1. Praca doktorska - Instytut Metod ...

5.2.3 Dyskretyzacja słabej formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.4 Linearyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.5 Zapis macierzowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Stabilizacja dla kontinuum rzędu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3.1 Macierz stabilizująca dla elementu Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.2 Weryfikacja numeryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Stabilizacja dla kontinuum rzędu II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4.1 Macierz stabilizująca dla elementu Q18G16L4 . . . . . . . . . . . . . . . 485.4.2 Weryfikacja numeryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5 Modelowanie inkluzji i otworów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.1 Metoda zbiorów poziomujących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.2 Wzbogacanie aproksymacji elementu skończonego . . . . . . . . . . . . . 545.5.3 Równania i funkcje wzbogacające dla otworów . . . . . . . . . . . . . . . 565.5.4 Równania i funkcje wzbogacające dla inkluzji . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5.5 Weryfikacja numeryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 Warunki brzegowe dla modelu numerycznego reprezentatywnego elementu objętościowego626.1 Wymuszanie warunków brzegowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.1 Sekwencyjne zadawanie warunków brzegowych . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Odebranie możliwości wystąpienia ruchu sztywnego . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Przemieszczeniowe warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Naprężeniowe warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4.1 Kontinuum rzędu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4.2 Kontinuum rzędu II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Periodyczne warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5.1 Kontinuum rzędu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5.2 Kontinuum rzędu II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.6 Obliczanie makroskopowych wektorów naprężeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.7 Obliczanie makroskopowych stycznych macierzy sztywności . . . . . . . . . . . . 696.8 Analiza szczególnego przypadku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 Przykłady numeryczne 787.1 Test zginania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Test ścinania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3 Test indentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 Sieci neuronowe w numerycznej homogenizacji 948.1 Analiza składników głównych dla testu indentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.2 Bayesowskie sieci neuronowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.3 Identyfikacja charakterystycznego wymiaru RVE na przykładzie testu indentacji . . 968.3.1 Komputerowa symulacja testu indentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.3.2 PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.3.3 Regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.3.4 BSSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 Uwagi końcowe i wnioski 1014

A Implementacja metody numerycznej homogenizacji 106A.1 Wdrożone biblioteki i programy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Podziękowania 108Bibliografia 1105

WstępW wielu nowych konstrukcjach, zaczynając od promów kosmicznych, przez nowoczesne budowle,na przedmiotach codziennego użytku kończąc, stosowane są materiały o złożonej budowie wewnętrznej.Przykłady materiałów niejednorodnych mikroskopowo to: stopy metali, materiały porowate,materiały polikrystaliczne czy kompozyty. Składniki obecne w takim materiale posiadajązróżnicowane właściwości, które konstytuują materiałową mikrostrukturę. Rozmiar składnikówmikrostruktury, ich kształt, fizyczne właściwości i rozkład przestrzenny, mocno wpływają na wypadkowemakroskopowe zachowanie się materiału.Rozwój inżynierii materiałowej, która jest nauką o wytwarzaniu i właściwościach materiałów,spowodował istotny postęp w metodach poszukiwania nowych materiałów o złożonej strukturze.Kluczową rolę w tej dziedzinie współcześnie odgrywają metody numeryczne stosowane w teoriihomogenizacji. Określenie efektywnych właściwości mechanicznych, w ramach metod homogenizacyjnych,wspomaga proces projektowania materiału oraz umożliwia określenie zakresu bezpieczeństwai trwałości wytworzonej konstrukcji przy użyciu materiału o złożonej mikrostrukturze.Gdyby ktoś postawił sobie za cel wykonanie bezpośrednich numerycznych obliczeń konstrukcji(bez uciekania się do metod homogenizacyjnych), która zawiera wielką liczbę niejednorodności,musiałby zastosować bardzo gęstą siatkę elementów skończonych. Układ równań algebraicznychposiadałby wtedy miliardy stopni swobody. Takie zadania są poza możliwościami mocy obliczeniowejwspółczesnych komputerów i prognozowanej mocy komputerów najbliższej przyszłości.Nawet gdyby rozwiązać układ równań o miliardach stopni swobody, liczba informacji, którą należyprzetworzyć byłaby tak duża, że utrudnione byłoby uzyskanie jakiejkolwiek istotnej informacji.Nawet rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego dla fizycznie i geometrycznie liniowegoproblemu mechaniki jest trudne, gdy mamy wielką liczbę niejednorodności. Współczynnikirównania różniczkowego są wtedy silnie nielinowe. Z tej przyczyny poszukuje się zastępczego jednorodnegoośrodka ciągłego. Takie postępowanie nie jest niczym niezwykłym we wszystkich naukachtechnicznych i matematyczno-przyrodniczych. Zazwyczaj oblicza się związki konstytutywnepomiędzy mikroskopowymi wielkości średnimi. Związki te następnie są używane do konstrukcjirównań fizycznych zastępczego materiału jednorodnego makroskopowo. W rezultacie współczynnikirównania różniczkowego, które obowiązuje w skali makro, są gładkimi funkcjami zmiennychprzestrzennych. Zadanie w makroskali możemy wtedy rozwiązać, posługując się znanymi metodamidla ośrodków jednorodnych.Praca ta jest poświęcona analizie numerycznej ciał niejednorodnych, za pomocą metody numerycznejhomogenizacji, która jest szczególnie atrakcyjna ponieważ nie wymaga żadnych założeńco do postaci zastępczych równań konstytutywnych. Starano się podążać za nowymi trendami wewspółczesnych metodach obliczeniowych materiałów niejednorodnych, o charakterystycznym wymiarzewewnętrznym. Dużą uwagę poświęcono problemom statystycznej homogenizacji dla kontinuumklasycznego i kontinuum gradientowego. Wyprowadzono wzory uśredniające i uogólnionewarunki ograniczające, zgodne z twierdzeniem Hilla-Mandela.Szczególna uwaga została poświęcona problemom o naturze obliczeniowej, związanym z metodąelementów skończonych. Zaproponowano oryginalną metodę formułowania warunków brze-6

gowych dla reprezentatywnego elementu, posługując się macierzami rzutującymi. Dodatkowo zaprezentowanometodę stabilizacji elementów dla ośrodka klasycznego i gradientowego przy zredukowanymcałkowaniu, znacząco obniżając czas obliczeń. Ponadto, zastosowano metodę zbiorówpoziomujących przy wzbogacaniu aproksymacji elementu skończonego, do modelowania inkluzji iotworów.Metoda numerycznej homogenizacji, ze względu na dużą złożoność obliczeniową, wymusiłapotrzebę obliczeń równoległych, a przez to doboru odpowiednich standardów i technologii informatycznych.Dodatkowo, ponieważ nie istnieją komercyjne ani publicznie dostępne systemy wykorzystującemetodę numerycznej homogenizacji, realizacja pracy wymagała rozwiązania wielu niełatwychproblemów informatycznych, takich jak wybór języków programowania, metod wizualizacji,sposobów przechowywania danych. Ich rozwiązanie umożliwiło autorowi realizację tej pracy.7

Oznaczenia wielkości fizycznychStosowano zapisy tensorowe i macierzowe, podane oznaczenia obowiązują dla zapisu tensorowegolub macierzowego, zależnie od kontekstu. Niżej zestawiono obliczenia dla ośrodków płaskich(dwuwymiarowych).x={x 1 ,x 2 }wektor wodzący w układzie kartezjańskimε={ε 11 ,ε 22 ,2ε 12 }tensor/wektor odkształceniaη={η 111 ,η 222 ,η 221 ,η 112 ,2η 121 ,2η 122 } tensor/wektor wyższego odkształceniaσ={σ 11 ,σ 22 ,σ 12 }tensor/wektor naprężeniaτ={τ 111 ,τ 222 ,τ 221 ,τ 112 ,τ 121 ,τ 122 } tensor/wektor wyższego naprężenia(·),i= ∂(·)∂x ipochodna cząstkowa w kierunkux iN umacierz funkcji kształtu dla przemieszczeńN Hmacierz funkcji kształtu dla gradientów przemieszczeńN ρmacierz funkcji kształtu dla mnożników Lagrange’aB u dyskretny operator klasycznych zw. kinemtycznych (ε=B u u e )B H dyskretny operator zw. kinematycznych drugiego rzędu (η=B H H e )L uoperator typu grad[a],ajest wektoremL Hoperator typu grad[A],Ajest tensorem drugiego rzędu(·) wielkość makroskopowatczas(·) n wielkość w chwilit nTensory i wektoryTensory są określone w kartezjańskim układzie odniesienia, z baząe: −→ e i ,i=1,2. Konwencjasumacyjna Einsteina jest zastosowana dla powtarzających się indeksów.Wielkości i działania na nichaa=a−→ ieiA=A−→ ijei −→ ejA=A−→ijkei −→ ej−→ ekc=a·bc=A:Bc=A.BA=a⊗bOperatoryskalarwektortensor rzędu IItensor rzędu IIIiloczyn skalarny:c=a i b ipodwójny iloczyn skalarny:c=A ij B ijpotrójny iloczyn skalarny:c=A ijk B ijkiloczyn zewnętrzny:A=a i b−→ jei −→ ejsym[a]=2 1(a −→ ije −→ iej +a−→ jiej −→ ei ) operator symetrii, gdzieajest tensoremdiv[a]=a i,ioperator dywergencji, gdzieajest wektoremgrad[a]=a−→ i,jei −→ ejoperator gradientów, gdzieajest tensorem II rzędudiv[a]=a−→ijk,iej −→ ekoperator dywergencji, gdzieajest tensorem III rzędu8

Macierze i wektoryWielkościaaAOperatoryAa=A ij a jAB=A ij B jiA T =A jiskalarwektormacierzmnożenie macierzy przez wektormnożenie macierzy przez macierztranspozycja macierzy9

Rozdział 1Wprowadzenie1.1 Motywacja i cel pracyInżynierii materiałowej zawdzięczamy postęp praktycznie we wszystkich dziedzinach techniki.Można przypuszczać, że jej rozwój w najbliższym czasie będzie przyspieszony. Aby skonsumowaćosiągnięcia inżynierii materiałowej, musimy umiejętnie korzystać z nowych materiałów. Wiemy, żewiększość aktualnych modeli fenomenologicznych nie nadaje się do analizy materiałów niejednorodnych.Z tej przyczyny istnieje popyt po stronie przemysłu na takie modele.Projektowanie i użytkowanie nowych materiałów, o złożonej wewnętrznie budowie wymuszabadania nad metodami, które sprostają wymaganiom badaczy zajmujących się inżynierią materiałową.Możliwość symulacji eksperymentu, zarówno na poziomie mikroskali jak i makroskali, wydajesię być bardzo atrakcyjna gdyż pozwala przewidywać zachowanie się nowego materiału, a przez toumożliwia optymalny dobór składników materiału wielofazowego, ich kształtu czy odpowiedniegostosunku ilości składników; umożliwia planowanie eksperymentu.Tym lepiej, bezpieczniej i taniej, wykorzystamy nowy materiał, im lepiej potrafimy przewidziećjego zachowanie. By symulować zachowanie się konstrukcji, musimy zbudować związki konstytutywne,które możliwie dokładnie odtworzą istotne efekty obserwowane na poziomie konstrukcji.Ich weryfikacja wymaga przeprowadzenia doświadczeń, które mogą być czasochłonne. Konstruowaniezwiązków fizycznych, a następnie oszacowanie ich parametrów, można uzyskać poprzezzastosowanie dokładniejszych, ale kosztownych obliczeniowo metod.Metodą o ogromnym potencjale, pozwalającym na analizę zachowania szerokiej klasy niejednorodnychmateriałów, jest metoda numerycznej homogenizacji (ang. Computational homogenization).Niewiele polskich prac odnosi się do tej metody. Niniejsza praca stanowi próbę wypełnieniatej luki. Celem pracy jest zatem przedstawienie metody CH i związanych z nią zagadnień naturyteoretycznej i obliczeniowej.Głównym celem pracy jest zrozumienie i pogłębienie teorii związanej z metodami homogenizacjistatystycznej oraz rozwiązanie problemów związanych z rozważaną metodą o naturze obliczenioweji informatycznej. Szczegółowymi celami pracy są:• zbudowanie ogólnych warunków brzegowych dla reprezentatywnego elementu objętościowego(ang. representative volume element RVE), w szczególności dla przypadku homogenizacjistatystycznej II rzędu• budowa oryginalnego algorytmu wymuszania warunków brzegowych dla reprezentatywnegoelementu objętościowego za pomocą macierzy rzutujących• przyspieszenie obliczeń poprzez zastosowanie zredukowanego całkowania, w szczególności10

zastosowanie zredukowanego całkowania i stabilizacji elementu mieszanego dla ośrodka gradientowego• rozważenie przydatności (wraz z analizą przykładów numerycznych) metody zbiorów poziomującychw rozszerzonej metodzie elementów skończonych (ang. extended finite elementmethod XFEM) do opisu geometrii mikrostruktury i jej ewolucji• zastosowanie metod miękkich do oszacowania wymiaru charakterystycznego mikrostrukturyza pomocą sztucznych sieci neuronowych (SSN)1.2 Zakres i układ pracyW pracy ograniczono się do statycznych, dwuwymiarowych problemów geometrycznie liniowych.Wszelkie nieliniowości, występujące w pracy, wynikają z nieliniowych związków fizycznych. Ponieważanaliza rzeczywistego materiału niejednorodnego jest, sama w sobie, złożonym problemem,analizę zawężono do problemów obrazujących potencjał, ograniczenia i wady metody numerycznejhomogenizacji.W rozdziale 2 przedstawiono zasadę prac wirtualnych i równania równowagi wynikające z tejzasady dla kontinuum klasycznego i gradientowego. Przedstawiono tam również założenia upraszczającedla ośrodka rzędu II, które prowadzą do klasycznych równań lub do równań ośrodka mikropolarnego.W rozdziale 3 przedstawiono metody uśredniające rzędu I i II, w szczególności podanoogólną postać warunków brzegowych dla RVE. Idee i algorytm metody numerycznej homogenizacjiprzedstawiono w rozdziale 4. W rozdziale 5 przedstawiono sformułowanie, stabilizację i weryfikacjęnumeryczną elementów skończonych dla ośrodków rzędu I i II. Dodatkowo, w rozdziale tymomówiono idee zbiorów poziomujących i sposób jej zastosowania w rozszerzonej metodzie elementówskończonych. W rozdziale 6 przedstawiono metodę wymuszania warunków brzegowychdla skończenie elementowego modelu reprezentatywnego elementu objętościowego. W rozdziale 7przedstawiono przykłady numeryczne. Zastosowanie sieci neuronowych w numerycznej homogenizacjiopisano w rozdziale 8. Na koniec, w rozdziale 9 przedstawiono wnioski. Dodatek A dotyczyzagadnień związanych z implementacją metody numerycznej homogenizacji.1.3 Metody modelowania materiałów niejednorodnychPoniżej pobieżnie przedstawiony jest stan wiedzy z zakresu modelowania materiałów niejednorodnych.Głębszą interpretację wymienionych tutaj metod można zaleźć w pracach [12, 17, 53, 67, 76,79]. Niektóre znane i uznane n/w prace są cytowane, podając jedynie nazwisko i rok wydania, apomijając je w spisie literatury.Najłatwiej określić wypadkowe właściwości materiałów, posługując się zasadą mieszania. Zasadamieszania uwzględnia jedynie jedną charakterystykę, tzn. stosunek objętości matrycy do inkluzji.Następnym stosunkowo prostym podejściem jest estymacja wypadkowych właściwości mechanicznychdla kompozytu np. wypadkowego operatora sztywności i wypadkowego operatora podatności,wymuszając jednorodny stan odkształcenia lub naprężenia, odpowiednio dla założeń Voigta(1889) i Reussa (1929). Znacznie później zostało wykazane przez Hilla [29] i Paula (1960), żezałożenia Voigta i Reussa stanowią zgrubne oszacowanie, odpowiednio od dołu i góry, makronaprężeńwyrażonych przez zmienne makroskopowe.Zaawansowanym podejściem jest efektywna aproksymacja niejednorodnego ciała, zaproponowanaprzez Eshelby’ego [19], a później rozwijana przez wielu innych autorów. Wypadkowe właściwościmateriału otrzymywane są na podstawie, analitycznego lub półanalitycznego, rozwiąza-11

nia brzegowego problemu mechaniki. Zamiast zmagać się z niejednorodnym materiałem, wygodniejjest rozważać jednorodny materiał o związkach fizycznych matrycy w każdym punkcie. Abyuwzględnić niejednorodności, odpowiednie odkształcenieε ∗ lub naprężenieσ ∗ jest wprowadzonew miejscu inkluzji. Równoważny, jednorodny ośrodek ma wtedy taki sam stan odkształcenia inaprężenia, jak oryginalny niejednorodny ośrodek. Stan odkształceniaε ∗ lub naprężeniaσ ∗ , niezbędnydo homogenizacji, nazywany jest odpowiednio odkształceniem własnym i naprężeniem własnym.Oryginalnie, analityczne rozwiązanie otrzymano dla nieskończonej matrycy, w której umieszczonoelipsoidalną inkluzje.Następnie wprowadzona została koncepcja reprezentatywnego elementu objętościowego Hilla(1963), Hashina (1964) i innych. Reprezentatywny element objętościowy (RVE) dla punktu materialnegojest statystyczną reprezentacją jego bliskiego otoczenia. Wykorzystując koncepcje RVE,zaproponowano wiele metod homogenizacyjnych.Popularna jest aproksymacja materiału niejednorodnego przy założeniu braku interakcji pomiędzyinkluzjami, innymi słowy zakładamy rzadki rozkład inkluzji. Wyniki otrzymane przy takimzałożeniu są słuszne, gdy objętość inkluzji jest bardzo mała w stosunku do objętości matrycy. Obliczony,przy takim założeniu, iloczyn makroskopowego tensora sztywności i makroskopowego tensorapodatności, odpowiednio dla zadanych makroodkształceń i makronaprężeń, nie jest tensoremjednostkowym [53].Lepsze wyniki daje metoda wewnętrznie spójnej (ang. self-consitent) estymacji wypadkowychwłasności RVE; por. Kröner (1958), Budiansky (1965), Hill [30], Hashin (1968), Tanaka i Mori(1972). W tej metodzie inkluzja jest umieszczona w efektywnej matrycy. W wyniku iteracyjnegopodejścia, obliczone zostają związki fizyczne zastępczej matrycy, a w granicy uzyskany zostajeunikalny operator sztywności/podatności. Wewnętrznie spójne podejście uwzględnia w ograniczonysposób interakcje pomiędzy inkluzjami, ale nadal przydatne jest jedynie do przypadków, gdyobjętość inkluzji w stosunku do objętości matrycy jest mała. Metoda samospójna została równieżzaproponowana w wersji przyrostowej, pozwalając na analizę szerszej klasy kompozytów, którychskładniki opisane są nielinowymi związkami konstytutywnymi.Aby uogólnić rozwiązanie do niejednorodnych materiałów, dla których interakcje pomiędzy inkluzjamisą znaczące, zaproponowano metodę różniczkową: Roscoe (1952,1973), Boucher (1974),McLaughlin (1977), Cleart et al. (1980), Norris (1985), Hashin (1988), Nemat-Naser i Hori (1990).Metoda ta zaczyna analizę od matrycy, zawierającej nieskończenie małe inkluzje. Rozwiązanieotrzymywane jest wtedy tak, jak dla rzadkiego rozkładu inkluzji. Objętość inkluzji wzrasta o nieskończeniemałą wartość. Następnie obliczane są nowe wypadkowe operatory sztywności i podatności.Proces ten jest powtarzany, dopóki nie zostanie osiągnięty pożądany stosunek objętości inkluzjido matrycy. Matematyczne sformułowanie tego postępowania prowadzi do zwykłego równania różniczkowegodla funkcji tensorowej zmiennej, będącej stosunkiem objętości inkluzji do matrycy,której wartością jest operator sztywności/podatności. Metody samospójna i różniczkowa zawodzą,gdy nie jest możliwe rozróżnienie matrycy i inkluzji, np. dla polikryształów.Inna ważna grupa metod oparta jest na zasadzie prac wirtualnych Hashina-Shtrikmana [27];Hill (1963). Energia sprężysta i komplementarna energia sprężysta wyrażone są przez funkcjonałodkształceń własnyche ∗ lub naprężeń własnychs ∗ . Punkt stacjonarny takiego funkcjonału jest równyścisłej wartości odpowiednio odkształceń własnychε ∗ lub naprężeń własnychσ ∗ . W ogólnościbardzo trudno jest uzyskać naprężenia lub odkształcenia własne, ale posługując się zasadą prac wirtualnychmożna obliczyć ich przybliżone wartości oraz oszacować dokładność przybliżenia. Willis(1977) zastosował zasadę prac wirtualnych Hashina-Shtrikmana do oszacowania odkształceńwłasnych, korzystając z funkcji Greena. Znaczące prace dotyczące tej grupy metod były prowadzoneprzez Nemata-Nasera i Horiego (1995), a także przez Hashina (1965), Walope’a (1966, 1969,1981) i innych.12

Istnieje również szereg metod stosowanych, gdy mikrostruktura ma budowę periodyczną. Wprowadzonazostała koncepcja jednostki elementarnej (ang. unit cell), która zawiera powtarzalną geometrięi właściwości materiałowe. Dla zadanych makroskopowych odkształceń lub makroskopowychnaprężeń zakłada się, że rozwiązanie zawiera periodyczne rozkłady mikroskopowych wielkości.Jedna z metod rozwiązania problemów z periodyczną mikrostrukturą opiera się na aproksymacjinieznanych mikroskopowych pól za pomocą szeregu Fouriera. Następnie, na podstawietakiej aproksymacji, obliczane zostają rozkłady pól odkształceń lub naprężeń własnych; por. Fotiu iNemat-Nasser (1995). Inne, nie opisane tutaj półanalityczne metody, są oparte na pomyśle jednostkielementarnej, np. wykorzystuje się funkcje Greena; por. Walkera (1990, 1991).Inna, odrębna metoda, opiera się na teorii matematycznej homogenizacji. Teoria matematycznejhomogenizacji wprowadza definicje ciała homogenizowanego tj. ciała, dla którego rozwiązanie niejednorodnegozadania asymptotycznie można wyrazić przez rozwiązanie zastępczego jednorodnegozadania, gdy rozmiar charakterystycznej mikrostruktury zmierza do zera. Metoda asymptotycznejhomogenizacji (por. Bensoussan [9]; Sanchez-Palencia (1980)) wykorzystuje koncepcję jednostkielementarnej, która wypełnia obszar rozważanego ciała. Jednym z podstawowych założeń teoriihomogenizacji jest założenie, że zaburzenia poszukiwanych funkcji są małe. Pozwala to na przedstawienietych funkcji w postaci rozwinięcia asymptotycznego względem małego parametru, któryodpowiada charakterystycznemu wymiarowi mikrostruktury. Dalej zakłada się periodyczność poszukiwanychfunkcji, jak i wszystkich składników rozwinięcia asymptotycznego. Wykorzystującpowyższe założenia, po wstawieniu rozwinięć asymptotycznych niewiadomych funkcji do równańrównowagi i po nadaniu małemu parametrowi znaczenia zmiennej niezależnej, otrzymuje się nieskończonyukład równań różniczkowych. Biorąc pod uwagę równania odpowiadające kilku pierwszympotęgom małego parametru, poszukuje się rozwiązań tych równań. W wyniku znamy pierwszeskładniki rozwiązania asymptotycznego. Metoda asymptotycznej homogenizacji pozwala uwzględniaćefekty wyższych rzędów. Ta metoda została zastosowana również do analizy materiałów fizycznienieliniowych por. np. Ghosh (1996), Lefik i Schlefler (1994), Fish (2001).Większość metod homogenizacyjnych nie nadaje się do analizy problemów geometrycznie nieliniowych.Istnieją też istotne trudności przy próbie opisu geometrycznych i fizycznych zmianmikrostruktury. W ostatnich latach, wraz ze wzrostem mocy obliczeniowej komputerów, zostałarozwinięta metoda numerycznej homogenizacji (ang. computational homogenization). Metoda taszacuje związek między odkształceniem i naprężeniem w punkcie makroskali, na podstawie odrębnychobliczeń RVE, przyporządkowanych temu punktowi. Analiza w punkcie przeprowadzanajest za pomocą metody elementów skończonych lub metody elementów brzegowych Suquet [65],Gudes i Kikuchi (1995), Terada i Kikuchi (2001), Smit et al. (1998), Miehe et al. (1999), Féyel iChaboche (2000), metody komórek Voronoï; Ghosh [25]; Wriggers et al. (2003) lub szybkiej transformacjiFouriera; Moulinec i Suquet (1998) . Modelowanie tego typu nie wymaga żadnych założeń,co do postaci makroskopowych równań konstytutywnych. Dodatkowo, w ramach tej metody, możebyć opisana ewolucja mikrostruktury. Metoda numerycznej homogenizacji została zastosowanadla kontinuum gradientowego; Kouznetsova i Geers [39], Ghosh (2001), Ostoja-Starzewski (2000).Poprzez uwzględnienie wyższych gradientów przemieszczeń w skali makro, może być wzięty poduwagę absolutny rozmiar mikrostruktury (efekt skali) i inne efekty wyższego rzędu.Są też i inne przydatne podejścia, które dają oszacowanie właściwości zastępczego materiałumakroskopowego. Jedną z takich metod jest metoda stochastyczna; Beran (1968,1961), Kröner(1971) i McCoy (1981). Metody stochastyczne są stosowane, gdy nie znamy dokładnie morfologiii rozkładu składników mikrostruktury.13

Rozdział 2Podstawowe równania i założeniaDalsze rozważania ograniczone do problemów geometrycznie liniowych. Nie będziemy zatem rozróżniaćkonfiguracji podstawowej i aktualnej.Klasyczne modele kontinuum materialnego pozwalają na matematyczny opis, za pomocą któregouzyskujemy wyniki zgodne z doświadczeniami. Materiał rzeczywisty modelowany jest wtedyprzez związek konstytutywny dla materiału prostego (materiał klasy pierwszej), dla którego naprężenierzeczywistêσ w punkciexjest funkcją gradientu przemieszczeń i jego historii:gdzie:̂σ=ψ(x,ε(x,τ)),0τt, (2.1)ε=sym[grad[u]], (2.2)atjest aktualną chwilą czasu.Rozwój nieklasycznych modeli kontinuum materialnego wynika, nie z autonomicznych prawidłowościrozwoju nauki, ale w głównej mierze podyktowany jest potrzebami praktycznymi [60].Właściwości nowych materiałów zależą od budowy mikrostruktury, której wypadkowe właściwościwpływają na zachowanie się ciała w makroskali. Do opisu mechanicznego takich materiałów częstonie wystarcza już klasyczna koncepcja deformowalnego kontinuum.Dla wielu materiałów z mikrostrukturą postulat lokalności jest zbyt restrykcyjny [17, 51]. Bogatszyopis uzyskamy przez przyjęcie modelu materiału klasy drugiej, dla którego uogólnione naprężeniew punkciexjest funkcją gradientu, drugiego gradientu przemieszczeń i ich historii:gdzie:̂σ=ψ(x,ε(x,τ),η(x,τ)), (2.3)η= grad[grad[u]]. (2.4)W pracy uwaga skupiona jest na relacji naprężenia i odkształcenia, pomijana jest temperaturai efekty z nią związane. Dalej nasze rozważania ograniczymy do klasy materiałów, dla którychwariację gęstości energii wewnętrznej da się wyrazić w postacilub dla ośrodka rzędu IIδW=σ:δε (2.5)δW=σ:δε+τ.δη, (2.6)gdzie klasyczne naprężenieσ i naprężenie wyższego rzęduτ są sprzężone poprzez pracę sił wewnętrznychodpowiednio zδε iδη.14

Uogólnione naprężenie ̂σ będzie tożsame z naprężeniem Cauchy’egoσ, lub będzie funkcjąnaprężeńσiτ , odpowiednio dla (2.1) i (2.3). Dla drugiego przypadku związek pomiędzŷσ, nazywanymnaprężeniem rzeczywistym (ang. real stress) [2], a naprężeniem rzędu I i II zostanie podanypóźniej, gdy omawiany będzie ośrodek rzędu II.Istnieją uznane podręczniki z mechaniki klasycznych ośrodków ciągłych [18,54,64], w którychczytelnik może odnaleźć głębszą interpretację problemów analizowanych pobieżnie w tym rozdziale.Znaleźć tam można również opis ośrodków mikropolarnych i ośrodków Cosseratów. Przeglądmodeli ośrodków gradientowych i mikropolarnych można znaleźć w pracach [17, 51, 56]. Szczegółoweprzedstawienie wybranych metod modelowania ośrodków gradientowych można zaleźć wpracach [2, 23, 24, 31, 47–49, 70]. Termodynamiczne podstawy, które służą budowie związków fizycznychdla kontinuów nielokalnych i gradientowych, znajdują się m. in. w artykule [57].W tej pracy posłużono się sformułowaniem zaproponowanym w artykule [48]. Mimo, że sformułowanieto opiera się również na drugich gradientach pól odkształceń, uwaga będzie skupiona nasformułowaniu opartym jedynie na pierwszych i drugich gradientach pól przemieszczeń.2.1 Ośrodek ciagły ˛ rzędu IZ uwagi na kompletność pracy, w tym podrozdziale przedstawione zostały równania dla klasycznegoośrodka ciągłego. Ten problem mógłby być pominięty, ale zamieszczono go z uwagi na to,że równania dla ośrodka rzędu II będą konstruowane w analogiczny sposób. Ułatwi to śledzenierozważań w następnym podpunkcie.Wirtualna energia wewnętrzna dla ciała zajmującego obszarV z brzegiemΓinormalnąnwynosi∫δW int =∫V δW dV= σ:δεdV. (2.7)Stosując następującą równośćVσ:δε=σ: grad[δu]=div[σ·δu]−div[σ]·δu (2.8)i używając twierdzenia o dywergencji otrzymujemy:∫δW int =−∫V div[σ]·δudV+Γn·σ·δudΓ. (2.9)Zgodnie z zasadą prac wirtualnych, praca wykonana przez siły wewnętrzne na wirtualnych przemieszczeniach,równa się pracy wykonanej przez siły zewnętrzne na przemieszczeniach wirtualnych.Praca wirtualna sił zewnętrznych jest określona wzorem∫δW ext =∫V f·δudV+ t·δudΓ, (2.10)gdzief jest siłą masową itsiłą brzegową.Przyrównując do siebie (2.9) i (2.10) otrzymamy równanie, którego spełnienie dla każdej wariacjiδuprowadzi do równań równowagi:i statycznych warunków brzegowych:Γdiv[σ]+f=0 wV (2.11)n·σ−t=0 naΓ t , (2.12)gdzieΓ t jest częścią brzegu, na której wariacja przemieszczeń jest różna od zera. Na pozostałejczęści brzeguΓ u zadane są kinematyczne warunki brzegowe. Dopuszczalne są również mieszanewarunki brzegowe.15

