Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR - Matematika pro ...

Poznámka 4.10. Aby nedošlo k mylné interpretaci předchozí věty, zdůrazněme, že věta předpokládá,že pokud máme klasické řešení u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) úlohy (4.17), o kterém už víme, žeu ∈ C 2,α (Ω), pak je jeho norma odhadnuta nerovností (4.20). Věta neříká, že každé klasické řešeníu ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), úlohy (4.17) má normu ‖u‖ C 2,α (Ω)odhadnutou nerovností (4.20) a tudíž je již zC 2,α (Ω).Poznámka 4.11. Všimněte si, že na pravé straně nerovnice (4.20) vystupuje též norma ‖u‖ C0 (Ω)a proto Věta 4.9 zahrnuje i případ, kdy L má netriviální jádro. Například Dirichletova úloha naomezené oblasti Ω ⊂ R N s hranicí třídy C 2,αΔu + λ 1 u = 0 v Ω ,u = 0 na ∂∂Ω ,kde λ 1 je první vlastní číslo, má nekonečně mnoho řešení. Tato řešení lze psát ve tvaru u = t φ 1 , kdet ∈ R a φ 1 je první vlastní funkce operátoru Δ s homogenní Dirichletovou podmínkou na ∂∂Ω.Poznámka 4.12. Konstanta C závisí na oblasti Ω v tom smyslu, že C závisí na konstantě K, kteráomezuje C 2,α normy zobrazení ψ, která lokálně reprezentují hranici ∂∂Ω.Věta 4.13 (Existence klasického řešení Dirichletovy úlohy, Gilbarg-Trudinger [9], Věta6.8, str. 100). Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N je oblast s hranicí třídy C 2,α . Nechť L splňuje stejnépředpoklady jako ve Větě 4.9 a nechť navíc c(x) ≦ 0 všude v Ω. Za těchto předpokladů platí následujícíimplikace. Má-li Dirichletova úloha pro Poissonovu rovniciΔu = f v Ω ,u = g na ∂∂Ωřešení v prostoru C 2,α (Ω) pro každé f ∈ C 0,α (Ω) a každé g ∈ C 2,α (Ω), potom má i úlohaLu = f v Ω , (4.21)u = g na ∂∂Ω (4.22)jednoznačné řešení v prostoru C 2,α (Ω) pro každé f ∈ C 0,α (Ω) a každé g ∈ C 2,α (Ω).Obsah265. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno