacenα = 0 ≤ α ≤ 1 .n 0Je-li roztok koncentrovaný n 0 je velké (α

d) Faradayovy zákony elektrolýzyUvažujme jednu elektrody (katodu), na které se při elektrolýze za 1 s vyloučí p iontů látky.Označme z mocenství iontu,ze náboj iontu,m 0 hmotnost iontu,M hmotnost vyloučené látky za dobu t,I proud procházející elektrolytem.Platí M = pm 0 t,I = zep.Vydělením obou rovnic a po úpravě pro MmM = 0 It = AIt = AQ ,zekde Q = It je celkový náboj prošlý elektrolytem za čas t,Aje elektrochemický ekvivalentJednotkou A je 1 kg.C -1 .mzeA0= .1. Faradayův zákon elektrolýzy: Hmotnost vyloučené látky je přímo úměrná náboji, kterýprošel elektrolytemJiné vyjádření A – rozšíření zlomku Avogadrovou konstantou (N A = 6,023.10 23 mol -1 )AN mN ez=0A=AMFzkde M m je molární hmotnost, F je Faradayova konstantaF= N A e = 9,64867.10 4 C.mol -1 .F vyjadřuje náboj, kterým by se vyloučil jeden mol jednomocné látky.Vyjádření Faradayova zákonaMMm=FzProjde-li dvěma elektrolyty při elektrolýze týž náboj Q = It, pak podíl hmotností vyloučenýchlátek jeMM12MFzMFzm11m22QQItMzMz12mm1m2,B1=BB 1 a B 2 jsou kilovaly (kilogramekvivalenty) příslušných látek.=2. Faradayův zákon – hmotnosti látek vyloučených týmž nábojem jsou v poměru jejichkilovalů.=2

e) Elektrodový potenciálPři transportu iontů mezi elektrodou a elektrolytem po čase nastane dynamická rovnováha –počet iontů přicházejících z elektrody do elektrolytu bude stejný jako počet iontů vracejícíchse zpět na elektrodu.Elektroda se rozpouští, kationty katody přechází do elektrolytu – elektroda se nabíjí záporněpokud kationty přechází z elektrolytu na elektrodu – elektroda se nabíjí kladně.Poznámka:mechanizmus závisí na chemickém složení elektrody, elektrolytu, rozdílu potenciálů.Elektrodový potenciál – potenciál elektrody vzhledem k elektrolytu.Standardní elektroda – (např. vodíková) vzhledem k této elektrodě měříme potenciályostatních elektrod (standardní elektrodové potenciály).Tabulka 1: Standardní elektrodové potenciály různých kovůElektroda Standardní elektrodovýpotenciál [V]Elektroda Standardní elektrodovýpotenciál [V]Li -3,04 H 0,000Al -1,66 Cu +0,34Zn -0,76 Ag +0,80Fe -0,44 Hg +0,80Cd -0,40 Au +1,50Ni -0,25 Pt +1,60Pb -0,12 O +1,68Skutečnost, že elektrody různých kovů mají různý elektrodový potenciál, umožňujekonstrukci galvanických článků.f) Polarizace elektrodNastane tehdy, když původně stejné elektrody (např. C) se stanou elektrodami z různýchmateriálů.Polarizační napětí – napětí naměřené mezi zpolarizovanými elektrodami.Polarizační napětí při elektrolýze působí proti napětí přiloženého zdroje. Aby elektrolytemprocházel elektrický proud, musí být napětí připojeného zdroje větší než polarizační napětímezi elektrodami.– nepříznivý vliv u galvanických článků,+ záměrné vyvolání polarizace elektrod u akumulátorů.g) Galvanické články a akumulátory18. století A. Volta – Voltův galvanický článek.Anoda – Cu, katoda – Zn ve vodném roztoku H 2 SO 4 , U e ≈ 1,05 V.(Odběrem proudu dochází kpolarizaci elektrod, anoda se pokryje bublinkami H 2 a na katodě je O 2 . Polarizací elektrodnapětí klesne téměř na nulu).Danielův článek – potlačení polarizace elektrod (Cu je v CuSO 4 vodném roztoku, Zn je vZnSO 4 vodném roztoku.) Elektrolyty jsou oddělené polopropustnou vrstvou propouštějící jenionty SO 4 -- . Při zátěži Cu z elektrolytu na Cu anodu, Zn z elektrody do elektrolytu (složeníelektrod se nemění).

Monočlánky a suché baterie – úpravou Laclanchéova článkuKladnou elektrodu tvoří uhlíková tyčinka, zápornou elektrodu Zn nádobka, elektrolytem jevodný roztok salmiaku (NH 4 Cl).Zabránění polarizace elektrod – burel a tuha.EMN článku = 1,5 V, plochá baterie – 3 články sériově = 4,5 V.Westonův normálový článek – U e – 1,017934 VČlánek je neklopný (nesmí se promíchat tekutiny), měří se s ním v bezproudovém stavu (max.zatížení proudem I = 1 µA).Primární galvanické články – elektrochemické děje jsou v nich nevratné,Sekundární galvanické články – akumulátoryAkumulátorvyužívají se v něm vratné elektrochemické děje, využívá se polarizace elektrod (záměrně sevytváří při nabíjení akumulátoru).Olověný akumulátor – dvě soustavy Pb elektrod, elektrolyt – H 2 SO 4 (hustota 1,28 g.cm -3 ).• Nabití akumulátoru – (+ na +, – na –) předepsaným proudem (katoda se pokryjepórovitým Pb, anoda PbO 2 ).• Současně dochází k rozkladu vody (vody ubývá, hustota elektrolytu roste +0,2 g.cm -3 )• U e je asi 2 V (při poklesu pod 1,85 je třeba ji nabít).• Pb akumulátor má velmi malý R i < 0,01 Ω (může krátkodobě dodat do obvodu velkýproud – startování automobilu).• Při zkratu však může způsobit požár (roztavením vodičů).• Účinnost Pb akumulátoru je asi 80%.• Kapacita (náboj) akumulátoru se udává v Ah (jak dlouho můžeme odebírat proud 1 A).Alkalický oceloniklový akumulátor (NiFe) – U e = 1,3 V,• K – Fe, A – Ni, elektrolyt – vodný roztok 21% KOH + 5% LiOH.• při stejné hmotnosti má větší kapacitu,10x delší životnost,• může po jistou dobu zůstat nenabitý, má velký R i .Další typy akumulátorů: NiCd, HgAg …

2.8. VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V PLYNECH(Výboj v plynech)Výboj v plynu – označení pro průchod elektrického proudu plynem.Za normálních podmínek jsou čisté plyny velmi dobrými izolanty (vzduch obsahuje v1 cm 3 jen 10 3 iontů vznikajících vlivem radioaktivního a kosmického záření).Ionizační činidla – umělé vytvoření nositelů proudu (zahřátím, působením UV záření, RTGzáření, radioaktivního záření apod.).Nesamostatné vedení proudu v plynu – vedení podmíněné působením vnějšího ionizačníhočinidla.Samostatné vedení proudu – nositelé proudu vznikají v plynu vlivem procesů vyvolanýchelektrickým polem.a) Ionizace, rekombinace a neutralizace iontůNa vedení proudu v plynu se podílí kladné a záporné ionty a volné elektrony.Ionizační energie – energie W i potřebná na odtržení elektronu z atomu nebo molekuly. Častose vyjadřuje pomocí elementárního náboje e a ionizačního potenciálu ϕ iW i = eϕ i , tedy ϕi=e.Tabulka – První ionizační potenciály některých plynůPrvek ϕ i [V] Prvek ϕ i [V]H 13,6 Ne 21,56He 24,56 Kr 14,0O 13,62 Xe 12,13Ar 15,76 Na 5,14Kladně a záporně nabité částice vznikají ve dvojicích (počet se rovná počtu ionizovanýchatomů nebo molekul)n + = n – = n,kde n je počet ionizovaných molekul v 1 m 3 .Rekombinace iontů – vytvoření neutrálního iontu nebo molekuly po setkání + a – iontu nebo+ iontu a elektronu.Neutralizace iontů – úbytek iontů při výboji odevzdáním náboje iontů na elektrodách.b) Nesamostatný výboj v plynuUvažujme 2 elektrody ve vzájemné vzdálenosti d o ploše desek S s přiloženým napětím U.A. Nesamostatný výboj v slabém elektrickém poliRychlost iontů je malá – rekombinace převažuje nad neutralizacíB. Nesamostatný výboj v silném elektrickém poliRychlost iontů je relativně velká – malá pravděpodobnost rekombinaceHustota nasyceného proudu J S – největší hodnota hustoty proudu při daném působeníionizačního činidla.W i

Závislost hustoty proudu J na intenzitě elektrického pole E při působení daného ionizačníhočinidlaOblast 1 – platnost Ohmova zákona,Oblast 2 – s rostoucí intenzitou E přestává uplatňování rekombinace iontů,Oblast 3 – oblast nasyceného proudu,Oblast 4 – přechod v samostatný výboj – ionty v plynu vznikají působením elektrického pole.c) Samostatný výboj. Ionizace nárazemIonizace nárazem – vznik iontů při srážce elektronů urychlených elektrickým polem sneutrálním atomem nebo molekulou. Kinetická energie elektronu W k > W i , pokud W k < W idostane se atom do vybuzeného stavu o energiích W 1 , W 2 ,… < W i .Krátká doba života – 10 -8 s a následný přechod do základního stavu doprovázenývyzářením fotonu.fotoionizace– foton UV ionizuje další molekulu plynu,– foton viditelného záření = světelné efekty.Při dostatečně velkém napětí mezi elektrodami přechází nesamostatný výboj v samostatný(lavinovitá tvorba elektronů).Rovinou ve vzdálenosti x projde za 1 sekundu N elektronů (x +dx ⇒ N +dN), pro dN platídN = Nαdx,kde α je první Townsendův koeficient.Po integraciN = N epočet elektronů roste exponenciálně s rostoucím xαdNa anodu dopadne N = N e a plynem prochází prouda0I = eNa0αx= eNPodmínka pro ustálený stav:• N 0 elektronů emitovaných z katody vytvoří na dráze k anodě za 1 sekundu N a - N 0 novýchkladných iontů přitahovaných katodou.• Pro udržení samostatného výboje musí za 1 sekundu vyvolat emisi N 0 nových elektronů zkatody.• Podmínka udržení samostatného výboje:0eαd

dosazením za N aβ( N a− N 0) = N0β( e αd −1 ) = 1β – koeficient počtu emitovaných elektronů k počtu dopadajících kladných iontů.d) Doutnavý výbojNastává při nízkém tlaku a napětí řádově 1000 V.1000 Pa – provazcový výboj mezi oběma elektrodami,1500 Pa – rozšíření na celý průřez trubice,700 Pa – doutnavý výboj (obr.2.44).Oblasti doutnavého výboje:1. Astonův tmavý prostor – kinetická energie elektronů z katody nestačí na ionizaci ani napřevedení atomů plynu do excitovaného stavu.2. Svítící katodová vrstva – kinetická energie elektronů z katody stačí na převedení atomůplynu do excitovaného stavu, ale nedostačuje na ionizaci.3. Crookesův tmavý prostor – značné urychlení elektronů vysokým gradientem potenciálu4. Doutnavé katodové světlo5. Faradayův tmavý prostor6. Anodový sloupec.Poznámka:• Při malé vzdálenosti anody od katody (doutnavky) svítí jen katodová svítící vrstva.• Ve výbojkách pro reklamní účely (velká vzdálenost) svítí anodový sloupec.• V zářivkách probíhá výboj ve směsi argonu a rtuťových par, emitované záření obsahujeUV složku, která budí luminiscenci luminoforu ⇒ bílé světlo.e) Obloukový výbojVzniká mezi uhlíkovými nebo kovovými elektrodami při napětí U z > 50V. Vysokáteplota plazmatu mezi elektrodami – 6000 K a více.