2.2 Ośrodek ciagły ˛ rzędu IIWirtualna energia wewnętrzna dla ciała zajmującego obszarV z brzegiemΓinormalnąnwynosi∫δW int =∫V δW dV= σ:δε+τ.δη dV. (2.13)Następnie stosując (2.8) i tożsamość:τ .δη=τ .grad[grad[δu]]=div[τ: grad[δu]]−div[τ]:grad[δu]]=Vdiv[τ: grad[δu]]−div[div[τ]·δu]+div[div[τ]]·δu,(2.14)oraz twierdzenie o dywergencji, otrzymamy:∫δW int =− div[σ− div[τ]]·δudVV(2.15)+∫Γ∫Γ n·(σ− div[τ])·δudΓ+ n·τ: grad[δu]dΓ.Można zauważyć, że gradientu grad[δu] nie można wyznaczyć jedynie na podstawie znajomościδu na powierzchniΓ. Jeśli znamyδu możemy obliczyć składową styczną grad[δu], ale nie składowąnormalną tego gradientu. Aby skonstruować równanie równowagi i statyczne warunki brzegowerozdzielimy grad[δu] na część stycznąG s [δu] i normalnąn⊗D[δu]:grad[δu]=G s [δu]+n⊗D[δu], (2.16)gdzie operatory gradientu stycznego i dywergencji stycznej są definiowane jako:G s [...]=(I−n⊗n)·grad[...];D s [...]=(I−n⊗n):grad[...] (2.17)i operator dywergencji normalnej jest definiowany jako:Analogicznie do (2.8) mamy:D[...]=n·grad[...]. (2.18)n·τ: grad[δu]=D s [n·τ·δu]−D s [n·τ]·δu+n·τ:n⊗D[δu] (2.19)i twierdzenie o dywergencji otrzymujemy w postaci:∫ ∫Γ Ds [n·τ·δu]dΓ=Γ Ds [n]⊗n·(n·τ·δu)dΓ+ ∑ i∫∂Γ im·(n·τ)·δud∂Γ, (2.20)gdzie indeksyiodpowiadają krzywym∂Γ i leżącym na załamaniach powierzchniΓ. Niech wektort jest styczny do krzywej∂Γ i . Wektoryn + in − będą normalnymi do powierzchniΓpo prawej ilewej stronie krzywej∂Γ i . Wektoryn + in − nie są równe sobie, gdy powierzchnia jest załamanawzdłuż krzywej∂Γ i . Zatem, gdym + =t×n + ,m − =t×n − to otrzymujemy:m·(n·τ)=m +·(n·τ)−m −·(n·τ). (2.21)W rezultacie ostatnia całka po prawej stronie w (2.15) (podobnie jak w teorii płyt i powłok [11],gdy wyznaczana jest wartość siły narożnej) będzie miała postać∫n·τ: grad[δu]dΓ=∫ ∫ ΓΓ Ds [n]⊗n·n·τ·δudΓ−Γ Ds [n·τ]·δudΓ+ ∑ ∫m·(n·τ)δud∂Γ (2.22)i∂Γ i∫+ n·τ:n⊗D[δu]dΓ. Γ16

Ostatecznie wirtualna praca sił wewnętrznych może być ujęta wzorem∫+∫δW int =− div[σ− div[τ]]·δudVV{n·(σ−Γ div[τ])+Ds [n]⊗n·n·τ−D s [n·τ]}·δudΓ∫+ n·τ:n⊗D[δu]dΓ∫Γm·(n·τ)δud∂Γ.∂Γ i+ ∑ i(2.23)Zgodnie z zasadą prac wirtualnych, praca wykonana przez siły wewnętrzne na wirtualnych przemieszczeniachi składowych normalnych gradientów wirtualnych przemieszczeń, równa się pracywykonanej przez siły zewnętrzne na tych samych zmiennych wirtualnych. Praca sił zewnętrznych,na niezależnych zmiennych wirtualnych, przyjmuje postać wzoru∫δW ext =∫V∫Γ f·δudV+ t·δudΓ+ r·D[δu]dΓ+∑ Γi∫∂Γ ip·δud∂Γ, (2.24)gdzief jest siłą masową,tsiłą brzegową,rparą sił brzegowych, apsiłą narożną.Przyrównując do siebie (2.23) i (2.24) otrzymamy równanie, którego spełnienie dla każdej wariacjiδui D[δu], prowadzi do równań równowagi:i warunków brzegowych na części brzeguΓ t :div[σ− div[τ]]+f=0wV, (2.25)n·(σ− div[τ])+D s [n]⊗n·n·τ−D s [n·τ]−t=0naΓ t , (2.26)gdzie wirtualne przemieszczenia mają wartość różną od zera oraz warunków brzegowych na częścibrzeguΓ r :n·n·τ−r=0naΓ r , (2.27)gdzie wirtualne normalne gradienty przemieszczeń mają wartość różną od zera. Na części krzywych∂Γ i otrzymamy warunek statyczny:m·(n·τ)−p=0 na∂Γ i , (2.28)gdzie wariacje przemieszczeń są różne od zera. Na pozostałej części brzeguΓ u zadane są kinematycznewarunki brzegowe tak, jak w przypadku klasycznego kontinuum, dopuszczalne są równieżmieszane warunki brzegowe. Podsumowując, pole przemieszczeńumusi spełniać trzy równaniarównowagi i sześć warunków brzegowych.2.2.1 Ośrodek rzędu II zredukowany do ośrodka klasycznegoPożytecznym będzie takie przekształcenie zasady prac wirtualnych dla ośrodka rzędu II, która popewnych założeniach doprowadzi nas do postaci używanej w kontinuum klasycznym. Pracę wirtualnychsił wewnętrznych możemy napisać w postaci∫ ∫δW int = div[̂σ]·δudV+ {n·̂σ+D s [n]⊗n·n·τ−D s [n·τ]}·δudΓV ∫ Γ ∫+ n·τ:n⊗D[δu]dΓ+∑ m·(n·τ)δud∂Γ,Γi∂Γ i17(2.29)

gdzie:̂σ=σ− div[τ]. (2.30)Porównując (2.9) i (2.23) zauważymy, że będą potrzebne dwa dodatkowe założenia, by rozważanązasadę prac wirtualnych zredukować do postaci klasycznej.Po pierwsze zakładamy, żen·n·τ=0∀x∈Γ (2.29), wtedy∫ ∫− div[̂σ]·δudV+ t·δudΓ=0, (2.31)V Γgdzie:t=n·̂σ i równanie równowagi (2.11) jest automatycznie spełnione. Założenie jest słuszne,gdy do ciała nie przyłożono obciążeń rzędu II.Po drugie zakładamy, że tensorτ jest symetryczny. W ogólności tensor o walencji 3 możnarozdzielić na część symetryczną i antysymetryczną, gdzie symetryczna część, dla kartezjańskiegoukładu odniesienia, dana jest wzoremτ s ijk =1 3 (τ ijk+τ jki +τ kij ), (2.32)a antysymetrycznaτijk a =τ ijk−τijk s . Za pracą [23] można przedstawićτ ijk a wyłącznie poprzez składowenaprężeń momentowychm ji (por. [54, 60]):τ a jqr =1 4 ǫ iqrm ji + 1 4 ǫ ijrm qi , (2.33)gdzieǫjest symbolem permutacji. Zatem, jeżeli równanie fizyczne będzie miało postać, w którejznikają naprężenia momentowe, tôσ będzie symetryczne. Doprowadzi to nas do klasycznej postacirównań równowagi i warunków brzegowych.Należy jedynie dodać, że równania równowagi i statyczne warunki brzegowe mają klasycznąpostać, metody rozwiązywania dla związku odkształcenia - naprężenia (2.3) są niestandardowe,por. [23, 24, 56].2.2.2 Ośrodek rzędu II zredukowany do ośrodka mikropolarnegoNa podstawie pracy [23], znane jest również przejście pomiędzy kontinuum gradientowym a mikropolarnym.Tensor drugich gradientów przemieszczeńη można rozłożyć na część symetryczną iantysymetryczną i dla kartezjańskiego układu odniesienia mamyη=η s +η a , (2.34)gdzie:η s ijk =1 3 (η ijk+η jki +η kij ). (2.35)Antysymetryczna część jest określona wzoremηijk a =η ijk−ηijk s =2 3 ǫ ikpχ pj + 2 3 ǫ jkpχ pi , (2.36)gdzieχjest gradientem rotacji [54, 60]. Powyższa relacja może być odwrócona, co daje:χ ij = 1 2 ǫ iqrηjqr a . (2.37)18

Istnieje równość prac wirtualnych antysymetrycznych naprężeńτ a na wirtualnych antysymetrycznychodkształceniachδη a i naprężeń momentowychmna wirtualnych mikroobrotachδχ:τ a :δη a =m·δχ. (2.38)Powyższa równość definiuje naprężenia momentowe i może posłużyć do wyprowadzenia wzoru(2.33). Zakładając, że równanie konstytutywne wyrażone jest wyłącznie poprzez klasyczne naprężeniai naprężenia momentowe, zasada prac wirtualnych (2.23) poprowadzi do równań ośrodkamikropolarnego, gdzie równanie równowagi ma postaćze statycznymi warunkami brzegowymiprzy czym dla prostoty założono, że brzeg jest gładki.σ ik,i − 1 2 ǫ jlkm ij,il +f k =0, (2.39)t k −n l (σ lk − 1 2 m ij,iǫ jkl )=0, (2.40)r k −n i m ik +n k n p n i m ip =0, (2.41)19

Rozdział 3Metody uśrednianiaMechanika ośrodków ciągłych zajmuje się wyidealizowanym materiałem, znajdującym się w punktachmaterialnych i ich otoczeniach. Zakłada się, że rozkład naprężeń i odkształceń w otoczeniupunktu materialnego jest jednorodny. Jednak w mikroskali, na odpowiednio niskim poziomie obserwacji,otoczenie to zawiera dużą liczbę składników o różnych właściwościach i kształtach. Inaczejmówiąc, punkt materialny ma przyporządkowaną sobie złożoną i w ogólności, ewoluującą mikrostrukturę.Zatem pole naprężeń i odkształceń nie jest jednorodne na mikroskopowym poziomieobserwacji.Celem metod homogenizacyjnych jest przedstawienie wielkości makroskopowych charakteryzującychstan ośrodka ciągłego (makroskopowo równoważnego), przyporządkowanych otoczeniupunktu materialnego poprzez zmienne, które opisują stan mikrostruktury oraz parametry składnikówmikrostruktury.Za [67] możemy sprecyzować, co rozumiemy pod pojęciem ośrodka makroskopowo ekwiwalentnego.Głównym celem jest uzyskanie równoważnego opisu zagadnienia mechaniki, tzn. określenierelacji pomiędzy wielkościami makroskopowymi za pomocą parametrów efektywnych (istotnych).Relacje te opowiadają prawom fizycznym.homogenizacja000 111000000000111111111 000 111000000000111111111 000 111000000000111111111 000 111000000000111111111 000 111000000000111111111 000 111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111Materiał niejednorodny00000011111100000011111100000011111100000011111100000011111100000000000000000111111111111111110000001111110000000000000000011111111111111111000000111111000000000000000001111111111111111100000011111100000000000000000111111111111111110000001111110000000000000000011111111111111111000000111111000000000000000001111111111111111100000011111100000000000000000111111111111111110000001111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111Zastępczy materiał jednorodnyRysunek 3.1: Ośrodek niejednorodny i proces homogenizacji prowadzący do ośrodka makroskopowoekwiwalentnegoKonstrukcja związków fizycznych jednorodnego materiału zastępczego nie powinna naruszaćzasad zachowania, ani zasad termodynamiki. Ponadto powinna być zgodna z ogólnymi zasadami20

konstrukcji równań konstytutywnych. Poniżej zostaną przedstawione metody uśredniania, w wynikuktórych skonstruowane równania fizyczne dla materiału makroskopowo równoważnego, spełniającenastępujące postulaty:Postulat współobecności, który głosi, że zmienne niezależne (wielkości makroskopowe, zmiennestanu), występujące w jednym z równań konstytutywnych, powinny występować w pozostałych,o ile nie narusza to zasad zachowania i zasad termodynamiki.Postulat determinizmu, który głosi, że związki fizyczne zależą jednoznacznie od historii zmiennychniezależnych.Postulat lokalności, który głosi, że wielkości konstytutywne dla cząstki zależą od zmiennych niezależnychw jej otoczeniu. Zauważymy, że postulat ten nie precyzuje, jakie jest to otoczenie,więc należy rozumieć to intuicyjnie, że jest ono dużo mniejsze od rozmiarów ciała. Ten postulatzostaje częściowo naruszony, gdy będziemy analizować przypadek ośrodka rzędu II.Nie mniej jednak, otoczenie będzie ograniczone i małe w porównaniu do rozmiarów ciała.Postulat obiektywności materialnej, który głosi, że właściwości materiału nie zależą od położeniai ruchu obserwatora. Postulat ten jest spełniony, gdy stan naprężenia w punkcie wyznaczonyzostanie wyłącznie na podstawie tensorów odkształceń i zmiennych historycznych, niezależnychod położenia i ruchu obserwatora, przyporządkowanych temu punktowi.3.1 Reprezentatywny element objętościowyReprezentatywny element objętościowy (RVE), przyporządkowany punktowi materialnemu, jestobjętością, która jest statystycznie reprezentatywna dla małego otoczenia tego materialnego punktu.Charakteryzując RVE, należy posłużyć się dwiema długościami: jedna to długość makroskopowaL,która charakteryzuje wielkość obszaru makroskopowego w odniesieniu do której podanajest objętość RVE; druga to długośćl, która charakteryzuje rozmiar najmniejszego składnika mikrostruktury,którego kształt i właściwości mają efektywny wpływ na odpowiedź ośrodka makroskopoworównoważnego.W ogólności, gdy opisujemy efekty rzędu I, charakterystyczna długość makroskopowaL, powinnabyć o rząd większa od charakterystycznej długości mikroskopowej, tzn.L/l≫1. Gdy charakterystycznywymiar mikrostrukturyl jest porównywalny zL, należy uwzględnić efekty rzędu II.Jeżeli uwzględnienie efektów rzędu II jest niewystarczające, należy uwzględniać efekty związane zwyższymi gradientami, lub modelować niejednorodną budowę makroskopowej struktury w sposóbbezpośredni.Dodatkowym problemem może być ewolucja jakiej podlega mikrostruktura, np. wywołana mikropęknięciami.Ewolucja ta może w ogólności prowadzić do zmiany charakterystycznego rozmiarumikrostrukturyl. Uwzględnienie efektów związanych z tą zmianą nie jest możliwe, gdy uwzględnionesą jedynie efekty rzędu I.Zauważymy, że absolutny wymiar mikrostruktury może być bardzo duży lub bardzo mały, zależnieod wymiaru analizowanej makrostruktury. Znaczenie ma jedynie względny wymiar mikrostruktury.Na przykład, dla proszków metali, rozmiar charakterystyczny ziarna ma wymiar submikronów.Zatem rozmiar 100 mikronów będzie wystarczającym rozmiarem RVE. Natomiast, gdy analizujemytamę, dla której charakterystyczny rozmiar kruszywa jest rzędu kilkunastu centymetrów, rozmiarRVE może być rzędu kilku lub kilkudziesięciu metrów.Innym bardzo ważnym pytaniem jest, jakie są efektywne (znaczące) właściwości składnikówmikrostruktury? Jakie parametry składników mikrostruktury mają istotny wpływ na równoważną21

odpowiedź otoczenia punktu materialnego? Odpowiedzi na te pytania mogą być udzielone przezsystematyczną analizę konkretnego problemu. Optymalnym doborem, efektywnych właściwościskładników mikrostruktury i oddziaływań między nimi będzie taki dobór, który doprowadzi nas domożliwie najprostszego modelu. Może to być zrobione przez dokładne i uporządkowane zestawieniei uporządkowanie obserwacji, eksperymentów i analiz.Na koniec tego podrozdziału należy rozważyć warunek statystycznej homogenizowalności, tzn.warunek, którego spełnienie zapewnia, że średnie z funkcji wielkości mikroskopowych są wielkościamimakroskopowymi. Dla naszego problemu będzie rozważane pewne wnętrze obszaru ciałaB, które oddalone jest o co najmniejLod brzegu∂B obszaruB. Suma wszystkich takich wnętrzoznaczona zostanie przezB ∗ , por. rys. 3.2. SymbolV 0 oznacza obszar RVE. Punkty wV 0 będąBB ∗∂BOV 0y=X+xXxVRysunek 3.2: CiałoB, jego wnętrzeB ∗ i RVE o obszarzeV otrzymane przez transformacje obszaruV 0określane przez wektoryx. Punkty, które wyznaczymy przez ruch sztywny określony przez wektorX, będą określone przez równośćy=X+x. Średnie wartości odkształceń w obszarze RVE będądane wzoramiε ave (X)= 1 ∫ε(X+x)dV, (3.1)V Vη ave (X)= 1 ∫η(X+x)dV. (3.2)V VW ogólnościε ave (X) iη ave (X) zależą od położeniaX, rozmiaru i kształtu RVE. Dla ustalonegoV 0 ,dla różnych wartościXpowyższe wzory definiują ruchome średnie odkształcenia.Teraz można pokazać warunek statystycznej homogenizowalności rzędu I, rozumiany w sensieruchomych średnich odkształceń: jeżeli istnieją warunki brzegowe, które dla odpowiednio dużegoobszaruV 0 i niezależnie od kształtu jego brzegu, prowadzą do jednorodnego pola ruchomychśrednich odkształceńε 0 ave to ciało jest statystycznie homogenizowalne. Zatem dla odpowiedniegodużego obszaruB≈B ∗ ruchome średnie odkształcenia są wielkościami makroskopowymiε(y)≈ 1 V 0∫V 0ε(x)dV=ε ave (X). (3.3)22

W analogicznym sensie, uogólniając do kontinuum gradientowego, podamy teraz warunek statystycznejhomogenizowalności rzędu II, rozumiany w sensie ruchomych średnich odkształceń. Jeżeliistnieją warunki brzegowe, które dla odpowiednio dużego obszaruV 0 i niezależnie od kształtujego brzegu, prowadzą do liniowego pola ruchomych średnich odkształceńε 1 ave i jednorodnego polaruchomych średnich odkształceńη 0 ave, to ciało jest statystycznie homogenizowalne. Zatem, dlaodpowiedniego dużego obszaruB≈B ∗ ruchome średnie odkształcenia są wielkościami makroskopowymiε(y)≈ 1 ∫ε(x)dV+ 1 ∫sym[X·η(x)]dV=ε ave (X),V 0 V 0 V 0 V 0η(y)≈ 1 (3.4)η(x)dV=ηV ave (X).0∫V 0Podsumowując, warunek statystycznej homogenizowalności rzędu I zakłada, że w małym otoczeniupunktu materialnego rozkład makroskopowych odkształceń efektywnego materiału jest jednorodny.Warunek statystycznej homogenizowalności rzędu II, zakłada że w małym otoczeniu punktumaterialnego rozkład makroskopowych odkształceń efektywnego materiału jest liniowy.W ogólności nie wymaga się globalnej statystycznej homogenizowlaności i wystarczy, że odpowiednioduże otoczenieB ∗ punktuXjest statystycznie homogenizowalne. Umożliwia to analizęszerszej klasy problemów, w którym RVE jest statycznym reprezentantem pewnego otoczenia (odpowiedniodużego) rozpatrywanego punktuX, por. rys. 3.3.000 111000 111000 111000 111000 111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000 111 000001111111111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000011111000 11100000111110000011111000 111000 111Rysunek 3.3: Po lewej ciało lokalnie statystycznie homogenizowane i po prawej ciało globalniestatystycznie homogenizowaneZakładamy, że są znane równania fizyczne składników mikrostruktury (wiedząc, że dla szerokiejklasy materiałów prostych związki fizyczne są znane). Więcej, poprzez eksperyment znaczniełatwiej można wyznaczyć parametry równań fizycznych materiałów prostych. Ze względów praktycznychw metodzie numerycznej homogenizacji, przyjmiemy że rozpatrywane RVE jest opisanerównaniami ośrodka rzędu I, zarówno dla makrokontinuum klasycznego i gradientowego. Zatem,w rozważanym RVE o objętościV z brzegiemΓ, obowiązuje następujący komplet równańdiv[σ]=0 wV, (3.5)ε=sym[grad[u]] wV, (3.6)σ α =S α {ε α (τ),τ∈[0,t]} wV α , (3.7)gdzietoznacza aktualny czas,α=1,2,...,N, aN jest liczbą składników mikrostruktury, np. matrycy,inkluzji itd. Wpływ sił masowych jest pominięty, zakładając że mikrostruktura oddziaływujez otoczeniem wyłącznie poprzez siły kontaktowe. Do kompletu równań brakuje warunków brzegowych,które zostaną podane później.W szczególności, podane zostaną warunki brzegowe, zapewniające deformacje RVE zgodną zodkształceniemη. Z [39] wiemy, że uśredniając wprost kontinuum gradientowe, na brzegu RVE23

muszą być nałożone ograniczenia na normalne gradienty przemieszczeń, co nie jest spójne z intencjąposługiwania się klasycznym opisem problemu brzegowego dla RVE. Z tej przyczyny, poniżejprzedstawiona metoda uśredniająca, która nie prowadzi do warunków brzegowych wyższego rzędu.3.2 Uśrednianie dla kontinuum rzędu IKorzystając z prac [46,53,79], gdzie jest podana definicja makrowielkości wyrażonych przez wielkościmikroskalowe, zaprezentowano również, jak skonstruować uogólnione warunki brzegowe dlaośrodka rzędu I.W szczególności, jest podane, jak dla danego makroodkształcenia są obliczane wielkości mikroskopowe,a następnie na ich podstawie makronaprężenia, zob. rys. 3.4. Makroodkształcenie wyrażonejest w unikalny sposób, gdy znane są przemieszczenia na brzegu RVE. Z kolei makronaprężeniewyznaczone jest jednoznacznie przez siły brzegowe RVE dla stanu równowagi.Makro (div[σ]+f=0, w.b)σ000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111MikroZBMε0000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Rysunek 3.4: Obliczanie makronaprężenia3.2.1 Mikro-makro kinematykaCelem sformułowania poprawnych warunków brzegowych dla RVE, przemieszczenia są rozwijanew szereg Taylora, ograniczany do członu rzędu pierwszego:u(X,x)=u 0 (X)+x·ε(X)+r(X,x), (3.8)gdzieXjest wektorem wodzącym środka geometrycznego RVE,xjest wektorem wodzącym wlokalnym układzie RVE. Kreska ponad wielkościami oznacza wielkości makroskopowe. Dodatkowyczłonrjest błędem obcięcia, który interpretuje się jako mikrofluktuacje pola przemieszczeń.Różniczkując równanie (3.8) pox, są określane relacje między mikroskopowym i makroskopowymodkształceniem:ε=ε+sym[grad[r]], (3.9)dalej relacja ta zostanie spełniona w słabym sensie. Pole mikrofluktuacji przemieszczeńrobliczonezostaje tak, by spełnione zostało równanie równowagi dla każdego punktu RVE, przy czym na topole nakładane są odpowiednie warunki ograniczające.24

3.2.2 OdkształceniaMakroodkształcenieεokreślone jako wartość średnią mikroodkształceńεodniesione do objętościRVE. Całkując równanie (3.9) i skalując przez objętość RVE otrzymujemy1V∫V εdV=ε+1 V∫Vsym[grad[r]]dV. (3.10)Równość między średnia wartością mikroodkształceń i lokalną wartością makroodkształcenia jestotrzymana z warunku:∫V grad[r]dV= ∫Γ n⊗rdΓ= ∫Γr⊗ndΓ=0, (3.11)Warunek ten zapewnia, że deformacja brzegu RVE w średnim sensie jest zgodna z zadanym lokalnymmakroodkształceniemε. Żądamy, by części symetryczna i antysymetryczna gradientu mikrofluktuacjipola przemieszczeń były równa zero. Zerowanie się antysymetrycznej części gradientuprzemieszczeń wynika z założenia małych rotacji. Równanie (3.11) jest dalej nazywane kinematycznymwarunkiem brzegowym nałożonym na pole mikrofluktuacji przemieszczeń. Przepisującrównanie (3.11) wyrażone w przemieszczeniach określone jest wzoremε= 1 V∫Γn⊗udΓ. (3.12)Tak więc tensor makroskopowego odkształcenia wyrażony zostaje za pomocą przemieszczeń nabrzegu RVE.3.2.3 NaprężeniaAnalogicznie, jak dla odkształceń, makroskopowe naprężeniaσ są wyrażane przez wartość średniąmikronaprężenia:σ≡ 1 ∫σ dV (3.13)V VW następnym podpunkcie zostanie pokazane, że definicja (3.16) jest spójna z zasadą prac wirtualnych.Powyższą relację można wyprowadzić na podstawie twierdzenie Hilla-Mandela, tzn., żeśrednia wartość pracy mikronaprężeń jest równa pracy makroskopowych naprężeń.Celem pokazania równości między całką po objętości i całką po brzegu RVE w równaniu (3.16),są wykorzystywane równania równowagi div[σ]=0 we wzorze na pochodną iloczynu funkcji:x⊗div[σ]+(grad[x])·σ= div[x⊗σ]=σ. (3.14)Wykorzystując równość (3.14) i stosując twierdzenie o dywergencji otrzymujemy1V∫V div[x⊗σ]dV=1 V∫Γ x⊗σ·ndΓ=1 VW rezultacie makronaprężenie wyrażone jest przez siły brzegowe:σ= 1 V∫Γ x⊗tdΓ=1 V∫Γ∫Γx⊗tdΓ. (3.15)t⊗xdΓ. (3.16)25

3.2.4 Praca wirtualna i warunki brzegoweCelem wykazania słuszności relacji pomiędzy makronaprężeniem i wartością średnią mikronaprężeń(3.16) dla ciała statystycznie homogenizowalnego pokażemy, że wartość pracy mikronaprężeńna wirtualnych mikroodkształcenich jest równa pracy makronaprężeń na makroodkształceniach:1V∫V σ:δεdV=1 V∫Γt·δudΓ. (3.17)Podstawiając wariacje przemieszczeń (3.8) do prawej strony równania (3.17) otrzymujemy:δW= 1 ∫ ∫Vσ:δεdV=σ:δε+1 t·δrdΓ. (3.18)V V ΓWynika z (3.18), że twierdzenie Hilla-Mandela jest spełnione, gdy ostatnia całka w (3.18) jest równazeru. Ostatni człon w (3.18) jest dalej nazwany statycznym warunkiem brzegowym, który, obokwarunku kinematycznego, jest drugim ograniczeniem na pole mikrofluktuacji przemieszczeń.Przemieszczeniowe warunki brzegoweDefinicja przemieszczeniowych warunków brzegowych ma postaću≡x·ε ∀x∈Γ. (3.19)Taki warunek wymusza liniową deformację na brzeguΓ. Wstawiając równanie (3.19) do (3.17)otrzymamyδW= 1 ∫ ∫Vt·δudΓ=1 Γ Vt·(x·δε)dΓ,Γ= 1 (3.20)V∫Γ x⊗tdΓ:δε=σ:δε.Warto spostrzec, że (3.19) można zapisać w postacir(x)=0 x∈Γ, (3.21)a przez to statyczny warunek brzegowy (3.18) jest z góry spełniony. Równanie (3.21) zapisane wformie residuów ważonych, ma postać∫δt·(u−x·ε)dΓ=0 ∀δt, (3.22)ΓPostać (3.22) przemieszczeniowych warunków brzegowych jest wygodna, kiedy zadanie na poziomiemikro rozwiązujemy metodami numerycznymi. Po wprowadzeniu, skończenie elementowejinterpolacji przemieszczeń, powyższe równanie prowadzić będzie do układunrównań algebraicznych,gdzienjest liczbą stopni swobody na brzegu RVE.Naprężeniowe warunki brzegoweDefinicja statycznych warunków brzegowych jest określona wzoremt≡σ·n ∀x∈Γ, (3.23)który prowadzi do stałego rozkładu sił na brzeguΓ. Wstawiając statyczne warunki brzegowe dorównania (3.17) i korzystając z definicji (3.10) otrzymujemyδW= 1 ∫ ∫Vσ·n·δudΓ=σ:1 n⊗δudΓ=σ:δε. (3.24)Γ V Γ26

Wiedząc, że siły na brzeguΓsą stałe równanie równoważne do (3.23) przyjmuje postać∫n⊗rdΓ=0. (3.25)ΓKorzystając z równania (3.25), otrzymamy równanie równoważne z równaniem (3.23):ε− 1 ∫n⊗udΓ=0. (3.26)V ΓZapisany, statyczny warunek brzegowy w postaci (3.26) jest konsystentny z przemieszczeniową metodąelementów skończonych [46]. Ponadto równanie (3.25) jest szczególnym przypadkiem równania(3.22), które jest spełnione dla wszystkich sił brzegowych stałych na brzeguΓ. Po dyskretyzacji,powyższe równanie prowadzi do układu trzech lub sześciu równań algebraicznych, odpowiednio wdwóch lub trzech wymiarach.Periodyczne warunki brzegoweInną możliwością jest wymuszenie periodycznych warunków brzegowych:δu + −δu − ≡(x + −x − )·δε ∀x∈Γ, (3.27)gdzie brzegΓskłada się z dwóch częściΓ=Γ + ∪Γ − z normalnymin + =−n − i punktamix + ∈Γ +orazx − ∈Γ − .Celem pokazania, że periodyczne warunki brzegowe z góry spełniają twierdzenie Hilla-Mandelazastosujemy wzór (3.17):δW= 1 ∫V +t+·δu + dΓ+ 1 ∫Γ V −t−·δu − dΓΓ= 1 ∫−x − )⊗t + dΓ:δε= 1 (3.28)V Γ +(x+ V∫Γ x⊗tdΓ:δε=σ:δε,Definicja (3.27) formułowana w równoważnej całkowej postaci jest dana wzorem:∫ ∫+δt+·r + dΓ+−δt−·r − dΓ=0. (3.29)Γ ΓZapisując równanie (3.29) za pomocą przemieszczeń i wielkości makroodkształceń otrzymamy∫Γ (δt+ −δt − )·(u−x·ε)dΓ=0. (3.30)Warto podkreślić, że równanie (3.11) będzie również z góry spełnione, więc deformacja RVE jestw średnim sensie zgodna z makroodkształceniemε. Tak sformułowane, periodyczne warunki brzegowepo dyskretyzacji łatwo zapisać w postaci układu równań algebraicznych.Uogólnione warunki brzegoweRównania kinematyczne (3.11) i statyczne (3.18). nałożone na pole mikrofluktuacji przemieszczeńokreślone są wzorami: ∫Γ δt·rdΓ=0, ∫n⊗rdΓ=0, (3.31)Γgdzieδt jest dopuszczalnym rozkładem sił na brzegu RVE. Zapisując, (3.31) za pomocą przemieszczeńi makroodkształceń mamy∫(3.32)∫ Γδt·(u−x·ε)dΓ=0,n⊗(u−x·ε)dΓ=0. (3.33)Γ27

3.3.2 OdkształceniaMakroodkształcenieεjest określane przez średnią wartość mikroodkształceniaε, zatem całkując(3.35) po objętości RVE i skalując przez nią otrzymujemy1V∫V εdV=ε+η1 V∫V xdV+1 V∫Vsym[grad[r]]dV. (3.36)Jeśli centrum mikroskopowego układu odniesienia znajduje się w środku RVE, to zachodzi∫xdV=0. (3.37)VDodatkowo, gdy: ∫ ∫V∫Γ grad[r]dV= n⊗rdΓ= r⊗ndΓ=0, (3.38)Γwartość makroskopowego odkształcenia określona jest przez wartość średnią mikroodkształceń wRVE. Warto zwrócić uwagę, że makroodkształcenia, zdefiniowane są w identyczny sposób dla homogenizacjistatystycznej rzędu I. Powyższy warunek nazwany jest pierwszym kinematycznymwarunkiem brzegowym.Teraz zależność pomiędzy makroskopowym odkształceniemη i średnimi wielkościami mikroskopowymijest formułowana w postaci, która nie doprowadzi do warunków na gradienty przemieszczeńna brzegu RVE, co jest spójne z intencją posługiwania się klasycznym opisem kontinuumodkształcalnego w mikroskali. Do tego celu wykorzystane zostały prace [39–41]. Mnożącrównanie (3.35) przez wektor położeniaxicałkując w obszarze RVE, przy założeniu, że środekmikroskopowego układu współrzędnych znajduje się w środku geometrycznym RVE, jest formułowanazależność ∫J·η+∫V x⊗grad[r]dV= x⊗grad[u]dV, (3.39)Vgdzie : ∫J= x⊗xdV. (3.40)VUżywając reguły grad[a]⊗x=grad[a⊗x]−a⊗I, słusznej dla dowolnegoa, w równaniu (3.39) istosując twierdzenie o dywergencji, zmienimy całki po objętości na całki wzdłuż brzeguΓ:J·η+ 1 2∫Γ I⊗J:η= n⊗x⊗udΓ(3.41)−∫Γ n⊗x⊗rdΓ.Z warunku, by wartość makroskopowego odkształceniaη była niezależna od mikrofluktuacji polaprzemieszczeńr, wynika równanie∫n⊗x⊗rdΓ=0, (3.42)Γktóre jest nazywane drugim kinematycznym warunkiem brzegowym. Zapiszemy powyższe równaniew przemieszczeniach∫12∫V (x⊗x⊗1+x⊗1⊗x+1⊗x⊗x)dV:η= n⊗x⊗udΓ, (3.43)ΓGdy spełniony jest pierwszy kinematyczny warunek brzegowy (3.38) i drugi kinematyczny warunekbrzegowy (3.42), odkształcenie RVE w średnim sensie jest zgodne z zadanym makroodkształceniemεimakroodkształceniemη.29

