Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR - Matematika pro ...

Vysoká škola báňská – Technická univerzita OstravaZápadočeská univerzita v PlzniProstory funkcí a řešitelnost základních typů parciálních diferenciálních rovnic -elektronický učební text s podporou interaktivních prvkůJiří Benedikt, Petr Girg, Petr TomiczekObsah1. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č.CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská – Technickáuniverzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah2. strana ze 343Jiří Benedikt, Petr Girg, Petr TomiczekProstory funkcí a řešitelnost základních typů parciálních diferenciálních rovnic - elektronický učebnítext s podporou interaktivních prvků◭ ◭ ◮ ◮◭◮c○ Jiří Benedikt, Petr Girg, Petr Tomiczek, 2012ISBNZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

PředmluvaVážený čtenáři,Obsah3. strana ze 343předložený text se váže ke stejnojmennému modulu vytvořeného v rámci řešení projektu„Matematika pro inženýry 21. století– inovace výuky matematiky na technických školách v novýchpodmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti“.V textu jsou vyloženy základní partie týkající se abstraktních prostorů, prostorů funkcí, prostorůdistribucí a jejich aplikace na řešení úloh pro eliptické, parabolické a hyperbolické parciálnídiferenciální rovnice.Cílem předkládaného textu je vysvětlit, že existence a násobnost řešení okrajových úloh parciálníchdiferenciálních rovnic závisí na funkčním prostoru, v němž tato řešení hledáme. Čtenářbude seznámen se základními poznatky z teorie prostorů diferencovatelných funkcí, integrovatelnýchfunkcí, teorií distribucí a teorií Sobolevových prostorů. Teoretické poznatky jsou pak aplikoványpři studiu existence řešení základních typů diferenciálních rovnic. Základním pojmem, na kterémstavíme, je distribuce.◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Text byl vysázen pomocí sázecího systému TEX ve formátu pdf L A TEX.Tento a také ostatní výukové materiály vzniklé v rámci projektu Matematika pro inženýry 21.století lze najít na stránkách http://mi21.vsb.cz/ a http://mi21.zcu.cz/.Text byl vysázen pomocí sázecího systému TEX ve formátu pdf L A TEX 2ε.Obsah4. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮V Plzni 30. 6. 2012Jiří Benedikt, Petr Girg, Petr Tomiczek◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 1Abstraktní prostory a prostoryfunkcíObsah5. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemV této kapitole se seznámíte se základními poznatky z funcionální analýzy (teorie topologických, metrických,lineárních, normovaných, Banachových a Hilbertových prostorů) a teorie míry (měřitelnýprostor a prostor s mírou, σ-algera, konstrukce míry, Lebesgueův integrál). Uvedené poznatky z funkcionálníanalýzy a teorie míry se pak společně uplatní v teorii prostorů integrovatelných funkcí. Nazávěr kapitoly uvedeme ještě základy teorie prostorů spojitých funkcí. Tato kapitola má přípravnýcharakter pro moderní přístup k teorii parciálních diferenciálních rovnic a doporučujeme si ji přečístjako první. Funkcionální analýza i teorie míry jsou v současné době velmi rozsáhlé teorie a v tétoúvodní kapitole pokrýváme jen velmi základní témata nutná k pochopení dalších částí tohoto učebníhotextu.1.1. Abstraktní prostory1.1.1. Topologický prostorV následujícím textu uvažujeme systémy {A i } i∈I prvků nějaké množiny B (∀i ∈ I : A i ∈ B) popsanépomocí indexu i z množiny I, která může být spočetná i nespočetná. Systém {A i } i∈I chápeme jakozobrazení I → B, které indexu i ∈ I přiřadí prvek A i ∈ B. Je-li I = N, pak {A i } i∈N je posloupnostprvků v B a zapisujeme to též jako {A i } ∞ i=1 . Je-li I = {1, 2, . . . , M} konečná podmnožina N, píšeme{A i } M i=1 . V tomto textu je většinou I ⊂ R.Obsah6. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.1 (Topologie, topologický prostor, spojitost, [20], Definice 1.2). Nechť X jeneprázdná množina.1. Systém T ⊂ 2 X podmnožin množiny X se nazývá topologie na X, má-li následující tři vlastnosti(T1) ∅ ∈ T a X ∈ T .