• Elektrický oblouk má záporný diferenciální odpor R d, , (při zvyšování proudu klesá napětía oblouk by se přerušil).• Je nutné připojit stabilizační odpor R > R d (obr. 2.45).• K udržení stabilní formy obloukového výboje je nutný minimální proud 5 A až 10 A (prosvařování obloukem 100 A až 300 A).• Obloukový výboj může probíhat za normálních atm. tlaků i za zředěného tlaku (několik100 Pa) i za vysokého tlaku (do 10 8 ).Použití: při svařování, dnes již zřídka k osvětlení.f) Jiskrový výbojVětšinou k němu dochází ve vzduch za atm. tlaku (průraz vzduchové vrstvy po překročeníelektrické pevnosti vzduchu E p =3.10 6 V/m).Průrazné napětí U p – napětí mezi elektrodami při překročení elektrické pevnosti.V přírodě je jiskrovým výbojem blesk (délka jiskry až 10 km, průřez výbojovéhokanálu 0,4 m, doba trvání 10 -4 s a okamžitá hodnota proudu 10 5 A, napětí mezi místy, kdeblesk vznikne až 10 8 V).V silně nehomogenním elektrickém poli (v okolí hrotů) je intenzita řádově 3.10 6 V/ma vzniká koronový výboj.Vakuum:• nízké (10 5 Pa – 10 2 Pa),• střední (10 2 Pa – 10 -1 Pa),• vysoké (10 -1 Pa – 10 -6 Pa),• ultravysoké (10 -6 Pa a méně).2.9. ELEKTRICKÝ PROUD VE VAKUUVakuum je velmi dobrým izolantem (neobsahuje téměř žádné nabité částice). Průchodelektrického proudu vakuem je možný emisí elektronů z kovů.Proud ve vakuu je proud konvekční (je ovlivňován jen elektrickými a magnetickými poli).Výstupní práce A v – energie nutná k uvolnění elektronu z kovuDruhy emise elektronů z kovu:1. tepelná emise (termoemise),2. fotoemise (vyvolaná absorpcí fotonu),3. sekundární emise (vyvolaná dopadem rychlých elektronů nebo iontů),4. autoemise neboli studená emise (vyvolaná silným elektrickým polem).

a) Tepelná emise elektronů a její využitíKatoda žhavená elektrickým proudem:• přímo žhavená – W vlákno zahřáté procházejícím proudem a emitující elektrony,• nepřímo žhavená – rozžhavené vlákno oddělené izolační vrstvou od válečku pokrytéhooxidem baria, thoria nebo stroncia (snížení A v ).Vakuová diodaPři dostatečně vysokém žhavicím napětí U z se kolem katody vytvoří záporný prostorovýnáboj. (Emisí elektronů se katoda nabíjí kladně a část elektronů je tak přitažena zpět nakatodu).Připojením anodového napětí U a mezi katodu a anodu (ϕ a > ϕ b ) jsou elektrony přitahovány kanodě a anodovým obvodem prochází proud I a . (obr.2.46a).Závislost I a na U a vyjadřuje V-A charakteristika vakuové diody (obr. 2.46b):1. Oblast náběhového proudu – některé elektrony překonají (při malém anodovém napětí)záporný potenciál anody a proniknou na anodu.2. Oblast prostorového náboje – elektrony jsou anodou přitahovány tím víc, čím je většíanodové napětí.3. Oblast nasyceného proudu – zvyšováním anodového napětí oblak elektronů kolemkatody zanikne (vyčerpá se).TriodaElektronka s třetí elektrodou (mřížkou), změnou potenciálu mřížky se mění anodový proud.Dnes se využívá např. v obvodech vysílačů.Termoemise se využívá stále v obrazovkách, rentgenkách, elektronových mikroskopech …

Obrazovka osciloskopu s elektrostatickou fokusací a vychylováním:1. žhavicí vlákno,2. katoda,3. Wehneltův válec (jeho potenciálem se mění počet elektronů a tím jas stopy),4. elektrostatická čočka (ovlivňování svazku elektronů potenciálem anod a 1 a a 2 ) (ϕ 2 > ϕ 1 ),5. vertikálně vychylující destičky,6. horizontálně vychylující destičky,7. luminiscenční stínítko.V televizních obrazovkách se svazek vychyluje magnetickým polemRentgenkaSpeciálně konstruované vakuové trubice s urychlovacím napětím větším jak 10 kV(obr.2.48a).1895 objev Röntgenova záření (X-ray) W.C.Röntgenem.Kinetická energie urychleného elektronu se zčásti přemění na anodě na energii rentgenovéhozáření a zčásti na vnitřní energii anody (zvýšená teplota ⇒ nutnost chlazení).

Napětí mezi anodou a katodou je vysoké – 10 5 V.Pro energii fotonů rtg. záření platíkdeW fhf =chλ= ,h = 6,626.10 -34 J.s je Planckova konstanta,f – frekvence záření,c – rychlost světla,λ – vlnová délka elektromagnetického záření.Kinetická energie urychleného elektronu mezi anodou a katodou1W = mv =22eeU a• Při prudkém zabrždění elektronu se celá kinetická energie přemění v energii fotonurentgenového záření (W f = W e ).Krátkovlnná mez rentgenového zářeních =λ minElektron je bržděn postupně ⇒ brzdné rentgenové záření, které má spojité spektrum končícíu λ min .• Charakteristické záření – čárové spektrum (závisí na materiálu anody).Tvrdé rentgenové záření – rtg. záření o krátkých vlnových délkách (větší W).Měkké rentgenové záření – rtg. záření o delších vlnových délkách (menší W).„Tvrdost“ záření se nastavuje napětím U a mezi anodou a katodou.Využití rtg. záření v lékařské diagnostice, průmyslové defektoskopii při hledání vad,stanovení struktury krystalických materiálů apod.hceU aElektronové mikroskopy – popis později (rovněž využití magnetického pole)b) Fotoemise elektronů a její užitíUvolnění elektronů z povrchu kovů účinkem dopadajícího elektromagnetického zářenívhodné vlnové délky.Teoretické zdůvodnění A. Einsteinem (Nobelova cena 1921).Světlo má kvantovou povahu a šíří se v kvantech o energii W f = hf nazývaných fotony.Einsteinova rovnice pro vnější fotoefekt..kdehf = Av+1 mv2h je Planckova konstanta,f kmitočet elektromagnetického záření (světla),A v výstupní práce,m hmotnost elektronu,v rychlost elektronu.2Mezní frekvence f m – celá energie fotonu se spotřebuje na výstupní práci A v (elektron mánulovou rychlost)

upravená fotoelektrická rovnicehfm= A vhf hfm+1 mv22= .V případě, že f dopadajícího světla < f m fotoemise nenastane.Vakuová fotonkaskládá se z fotokatody FK a anody A (obr. 2.49a).• Fotonka pro viditelnou oblast – FK tvoří vrstva s nízkou výstupní prací (Cs-Sb, CsO).• Fotonka pro UV oblast má baňka okénko z křemenného skla a FK tvoří vrstvu s většívýstupní prací (Ni, Ag, W).Fotonásobič (obr.2.49b).Optoelektronický prvek pro registraci slabých světelných toků.Spojení vakuové fotonky s násobičem elektronů (činnost založena na sekundární emisi).• Na čelním okénku je nanesena fotokatoda s malou výstupní prací.• Elektrony jsou urychleny elektrickým polem na další elektrody – dynody.• Dynody (počet 6 – 12) jsou pokryty látkou s malou výstupní prací ⇒ každý dopadajícíelektron vyrazí dalších 3 až 10 sekundárních elektronů.• Postupným násobením počet elektronů vroste až 10 8 – krát.• Poslední elektroda – anoda zachycuje vynásobený svazek elektronů.

3. STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLEMagnetické jevy známé ze starověku:• magnetovec (magnetit, Fe 3 O 4 ) – Aristoteles, podle minerálu odvozeny názvy:magnetické síly, magnetické pole.• 1820 H.Ch. Oersted – v okolí vodiče protékaného proudem existuje magnetické pole(důkaz magnetkou).3.1. ZÁKON BIOTŮV–SAVARTŮV–LAPLACEŮVBiotův–Savartův–Laplaceův zákon – příspěvek k magnetické indukci magnetického pole,r r rkterý budí element proudovodiče dl v bodě určeném r ( dB⊥ dl ,)vektorověµ0IdldB = sin β24πrrr⎛ rrrµ0Idl ×0µ0Idl ×⎜dB = =23⎝ 4πr 4πrJednotkou magnetickou indukce je tesla (T). Platí 1T = N.A -1 .m -1 .Magnetická indukce pole od tenkého vodičeµ0B = I4π∫dlsin β2rlMagnetická síla Fmpůsobící na částici s nábojem Q pohybující se rychlostí u v magnetickémpoli vodiče s proudemF m= QuB sin βPůsobením elektrického i magnetického pole na pohybující se částici vzniká sílaTato síla se nazývá Lorentzova síla.r r r rF = QE + Qu × B⎟ ⎞⎠

3.2. UŽITÍ LAPLACEOVA ZÁKONA K VÝPOČTU MAGNETICKÉ INDUKCE MAGNETICKÉHOPOLE RŮZNÝCH VODIČŮ S PROUDEMa) Magnetická indukce od úseku přímého vodiče s proudemUsnadnění výpočtu – přímý vodič s proudem I je v ose x souřadné soustavy (x, y, z), obr. 3.2.Užitím vztahu (3.4) vypočítáme indukci v bodě P na ose y, při kolmé vzdálenosti od vodiče d.• Uvažujme úsek přímého vodiče od X 1 do X 2 .r r• Ve vzdálenosti X od počátku je element dl = i dl .r r r• Polohový vektor = −iX + jd.r r r r r rdl × = i dX × − i X + jd = k .• Vektorový součin ( ) ddXPo dosazení (3.4) a integraciZavedeme substitucijmenovatele integranduPo dosazení2 2( d )Xdr µ r0B = Ikd4πX 2dX∫X 2 2( X + d )31 2d= cot gα, X = d cot gα, dX = − αα d , vypočteme2sin323222⎛ 2 cos α 2 ⎞ ⎛ 2 cos α + sin α ⎞ dX 2 = ⎜d+ d ⎟ = ⎜d⎟ =22⎝ sin α ⎠ ⎝ sin α ⎠ sin+ .α 2r r µ0Ir µ IB = k2cos4πd∫4πdα10( − sinα) dα= k ( cosα− α )Vektor B r je kolmý na rovinu určenou bodem P a proudovodičem.Lze nahradit jednotkový vektor k r jednotkovým vektorem t r 0tečny ke kružnici se středem navodiči (procházející uvažovaným bodem a ležícím v rovině vodiče s proudem)r µ0IB = tr0( cosα2− cosα1)(3.7)4πdAmpérovo pravidlo pravé ruky.321.33α

) Magnetická indukce od kruhového závitu s proudem• Kruhový závit (R, střed v počátku x, y, z) ležící v rovině (x, z) protékaný proudem I.• Určujeme B r v bodě P na ose závitu (z) vzdáleném d od středu (obr.3.3)• V bodě na závitu [ X 0,Z], zvolme dlr orientovaný ve směru I.• Polohový vektor r bodu P vzhledem k dlr jer r r33r3 2 2 22 2= −iX + jd − kZ r = ( X + d + Z ) 2 = ( R + d ) 2 .• Element proudovodičer r rdl = i dX + kdZ .• Zavedeme polární souřadniceX = R sin β Z = R cos βdX = R cos βdβ dZ = −Rsin βdβ.r• Vektorový součin dlr r ri j kr rdl ×= R cos βdβ0 − R sin βdβ=r= i Rd sinr×− R sin β d − R cos βrr2 22 2βdβ+ j( R sin βdβ+ R cos βdβ) + kRd cos βdβ14444424444432R dβ• Dosazením do (3.4) a integrací po délce závitu podle β od 0 do 2 π , tj.⎛⎞⎜ 2π2πr= rr r2πµ0IB ∫ cos .4π2( ) ⎜⎜iRd ∫ sin βdβ+ jR ∫ dβ+ kRd βdβ32 2R + d 14243 142431442443⎟ ⎟⎟⎟ 2 000⎝02π0 ⎠

Pro B r na ose kruhového závitu v bodě Pr r20IRB = j32 2 2( R + d ) 2 . (3.9)Pro bod ležící ve středu závitur r µ IB = j 0 .2 R(3.10)c) Magnetická indukce na ose jednovrstvé cívky (solenoidu)• Parametry solenoidu: l, N, R, I.• Osu cívky ztotožňujeme s osou x souřadného systému (x, y) a počítáme magnetickouindukci B r v bodě P na ose cívky v počátku souřadného systému (obr. 3.4).• Využijeme výsledek pro kruhový závit (3.9).• Ve vzdálenosti X od počátku bude element cívky dX.N• Na jednotku délky připadá N/l závitů, takže na délce dX je počet závitů dXljako jeden závit)r r20IR NdB = iµdX .32 2 2 l( R + d ) 2Integrací od X 1 do X 22 X 2r r µ0IR N dXB = i ∫ .32 lX 1 2 2( R + X ) 2Pro výpočet zavedeme substituciRX = R cot gα , dX = − αα d .2sinDále vypočteme(bereme

Po dosazeníPo integraciDiskuse výsledků:1. pro P uvnitř:2. pro P na okraji:222 2 2⎛ cos α ⎞ RR + X = R ⎜1+ ⎟ =22 .⎝ sin α ⎠ sin αRα 2−α 2r r2µ IR N20 α µ INB = isinr0dαil∫=3Rl∫ sin22α1α13sin α( − α ) dα.µ0NIBr = ir( cosα2− cosα1). (3.11)2 lαπ α1→ ,2→0πα1→ π , α2→2r r NI = i µ(3.12)lB0r rB = iµ 02NIlpoloviční hodnota je způsobena rozptylem magnetického pole3.3. VLASTNOSTI MAGNETICKÉHO POLEa) Magnetické indukční čáryZnázornění magnetického pole: Magnetická indukční čára je orientovaná prostorová křivka,jejíž souhlasně orientovaná tečna v každém jejím bodě má směr vektoru magnetické indukce(orientace pomocí Ampérova pravidla pravé ruky).Magnetické čáry jsou uzavřené křivky.Důvod: neexistují zřídla magnetického pole – „magnetické náboje“ (v elektrostatickém poli –elektrické náboje).Příklady magnetickýchindukčních čar pro:a. přímý dlouhý vodič sproudemb. kruhový závit sproudemc. jednovrstvá cívka sproudem

) Magnetický indukční tok ΦmMagnetické indukční čáry nedávají informaci o velikosti B. Proto se zavádí úmluva o počtuindukčních čar procházejících kolmou jednotkovou plochouOdtuddΦm= BdS⊥d m= BdS = BdS cosαΦ⊥ ,kde α je úhel, který svírá normála k elementu plochy dS ve směru B r .IntegrálΦm= ∫ Br . dSrje magnetický indukční tok plochou S (tok vektoru magnetické indukce plochou S).Jednotkou magnetického indukčního toku je weber (1 Wb). [Φ m ] = 1 T.m 2 = 1Wb.Tok uzavřenou plochou S (vstupující indukční čára musí někde z plochy vystoupit)Sr r∫ B.dS = 0tedy – magnetické indukční čáry jsou uzavřené křivky.S3.4. SÍLY PŮSOBÍCÍ V MAGNETICKÉM POLI NA NABITÉ ČÁSTICE A VODIČE S PROUDEMa) Pohyb nabité částice v magnetickém poliNa pohybující se náboj Q působí magnetická sílamneborF mQuF rr r= × BF m= QuBsinαkde u rychlost pohybu uvažované částice,B magnetická indukce v místě částice.Podle pravidel vektorového součinu je směr vektoru magnetické síly je určen vektorovýmsoučinem urB • Pohyb v příčném magnetickém poli (kolmok indukčním čarám), obr. 3.7Magnetická síla bude v každém bodě dráhykolmá ke směru její rychlosti ⇒ síla dostředivá⇒ pohyb po kružnici o poloměru2uF m= mRPři pohybu v příčném magnetickém poli jeF m= Q uBDosazením2uQ uB = m získáme poloměrR

Doba oběhu T po kružniciT2πRuR =muQ Bm= 2πQ B= ,T nezávisí na u, závisí na podílu mQ – měrný náboj částice a nepřímo úměrně na B.• Případ, kdy částice vstupuje do pole pod úhlem α (obr. 3.8):Vektor rychlosti u r má složkuu r 1– ve směru magnetických indukčních čaru r 2– kolmou na indukční čáry• Složka u r r r1nezpůsobí žádnou magnetickou sílu ( u1 × B = 0 ) ⇒ přímočarý rovnoměrnýpohyb konstantní rychlostí.• Složka u r 2způsobí, že F rm≠ 0 nutí částici pohybovat se po kružnici.mu2R =Q BVýsledná trajektorie je šroubovice s konstantním stoupánímmuu1T= 2πQ Bh1= .Využití silového působení magnetického pole na nabité částice:• Televizníobrazovka• Elektronovýmikroskop(obr. 3.9)

• Hmotnostní spektrograf , obr.3. 10b) Síla působící v magnetickém poli na vodič s proudemPůsobení magnetické síly na nosiče náboje, které se ve vodiči uspořádaně pohybují (u kovů –působení na volné elektrony – přenos na celý vodič).Příklad: přímý vodič délky l s proudem I v magnetickém poli B . Velikost magnetické sílyr r rF m= BIl sinα , ( F m= Il × B )kde α – úhel, který svírá vodič se směrem magnetických indukčních čar.Pro:α = 0 na vodič nepůsobí síla,0α = 90 síla je maximální.Flemingovo pravidlo levé ruky:(určení směru síly působící na přímý vodič s proudem v homogenním magnetickém poli)prsty – směr proudu, do dlaně – magnetické indukční čáry, vztyčený palec – směr síly Fm.c) Závit s proudem v magnetickém poli. Magnetický moment.• Na stranu lr 1a − lr 1působí mag. síly F r m1a − F r m1,jejich výslednice i moment jsou nulové (leží v přímce,v ose otáčení závitu)• Na strany l r 21a − l r2působí mag. síly F r m2a − F r m2Tyto síly se snaží závit otočit tak, aby vektor plochy závituS r zaujal směr B r (tvoří dvojici sil).r r rF m 2= BIl 2sinα ( F m2= Il 2× B )rameno dvojice uvažovaných sil je l 1, m oment dvojice sil jetedyM=BIl 2 l 1 sinα, S= l 2 l 1vektorověr r rM = IS × B .