3.3.3 NaprężeniaOprócz wyprowadzonego naprężenia (3.16), można wyprowadzić wzór na naprężenia rzędu II wyrażoneprzez wielkości mikroskopowe. W następnym podpunkcie pokażemy, że poniżej przedstawionadefinicja spełnia twierdzenie Hilla-Mandela. Tensor makronaprężenia trzeciego rzęduτ mapostaćτ≡ 1 ∫(σ⊗x+x⊗σ)dV (3.44)2V VMożna wykazać, że równość między całką po objętości i po brzegu RVE jest prawdziwa. Korzystającz równań równowagi (zachowania pędu i momentu krętu): div[σ]=0;σ=σ T , otrzymanazostanie równość:div[x⊗x⊗σ]=1⊗x·σ+x⊗1·σ+x⊗x⊗div[σ]=(1⊗x+x⊗1)·σ. (3.45)Stosując twierdzenie o dywergencji do (3.44) i używając (3.45) dochodzimy do zależności∫V (σ⊗x+x⊗σ)dV= ∫div[x⊗x⊗σ]dVV(3.46)=∫Γ∫Γ (1⊗x+x⊗1)·σ·ndΓ= x⊗x⊗tdΓ.Tensorτ , definiowany za pomocą (3.44), ma lewą symetrię i jest sprzężony przez pracę zη. Ważnymjest, że makronaprężenia wyższego rzędu da się wyrazić przez siły brzegowe, co jest spójne zklasycznym opisem ośrodka ciągłego w RVE.3.3.4 Praca wirtualna i warunki brzegoweTwierdzenie Hilla-Mandela wymaga, by średnia pracy, wyrażona w wielkościach mikroskopowych,była równa pracy wyrażonej w wielkościach makroskopowych. Zapisane zostanie twierdzenie, którejest równoważne zasadzie prac wirtualnych:1V∫Vσ:δεdV=σ:δε+τ.δη. (3.47)Równanie (3.47) definiuje makronaprężeniaσ iτ . Stosując twierdzenie o dywergencji do lewejstrony (3.47) i korzystając z równań równowagi otrzymujemyδW= 1 V∫Γt·δudΓ. (3.48)Zapisując wektor przemieszczeń poprzez wielkości makroskopowe, w powyższym równaniu otrzymamyδW= 1 ∫Vx⊗tdΓ:δε+ 1 ∫ ∫Γ 2Vx⊗x⊗tdΓ.δη+1 t·δrdΓ, (3.49)Γ V Γco pokazuje, po uwzględnieniu definicji odkształceń i naprężeń, że twierdzenie Hilla-Mandela jestspełnione, gdy ∫t·δrdΓ=0. (3.50)ΓRównanie (3.50) zapewnia, że praca mikrofluktuacji wirtualnego pola przemieszczeń na siłach brzegowychjest równa zeru. Powyższy warunek będzie nazywany statycznym warunkiem brzegowym.Ma on identyczną postać, jak dla homogenizacji statystycznej rzędu I.30

Przemieszczeniowe warunki brzegoweDefinicja przemieszczeniowych warunków brzegowych ma postaću≡x·ε+ 1 x⊗x:η ∀x∈Γ. (3.51)2Pokażemy, że warunek brzegowy (3.51) spełniają twierdzenie o wartości średniej (tzw. Hilla-Mandela):1VδW= 1 ∫Vt·(x·δε+1 Γ 2 x⊗x:δη)dΓ=∫x⊗tdΓ:δε+ 1 ∫Γ 2Vx⊗x⊗tdΓ.δη=ΓPrzemieszczeniowy warunek brzegowy (3.51) ma postaćσ:δε+τ.δη.Pisząc powyższe równanie za pomocą przemieszczeń, otrzymujemy(3.52)r(x)=0 ∀x∈Γ. (3.53)∫δt·(u−x·ε−1 x⊗x:η)dΓ=0. (3.54)Γ 2Przemieszczeniowe warunki brzegowe spełniają, z pierwszym i drugim, kinematyczny warunekbrzegowy oraz statyczny warunek brzegowy.Naprężeniowe warunki brzegoweNaprężeniowe warunki brzegowe dla uśredniania rzędu II definiowane są w całkowym sensie. Przeznaprężenowe warunki brzegowe rozumiane są takie, które prowadzą do deformacji zgodnej z zadanymimiarami odkształceń oraz liniowego rozkładu sił na brzegu RVE. Warunki naprężenioweformułowane są przez następujące równania:∫Γ∫Γn⊗rdΓ=0, (3.55)n⊗x⊗rdΓ=0, (3.56)gdzie statyczny warunek brzegowy (3.50) jest automatycznie spełniony. Zapisując powyższe równaniaw przemieszczeniach, dla zadanych makroodkształceń, otrzymujemyε− 1 ∫n⊗udΓ=0, (3.57)V Γ∫12∫V (x⊗x⊗1+x⊗1⊗x+1⊗x⊗x)dV:η− n⊗u⊗xdΓ=0. (3.58)ΓRównanie (3.57) i (3.58) są konsystentne z przemieszczeniową wersją metody elementów skończonych.Tak samo, jak dla przemieszczeniowych warunków brzegowych ich postać jest łatwa dozastosowania w skończenie elementowej aproksymacji. Powyższe równania są dla dwóch wymiarówukładem odpowiednio: trzech i sześciu równań algebraicznych.31

Periodyczne warunki brzegoweInnym, często używanym rodzajem warunków brzegowych, jestu + −u − ≡(x + −x − )·ε+ 1 2 (x+ ⊗x + −x − ⊗x − ):η ∀x∈Γ. (3.59)Pokażemy, że periodyczne warunki brzegowe z góry zapewniają spełnienie twierdzenia Hilla-Mandela.Z równania (3.47) mamyδW= 1 ∫V +t+·δu + dΓ+ 1 ∫Γ V −t−·δu − dΓ=Γ∫1−x − )⊗t + dΓ:δε+ 1 ∫⊗x + −x − ⊗x − )⊗t + dΓ:δη=V Γ +(x+ 2V Γ +(x+ ∫1V∫Γ x⊗tdΓ:δε+ x⊗x⊗tdΓ:δη=Γσ:δε+τ:δη.(3.60)Zauważmy, że twierdzenie o wartości średniej jest równoważne spełnieniu równania∫ ∫+δt+·r + dΓ+−δt−·r − dΓ=0. (3.61)Γ ΓZapisując powyższe równanie w przemieszczeniach, otrzymamy∫Γ (t+ −δt − )·(δu−ε·x− 1 x⊗x:η)dΓ=0. (3.62)2Należy zwrócić uwagę, że periodyczne warunki brzegowe wymuszają deformację, zgodną z antysymetrycznączęścią tensora odkształcenia rzędu II. Aby deformacja RVE była zgodna z symetrycznączęściąη, należy dodać równanie (3.58).Uogólnione warunki brzegoweRównania kinematyczne (3.38) i (3.42) zapewniają, że RVE odkształca się w średni sposób zgodnyz zadanymi makroodkształceniami. Równanie statyczne (3.50) spełnia twierdzenie Hilla-Mandela.Przypomnimy równania:∫ ∫Γ∫Γ δt·rdΓ=0, n⊗rdΓ=0, n⊗x⊗rdΓ=0, (3.63)które zapisane w wirtualnych przemieszczeniach i wirtualnych makro wielkościach mają postaćΓ∫δt·(u−x·ε−1 x⊗x:η)dΓ=0, (3.64)Γ 2∫n⊗(u−x·ε−1 x⊗x:η)dΓ=0, (3.65)Γ 2∫n⊗x⊗(u−x·ε−1 x⊗x:η)dΓ=0. (3.66)Γ 2Taka postać warunków brzegowych jest wygodna w numeryczne analizie, szczególnie w metodzienumerycznej homogenizacji. Przedstawione warunki brzegowe (pierwszy kinematyczny warunekbrzegowy, drugi kinematyczny warunek brzegowy i statyczny warunek brzegowy), określają przestrzeńdopuszczalnych mikrofluktuacji pola przemieszczeń. Po dodaniu równań równowagi, polemikrofluktuacji przemieszczeń określone zostaje w sposób jednoznaczny.32

Rozdział 4Metoda numerycznej homogenizacjiPrzeprowadzanie symulacji problemu z dużą liczbą niejednorodności MES, wymaga dyskretyzacjico najmniej o charakterystycznym rozmiarze niejednorodności, np. inkluzji, włókna. Jest toniemożliwe, ponieważ wymagałoby za dużo pamięci komputera i zbyt dużo czasu procesora. Ztej przyczyny, do rozwiązania problemu, najczęściej posługujemy się podejściem fenomenologicznym,konstruując związek konstytutywny na podstawie eksperymentu. Innym, bardziej złożonymobliczeniowo podejściem, jest dwuskalowa dyskretyzacja problemu, gdzie odpowiedź każdego RVEobliczana jest za pomocą MES.W sformułowaniu MES, w którym dla znanych makroodkształceń poszukiwane będą makronaprężeniai konsystentne operatory sztywności. Obliczenia, w każdym z punktów całkowania Gaussadla przydzielonego mu indywidualnego RVE, będą przeprowadzone za pomocą MES.MakroMakronaprężeniaHomogenizacjaMikroMakroodkształceniaLokalizacjaZBM*Zadanie brzegowe mechaniki (ZBM)Rysunek 4.1: Obliczanie makronaprężeniaPo wyborze skal makroskopowej i mikroskopowej, za pracami [20–22,25,39–41,46], algorytmnumerycznej homogenizacji (ang. computational homogenization CH) będzie opierał się na czterechzadaniach:• modelowanie ciała w makroskopowej skali obserwacji• modelowanie mechanicznego zachowania na poziomie mikroskopowej skali obserwacji• lokalizacji, która determinuje rozwiązanie wewnątrz RVE, na podstawie danych miar makroodkształceń33

• homogenizacji, służącej do obliczania miar makronaprężeń dla znanej dystrybucji mikronaprężeńw RVE, zob. 4.1.Algorytm CH nie odbiega od klasycznego algorytmu MES dla zadań nieliniowych. W każdymmakroskopowym punkcie całkowania Gaussa, zob. 4.2, obliczane jest makronaprężenie w chwiliczasut n , znając: makroodkształcenie i przyrost makroodkształcenia w danej chwili; mechanicznąhistorię obciążenia, począwszy odt=0. W klasycznym MES, historia brana jest pod uwagę poprzezzmienne wewnętrzne. W przypadku CH, w skali makro wewnętrzne zmienne nie występują w jawnysposób, historia uwzględniona zostaje poprzez mikroskopowe zmienne wewnętrzne. Wiąże się to zpotrzebą zachowania w pamięci komputera zmiennych wewnętrznych dla każdego RVE.ESPunkt całkowania GaussaMakroodkształcenie0000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111MkronaprężenieRVE 00000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111*Niejednorodne mikronaprężenia*Niejednorodne mikroodkształceniaRysunek 4.2: Idea metody numerycznej homogenizacjiZ matematycznego punktu widzenia model fenomenologiczny jest najczęściej schematem różniczkowym,który w postaci przyrostowej pozwala na iteracyjne obliczanie przyrostów zmiennychwewnętrznych i naprężenia, dla danej chwili czasu. W przypadku CH, schemat różniczkowy zastąpionyjest przez odpowiedź RVE na podstawie rozwiązania zadania brzegowego mechaniki: t.znznając makroskopowe odkształcenie, w danym punkcie całkowania Gaussa, RVE jest deformowanezgodnie z miarami makroodkształceń, następnie za pomocą MES (można użyć i innych metoddyskretyzacyjnych do rozwiązania zadania dla RVE, zob. [25]) obliczane są makronaprężenia.Większość algorytmów MES jest opartych na metodzie Newtona-Raphsona, celem uwzględnienianieliniowości. Z tego powodu, oprócz makronaprężenia, muszą być obliczone styczne operatorysztywności dla każdego RVE, zob. rys. 4.3.Ze względu na dużą złożoność metody CH, czas obliczeń na jednym procesorze jest bardzoduży. Dla każdego makroskopowego podprzyrostu procedury Newtona - Raphsona należy rozwiązaćzadanie brzegowe dla każdego punktu całkowania. Z drugiej strony, zadanie CH jest proste dozrównoleglenia. Zadania brzegowe mechaniki dla wielu RVE można rozwiązywać na wielu procesorachjednocześnie, zobacz rys. 4.4. Duży, jasny prostokąt symbolizuje przestrzeń klastra linuksowego/uniksowego,czyli zbiór dostępnych węzłów, procesorów i pamięci. Małe, zakreskowaneprostokąty symbolizują zadania przydzielone poszczególnym węzłom klastra.34

obciążenie makrow aktualnym krokuinicjalizacjaStart- obliczenie globalnej stycznejmacierzy sztywności- rozwiązanie układu równań- pętla po punktach Gaussamakroskopowemiary deformacjilokalizacjamakroskopowe miary naprężeństyczne operatory sztywnościhomogenizacjaobliczenie sił wewnętrznychMikro00000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111zadanie war. brzegowych00000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111rozwiązanie nieliniowego000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111układu równań000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111obliczenie makronaprężeń i000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111operatorów stycznych0000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000000000000000000011111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111NIEsprawdzenie stanu równowagiTAKnastępny krok czasowyNIEKoniecTAKRysunek 4.3: Algorytm dla metody komputerowej homogenizacjiKlasterDaneWyniki000000011111110000000111111100000001111111 MACRO00000001111111000000011111110000 1111 0000011111 0000 11110000 1111 0000011111 0000 11110000 11110000 1111 RVE 1000000000011111RVE 20000 11110000 1111 RVE 30000 1111 0000011111 0000 11110000 1111000000000000 111111111111RVE N0000 1111micro micro micro microHistoriaRysunek 4.4: Zrównoleglenie metody numerycznej homogenizacji35

Rozdział 5Metoda elementów skończonych wnumerycznej homogenizacji5.1 Sformułowanie MES dla kontinuum rzędu IOpis ośrodka ciągłego rzędu I, obowiązujące równania oraz pola przemieszczeńu, miary odkształceniaεinaprężeniaσzostały przedstawione w rozdziale 2. Sformułowanie przemieszczenioweMES, dla kontinuum rzędu I, jest powszechnie znane, dla kompletności pracy zostanie ono jednakprzypomniane. Dla prostoty zostanie pominięty wpływ sił masowych.5.1.1 Przestrzenie funkcji aproksymujacych ˛ i wagowychMamy przestrzenie funkcji aproksymujących i wagowych: funkcje przemieszczeń i wag należą doprzestrzeniU={u∈H 1 (Ω)|u=g naΓ u }; V u ={v u ∈H 1 (Ω)|v u =0 naΓ u }, (5.1)gdzieH 1 jest przestrzenią Soboleva [33].5.1.2 Sformułowanie słabe problemuDla danychg it, szukanychu=(v u +g)∈U , dla każdegov u ∈ V u napiszemy równanie całkowe:∫ ∫F(v u ,u)= grad[v u]:σdΩ− v u·tdΓ=0, (5.2)Ω Γgdzie tensor naprężenia jest funkcjąσ=S(ε(u),t). Dowód na poprawność powyższego równaniajest prosty i zostanie pominięty. Dla przemieszczeniowego sformułowania MES, z góry, spełnionesą równaniaSłabemu sformułowaniu odpowiadają równania w punkcie:u=g na Γ u , (5.3)ε=sym[grad[u]] w Ω, (5.4)σ=S(ε,t) w Ω. (5.5)div[σ]=0 w Ω, (5.6)t=σ·n na Γ σ . (5.7)36

5.1.3 Dyskretyzacja słabej formyWprowadzamy skończenie wymiarowe podprzestrzenie funkcji aproksymujących U h ⊂ U i Vuh ⊂V u . Zatem mamy ∫ ∫F(vu h ,uh )=Ω vh ε :σh dΩ−Γ vh u·th dΓ=0, (5.8)gdzie:vε h= sym[grad[vh u ]].W dalszej części tego podrozdziału będziemy używać zapisu macierzowego dla skończenie elementowejaproksymacji pola przemieszczeń. Zapiszemy podstawowe związki między przemieszczeniem,a wielkościami węzłowymi:u h =N u u, (5.9)gdzieN u jest macierzą funkcji kształtu. Związek między odkształceniem, a wartościami przemieszczeńwęzłowych będzie dany wzoremε h =L u N u u=B u u, (5.10)gdzieL u jest macierzowym operatorem gradientów iB u jest operatorem odkształcenia - przemieszczenia,zawierającym gradienty funkcji kształtu.5.1.4 LinearyzacjaRównanie równowagi dla dyskretnego równania, które wynika z (5.8) w chwilit n+1 , jest zapisanew postaci ∫BT u σ n+1dΩ=F ext,n+1 , (5.11)ΩgdzieF ext,n+1 jest wektorem zewnętrznych sił węzłowych. Stosując metodę Newtona, równanie(5.11) przyjmie postać ∫ ∫BT u∆σdΩ=F ext,n+1 − BT uσ i n+1dΩ. (5.12)Ω ΩZwiązek między podprzyrostem (iteracyjną korektą) wartości przemieszczeń węzłowych∆u, apodprzyrostem naprężenia∆σ ma postać∆σ=DB u ∆u, (5.13)gdzieDjest konsystentną styczną macierzą sztywności. Wstawiając (5.13) do (5.11) daje zapisanerównanie równowagi w postaci∫ ∫BT u DB udΩ∆u=F ext,n+1 − BT uΩ Ω σi n+1dΩ (5.14)Dla równania (5.14) stosujemy podejście iteracyjne. W trakcie procedury Newtona wartości podprzyrostówprzemieszczenia są sumowane według wzoru∆u i+1n+1 =∆ui n+1+∆u. (5.15)Powyższe postępowanie prowadzi do rozwiązania ciągu równań macierzowych, o postacigdzie:.K∆u=F, (5.16)∫K= uDB u dΩ,∫Ω (5.17)F=F ext,n+1 − uσ i n+1dΩΩ(5.18)37

5.2 Sformułowanie ES dla kontinuum rzędu IIOpis ośrodka ciągłego rzędu II, rządzące równania oraz pola przemieszczeńu, miary odkształceńε,η i naprężeńσ,τ zostały przedstawione w rozdziale 2. Wykorzystując prace [2, 63] sformułujemymieszany element skończony, gdzie pola przemieszczeń i ich gradientów będą aproksymowaneniezależnie. Dla prostoty zostanie pominięty wpływ sił masowych i zostanie założony gładki brzegobszaruΩ. Rezygnacja z powyższych założeń jest możliwa w ramach przedstawianego podejścia(por. [2, 39]).5.2.1 Przestrzenie funkcji aproksymujacych ˛ i wagowychDefiniujemy niezależne przestrzenie funkcji aproksymujących i wagowych:1. funkcje przemieszczeń i wagowe należące do przestrzeniU={u∈H 1 (Ω)|u=gnaΓ u }; V u ={v u ∈H 1 (Ω)|v u =0naΓ u }, (5.19)2. funkcje gradientów przemieszczeń i wagowe należą do przestrzeniH={H∈H 1 (Ω)|η= grad[g] naΓ u }; V H ={v H ∈H 1 (Ω)|v H =0naΓ u }, (5.20)3. funkcje dywergencji naprężeń wyższego rzędu należą do przestrzenigdzieH 0 iH 1 są przestrzeniami Soboleva,5.2.2 Sformułowanie słabe problemu brzegowegoP={v ρ ∈H 0 }. (5.21)Dla danych funkcji na brzegug(przemieszczeń),t(sił brzegowych) ir(par sił brzegowych), szukanychpólu=(v u +g)∈U,η=(δη+ grad[g])∈H iρ∈P, dla każdegov u ∈ V u ,v H ∈ V H iv ρ ∈ P za [63] zostanie zapisane równanie całkowe∫∫F(v u ,v H ,v ρ ,u,H,ρ)=Ω [σ: grad[v u]+τ.grad[v H ]]dΩ+Ω [ρ:(v H− grad[v u ])+v ρ :(H−grad[u])]dΩ−∫Γ [v u·t+v H :n⊗r]dΓ−∫Γ (v H− grad[v u ]):(n·τ−n⊗r)dΓ=0,(5.22)gdzie występują funkcje naprężeniaσ=S(ε,η,t) i naprężenia wyższego rzęduτ=T(ε,η,t).W [2, 39] możemy znaleźć dowód na poprawność sformułowania mieszanego (5.22). Dla słabegosformułowania w (5.22) z góry spełniane są równaniau=g na Γ u , (5.23)H=grad[g] na Γ u , (5.24)ε=sym[grad[u]] w Ω, (5.25)η= grad[H] w Ω, (5.26)σ=S(ε,η,t) w Ω, (5.27)τ=T(ε,η,t) w Ω. (5.28)38

Warto zwrócić uwagę, że istnieją inne możliwości zdefiniowania odkształceńεiη: równania (5.25)i (5.26). Silna postać równań, które są spełnione w sensie słabymdiv[σ−ρ]=0 w Ω, (5.29)ρ=div[τ] w Ω, (5.30)H=grad[u] w Ω, (5.31)t=n·(σ−ρ)−D s [n]⊗n·(n·τ)−D s [n·τ] na Γ σ , (5.32)5.2.3 Dyskretyzacja słabej formyr=n·n·τ na Γ σ . (5.33)Wprowadzamy skończenie wymiarowe podprzestrzenie funkcji aproksymujących U h ⊂ U , H h ⊂H , P h ⊂ P i podobnie dla przestrzeni funkcji wagowych. Gdy spełnione są równania (5.31) i(5.33) w całkowym sensie, ostatni człon w (5.22) jest znacznie mniejszy niż pozostałe. Dlategopominiemy ten człon w dalszych rozważaniach. Ostatecznie mamy równanie postaci∫∫F(v h u ,vh H ,vh ρ ,uh ,H h ,ρ h )=Ω [σh : grad[v h u]+τ h .grad[v h H]]dΩ+Ω [ρh :(v h H− grad[v h u])+v h ρ:(H h − grad[u h ])]dΩ−∫Γ [vh u·t+v h H:n⊗r]dΓ−=0.(5.34)W dalszej części tego podrozdziału będziemy używać zapisu macierzowego dla skończenie elementowejaproksymacji MES. Pole przemieszczeń, gradientów przemieszczeń i dywergencji naprężeniarzędu II będą dane wzoramiu h =N u u, (5.35)H h =N H h, (5.36)ρ h =N ρ ρ, (5.37)gdzieN u ,N H iN ρ są odpowiednio: funkcjami kształtu pola przemieszczeń, gradientów przemieszczeńi pola dywergencji naprężeń wyższego rzędu. Związki między wielkościami węzłowymi, aodkształceniem rzędu I i II mają postaćε h =B u u, (5.38)η h =B H h, (5.39)gdzieB u jest standardowym operatorem odkształcenia-przemieszczenia zawierającym pochodnefunkcji kształtu dla przemieszczeń,B H jest operatorem wiążącym odkształcenie wyższego rzędu zgradient przemieszczenia zawierającym pochodne funkcje kształtu dla gradientów przemieszczeń.Związek między polami przemieszczeń, a węzłowymi przemieszczeniami jest określany wzoremgrad[u h ]=L u u, (5.40)gdzieL u jest operatorem gradientów przemieszczeń funkcji kształtu pola przemieszczeń.39

5.2.4 LinearyzacjaStosując metodę Newtona dla chwilit n+1 , na podstawie (5.34) piszemy układ równań∫BT uσ n+1 +B T Hτ n+1 +(L T u−N T H)ρ n+1 dΩ=F ext,n+1 ,Ω ∫(5.41)NT ρ(L u u n+1 −N H h n+1 )dΩ=0,Ω(5.42)gdzie pierwsze z równań jest równaniem równowagi, a drugie równaniem ciągłości.Równanie równowagiLinearyzując równanie równowagi (5.41), otrzymujemy w wyniku równanie postaci∫BT u ∆σ+BT H ∆τ+(LT u −NT H )∆ρdΩ=∫ΩF ext,n+1 − BT uσ i n+1+B T Hτ i n+1+(L T u−N T H)ρ i n+1dΩ,Ωgdzie wartości przyrostów naprężeń wyrażamy(5.43)∆σ=D 1 ∆ε+D 2 ∆η (5.44)∆τ=D 3 ∆ε+D 4 ∆η, (5.45)aD 1 ,D 2 ,D 3 iD 4 są konsystentnymi stycznymi macierzami sztywności. Ostatecznie równaniarównowagi przyjmują postać∫∫ ΩBT u (D1 B u ∆u+D 2 B H ∆h)dΩ+BT HΩ (D3 B u ∆u+D 4 B H ∆h)dΩ+∫(LT u−N T H)N ρ ∆ρdΩ=∫ΩF ext,n+1 − BT uσ i n+1+B T Hτ i n+1+(L T u−N T H)ρ i n+1dΩ,Ω(5.46)W procedurze iteracyjnej wartości przyrostów przemieszczenia, gradientów przemieszczeń i mnożnikówLagrange’a są sumowane według wzorówRównanie ciagłości˛∆u i+1n+1 =∆ui n+1 +∆u, (5.47)∆h i+1n+1 =∆hi n+1+∆h, (5.48)∆ρ i+1n+1 =∆ρi n+1+∆ρ. (5.49)Równanie ciągłości (5.42) między gradientami aproksymowanego pola przemieszczeń, a aproksymowanympolem gradientów przemieszczeń w chwili czasut n+1 ma postać∫ ∫NT ρ(L u ∆u−N H ∆h)dΩ=− NT ρ(L u u i n+1−N H h i n+1)dΩ. (5.50)Ω Ω40

5.2.5 Zapis macierzowyRównania (5.46) i (5.50) piszemy w postaci macierzowej:⎡⎢⎣K L CM T EC T E T 0gdzie po lewej stronie występują macierze⎤⎧⎪⎨⎥⎦⎪⎩Składowe prawej strony równań 5.81 mają postaćWektory sił zewnętrznych wyrażone są przez wzory∆u∆h∆ρ⎫ ⎡⎪⎬⎪⎭ = ⎢⎣⎤F u⎥F HF ρ⎦, (5.51)∫K= uD 1 B u dΩ,∫Ω (5.52)L= uΩ D2 B H dΩ,∫(5.53)C= u N ρdΩ,∫ Ω(5.54)M= HΩ D3 B u dΩ,∫(5.55)T= HΩ D4 B H dΩ,∫(5.56)E=− HN ρ dΩ.Ω(5.57)∫F u =F u,ext,n+1 − uΩ σi n+1dΩ, ∫(5.58)F H =F H,ext,n+1 − HΩ τi n+1dΩ, ∫(5.59)F ρ =− ρ (L uu i n+1 −N Hh i n+1 )dΩ.Ω(5.60)∫ ∫F u,ext,n+1 = N u tdΓ σ , F H,ext,n+1 = N H rdΓ σ (5.61)Γ σ Γ σ5.3 Stabilizacja dla kontinuum rzędu IMetoda CH wymaga dużej mocy obliczeniowej. W każdym punkcie numerycznego całkowania, abyobliczyć naprężenie odpowiadające znanemu odkształceniu, musimy rozwiązać złożone obliczeniowozadanie brzegowe mechaniki. Jednym ze sposobów przyspieszenia obliczeń jest zmniejszenieliczby punktów całkowania Gaussa. Dodatkowo, obniżenie rzędu kwadratury Gaussa, zmniejszarozmiar pamięci potrzebnej na przechowywanie zmiennych historycznych, ponadto istnieje możliwośćograniczenia operacji na elementach macierzy. Zredukowane całkowanie jest jednak przyczynązmniejszenia rzędu elementowej macierzy sztywności [7, 33]. Oprócz ruchów sztywnych pojawiająsię pasożytnicze postacie deformacji o zerowej energii. Oscylacje w rozwiązaniu, związane zniefizycznymi postaciami deformacji, mogą zostać wyeliminowane przez odpowiednią stabilizacjęelementowej macierzy sztywności.W pracach [32, 58, 59] wykazano podobieństwo elementu ze zredukowanym całkowaniem doelementów mieszanych, z aproksymowanym polem naprężeń lub z rozszerzonym polem założonychodkształceń (ang. enhanced assumed strain).41

5.3.1 Macierz stabilizujaca ˛ dla elementu Q4Dla równaniaK∆u=F i jednopunktowego całkowania styczna macierz sztywności i wektor prawychstron oblicza się według wzorówK=∑ n el)e=1∫Ω T ∑ e(Be u De B e n elu dΩ≈ J e B e u (c)T D(c)B e u (c),e=1F=≈∑ n el ∫(F e ext,n+1− u) T (σ e ) i n+1dΩ)e=1Ω e(Be(5.62)∑ n el(F e ext,n+1 −Je B e u (c)T σ e (c) i n+1 ).e=1Współrzędnacjest środkiem geometrycznym elementu, w którym jest określanyJ e jakobian. Dlarównoległoboków jest on stały w elemencie. W ogólnym przypadku czworoboku jakobian nie jeststały w obszarze elementu. Ponad to, jeden punkt całkowania Gaussa w elemencie Q4 prowadzi dopowstania dwu dodatkowych zerowych wartości własnych, które nie są związane z ruchem sztywnym.Podobnie jak w pracach [15, 36, 37, 71], obliczamy człony stabilizujące, które zostaną dodanedo macierzy sztywności i wektora prawych stron:∑ n el ∫e=1Ω e(LT u σ(δuh )) T ϕL T u σ(uh )dΩ, (5.63)gdzieϕ=ϕI jest współczynnikiem stabilizującym. Dobór wartości współczynnikaϕjest podanyniżej. Dobór wagi(L T u σ(δuh )) T odpowiada minimalizacji residuum w sensie najmniejszych kwadratów[14]. Teraz zajmiemy się wagą i residuum w powyższym równaniu.Podobnie jak w [15, 71] waga jest zapisana w postaciP u (δu h )=L T u DB uδu=Gδu, (5.64)unikając jej linearyzacji. Warto zwrócić uwagę, żeGzawiera drugie gradienty funkcji kształtu, anie zawiera jednak członu stałego i liniowego aproksymowanego pola przemieszczeń. Residuum wkroku(n+1) i iteracji(i+1) dane jest wzoremgdzie:R i+1σ,n+1 =LT u σi+1 n+1 (uh )=L T u [σi n+1 (uh )+∆σ]=R i σ,n+1 +∆R σ, (5.65)a zatem residuum przyjmuje postać∆R σ =L T u DB∆u=G∆ui+1 n+1 , (5.66)R i+1σ,n+1 =Ri σ,n+1 +G∆u. (5.67)W rezultacie w zapisie macierzowym człon stabilizujący (5.63) ma postaćNastępnie piszemy globalny układ równań:∑ n el ∫ϕ(R i σ,n+1+G∆u)dΩ. (5.68)e=1Ω eGT(K+K stab )∆u=F+F stab , (5.69)42

w którym macierz stabilizująca ma postaćK stab =a stabilizujący wektor prawych stron∑ n el ∫ ∑) T ϕ e G e n eldΩ≈ J e (G e (c)) T ϕ e G e (c), (5.70)e=1Ω e(Ge e=1F stab =−≈∑ n ele=1∫) T ϕ e (R e ) i σ,n+1dΩΩ e(Ge∑ n el(5.71)J e G e (c) T ϕ e (R(c) e ) i σ,n+1 .e=1Pozostał nam jeszcze dobór współczynnika stabilizującegoϕ. Posługując się analizą wymiarowąwartość współczynnika jest przyjęta w postaci, por. [15]ϕ= αe (h e ) 22µ , (5.72)gdzieh e jest wymiarem charakterystycznym ES,µjest modułem ścinania,α e jest bezwymiarowymskalarem, którego wartość musi być odpowiednio dobrana.5.3.2 Weryfikacja numerycznaRozważane są dwa przykłady numeryczne. Pierwszy przykład przedstawia powstanie pasożytniczejpostaci deformacji, nazywanej klepsydrą (ang. hourglass), por. rys. 5.1b. Poprawne rozwiązanie jestprzedstawione na rys. 5.1 po dodaniu macierzy stabilizującej.a)41b)Rysunek 5.1: a) Poprawna deformacja i dystrybucja naprężeniaσ x , dlaα=10 −8b) Pasożytnicza forma deformacji o charakterystycznym kształcie klepsydry dlaα=043