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(T2) ∀M ∈ N ∀{V i } M i=1 ⊂ T : M⋂︀V i ∈ T .i=1(T3) ∀{V⋃︀ α } α∈I ⊂ T (indexová množina I může být konečná, spočetná i nespočetná), platíV α ∈ T .α∈I2. Je-li T topologie na X, nazýváme (X, T ) topologický prostor a prvky systému T nazývámeotevřené množiny v X.3. Jsou-li X, Y topologické prostory a f : X → Y zobrazení X do Y , říkáme, že f je spojité právětehdy, když pro každou otevřenou množinu V ⊂ Y je její vzor f −1 (V ) otevřená množina v X.Definice 1.2 (Uzavřenost a kompaktnost, [20], Definice 2.3). Nechť (X, T ) je topologickýprostor .(1) Množina E ⊂ X je uzavřená, jestliže X ∖ E ∈ T .(2) Uzávěr E množiny E ⊂ X je nejmenší uzavřená podmnožina X obsahující E (nejmenší vesmyslu inkluzí).(3) Množina K ⊂ X je kompaktní, jestliže pro každý systém {V α } α∈I ⊂ T : K ⊂ ⋃︀ α∈I V α existujekonečný podsystém, jehož sjednocení obsahuje K. (Říkáme, že z každého pokrytí kompaktnímnožiny K otevřenými množinami lze vybrat konečné podpokrytí).Obsah7. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(4) Jestliže X je kompaktní množina, nazývá se kompaktní prostor.(5) Okolí bodu x ∈ X je každá U ∈ T taková, že x ∈ U.(6) (X, T ) je Hausdorffův prostor, jestliže platí:∀p, q ∈ X ∃U, V ∈ T : p ≠ q =⇒ (p ∈ U) ∧ (q ∈ V ) ∧ (U ∩ V = ∅)(tzv. axiom oddělitelnosti dvou bodů).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(7) X je lokálně kompaktní, jestliže∀x ∈ X ∃U ∈ T : x ∈ U ∧ U je kompaktní .Poznámka 1.3. Kompaktnost hraje ústřední roli v aproximaci. Většina metod hledání řešení je naaproximaci a postupném přibližování k řešení založena. Proto nás bude velmi zajímat charakterizacekompaktnosti podmnožin v různých prostorech.Topologii T lze často vyjádřit pomocí menší množiny zvané báze.Definice 1.4. Báze topologického prostoru (X, T ) je soustava otevřených množin B ⊂ T taková,že každá otevřená množina A ∈ T se dá zapsat jako sjednocení prvků v B, tj.∀A ∈ T ∃{τ α } α∈I ⊂ B : A = ⋃︁ i∈Iτ α .ObsahDefinice 1.5. Necht’ (X, T ) je topologický prostor, {u i } +∞i=1 ⊂ X je posloupnost bodů z X au ∈ X. Jestliže ke každému okolí G bodu x existuje index n G ∈ N takový, že u n ∈ G pro všechnan > n G , řekneme, že posloupnost {u i } +∞i=1 konverguje k bodu u ∈ X a píšeme x n → x v (X, T ) nebolim u i = u, případně takéi→∞x n(X,T )−→ x .8. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

c) pro každou množinu A∈T platíX ∖A je otevřenáA je otevřená i uzavřenáA je uzavřenáA je otevřenád) pro uzavřenou množinu A⊂X a kompaktní množinu E ⊂X platíA⊂E, pak A je kompaktníE ⊂A, pak E je uzavřenáA∩E je uzavřená(X ∖A)∩E, je kompaktníObsah10. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.1.3. Metrický prostorDefinice 1.6. Nechť X ≠ ∅ je libovolná množina a ρ: X × X → [0, +∞) splňuje pro všechnax, y ∈ X podmínky(MT1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,(MT2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (symetrie),(MT3) ρ(x, y) ≦ ρ(x, z) + ρ(z, x) (trojúhelníková nerovnost ).Potom zobrazení ρ říkáme metrika a dvojice (X, ρ) se nazývá metrický prostor.Poznámka 1.7. Metrický prostor je zároveň topologickým prostorem. Na metrickém prostoru Xuvažujeme tzv. zobecněné koule B(x, r) def= {y ∈ X : ρ(x, y) < r} se středem x ∈ X a poloměremr > 0. Topologie T na metrickém prostoru je pak množina všech možných sjednocení zobecněnýchkoulí. Této topologii říkáme topologie indukovaná metrikou ρ. Bází topologie indukovanou metrikouje pak systém všech otevřených koulí B(x, r), kde x probíhá všechny prvky X a r probíhá interval(0, +∞).Věta 1.8. Posloupnost prvků {u i } ∞ i=1 ⊂ X konverguje v metrickém prostoru (X, ρ) k prvku u ∈ X(v topologii indukované metrikou ρ) právě tehdy, když platíObsah12. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n ∈ N: n ≧ n 0 =⇒ ρ(u, u n ) < ε .Definice 1.9. Řekneme, že posloupnost prvků {u i } ∞ i=1 ⊂ X je cauchyovská v metrickém prostoru(X, ρ), pokud platí:∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀m, n ∈ N: m, n ≧ n 0 =⇒ ρ(u m , u n ) < ε .Definice 1.10. Řekneme, že metrický prostor (X, ρ) je úplný, pokud každá cauchyovská posloupnostkonverguje k nějakému prvku tohoto prostoru.