d) Vzájemné silové působení vodičů s proudyUvažujme 2 dlouhé přímé vodiče ve vzájemné vzdálenosti d, protékané proudy I 1 a I 2 (obr.3.13).První vodič v místě druhého vodiče vyvolá magnetické pole o magnetické indukciNa délku l druhého vodiče bude působit sílaµ0I2π d1B1=µ0I1I2F m 2= I2lB1=2π dObdobně druhý vodič v místě prvního vodiče vyvolá magnetické pole o magnetické indukciNa délku l prvního vodiče bude působit sílaµ0I2π d2B2=µ0I1I2F m 1= I1lB2= l2π d• vodiče se přitahují ⇒ obě síly mají stejnou velikost ale opačnou orientaci (směry obou silje možné určit Flemingovým pravidlem levé ruky).• vodiče se odpuzují ⇒ v případě, že proudy I 1 a I 2 ve vodičích budou mít nesouhlasnýsměr (obr. 3.13b), změní síly F r m1, F r m2svou orientaci a.Definice jednotky elektrického proudu 1A v SI soustavě jednotek – jeden ampér je proud,který při stálém průtoku dvěma rovnoběžnými, přímými, nekonečně dlouhými vodiči,zanedbatelného průřezu, umístěnými ve vakuu, ve vzájemné vzdálenosti 1 m, vyvolá mezivodiči sílu 2.10 -7 N na jeden metr délky vodiče.e) Hallův jev1879 E. H. Hall objevil jeden z nejznámějších galvanomagnetických jevů.Hallovo napětí je způsobeno silami, působícími na pohybující se nosiče náboje ve vodiči. Propřípad v p⊥ B bude velikost intenzity vyjádřené Hallovým napětím U HEUdHH= ,l

pro Hallovo napětí platí je možnéodvodit vztahkdeURIBbH=H ,1R H=n q00je Hallova konstanta (nepřímoúměrná koncentraci volných nosičůnáboje n 0q0).Poznámka:• U polovodičů je n 0 malé (oprotikovům) ⇒ R H je velká a proto seHallův jev na polovodičích dobře měří.• U kovů se Hallův jev měří obtížně – použít citlivé měřiče napětí.Pro danou vodivou nebo polovodivou destičku a konstantní proud I je U H přímo úměrnévelikosti magnetické indukce B.Lze tedy stupnici voltmetru ocejchovat v jednotkách magnetické indukce a dostaneme přístrojzvaný teslametr.3.5. MAGNETICKÉ POLE V LÁTKOVÉM PROSTŘEDÍa) Intenzita magnetického polePro vektorový popis magnetického pole jsou zavedeny vektory:B rmagnetická indukce,H rintenzita magnetického pole.Z fyzikálního hlediska mají obdobný význam E r a B r (nikoliv B r a D r ), pomocí nichžvyjadřujeme síly působící v elektrických a magnetických polích na elektrické náboje.Intenzita magnetického pole ve vakuu je definovaná vztahemrr BH = .Význam veličiny vynikne zejména při studiu magnetického pole v látkovém prostředí.Intenzita magnetického pole v dutině solenoidu jeµ 0NIH = ,ljednotka intenzity je ampér na metr (1 A.m -1 ).Obdobně jako byly definovány magnetické indukční čáry, lze pro názorné zobrazenívektorového pole intenzity H definovat obdobné křivky – magnetické siločáry (orientovanéprostorové křivky, jejíž souhlasně orientovaná tečna v kterémkoliv jejím bodě má směrvektoru intenzity magnetického pole H r .b) Vliv látkového prostředí na magnetické poleMagnetizace látek – schopnost látek získat ve vnějším magnetickém poli, nenulovýmakroskopický magnetický moment, (látka se stává zdrojem magnetického pole o magnetickéindukci B ).i

Bise skládá s magnetickým polem B0od vodičů s proudemB = B 0+Vysvětlení podle Ampéra – existence uzavřených proudů v látce.Hypotéza molekulárních proudů – magnetický stav látky se zachovává i při dělení na menšíčástice.Ampérův magnetický moment atomu nebo molekuly –Pohybem elektronů kolem jader atomůvznikají v molekulách kruhové elektrické proudy, které jsou zdrojem magnetického pole apřísluší jim určitý magnetický momentm r .Bez vnějšího pole jsou tyto momenty orientovány chaoticky ⇒magnetický moment makroskopického objemu ∆Vai∑im ai∆VB ir r∆m = = 0Bi= 0⇒ výslednýPůsobením vnějšího magnetického pole se magnetické momenty molekul maiorientují dojednoho směru a výsledný magnetický moment je nenulový a magnetické pole B ≠ 0.Podle představ kvantové fyziky je magnetický moment atomů dán vektorovým součtemorbitálních a spinových magnetických momentů elektronů v elektronových obalech atomů.c) Magnetické pole v látce (Podle Ampérových představ )Model látky v magnetickém poli hustě navinuté toroidní cívky. (Vázané elektrické nábojevzniklé při polarizaci byly reálné, Ampérovy molekulární proudy jsou modelem).Toroidní cívka (ve vakuu nebo ve vzduchu) o N závitech, kterou prochází proud I – proudpřístupný.Velikost magnetické indukce v místě střední indukční čáryNI= µ0= H .lB0 µ0Vyplněním dutiny cívky látkou se magnetickáindukce změníB µ H += 0V případě magnetizace látky zavádíme vektormagnetizace M r (součet všech Ampérovýchmagnetických momentů molekulárních proudů vjednotkovém objemu látky ∆V)rM =∑∆Vrm∆VB iai• Jednotkou magnetizace je 1 A.m -1 (stejnájednotka jako pro intenzitu magnetického pole)• Jednotkou magnetické polarizace je 1 T (tesla - stejná jednotka jako magnetickáindukce).−M = H = 1A.m , [ P m] = [ B] = 1T.[ ] [ ]1i

Pro další úvahy nahraďme výsledné magnetické pole molekulárních proudů makroskopickýmnepřístupným (vázaným, povrchovým) proudem I i (proud procházející pod závity cívky napovrchu látky a vyvolává stejnou indukci B r ijako molekulární proudy) – obr. 3.16.Magnetická indukce B v látkovém prostředí( + κ ) H µ µ HB = µ0H+ µ0κmH= µ0m=14243κmje magnetická susceptibilita (bezrozměrná veličina, pro vakuum 0), µr= 1 + κmje tzv.relativní permeabilita prostředí (bezrozměrná veličina).Magnetická indukce B v látkovém prostředí je µr- krát větší než ve vakuu B 0 .Permeabilita prostředí = µ µ .µ0rµr0rd) Magnetické vlastnosti látekLátky silně magnetické,Látky slabě magnetické• slabě vtahovány do magnetického pole ( κ m〉 0 ),• slabě vypuzovány z magnetického pole ( κ m〈 0 ).Parametrem pro rozdělení látek podle jejich magnetických vlastností je κmnebo µm.Látky paramagnetické κ 0 , 〉 1,m〉 µmm〈 , µmLátky diamagnetické κ 0 〈 1,Látky feromagnetické κm〉〉 0 , tj . µr〉〉 1.ParamagnetikaDiamagnetika.10 66κmκ .10 mvzduch 0,37 dusík -0,004kyslík 1,80 helium -0,017hliník 20,70 ethylakohol -7,400chrom 310,00 voda -9,048chlorid nikelnatý 1100,00 měď -9,700kapalný kyslík 3600,00 bismut -175,00

Feromagnetické látky se obvykle charakterizují relativní permeabilitou µr, která však neníkonstantní a značně závisí na intenzitě magnetického pole v látce (udává se počáteční relativnípermeabilita pro H → 0. Dosahuje hodnot 10 3 až 10 5 i více.A. Látky diamagnetickéatomy nebo molekuly diamagnetických látek mají bez přítomnosti vnějšího magnetickéhopole nulový magnetický moment (elektrony jsou spárovány a jejich magnetické momenty jsouvzájemně vykompenzovány).Působením vnějšího pole získá každý elektron indukovaný magnetický moment,orientovaný proti vnějšímu poli.A. Látky paramagnetickéAtomy nebo molekuly mají vlastní nenulový magnetický moment .Pro magnetické momenty bez vnějšího magnetického pole chaoticky orientované platí∑∆Vr rm ai= ∆mVe vnějším poli dojde k částečnému uspořádání do směru B0(uspořádání je narušenotepelným pohybem molekul).κmparamagnetických látek závisí na T vztahem κ = Cm, C je tzv. Curieova konstantaT(objevená P.Curiem).B. Feromagnetické látkySkupina silně magnetických látek (Fe, Ni, Co, Gd,…). Odlišnosti oproti předchozím:• velké hodnoty κm, µrjiž ve slabých magnetických polích B〉〉 B0,• κm, µrnejsou konstantní, ale obecně nelineární funkcí intenzity H (potom i P M závisínelineárně na H),• feromagnetické látky dosahují nasyceného stavu již ve slabých magnetických polích,• magnetická susceptibilita feromagnetické látky závisí na H i na předchozím magnetovánílátky – jeví hysterezi,• κmzávisí na teplotě látky. Pro každou feromagnetickou látku existuje tzv. Curieovateplota T C , při jejímž překročení se stává látka paramagnetickou (Fe – T C = 769 0 C, Ni –T C = 358 0 C).i= 0Domény – malé spontánně zmagnetované oblasti veferomagnetické látce.Objem domén 10 -3 mm 3Zahřátím nad T C se doménová struktura zruší (není-li látkav magnetickém poli – látka je odmagnetovaná).Magnetická hysterezeVložením odmagnetované feromagnetické látky domagnetického pole o H : M = f(H), B = f(H), viz. obr. 3.18adojde k nevratným změnám v orientaci domén:• křivka prvotní magnetizace,• nasycený stav,• hysterezní křivka,• remanentní magnetická indukce (pro H = 0, B = B r ),• koercitivní intenzita (změna směru při B = 0, H = H k ).Celý cyklus – hysterezní smyčka feromagnetika.