Drugi przykład numeryczny przedstawia rozwiązanie zadania brzegowego (rys. 5.4) dla materiałuo liniowych i nielinowych związkach konstytutywnych. Do rozwiązania zadania użyto elementuczterowęzłowego Q4 z kwadraturą Gaussa 2x2 oraz elementu stałego naprężenia CST z kopertowąsiatką, ang. cross-diagonal mesh (Wiadomo z literatury [7, 33], że taka siatka nie jest wrażliwa nablokadę objętościową) i elementu Q4 z jednopunktową kwadraturą Gaussa i macierzą stabilizującą(przyjętoα=10 −18 ). Przyjęto spójny układ jednostek. Rozwiązanie dokładne, otrzymane na podstawiemodelu numerycznego z siatką kopertową, elementem CST i 131072 stopniami swobody.Rozwiązanie dla materiału ściśliwego Hooke’a (rys. 5.2a i tab. 5.1) wykazuje kwadratową zbieżnośćprzemieszczenia do rozwiązania dokładnego, przy wzroście gęstości siatki. Rozwiązanie dlaelementu Q4 z jednopunktową kwadraturą Gaussa, zbiega się od góry do rozwiązania dokładnego,gdy dla elementu Q4 z kwadraturą 2x2 i elementu CST rozwiązanie zbiega do rozwiązania ścisłegood dołu.Wiemy, że rozważane MES wykazują kwadratową zbieżność przemieszczeń dla liniowej sprężystości[7, 33]. Dla elementu CST i Q4 błąd aproksymacji pola przemieszczeń jest oszacowanyprzez nierówność‖u−u h ‖ H 0 C(h e ) 2 ‖u‖ H 0, (5.73)gdzieH 0 jest odpowiednią przestrzenią Hilberta. Wartość stałej C nie zależy od gęstości siatkih e ijest różna w różnych zadaniach.Wartość stałej C, dla tego zadania, ma w przybliżeniu wartość0.00132,0.00181 i0.00014, odpowiedniodla elementów: Q4 (2x2), CST (siatka kopertowa) i Q4 (1x1). Dla tego szczególnegoproblemu kwadratura z jednym punktem Gaussa w elemencie Q4 daje lepszą dokładność, niż elementQ4 z pełnym całkowaniem lub CST dla siatki kopertowej. Zredukowane całkowanie eliminujeblokadę ścinania [7, 33], co wyjaśnia dobre wyniki dla elementu Q4 i całkowania 1x1.Tabela 5.1: Zbieżność rozwiązania dla materiału ściśliwego dla punktu A i przemieszczenia pionowego.(Materiał Hooke’a, płaski stan naprężenia, por. rys. 5.4)LSS Q4 (2x2) CST(kopertowa) Q4 (1x1)162 0.78711e-3(0.213%) 0.78673e-3(0.261%) 0.78916e-3(0.047%)578 0.78838e-3(0.052%) 0.78825e-3(0.068%) 0.78884e-3(0.006%)1250 0.78861e-3(0.023%) 0.78854e-3(0.032%) 0.78881e-3(0.002%)2178 0.78869e-3(0.013%) 0.78865e-3(0.018%) 0.78880e-3(0.001%)3362 0.78873e-3(0.008%) 0.78870e-3(0.011%) 0.78880e-3(0.001%)6498 0.78876e-3(0.004%) 0.78875e-3(0.005%) 0.78879e-3(0.000%)13122 0.78877e-3(0.002%) 0.78877e-3(0.002%) 0.78879e-3(0.000%)18818 0.78878e-3(0.001%) 0.78878e-3(0.001%) 0.78879e-3(0.000%)25088 0.78878e-3(0.001%) 0.78878e-3(0.001%) 0.78879e-3(0.000%)32768 0.78878e-3(0.001%) 0.78879e-3(0.000%) 0.78879e-3(0.000%)132098 0.78879e-3C 0.00132 0.00181 0.00014Z literatury wiadomo [7, 33, 71], że element Q4 z pełnym całkowaniem wykazuje blokadę objętościowądla materiału bliskiego nieściśliwemu. Blokada charakteryzuje się tym, że rozwiązaniezbiega się wolno (nie ma zbieżności kwadratowej przemieszczenia w rozważanym przypadku) lubnie zbiega się w ogóle. Dla elementu CST, z siatką kopertową i elementu Q4, ze zredukowanym całkowaniem,zauważono kwadratową zbieżność, a wartość stałej C, dla rozważanego zadania, jest wprzybliżeniu równa odpowiednio:0.00143 i0.00041. Jak poprzednio element, Q4 ze zredukowanymcałkowaniem daje lepszą dokładność dla rozważanego przypadku.44

a)Materiał ściśliwy,E=10 4 ν=0.3przemieszczenie pionowe w punkcie Ab)r. dokładne (0.00078879)0.0007890.000788Q4, całkowanie 2x20.000787CST, siatka kopertowaQ4, całkowanie zredukowane0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000liczba stopni swobodyMateriał nieściśliwy,E=10 4 ν=0.49999przemieszczenie pionowe w punkcie A0.00060.00050.0004r. dokładne (0.00063669)Q4, całkowanie 2x2CST, siatka kopertowaQ4, całkowanie zredukowane0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000liczba stopni swobodyRysunek 5.2: Zbieżność dla materiału ściśliwego i nieściśliwego45

Tabela 5.2: Zbieżność rozwiązania dla materiału nieściśliwego dla punktu A i przemieszczenia pionowego.(Materiał Hooke’a, płaski stan naprężenia, por. rys. 5.4)LSS Q4 (2x2) CST (kopertowa) Q4 (1x1)162 0.37784e-3(40.656%) 0.63937e-3(0.421%) 0.63724e-3(0.086%)578 0.38582e-3(39.402%) 0.63709e-3(0.063%) 0.63680e-3(0.016%)1250 0.39764e-3(37.546%) 0.63685e-3(0.025%) 0.63673e-3(0.006%)2178 0.41176e-3(35.328%) 0.63677e-3(0.013%) 0.63671e-3(0.003%)3362 0.42688e-3(32.953%) 0.63674e-3(0.078%) 0.63670e-3(0.002%)6498 0.45669e-3(28.271%) 0.63671e-3(0.031%) 0.63669e-3(0.000%)13122 0.49521e-3(22.221%) 0.63670e-3(0.016%) 0.63669e-3(0.000%)18818 0.51605e-3(18.948%) 0.63669e-3(0.000%) 0.63669e-3(0.000%)25088 0.53347e-3(16.212%) 0.63669e-3(0.000%) 0.63669e-3(0.000%)32768 0.54797e-3(13.935%) 0.63669e-3(0.000%) 0.63669e-3(0.000%)132098 0.63669e-3C brak zb. 0.00143 0.00041Następnie rozwiązano zadanie o geometrii i warunkach brzegowych, jak na rys. 5.4, dla materiałusprężysto-plastycznego o powierzchni plastyczności HMH z granicą plastycznościY=10 2i izotropowym wzmocnieniemH=10 2 . Dla rzadkiej siatki (por. rys. 5.3 i tab.5.3) element Q4,z pełnym całkowaniem, wykazuje nadmierną sztywność podczas procesu plastycznego płynięcia.Dla stowarzyszonego prawa płynięcia i plastyczności HMH w płaskim stanie odkształcenia lub wzadaniach 3D, gdy materiał płynie, nie zmienia się jego objętość. Mamy wtedy do czynienia z blokadąobjętościową dla elementu Q4 z kwadraturą 2x2 [71]. To wyjaśnia większą sztywność dlaelementu Q4 z pełną kwadraturą Gaussa. Dla rzadkiej siatki, jak poprzednio, zauważono nadmiernąpodatność dla elementu Q4 ze zredukowanym całkowaniem (zobacz tab. 5.3).Tabela 5.3: Wartość przemieszczenia pionowego dla punktu A i obciążeniap=240, por. rys. 5.4.(Materiał sprężysto-plastyczny z powierzchnią plastyczności HMH i izotropowym wzmocnieniem)LSS Q4 (2x2) CST (kopertowa) Q4 (1x1)162 3.05 4.09 4.36578 3.86 4.21 4.296498 4.23 4.26 4.265.4 Stabilizacja dla kontinuum rzędu IICzerpiąc z doświadczeń innych badaczy, do rozwiązania zadań testowych zastosowano elementQ18G16L4, zob. 5.5. Element Q18G16L4 ma bikwadratową aproksymację dla pola przemieszczeńu h (klasyC 0 ), biliniową aproksymację dla pola gradientów przemieszczeńh h (klasyC 0 ) i stałąaproksymacje dla pola dywergencji naprężeń wyższego rzęduρ h (klasyC −1 ). Element ten wymagacałkowania kwadraturą Gaussa 3x3. Taki element jest rekomendowany do praktycznych zastosowańw [39, 63]. Q18G16L4 spełnia warunek stabilnej aproksymacji podany przez Zienkiewiczai Taylora [78]. Jeżeli ten warunek nie byłby spełniony dla skończenie wymiarowej aproksymacjiukład równań algebraicznych miałby niejednoznaczne rozwiązanie. Prosty do sprawdzenia warunekz [78], min[n u ]+min[n H ]> max[n q ], jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającymdo jednoznaczności rozwiązania. Trudniejszy do udowodnienia warunek stabilności rozwiązania,znany w literaturze pod nazwami LBB, BB lub inf-sup, można zaleźć w pracach [3, 4, 6].46

250Ścieżka równowagi dla materiału sprężysto-plastycznego (HMH)ciśnienie zewnętrznep200150100Q4 (2x2) LSS 162Q4 (2x2) LSS 578Q4 (2x2) LSS 6498CST (siatka kopertowa) LSS 162CST (siatka kopertowa) LSS 578CST (siatka kopertowa) LSS 6498Q4 (1x1) LSS 6498Q4 (1x1) LSS 578Q4 (1x1) LSS 16250E=10 4 ν=0.300 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5przemieszczenie pionowe w punkcie AY=10 2 H=10 2Rysunek 5.3: Ścieżki równowagi dla materiału sprężysto-plastycznego z powierzchnią plastycznościHMH i izotropowym wzmocnieniem (por. rys. 5.4 i tab. 5.3)5p10pA10Rysunek 5.4: Geometria, warunki brzegowe, deformacja i rozkład zastępczych odkształceń plastycznych47

uu,hu,ρPunk całkowania GaussaRysunek 5.5: Element Q18G16L4, po lewej z pełnym całkowaniem, po prawej ze zredukowanymcałkowaniemZgodnie z [39, 63] całkowanie elementu Q18G16L4 kwadraturą Gaussa 2x2 powoduje zbytniski rząd podmacierzyK(zobacz wzór (5.52)) i rozwiązanie przestaje być stabilne. Jednak zaletywynikające z obniżenia rzędu kwadratury Gaussa w CH, skłoniły autora do budowy stabilizowanegosformułowania elementu Q18G16L4 z kwadraturą Gaussa 2x2.5.4.1 Macierz stabilizujaca ˛ dla elementu Q18G16L4Podobnie do podejścia w [15, 36, 37, 71] dodamy elementową macierz stabilizującą w celu zapewnieniausunięcie defektu rzędu macierzy sztywności przy zredukownym całkowaniu. Równanie stabilizującebędzie miało postać∑ n el ∫e=1Ω eLT u σ(δuh ,δh h )ϕ e L T u (σ(uh ,H h )−N ρ ρ h )dΩ e =0, (5.74)gdzieϕ=ϕI, aϕjest współczynnikiem stabilizującym. Współczynnik został określony na podstawieanalizy wymiarowej i ma identyczną postać, jak w podrozdziale 5.3. Poprzez (5.74) żądamyspełnienia równań równowagi w sensie metody najmniejszych kwadratów.Dla równania (5.74) podamy wagę i residuum. Wagę zapiszemy w postaciP=L T u D1 B u δu+L T u D2 B H δh=G u δu+G H δh. (5.75)MacierzeG u iG H zawierają drugie pochodne funkcji kształtu. UprościmyP, biorąc pod uwagęjedynie pierwszy człon:P u =G u δu. (5.76)Teraz zajmiemy się residuum dla kroku(n+1) i iteracji(i+1):R i+1σ,n+1 =LT u D1 B u u i+1n+1 +LT u D2 B H h i+1n+1 −LT u N ρρ i+1n+1 =Ri σ,n+1 +∆R σ, (5.77)gdzie przyrostowe sformułowanie równań fizycznych zostanie użyte do obliczenia∆R σ :∆R σ =L T u D1 B u ∆u+L T u D2 B H ∆h−L T u N ρ∆ρ. (5.78)48

ResiduumR i+1σ,n+1 będzie miało postać: R i+1σ,n+1 =R i σ,n+1+L T uD 1 B u ∆u+L T uD 2 B H ∆h−L T uN ρ ∆ρ=R i σ,n+1 +G u∆u+G H ∆h−G ρ ∆ρ.(5.79)Ponieważ, w rozważanym elemencie, poleρ h aproksymujące mnożniki Lagrange’a jest stałe, macierzGρ jest zerowa. Dodatkowo założymy, że naprężenieσ nie zależy od drugiego gradientu przemieszczeńlub zależy w pomijalnie małym stopniu. Założenia te sprawią że stabilizowana będziejedynie ta część macierzy sztywności, która związana jest wyłącznie z interpolacją przemieszczeń.Z przyjętego założenia pominięty zostanie człon związany z macierząG H . Równanie stabilizującepiszemy w postaci∑ n el ∫e=1Ω e(Ge u δu)T ϕ e (R e,iσ,n+1 +Ge u∆u)dΩ=0. (5.80)Globalny układ równań ze stabilizacją przyjmie postać⎡⎢⎣⎤⎧K+K stab L C ⎪⎨⎥M T E⎦C T E T ⎪⎩0gdzie macierz stabilizujące ma postaćK stab =a wektor stabilizujący po prawej stronie jest równy5.4.2 Weryfikacja numeryczna∆u∆h∆ρ⎫ ⎡⎪⎬⎪⎭ = ⎢⎣⎤F u −F u,stab⎥F H ⎦, (5.81)F ρ∑ n el ∫u) T ϕ e G e udΩ, (5.82)e=1Ω e(Ge∑F u,stab =R i n el ∫σ,n+1 + e=1Ω e(Ge u )T ϕ e G e u∆udΩ. (5.83)Przedstawione zostaną dwa przykłady numeryczne, dla których znamy rozwiązanie analityczne.Pierwszy z testów przedstawia problem, w którym rozwiązanie mieści się w przestrzeni aproksymacyjnejpola przemieszczeń i pola gradientów przemieszczeń ES, więc powinniśmy uzyskaćrozwiązanie ścisłe. Zadanie rozwiązane dla materiału ściśliwego i prawie nieściśliwego. Drugi z testównumerycznych przedstawia cienką ścinaną warstwę, gdzie na postać rozwiązania duży wpływbędzie miał kinematyczny warunek brzegowy wyższego rzędu, nałożony na gradienty przemieszczeń.Rozwiązanie drugiego problemu nie zawiera się w przestrzeni aproksymacyjnej ES. Pokazanazostanie również wrażliwość rozwiązania na charakterystyczny wymiar skali. Testy zostaną przeprowadzonedla materiału o związkach fizycznych Mindlina [47–49, 70]:W= 1 2 λε iiε jj +µε ij ε ij +a 1 η ijj η ikk +a 2 η iik η kjj +a 3 η iik η jjk +a 4 η ijk η ijk +a 5 η ijk η kji .(5.84)Powszechnie znane są testy z liniowym polem przemieszczeń (stałe pola naprężenia i odkształcenia).W przypadku kontinuum rzędu II należy również sprawdzić ES dla kwadratowej aproksymacjipola przemieszczeń. Zadanie to wymaga obliczenia takiego pola przemieszczeń, które spełnia49

ównanie równowagi (u nas jest to równanie z zerowymi siłami masowymi). Kwadratowe funkcjeprzemieszczeń można otrzymać za pomocy obliczeń symbolicznych na podstawie prac [34, 38],uogólniając prezentowane tam podejścia do kontinuum rzędu II. Do testów wybrano jedną z czterechliniowo niezależnych funkcji kwadratowych, która ma postać⎢u=⎡ ⎤⎣ −1 x 2 (λ+4µ)2 λ+6µ−21 y 2 (λ+4µ)λ+6µ+xy−21 x 2 (λ+4µ)λ+6µ−21 y 2 (λ+4µ)λ+6µ+xy⎥⎦. (5.85)Rozwiązanie sprawdzano dla nieregularnej siatki przedstawionej na rys. 5.6a. Wybrano parametrymateriałuλ=576.923,µ=384.615,l=0.5 ia1=a2=a3=a4=a5=0.5µl 2 dla spójnego układujednostek. Dla zadania o geometrii jak na rys. 5.6a i warunkach brzegowych zadanych zgodniez (5.85) energia sprężysta wynosiW=2202.99. Błąd względny rozwiązania jest rzędu1e−9%i jest błędem zaokrągleń. Dla elementu Q18G16L4 z pełnym całkowaniem, kwadraturą Gaussa3x3 oraz kwadraturą Gaussa 2x2 i stabilizacją otrzymano identyczne rozwiązanie. Dla materiałuprawie nieściśliwego rozważany ES nie wykazywał blokady objętościowej w przypadku pełnegoi zredukowanego całkowania. Należy podkreślić, że rozważany element mieszany nie pozwala naanalizę materiałów nieściśliwych.a) b)0.50.5uhρRysunek 5.6: a) Nieregularna siatka dla zadania testowego b) Deformacja i rozkładu ,xNa podstawie artykułu [39,63] przeprowadzimy test ścinania dla cienkiej warstwy z warunkiembrzegowym wyższego rzędu, pokazany na rys.5.7. Rozpatrywane zadanie mechaniki można rozważaćw jednym wymiarze, opisane przez liniowe równanie różniczkowe z warunkami brzegowymi,przy założeniu małych odkształceń.4µ d2 udy 2−3 2 µl2 d4 udy4=0, (5.86)u(−h/2)=0,u(+h/2)=u 0 , (5.87)dudy | y=−h/2=0, dudy | y=+h/2=0. (5.88)50

Rozwiązanie analityczne dla przemieszczeń jest dane wzoremu(y)=Au 0 (B+4ycosh(C) 2 −4ycosh(C)sinh(C)− √ 6cosh(C)sinh(2yC)l+ √ 6sinh(C)sinh(2yC)l),(5.89)gdzie stałe A,B i C są równeA=1/2B, (5.90)B=(2H(cosh(C)) 2 −2cosh(C)sinh(C))H+( √ 6(cosh(C)) 2 − √ 6cosh(C)sinh(C)− √ (5.91)6)l,√6HC= . (5.92)3lZadanie jest rozwiązane dla sprężystego materiału Mindlina, ze stałymi materiałowymiλ=5000,µ=5000 ia1=a2=a3=a4=a5=0.5µl 2 . Analiza zostanie przeprowadzona dla dwóchwymiarów charakterystycznych mikrostrukturyl=0.25 il=0.05. Przyjęto wysokość warstwyH=1.0. Dla siatki MES, jak na rys.5.7, zadano warunki brzegowe zgodnie z (5.87) i (5.88). Abyzapewnić stałe pola gradientów przemieszczeń w kierunku poziomym, zablokowane zostały przemieszczeniaw kierunku pionowym po prawej i lewej stronie siatki MES. Rozwiązania z pełnym iu=u 0 ,v=0,u x =0,u y =0λ=5000µ=5000a= 1 2 µl2∞Hprzemieszczenie∞u=0,v=0,u x =0,u y =0Rysunek 5.7: Cienka ścinana warstwa z warunkami brzegowymi wyższego rzęduzredukowanym całkowaniem nie różniły się od siebie w istotny sposób, otrzymano wyniki identycznew granicach błędu numerycznego. Rozwiązanie dla aproksymowanych pól przemieszczeńu h igradientów przemieszczeńH h szybko zbiega się do stałej wartości. Istnieje dobra zgodność międzygradientami pola przemieszczeń grad[u h ], a aproksymowanym polem gradientów przemieszczeńH h . Błąd względny odkształceń ścinających w środku warstwy dlal=0.25 il=0.05 wynosi odpowiednio:0.4%i0.1%, dla siatki z 100 ES. Na rysunkach 5.8 i 5.9 przedstawiono wykresy dlawielkości podstawowych, uzyskanych bezpośrednio przez rozwiązanie układu równańu h iH h , atakże wielkości wtórnychσ h iτ h , uzyskanych na podstawie gradientów pólu h iH h . Naprężeniauzyskano w punktach całkowania Gaussa, następnie przez aproksymację MWLS (ang. Moving WeightedLeast Squares) [31, 42] otrzymano wartości w węzłach siatki. Przez porównanie rysunków51

5.8 i 5.9 można łatwo zauważyć wpływ warunków brzegowych wyższego rzędu na rozwiązanie,zależnie od wymiaru charakterystycznego mikrostrukturyl. Tam, gdzie wymiar charakterystycznyciała jest porównywalny z charakterystycznym wymiarem mikrostruktury, efekt skali ma istotnywpływ na rozwiązanie. Warto dodać, że dlal=0 naprężenie ścinające jest stałe wzdłuż wysokościwarstwy, a warunki nałożone na gradient przemieszczenia nie mają wpływu na stan naprężenia.u0.030.0250.020.0150.010.005Wielkość podstawowa, przem.Analityczne rozw.N ele = 4N ele = 10N ele = 100σ300250200150100500Wielkość wtórna, naprężenie0.0450.040−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Wielkość podstawowa, gradient przem.−50−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.686Wielkość wtórna, naprężenie rzędu IIH0.0350.030.0250.020.0150.010.0050−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6yτ420−2−4−6−8−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6yRysunek 5.8: Dokładność rozwiązania w zależności od stopnia aproksymacji dla zadania zl=0.055.5 Modelowanie inkluzji i otworówMikroskopowa budowa rzeczywistych materiałów ma często złożoną geometrię. Dodatkowo zjawiskazachodzące na warstwie przejściowej, np. dekohezja, ewolucja interfejsu, mają istotny wpływna obserwowane zachowanie materiału w skali makro.W rozdziale tym przedstawione zostanie podejście pozwalające na modelowanie otworów i inkluzjio dowolnym kształcie, niezależnie od wcześniej stworzonej siatki MES. Podejście to łączymetodę zbiorów poziomujących (ang. Level Set Method) ze wzbogaconą metodą elementów skończonych(ang. Extended Finite Element Method). Będą rozważane przypadki dwuwymiarowe, alemetoda bez trudu może być zastosowana do analizy problemów trójwymiarowych.5.5.1 Metoda zbiorów poziomujacych˛Metoda zbiorów poziomujących jest numerycznym podejściem stosowanym do śledzenia poruszającegosię interfejsu. Istnieje wiele zastosowań metody zbiorów poziomujących [61, 62]. Dalej będzieużyta metoda zbiorów poziomujących we wzbogaconej metodzie elementów skończonych do52

u0.030.0250.020.015Wielkość podstawowa, przem.Analityczne rozw.N ele = 4N ele = 10N ele = 100σ350300250200150Wielkość wtórna, naprężenie0.011000.00550H0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Wielkość podstawowa, gradient przem.0.045500.04400.03530200.03100.02500.02−100.015−200.01−300.005−400−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6yτ0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Wielkość wtórna, naprężenie rzędu II−50−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Rysunek 5.9: Dokładność rozwiązania w zależności od stopnia aproksymacji dla zadania zl=0.25yreprezentacji położenia interfejsu lub otworu w dwuwymiarowej mikrostrukturze. Za pracą [68]ograniczymy się do przypadku statycznego.Metoda nie skupia się na ruchu punktów należących do interfejsu (które mogą się poruszać wzłożony sposób). Problem ewolucji interfejsu opisany jest przez paraboliczne równanie różniczkowefunkcji wielu zmiennychf:R n ×R→R.Poruszający się interfejsΓ d (t) w chwili czasutjest dany przez krzywą zbioru poziomującego,określoną za pomocą funkcjif, np. dla dwuwymiarowego problemu mamy:Γ d (t)={(x 1 ,x 2 )∈R 2 :f(x 1 ,x 2 ,t)=0}. (5.93)Dla przykładu, gdy funkcja zbioru poziomującego będzie dana wzoremf(x 1 ,x 2 ,t)=x 2 1 +x2 2 −t,interfejsΓwchwilitjest okręgiem o środku(0,0) i promieniu √ t.Ewolucja interfejsu jest opisana przez wspomniane równanie różniczkowe funkcji zbiorów poziomującychf.Równanie takie dane jest wzorem, por. [62]∂f+V(x,t)grad[f(x]=0, (5.94)∂tgdzieV(x,t) jest prędkością interfejsu w punkciex∈Γ d (t) w kierunku zewnętrznej, normalnej dobrzegu interfejsu.Jedną z zalet metody jest to, że funkcjef można policzyć w węzłach siatki MES, dla określonejchwili czasut n . Następnie numerycznie całkując po czasie, obliczone zostają wartości funkcjifw następnej chwili czasowejt n+1 . Podczas analizy numerycznej analityczna postać funkcjif jestnieznana.Na koniec tego podrozdziału, na rys. 5.10, przedstawione są wartości funkcji zbioru poziomującegoi krzywa zbioru poziomującego między matrycą i inkluzją dla regularnej siatki MES.53

Rysunek 5.10: Siatka MES z interfejsem i wykres wartość funkcji zbiorów poziomujących dla elipsy5.5.2 Wzbogacanie aproksymacji elementu skończonegoW prezentowanej metodzie, znanej pod skróconą nazwą XFEM, przedstawionej np. w pracach [8,16, 50, 72, 74, 77], przez odpowiednie wzbogacenie aproksymacji pola przemieszczeń elementuskończonego, uzyskujemy możliwość modelowania dowolnej nieciągłości pola przemieszczeń.Metoda podziału jednościPodziałem jedności będziemy nazywać zbiór dodatnich funkcjiψ i klasy ciągłości co najmniejC 0 ,które przyjmują niezerowe wartości na podobszarzeΩ i i dla każdego punktu obszaruΩspełniająrównanien∑ψ i (x)=1wx∈Ω, (5.95)igdzieΩ i pokrywają obszarΩ, innymi słowy:Ω= ⋃ iΩ i , por. [73]. Jeśliψ jest podziałem jedności,pole przemieszczeńu h możemy interpolować przez skończoną liczbę wielkości węzłowych:u h =n∑iψ i⎛⎝a i +m∑jb ij γ j⎞⎠, (5.96)gdzieaibsą wektorami wielkości węzłowych,γ j jest funkcją bazową wzbogaconego pola aproksymacyjnegoskojarzoną z danym węzłem. Warto zwrócić uwagę, że takie podejście pozwala nadowolne wzbogacenie aproksymacji o dodatkowe funkcje dla każdego z węzłów z osobna. Dodatkowomożemy wzbogacić aproksymację dowolnego węzła podczas obliczeń.Równanie (5.95) można traktować jako łącznik między metodami bezsiatkowymi, a metodą elementówskończonych [74]. Różnica między wymienionymi metodami, w świetle metody podziałujedności, wynika z odpowiedniego doboru funkcjiψ. W przypadku MES, funkcje kształtu są podziałemjedności, ponieważ mamyn∑N u,i (x)=1. (5.97)W standardowej MES nie używamy funkcji wzbogacającychγ.i54

Możemy pokazać, że funkcję wzbogacającaγ można zastosować w MES np. do modelowaniainterfejsu. Teraz przedstawimy interpolacje pola przemieszczeńu h ze wzbogaceniem w postaciwygodnej dla MES, a więc mamyu h =N u a+N u (N γ b), (5.98)gdzieN u jest wielomianową macierzą funkcji kształtu,azawiera regularne stopnie,N γ jest macierzązawierającą bazę funkcji wzbogacających aproksymację, abjest wektorem zawierającymwartości wzbogacających stopni swobody.Baza funkcji wzbogacających aproksymacjeN u N γ musi być liniowo niezależna od bazy funkcjikształtuN u , inaczej pole przemieszczeń nie będzie jednoznacznie wyznaczone przez wartościwęzłoweaib.Wzbogacanie węzłówWęzły, które zostaną wzbogacone, zostają wyznaczone na podstawie wartości węzłowych funkcjizbiorów poziomującychf. Wartości funkcjif są obliczone dla wszystkich węzłów geometrycznych(do analizy MES używane są elementy subparametryczne, których geometryczne funkcje kształtusą linowe) leżących w rogach elementu. Następnie wyszukiwane są wszystkie krawędzie, dla którychwartości funkcjif w węzłach geometrycznych są różnych znaków. Na tej podstawie możnawyznaczyć punkt leżący na krawędzi elementu, który należy do interfejsu, rys. 5.11.Funkcje, o które wzbogacona jest aproksymacja elementu, są silnie nieliniowe (nieciągłe lubich gradienty są nieciągłe) wzdłuż interfejsu. Funkcja wzbogacająca dla elementów, w których niema interfejsu, w przypadku modelowania otworu będzie mieścić się w przestrzeni aproksymacyjnejstandardowego MES. Z tej przyczyny, by uzyskać jednoznaczne rozwiązanie, wzbogacane są tylkowęzły elementów, przez które przechodzi interfejs.Jak widzimy w równaniu (5.98), macierz bazy funkcji wzbogacającychN γ mnożona jest przezmacierz funkcji kształtuN u . Dlatego, gdy funkcje wzbogacające są dodane do wybranego węzła,ich wpływ będzie ograniczony do nośnika tego węzła, innymi słowy z podobszaru złożonego doelementów, do których należy węzeł. Na rys. 5.11 przedstawione jest, jak wzbogacono węzły dladwóch subiektywnie wybranych siatek.Interfejs dzieli element na dwa podobszaryΩ + iΩ − , gdy jedno z pól tych podobszarów jestrówne zero lub bliskie zeru rozwiązanie jest niejednoznaczne. Z tej przyczyny wzbogacone zostająelementy, dla których spełniona jest nierównośćmin[Ω + ,Ω − ]Ω e >tol, (5.99)gdzieΩ e jest polem elementu,Ω + iΩ − polami powierzchni po stronie odpowiednio ujemnych i dodatnichwartości funkcji poziomujących. Wartość parametrutol powinna być dobrana odpowiedniodo problemu i może być tym mniejsza, im większa jest precyzja solwera.Numeryczne całkowanieW metodzie XFEM używamy niestandardowych funkcji kształtu, które wymagają odpowiedniegoschematu całkowania. Niewłaściwy schemat całkowania może doprowadzić do liniowo zależnegoukładu równań lub otrzymane wyniki nie będą miarodajne. Z tej przyczyny według prac [8, 50, 68]jest stosowany schemat całkowania dla nieciągłych funkcji kształtu lub posiadających nieciągłąpochodną.PodobszaryΩ − iΩ + każdego z elementów, przez który przechodzi interfejs, są dzielone na trójkąty,tak jak na rys. 5.12. Następnie każdy z trójkątów, zależnie od wybranego typu elementu CTS,55

Zwykłe stopnie swobodyWzbogacone stopnie swobodyRysunek 5.11: Zwykłe i wzbogacone węzły elementów Q4 na regularnej siatce i elementów LST(ang. Linear Strain Triangle) na nieregularnej siatceLST lub Q4 i dodatkowych funkcji wzbogacających, ma wprowadzony odpowiedni rząd kwadraturyGaussa, np. jednopunktową, trójpunktową itd.Rysunek 5.12: Schemat całkowania dla elementów, dla których wzbogacona została aproksymacja5.5.3 Równania i funkcje wzbogacajace ˛ dla otworówModelowanie otworów w XFEM jest realizowane przez wzbogacenie aproksymacji o funkcję:γ(x)≡H d (x)={1, jeślif(x)00, jeślif(x)