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Protoželimn→+∞α n1−α = 0, lze najít n 0 ∈ N tak, že pro všechna n > n 0 platí:0 < αn1 − α ρ(x 1, x 0 ) < ε .Tudíž je posloupnost cauchyovská. Protože podle předpokladu je prostor X úplný, konverguje posloupnostx n k nějakému prvku x ∈ X. Zřejmě platíρ(A(x), A(x n−1 )) ≦ αρ(x, x n ) ,kde x n → x. Proto též A(x n−1 ) → A(x). Z výše uvedených konvergencí a rekurence∀n ∈ N: A(x n−1 ) = x njiž plyneA(x) = x .Jednoznačnost plyne opět z vlastnosti kontrakce. Nechť x, y ∈ X : x ≠ y a zároveň A(x) == x, A(y) = y. Potomρ(A(x), A(y)) ≦ αρ(x, y) = αρ(A(x), A(y)) ,což je spor s 0 < α < 1.Definice 1.13. Necht’ (X, ρ) je metrický prostor. O množině M ⊂ X řekneme, že je v prostoru(X, ρ) hustá, jestliže M = X, naproti tomu o M řekneme, že je řídká, jestliže X ∖ M je hustá. Dáleřekneme, že množina M ⊂ X je 1. kategorie, jestliže M = ∪ ∞ n=1M n , kde M n jsou řídké v X a žemnožina M ⊂ X je 2. kategorie, jestliže M není 1. kategorie.Následující věta má zajímavé důsledky, s nimiž se seznámíte později.Věta 1.14 (Baire, Rudin [21]). Necht’ (X, ρ) je úplný metrický prostor a M ⊂ X je libovolnáotevřená a neprázdná podmnožina. Pak M je 2. kategorie v X. Speciálně X je 2. kategorie sám vsobě.Obsah14. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2. Pro každý prvek u ∈ X existuje právě jeden opačný prvek a tento opačný prvek je roven(−1) u.1.1.5. Normovaný lineární prostor, Banachův prostorDefinice 1.18. Nechť X je lineární prostor. Nezáporná funkce ‖ · ‖ X : X → [0, +∞) se nazývánorma na lineárním prostoru X, splňuje-li axiomy(N1) ∀u ∈ X : ‖u‖ X = 0 =⇒ u = o, kde o je neutrální prvek X,(N2) ∀u ∈ X ∀κ ∈ R: ‖κ u‖ X = |κ| ‖u‖ X ,(N3) ∀u, v ∈ X : ‖u + v‖ X ≦ ‖u‖ X + ‖v‖ X .Nezáporná funkce || · || X : X → [0, +∞) splňující (N2)-(N3) se nazývá seminorma na lineárnímprostoru X.Dvojici (X, ‖ · ‖ X ) nazýváme normovaný lineární prostor.Normovaný lineární prostor je metrický prostor s metrikou d(u, v) def= ‖u − v‖ X . Jako každýmetrický prostor je to tedy i topologický prostor. V teorii parciálních diferenciálních rovnic se nejčastějipotřebují úplné normované prostory, proto mají svůj název, říká se jim prostory Banachovyna počest polského matematika Stefana Banacha.Obsah16. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.19. Nechť (X, ‖ · ‖ X ) je normovaný lineární prostor. Řekneme, že je tento prostorBanachův, pokud je vzhledem k metrice d(u, v) def= ‖u−v‖ X úplný, tj. každá cauchyovská posloupnostprvků {u n } ∞ n=1 ⊂ X v normě ‖ · ‖ X konverguje v téže normě k nějakému prvku u ∈ X.Poznámka 1.20. Zkuste si sami odpovědět na otázku, proč se v analýze nejčastěji potřebují Banachovyprostory. Svoji odpověď zdůvodněte.Na jednom prostoru může být definováno více norem.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.21. Nechť X je lineární prostor, ‖·‖ 1 : X → [0, +∞), ‖·‖ 2 : X → [0, +∞) jsou zobrazenísplňující axiomy normy (N1)-(N2)-(N3) na X. Řekneme, že normy ‖ · ‖ 1 a ‖ · ‖ 2 jsou ekvivalentní,pokud existují konstanty C > c > 0 takové, že platí∀u ∈ X : c‖u‖ 1 ≦ ‖u‖ 2 ≦ C‖u‖ 1 (1.1)Poznámka 1.22. Snadno se ověří, že se jedná o relaci ekvivalence na třídě zobrazení splňujícíchaxiomy (N1)-(N2)-(N3) na X. Takže název ekvivalence norem na X je oprávněný.Věta 1.23. Ekvivalentní normy na X indukují tutéž topologii T na X (tj. otevřené množiny vzhledemk jedné z ekvivalentních norem jsou otevřené i vzhledem k druhé a naopak).Ve světle předchozí věty, je pak většinou naším cílem v rámci systému ekvivalentních norem najíttakovou, se kterou se nám bude nejlépe v daném případě pracovat.Definice 1.24. Nechť jsou dány dva Banachovy prostory X s normou ‖ · ‖ X a Y s normou ‖ · ‖ Y .