Tvar hysterezní smyčkyVelikost plochy – práce potřebná na přemagnetování jednotkového objemu magnetika (jedencyklus)• Magneticky tvrdé látky – široká hysterezní smyčka (permanentní magnety).• Magneticky měkké látky – úzká hysterezní smyčka – obr. 3.18b (jádra transformátorů,tlumivek, kotvy elektromotorů …)3.6. MAGNETICKÝ OBVODMagnetické indukční trubice (uzavřené útvary jejichž povrch je tvořen magnetickýmiindukčními čarami). Jejím kolmým průřezem prochází stejná indukční tok Φ .V praxi bývá magnetická indukční trubice vyplněna látkami s vysokými hodnotami µr.mPříklad: cívka navinutá na prstencovém jádře z feromagnetického materiálu (obr.3.19a).l – délka střední indukční čáry, Φm= BS⊥– magnetický indukční tok trubicí (pro homogennímagnetické pole).Podle Ampérova zákona celkového proudu v látkovém prostředí∫ B rdlr. = µ µ I 0 r celk. (3.51)l

Vydělenímµ 0µr∫ Hr . dlr= I celk= NI , (3.52)lkde I celk = NI je proud ve vinutí cívky, který N – krát projde uvažovanou plochou.Analogie se stacionárním elektrickým polem ∫ Er . dlr=r rMagnetomotorické napětí M = ∫ H . dl = I = NI . (3.53)Při integraci po indukční čáře l jeÚpravouDosazením do (3.53)lcelkU er r r rH ↑↑ dl, tedy H . dl = Hdl .Φ = B.S HSrm ⊥= µ 0µrHr= ΦmM = ∫ H.dl = Φm∫1µ 0µ Slrr⊥dlµ 0µ SIntegrál má analogický tvar jako vztah pro elektrický odpor vodiče..⊥⊥. (3.54)Magnetický odpor obvodu M = Φ mRm. (3.55)Hopkinsův zákon – magnetomotorické napětí v magnetickém obvodu je rovno magnetickémuindukčnímu toku násobeného magnetickým odporem obvodu.Je-li S⊥konstantní ( S⊥není funkcí l)Rm=1µ S∫dl =10µr ⊥µl 0µr1S⊥. (3.56)Bude-li magnetická indukční trubice procházet různými látkovými prostředími oµr 1, µr2,...µrn(obr.3.19b) pak vzhledem k tomu, že Φmje v libovolném místě trubicekonstantní lze psátr rM = ∫ H. dl = ∫ H1 dl + ∫ H2dl+ ... + ∫ Hndl=Φm⎡⎢⎣∫1dlS+∫l1dlSl1+ ... +l 2µl1 0µr1⊥µl 2 0µr2⊥µln 0µrn∫1dl ⎤⎥S⊥⎦ln= Φm[ R + R + ... + R ]V případě, že magnetický indukční tok prochází postupně různými látkovými prostředími(obdoba zapojení rezistorů v sérii), je celkový magnetický odpor obvoduRm= Rm1+ Rm2+ ... + Rmn. (3.57)Příklad sériového řazení magnetických odporů, viz. obr. 3.20a.Prstencové jádro z feromagnetického materiálu je přerušeno vzduchovou mezerou( µrj〉〉 1,µrv≈ 1), bude Rmv〉〉 Rmj.Při konstantním M = NI se musí podle Hopkinsonova zákona snížit Φm.m1m2mn.

4. NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLEJevy v elektrických obvodech s časově proměnnými proudy, kdy elektrická i magnetická polejsou funkcemi času a tvoří elektromagnetické pole.Elektromagnetické rozruchy se šíří podél vodičů rychlostí světla (3.10 8 m.s -1 ).Kvazistacionární elektromagnetické pole – změny proudu v obvodu natolik pomalé, že jsouve všech místech obvodu stejné (rozměry elektrického obvodu jsou mnohem menší nežvlnová délka elektromagnetického rozruchu)4.1. FARADAYŮV ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE1831 ji objevil M. Faraday při pokusech s cívkami a permanentními magnety.Jev elektromagnetické indukce – každá časová změna Φmprocházejícího uzavřenýmelektrickým obvodem vyvolá v tomto obvodu indukovaný proud.• Uvažujme přímý vodič délky l ,• umístěný kolmo k indukčním čarámhomogenního, magnetického pole o indukci• Pohyb kolmo k indukčním čarám v,• Volně pohyblivé nosiče proudu q 0• Magnetická síla působící na nosiče= q vB (přemístí je k hornímu konciRychlost vodičePro U i dostaneme:mF m 0vodiče ⇒+, dolní konec – sníženíkoncentrace nosičů proudu ⇒ –).Ustálený stavF = −F⇒ q E q vB .Odtude m 0 i=0E i= Bv .Pomocí EivypočítámeU i = E i l = Bvl.dxv = , (plocha opsaná vodičem za čas dt: dx . l = dS ),dtU idxl dSB− B = −dt dt= .dS. B = Φ magnetický indukční tok plochou dS za čas dtFaradayův zákon elektromagnetické indukceUidΦ= −dtmVysvětlení záporného znaménka – Lenzovo pravidlo:Směr indukovaného proudu v obvodu je vždy takový, že se svým magnetickým polem snažízabránit změnám magnetického indukčního toku, které jej vyvolávají.Změna magnetického pole vyvolává pole elektrické, obě pole spolu vzájemně souvisí anelze je proto studovat odděleně.

a) Vzájemná indukce (jev)Vznik indukovaného elektromotorického napětí v jiném obvodu způsobený časověproměnným magnetickým polem v okolí prvního obvodu.Uvažujme:• dva obvody (cívky), prvním prochází časově proměnný proud I 1 (t) (obr.4.2)• počet závitů první cívky N 1 , počet závitů druhé cívky N 2 .Přenos energie z jednoho obvodu do druhého je zprostředkován magnetickým polem.Hovoříme o induktivní vazbě mezi obvody:• těsná vazba – téměř celý indukční tok prochází druhým obvodem,• volná vazba – prochází jen malá část z celkového indukčního toku.Vzájemná indukčnostN1N2M = µ 0µrS ⊥lKoeficient M je koeficient vzájemné indukčnosti (vzájemná indukčnost).Jednotka vzájemné indukčnosti [M]= Wb.A -1 = H (henry).b) Vlastní indukceZměny magnetického indukčního toku vyvolávají ve vlastním obvodu indukované napětí U i .Magnetický indukční tok všemi závity cívky jeΦm( t)= LI(t),kde L je vlastní indukčnost (indukčnost) cívky. Jednotka indukčnosti 1 H (henry).

Změny proudu v cívce vyvolají i změny magnetického indukčního toku. Vlastní indukcí se vcívce indukuje napětíUidΦm( t)−dtdI(t)= −Ldt= .Znaménko "–" vyjadřuje, že indukované napětí působí proti změnám proudu v obvodu.Pro indukčnost toroidní cívky dostanemeL =2N S0µrl⊥µ .Indukčnost cívky závisí na magnetických vlastnostech jádra ( µr), geometrickém tvaru cívky(S ,l) a roste s N 2 .Poznámka:Vinutí cívky má vždy jistý odpor R L . Reálnoucívku znázorňujeme jako sériovou kombinaciodporu a ideální indukčnosti L.c) Vířivé proudy (Foucaltovy)Vířivé proudy vznikají v masivních vodičích pohybujících se v magnetickém poli nebo jsou vklidu v časově proměnném magnetickém poli (vířivé – nelze přesně určit jejich směr).Účinky vířivých proudů:• Vodič je bržděn – využití u tlumících systémů měřidel (u rotorů elektromotorů jsou tytoúčinky nežádoucí).• Vodič je zahříván – vysokofrekvenční ohřev (vložení do dutiny cívky protékanévysokofrekvenčním proudem).Pro potlačení vířivých proudů – skládání vodičů z tenkých izolovaných plechů.

4.2. STŘÍDAVÝ PROUDStřídavý elektrický proud (napětí) je periodickou funkcí časuI ( t)= I(t + nT ) ,kde n = 0, ±1, ±2,…, T – perioda.Střední hodnota střídavého proudu (napětí) během periody T musí být rovna 0. tj. plochaležící nad osou času musí být stejně velká jako plocha ležící pod osou času.(porovnej obr. 4.6a – nejsou střídavé a obr.4.6b – střídavé průběhy proudů)a) Vznik harmonického střídavého napětí a prouduOtáčení cívky (ω) v homogenním magnetickém poli B r .Uvažujme závit (obr. 4.7)V čase t = 0 – vektor S r plochy závitu svírá s indukčnímičarami úhel ϕ .V čase t ≠ 0 – vektor S r plochy závitu svírá s indukčnímičarami úhel α = ωt + ϕ .Magnetický indukční tok Φ m(t)se mění s časemΦmr r( t)= B.S = BS cosα = BS cos( ωt+ ϕ).Podle Faradayova zákona elektromagnetické indukce se vzávitu indukuje napětíUdΦm( t)d= − = −BScos( ω t + ϕ ) = BSωsin( ωt+ ϕ )dt dti .střídavé harmonické napětí u, střídavý harmonický proud i.um= U ω t +Vyjádření rovnicí sin( ϕ)u – okamžitá hodnota napětí,U m – maximální (vrcholová) hodnota napětí, amplituda,ω2π– úhlová frekvence = 2 πf= ,Tϕ – počáteční fázový úhel, počáteční fáze, ( ω t + ϕ ) fázový úhel, fáze.T – perioda,– maximální hodnota napětí.U m

Připojením zdroje střídavého napětí u k rezistoru R, bude jím procházet střídavý proudu Umi = = sin( ω t + ϕ ) = Imsin( ωt+ ϕ)R R.Pro maximální (vrcholovou) hodnotu střídavého proudu platíIURmm= .Zjednodušení matematického vyjádření střídavých proudů a napětí pro ϕ = 0i = Imsinωt.b) Efektivní hodnota střídavého proudu a napětíEfektivní hodnota I střídavého proudu je definována jako:hodnota stejnosměrného proudu, který při průchodu rezistorem o odporu R vyvine za dobujedné periody stejné Jouleovo teplo jako uvažovaný střídavý proud.Pro efektivní hodnotu střídavého proudu odvodímeI =Pro efektivní hodnotu střídavého napětí platí obdobněU =Poznámka:Měřící přístroje na měření střídavého proudu nebo napětí mají stupnici ocejchovanou vefektivních hodnotách (stejně tak jsou uváděny údaje na elektrických spotřebičích).Maximální hodnota je tedy U m = 311 V, frekvence v síti f = 50 Hz.c) Rezistor, cívka a kondenzátor v obvodu střídavého prouduPasivní prvky – rezistor, cívka, kondenzátor,Aktivní prvky – zdroje střídavého napětí, tranzistory.Ideální pasivní prvky – např. považujeme R L vinutí cívky za zanedbatelně malý, Lodporového vinutí rezistoru za zanedbatelně malou, nekonečně velký odpor ideálníhodielektrika v kondenzátoru.I m2U m2