Na brzeguΓ d naprężeniowy warunek równowagi jest spełniony w sensie metody Galerkina:∑∫eΩ eBT uσdΓ−F ext =0. (5.101)Warunek ten obowiązuje, gdy w wektorze prawych stron zostaną uwzględnione jedynie przyłożonesiły zewnętrzne.B u jest macierzą gradientów funkcji kształtu daną wzorem:B u =L u N u +L u (N u H d ), (5.102)gdzieL u jest klasycznym operatorem macierzowym gradientów dla przemieszczeń.Po numerycznym całkowaniu słabej formy (5.8), a następnie agregacji elementowych macierzysztywności i wektorów prawych stron, stopnie swobody leżące wewnątrz otworu, które nie należądo elementów o wzbogaconej aproksymacji, eliminowane są z układu równań.5.5.4 Równania i funkcje wzbogacajace ˛ dla inkluzjiModelowanie inkluzji w XFEM jest realizowane przez wzbogacenie aproksymacji o funkcję:γ(x)≡|f(u)|, (5.103)gdzief jest funkcją zbiorów poziomujących. Warto podkreślić, że w ogólnym przypadku analitycznapostać funkcjif nie jest znana. Z tej przyczyny funkcjaf jest aproksymowana na podstawiewartości węzłowych. Po wzbogaceniu, aproksymująca funkcjau h ma nieciągłość gradientów nabrzegu otworuΓ d . Warunek ciągłości przemieszczeń zostaje przy takiej aproksymacji spełniony wsposób ścisły, zgodnie z sensem przemieszczeniowego sformułowania MES.Na brzeguΓ d , naprężeniowy warunek równowagi, spełniony zostaje w sensie metody Galerkina:∑∫eΩ eBT u σdΓ−F ext=0. (5.104)Warunek ten jest spełniony, gdy w wektorze prawych stron zostaną uwzględnione jedynie przyłożonesiły zewnętrzne.B u jest macierzą gradientów funkcji kształtu odkształcenia określoną wzoremB u =L u N u +L u (N u |f|), (5.105)gdzieL u jest klasycznym operatorem macierzowym gradientów dla przemieszczeń.5.5.5 Weryfikacja numerycznaPrzedstawione są dwa rodzaje testów numerycznych. Pierwszy rodzaj, zweryfikuje poprawność metodyi jej implementację, a drugi test przedstawi zastosowanie rozważanej metody w modelowaniuRVE.Na początku rozważymy płaską tarczę w stanie czystego rozciągania. Tarcza jest wykonana zdwóch liniowo sprężystych, jednorodnych i izotropowych materiałów, por. rys. 5.13. Granica międzymateriałami jest odcinkiem nachylonym pod kątem wyznaczonym według wzorutg 2 α= Ẽ−EẼν−E˜ν , (5.106)por. [45]. Dla ukośnej granicy materiałowej, której kąt nachylenia do osi poziomej wyznaczonowedług wzoru (5.106), stany naprężeń są jednorodne.57

x 2Rysunek 5.13: Tarcza z ukośną granicą materiałową [45]x 1E,ναẼ,˜νDla dwóch materiałów Hooke’a, o subiektywnie dobranych parametrach,E=10 5 ,ν=0.4,Ẽ=10 3 i˜ν=0.2, obliczono kąt ukośnej granicy materiałowej według wzoru (5.106). Następnie odpowiedniewęzły regularnych siatek zostały wzbogacone o funkcję posiadającą nieciągłe pochodnena interfejsie. Po wzbogaceniu aproksymacji, przy użyciu metody XFEM, rozwiązanie ścisłe mieścisię w przestrzeni aproksymacyjnej. Dlatego rozwiązanie numeryczne zadania traczy, wykonanejz dwóch materiałów Hooke’a i odpowiednio wyznaczonej ukośnej granicy, odtwarza rozwiązanieścisłe. Deformacja tarczy, dla arbitralnie wybranych siatek MES przedstawiona jest na rys. 5.14.Rysunek 5.14: Deformacja tarczy z nachyloną granicą ukośnąNastępny przykład odnosi się do RVE w płaskim stanie odkształcenia, z otworem o promieniuR=0.3 umieszczonym w jego środku geometrycznym. Mikrostruktura wykonana jest z materiałuo związkach fizycznych Hooke’a. Moduły Younga i Poissona wynoszą odpowiednio:E=10 3 iν=0.3, przyjęto spójny układ jednostek. RVE poddajemy deformacji, zgodnej w średni sposób zmakroodkształceniemε={10 −3 ,0,0}, a następnie obliczamy makronaprężenieσ, stosując periodycznewarunki brzegowe. Zadanie rozwiązano dla różnych typów elementów tzn. Q4, CST i LST.Siatka elementów LST i jej deformacja, dla podziału brzegu naN=40 części, przedstawiona jest58

na rys. 5.15. Wykres zależności błędu bezwzględnego naprężenieσ x od liczby podziałów brzegu naN części przedstawiony jest na rys. 5.16. Rozwiązanie, do którego odniesiono błąd, otrzymano napodstawie rozwiązania dla siatki posiadającej 5639 stopni swobody, przy aproksymacji elementamiLST i klasycznej dyskretyzacji geometrii. Wartości liczbowe są przedstawione w tab. 5.4. Wartośćmakronaprężenia zbiega się do rozwiązania dokładnego oraz rząd zbieżności dla XFEM, jest takisam jak w przypadku klasycznej MES.Tabela 5.4: Zbieżność rozwiązania dla RVE z otworem (zobacz rys. 5.16)Naprężenieσ x (błąd σx−σ∗ xσ ∗ 100%)xN CST Q4 LST20 0.6823 (2.5550%) 0.6810 (2.4219%) 0.6631 (0.6291%)30 0.6679 (1.1085%) 0.6659 (0.9099%) 0.6587 (0.1943%)40 0.6627 (0.5885%) 0.6615 (0.4749%) 0.6579 (0.1121%)50 0.6611 (0.4329%) 0.6595 (0.2686%) 0.6577 (0.0926%)Rysunek 5.15: Siatka MES i deformacja RVE z otworem wywołana makroodkształceniemε={1,0,0}Na końcu rozważamy RVE w płaskim stanie odkształcenia, z centralnie umieszczoną, okrągłąinkluzją. Materiał matrycy i inkluzji opisany został równaniem Hooke’a o parametrachE=10 3 ,ν=25 dla matrycy iẼ=105 ,˜ν=0.45 dla inkluzji. Mikrostrukturę poddano makroodkształceniuε={10 −3 ,0,0}, które zostało wymuszone za pomocą periodycznych warunków brzegowych. Dodyskretyzacji użyto regularnej siatki złożonej z1600 elementów Q4. Używając metody zbiorówpoziomujących, w XFEM symulowano ewolucję inkluzji, której promieńRzmieniał się od wartości0.0 do0.45. Na wykresie 5.17 przedstawiono zależnośćσ x odR. Rys. 5.18 obrazuje ewolucjęinterfejsu inkluzji i deformacje RVE. Test ten ma na celu dyskusję jednego z zastosowań omawianejmetody w numerycznej homogenizacji.Mimo że w rozważanych przykładach analizowane były okrągłe otwory lub inkluzje nie mażadnych przeszkód, aby interfejs miał dowolny kształt. Przykład praktycznego zastosowania XFEMdo modelowania materiałów porowatych przedstawiony jest w punkcie 7.2.59

−4CSTQ4LST)log( σx−σ∗ xσ ∗ x−5−6−72.9 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9log(N)Rysunek 5.16: Zbieżność makronaprężeniaσ x dla RVE z otworem o średnicyR=0.3l do wartościdokładnej, gdzieσ x jest makroskopowym naprężeniem iN liczbą elementów w wierszu/kolumnie(zobacz rys. 5.15)Tabela 5.5: Zależność makronaprężeniaσ x od promieniaRinkluzjiR σ x0.45 5.2120.40 3.3520.35 2.4790.30 1.9890.25 1.6820.20 1.4800.15 1.3460.10 1.2610.00 1.20060

54σx3210 0.1 0.2 0.3 0.4RRysunek 5.17: Zależność makronaprężeniaσ x od promieniaRinkluzji, por. tab. 5.5Rysunek 5.18: Deformacja RVE dla makroodkształceniaε={10 −3 ,0,0} i periodycznych warunkówbrzegowych61

Rozdział 6Warunki brzegowe dla modelunumerycznego reprezentatywnego elementuobjętościowegoW tym rozdziale jest omawiana metoda narzucania warunków brzegowych dla RVE. Prezentowanepodejście nawiązuje do znanych metod z pozycji [46] i [39–41]. Dla jasności wywodu ograniczymysię do przypadku liniowej teorii sprężystości. Rozszerzenie do przypadku nieliniowego jest możliwei mieści się w ramach metody.Celem tego rozdziału jest przedstawienie metody obliczenia makroskopowego naprężeniaσ istycznej macierzy sztywnościC 1 , dla przypadku kontinuum rzędu I, w skali makro. Przez analogie,dla ośrodka rzędu II, będzie obliczane naprężenieσ, naprężenie wyższego rzęduτ i stycznemateriałowe macierze sztywnościC 1 ,C 2 ,C 3 iC 4 .6.1 Wymuszanie warunków brzegowychProblem brzegowy mechaniki, formułowany dla danego RVE, po dyskretyzacji, możemy rozwiązaćprzez minimalizacje funkcji z warunkami ograniczającymi:min Q= 1 u 2 uT Ku−u T Fz warunkami Cu−g=0,(6.1)gdzieKjest macierzą symetryczną i dodatnio określoną,uwektorem niewiadomych. Problem (6.1)jest poprawnie postawiony, gdy warunki brzegowe nie są zbyt ograniczające, tzn. istnieje co najmniejjeden wektoru, który spełnia równanieCu=g oraz wiersze macierzyCsą od siebie liniowoniezależne.Problem brzegowy możemy rozwiązać stosując metodę Lagrange’a:L= 1 2 uT Ku−u T F+λ T (Cu−g), (6.2)gdzieλjest mnożnikiem Lagrange’a. Równania Eulera dla punktu stacjonarnego mają wtedy postaćKu+C T λ=F,Cu=g.(6.3)62

Układ równań (6.3) można rozwiązać, ale dla metody CH mamy dużą złożoność obliczeniową ipodejście oparte na mnożnikach Lagrange’a jest zbyt czasochłonne. Z tej przyczyny podamy alternatywnepodejście w oparciu o prace [1, 66].Mnożąc równanie (6.3) lewostronnie przezCirozwiązując je ze względu naλmamy równanieλ=(CC T ) −1 C(F−Ku). (6.4)Wstawiając równanie naλdo pierwszego równania w (6.3) i wykorzystując drugie równanie w(6.2) otrzymujemyKu=F−KC T (CC T ) −1 g−C T (CC T ) −1 CF. (6.5)Warto zwrócić uwagę, że równanie (6.5) ma niejednoznaczne rozwiązanie, gdyż macierzKjestosobliwa (istnieje możliwość ruchu sztywnego).Definiujemy podprzestrzeńSwprzestrzeni przemieszczeń węzłowych, której wektory bazowesą dane przez wiersze macierzyC. Macierz rzutującaPna podprzestrzeń S jest określona wzoremP=C T (CC T ) −1 C. (6.6)Rzut dowolnego punktuFna podprzestrzeń S jest równyPF, a ponownie rzutowanie dla punktuP(PF) nie przesuwa tego punktu. Łatwo możemy sprawdzić, żePma właściwościP T =P iP 2 =P.Definiujemy podprzestrzeń T, w której każdy wektor jest ortogonalny do wektorów w podprzestrzeniS. Macierz rzutująca na podprzestrzeń T dana jest wzoremQ=I−C T (CC T ) −1 C. (6.7)Można sprawdzić, żeQ T =Q iQ 2 =Q. Dodatkowo, ponieważ podprzestrzeń S jest ortogonalnado T, mamyCQ=0 iQP=0.Dla znanych macierzy rzutującychPiQ, równanie (6.5) dwukrotnie mnożymy przezQipoprzekształceniach otrzymujemyQ T KQu=Q T (F−KRg), (6.8)gdzie:R=C T (CC T ) −1 . Zauważamy, że prawa i lewa strona należy do podprzestrzeni T. Wektorynależące do tej podprzestrzeni są liniowe, niezależne od dowolnego wektora należącego do podprzestrzeniS. Na tej podstawie możemy pomnożyć drugie równanie w (6.3) przezCidodać do(6.8), co daje:˜Ku=˜F, (6.9)gdzie występuje macierz˜K i wektor˜F:˜K=C T C+Q T KQ, (6.10)˜F=C T g+Q T (F−KRg). (6.11)Dowód na to, że rozwiązanie układu równań (6.9) jest równoważne rozwiązaniu problemu (6.1)można znaleźć w [1, 66]. Dla kompletności jest podany wzór na wartość wektora mnożników Lagrange’a:λ=R T (F−Ku). (6.12)63

6.1.1 Sekwencyjne zadawanie warunków brzegowychDla wygody będziemy posługiwać się trzema grupami równań ograniczających. Pierwsza grupablokuje ruch sztywny, druga wymusza deformacje RVE zgodną z makrookdkształceniem rzędu I, atrzecia grupa wymusza deformację RVE zgodną z makroodkształceniem rzędu II. Kolejno wyrazimyje przez równianiaC T u=0, (6.13)C ε u=Dε=g ε , (6.14)C η u=Eη=g η . (6.15)Dla kolejności zadawania ograniczeń T,εiη definiowane są następujące macierze:˜K η =C T ηC η +Q T ηKQ η ,˜F η =C T ηg η −Q T ηKR η g η , (6.16)˜K η,ε =C T εC ε +Q T ε˜K η Q ε ,˜F η,ε =C T εg ε −Q T ε(˜F η −˜K η R ε g ε ), (6.17)W ten sposób otrzymujemy układ równań:˜K η,ε,T =C T T C T+Q T T˜K η,ε Q T ,˜F η,ε,T =−Q T T˜F η,ε . (6.18)˜K η,ε,T u=˜F η,ε,T . (6.19)Jest możliwa taka implementacja MES, dla której warunki ograniczające są narzucane podczasagregacji macierzy sztywności i wektora prawych stron. Wystarczająco efektywne i proste do zastosowaniajest również użycie macierzy rzadkich.Dodatkowo, stosunek największej do najmniejszej wartości własnej układu (6.19) jest co najmniejrówny stosunkowi największej wartości własnej do najmniejszej niezerowej wartości własnejmacierzyK[1].6.2 Odebranie możliwości wystapienia ˛ ruchu sztywnegoDla naprężeniowych warunków brzegowych i periodycznych warunków brzegowych należy wyeliminowaćruch sztywny RVE. Z tego powodu prawa strona w równaniu (6.13) przyjmiemy w postaci∫C T = H TN T u N udΓ, (6.20)Γgdzie macierzN u jest macierzą funkcji kształtu. MacierzH T jest określona wzoremH T =⎡⎢⎣⎤1 0 1 0 ... 1 0⎥0 1 0 1 ... 0 1 ⎦, (6.21)y 1 −x 1 y 2 −x 2 ... y n −x ngdzienjest liczbą stopni swobody RVE,[x i ,y i ] jest współrzędnąi-tego stopnia swobody. Zakładamy,że parzyste stopnie swobody związane są z przemieszczeniem poziomym, nieparzyste z przemieszczeniempionowym. Wektorgprawej strony w (6.13) ma postaćg={0,0,0}. (6.22)64

6.3 Przemieszczeniowe warunki brzegowePrzemieszczeniowe warunki brzegowe są najprostszym przypadkiem, dla którego nie jest koniecznablokada ruchu sztywnego. Na podstawie równań (3.22) i (3.54), warunki tego typu piszemy wpostaci macierzowejCu=Dε+Eε=g, (6.23)gdzieCokreślona jest wzoremMacierzeDiEmają o postaćMacierzeXiZokreślone są wzorami∫C= H uN T u N udΓ. (6.24)Γ∫D= H uN T uXdΓ, (6.25)∫ΓE= H uN T uZdΓ. (6.26)ΓX= 1 [ ]2x 0 y, (6.27)2 0 2y xZ= 1 [2x20 2y 2 ]0 xy 04 0 2y 2 0 2x 2 . (6.28)0 xyWiersze iloczynu macierzyH u N T u interpretowane są jako liniowo niezależne funkcje dopuszczalnychrozkładów sił brzegowych. Kolumny macierzyH u interpretujemy, jako wartości siły węzłowych,aN u jest macierzą funkcji interpolujących. Równanie (6.24) wymusza deformacje RVE,zgodną z zadanymi miarami makroodkształceń oraz zapewnia, że praca dopuszczalnych rozkładówsił brzegowych na mikrofluktuacji pola przemieszczeń jest równa zero. Dla przemieszczeniowychwarunków brzegowych każdy rozkład sił brzegowych jest dopuszczalny. Zatem, jedną z możliwychpostaci macierzyH u jest macierz jednostkowa o wymiarze (nxn).6.4 Naprężeniowe warunki brzegoweDo narzucania naprężeniowych warunków brzegowych zastosowane jest podejście sekwencyjne.Stan przemieszczenia, dla tego typu warunków brzegowych, jest niejednoznaczny względem stanunaprężenia. Z tego powodu musi być odebrana możliwość ruchu sztywnego. Dla naprężeniowychwarunków brzegowych żądamy, by praca mikrofluktuacji pola przemieszczeń na dopuszczalnychsiłach brzegowych była równa zeru. W przypadku kontinuum rzędu I statycznie dopuszczalne siłybrzegowe mają rozkład stały na brzeguΓ, por. rys. 6.1. Dla kontinuum rzędu II siły brzegowe mająrozkład, jak na rys. 6.2. Warto podkreślić, że postaci naprężenia na rys. 6.1 i rys. 6.2 są ortogonalnewzględem siebie, gdyż praca sił brzegowych rzędu I na deformacji rzędu II jest równa zeru i naodwrót, praca sił brzegowych rzędu II na deformacji rzędu I jest równa zeru.6.4.1 Kontinuum rzędu IDla przypadku warunków brzegowych rzędu I piszemy równanie (3.26) w postaci macierzowej:C ε u=Dε=g ε , (6.29)65

gdzie macierzC ε określana jest wzorem∫C ε = H εN T u N udΓ, (6.30)ΓWektorg ε prawych stron obliczamy za pomocą macierzyD:∫D= H εN T uXdΓ. (6.31)ΓDla naprężeniowych warunków brzegowych dopuszczalne są stałe stałe rozkłady sił brzegowych000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111Rysunek 6.1: Trzy liniowo niezależne rozkłady sił brzegowychna na brzegu RVE, zob. rys. 6.1. Zatem, macierzH ε ma taką postać, że iloczyn macierzyH ε N T u dladeformacji RVE rzędu I ma wymiar (3x2), gdzie poszczególne wiersze związane są z3funkcjamirozkładu sił brzegowych na rys. 6.1. Należy zwrócić uwagę, że dla naprężeniowych warunków brzegowychtwierdzenie Hilla-Mandla jest spełnione oraz, że deformacja RVE jest zgodna z zadanymmakroodkształceniem I rzędu.6.4.2 Kontinuum rzędu IIDla naprężeniowych warunków brzegowych możemy podać jedynie cztery (poza pokazanymi narysunku 6.1) równania brzegowe, ponieważ istnieje jedynie tyle liniowo niezależnych postaci deformacjispełniających równania równowagi. Konsekwencją tego jest fakt, że RVE deformuje sięzgodnie z zadanym makroodkształceniem rzędu II wyłącznie wtedy, gdy makroodkształcenie tojest statycznie dopuszczalne. Dla przypadku warunków ograniczających rzędu II równanie (3.58)można napisać w postaci macierzowej:gdzie macierzC η jest określona wzoremC η u=E η η=g η , (6.32)∫C η = H ηN T uN u dΓ. (6.33)ΓMacierzEpo prawej stronie równania (6.32) ma postać:∫E η = H ηN T uZdΓ. (6.34)ΓAby uwzględniona została deformacja RVE, która jest zgodna z makroodkształceniem rzędu II,dodatkowe formy rozkładów sił brzegowych są nałożone, zob. rys. 6.2. Zatem kolumny macierzyH η zawierają wartości węzłowe rozkładów z rys. 6.2. MacierzH η ma wymiar (4xn).66

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Rysunek 6.2: Liniowo niezależne rozkłady sił brzegowych dla warunków brzegowych rzędu II67

6.5 Periodyczne warunki brzegoweNałożenie wyłącznie warunków periodycznych oznacza, że RVE jest deformowane zgodnie z zadanymmakro odkształceniemε. Część symetryczna tensora makroodkształcenia wyższego rzęduηnie jest uwzględniona. Aby deformacja RVE była zgodna z zadanym makroodkształceniem rzęduII, są zadane dodatkowe warunki brzegowe. Podobnie do tego, co zostało pokazane w podrozdzialeopisującym wymuszanie naprężeniowych warunków brzegowych, w przypadku periodycznychwarunków brzegowych zastosujemy podejście sekwencyjne z podrozdziału 6.1.1. Stosując podejściesekwencyjne wymuszania warunków brzegowych, oddzielnie piszemy warunki brzegowe dlakontinuum rzędu I i II.6.5.1 Kontinuum rzędu IRównanie dla periodycznych warunków brzegowych ma postać:C ε u=Dε=g ε , (6.35)gdzie macierzC ε jest określona wzorem∫C ε = H pΓ IN T uN u dΓ, (6.36)MacierzDjest dana wzorem ∫D= H pΓ IN T uXdΓ. (6.37)MacierzH pI dla periodycznych warunków jest dobrana tak, by spełnione zostało równanie (3.30).Zawiera wszystkie liniowo niezależne wektory wartości sił węzłowych, które prowadzą do antyperiodycznegorozkładu sił brzegowych.6.5.2 Kontinuum rzędu IIWarunki brzegowe rzędu II związane z makroodkształceniemη potraktujemy podobnie, jak w podrozdziale6.4.2, tzn. spełnimy je w sposób słaby. Nakładając periodyczne warunki brzegowe wymuszonazostaje deformacja związana z antysymetryczną częścią tensora drugich gradientów przemieszczeńη.Aby, w sposób całkowy, RVE deformowało się zgodnie z zadanym makroskopowymodkształceniem, nałożymy warunki brzegowe w postacigdzie macierzC η dana jest wzoremC η u=Eη=g η , (6.38)∫C η = H pΓ IIN T uN u dΓ. (6.39)MacierzEpo prawej stronie równania (6.32) zapiszemy w postaci∫E= H pΓ IIN T uZdΓ. (6.40)Dodatkowe formy rozkładów sił brzegowych są uwzględnione, aby nałożona została deformacjaRVE, która jest zgodna z symetryczną częścią makroodkształcenia rzędu II, zob. rys. 6.3. Zatem,kolumny macierzyH pII zawierają wartości węzłowe rozkładów z rys. 6.2. MacierzH pII ma wymiar(2xn).68

000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111Rysunek 6.3: Liniowo niezależne rozkłady sił brzegowych dla warunków brzegowych rzędu II6.6 Obliczanie makroskopowych wektorów naprężeńNa podstawie wzorów (3.16) i (3.44) naprężenia możemy wyrazić przez siły brzegowe wynikającez dyskretyzacji sił węzłowych na brzegu RVE. Na podstawie zasady prac wirtualnych możemywykazać równość pracy sił węzłowych na przemieszczeniach i pracy mnożników Lagrange’a nauogólnionych przemieszczeniach, a więc mamyu T t=g T λ. (6.41)Uogólnione przemieszczenia wyrazimy przez makroodkształcenia, co dajeu T t=(Dε+Eη) T λ, (6.42)gdzieλjest obliczane ze wzoru (6.12). Na podstawie powyższej równości i wykorzystując twierdzeniaHilla-Mandela dla numerycznego modelu RVE, makronaprężenia rzędu I są wyrażone wzoremNatomiast makronaprężenia rzędu II są określone wzoremσ= 1 V DT λ. (6.43)τ= 1 V ET λ. (6.44)6.7 Obliczanie makroskopowych stycznych macierzy sztywnościZwiązki fizyczne między wielkościami makroskopowymi w metodzie CH nie są znane w sposóbjawny. MES, zastosowana do rozwiązania zadania w skali makro, wymaga określenia stycznychmateriałowych macierzy sztywności. Zlinearyzowane związki między przyrostami makroodkształceń,a przyrostami makronaprężeń mają postać∆σ=C 1 ∆ε+C 2 ∆η, (6.45)∆τ=C 3 ∆ε+C 4 ∆η, (6.46)gdzie styczne materiałowe macierze sztywności zostaną wyznaczone na podstawie globalnych macierzysztywności dla RVE znajdującego się w równowadze.69

Styczne materiałowe macierze sztywności wyznaczymy rozwiązując,3+6 liniowych równańalgebraicznych. MacierzC 1 , łącząca przyrosty makroodkształcenia∆ε z przyrostem makronaprężenia∆σ,ma wymiar 3x3:C 1 =[δσ 1 ,δσ 2 ,δσ 3 ]. (6.47)Naprężeniaδσ i ,i=1,2,3 obliczymy, rozwiązując 3 liniowe układy równań dla RVE, którego warunkibrzegowe są określane zgodnie z odkształceniamiδσ 1 : dlaδσ 2 : dlaδσ 3 : dlaδε=[100], δη=[000000],δε=[010], δη=[000000],δε=[001], δη=[000000].(6.48)Związek między przyrostem makroodkształcenia∆η i przyrostem makronaprężenia∆σ jest uwzględnionyprzez macierz materiałowąC 2 o wymiarze 3x6:C 2 =[δσ 1 ,δσ 2 ,δσ 3 ,δσ 4 ,δσ 5 ,δσ 6 ], (6.49)gdzie naprężeniaδσ i ,i=1..6 dlaC 2 obliczamy dla deformacji RVE zgodnej z odkształceniamiδσ 1 : dlaδσ 2 : dlaδσ 3 : dlaδσ 4 : dlaδσ 5 : dlaδσ 3 : dlaδε=[000], δη=[100000],δε=[000], δη=[010000],δε=[000], δη=[001000],δε=[000], δη=[000100],δε=[000], δη=[000010],δε=[000], δη=[000001].(6.50)Macierz, zawierającą związek między przyrostem makroodkształcenia∆ε i przyrostem makronaprężenia∆τ, jest wyrażona przez macierz materiałowąC 3 o wymiarze 6x3:C 3 =[δτ 1 ,δτ 2 ,δτ 3 ], (6.51)gdzie naprężeniaδτ i ,i=1,2,3 dlaC 3 obliczamy dla deformacji RVE zgodnej z odkształceniamiδτ 1 : dlaδτ 2 : dlaδτ 3 : dlaδε=[100], δη=[000000],δε=[010], δη=[000000],δε=[001], δη=[000000].(6.52)Ostatnia macierzC 4 zawiera zależność między przyrostem makroodkształcenia∆η, a przyrostemmakronaprężenia∆τ , która ma wymiar 6x6:C 4 =[δτ 1 ,δτ 2 ,δτ 3 ,δτ 4 ,δτ 5 ,δτ 6 ], (6.53)gdzie makronaprężeniaδτ i ,i=1..6 są obliczane dla deformacji RVE zgodnej z zadanymi odkształceniamiδτ 1 : dla δε=[000], δη=[100000],δτ 2 : dla δε=[000], δη=[010000],δτ 3 : dla δε=[000], δη=[001000],δτ 4 : dla δε=[000], δη=[000100],(6.54)δτ 5 : dla δε=[000], δη=[000010],δτ 3 : dla δε=[000], δη=[000001].Dla kontinuum rzędu I obliczamy wyłącznie macierzC 1 , a dla materiału jednorodnego macierzeC 2 iC 3 są zerowe.70

6.8 Analiza szczególnego przypadkuW tym podrozdziale pokażemy postaci deformacji RVE, wywołane makroskopowymi odkształceniamirzędu I i II. Rozważając szczególny przypadek materiału jednorodnego, są wyprowadzonemakroskopowe styczne macierze sztywnościC 1 iC 4 . Na tej podstawie zostanie pokazane, żesztywność jest funkcją rozmiaru charakterystycznego RVE dla kontinuum rzędu II w przeciwieństwiedo kontinuum klasycznego.Na początku jest analizowany stan naprężenia dla niejednorodnej mikrostruktury, z nieregularnymrozkładem okrągłych otworów o stałym promieniu. Dla 16-stu otworów i subiektywnie wybranegostanu naprężeniaσ={1,0,0} iτ={0,0,0,0,0} obliczono makroskopowe materiałowemacierze sztywnościC 1 ,C 2 ,C 3 iC 4 , a następnie jest rozwiązany układ równań (6.45) dla znanychmakronaprężeń i nieznanych makroodkształceń. Dla obliczonych odkształceń deformacja, siłybrzegowe i rozkład mikroskopowej składowej naprężeniaσ x są przedstawione na rys. 6.4. Do obliczeńwybrano materiał Hooke’a. Na rys. 6.4 można zauważyć jakościowe różnice w rozkładach siłbrzegowych i przemieszczeniach dla standardowych warunków brzegowych, tzn. naprężeniowych,periodycznych i przemieszczeniowych.Podobnie można pokazać stan naprężenia dla niezerowego tensora rzędu II. Dla przykładupokażemy przypadek, gdyσ={0,0,0} iτ={1,0,−1,0,0}. Dla obliczonych makroskopowychstycznych macierzy sztywności, jak poprzednio rozwiązano układ równań (6.45), dla każdego typuwarunków brzegowych z osobna. Następnie wymuszono deformacje RVE, zgodnie z obliczonymimakroodkształceniami. Na rys. 6.5 przedstawiono deformacje, siły brzegowe i rozkład drugiegoniezmiennika dewiatora mikronaprężeńJ 2 . Należy zwrócić uwagę, że symetryczna część tensoraodkształceniaη dla periodycznych warunków brzegowych wymuszona jest w sposób słaby (całkowy)przez dodanie dodatkowych równań, por. podpunkt 6.5.2. Dodanie dodatkowych równań dowarunków periodyczności przemieszczeń powoduje, że dla drugiego wiersza na rys. 6.5 przemieszczeniana brzegu RVE są lokalnie periodyczne.Teraz zajmiemy się analizą szczególnego przypadku materiału mikroskopowo jednorodnego. Napoczątku rozważymy deformację zgodną z odkształceniemεistan naprężania zgodny z naprężeniemσ.Na rys. 6.6 przedstawiono przemieszczenia i rozkład sił brzegowych dla dwóch z trzechpodstawowych postaci naprężenia. Analizując równie (3.8)u(X,x)=u 0 (X)+ε(X)·x+r(X,x)należy podkreślić, że wartość mikrofluktuacjir(X,x) jest tożsamościowo równa zero dla materiałujednorodnego. Dodatkowo, każde pole przemieszczeńu(X,x), którego składowe dane są funkcjąliniową, tożsamościowo spełniaja równanie równowagi. Z tej przyczyny, dla materiału mikroskopowojednorodnego, rozwiązanie nie zależy od sposobu wymuszania warunków brzegowych dla RVE.Dla przypadku ogólnego, gdy materiał jest mikroskopowo niejednorodny, możemy pole przemieszczeńprzedstawić w postaciu(X,x)=u L (X,x)+r(X,x), (6.55)gdzie poleu L (X,x) jest zgodne z wymuszonym odkształceniem, a pole mikrofluktuacji przemieszczeńr(X,x)wynika z spełnienia równań równowagi.Dla przykładu, kwadratowy RVE o długości bokuLjest modelowany jednym bikwadratowymelementem skończonym. Upraszczając, do analizy przyjęto materiał Hooke’a. W programie Maple[43] obliczono symbolicznie elementową macierz sztywnościK, wykorzystując wzory z tegorozdziału do wymuszenia naprężeniowych warunków brzegowych. Jako wynik otrzymano symbolicznąpostać macierzy sztywności. Związek między makroodkształceniem i makronaprężeniem71

Statyczne w.b.Periodyczne w.b.Przemieszczeniowe w.b.Rysunek 6.4: Deformacja, siły brzegowe i rozkład składowej mikronaprężeniaσ x dla naprężeniowych,periodycznych i przemieszczeniowych warunków brzegowych i makronaprężeniaσ={1,0,0}72

Statyczne w.b.Periodyczne w.b.Przemieszczeniowe w.b.Rysunek 6.5: Deformacje, siły brzegowe i rozkład drugiego niezmiennika dewiatora mikronaprężeńJ 2 , dla naprężeniowych, periodycznych i przemieszczeniowych warunków brzegowych i naprężeniarzędu IIτ={1,0,−1,0,0}73

Rysunek 6.6: Postacie deformacji RVE i rozkłady sił brzegowych dla makronaprężeniaσrzędu I ma postać, por. (6.45):⎡⎢⎣⎤σ 11⎥σ 22σ 12⎦=⎡⎢⎣λ+2µ λ 0λ λ+2µ 00 0 2µ⎤⎡⎥⎢⎦⎣⎤ε 11⎥ε 22 ⎦. (6.56)2ε 12Należy dodać, że dla materiału jednorodnego macierz sztywnościC 2 jest macierzą zerową. Zastępczymateriał w skali makro, który został wyprowadzony na podstawie analizy symbolicznejjednorodnego RVE, jest opisany równaniami Hooke’a i postać macierzyC 1 nie zależy od wymiaruRVE. Na tej podstawie możemy powiedzieć, że homogenizacja rzędu I, w której do opisu deformacjiużywamy jedynie gradientów przemieszczeń, modeluje materiał prosty. Taki opis nie pozwalapoprawnie opisać efektu skali.Dla zadań 2D istnieje 6 niezależnych postaci deformacji RVE, związanych z makroskopowymodkształceniem rzędu II. Na rys. 6.7 przedstawiono postacie odkształceniaη dla jednorodnej geometriiRVE, materiału Hooke’a i przemieszczeniowych warunków brzegowych. Analizując rys. 6.7i równanie (3.34):u(X,x)=u 0 (X)+ε(X)·x+ 1 2 x⊗x:η(X)+r(X,x),można zauważyć, że wartość mikrofluktuacji pola przemieszczeńr(X,x) jest różna od zera dlaprzypadku materiału mikroskopowo jednorodnego i homogenizacji numerycznej rzędu II. Jeżelipole przemieszczeń myślowo rozdzielimy na część niezależną od typu warunków brzegowych iczęść od nich zależną:u(X,x)=u K (X,x)+r(X,x) (6.57)to niezerowa wartość mikrofluktuacji pola przemieszczeńr(X,x) jest tak dobrana, by spełnionezostały równania równowagi w RVE. Postacie deformacji rzędu II, dla których wartość pola mikrofluktuacjiprzemieszczeńr(x,x) jest równa zero, są przedstawione na rys. 6.8. Deformacje tesą zgodne z makroodkształceniemη, które jest statycznie dopuszczalne. Ta uwaga jest istotna, ponieważdla materiału jednorodnego rozwiązanie nie zależy od typu warunków brzegowych, gdyspełnione jest równanie równowagi w skalach makro i mikro. Tak więc dla przemieszczeniowych,periodycznych i naprężeniowych warunków brzegowych otrzymamy ten sam wynik, po spełnieniurównań równowagi w skalach makro i mikro.74

Rysunek 6.7: Postacie deformacji i rozkłady sił brzegowych związane z makroodkształceniemη75

Rysunek 6.8: Cztery liniowo niezależne postacie deformacji i rozkłady sił brzegowych, dla którychmikrofluktuacja pola przemieszczeń jest zerowa i nie zależy od typu warunków brzegowych76

Z drugiej strony, dla naprężeniowych warunków brzegowych, żądamy by rozkład sił na brzeguRVE był co najwyżej liniowy. Możemy podać jedynie cztery (poza stałymi) postaci naprężenia,o rozkładach wynikających z równań równowagi. Postacie naprężeń przedstawione są na rys. 6.8.Ponieważ rozwiązanie dla naprężeniowych warunków brzegowych mieści się w przestrzeni aproksymacyjnejdziewięciowęzłowego elementu skończonego, można symbolicznie obliczyć macierzC 4 . Po uwzględnieniu, że macierzC 3 jest zerowa dla analizowanego przypadku, związek międzyodkształceniemη i naprężeniemτ ma postać⎡⎢⎣⎤τ 111τ 222τ 221τ 112⎥τ 121 ⎦τ 122⎡=d⎢⎣a 0 −a 0 0 −b0 a 0 −a −b 0−a 0 a 0 0 b0 −a 0 a b 00 −b 0 b c 0−b 0 b 0 0 c⎤⎡⎥⎢⎦⎣⎤η 111η 222η 221η 112⎥2η 121 ⎦2η 122, (6.58)gdzie:a=L 2 (2µ+λ)/2, b=L 2 µ, c=L 2 (3µ+λ), d=µ3(4µ+λ) . (6.59)MacierzC 4 jest funkcją wymiaru charakterystycznego RVE, a przez to rozwiązanie w ogólnymprzypadku będzie zależeć od wymiaru RVE. Z analizy wartości własnych macierzyC 4 wynika, żedwie spośród nich są zerowe. Jest to spowodowane czterema liniowymi i statycznie dopuszczalnymirozkładami mikronaprężenia odpowiadającymi sześciu postaci odkształcenia rzędu II (w dwóchwymiarach). Oznacza to, że stan odkształcenia w punkcie da się jednoznacznie wyznaczyć na podstawiestanu naprężenia, dopiero po uwzględnieniu równań równowagi w skali makro.Analityczna postać macierzyC 4 , dla periodycznych warunków brzegowych, jest taka sama, jakdla naprężeniowych warunków brzegowych.Dla rozważanego przypadku, z analizy obliczonych macierzy sztywności wiemy, że zastępczymateriał makroskopowy jest izotropowy, ale nie jest centrosymetryczny (materiał niezmienny zewzględu na obroty [54]). Kwadratowy RVE posiada 4 osie symetrii, co powoduje, że postać operatorówsztywności, związanych z naprężeniami lub odkształceniami wyższych rzędów, będzie zależećod wyboru mikroskopowego układu odniesienia. Wynika z tego, że dla kwadratowego RVE i materiałujednorodnego mikroskopowo nie można wyznaczyć parametrów dla związku konstytutywnegoMindlina. Równanie konstytutywne Mindlina jest funkcją niezmienników tensora odkształceń rzęduI i II, zatem materiał opisany tym związkiem jest izotropowy i centrosymetryczny.77

Rozdział 7Przykłady numeryczneW rozdziale zamieszczono trzy testy numeryczne. Ograniczono się jedynie do akademickich problemówobrazujących potencjalne zastosowanie metody CH do rozwiązywania rzeczywistych problemówinżynierskich. W przedstawionych przykładach pokazane zostały zagadnienia, które uwypuklająwybrane zalety, omawianego w pracy, podejścia.7.1 Test zginaniaTest zginania służy weryfikacji jakościowej i ilościowej metody CH oraz sprawdza poprawnoś jejsformułowania i implementacji. W teście przeprowadzono numeryczną analizę kompozytu, którypoddany jest zginaniu. Problem rozwiązano przy małej rozdzielności skali makro od mikro (L/l=6), tak, by uwypuklone zostały niektóre różnice wynikające z klasycznego i gradientowego opisuośrodka ciągłego.Rozważany był problem w płaskim stanie odkształcenia. Kwadratowy kompozyt o wymiarzeboku3mm został poddany zginaniu. Kompozyt złożony jest z matrycy i długich równomiernierozłożonych włókien o średnicy0.15mm. Zadanie rozwiązano na trzy różne sposoby:• bezpośrednio dyskretyzując mikroskopową strukturę materiału• z zastosowaniem metody CH, z klasycznym opisem ośrodka ciągłego• z zastosowaniem metody CH, z gradientowym opisem ośrodka ciągłego.Dla podejść dwuskalowych przyjęto, że RVE zawiera jedną jednostkę elementarną (jedno włókno)i ma kształt kwadratu o boku0.5mm. Deformacja RVE, zgodna z makroskopowymi miaramiodkształceń, jest określona na trzy sposoby, tj. za pomocą naprężeniowych, periodycznych i przemieszczeniowychwarunków brzegowych.Bezpośrednia dyskretyzacja mikrostruktury, rys. 7.1 po lewej, zawiera 41735 stopni swobody.Założono, że tytanowa matryca opisana jest za pomocą sprężysto-plastycznego modelu materiału(powierzchnia plastyczności HMH, stowarzyszone prawo płynięcia, izotropowe liniowe wzmocnienie).Celem uniknęcia blokady objętościowej, występującej w płaskim stanie odkształcenia, doskończenie elementowej dyskretyzacji zastosowano stabilizowany element przemieszczeniowy Q4(8 stopni swobody, bilinowa interpolacja pola przemieszczeń wewnątrz elementu) ze zredukowanymcałkowaniem. Do dyskretyzacji sprężystych i sztywnych włókien zastosowano element przemieszczeniowyCST (6 s.s., linowa interpolacja pola przemieszczeń wewnątrz elementu). Zadanierozwiązane metodą bezpośrednią zostało przyjęte, jako rozwiązanie referencyjne, do którego odniesionesą rozwiązania otrzymane metodą CH.78

Do dyskretyzacji dwuskalowego zadania w skali makroskopowej zastosowano siatkę16 elementówskończonych, przedstawioną na rys. 7.1 po prawej. Do analizy ośrodka klasycznego zastosowanoelement przemieszczeniowy Q9 (18 s.s., kwadratowa interpolacja pola przemieszczeń wewnątrzelementu). Do analizy ośrodka gradientowego zastosowano element mieszany Q18G16L4, omówionyw podrozdziale 5.2.Przekrój AA (por. rys. 7.6, rys. 7.7)Rysunek 7.1: Dyskretyzacja dla bezpośredniej dyskretyzacji niejednorodnej budowy kompozytu iza pomocą dwuskalowego podejścia MESPunkt A, por. rys. 7.5ϕPunkt B, por. rys. 7.5Matryca (tytan):E m =110GPaν m =0.25Y m =300MPaH m =11GPaWłókna (krzem):E i =410GPaν i =0.17Rysunek 7.2: Deformacja w skali makroDo analizy przyjęto proste modele materiału. Dla sprężysto-plastycznej matrycy zadano po-79

wierzchnię plastyczności HMH liniowym prawem izotropowego wzmocnienia i stowarzyszone prawopłynięcia. Sprężystą odpowiedź matrycy i włókien opisuje liniowy związek fizyczny Hooke’a.Paramatery przyjętych związków fizycznych podano u dołu rys. 7.2. Parametry modeli fizycznychzbliżone są do przyjmowanych dla tytanu i krzemu. Test zginania nie jest weryfikowany przez doświadczenie,jest przeprowadzony dla hipotetycznego, niejednorodnego materiału złożonego z matrycyi inkluzji.Kwadratowy kompozyt poddany jest kinematycznie wymuszonemu zginaniu. Deformacja dlazadania referencyjnego i zadania dwuskalowgo przedstawiona jest na rys. 7.2. Dla ośrodka klasycznegołatwym jest nałożenie warunków brzegowych. Poprzez blokadę przemieszczenia pionowegojednego z węzłów odbieramy możliwość translacji w kierunku pionowym. Na lewej krawędzi odebranajest możliwość przemieszczeń poziomych. Na prawej krawędzi zadane są przemieszczenia,które są zgodne z wymuszonym kątem obrotuϕ.W przypadku ośrodka gradientowego dodatkowo należy podać warunki brzegowe nałożone nagradienty pola przemieszczeń. Na lewej krawędzi odebrano możliwość mikrorotacji przez wymuszeniezerowych wartości w antysymetrycznym tensorze gradientu pola przemieszczeń. Na prawejkrawędzi, mikrorotacja, wymuszona jest zgodnie z zadanym kątem obrotuϕWypadkowy momentM10.90.80.70.60.50.40.30.20.10bezpośrednia dyskretyzacjadwuskalowe podejście MES, ośrodek gradientowydwuskalowe podejście MES, ośrodek klasycznyprzem. w.b., oś. gradientowyprzem. w.b., oś. klasycznyperiod. w.b., oś. gradientowyperiod. w.b., oś. klasycznyrozw. bezpośrednienapr. w.b., oś. gradientowynapr. w.b., oś. klasyczny0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01Kąt obrotuϕRysunek 7.3: Ścieżki równowagi dla niejednorodnego zadania zginania, rozwiązanego metodą bezpośredniąoraz przy zastosowaniu metod numerycznej homogenizacji, dla ośrodka klasycznego igradientowegoZadanie referencyjne obliczono, wykonując1000 kroków z przyrostem∆ϕ=0.00001. Zadaniaz dwuskalową dyskretyzacją obliczono, wykonując20 kroków z przyrostem∆ϕ=0.0005. Dużaliczba kroków przyrostowych dla zadania referencyjnego wynika z powstania wielu stref plastycznychw analizowanym zadaniu. Znaczne zwiększenie długości kroku∆ϕ dla metody CH jestmożliwe dzięki rozprzężeniu analizy na poziomie mikroskali od analizy w makroskali, ponieważodpowiedzi w makroskopowych punktach całkowania Gaussa obliczane są niezależnie.Na rys. 7.3 są przedstawione ścieżki równowagi dla wszystkich analizowanych przypadków.80

Pogrubiona linia przedstawia ścieżkę równowagi dla zadania referencyjnego. Dla zakresu sprężystegojest obserwowana dobra zgodność między odpowiedzią otrzymaną z zadania referencyjnego,a odpowiedziami otrzymanym z analizy dwuskalowej dla ośrodka klasycznego i gradientowego.Obserwujemy znaną zależność (por. [53]), że w stosunku do rozwiązania referencyjnego, analizadwuskalowa z kinematycznymi warunkami brzegowymi dla RVE daje oszacowanie wypadkowegomomentu zginającego od góry, a naprężeniowe warunki brzegowe dają oszacowanie wypadkowegomomentu zginającego od dołu. Natomiast periodyczne warunki brzegowe dają oszacowanie wypadkowegomomentu zginającego między tymi oszacowaniami. Na makroskopowym poziomie obserwacjinie widać istotnej różnicy między rozwiązaniem otrzymany za pomocą homogenizacji rzęduI i II.Analizując dystrybucje naprężeńσ x i zastępczych odkształceń plastycznyche p , dla rozwiązaniareferencyjnego na rys. 7.4 można zauważyć gradient naprężeń i odkształceń po wysokości jednostkielementarnej. Porównując rozkłady deformacji i rozkłade p w RVE z rozwiązaniem referencyjnymzauważymy różnice między sposobem wymuszenia deformacji RVE (t.zn. różnice między naprężeniowymi,periodycznymi i przemieszczeniowymi warunkami brzegowymi), rys. 7.5. Zauważymy,że dla ośrodka gradientowego deformacja RVE, zgodna z odkształceniem rzędu II, powoduje zginanieRVE i prowadzi do jakościowo poprawnego, w porównaniu do rozwiązania referencyjnego,rozkładu zastępczych odkształceń plastycznych w RVE. W przypadku homogenizacji rzędu I obserwowanajest niezdolność do otworzenia poprawnego rozkładu wielkości mikroskopowych, bo RVEsię nie zgina. W ogólnym przypadku, gdy komponenty kompozytu miękną lub pękają analiza, dlahomogenizacji rzędu I, będzie prowadzić do błędnych wyników. Ponadto można zauważyć, że naprężeniowewarunki brzegowe prowadzą do niewłaściwej deformacji RVE oraz błędnej dystrybucjiekwiwalentnych odkształceń plastycznych.Rysunek 7.4: Rozkład naprężeń (po lewej) i zastępczych odkształceń plastycznych (po prawej), dlazadania referencyjnegoIlościowa analiza rozkładu odkształceniaε x i naprężeniaσ x wzdłuż przekroju AA została przedstawionaodpowiednio na wykresach 7.6 i 7.7. Na wykresach można zauważyć zaskakująco dobrązgodność między rozwiązaniem referencyjnym, a rozwiązanym otrzymanym dla ośrodka gradientowego.Wyniki dla ośrodka gradientowego, ze względu na zerowanie w zadaniu sprężystym symetrycznejczęści odkształcenia rzędu II, są identyczne, jak dla ośrodka mikropolarnego, por. [20].W przypadku homogenizacji rzędu I widzimy niezdolność do odtworzenia poprawnego rozkładunaprężeń i odkształceń po wysokości RVE, chociaż ich wartość średnia po RVE jest równa wartościdla rozwiązania referencyjnego.81

Deformacja RVE rzędu IIDeformacja RVE rzędu IPunkt B, por. rys. 7.2Punkt A, por. rys. 7.2WłóknoPrzemieszczeniowe Periodyczne Naprężeniowe PeriodyczneRysunek 7.5: Deformacja RVE i rozkład ekwiwalentnych odkształceń plastycznych w RVEPodsumowując, metoda CH pozwala na redukcję makroskopowych stopni swobody. Dodatkowonastępuje rozprzężenie zadania. Niezależne obliczanie makroskopowych miar naprężeń i materiałowychoperatorów sztywności, dla każdego RVE przydzielonego do punktu całkowania Gaussa,pozwala wydłużyć krok przyrostowy.Metoda CH rzędu I nie daje poprawnego rozkładu wielkości mikroskopowych dla zadań o słaborozdzielonych skalach makro od mikro, co w ogólnym przypadku będzie prowadzić do niemiarodajnychrezultatów w skali makro. Metoda CH rzędu II zaskakująco dobrze, jakościowo i ilościowo,odtwarza rozkłady mikronaprężeń i mikroodkształceń.Dla testu czystego zginania przemieszczenia są wielomianami drugiego stopnia. Przyczyną tegojest brak różnic między rozwiązaniem klasycznym, a gradientowym w skali makro. Dla zadań,o złożonych stanach naprężeń, różnice między opisem klasycznym będą zauważalne, co zostaniepokazane w następnych przykładach.7.2 Test ścinaniaTest ścinania cienkiej warstwy służy jakościowej analizie wpływu wymiaru charakterystycznegoRVE na rozwiązanie. W teście rozważono przypadki o różnym stopniu statystycznej reprezentatywnościRVE, analizując jej wpływ na dokładność oszacowanych naprężeń i odkształceń.W skali makroskopowej problem został postawiony, jak w podrozdziale 5.4.2, por. rys. 5.7.Wpływ charakterystycznego rozmiaru mikrostruktury na rozwiązanie został przedstawiony przezrozważenie dwóch przypadków, z grubością ścinanej warstwyH=10.0mm iH=1.0mm. Do82

+3e−3+2e−3+1e−4Odkształcenia dla obliczeń bezpośrednichMikro odkształcenia dla ośrodka gradientowegoMikro odkształcenia dla ośrodka klasycznegoOdkształcenieεx0−1e−3−3e−3−3e−30 0.5 1 1.5 2 2.5 3WysokośćRysunek 7.6: Rozkład odkształceńε x wzdłuż przekroju AA dla kąta obrotuϕ=0.0005Naprężenieσx0.050.040.030.020.010−0.01Naprężenia dla obliczeń bezpośrednichMikro naprężenia dla ośrodka klasycznegoMikro naprężenia dla ośrodka gradientowego−0.02−0.03−0.04−0.050 0.5 1 1.5 2 2.5 3WysokośćRysunek 7.7: Rozkład naprężeńσ x wzdłuż przekroju AA dla kąta obrotuϕ=0.000583

dyskretyzacji zadania w skali makro zastosowano100 elementów typu Q18G16L4, który zostałomówiony w podrozdziale 5.2.Rysunek 7.8: Rozkład funkcji zbioru poziomującego i geometria losowego RVE o stałymV f ≈0.12iL=0.6mmoraz dwa wariantyr ave =0.032mm ir ave =0.016mmNa poziomie mikroskali rozważano sprężystą matrycę o losowo rozłożonych, sferycznych otworach(otwory stanowią12% objętości materiału), por. rys. 7.8. Parametry materiału odpowiadająsprężystemu zakresowi pracy stali T67CA, tzn. przyjęto moduł YoungaE=210GPa i modułPoissonaν=0.3. Do skończenie elementowej aproksymacji RVE zastosowano nieregularnąsiatkę złożoną z 24427 elementów CST o charakterystycznym wymiarze elementu skończonegoh e =0.008mm. Losowo rozłożone otwory były modelowane, niezależnie od wygenerowanej siatkielementów za pomocą metody zbiorów poziomujących w rozszerzonej metodzie elementów skończonych,por. rozdział 5.5. Rozważano dwa przypadki o różnych średnich wartościach promieniotworów, przy stałym wymiarze boku RVE (L=0.6mm) i stosunku objętości otworów do matrycy(V f ≈0.12). Przyjęto średnie wartości promieni otworówr ave =0.032mm ir ave =0.016mm, np.geometria arbitralnie wybranych RVE przedstawiona jest odpowiednio po lewej stronie i prawejstronie na rys. 7.8.Dla każdego z przypadków wysokości ścinanej warstwyH=10mm iH=1.0mm oraz średniegopromienia otworówr ave =0.032mm ir ave =0.016mm wylosowano 100 geometrii RVE. RVEzadawano standardowe warunki brzegowe, tzn. naprężeniowe, periodyczne i przemieszczeniowe.Łącznie przeprowadzono 2x2x100x3=1200 dwuskalowych symulacji ścinania cienkiej warstwy zporowatym materiałem, wynikających z przyjętych: 2 grubości warstw, 2 promieni otworów, 3 w.b.i 100 losowań.Rozkład odkształcenia ścinającego i jego gradientu, wzdłuż wysokości warstwy dla przemieszczeniowegowymuszenia deformacji RVE i arbitralnie wybranej geometrii RVE znajduje się narys. 7.9. Wykresy obrazują wpływ grubości ścinanej warstwy na rozkład makro odkształceń rzęduI i II.Rysunki w górnym prawym i dolnym lewym rogu na rys. 7.9 przedstawiają deformacje RVE irozkład mikroskopowych naprężeń ścinających. Łatwo można zauważyć, że, dla punktu w środkuwarstwy, dla którego makroodkształcenie rzędu II jest równe zero (por. rys. 7.9 w górnym prawymrogu), RVE poddane jest wyłącznie ścinaniu, a rozkład mikroskopowych fluktuacji naprężeń ścinającychjest równomiernie rozłożony wzdłuż wysokości RVE. Dla punktu, który znajduje się bliskodolnego brzegu ścinanej warstwy odkształcenie rzędu II, ma wartość różną od zera. Z tej przyczyny,obserwując deformacje RVE można zaouważyć gradient makroodkształceń ścinających wzdłużwysokości RVE (rys. 7.9 w dolnym lewym rogu). Przyglądając się rozkładowi mikronaprężeń ścinających,zauważymy ich narastanie wzdłuż wysokości RVE w wyniku wymuszonej deformacjizgodnej z makroodkształceniem rzędu II.Zestawienie wartości średnich makronaprężeń ścinających znajduje się w tab. 7.1. Zwraca uwagę,że naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe dają oszacowanie odpowiednio od84

ε/εave1.41.210.80.6H=10mmH=1.0mmr ave=0.032 mmr ave=0.016 mmMikroprzemieszczenia0.40.20−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Mikroprzemieszczeniah/Hη/η aveMikronaprężeniaσxy3020100−10H=10mmH=1.0mmMikronaprężeniaσxyL=0.6 mm−20−30−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5h/Hr ave=0.032 mmr ave=0.016 mmRysunek 7.9: Wykresy zależności uśrednionych mikroodkształceń rzędu I i II wzdłuż wysokościścinanej warstwy, dla stałego stosunku objętości otworów do objętości matrycyV f ≈0.12 orazwymiaru RVEL/H=0.06. Deformacja RVE i rozkład mikronaprężeń ścinających dla przypadkuL/H=0.06dołu i od góry. Periodyczne warunki brzegowe dają oszacowanie leżące pomiędzy nimi. Dla RVEo średnim promieniu otworówr ave =0.032mm, odchylenie standardowe makronaprężeń ścinającychjest większe od odchylenia standardowego makronaprężenia ścinającego dla RVE o średnimpromieniu otworówr ave =0.016mm. Wynika to z faktu, że różnica między oszacowaniem górnymi dolnym jest mniejsza dla RVE, w którym średnia wartość promienia otworów jest mniejsza.Tłumaczy się to tym, że statystyczna reprezentatywność RVE jest większa dlar ave =0.016.Zależności zestawione w tab. 7.1 odzwierciedlają histogramy na rys. 7.10 i rys. 7.11. Na rys. 7.10przedstawiono histogramy dla każdego z rozważanych przypadków, zestawiając ze sobą różne typynarzucania deformacji RVE. Na histogramach z rys. 7.11 przedstawiono wartości średnie makronaprężeńścinających, otrzymanych dla periodycznych warunków brzegowych dlaH=10mmiH=1.0mm. Analiza histogramów potwierdza wnioski wyciągnięte z analizy tab. 7.1. Na rysunkach7.12, 7.13 przedstawiono rozkłady makronaprężeń ścinającychσ xy po grubości ścinanejwarstwy.Podsumowując powyższe uwagi, można wyciągnąć wnioski, że test cienkiej ścinanej warstwy,uwzględnienie warunków brzegowych wyższego rzędu prowadzi do niejednorodnego stanu makroodkształceńi markonaprężeń ścinających. Poprzez odpowiednie nałożenie warunków brzegowych,na lewej i prawej krawędzi, pozostałe składowe naprężeń i odkształceń są równe zeru.Test ścinanej warstwy daje różne rozwiązania w zależności od grubości warstwy. Dla grubościwarstwy między1.0 mm i10 mm różnice między rozwiązaniem dla ośrodka klasycznego i gradientowegosą duże (efekt skali).85

Tabela 7.1: Zestawienie wartości średniej makronaprężeń ścinających i ich odchylenia standardowegoH t ave średnia standardowe odchyleniePrzemieszczeniowe w.b. 10 0.032 0.11621 0.00057392Periodyczne w.b. 10 0.032 0.11557 0.00054202Naprężeniowe w.b. 10 0.032 0.11507 0.00059218Przemieszczeniowe w.b. 10 0.016 0.11557 0.0035448Periodyczne w.b. 10 0.016 0.11464 0.0034561Naprężeniowe w.b. 10 0.016 0.11333 0.0031305Przemieszczeniowe w.b. 0.1 0.032 1.1613 0.0057411Periodyczne w.b. 0.1 0.032 1.1560 0.0059238Naprężeniowe w.b. 0.1 0.032 1.1510 0.0059238Przemieszczeniowe w.b. 0.1 0.016 1.1560 0.035458Periodyczne w.b. 0.1 0.016 1.1467 0.034571Naprężeniowe w.b. 0.1 0.016 1.1336 0.031315000011110000111100001111000000111111000000111111000000111111000011110000111100001111000000111111000000111111000000111111000000000111111111000011110000000001111111110000000000000011111111111111000011110000000000000000000000111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000111111111111111111100000000000000111111111111110000111100000000011111111100001111000000001111111100001111 0 0 1 1 0 0 1 10 0 1 100110000111100000000000000111111111111110000000000011111111111000000011111110000111100000000000000111111111111110000000000000000000000000011111111111111111111111111000000000000001111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000111111111111110000000000000011111111111111000000000000000000000000001111111111111111111111111100000000000000000011111111111111111100000001111111000000000111111111001101 0 0110011 010 0 1 100000000000000111111111111110000000000001111111111110000111100000001111111000000000111111111000000000000011111111111110000000001111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000011111111111111000000011111110000001111110011000011110011 0000000000000000111111111111111100000111110000000011111111000000000000000111111111111111000001111100000000000000000000001111111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000000011111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000011111111111111111111111111111100000111110000000011111111000001111100000111110011 0 0 1 1 00001111000000111111000111000000111111000000111111000000000001111111111100000011111100000000001111111111000000111111000000000000011111111111110000000000000001111111111111110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000111111111111111100000000000000001111111111111111000000000000000111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000011111111111110000000011111111000000111111000000000000000011111111111111110000001111110011001100011100110001110000000111111100000000000011111111111100000011111100000000000000111111111111110000000011111111000000000000001111111111111100000000111111110000000000001111111111110000000000000111111111111100000001111111000000000000001111111111111100000000000011111111111100110001110011000000011111110000011111000000011111110000000000000011111111111111000000000000000111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000111111111111000000000011111111110000000000000000000011111111111111111111000000000111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000000000000000000000000001111111111111111111111111110000000000000000011111111111111111000000011111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000111111100000000001111111111001100001111 0 0 1 100000111110000111100000000000000111111111111110000011111000000011111110000000111111100000000000000000011111111111111111100000000000000011111111111111100000000000011111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111000000000000001111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000111111100000000000011111111111100000000000000111111111111110011 0 0 1 1 0 0 1 10000011111000011110000111100000001111111000000011111110000000000000000001111111111111111110000000000011111111111000001111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000011111111100000001111111000001111100001111000011110000000000111111111100001111010 00 1 11 0 0 1 1 0011000000011111110000000000111111111100000000000000111111111111110000000000000011111111111111000000000000000111111111111111000000000111111111000000000000111111111111000000000011111111110000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111100000000000000000011111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000000000000001111111111111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000001111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000001111111000001111100110011 0 0 1 10000011111001100000000000000111111111111110000011111000000000000001111111111111100000001111111000000000111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000111111111111000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000000000000000001111111111111111111100000000000000111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000011111110000000000001111111111110000000111111100001111 0 0 1 1 0 0 1 1000000000011111111110000111100001111000000011111110000000000000011111111111111000000000111111111000000000001111111111100000111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000001111111111111111110000000111111100000111110000111100000000111111110000000000111111111100001111010 00 1 11 000011110011024681012141.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3024681012140.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.1302468101214160.1135 0.114 0.1145 0.115 0.1155 0.116 0.1165 0.117 0.117502468101214161.135 1.14 1.145 1.15 1.155 1.16 1.165 1.17 1.175 1.18Przem. w.b.Przem. w.b.Przem. w.b.Przem. w.b.Napr. w.b.Napr. w.b.Napr. w.b.Napr. w.b.Perio. w.b.Perio. w.b.Perio. w.b.Perio. w.b.σ aveσ aveσ aveσ ave%%%%H=1.0mm,r ave =0.032mmH=10mm,r ave =0.032mmH=1.0mm,r ave =0.016mmH=10mm,r ave =0.016mmRysunek 7.10: Histogramy wartości średnich makronaprężeń ścinających w zależności od typu warunkówbrzegowych nałożonych na brzeg RVETest ścinania bada statystyczną reprezentatywność dla jednej zależności między makroodkształceniemścinającym, a makronaprężeniem ścinającym. Dla uzyskania pełnej odpowiedzi, czy daneRVE jest statystycznie reprezentatywne dla innych składowych tensora naprężeń, należy przeprowadzićtesty dla innych stanów odkształceń. Problem statycznej reprezentatywności RVE i jej wpływuna miary makroskopowe rozważany był w pracy [26], gdzie zajmowano się homogenizacją rzędu Imirostruktury, w której jeden ze składników pęka.86

%H=1.0mm140100 110100 110100 110112r ave =0.032mm000100 110100 11r ave =0.016mm0100 11 01010100 11 0101100100 11 010101010101010101000000010100010101000101010100 11 01010100 11 01010100000101010000 11 00 11 01010101010100 11 00 11 010101010100 11 0100 11 00 11 0101010100 11 010100 11 0100 11 00 11 0101010100 11 0100 11 00 11 0100 11 00 110101010100 11 01010100 1100 11 00 1101010100 11 0100 11010100 110100 1100 11 00 1101010100 11 0100 1101010101000100 111100 11 00 1101010100 11 0100 1101100111100 11 00 1101010100 1100 110100 11 00 1101100110100 11 00 1101010100 1100 110100 11 00 1101010100011101010101010100 1100 110100 11 00 1100 110000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111018010100110160101014010011010120100 110100 1101000 110100 111.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24σ ave%H=10mm14000 111000 111000 111000 111000 11100110012r ave =0.032mm000000 111001100000 111r ave =0.016mm00011100011100000 1110001110010000 11100011100000 11100011100000 1110001110000 1100 11000000000 11100 11 00110011100 11 00110011100 1100110000 11000 111110000 111100000 111110000 111100000 111000000 11 0011 0011110000110011001100000 11100 11110000110011001100000 11100 1100 11000 11100110011001100000 11100 1100 11000 11100 11001100000 11111001100000 11100 11001100000 111110000 1100 11000 11100 11000 11100 1111000000 11000 11100 111100011100 11000 11100 11000 11100 110000 11000 111 00 1100 111100011100 1100 11000 111000000 1100 11000 11100 11000 11100 110000 11000 111 0000 11000 1111100 11000 11100 11000 11100 11000 111 0000 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 1100 11000 111000 111 00 11000 11100 11000 11100 11000 11100 111100000 11100 11000 11100 11111100 110000 110000 1100 110000 1100 1100 11111111111111111111111111111111110180101000 1100 1110160100 110100 1101400 110100 1100 1100 110001100 11 100 11 0000 11 0000 11 0000 11 0000 11 00 11111111110120101010001100100 110.104 0.106 0.108 0.11 0.112 0.114 0.116 0.118 0.12 0.122Rysunek 7.11: Histogramy wartości średnich makronaprężeń ścinających w zależności od średniejwartości promienia otworu dla periodycznych warunków brzegowychσ ave1.41.2H=1.0mmσ/σave1.00.80.60.40.20.0−0.2Przem. w.b.r ave =0.032mmPrzem. w.b.r ave =0.016mmPerio. w.b.r ave =0.032mmPerio. w.b.r ave =0.016mmNapr. w.b.r ave =0.032mmNapr. w.b.r ave =0.016mm−0.4−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5h/HRysunek 7.12: Rozkład makronaprężeń ścinających wzdłuż grubości warstwy dlaH=1.0mm, dlamaksymalnych i minimalnych wartości, spośród100 losowo wygenerowanych geometrii RVENależy dodać, że dla niejednorodnych materiałów losowych ich wymiar charakterystyczny jestwielkością, która w ogólności powinna być wyznaczona w sposób doświadczalny. Aktualny stanwiedzy nie pozwala podać związku między mikrostrukturalną budową materiału niejednorodnego awymiarem charakterystycznym RVE.Na koniec rozważony jest problem wymiaru charakterystycznego i statystycznie reprezentatywnejobjętości przydzielonej makroskopowemu punktowi. Wymiar charakterystyczny definiujeobjętość otoczenia punktu w skali makro. Z drugiej strony staramy się, by objętość przydzielona dopunktu zawierała dużą liczbę niejednorodności (tak dużą na jaką pozwala nam moc obliczeniowakomputera). W powyższym teście założono, że wymiar charakterystyczny niejednorodności (tutajpromień mikrootworu) jest nieistotny. Zauważono, że w rozważanym przykładzie, istotnym jeststosunek średniego promienia mikrootworu do średniej odległości między otworami.87

1.21.0H=10mm0.8σ/σave0.6Przem. w.b.r ave =0.032mm0.4 Przem. w.b.r ave =0.016mmPerio. w.b.r ave =0.032mm0.2Perio. w.b.r ave =0.016mmNapr. w.b.r ave =0.032mmNapr. w.b.r ave =0.016mm0.0−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5h/HRysunek 7.13: Rozkład makronaprężeń ścinających wzdłuż grubości warstwy dlaH=10mm, dlamaksymalnych i minimalnych wartości, spośród100 losowo wygenerowanych geometrii RVE7.3 Test indentacjiNa przykładzie testu indentacji przedstawiona zostaje metoda CH rzędu II, która znacząco redukujeliczbę stopni swobody i poprawnie opisuje efekt skali.Test indentacji wymaga opisu opartego na dużych przemieszczeniach i deformacjach. Zmuszato do rozpatrzenia istotnych zjawisk fizycznych i chemicznych zachodzących na poziomie mikrostruktury.Symulacja numeryczna indentacji z tych przyczyn staje się bardzo złożona. Więcej, identyfikacjaistotnych zjawisk, zachodzących w szczególnym materiale wielofazowym, nie może sięodbyć bez ścisłej współpracy materiałoznawcy, eksperymentatora i mechanika.Z tych przyczyn poczyniono szereg założeń uniemożliwiających ilościową analizę otrzymanychwyników. Przeprowadzony w pracy test indentacji może jednak służyć jakościowej analizieotrzymanych rezultatów, prowadząc do głębszego zrozumienia problemu indentacji materiałów zmikrostrukturą oraz eksponuje zalety podejścia prezentowanego w pracy.W pracy przyjęto, że przemieszczenia są małe i zastosowano liniowe miary odkształceń. Nieliniowościwynikają z jednostronnych warunków brzegowych, opisujących kontakt między sztywnymindenterem, a niejednorodnym sprężysto-plastycznym ciałem. Dodatkowo założono płaski stanodkształceń. Poszerzenie opisu o nieliniowości geometryczne oraz uwzględnienie zjawiska pękaniakomponentów kompozytu jest możliwe w ramach prezentowanej metody [44].Rozważono próbkę o wymiarze20.48 mm, w którą wciskano indenter o kącie rozwarcia150 0 .Ze względu na symetrię dyskretyzowano jedynie połowę. Indenter wciśnięto na maksymalną głębokość0.0875mm. Ze względu na duży rozmiar ciała w porównaniu z głębokością indentera zbudowanosiatkę elementów skończonych, dla której rozmiar charakterystyczny elementu zawierał sięw przedzialeh e ∈[0.0025mm,0.16mm], por. rys. 7.14. Do skończenie elementowej dyskretyzacjizastosowano element mieszany Q18G16L4, omówiony w podrozdziale 5.2.Założenie o geometrycznej liniowości oraz szczególny charakter problemu pozwalają na pewneuproszczenia. Za [75] dla geometrycznie linowego problemu rozważono kontakt typu węzeł dowęzła (ang. node to node). Dodatkowo, potencjalną strefę kontaktu można z góry założyć, a jej powierzchniępoprawiać w sposób iteracyjny, sprawdzając na każdym kroku wartość sił węzłowych88

Rysunek 7.14: Siatka elementów skończonych typu Q16G16L4w założonej strefie. Nie uwzględniono tarcia, gdyż na podstawie [13, 69] wiadomo, że dla dużychkątów rozwarcia stożka indentera wpływ sił tarcia na siłę oporu indentera jest pomijalnie mały. Takialgorytm postępowania nie jest wystarczający dla szerszej klasy problemów kontaktu ciał odkształcalnych,jednak w rozpatrywanym problemie algorytm jest efektywny i prowadzi do poprawnychrezultatów.Na dolnej krawędzi próbki, w skali makro odebrano możliwość przemieszczeń w kierunku pionowymi wymuszono zerową wartość gradientu przemieszczenia pionowego w kierunku pionowym.Na lewej i prawej krawędzi odebrano możliwość przesunięcia poziomego i założono zerową wartośćgradientu przemieszczenia poziomego w kierunku poziomym. W strefie kontaktu wymuszano odpowiedniąwartość przemieszczenia pionowego i gradientu przemieszczenia pionowego w kierunkupionowym.0.4LMatryca (aluminium):E m =70GPaν m =0.33Y m =460∗10MPaH m =70MPaInkluzja (krzem)E i =450GPaν i =0.17V f =0.251LRysunek 7.15: Dyskretyzacja RVEDo każdego punktu całkowania Gaussa przydzielony jest RVE, którego dyskretyzacja przedstawionajest na rys. 7.15. Stałe materiałowe matrycy i inkluzji odpowiadają odpowiednio aluminium ikrzemowi, w sprężystym zakresie ich pracy. Należy podkreślić, że test ten nie jest próbą symulacjiindentacji kompozytu stopu aluminium i krzemu, gdyż założenia są zbyt mocne. Przeprowadzonoobliczenia dlaL=0.001 mm,L=0.002 mm iL=0.004 mm. Zastosowano przemieszczeniowytyp warunków brzegowych, wymuszających deformację RVE.89

Do dyskretyzacji matrycy w RVE zastosowano elementy Q4 z jednym punktem całkowaniaGaussa i stabilizacją. Do dyskretyzacji inkluzji w RVE zastosowano elementy CST, por. rys. 7.15.Łączna liczba stopni swobody, użytych do dyskretyzacji matrycy i inkluzji w RVE, wynosi2346.Warto dodać, że gdyby mikrostrukturalną budowę kompozytu modelowano w sposób bezpośredni,to rozważany test indentacji podsiadałby około246e9,61e9 i9e9 stopni swobody, odpowiedniodlaL=0.001 mm,L=0.002 mm iL=0.004 mm. Obliczenia o takiej liczbie stopni swobodyprzekraczają możliwości komercyjnych programów oraz zapotrzebowanie na moc obliczeniową ipamięć współczesnych komputerów.s por. rys. 7.1815 0hRysunek 7.16: Przemieszczenie w otoczeniu indenteraAnaliza dwuskalowa została przeprowadzona dla elementów o wymiarze charakterystycznymh e 0.01mm, por. rys. 7.14 po prawej stronie. Dla pozostałych punktów całkowania wcześniej obliczonosprężyste operatory sztywności dla analizowanego kompozytu. Na rys. 7.16 przezhoznaczonogłębokość indentacji, a przezspowierzchnię kontaktu. Rys. 7.16 przedstawia deformacjesiatki w otoczeniu indentera dlah=0.05 mm iL=0.002 mm.Rys. 7.17 przedstawia rozkład makroskopowych naprężeń w otoczeniu indentera. Koncentracjamakronaprężeńσ x iσ y występuje bezpośrednio pod indenterem. Koncentracja naprężeń ścinającychoddalona jest od górnej krawędzi ciała, ze względu na brak tarcia między indenterem a ciałem.Warto zwrócić uwagę, że w gradientowym opisie ośrodka ciągłego nie wystęłpują osobliwości.Dodatkowo analizowano sprężysto-plastyczny problem, w którym nie występują osobliwości polanaprężeń.90

σ x σ y σ xyRysunek 7.17: Makroskopowe naprężeniaRysunek 7.18: Deformacja i rozkład mikronaprężeń w punkcie całkowania Gaussa znajdującym siębezpośrednio pod indenterem, por. rys. 7.16Analiza przeprowadzona za pomocą metody CH, w przeciwieństwie do metod analitycznych,dostarcza informacji o rozkładach mikrowielkości. Na rys. 7.18 zamieszczone jest mikroskopowepole deformacji po lewej i rozkład ekwiwalentnych mikroodkształceń plastycznych po prawej. Natym rysunku można zauważyć istotny wpływ odkształceń wyższego rzędu na deformacje RVE, cotłumaczy wpływ wymiaru charakterystycznego na postać rozwiązania. Dodatkowo widać wpływnarastania odkształceń ściskających, od lewej do prawej, wywołanych stożkowym kształtem indentera.Rozkład ekwiwalentnych mikroodkształceń plastycznych z pozoru nie odpowiada postacideformacji, ponieważ zależą one od historii deformacji.Na rys. 7.19 zamieszczono ścieżkę równowagi, tzn. zależność siły oporu indenteraF od głębokościindentacjih. Jako odniesienie podano rozwiązanie problemu indentacji, dla próbki wykonanejwyłącznie z materiału inkluzji i rozwiązanie problemu indentacji, dla próbki wykonanejwyłącznie z materiału matrycy. Na rysunku widać wpływ wymiaru charakterystycznegoLna rozwiązanie.Im wymiar jest mniejszy tym twardość, określona jako stosunekF doh, jest większa.Materiały o małej wielkości ziarna są twardsze. Na analizowanym rysunku cienką, przerywaną liniąprzedstawiono rozwiązanie dla zadania sprężystego, grubą, ciągłą linią przedstawiono rozwiązaniesprężysto-plastyczne.Efekt skali można również obserwować na rys. 7.20 obrazującym zależność siły oporu indenteraF od długości strefy kontaktus. Podobnie, jak na rys. 7.19 wartość siły oporu indenteraF zależy91

F1.41.21.00.80.60.40.2Sprężysto plastyczneSprężysteL=0.004mmL=0.002mmL=0.001mminkluzjamatryca00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08hRysunek 7.19: Zależność głębokości siły oporu indenteraF od głębokości indentacjih1.41.21.00.8Sprężysto plastyczneSprężysteL=0.004mmL=0.002mmL=0.001mmF0.60.40.200 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2sRysunek 7.20: Zależność siły oporu indenteraF od długości strefy kontaktuszarówno od wymiaru charakterystycznego RVE, jak też od tego czy materiał jest sprężysty czysprężysto-plastyczny.Dla odmiany, na rys. 7.21 efekt skali jest niezauważalny. Zależność głębokości indentacjihoddługości strefy kontaktuszależy wyłącznie od tego, czy analizowany materiał jest sprężysty czy92

h0.090.080.070.060.050.040.030.020.01Sprężysto plastyczneSprężysteL=0.004mmL=0.002mmL=0.001mm00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2sRysunek 7.21: Zależność głębokości indentacjihod długości strefy kontaktussprężysto-plastyczny. Długość strefy kontaktu nie jest funkcją wymiaru charakterystycznego RVE.Należy zwrócić uwagę, że gdyby kalibrować parametry modelu materiały na podstawie doświadczeniaindentacji, dla którego obserwowany jest efekt skali, a następnie dla skalibrowanychparametrów np. porównać ścieżkę równowagi dla doświadczenia jednoośowego rozciągania z ścieżkąrównowagi otrzymaną, ze symulacji komputerowej, to dla klasycznego opisu kontinuum obserwowanebędzie zaniżona sztywność materiału. Z tej przyczyny by uzyskać miarodajne rezultaty, dosymulacji testu indentacji materiałów z mikrostrukturą, która ma pewien wymiar charakterystyczny,należy posługiwać się nieklasycznym opisem ośrodka ciągłego.93

Rozdział 8Sieci neuronowe w numerycznejhomogenizacjiDla materiałów niejednorodnych wymiar charakterystyczny mikrostruktury nie jest wyznaczany wwyniku procesu homogenizacji, lecz jest on parametrem modelu, który należy określić na podstawiedoświadczenia.Rozważona zostanie metoda estymacji wymiaru charakterystycznego RVE. Celem weryfikacjiproponowanego podejścia, wykorzystano numeryczny test indentacji opisany w poprzednim rozdziale,który będzie traktowany jako pseudo-doświadczenie. Ograniczono się do przypadku sprężystego,jednak prezentowane podejście może zostać zastosowane do bardziej złożonych materiałów.Przyjęto, że parametry konstytutywnych związków fizycznych, składników mikrostruktury zostałyokreślone na podstawie odrębnych doświadczeń. Po wykonaniu pseudo-doświadczenia, identyfikowanyjest wymiar charakterystyczny RVE.Ze względu na dużą liczbę informacji (dla344 próbek wykonano35 zagłębień indentera, gdziemierzono wartości siły oporu indenteraF i powierzchni kontaktusindentera z próbką), wykonanajest dekompozycja danych według składników głównych [28, 55] (ang. Principal Component Analysis,PCA). Dla problemu odwrotnego identyfikacji wymiaru charakterystycznego, budowany jestmodel za pomocą bayesowskiej sztucznej sieci neuronowej (BSSN). BSSN jest uczona za pomocądanych otrzymanych z pseudo-doświadczenia.8.1 Analiza składników głównych dla testu indentacjiAnaliza składników głównych (PCA) jest metodą, która prowadzi do redukcji danych. Oparta jest naliniowej transformacji do nowego układu współrzędnych, dla którego zbiór danych ma największąwariancję gdy jest rzutowany na pierwszą oś główną. Zbiór danych rzutowany na drugą oś współrzędnychma drugą w kolejności największą wariancję, itd. [28] Transformując dane do układuskładników głównych, a następnie zmniejszając wymiar przestrzeni danych do wymiarów mającychistotną wariancję, liczba danych zostaje zredukowana.Dane, o zerowej wartości średniej, wyrażone są za pomocą wektora losowegox=[ĥ1,ĥ2,...,ĥ35,ˆF 1 ,ˆF 2 ,...,ˆF 35 ,ŝ 1 ,ŝ 2 ,...,ŝ 35 ] T , (8.1)gdzieĥi,ˆF i iŝ i są odpowiednio głębokością zagłębienia indentera, wartościami siły oporu indenterai powierzchni kontaktu, pomierzonymi w35 krokach. Wielkość losowa (oznaczona daszkiemâ) jestokreślona wzoremâ=(a−E[a])/E[a]. Macierz korelacji jest określona wzoremR xx ≈ 1 p∑x k x Tpk= 1 p XXT , (8.2)k=194

gdziep=344 jest liczbą przeprowadzonych pseudo-doświadczeń dla pomierzonychh,siF . MacierzdanychXdana jest wzoremX=[x 1 ,x 2 ,...,x p ].Macierz autokorelacjiR xx jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną, dla której wartościwłasneλ j są liczbami rzeczywistymi i dodatnimi. Wiadomo również, że skojarzone z wartościamiwłasnymi wektory własnew j są do siebie ortogonalne. Wektory i wartości własne powiązane sązależnościąR xx w j =λ j w j . (8.3)MacierzW=[w 1 ,w 2 ,...,w p ] T jest macierzą przekształcenia PCA do układu składników głównych,zatem mamy transformacje [28]Y=WX (8.4)do przestrzeni składników głównych, gdzie wektorY=[y 1 ,y 2 ,...,y p ] T .Za [55] można pokazać, że transformacja PCA jest rozkładem macierzy korelacji według wartościwłasnych. Wektory własne, odpowiadające pierwszym wartościom własnym (uporządkowanymod największej do najmniejszej wartości), mają największy wkład w wariancję danych.8.2 Bayesowskie sieci neuronoweW tym podrozdziale rozważane zostanie podejście oparte na BSSN, której uczenie oparto na twierdzeniuBayesa:Pr(A|B)= Pr(B|A)Pr(B) , (8.5)Pr(A)gdzie odpowiedno: Pr(A) i Pr(B) jest prawdopodobieństwem zajścia zdarzeniaAiB, Pr(A|B) iPr(B|A) są prawdopodobieństwami warunkowymi zajścia zdarzeniaAiB, odpowiednio pod warunkiem,że zaszło zdarzenieB iA.Za [10] podane zostaną główne zalety prezentowanego podejścia:• metody oparte na minimalizacji błędu uczenia stanowią szczególny przypadek podejścia bayesowkiego• regularyzacja ma naturalną interpretację dla metody uczenia SSN opartej na podejściu Bayesa.Powszechnie stosowana jest technika uczenia SSN oparta na maksymalizacji funkcji wiarygodności(ekwiwalentna do minimalizacji funkcji błędu), która prowadzi do jednego zbioru wartości,wag sieci neuronowej. Dla sieci neuronowych, uczonych za pomocą wnioskowania bayesowskiegopodejście jest inne: poszukujemy funkcji gęstości prawdopodobieństwa (FGP), dla której wartościwag są zmienną losową. Charakter FGP reprezentuje stopień niepewności co do różnych wartościwag. FGP dla wag na początku przyporządkowany zostaje pewien z góry założony rozkład a priori.Po przedstawieniu SSN zbioru danych uczących, otrzymujemy FGP a posteriori dla wag.W przypadku klasycznych metod uczenia SSN, złożonym obliczeniowo elementem jest minimalizacjafunkcji błędu. Dla podejścia bayesowskiego, złożonym obliczeniowo momentem jestcałkowanie po wielowymiarowej przestrzeni wag. Analityczne metody lub standardowe metodynumerycznego całkowania zawodzą dla funkcji spotykanych w rozważanej metodzie uczenia SSN.Z tych przyczyn, dla rozważanego podejścia, stosowane są metody, które przy całkowaniu stosująlosowe próbkowanie po wielowymiarowej przestrzeni wag. Takie metody są oparte na podejściuMonte Carlo, por. [5].95

Metoda uczenia SSN oparta na podejściu bayesowskim, jest zbyt złożona, by pełen jej opis mógłbyć zamieszczony w tej pracy, z tej przyczyny ograniczono się do jej podstawowych wzorów. Funkcjagęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej wag oznaczona jest przezp(w), gdziew=[w 1 ,...,w W ]. Zbiór wyjść danych uczących oznaczony zostanie przezD≡{ˆL 1 ,...,ˆL N }.Gdy dane uczące zostaną przedstawione, zgodnie z twierdzeniem Bayesa, możemy napisać wyrażeniena funkcje rozkładu gęstości prawdopodobieństwa a posteriori:p(w|D)= p(D|w)p(w) , (8.6)p(D)gdzie wyrażenie w mianowniku jest współczynnikiem normalizującym danym wzorem∫p(D)= p(D|w)p(w)dw. (8.7)Funkcja wiarygodnościp(D|w) reprezentuje model szumu dla danych wyjściowych.Algorytm uczenia bayesowskiego wygląda następująco. Zaczynamy od pewnego prawdopodobieństwaa priorip(w). Ponieważ mamy małą wiedzę na temat, jakie powinny być wagi SNN,zatem funkcja gęstości prawdopodobieństwa a priori powinna wyrażać pewne ogólne właściwości,np. gładkość funkcji. Po uwzględnieniu danych pomiarowych, na podstawie twierdzenia Bayesa(8.6), obliczona jest FGP a posteriori. FGP a posteriori będzie bardziej zwarta niż FGP a priori,tzn. wariancja wag będzie mniejsza, ponieważ dostarczona została informacja, które wartości wagsą bardziej spójne z obserwacją. Warto dodać, że aby obliczyć FGP a posteriori należy przyjąć FGPa priorip(w) i założyć warunkowe FGPp(D|w).Ważnym elementem bayesowskiego podejścia uczenia SSN jest marginalizacja, która dla statycznegomodelu, daje przewidywane wartości danych wyjściowych na podstawie prawdopodobieństwarozkładu wag a posteriori i danych wejściowych. Dla obliczonej FGP, w wyniku marginalizacji,wartość oczekiwana wyjścia jest określoba wzorem∫= BSNN(y,w)p(w|D)dw. (8.8)8.3 Identyfikacja charakterystycznego wymiaru RVE na przykładzietestu indentacji8.3.1 Komputerowa symulacja testu indentacjiZa pomocą autorskiego programu wieloskalowego MES opartego na metodzie CH, przeprowadzonazostała symulacja testu indentacji. Przyjęto siatkę MES na poziomie mikro i makro, tak jak w podrozdziale7.3. Ze względu na złożoność problemu ograniczono się do zadań liniowo-sprężystych.Aby przeprowadzić komputerową symulacje testu indentacji losowano zbiór próbek za pomocągeneratora liczb losowych. Przyjęto, że próbki są niejednorodne, a parametry równań konstytutywnychskładników kompozytu (matrycy i inkluzji) fluktuują wokół pewnej wartości średniej z pewnąwariancją. W teście każda próbka miała wylosowany moduł Younga dla matrycy i inkluzji, za pomocągeneratora liczb losowych próbkującego z rozkładu Gaussa.Celem rozważanej metody jest estymacja wymiaru charakterystycznego, który jest funkcją danychpomiarowych. Aby otrzymać aproksymacje poszukiwanej funkcji, za pomocą symulacji MES,wygenerowano zbiór danych za pomocą generatora liczb losowych, losując dla każdej próbki wymiarcharakterystycznyL. Rozkład prawdopodobieństwa dlaLwybrano, opierając sie na hipotezie,że wymiar charakterystyczny jest zawsze większy od zera i jego rozkład prawdopodobieństwa jest96

niesymetryczny. Na tej podstawie rozważano rozkład prawdopodobieństwa Lognormalny i rozkładprawdopodobieństwa Gamma. Do obliczeń wybrano rozkład Gamma (nie istnieje literatura poświęconatemu zagadnieniu).N201816141210864200.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006L/L aveRysunek 8.1: Histogram dla wymiaru charakterystycznegoLdla344 losowań według rozkładuGamma o parametrachk=2 iθ=2, przeskalowanego os=10 − 3 i przesuniętego o wartośćw=0.5e−3Wymiar charakterystycznyLjest określony rozkładem prawdopodobieństwa Gamma o parametrachk=2iθ=2, funkcja gęstości prawdopodobieństwa określona jest wzorem:k−1 e−x/θp(L,k,θ)=xθ k Γ(K)dla x0, (8.9)gdzieΓ(k)= ∫ ∞0 t k−1 e −k dt. Wylosowane wartości z rozkładu Gamma skalowano o wartośćs=10 − 3 i przesuwano o wartośćw=0.5e−3. Histogram dla344 losowań umieszczony jest na rys. 8.1.W dalszej części pracy wymiar charakterystycznyLjest identyfikowany po uprzednim podzialezbioru na część do uczenia o liczebności144 elementów, a pozostała część użyta jest do testowania.16141210N8642141210N8642066 67 68 69 70 71 72 73E m0435 440 445 450 455 460 465 470E iRysunek 8.2: Histogram dla modułu Younga matrycyE m i modułu Younga inkluzjiE i dla344losowań według rozkładu normalnego o parametrachµ=70,σ 2 =100 iµ=450,σ 2 =500, odpowiedniodla matrycy i inkluzji97

Dla ustalonych wartości parametrów związków konstytutywnych składników mikrostruktury,danej ścieżce równowagi odpowiada dokładnie jeden wymiar charakterystyczny RVE. Na podstawiedanej ścieżki równowagi jednoznacznie można obliczyć wymiar charakterystycznyL.W rzeczywistości, każda z badanych w laboratorium próbek jest inna, parametry związkówfizycznych są różne, pomiary wykonywane są ze skończoną dokładnością. Z tego powodu do symulacjidoświadczenia przyjęto, że parametry związków fizycznych składników materiału wielofazowegofluktuują wokół pewnej wartości średniej. Losowano moduły Younga, matrycyE m i inkluzjiE i z rozkładu normalnego, o ustalonej wartości średniej i odchylenia standardowego, przyjmującparametry rozkładu normalnego:µ=70,σ 2 =100 iµ=450,σ 2 =500 odpowiednio dla matrycy iinkluzji. Na rys. 8.2 zamieszczono histogramy wylosowanych344 dla modułów Younga matrycy iinkluzji.8.3.2 PCADla rozważanego testu indentacji pierwsze 3 wartości własne są równeλ 1 =0.055, λ 2 =8.69e−06, λ 3 =4.83e−6.Ponieważ pierwsza wartość własna ma znacznie większy wkład w wariancję, niż pozostałe, analizajest ograniczona do wektora pierwszego składnika głównego. Wektor pierwszego składnika głównegodany jest wzoremŶ=w 1 X, (8.10)gdziew 1 jest wektorem własnym, odpowiadającym największej wartości własnejλ 1 . Zatem współczynnikiyk wektoraŶ są kombinacją liniową wektorów losowychx k.Transformacja PCA minimalizuje wartość oczekiwaną błędu rekonstrukcji danych określonegowzoremTE r =E[‖X−w1Ŷ‖], (8.11)który może być określony zależnościąp∑E r = λ i . (8.12)i=2Dla rozważanego przypadku błąd rekonstrukcji wynosiE r =2.52e−5. Warto dodać, że analizaPCA minimalizuje oczekiwaną wartość błędu rekonstrukcji i maksymalizuje oczekiwany błąd rzutowania,który dla naszego przypadku jest równy pierwszej wartości własnej.8.3.3 Regresja liniowaPo wykonaniu transformacji PCA za pomocą regresji liniowej, wyznaczona został zależność międzypierwszym składnikiem głównym, a identyfikowanym wymiarem charakterystycznymL, por.rys. 8.3 po prawej. Dodatkowo na rys. 8.3 po lewej umieszczono zależność między testowanym, aprzewidywanym wymiarem charakterystycznymL. Wyniki otrzymane za pomocą liniowej regresjidla zbioru testującego, w szczególności dla dużych wartościL, odbiegają znacząco od tych, którewynikają z analizy numerycznej. Dla podziału danych na144 elementowy zbiór uczący i200elementowy zbiór testujący, maksymalny błąd testowania dla zbioru testowania wynosi44%. Z tejprzyczyny w dalszej części pracy zostanie zaprezentowana metoda oparta na BSSN.98

L/Lave1.21.00.80.60.40.20.0Dane TestoweDane UcząceLinowa aproksymacja−0.6 −0.4 −0.2 0.00.2 0.4Pierwszy składnik głównyLprzewidywane/Lave1.41.21.00.80.60.40.2Średni kwadrat błędu uczenia0.0017Korelacja uczenia0.96Średni kwadrat błędu testowania0.0021Korelacja testowania0.950.2 0.4 0.6 0.8 1.01.2L testowe /L aveRysunek 8.3: Liniowa aproksymacja1.6L/Lave1.41.21.00.8Dane ucząceDane testująceWartość estymowanegoL/L aveStandardowe odchylenie3σ0.60.40.20.0−0.2−0.6 −0.4 −0.2 0.00.2 0.4Pierwszy współczynnik główny8.3.4 BSSNRysunek 8.4: Estymowana wartośćL/L aveDo uczenia SSN metodą bayesowską wykorzystano ogólnie dostępny program [52]. Do uczeniawybrano SSN o architekturze1−16−1 i sigmoidalnych funkcjach aktywacji. Skrypt napisany wpowłoce basha wywołujący funkcje programu [52] jest umieszczony poniżej:#!/bin/sh# Commands to apply a Bayesian neural network to the problem of identification# intristic lenght scale.# L. Kaczmarczyknet-spec mylog.net 1 16 1 / - 0.05:0.5 0.05:0.5 - x0.05:0.5 - 100model-spec mylog.net real 0.05:0.5data-spec mylog.net 1 1 / myrdata@1:144 . myrdata@145:344 .net-gen mylog.net fix 0.5mc-spec mylog.net repeat 10 sample-noise heatbath hybrid 100:10 0.2net-mc mylog.net 199

mc-spec mylog.net sample-sigmas heatbath hybrid 1000:10 0.4net-mc mylog.net 1000Przewidywana wartość wymiaru charakterystycznego RVE oraz jej wariancja przedstawione sąna rys. 8.4. Informacja o wariancji dlaLzmienia się zależnie od ilości informacji zawartej w zbiorzedanych uczących i jest funkcją pierwszego składnika głównego. Na rys. 8.4 obserwujemy dużąwariancje tam, gdzie jest mała liczba punktów zbioru uczącego. Wariancja wzrasta nieograniczenie,gdy oddalamy się od przedziału, w którym zawarte są wartościy zbioru uczącego. Na postaćwariancji na rys. 8.4 ma wpływ przyjęty rozkład prawdopodobieństwa z którego losowanoL. Założonyrokład prawdopodobieństwa Gamma odzwierciedla przekonanie do przewidywanej wartościL. Rozkład prawdopodobieństwa, z którego losowane jestLodzwierciedla wiedzę eksperta a priori.L/Lave1.41.21.00.80.60.40.20.0Dane TestoweDane UcząceNeuronowa aproksymacjaKwantyle10% i90%−0.6 −0.4 −0.2 0.00.2 0.4Pierwszy współczynnik głównyLprzewidywane/Lave1.21.00.80.60.40.2Średni kwadrat błędu uczenia0.00077Korelacja testowania uczenia0.98Średni kwadrat błędu testowania0.00098Korelacja testowania0.980.2 0.4 0.6 0.8 1.01.2L testowe /L aveRysunek 8.5: Neuronowe aproksymacje dla podziału danych na144 elementowy zbiór uczący i200elementowy zbiór testującyPo prawej na rys. 8.5 umieszczone są kwantyle10% i90% dla rozkładu prawdopodobieństwaL,pod warunkiem że znana jest wartośćy. W zależności od problemu wariancja przy znanymy będzie ulegać zmianie. Dla przypadku stałych wartości parametrów fizycznych komponentówmikrostruktury wariancja będzie równa zeru (przypadek idealny, w którym wszystkie próbki sąidentyczne). Z kolei, gdy wzrasta niepewność, co do dokładności parametrów związków konstytutywnychskładników mikrostruktury wariancja będzie większa. Im większa wariancja rozkładów zktórych losowanoE i iE m , tym większa będzie wariancja wartości oczekiwanejL. Należy dodać,że wartości średnie i ich wariancje powinny być określone na podstawie odrębnych doświadczeńwykonanych dla każdego z komponentów mikrostruktury.Po lewej rys. 8.5 umieszczona jest zależność pomiędzy wartościąLtestowanego iLprzewidywanegoprzez bayesowską SSN. W porównaniu do liniowej regresji średni błąd kwadratowy ikorelacja uległy znacznej poprawie. Widać że maksymalny błąd predykcji jest znacznie mniejszy,niż dla modelu liniowego.Zastosowanie SSN do identyfikacjiLna podstawie testu indentacji nie wymusza przyjęcia apriori postaci funkcji aproksymującej, co pozwala na aplikacje metody dla przypadków bardziejzłożonych. W szczególności dotyczy to problemów, gdy model ma większą liczbę wejść i poduwagę branych jest kilka pierwszych współczynników głównych.100