Řekneme, že prostor X je spojitě vnořen do prostoru Y , pokud platí:X ⊂ Y (1.2)∃C > 0 ∀u ∈ X : ‖u‖ Y < C‖u‖ X . (1.3)Tento fakt symbolicky zapisujeme X ˓→ Y a této relaci mezi X a Y říkáme spojité vnoření X do Y .Pokud je navíc identické zobrazení Id : X → Y, u ↦→ u kompaktní, řekneme, že prostor X jekompaktně vnořen do prostoru Y (pozor u se sice zobrazí na u, ale ve výchozím prostoru X jeobecně jiná topologie než na cílovém prostoru Y ). Tento fakt symbolicky zapisujeme X ˓→ CY a tétorelaci mezi X a Y říkáme kompaktní vnoření.1.1.6. Unitární lineární prostor, Hilbertův prostorDefinice 1.25. Nechť X je lineární prostor nad R (C). Řekneme, že g : X ×X → R (g : X ×X → C)je skalární součin na X, splňuje-li následující axiomy:Obsah17. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(U1) ∀u ∈ X :u ≠ o =⇒ g(u, u) > 0, kde o je neutrální prvek X (pozitivní definitnost);(U2) ∀u, v ∈ X : g(u, v) = g(v, u) (symetrie) (nebo pro X nad C platí g(u, v) = g(v, u), tzv.konjugovaná symetrie);(U3) ∀u, v, w ∈ X ∀a ∈ R (nebo a ∈ C) platíg(a u, v) = a g(u, v) , g(u + w, v) = g(u, v) + g(w, v) .Dvojici (X, g) nazýváme prostor se skalárním součinem nebo též unitární prostor.Poznámka ke značení: skalární součin se často značí pomocí závorek, např. (u, v) X , ⟨u, v⟩ X nebopro X = R N pomocí tečky u · v.Věta 1.26 (Norma indukovaná skalárním součinem). Nechť (X, g) je unitární prostor. Zobrazení‖ · ‖ (X, g) : X → R, u ↦→ √︀ g(u, u) je norma na X.Věta 1.27. Nechť (X, g) je unitární prostor. Potom pro všechna u, v ∈ X platí Cauchyova-Schwarzovanerovnost|g(u, v)| ≦ ‖u‖ (X, g) ‖v‖ (X, g) . (1.4)Navíc pro všechna u, v ∈ X platí také rovnoběžníková rovnost)︁‖u + v‖ 2 (X, g) + ‖u − v‖2 (X, g)(︁‖u‖ = 2 2 (X, g) + ‖v‖2 (X, g) . (1.5)Obsah18. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 1.28. Protože lze pomocí skalárního součinu definovat normu na unitárním prostoru,je unitární prostor také v tomto smyslu normovaný (vzhledem k této normě) tudíž i metrický itopologický prostor.Definice 1.29 (Hilbertův prostor). Je-li (X, g) je unitární prostor a (X, ‖ · ‖ (X, g) ) je Banachůvprostor, potom (X, g) se nazývá Hilbertův prostor.Věta 1.30 (Propozice 5.1 [6]). Každý Hilbertův prostor je reflexivní.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

A tedy minimizující posloupnost {v n } ∞ n=1 ⊂ K je cauchyovská. Protože H je prostor Hilbertův atedy úplný vzhledem k ‖ · ‖ (H,g) , existuje u ∈ H tak, že v n → u pro n → +∞. Množina K jeuzavřená a {v n } ∞ n=1 ⊂ K, tudíž u ∈ K. Ze spojitosti zobrazení v ↦→ ‖f − v‖ (H,g) vzhledem kekonvergenci v ‖ · ‖ (H,g) plyne, že d = ‖f − u‖ (H,g) . Tím je existence u z tvrzení dokázána.Nyní dokážeme jednoznačnost prvku splňujícího (1.6). Nechť existují u 1 , u 2 ∈ K, u 1 ≠ u 2 taková,že ‖f − u 1 ‖ (H,g) = d a ‖f − u 2 ‖ (H,g) = d. Potom⃦ f − u 1 + u 22 ⃦2(H,g)2+u 1 − u 2⃦ 2 ⃦ = 1 (︀d 2 + d 2)︀ = d 2 .(H,g)2Odtud stejným postupem jako výše dostanemeu 1 − u 2⃦ 2 ⃦2(H,g)≦ d 2 − d 2 = 0 ,což je spor s u 1 ≠ u 2 . Jednoznačnost je tím dokázána.Nechť u ∈ K splňuje (1.6) a w ∈ K je libovolný prvek. Potom z konvexnosti K dostaneme∀t ∈ [0, 1]: v t = (1 − t)u + tw ∈ KObsah20. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a tudíž z definice infima‖f − u‖ (H,g) ≦ ‖f − ((1 − t)u + tw)‖ (H,g)= ‖(f − u) − t(w − u)‖ (H,g).Vícenásobným užitím linearity a symetrie skalárního součinu v reálném Hilbertově prostoru dostanemepravidlo pro skalární roznásobení součtu dvou prvků:∀a, b ∈ H : g (a + b, a + b) = g(a, a) + 2g(a, b) + g(b, b) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Pomocí tohoto pravidla pak již zjistíme, že0 ≦ ‖f − u‖ 2 (H,g) ≦ ‖(f − u) − t(w − u)‖2 (H,g) == g ((f − u) − t(w − u), (f − u) − t(w − u)) == g(f − u, f − u) − 2tg(f − u, w − u) + t 2 g(w − u, w − u) == ‖f − u‖ 2 (H,g) − 2tg(f − u, w − u) + t2 ‖w − u‖ 2 (H,g) .Tudížt‖w − u‖ 2 (H,g) ≧ 2g(f − u, w − u) .Protože t ∈ [0, 1] je libovolné, musí platitg(f − u, w − u) ≦ 0.Tím je dokázáno (1.7).Naopak uvažujme nyní libovolný prvek v ∈ K splňující (1.7). Potom∀w ∈ K : ‖v − f‖ 2 (H,g) − ‖w − f‖2 (H,g) = 2g(f − v, w − v) − ‖v − w‖2 (H,g) ≦ 0Obsah21. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a tudíž∀w ∈ K : ‖v − f‖ (H,g) ≦ ‖w − f‖ (H,g) .Takový prvek ovšem existuje právě jeden podle prvních dvou částí důkazu existence a jednoznačnostprvku splňujícího (1.6). Tím je důkaz hotov.Poznámka 1.32. V předchozí větě je konvexnost důležitá kvůli jednoznačnosti a konvexnost kombinovanás uzavřeností je potřebná pro existenci minima v dané množině (podmnožině úplnéhoprostoru nekonečné dimenze).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.33 (Projekce na konvexní množinu). Prvek u z Věty 1.31 se nazývá projekce namnožinu K a značí seu = P K f .Věta 1.34 (Propozice 5.3, [6]). Nechť (H, g) je Hilbertův prostor a K ⊂ H je jeho neprázdnáuzavřená konvexní množina a P K : H → K, f ↦→ P K f je projekce na tuto množinu. Potom platí∀f 1 , f 2 ∈ H : ‖P K f 1 − P K f 2 ‖ (H,g) ≦ ‖f 2 − f 1 ‖ (H,g) .Důsledek 1.35. Nechť M ⊂ H je uzavřený lineární podprostor Hilbertova prostoru H a f ∈ H.Potom u = P M f je jediný prvek splňujícíu ∈ M ∧ ∀v ∈ M : g(f − u, v) = 0 .Navíc v tomto případě je P M lineární zobrazení, kterému se říká ortogonální projekce.Důkaz. Každý uzavřený lineární podprostor M Hilbertova prostoru H je konvexní množina. PodleVěty 1.31 existuje právě jeden u ∈ M tak, že∀v ∈ M : g(f − u, v − u) ≦ 0 .Platí-li nerovnost pro všechna v ∈ M, pak musí platit také pro v = w + u, kde w ∈ M je libovolné(protože u ∈ M a M je lineární prostor). Odtud dostaneme∀w ∈ M : g(f − u, w) ≦ 0 .Protože M je prostor, w ∈ M implikuje −w ∈ M. Proto také platí∀w ∈ M : g(f − u, −w) ≦ 0 .Odtud z linearity g dostaneme g(f − u, −w) = −g(f − u, w). Z opačných neostrých nerovností plynerovnost a musí tedy platit∀w ∈ M : g(f − u, w) = 0 .Důkaz linearity P M proveďte sami.Obsah22. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.36 (Rieszova věta o reprezentaci, Věta 5.5, [6]). Nechť H je Hilbertův prostor seskalárním součinem g. Pro každé φ ∈ H * existuje právě jedno f ∈ H tak, že∀u ∈ H : φ(u) = g(f, u) .Navíc‖f‖ (H,g) = ‖φ‖ H *def= sup{|φ(u)| : u ∈ H, ‖u‖ (H,g) = 1} . (1.8)Důkaz. Nechť M = φ −1 ({0}) (jádro φ), tudíž z linearity a spojitosti φ plyne, že M je uzavřenýpodprostor H. Uvažujme dva případy M = H a M ≠ H. Případ M = H znamená, že φ je nulovýfunkcionál a stačí položit f = o, potom g(f, u) = 0 pro všechna u ∈ H. V případě, že M ≠ H,zvolme h ∈ H tak, že h ∉ M. Nechť h ⊥ = (h − P M h)/‖(h − P M h)‖ (H,g) . PotomPro libovolné u ∈ H položme‖h ⊥ ‖ (H,g) = 1 a ∀w ∈ M : g(h ⊥ , w) = 0 . (1.9)v def= u − φ(u)φ(h ⊥ ) h⊥ ,kde φ(h ⊥ ) ≠ 0, protože h ⊥ ∉ M a zároveň v ∈ M, neboťφ(v) = φ(u) − φ(u)φ(h ⊥ ) φ(h⊥ ) = 0 .Obsah23. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Podle (1.9) je0 = g (︀ h ⊥ , v )︀ (︂= g h ⊥ , u − φ(u) )︂φ(h ⊥ ) h⊥ = g (︀ h ⊥ , u )︀ (︂)︂− g h ⊥ φ(u),φ(h ⊥ ) h⊥a tudíž (g(h ⊥ , h ⊥ ) = 1) platíg (︀ h ⊥ , u )︀ = φ(u)φ(h ⊥ ) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Odtud po úpravěφ(h ⊥ )g(h ⊥ , u) = φ(u) ,odkud je již vidět, že hledané f ∈ H je f def= φ(h ⊥ ) h ⊥ .Definice 1.37. Nechť (H, g) je reálný Hilbertův prostor. Zobrazení a : H × H → R splňující∀u, v, w ∈ H a λ ∈ R podmínky(BF1) a(u + v, w) = a(u, w) + a(v, w) a a(w, u + v) = a(w, u) + a(w, v) ,(BF2) a(λu, v) = λa(w, v) a a(u, λv) = λa(w, v)se nazývá bilineární forma na H.Řekneme, že bilineární forma a je symetrická, pokud platíŘekneme, že bilineární forma a je omezená, pokud platí∀u, v ∈ H : a(u, v) = a(v, u) . (1.10)∃C > 0 ∀u, v ∈ H : |a(u, v)| ≦ C‖u‖ (H,g) ‖v‖ (H,g) . (1.11)Řekneme, že bilineární forma a je (H, g)-koercivní, pokud platí∃c > 0 ∀u ∈ H : c‖u‖ (H,g) ≦ |a(u, u)| . (1.12)Věta 1.38 (Stampacchia, viz Věta 5.6 [6]). Předpokládejme, že a(u, v) je omezená (H, g)-koercivníbilineární forma na reálném Hilbertově prostoru (H, g). Nechť K ⊂ H je neprázdná uzavřenákonvexní podmnožina. Potom ke každému φ ∈ H * existuje právě jeden prvek u ∈ K takový, že∀v ∈ K : a(u, v − u) ≧ φ(v − u) . (1.13)Navíc, je-li a symetrická, potom toto u ∈ K je jediný prvek splňující{︂ }︂11a(u, u) − φ(u) = min2 v∈K 2 a(v, v) − φ(v) .(1.14)Obsah24. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Z Rieszovy věty o reprezentaci plyne, že existuje právě jedno f ∈ H tak, že∀v ∈ H : g(f, v) = φ(v) .Pro libovolné pevné u ∈ H je zobrazení v ↦→ a(u, v) spojitý lineární funkcionál na H. Užijeme-liRieszovu větu o reprezentaci na tento funkcionál, nalezneme k danému u právě jeden prvek, označmejej Au, takový, že∀v ∈ H : g(Au, v) = a(u, v) .Operátor A : H → H splňuje následující vlastnosti:∀u ∈ H : ‖Au‖ (H,g) = √︀ g(Au, Au) ≦ C‖u‖ (H,g) , (1.15)∀u ∈ H : g(Au, u) ≧ c‖u‖ 2 (H,g) . (1.16)Naším cílem je nalézt u ∈ K tak, že∀v ∈ K : g(Au, v − u) ≧ (f, v − u) .Nechť ρ > 0. Potom předchozí nerovnice je ekvivalentní nerovnici∀v ∈ K : g(ρf − ρAu + u − u, v − u) ≦ 0 ,což lze s využitím Věty 1.31 a Definice 1.33 zapsat ekvivalentně jakoObsah25. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u = P K (ρf − ρAu + u) .Nyní definujeme zobrazení S : K → K, w ↦→ P K (ρf − ρAw + w). Předchozí rovnici můžeme zapsatjako úlohu o pevném bodě pro operátor S:u = S(u) . (1.17)Protože P K nezvětšuje vzdálenost (Věta 1.34), platí odhad:Zavřít dokument‖Sw 1 − Sw 2 ‖ (H,g) ≦ ‖(w 1 − w 2 ) − ρ(Aw 1 − Aw 2 )‖ (H,g)Celá obrazovka ⧸︀ Okno

a tudíž‖Sw 1 − Sw 2 ‖ 2 (H,g) == ‖w 1 − w 2 ‖ (H,g) − 2ρg(Aw 1 − Aw 2 , w 1 − w 2 ) + ρ 2 ‖Aw 1 − Aw 2 ‖ 2 (H,g) ≦≦ (1 − 2ρc + ρ 2 C 2 )‖w 1 − w 2 ‖ 2 (H,g) .Snadno zjistíme, že pro 0 < ρ < 2c/C 2 je (1 − 2ρc + ρ 2 C 2 ) < 1 a tudíž S je kontraktivní. Podle věty1.12 existuje právě jedno řešení rovnice (1.17), což je zároveň jediným hledaným u ∈ K.Nyní předpokládejme, že bilineární forma a je navíc symetrická. Z podmínky (H, g)-koercivitysnadno ověříme, že a(u, u) > 0 ⇔ u ≠ 0. Tudíž a je také skalární součin na H. Z (H, g)-koercivity aspojitosti dostaneme:∀u ∈ H : cg(u, u) ≦ a(u, u) ≦ Cg(u, u) , (1.18)odkud snadno plyne ekvivalence norem ‖ · ‖ (H,g) a ‖ · ‖ (H,a)def= √︀ a( · , · ). Topologicky jsou tedyprostory (H, g) a (H, a) nerozlišitelné a proto je prostor (H, a) také Hilbertův.Podle Rieszovy věty o reprezentaci, nyní ovšem na prostoru (H, a), existuje právě jedno w ∈ Htakové, že∀v ∈ H : a(w, v) = φ(w) .Nerovnici (1.13) lze pak přepsat jakoObsah26. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀v ∈ K : a(u, v − u) ≧ a(w, v − u)a tedy∀v ∈ K : a(w − u, v − u) ≦ 0 .Řešení této nerovnice je u = P K w, kde projekce P K je nyní počítána ve skalárnín součinu a. Totořešení je jediné a minimalizuje vzdálenost, tj.√︀ √︀a(w − u, w − u) = min a(w − v, w − v)v∈KZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a tedy i polovinu kvadrátu vzdálenosti12 a(w − v, w − v) = 1 2 a(v, v) − a(w, v) + 1 2 a(w, w) = 1 2 a(v, v) − φ(v) + 1 a(w, w) .2Protože w ∈ K je pevný prvek a tedy 1 2a(w, w) je konstantní vůči změnám v, minimalizace posledněuvedeného výrazu je ekvivalentní minimalizaci funkcionálu:což jsme měli dokázat.1a(v, v) − φ(v) ,2Věta 1.39 (Laxovo-Milgramovo Lemma, Věta 5.8 [6]). Předpokládejme, že a(u, v) je omezená(H, g)-koercivní bilineární forma na reálném Hilbertově prostoru (H, g). Potom ke každému φ ∈ H *existuje právě jeden prvek u ∈ H takový, žeZároveň je splněna nerovnost∀v ∈ H : a(u, v) = φ(v) . (1.19)‖u‖ (H,g) ≦ 1 c ‖φ‖ H * . (1.20)Obsah27. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Navíc, je-li a symetrická, potom je u ∈ H jediný prvek splňující{︂ }︂11a(u, u) − φ(u) = min2 v∈H 2 a(v, v) − φ(v) .(1.21)Důkaz. Laxovo-Milgramovo Lemma je důsledkem Věty 1.38. Stačí zvolit K = H. Potom existujeprávě jeden prvek u ∈ H splňující∀v ∈ H : a(u, v) ≧ φ(v) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Protože H je lineární prostor, v ∈ H ⇔ −v ∈ H a tedy platí zároveň nerovnostia(u, v) ≧ φ(v) ∧ a(u, −v) ≧ φ(−v)a z linearity a i φ dostanemea(u, v) ≧ φ(v) ∧ a(u, v) ≦ φ(v) .Platí tedy∀v ∈ H : a(u, v) = φ(v) .Z této identity nyní dokážeme odhad normy (1.20):∀v ∈ H : |a(u, v)| = |φ(v)| = |g(f, v)| ≦ ‖f‖ (H,g) ‖v‖ (H,g) ,kde f ∈ H je takový, že∀v ∈ H : g(f, v) = φ(v) ,viz Rieszova Věta 1.36. Speciálněc‖u‖ 2 (H,g) ≦ |a(u, u)| ≦ ‖f‖ (H,g)‖u‖ (H,g)a tudíž‖u‖ (H,g) ≦ 1 c ‖f‖ (H,g) = 1 c ‖φ‖ H * .Obsah28. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Minimizace (1.21) je přímý důsledek Věty 1.38 pro K = H.Důsledek 1.40. Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty. Potom řešení rovnice (1.19)∀v ∈ H : a(u, v) = φ(v) .Zavřít dokumentzávisí spojitě na φ.Celá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Nechť u i ∈ H, i = 1, 2, řeší rovnici∀v ∈ H : a(u i , v) = φ i (v) ,kde φ i ∈ H * , i = 1, 2. Potom díky linearitě bilineární formy a v prvním argumentu prvek w := u 2 −u 1řeší rovnici∀v ∈ H : a(w, v) = φ 2 (v) − φ 1 (v) .Podle (1.20)‖w‖ (H,g) = 1 c ‖φ 2 − φ 1 ‖ H * ,což implikuje spojitou závislost na φ.Obsah29. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.2. Kvíz - metrické, Banachovy a Hilbertovy prostoryMetrické, Banachovy a Hilbertovy prostory - základní pojmy1. Máme metrický prostor (X, ρ),a) x, y, z ∈ X, pak platí:ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,ρ(x, y) = ρ(y, x),ρ(x, z) = ρ(x, y)+ρ(y, z),ρ(x, y) = 0 ⇒ x = y,ρ(x, y) = ρ(y, x),ρ(x, z) ≦ ρ(x, y)+ρ(y, z),ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,ρ(x, y) = ρ(y, x),ρ(x, z) ≦ ρ(x, y)+ρ(y, z),b) posloupnost {u n } ⊂ X konverguje k u ∈ X právě tehdy, když platí∃ε>0∃n 0 ∈N ∀n∈N: n≧n 0 ⇒ρ(u n, u)0∃n 0 ∈N ∀n∈N: n≧n 0 ⇒ρ(u n, u)0∀n 0 ∈N ∀n∈N: n≧n 0 ⇒ρ(u n, u)0∃n 0 ∈N ∃n∈N: n≧n 0 ⇒ρ(u n, u)

c) řekneme, že (X, ρ) je úplný, jestližev X existuje hustá podmnožinakaždá cauchyovská posloupnost je konvergentníkaždá konvergentní posloupnost je cauchyovskákaždá posloupnost je omezenád) v X existuje spočetná hustá podmnožina, pakX je 1.kategorieX je 2.kategorieX je úplnýX je separabilníObsah31. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2. Máme lineární prostor X,a) funkce ‖ · ‖ X : X → [0, ∞) se nazývá norma na X, jestliže ∀u, v ∈X, ∀κ∈R platí‖u‖ X = 0 ⇒ u = o,‖κu‖ X = |κ|‖u‖ X ,‖u+v‖ X ≦ ‖u‖ X +‖v‖ X ,‖u‖ X = 0 ⇒ u = o,‖κu‖ X = |κ|‖u‖ X ,‖u+v‖ X = ‖u‖ X +‖v‖ X ,‖u‖ X = 0 ⇒ u = o,‖κu‖ X = κ‖u‖ X ,‖u+v‖ X ≦ ‖u‖ X +‖v‖ X ,b) X se nazývá Banachův, jestližeje normovaný a úplnývzhledem k metriceρ(u, v)=‖u + v‖ Xkaždá konvergentníposloupnost má limituv Xje normovaný a úplnývzhledem k metriceρ(u, v)=‖u − v‖ Xkaždá cauchyovskáposloupnost má limituv XObsah32. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

c) funkce g : X × X → R se nazývá skalární součin na X, jestliže ∀u, v, w ∈X, ∀κ∈R platíu ≠ 0 ⇒ g(u, u) > 0,g(u, v) = g(v, u),g(κu, v) = κg(u, v),g(u + w, v) ≦ g(u, v)+g(w, v)u ≠ 0 ⇒ g(u, u) > 0,g(u, v) = g(v, u),g(κu, v) = κg(u, v),g(u + w, v) = g(u, v)+g(w, v)u ≠ 0 ⇒ g(u, u) > 0,g(u, v) = g(v, u),g(κu, v) = |κ|g(u, v),g(u + w, v) = g(u, v)+g(w, v)d) X se nazývá Hilbertův, jestliže je unitární (se skalárním součinem g(u, v)) aje normovaný a úplnývzhledem k metriceρ(u, v)=‖u − v‖ Xje úplný vzhledemk metrice ρ(u, v)=g(u − v, u − v)je úplný vzhledemk metrice ρ(u, v)== 2√︀ g(u − v, u − v)je normovaný a každácauchyovská posloupnostmá limitu v XObsah33. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.2.1. R N - topologický, metrický, lineární a normovaný prostorMnožinu R N , kde N ∈ N: N > 1 definujeme jako kartézský součinR N def= R × R × . . . × R . (1.22)⏟ ⏞n−krátPrvky této množiny budeme podle kontextu nazývat buď vektory nebo body podle toho, zdabudeme R N považovat za vektorový nebo afinní prostor. Pro vektory a, b ∈ R N definujeme vnitřníoperaci sčítání a vnější operaci násobení reálným číslem α ∈ R. obvyklým způsobem po složkách.Je-li tedya = (a 1 , a 2 , . . . , a N ) a b = (b 1 , b 2 , . . . , b N ) ,pakaa + b def= (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a N + b N )α a def= (α a 1 , α a 2 , . . . , α a N ) .Vzhledem k těmto operacím tvoří R N lineární prostor nad R s neutrálním (nulovým) prvkem o == (0, 0, . . . , 0).Nechť A ⊂ R N , x ∈ R N a α ∈ R. V následujícím textu budeme používat značeníObsah34. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮A + x def= {︀ y ∈ R N : ∃a ∈ A takové, že y = a + x }︀ (1.23)aα A def= {︀ y ∈ R N : ∃a ∈ A takové, že y = α x }︀ . (1.24)Definice 1.41. Nechť p ∈ [1, +∞) a u = (u 1 , u 2 , . . . , u N ). Na R N definujeme zobrazení| · | R N , p : R N → [0, +∞)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