A. Rezistor o odporu R v obvodu střídavého proudu.Uvažujme obvod znázorněný na obr. 4.9a s připojeným R ke zdroji střídavého napětíu = Umsinωt,takže podle 2. Kirchhoffova zákona platíRi = u.Vyjádřením proudu ikdeProud rezistorem je ve fázi s napětím.Odpor R lze vyjádřitu Umi = = sin ωt= Imsinωt,R RUmIm= .RUR =IUm2Im= =m mB. Cívka o indukčnosti L v obvodu střídavého prouduCívkou připojenou ke zdroji prochází střídavý proudi = Imsinωt.Vlivem vlastní indukce se na cívce indukuje napětí u L2UI.Při zanedbatelném odporu vinutí cívky ( R → 0 ) podle 2. Kirchhoffova zákona platíL

diu + uL = 0 ⇒ u = −uL= L .dtDosazením za i dostaneme napětí udu = LImsin ωt= ImLωcosωt= Umcosωt,dtkde Um= ImLω. "Zdánlivý" odpor cívky (odpor, který klade procházejícímu střídavémuproudu)UmXL= = Lω .ImIndukční reaktance nebo stručně induktance cívky. Jednotkou je ohm ( Ω ).Pro lepší porovnání (časový průběh proudu – funkce sin ωt, časový průběh napětí – funkcecos ωt )⎛ π ⎞u = Umcosωt= Umsin⎜ωt+ ⎟ .⎝ 2 ⎠napětí na cívce předbíhá proud o 90 0 (π/2) (proud indukčností se opožďuje za napětím)C. Kondenzátor o kapacitě C v obvodu střídavého prouduKondenzátor je připojen ke zdroji střídavého napětíu = Umsinωt.Podle 2. Kirchhoffova zákona musí platitu + u C= 0 , kdeQu C= ,CtakžePo derivaciQ− = Umsinωt.C1 dQ= Umω cosωtC dt− .dQ − = i tedy i UmCωcos ωt= ImcosωtdtI U Cω= ,kdem=m .„Zdánlivý odpor“, který klade kondenzátor střídavému proudu,

XCUIm1=Cωm= ,se nazývá kapacitní reaktance stručněji kapacitance. Jednotkou je ohm ( Ω ).Vyjádřením rovnice pomocí sinu= Iim⎛ π ⎞sin⎜ωt+ ⎟⎝ 2 ⎠Proud v obvodu s kondenzátorem předbíhá napětí o π/2 (napětí se opožďuje za proudem o90 0 ).d) Práce a výkon střídavého proudu.Uvažujme obecný případ, kdy u je vzhledem k proudu i fázově posunuto o úhel ϕu = Umsin( ωt+ ϕ),i = Imsinωt.Vypočteme střední výkon za jednu perioduobdržíme1P =TTU ITm m∫ uidt = ∫ sin( t +0Úpravou integráluT0ϕ ).sinωtdtω .2sinα sin β = cos( α − β ) = cos( α − β ) − cos( α + β )UmIP =TDruhý integrál je roven nule.mTU ITPro činný výkon spotřebovaný v zátěži dostávámecos ϕ – účiníkUI – zdánlivý výkonPm m∫ cos dt − ∫ cos(2ωt+0U I2T0ϕ )ϕ .m m= cosϕ = UI cosϕ .4.3. ŘEŠENÍ OBVODŮ STŘÍDAVÉHO PROUDUR, L, C můžeme spojovat sériově, paralelně nebo kombinovaně.a) Znázornění střídavých napětí a proudů pomocí fázorůMějme střídavé napětíu = Umsin( ω t + ϕ ) .Fázor – orientovaná úsečka v rovině x, y ,která má počáteční bod v počátku souřadnic a délkuúměrnou amplitudě napětí U m . (obr. 4.12a)• V čase t = 0 svírá úsečka s osou x úhel ϕ .• V čase t ≠ 0 svírá s osou x úhel ( ω t + ϕ ).• Průmět rotujícího fázoru do osy y je U msin( ω t + ϕ ) – okamžitá hodnota napětí u.Podobně řešíme i střídavý proud i.

Fázory v měřítku amplitud.Fázory v měřítku efektivních hodnot.b) Symbolická komplexní metoda vyjádření střídavých veličinPro praktické výpočty je výhodnější vyjádřit střídavé veličiny komplexními čísly. Každýfázor je jednoznačně určen svým koncovým bodem. Nahrazením roviny x,y Gaussovourovinou komplexních čísel můžeme přiřadit každému fázoru komplexní číslo (obr.4.12b –komplexní číslo U ) m). Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna velikosti polohovéhovektoru (amplitudě střídavé veličiny).c) Řešení sériového RLC obvoduSériový RLC obvod, připojený ke zdroji napětí u = Umsinωtje na obr. 4.13a.Podle 2.Kirchhoffova zákona je součet elektromotorických napětí působících v obvodu vkaždém okamžiku roven součtu napětí na rezistorechdi Q 1Ri = uL + uC+ u , kde u L= −L a u C= = −dt∫ idt .C CPo dosazení

di 1Ri = −L− ∫ idt + Umsinωtdt CDerivací podle času, podělením L a úpravou dostaneme diferenciální rovnici 2. řádu2d i R di 1 Umω + i = ωt2cosdt L dt LC L+ .což je diferenciální rovnice pro vynucený proud v obvodu.A. Řešení sériového RLC obvodu pomocí fázorůV měřítku efektivních hodnot.Prvky obvodu prochází stejný proud i (znázorníme ho fázorem ležícím v ose x).• U R= RI je ve fázi s proudem,π• U = IX ILωpředbíhá proud o , (4.30)2• UL L=C1π= IXC= I opožďuje se za proudem o . (4.31)Cω2Grafickým součtem napětí na jednotlivých prvcích(4.13b)U=U2RVytknutím I před odmocninu+ ( UL−UImpedance – odpor sériového R L C obvoduC)2=2 ⎛⎞( RI ) + ILω− I ⎟ ⎠Z⎜⎝2 ⎛ 1 ⎞U = I R + ⎜ L − ⎟⎠C1444⎝ ω244432ω.2.1CωU 2 ⎛ 1 ⎞Z = = R + ⎜ Lω − ⎟⎠ . (4.32)I ⎝ CωJednotkou impedance je ohm ( Ω )Fázový úhel – fázový posun napětí u vzhledem k proudu i1Lω−tgϕ= Cω. (4.33)RDiskuse:1a) L ω − 〉 0 , v obvodu převládá induktance nad kapacitancí – napětí předbíhá proud.Cω1b) L ω − 〈 0 , v obvodu převládá kapacitance nad induktancí – napětí se opožďuje zaCωproudem.1c) L ω − = 0 – u a i jsou ve fázi, impedance je minimální ⇒ proud je maximální.Cω.

Součet uLa uCje v každém okamžiku roven 0.Tento stav sériového RLC obvodu nazýváme sériová rezonance (rezonance napětí)Rezonanční frekvence1Lω r − = 0 .Cωrodtud Thomsonův vztah pro rezonanční frekvenci11ωr= , f r= (4.34)LC2πLCNázornější přehled o vlastnostech obvodu při různých frekvencích – kmitočtovécharakteristiky (amplitudové nebo fázové).Z = Z( ω),U = U(ω)při napájení konstantním proudem I.I = I (ω) při napájení obvodu ze zdroje konstantní efektivní hodnoty U (obr. 4.14a)Na obr. 4.14b – graf kmitočtové fázové charakteristiky (závislost fáze na frekvenci)Pro přesnější stanovení ω je výhodnější fázová charakteristika.rB. Řešení sériového RLC obvodu symbolickou komplexní metodouProudu i přiřadíme (v měřítku efektivních hodnot) komplexní číslo Î (komplexní efektivníproud). Napětím na rezistoru, indukčnosti a kondenzátoru přiřadíme Uˆ R,UˆL,UˆC(komplexníefektivní napětí). Celkové komplexní efektivní napětíUˆ = Uˆ+ Uˆ+ Uˆ. (4.35)Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem, takžeNapětí na indukčnosti předbíhá proud o 90 0UˆLZˆLRLCUˆRnení vzhledem k Î pootočeno.ˆ = RIˆ.U RIˆ=jLωIˆ= . (4.36)Napětí na kondenzátoru se opožďuje za proudem o 90 0Uˆ1= ZˆIˆ= − j Iˆ. (4.37)CCCω

DosazenímUˆ= RIˆ+ jL⎡⎤⎢ ⎛ ⎞⎥Iˆ1− j Iˆ= Iˆ1⎢R+ j⎜Lω− ⎟⎥Cω⎢144⎝2444C3ω ⎠⎥⎣Zˆ⎦ω. (4.38)Ẑ – komplexní impedance sériového RLC obvodu.Ohmův zákon pro střídavý proudUˆ = ZI ˆˆ. (4.39)Komplexní impedanceZˆ= R +má reálnou část R = Re(Zˆ) – rezistance,imaginární část X = Im(Zˆ) – reaktance.⎛ 1 ⎞j⎜Lω− ⎟ = R +⎝14243Cω⎠Velikost impedance Z Z = [ Re( Z ] 2 + [ Im( Z ) ] 2X= ˆ ˆ) ˆ . (4.40)Fázový posunIm( Zˆ)tg ϕ =(4.41)Re( Zˆ)Poznámka: doazením za reálnou a imaginární část komplexní impedance dostaneme vztahy(4.32) a (4.33) odvozené pomocí fázorů.d) Řešení paralelního RLC obvoduUvažujme paralelní RLC obvod podle obr. 4.15a. Na větvích obvodu je stejné napětí u.Celkový proud i ze zdroje se rozdělí na proudy , i i .iR L,C• proud i R bude ve fázi s napětím,• proud i L cívkou se fázově opožďuje za napětím o 90 0 ,• proud i C kondenzátorem bude předbíhat napětí u o 90 0 .Pro celkový proud musí v každém okamžiku platit 1. Kirchhoffův zákoni = i + i + iRLCjX.