Rozdział 9Uwagi końcowe i wnioskiCelem badań przedstawionych w pracy jest modelowanie materiałów z mikrostrukturą, która mapewien wymiar charakterystyczny.Do budowy nowoczesnych konstrukcji stosowane są materiały o złożonej budowie. Ich wykorzystaniebędzie tym lepsze im lepsze będą modele opisujące pracę tych materiałów. Modelewieloskalowe, które uwzględniają istotne zjawiska zachodzące w mikroskopowej skali obserwacji,umożliwiają projektowanie konstrukcji, które są lżejsze, bezpieczniejsze i oszczędniejsze.Jest wiele metod, które służą opisowi zachowania niejednorodnego materiału. Makroskopowemodele ciała oparte są na modelach fenomenologicznych materiałów niejednorodnych. Można równieżdyskretyzwać mikroskopową budowę ciała. Te dwa podejścia mają pewne zalety, ale posiadająteż istotne wady. Często nie jest możliwa estymacja parametrów modelu fenomenologicznego zapomocą doświadczenia. Z kolei, gdy dyskretyzowana jest mikroskopowa budowa ciała, numerycznymodel ma dużą złożoność obliczeniową, przekraczajac ˛ a˛często możliwości komputerów. Alternatywąwobec wyżej wymienionych podejść są metody homogenizacji, w szczególności te metody,które uwzględniają duży zakres zjawisk zachodzących w skali mikro. Współcześnie metodą posiadającąogromny potencjał jest metoda numerycznej homogenizacji (CH).Metoda CH oparta jest na rozwiązaniu dwóch problemów brzegowych mechaniki, a dokładniejproblem w skali makro jest sprzężony z problemem w skali mikro. Podstawowymi cechami metodyCH są:• Metoda nie wymaga żadnych równań konstytutywnych w skali makro. Związki te są wyznaczanew sposób niejawny dla każdego przyrostu obciążenia. Niejawne związki konstytutywnewyznaczane są na podstawie numerycznego modelu reprezentatywnego elementu objętościowego(RVE). Do wyznaczenia niejawnych związków fizycznych w skali makro wymaganajest znajomość geometrii mikrostruktury oraz jej ewolucji, równań obowiązujących w mikrostrukturze,a w szczególności równań fizycznych i ich parametrów.• Analiza oparta na metodzie CH dostarcza informacji o polach wielkości makroskopowych imikroskopowych. W odróżnieniu od analitycznych i pół-analitycznych metod homogenizacji,metoda numerycznej homogenizacji pozwala na analizę rozkładu mikronaprężeń i mikroodkształceńw RVE.• Metoda CH umożliwia uwzględnienie nieliniowości materiałowych na poziomie mikro i makro.Każdy ze składników mikrostruktury może być opisany odrębnymi równaniami fizycznymi.Warto dodać, że znana jest duża liczba fenomenologicznych związków fizycznych dlaszerokiej gamy materiałów jednofazowych. Za pomocą metody CH budowane są niejawnezwiązki fizyczne materiału wielofazowego. Metoda umożliwia opis materiału makroskopowoanizotropowego lub takiego, którego anizotropia jest indukowana przez deformacje.101

• CH umożliwia uwzględnienie nieliniowości geometrycznych na makroskopowym i mikroskopowympoziomie obserwacji. Metoda ta umożliwia w szczególności uwzględnienie dużychdeformacji, a więc pozwala na opis zjawisk związanych z utratą stateczności materiału na poziomiemikro w wyniku utraty staczności mikrostruktury, jako przyczyny utraty statecznościmateriału.• Metoda CH umożliwia opis ewolucji geometrii mikrostruktury. Inne metody wieloskalowenie pozwalają na opis zjawisk, dla których geometria ulega zmianie. Możliwy jest międzyinnymi opis pękania zarówno matrycy jak i inkluzji. Możliwa jest analiza problemów, dlaktórych występuje zjawisko pękania na granicach składników kompozyt.Ze względu na złożoność metody, w pracy zawężono rozważania do pewnych zagadnień, przyjętouproszczenia, ale nie stanowią ograniczenia dla metody CH, a w szczególności rozważanoproblemy, którymi są:• problemy dwumiarowe,• problemy prawie statyczne (rzeczywisty czas nie występuje jawnie, siły bezwładności nie sąuwzględniane),• teorie ośrodka ciągłego z klasycznym i gradientowym opisem,• teorie geometrycznie liniowe w skalach mikro i makro,• materiały nielinowe, w szczególności o związkach fizycznych sprężysto-plastycznych ze wzmocnieniem.W pracy nie ograniczono się wyłącznie do zrozumienia i własnej implementacji opisów metodyCH dostępnej w literaturze. Oryginalnie elementy badań to:• sposób wyprowadzenia warunków brzegowych metody uśredniającej po RVE dla ośrodkagradientowego, który uwzględnia wszystkie możliwe typy warunków brzegowych dla RVE,np. statyczne, kinematyczne i periodyczne;• metoda wymuszania warunków brzegowych dla RVE za pomocą macierzy rzutujących. Metodata umożliwia przeprowadzenie analizy dla dowolnej metody uśredniającej, zgodnej ztwierdzeniem Hilla-Mandela. Ponadto, metoda może być bez trudu zastosowana do dowolnegokształtu RVE, np. kwadratu, okręgu;• wyprowadzono analityczną postać operatorów sztywności dla jednorodnego materiału rzęduII przy przyjęciu kwadratowego kształtu RVE;• zaproponowana metoda identyfikacji wymiaru charakterystycznego RVE. Metoda jest opartana budowie zredukowanego modelu odwrotnego, za pomocą sztucznych sieci neuronowych(SSN), której zbiór uczący wygenerowano na podstawie symulacji komputerowej indentacji.Metoda CH wymaga efektywnych algorytmów numerycznych, które pozwalają modelować zjawiskazachodzące w skali makro i mikro. Z tej przyczyny część pracy została poświęcona numerycznymzagadnieniom MES w metodzie komputerowej homogenizacji. Dotyczy to w szczególności:• implementacji ES dla ośrodka gradientowego w płaskim stanie odkształcenia,• zastosowano zredukowane całkowanie z stabilizacją dla ES, zyskując przez to:102

– na poziomie makro znacząco zmniejszono złożoność obliczeniową zadania;– na poziomie mikro, przez redukcję punktów całkowania w skończenie elementowymmodelu RVE, znacząco ograniczono rozmiar pamięci potrzebnej do przechowywaniazmiennych historycznych;– na poziomie mikro była możliwa analiza zadań dla materiałów prawie nieściśliwych lubsprężysto-plastycznych w płaskim stanie odkształcenia.• użyto metody zbiorów poziomujących (ang. Level Set) w rozszerzonej MES (XFEM) do opisugeometrii mikrostruktury na regularnej siatce elementów skończonych. Ta metoda posiadaduże możliwości zastosowań w CH, np. do opisu geometrii RVE w zadaniach trójwymiarowych.Przy zastosowaniu autorskiego systemu wieloskalowej MES, opartego na metodzie CH, rozwiązanotesty numeryczne obrazujące zalety rozważanej metody, a w szczególności jej wariantudla ośrodka gradientowego. Rozwiązano następujące zadania testowe:• Test zginania dla małej rozdzielności skal. Ze względu na charakter rozwiązania w skali makronie występują dla tego testu różnice między klasycznym i gradientowym kontinuum wmakroskopowej skali obserwacji. Na poziomie mikro różnice te są istotne. Dla ośrodka klasycznegoRVE się nie zgina, co prowadzi do niewłaściwego rozkładu pól mechanicznych wskali mikro.• Test cienkiej ścinanej warstwy obrazuje wpływ warunków brzegowych wyższego rzędu orazwymiaru charakterystycznego RVE na postać rozwiązania. Dodatkowo przedstawiono postaćdeformacji i rozkład naprężeń ścinających w RVE w wybranych makroskopowych punktach.Analizowany był również wpływ względnego rozmiaru RVE (reprezentatywności RVE) napostać rozwiązania.• Test indentacji uwypukla korzyści płynące z podejścia wieloskalowego MES, tzn. znacząca˛redukcję stopni swobody w stosunku do bezpośredniej dyskretyzacji mikrostruktury. Rozważanybył również wpływ wymiaru charakterystycznego RVE na twardość kompozytu. Dlatestu indentacji zaproponowano metodę identyfikacji wymiaru charakterystycznego RVE zapomocą bayesowskich sztucznych sieci neuronowych (BSSN).Metoda numerycznej homogenizacji dla klasycznego continuum wymaga obliczenia makroskopowegotensora odkształceń. Następnie, zgodnie z koncepcją lokalizacji, warunki brzegowe, równaniarównowagi, równania kinematyczne i związki konstytutywne prowadzą do klasycznego zadaniabrzegowego mechaniki. Zadanie to rozwiązane jest za pomocą MES. Zgodnie z koncepcji homogenizacji,obliczany jest makroskopowy tensor naprężenia i styczne operatory sztywności. MetodaCH dla klasycznego ośrodka ciągłego (rzędu I) stosowana jest do opisu materiałów o następującychwłaściwościach:• Wymiar charakterystyczny mikrostruktury jest bardzo mały w porównaniu do konstrukcji.Zgodnie z postulatem lokalności zakładamy, że stan naprężenia i odkształcenia w punkciezależy od bliskiego otoczenia tego punktu. Homogenizacja statystyczna I rzędu nie może byćstosowana, gdy jest mała rozdzielczość skal.• Nie jest obserwowany efekt skali.Kiedy tylko istnieje duża separacja skal oraz gdy nie występuje lokalizacja odkształceń w skalimakro, zalecane jest stosowanie podejścia opartego na numerycznej homogenizacji rzędu I.103

Uciekając od ograniczeń homogenizacji rzędu I, w pracy przedstawiono homogenizacje rzęduII. Do opisu ośrodka ciągłego w skali makro zastosowano continuum gradientowe, w którym opróczklasycznych miar odkształceń i naprężeń występują dodatkowe miary odkształceń i naprężeń, któresą funkcją drugich gradientów przemieszczeń. Podejście wymaga odpowiedniej koncepcji lokalizacji,tzn. wymuszenia deformacji RVE zgodnej z zadanymi makroskopowymi miarami odkształceńza pomocą warunków brzegowych, nałożonych wyłącznie na przemieszczenia (nie gradienty przemieszczeń)na brzegu RVE oraz stosowania koncepcji homogenizacji, tzn. obliczenia makroskopowychmiar makronaprężeń, obliczonych wyłącznie na podstawie wartości sił brzegowych (a nieich gradientów). Szczególną cechą rozważanego podejścia jest, że na poziomie mikro continuumpozostaje klasyczne. Rozpatrywanie zadania w skali mikro, za pomocą klasycznego opisu continuum,jest istotne ze względów praktycznych. Istnieje duża liczba związków konstytutywnych dlamateriałów jednofazowych klasy I w porównaniu do bardzo małej liczby związków konstytutywnychmateriałów klasy II. Numeryczna homogenizacja rzędu II pozwala na analizę następującychproblemów:• charakterystyczny rozmiar mikrostruktury nie może być pominięty w porównaniu do charakterystycznegorozmiaru analizowanego ciała w skali makro,• istotne są efekty wyższego rzędu związane z warunkami nałożonymi na gradienty przemieszczeń,• odpowiedź mikrostruktury jest czuła na gradient deformacji, tzn. dla problemów, w którychwystępuje lokalizacja wewnątrz mikrostruktury.Z analizy przeprowadzonych testów numerycznych i rozwiązania analitycznego wynikają następującewnioski:1. Dla rozważanego przypadku kwadratowego RVE i mikroskopowo jednorodnego materiału,np. danego równaniami Hooke’a, każda deformacja RVE, zgodna z odkształceniem rzędu I,prowadzi do jednorodnego pola mikronaprężeń i mikroodkształceń. Innymi słowy, mikrofluktuacjapola przemieszczeń w każdym punkcie RVE jest równa zero, gdy materiał jest mikrskopowojednorodny. Zatem, makronaprężenie nie zależy od rodzaju metody uśredniającej,tzn. od typu warunków brzegowych.2. Deformacja RVE, dla kinematycznych warunków brzegowych i mikroskopowo jednorodnegomateriału, wywołana odkształceniem rzędu II, prowadzi do pola mikrofluktuacji przemieszczeń,które jest różne od zera. Dla periodycznych i naprężeniowych warunków brzegowychpole mikrofluktuacji przemieszczeń jest równe zeru w każdym punkcie RVE. Zatem mimo,że materiał jest mikroskopowo jednorodny, równanie konstytutywne otrzymane dla skali makrojest zależne od sposobu wymuszania deformacji RVE. Jednak, gdy deformacja RVE wywołanajest miarami makroodkształceń rzędu I i II, które spełniają równanie równowagi wskali makro, metoda uśredniająca (warunki brzegowe przemieszczeniowe, periodyczne lubstatyczne) dla materiału mikroskopowo jednorodnego prowadzą do identycznego tensora makronaprężeńrzędu I i II. Ten wniosek jest istotny, ponieważ dla przypadku materiału niejednorodnego,w granicy warunki brzegowe naprężeniowe, periodyczne i przemieszczeniowebędą prowadzić do identycznego pola makroskopowych naprężeń.3. Materiałowy operator sztywności dla ośrodka gradientowego, otrzymany dla kwadratowegoRVE, mikroskopowo jednorodnego materiału i naprężeniowych warunków brzegowych, jestfunkcją wymiaru boku RVE. Innymi słowy, w przeciwieństwie do homogenizacji rzędu I,sztywność materiału jest funkcją wymiaru charakterystycznego RVE.104

4. Wymiar charakterystyczny RVE nie jest obliczony w wyniku procesu homogenizacji, leczjest makroskopowym parametrem modelu, który w ogólnym przypadku należy wyznaczyćna podstawie eksperymentu. W pracy zaproponowano metodę umożliwiającą identyfikacjewymiaru charakterystycznego RVE z zastosowaniem BSSN i doświadczenia indentacji.5. Postać makroskopowych związków konstytutywnych zależy od liczby osi symetrii RVE.Otrzymanie związków fizycznych Mindlina dla ośrodka rzędu II jest możliwe wyłącznie,gdy objętość RVE jest kulą w 3D i okręgiem w 2D (materiał Mindlina jest materiałem centrosymetrycznym).Metoda wymuszania deformacji RVE, zgodnie z makroskopowymi miaramiodkształceń, oparta na macierzach rzutujących, może być bez trudu uogólniona do przypadkuRVE o dowolnym kształcie.6. Metoda numerycznej homogenizacji będzie prowadzić do błędnych wyników jeżeli, drugigradient przemieszczeń nie jest stały wewnątrz RVE.Praca dotyczy w ograniczonym stopniu komputerowej implementacji metody numerycznej homogenizacji.Nie oznacza to jednak, że te zagadnienia są trywialne. Na implementację komputerowejmetody autor poświęcił większość czasu. Należy podkreślić, że metoda wymaga trudnejimplementacji na komputery wieloprocesorowe o pamięci rozproszonej.105

Dodatek AImplementacja metody numerycznejhomogenizacjiWszelkie czasochłonne algorytmy stosowane w pracy programowano w C++, procedury materiałowezostały sformułowane w języku Fortran. Stosując technologie osadzania i rozszerzania, interfejsużytkownika został przeniesiony do skryptowego języka Python za pomocą programu SWIG.Ciągi układów liniowych, wynikających z zastosowanej metody dyskretyzacyjnej, zostały rozwiązywaneprzy zastosowaniu solwerów SuperLU lub WSMP. Dokonano takiego wyboru solwerówze względu na możliwość rozwiązywania układu równań w wątkach, co daje lepsze wykorzystaniedostępnej mocy obliczeniowej komputerów wieloprocesorowych (węzły klastra linuksowego/unikowegoposiadają często kilka procesorów, które współdzielą pamięć, zob. A.1).Klaster linuksowy/uniksowyPamięć Pamięć000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Pamięć000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Pamięć000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Pamięć000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Pamięć000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111111 200000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111000000000011111111113 40000000000111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000001111111111Rysunek A.1: Schemat klastra linuksowego/uniksowegoAlgorytm numerycznej homogenizacji jest równoległy w naturalny sposób. Do komunikacjimiędzy procesami wykorzystano bibliotekę MPICH opartą na standardzie MPI dla pamięci rozproszonej.Zrównoleglony algorytm pozwolił na wykorzystanie mocy komputerów dostępnych wmacierzystym instytucie ITIwIL.Wizualizacje realizowano za pomocą programu/biblioteki OpenDX, po uprzednim przygotowaniuzbiorów wynikowych. Do wygładzania i aproksymacji wyników wykorzystano procedurę fortranowską,opartą na metodzie ruchomych najmniejszych kwadratów, która została udostępnionaautorowi i napisana przez W. Cecota.106

A.1 Wdrożone biblioteki i programy• Getfem++: Generic Finite Element library in C++.• Gmm++: Generic Template Matrix C++ Library.• OpenDX: IBM Visualization Data Explorer.• HDF5: General purpose library and file format for storing scientific data.• MPICH: Portable Implementation of MPI, the Standard for message-passing libraries.• WSMP: Watson Sparse Matrix Package.• Python: Interpreted, interactive, object-oriented programming language.• SWIG.• Doxygen: Doxygen is a documentation system for C++, C.• Inne popularne narzędzia systemu UNIX/Linux.Wymienione oprogramowanie posiada licencje GNU lub jest darmowe w przypadku zastosowanieniekomercyjnego lub naukowego.PythonMPICOHOHDF5GetFem++SuperLU/WSMPUnix (Linux)Rysunek A.2: Schemat współpracy bibliotek; COHO część autorska systemuGetfem Ogólna biblioteka metody elementów skończonych. Umożliwia aproksymacje obszarówjedno i wielowymiarowych, funkcji skalarnych, wektorowych i tensorowych. Po własnej modyfikacjimożliwa jest również analiza zadań geometrycznie i fizycznie nieliniowych zadańmechaniki jedno i wieloskalowych.http://www.gmm.insa-tlse.fr/getfem/Gmm++ Ogólna bibliotekę algebry liniowej współpracująca z BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms),LAPACK (Linear Algebra PACKage), SyperLU.http://www.gmm.insa-tlse.fr/getfem/107

OpenDX Program i biblioteka pomocna wizualizacji danych naukowych.http://www.opendx.orgHDF5 Biblioteka ogólnego użytku będąca standardem zapisywania danych naukowych do pliku.Umożliwia zapis i odczyt pliku przez wiele procesów jednocześnie.http://hdf.ncsa.uiuc.edu/HDF5/MPICH Przenośna biblioteka zgodna z standardem MPI. Umożliwia komunikacje pomiędzy procesamidziałającymi równolegle.http://www-unix.mcs.anl.gov/mpi/mpich/WSMP Solver równoległy dla pamięci dzielonej i rozproszonej.http://www-users.cs.umn.edu/ agupta/wsmp.htmlSuperLU Solver równoległy dla pamięci dzielonej i rozproszonej.http://crd.lbl.gov/ xiaoye/SuperLU/Python Interpreter obiektowo zorientowanego języka programowania. Poprzez technologie osadzaniai rozszerzania wykorzystywany jako interpreter danych i kontroler algorytmu w analiziemetody elementów skończonych.http://www.python.orgSWIG Oprogramowanie służące do łączenia C,C++ z językami skryptowymi, między innymi pythonem.http://www.swig.orgDoxygen Program do tworzenia automatycznej dokumentacji oprogramowania w postaci stronwww, plików postscriptowych i innych formatach. http://www.stack.nl/ dimitri/doxygen/Ogólny opis własnego programu COHO został wykonany w ramach subsydium FNP [35].108

PodziękowaniaCzęść pracy została wykonana w ramach Subsydium FNP (Subsydium Profesorskie Nr 13/2001)i projektu badawczego MNI Nr 4 T07E 060 29.109

Bibliografia[1] Ainsworth M. Essential boundary conditions and multi-point constraints in finite elementanalysis. Comput. Methods, Appl. Mech. Engrg,, 190:6323–6339, 2001.[2] Amanatidou E. and Aravas N. Mixed finite element formulations of strain-gradient elasticityproblems. Computer methods in applied mechanics and engineering, 191:1723–1751, 2002.[3] Arnold D.N. Mixed Finite Element Methods For Eliptic Problems.[4] Babuuska I. and Narasimhan R. The Babuska-Brezzi condition and the patch test: an example.Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 140(1997):183–199, 1996.[5] Barber D. and Bishop C.M. Neural networks and machine learning, chapter Ensemble learningin bayesian neural networks, pages 215–237. Springer, 1998.[6] Bathe K.J. The infsup condition and its evaluation for mixed fnite element methods. Computersand Structures, 79(2001):243–252, 1999.[7] Belytschko T., Liu Kam Wing, and Moran B. Nonlinear Finite Elements for Continua andStructures. John Wiley & Sons, Ltd, 2001.[8] Belytschko T., Moës N., Usui S., and Parimi C. Arbitrary discontinuities in finite elements.International Journal For Numerical Methods In Engineering, 50:993–1013, 2001.[9] Bensoussan A, Lions J.L, and Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures.North-Holland, 1978.[10] Bishop M.C. Neural networks for pattern recognition. Oxford, 1996.[11] Borkowski A., Cichoń Cz., Radwańska M., Sawczuk A., and Waszczyszyn Z. Mechanikabudowli. Ujȩcie komputerowe. Arkady, Warszawa, 1995.[12] Boso D.P., Schlefler B.A., Gabin B., Gross D., Karihaloo B.L., and et al. TR2-5: Micromacrotransition, multiscale modelling, effective properities. Technical report, Network ofExcellence: KMM NoE, 2005.[13] Bucaille J.L., S. Stauss, E. Felder, and J. Michler. Determination of plastic properties of metalsby instrumented indentation using different sharp indenters. Acta Materialia, 51:1663–1678,2003.[14] Cichon Cz., Cecot W., Krok J., and Plucinski P. Metody komputerowe w liniowej mechanicekonstrukcji. Politechnika Krakowska, 2002.110

[15] Commend S., Truty A., and Zimmermann T. Stabilized finite elements applied to elastoplasticity:I. Mixed displacement-pressure formulation. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,193:3559–3586, 2004.[16] De Borst R. Encyclopedia of Computational Mechanics; Solids and Structures, chapter Damage,Material Instabilities, and Failure, pages 335–373. John Wiley & Sons, 2004.[17] De Borst R., Van Der Giessen E., and et al. Material Instabilities in Solids. John Wiley &Sons, 1998.[18] Eriungen A. C. Mechanics of Contiuna. John Wiley & Sons, New York, 1967.[19] Eshelby J.D. The determination of the field of an ellipsoidal inclusion and related problems.Proc. R. Soc. Lond, 241:376–396, 1957.[20] Feyel F. Multiscale FE2 elastoviscoplastic analysis of composite structures. ComputationalMaterials Science, 16:344–354, 1999.[21] Feyel F. Multiscale FE2 elastoviscoplastic analysis of composite structures. ComputationalMaterials Science, 1999.[22] Feyel F. A multilevel finite element method (FE2) to describe the response of highly non-linearstructures using generalized continua. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, (192):3233–3244, 2003.[23] Fleck N.A. and Hutchinson J.W. Strain Gradient Plasticity. Advanced in Applied Mechanics,33:295–361, 1997.[24] Fleck N.A. and Hutchinson J.W. A Discussion of Strain Gradient Plasticity Theories andApplication to Shear Bands. Material Instabilities in Solids, pages 507–519, 1998.[25] Ghosh S., Kyunghoon L., and Moorthy S. Two scale analysis of heterogenous elasto-plasticmaterials with asymptotic homogenization and Voronoi cell finite element model. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg., 132:63–116, 1996.[26] Gitman Inna M. Representative volumes and multi-scale modlling of quasi-brittle materials.PhD thesis, Technische Universiteit Delft, 2006.[27] Hashin Z and Shtrikman S. On some variational principles in anisotropic and nonhomogenouselasticity. J. Mech. Phys. Solids, 10:335–342, 1962.[28] Haykin S. Neural Networks A Comprehensive Foundation. Prentice Hall International, Inc.,1999.[29] Hill R. The elastic behaviour of a crystaline aggregate. Proc. Phys. Soc, 21:357–372, 1952.[30] Hill R. A self-consistent mechanics composite materials. J. Mech. Phys. Solids, (13):213–222,1965.[31] Hinton E. and Campbell J. Local and global smoothing of discontinued finite element functionsusing a least square method. International Journal Numerical Methods and Engineering,8(1974):461–480, 1974.111

[32] Hu Y-Kan and Nagy L.I. A one-point quadrature eight-node brick element with hourglasscontrol. Computers and Structures, 65(6):893–902, 1997.[33] Hughes T.J.R. The Finite Element Method. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1987.[34] Kaczmarczyk Ł. Implementacja i sformułowanie tarczowego elementu skończonego w ujȩciuhybrydowym-Trefftza, model nprȩżeniowy. Master’s thesis, Politechnika Krakowska, 2001.[35] Kaczmarczyk Ł. COHO1 program do homogenizacji obliczeniowej rzȩdu I. Technical report,Instytut Metod Komputerowych w Inżynierii La¸dowej, 2005.[36] Kasper E.P and Taylor R.L. A mixed-enhanced strain method Part I: Geometrically linearproblems. Computers and Structures, 75:237–250, 2000.[37] Klaas O., Maniatty A., and Shephard M.S. A stabilized mixed Fnite element method for Fniteelasticity. Formulation for linear displacement and pressure interpolation. Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg., 180:65–79, 1999.[38] Kompi˘s V., Konol’ F., and Va˘sko M. Trefftz-polynomial reciprocity based FEM formulations.Computer Assisted Mechanics and Engineering Science, 8(2/3):385–398, 2001.[39] Kouznetsova V.G. Computational homogenization for the multi-scale analysis of multi-phasematerials. PhD thesis, Technishe Universitiet, Eindhoven, 2002.[40] Kouznetsova V.G., Geers M.G.D., and Brekelmans V.A.M. Multi-scale second-order computationalhomogenization of multi-phase materials: a nested finite element solution strategy.Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 194:5525–5550, 2004.[41] Kouznetsova V.G., Geers M.G.D., and Brekelmans W.A.M. Size of a Representative VolumeElement in a Second-Order Computational Homogenization Framework. InternationalJournal for Multiscale Computational Engineering, 2(4):575–598, 2004.[42] Liszka T. and Orkisz J. The finite difference method at arbitrary irregular grids and its applicationsin applied mechanics. Comp. & Struct., 11:83–95, 1980.[43] Maplesoft. Maple. http://www.maplesoft.com/.[44] Massart T.J. Multi-scale modeling of damage in masonary structures. PhD thesis, TechnisheUniversiteit Eindhoven, 2003.[45] Matuszak A. Czȩściowa wymiana materiału bez zmiany stanu naprȩżenia w płaskich zagadnieniachteorii sprȩżystości. PhD thesis, Politechnika Krakowska, Kraków, 2003.[46] Miehe C. and Koch A. Computational micro-to-macro transitions of discretized microstructuresundergoing small strains. Archive of Applied Mechanics, 72:300–317, 2002.[47] Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity. Archives Rational Mechanical Analysis,16:52–77, 1963.[48] Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity. InternationalJournal of Solids and Structures, 1:417–438, 1965.[49] Mindlin R.D and Tiersten H.F. Effects of Copule-stresses in Linear Elasticity. Archives RationalMechanical Analysis, 1972.112

[50] Moës N., Dolbow J., and Belytschko T. A Finite Element Metchod For Crack Growth WithoutRemeshing. International Journal For Numerical Methods In Engineering, 1999(46):131–150, 1999.[51] Mühlhaus H.B., editor. Continuum Models for Materials with Microstructure. John Wiley &Sons, 1995.[52] Neal R. Software for Flexible Bayesian Modeling and Markov Chain Sampling.http://www.cs.toronto.edu/ radford/fbm.software.html, 2004.[53] Nemat-Nasser S. and Hori M. Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials.Elsevier, 1999.[54] Nowacki W. Teoria sprȩżystości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1970.[55] Osowski S. Sieci neuronowe do przetwarzania informacji. Politechnika Warszawska, 2000.[56] Pamin J. Gradient-enhanced continuum models: formulation, discretization and application.Monografia, Politechnika Krakowska, Kraków, 2004.[57] Polizzotto C. Unified thermodynamic framework for nonlocal/gradient continuum theories.European Journal of Mechanics, 22:651–668, 2003.[58] Reese S., Kussner M., and Reddy B.D. A new stabilization technique for finite elements innon-linear elasticity. A new stabilization technique for finite elements in non-linear elasticity,44:1617–1652, 1999.[59] Reese S. and Wriggers P. A stabilization technique to avoid hourglassing in finite elasticity.International Journal For Numerical Methods in Engineering, 48(2000):79–109, 2000.[60] Rymarz Cz. Mechanika ośrodków cia¸głych. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa,1993.[61] Sethian J.A. Fast Marching Method and Level Set Methods. Dept. of Mathematics, Univ. ofCalifornia, Berkeley, California 94720. http://math.berkeley.edu/ sethian/level_set.html.[62] Sethian J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods Evolving Interfaces in ComputationalGeometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science. CambridgeUniversity Press, 1999.[63] Shu J.Y., King W.E., and Fleck N.A. Finite element for materials with strain gradient effects.International Journal For Numerical Methods in Engineering, 44(1999):373–391, 1999.[64] Simo J.C. and Hughes T.J.R. Computational Inelasticity. Springer, New York, 1998.[65] Squet P. M. Plasticity today: modelling, methods and applications, chapter Local and globalaspects in the mathematical theory of plasticity, pages 279–310. Elsevier, London, 1985.[66] Strang G. Introduction to applied mathematics. Wellesley-Cambridge Press, 1986.[67] Strzelecki T. and et al. Mechanika ośrodków niejednorodnych. Teoria homogenizacji.Dolnośla¸skie Wydawnictwo Naukowe, 1996.113

[68] Sukumar N., Chopp D.L., Moës N., and Belytschko T. Modelling holes and inclusions by levelset method in the extended finite-element method. Computer Methods in Applied Mechanicsand Engineering, 190:6183–6200, 2001.[69] Swaddiwudhipong S., Tho K.K., Hua J., and Liu Z.S. Mechanism-based strain gradient plasticityin C0 axisymmetric element. International Journal of Solids and Structures, (43):1117–1130, 2006.[70] Toupin R.A. Elastic Materials with Couple-stresses. Archives Rational Mechanical Analysis,11:385–413, 1968.[71] Truty A. On certain classes of mixed and stabilized mixed finite elements formulations forsingle and two-phase geomaterials. Monografia, Politechnika Krakowska, Kraków, 2002.[72] Ventura G., Xu J.X., and Belytschko T. A vector level set method and new discontinuityapproximations for crack growth by EFG. International Journal for Numerical Methods InEngineering, 54:923–944, 2002.[73] Weisste E.W. Partition of Unity. MathWorld–A Wolfram Web Resource.http://mathworld.wolfram.com/PartitionofUnity.html.[74] Wells G.N. Discontinuous modelling of strain localisation and failure. PhD thesis, DelftUniversity of Technology, 2001.[75] Wriggers P. Computational Contact Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd, 2002.[76] Zienkiewicz O.C. and Taylor R.L. The Finite Elemet Method for Solid And Structural Mechanics.Elsevier, 2005.[77] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., and Zhu J.Z. The Finite Element Method; Its Basis & Fundamentals.Elsevier, 2005.[78] Zienkiweicz O.C and Taylor R.C. The Finite Element Method. McGraw-Hill, New York,1991.[79] Zohdi I.T. Encyclopedia of Computational Mechanics, volume Solids and Structures, chapterHomogenization Methods and Multiscale Modleling, pages 407–430. John Wiley & Sons,2004.114