Celkový posun proudu i oproti napětí u označíme ψ = −ϕ.A. Řešení paralelního RLC obvodu pomocí fázorůSpolečnému napětí u přiřadíme v měřítku efektivních hodnot fázor U, který umístíme do osy x(obr.4.15b). Vektorovým součtem fázorů I R , I L , I C obdržíme fázor I přiřazený celkovémuproudu i. Velikost I podle Pythagorovy věty( I − I ) 2I = I +. (4.42)2 R C LVyjádříme velikosti proudů pomocí napětí Udosazením do předchozího vztahuVeličinaIU U U= IL= = , IR X LωUXR C= =LCUCω, ,2⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞I = U ⎜ ⎟ + ⎜C− ⎟R L14⎝4⎠44⎝ ω244443⎠2Y2ω. (4.43)⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Y = ⎜ ⎟ + ⎜Cω − ⎟ . (4.44)⎝ R ⎠ ⎝ Lω ⎠představuje „vodivost“ paralelního obvodu pro střídavý proud – admitanci. Jednotkou1admitance je Ω − = S(siemens).Pro fázový posuv celkového proudu vzhledem k napětí platí1Cω−⎛tgψ= Lω= R⎜Cω−1 ⎝R21 ⎞⎟Lω⎠. (4.45)Diskuse:1a) C ω − 〉 0 , v obvodu převládá proud kondenzátorem nad proudem cívkou,Lωψ 〉0, i předbíhá napětí u o úhel ψ .1b) C ω − 〈 0 , v obvodu převládá proud indukčností nad proudem kondenzátorem,Lωψ 〈0, proud i se opožďuje za napětím u o úhel ψ .1c) C ω − = 0 , pak ψ = 0, napětí u a proud i jsou ve fázi, admitance Y je minimální a jeLω1rovna vodivosti rezistoru, Y = .RSoučet proudu i , i je v každém okamžiku 0 – paralelní rezonance (rezonance proudu).LC1Rezonanční frekvence z podmínky Cω r − = 0 ,Lω1 1ω , f =rLCr2πLCr= . (4.46)

Kmitočtové charakteristiky paralelního RLC obvodu,Při rezonanci je admitance minimální a napětí je proto při I = konst.maximální (obr.4.16a)Rezonanční obvody – obvody RLC, které pracují v blízkosti své rezonanční frekvence,rezonanční křivka – amplitudová kmitočtová charakteristika rezonančního obvodu, viz.obr. 4.16b.Čím je rezonanční křivka užší, tím je rezonanční obvod kvalitnější.Činitel kvality rezonančního obvodu QQp11− p= .Na obr. 4.17 je znázorněná kmitočtová fázová charakteristika paralelního RLC obvodu.2B. Řešení paralelního RLC obvodu komplexní metodouNapětí u přiřadíme komplexní číslo Uˆ a proudům v obvodu komplexní čísla Iˆ, IˆR,IˆL,IˆPodle 1. Kirchhoffova zákona musí platitIˆ = IˆR+ IˆL+ IˆC . (4.47)Komplexní proudy ve větvích pomocí komplexního napětí UˆC

Po dosazeníkde veličinaIˆRUˆ, IˆRLU= − j , IˆLωC= jCωUˆ= .IˆUˆ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞⎤= ⎢ + j⎜C− ⎟R L⎥14 ⎣ 44⎝ ω24443⎠⎦ω, (4.48)Yˆ⎛ ⎞Yˆ1 1= + j⎜Cω − ⎟R ⎝ Lω ⎠. (4.49)se nazývá komplexní admitance paralelního RLC obvodu.Komplexní admitance paralelně řazených prvků je dána součtem komplexních admitancíjednotlivých prvků, tj. součtemReálná část Re(Yˆ )Imaginární část Im(Yˆ )YˆG = konduktance,1 1= , YˆL= − j , YˆR LωR C=B = susceptanceY ˆ = G + jB .jCω. (4.50)e) Derivační a integrační obvody.• Obvody, které provádějí časovou derivaci nebo integraci vstupního napětí (realizacepomocí rezistorů, kondenzátorů nebo rezistorů a cívek,• Napětí U 1 nemusí mít harmonický průběhA. Derivační obvod (obr. 4.18a)Podmínka derivačního obvodu jeX C〉〉 R .Q 1potom U1(t)+ U C→ 0 , kde U C= = − ∫ I ( t)dt .C CTuto rovnici derivujeme podle času a vyjádříme proud I(t)dU1(t)I( t)= C .dtVýstupní napětí U 2 (t) je napětí na rezistoru, takže podle Ohmova zákonadU1(t)U2( t)= RI ( t)= RC . (4.51)dtNapětí na výstupu obvodu je úměrné časové derivaci vstupního napětí

B. Integrační obvod (obr.4.18b)Podmínka integračního obvodu R〉〉 X .CU1(t)PakI( t)= .RVýstupní napětí U2(t)je napětím na kondenzátoru, takžeQ 11U2( t)= UC = = − ∫ I ( t)dt = − ∫U1(t)dt . (4.52)C CRCNapětí na výstupu obvodu je úměrné časovému integrálu vstupního napětí.4.4. TRANSFORMACE STŘÍDAVÉHO NAPĚTÍ A PROUDUTransformátory – zařízení k provádění přeměny střídavého proudu na proud téže frekvence ajiného napětí.Magnetický obvod (jádro transformátoru) tvoří základ transformátoru:• tenké izolované plechy z feromagnetické látky s úzkou hysterezní smyčkou,• primární cívka (do ní přivádíme proud k transformaci),• sekundární cívka (odvádíme z ní transformovaný proud),• těsná indukční vazba – mezi oběma cívkami.a) Nezatížený transformátorSekundární obvod není uzavřen (neprochází jím proud), i = 0.Počet závitů primární cívky N 1 .Počet závitů sekundární cívky N 2 .Pro poměr vrcholových nebo efektivních hodnot platíUUm1U=UNNm 2 2 2= =Transformační poměr• transformace nahoru – N2〉 N1, p 〉 1, na vyšší napětí U2〉 U1,• transformace dolů – N2〈 N1,p〈1, transformace na nižší napětí.• p = 1 použití z bezpečnostních důvodů pro oddělení sekundáru od rozvodné sítě.11p

) Zatížený transformátorPřipojení zátěže k sekundárnímu vinutí (R Z ). Pro vrcholové hodnoty magnetických indukčníchtoků platíodtudIIN Im2N1Im1m12= ,RmIIRNNmm2 2 11= == .1Poznámka:• Při rozvodech elektrické energie dochází ke ztrátám výkonu na odporu vedení R z2( P = ztrRvI ).• Pro omezení ztrát se provádí transformace nahoru (vysoké napětí, malý proud).• Před rozvodem do spotřebitelské sítě se provede transformace dolů (na napětí 220 V).Transformace dolů rovněž provádíme:• při svařování elektrickým obloukem,• u transformátorových plechů,• u transformátorových pájek,tj. všude tam, kde při malém napětí musíme získat velký proud.4.5. TŘÍFÁZOVÝ PROUDa) Vznik a vlastnosti třífázového prouduTřífázový proud se vyrábí v generátorech – alternátorech.Princip alternátoru je na obr. 4. 20.2p• stator s trojím vinutím (cívkami) s osami pootočenými o 120 0 ,• rotor alternátoru je silný elektromagnet otáčející se s úhlovou rychlostí ω (indukcestřídavých napětí fázově posunutých o 120 0 .

Okamžité hodnoty indukovaných napětí v cívkáchuuu123= U= U= Ummmsinωt⎛ 2 ⎞sin⎜ωt− π ⎟⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞sin⎜ωt− π ⎟⎝ 3 ⎠Vhodným spojením cívek lze využít 4 vodiče k přenosu třífázového napětí• nulový (střední) vodič,• 3 fázové vodiče (L1, L2, L3).fázová napětí – napětí mezi fázovými a nulovým vodičem (U = 220 V, U m = 220 2 = 311V.)sdružené napětí – napětí mezi dvěma fázovými vodiči (U 12 , U 23 , U 31 ).Amplituda sdruženého napětí jetj.Um12 3U m ,3 – krát větší než amplituda fázového napětí.Amplituda sdruženého napětíEfektivní hodnota sdruženého napětíU msdr311 3 = 538V,U sdr= 220 3 = 380VZapojením spotřebiče ( odpor R Z ) mezi nulový vodič a fázové vodiče, potečou fázovýmiUmvodiči proudy o stejné amplitudě Im= vzájemně fázově posunuty o 120 0 . PokudRZzatížení fází není stejné, prochází nulovým vodičem malý vyrovnávací proud.b) Točivé magnetické poleZjednodušení konstrukce elektromotorů. Stator elektromotorů na třífázový proud se skládá zetří cívek (posunutí 120 0 ), viz. obr. 4.21..Proudy procházející cívkami vyvolají střídavá magnetická pole (prostorově i fázověposunuta o 120 0 ).

Okamžité hodnoty vektorů magnetické indukcekde pro velikosti amplitud platírBrB1rB23m1r= Br= Br= Bm1m2m3sinωt⎛ 2 ⎞sin⎜ωt− π ⎟⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞sin⎜ωt− π ⎟⎝ 3 ⎠r r rB = B= Bm2= Bm3Složením dílčích magnetických polí vznikne v prostoru mezi cívkami výsledné magneticképole o magnetické indukci B r , jako vektorový součet indukcí B r 1až B r 3.3Vektor magnetické indukce výsledného magnetického pole má velikost Bma s časem mění2směr – rotuje s ω .Točivé magnetické pole – magnetické pole, jehož vektor B r nemění s časem velikost, alemění směr.Asynchronní třífázové motoryKovový válec při rotaci v točivém magnetickém poli bude mít stejnou ω jako jeúhlová rychlost točivého magnetického pole (pokud nebude překonávat žádné odpory).Bude-li válec překonávat odpor a tím konat práci (při pohánění stroje), bude se otáčetmenší rychlostí. V důsledku toho se bude v kovové válci rychleji měnit magnetický indukčnítok, indukované proudy ve válci budou větší a zvětší proto i síla, která uvádí válec do rotace.4.6. ELEKTRICKÉ KMITYa) Vlastní kmity oscilačního obvoduUvažujme obvod sestavený z R, L, C podle obr. 4.22.• Nabijeme při rozpojeném spínači S P kondenzátor nanapětí U 0 .• V čase t = 0 sepneme spínač a necháme vybíjetkondenzátor přes cívku a rezistor.• Kondenzátor je zdrojem elektromotorického napětíu C , které vyvolá proud i (časově proměnný).• Se vzrůstajícím proudem v obvodu vzroste imagnetický indukční tok v cívce, který vyvoláindukované elektromotorické napětí u L .Q dQ diuC= , i = − , uL= −L.C dt dtPodle 2. Kirchhoffova zákona musí být celkové EMN rovno úbytku napětí na rezistoruRi = u C+ u La po dosazeníQ diRi = − L .C dt(4.59)m,.

Po derivaci a dosazení zadQdt= − i můžeme rovnici přepsat2d i di 1L + R + i = 0 .2dt dt CRovnici vydělíme L2d i R di 1+ + i = 0. (4.60)2dt L dt LCZaveďme označeníR 1 2= 2δ , = ω0.L LCa upravme rovnici na tvar2d i di 2+ 2δ + ω0i= 0 . (4.61)2dt dtCharakteristická rovnice této diferenciální rovnice je kvadratickou rovnicí22λ + 2δλ+ ω0= 0 .Diskriminant této kvadratické rovnice je2 2D = δ − ω0a její kořeny jsou= −δ± Dλ , 21.Řešení rovnice (4.61)λ1t−λ2ti = A1e + A2e,kde A 1 a A 2 jsou konstanty, které můžeme určit z počátečních podmínek.Mohou nastat dva případy:a) D ≤ 0,– kořeny kvadratické rovnice reálná čísla. Řešení rovnice vyjadřuje aperiodický dějv obvodu, kdy proud i nejprve vzroste do maxima a poté klesá k nule, aniž změní směr.(kondenzátor se vybije stejnosměrným proudem).2b) D 〈 0, tj platí δ 2〈 ω0, – kořeny kvadratické rovnice jsou komplexní a řešení po úpravěvyjádříme− ti = I eδ 0sinωt,kdeωω 0δ2 2= − .V obvodu vzniknou tlumené kmity s úhlovou frekvencí ω . Amplituda těchto kmitů se srostoucím časem exponenciálně zmenšuje−δtI0e .δ – koeficient tlumení,Oscilační obvod – obvod, ve kterém mohou vzniknout elektrické kmity.Přeměna energie v kmitavém obvoduVybíjející kondenzátor vyvolá v obvodu proud ⇒ magnetické pole v dutině cívky ⇒ povybití kondenzátoru magnetické pole zanikne ⇒ vznikne indukované napětí u L na cívce ⇒nabije kondenzátor (s opačnou polaritou) atd. se celý děj opakuje.

Energetické poměry v oscilačním obvoduRovnici (4.59) vynásobíme proudem i2diRi = 1 Qi − Li .C dtdQPro i = − dostanemedt2 1 dQ diRi = − Q − Li .C dt dtDále rovnici upravíme22 d ⎛ 1 Q ⎞ d ⎛ 1 2 ⎞Ri = − ⎜ ⎟ − ⎜ Li ⎟ .dt ⎝ 2 C ⎠ dt ⎝ 2 ⎠Výrazy v závorkách jsou okamžité hodnoty energie kondenzátoru (W e ) a magnetického polecívky (W m ) v oscilačním obvodu2 dRi = − ( W e+ W m)dtnebo2Ri dt = −d( W e+ W m). (4.62)Výklad:Přírůstek vnitřní energie rezistoru za dobu dt (Joulovo teplo v rezistoru) je roven úbytkucelkové elektromagnetické energie oscilačního obvodu za dobu dt. Vlivem úbytku energierozptylem polí v okolí cívky a kondenzátoru klesá amplituda kmitů s časem – kmity jsoutlumené.b) Generátor tlumených oscilacíVe vhodném okamžiku musíme do obvodu dodat energii (proud ze zdroje musí mít stejnýsměr jako proud cívkou při oscilacích obvodu)Oscilátor – řízený spínač, např. tranzistor.Princip je znázorněn na obr. 4.23.Mějme cívku o indukčnosti L a paralelně zapojenýkondenzátor o kapacitě C. (Odpor vinutí cívkyzanedbáme). Ztráty energie budeme nahrazovat zvnějšího zdroje U zdr (stejnosměrný zdroj) připojenýpřes spínač do obvodu.Zajištění správného okamžiku sepnutí:Cívka oscilačního obvodu o L je indukční vazbouvázána na vazební cívku L v . (Proud v cívceoscilačního obvodu vyvolá indukované napětí nacívce L v a toto způsobí po krátkou dobu sepnutířízeného spínače.)Indukční zpětná vazba:• kladná – případ netlumených oscilací,• záporná – kmity okamžitě zaniknou (vnější zdroj by dodal do obvodu proud v okamžiku,kdy je směr proudu v cívce obvodu opačný než proud zdroje).

c) Vázané oscilační obvodyPřenos energie z jednoho oscilačního obvodu na druhý pomocí elektromagnetické vazby meziobvody. Jeden obvod je oscilátor, druhý obvod rezonátor.Tři základní druhy vazeb mezi oscilačními obvody (obr. 4.24).• Indukční vazba (obr. 4.24a) realizuje se prostřednictvím jejich magnetických polí(nenulová vzájemná indukčnost).• Kapacitní vazba (obr. 4.24b) – realizace elektrickým polem vazebního kondenzátoru C v .• Galvanická vazba (obr. 4.24c) – uskutečňuje se rezistorem R v .Přenos energie z oscilátoru do rezonátoru je maximální za podmínky1 1ωr 1= ωr2,⇒ = . (4.63)L C L CPásmová propusť – přenos určitého pásma kmitočtů v okolí obou rezonančních kmitočtů.1d) Vynucené kmity oscilačního obvoduDo blízkosti cívky oscilačního obvodu umístíme druhou cívku (obr. 4.25), kterou nechámeprocházet proud i 1 o úhlové frekvenci Ωi1 = Im1cosΩt.Při koeficientu vzájemné indukčnosti M je napětí indukované prostřednictvím indukční vazbydiu = −M1 = −M( − Im1Ω) sin Ωt= Umsin Ωtdt.Při proudu i v oscilačním obvodu podle 2. Kirchhoffova zákona musí platitRi = uL + uC+ u .Po vyjádření napětídi QRi = −L+ t + Umsin Ωt.dt CdQRovnici derivujeme podle času a dosadíme za = − i a upravímedt2d i di 1L + R + i = UmΩcosΩt.2dt dt CRovnici vydělíme L ⇒ nehomogenní diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty.d 2i R di 1 U Ω+ + i =m cos tdt L dt LC LΩ .2Řešení této rovnice vyjadřuje vynucený proud i v oscilačním obvodu. Pro amplitudu I m povyřešení a úpravě dostaneme122

UmIm=. (4.64)22 ⎛ 1 ⎞R + ⎜ LΩ − ⎟⎠⎝ CΩVýraz ve jmenovateli je impedance Z oscilačního obvodu při frekvenci Ω . Bude-li se Ωvynucujícího proudu i spojitě měnit, pak při jisté hodnotě Ω = Ωrbude impedance v obvoduUmnejmenší a amplituda bude maximální Im max= (rezonance)R1při rezonanční frekvenciΩr= . (4.65)LCRezonanční obvody – oscilační obvody u nichž dochází k rezonanci s vynucujícím signálemRezonanční křivka – grafické vyjádření závislosti I m na Ω .4.7. NESTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ POLEa) Vlastnosti elektromagnetických vlnElektrická i magnetická intenzita se šíří stejnou rychlostíVe vakuu ε 1 , = 1, takžer= µrv =1ε0εrµ01c = ≈ 3.10 8 m.s -1ε0µ0Rychlost šíření elektromagnetické vlny v dielektriku ( 〉1)εrje menší než rychlostšíření ve vakuu, tj. v < c . Podíl rychlosti šíření vlny ve vakuu a dielektriku je tzv. absolutníindex lomu dielektrikacn = = εrµr.vElektromagnetické vlnění je vlnění příčné. Vektory E r a H r jsou kolmé na směr šíření vlnění(kolmé k v r ) a jsou vzájemně kolmé.µr

) Spektrum elektromagnetických vlnTabulka 2: Rozdělení elektromagnetických vlnInterval frekvence vlnové délkyradiové vlny:velmi dlouhé 3 – 30 kHz (10 5 – 10 4 ) mnízké frekvence 30 – 300 kHz (10 4 – 10 3 ) mstřední frekvence 0,3 – 3 MHz (10 3 – 10 2 ) mvysoké frekvence 3 – 30 MHz (10 2 – 10) mvelmi vysoké frekvence 30 – 300 MHz (10 – 1) mmikrovlny :decimetrové 0,3 – 3 GHz (1 – 0,1) mcentimetrové 3 – 30 GHz (10 – 1) cmmilimetrové 30 – 300 GHz (10 – 1) mmsubmilimetrové > 300 GHz < 1 mmdaleká infračervená oblast 10 11 – 10 13 Hz (10 3 – 20) µminfračervené záření 10 13 – 4.10 14 Hz (20 – 0,75) µmviditelné světlo 4.10 14 – 7,5.10 14 Hz (750 – 400) nmultrafialové záření 7,5.10 14 – 6.10 16 Hz (400 – 50) nmrentgenové záření: měkké 10 16 – 10 18 Hz (20 – 0,1) nmtvrdé 10 18 – 10 22 Hz (0,1 – 10 -5 ) nmγ záření > 10 18 Hz < 0,1 nmPro rozhlasové vysílání se užívají frekvenční pásma• DV – f = 145 kHz až 420 kHz,• SV – f = 510 kHz až 1,6 MHz,• KV – f = 3 MHz až 30 MHz,• VKV – f = 30 MHz až 300 MHz,• UKV – f = 300 MHz až 3 GHz.Elektromagnetické vlny od oblasti daleké infračervené oblasti již nelze generovat umělevyrobenými oscilátory. Jsou generovány přirozenými oscilátory – atomy, molekuly.Kvantové vlastnosti elektromagnetického záření – není vyzařováno spojitě, ale po kvantech oenergiikde h je Planckova konstanta.W hf =chλ= ,c) Šíření elektromagnetických vln v prostoru• snadno procházejí nevodivým prostředím i vakuem, na vodivém prostředí se odráží,• velká rychlost šíření je vhodná pro přenos informace,Dlouhé a střední vlny jsou obvykle vyzařovány svislými čtvrtvlnovými dipóly – šíří se připovrchu Země (ohýbají se na překážkách, není nutná přímá viditelnost mezi vysílačem apřijímačem).Krátké vlny – je možné je přijímat jen v oblasti přímé viditelnosti antény vysílače, dálkovýpříjem KV je umožněn odrazem od ionosféry (výška 100 až 120 km – vrstva E), která vznikáionizací vzduchu působením slunečního záření. V noci vrstva zaniká rekombinací iontů.V noci je šíření možné odrazem od ionizované vrstvy F (200 až 400 km) – spojení na delšívzdálenost.Radiové vlny velmi vysoké frekvence ( λ = 10 až 1 m) procházejí ionosférou a pronikají dokosmického prostoru. Příjem je možný jen v dosahu přímé viditelnosti, umožňují spojení sumělými družicemi Země a s objekty vypuštěnými do kosmického prostoru.