předpisem|u| R N , pTaké definujeme zobrazení | · | RN , ∞ : R N → [0, +∞) předpisem|u| R N , ∞def= (|u 1 | p + |u 2 | p + · · · + |u N | p ) 1/p . (1.25)def= max {|u 1 |, |u 2 |, . . . , |u N |} (1.26)Těmto zobrazením říkáme normy na R N . Normě | · | R N , 2 (p = 2) říkáme eukleidovská norma na R N .Věta 1.42. Výše uvedená zobrazení | · | R N , p : R N → [0, +∞) pro p ∈ [1, +∞) a| · | R N , ∞ : R N → [0, +∞) splňují axiomy normy na R N .V R N platí velice důležitá věta.Věta 1.43. Všechny normy | · | R N , p pro p ∈ [1, +∞) a | · | R N , ∞ jsou ekvivalentní normy na R N .Zajímáme-li se pouze o topologickou strukturu R N , můžeme pracovat s tou normou, která jev dané situaci nejvýhodnější. Většinou se pracuje s normami | · | R N , 1 (součet absolutních hodnotsložek), | · | RN , ∞ (pracuje po složkách, což je většinou velmi výhodné) a | · | RN , 2 (rotační symetrie).V R N platí následující kritérium kompaktnosti.Věta 1.44 (Heine-Borel). Kompaktní podmnožiny prostoru R N s topologií indukovanou normou| · | R N ,∞, a tedy i indukovanou všemi ekvivalentními normami | · | R N , p, p ∈ [1, +∞), jsou právě tymnožiny, které jsou uzavřené a omezené.Obsah35. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.45. Řekneme, že podmnožina A ⊂ R N je obloukově souvislá, pokud ke každé dvojicibodů a, b ∈ A existuje spojitá křivka γ : [0, 1] → A taková, že γ(0) = a a γ(1) = b.V teorii parciálních diferenciálních rovnic mezi podmnožinami R N hrají ústřední úlohu tzv. oblasti.Definice 1.46. Otevřená obloukově souvislá podmnožina Ω ⊂ R N se nazývá oblast.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.47. Říkáme, že podmnožina A ⊂ R N je omezená, pokud existuje R > 0 takové, žeA ⊂ B(o, R), kde B(o, R) je koule vzhledem ke kterékoliv z ekvivalentních norem s normou eukleidovskou.Definice 1.48. Řekneme, že omezená oblast Ω ⊂ R N je jednoduše souvislá omezená oblast, pokudR N ∖ Ω je obloukově souvislá podmnožina R N .V dalším textu budeme podle potřeb přidávat definice dalších vlastností oblastí v R N .1.3. Přehled výsledků teorie míry a integrálu1.3.1. Rozšířená reálná osaDefinice 1.49. Množina R * = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} spolu s operací uspořádaní < definovanou proa, b ∈ R stejně jako na R a splňující −∞ < +∞ a∀a ∈ R: − ∞ < a < +∞se nazývá rozšířená reálná osa.Na R * rozšíříme operace sčítání a násobení následujícím způsobem:a + (+∞)a + (−∞)a · (±∞)a · (±∞)0 · (±∞)def= +∞ , +∞ + a = a + (+∞) , ∀a ∈ (0, +∞] ,def= −∞ , −∞ + a = a + (−∞) , ∀a ∈ [−∞, 0) ,def= ±∞ , (±∞) · a = a · (±∞) , ∀a ∈ (0, +∞] ,def= ∓∞ , (±∞) · a = a · (±∞) , ∀a ∈ [−∞, 0) ,def= 0 , 0 · (±∞) = ±∞ · 0 .Poznámka 1.50. Není definována operace +∞ + (−∞). Takto definované operace na rozšířenémoboru splňují axiomy komutativity a ⋆ b = b ⋆ a, asociativity a ⋆ (b ⋆ c) = (a ⋆ b) ⋆ c (symbol ⋆ zastupujev daném výrazu buď + nebo ·) a distributivity (a + b) · c = a · c + b · c.Obsah36. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.51. Definici 0 · (±∞) def= 0 zavádíme z toho důvodu, že integrujeme-li např. nulovoufunkci přes množinu libovolné (i nekonečné ) míry chceme, aby výsledek v souladu s intuicí byl 0 (kdenic není, ani čert nebere). Stejně tak chceme, aby příspěvek integrandu (který může nabývat i nekonečnéhodnoty) na množině míry nula byl nulový. Tato definice nás v žádném případě neopravňujek následujícím úpravám limit:lim a n = 0, lim b n = +∞ ⇒ lim a nb n = limn→∞ n→∞ n→∞n→∞ a nlim b n = 0 · (+∞) = 0 .n→∞Prostudujte si pořádně důkaz věty o algebře limit a uvidíte, že takto limity nelze počítat ani s našínovou definicí. Principiálně to souvisí s tím, že limita funkce je vlastnost prstencového okolí bodu,nikoliv bodu samého a v R * to platí i pro posloupnosti, protože jsme přidali body −∞ a +∞. Vlimitním přechodu n → +∞ proměnná n totiž nenabývá hodnoty +∞, jedná se o souhrnné chovánípro extrémně velká n ∈ N. Proto není rozpor v tom, že(︂ )︂ (︂ )︂lim 1/n lim nn→+∞ n→+∞limn→+∞1/n = 0, lim= 0 · (+∞) = 0 ≠ 1 = limn→+∞ 1 =n→+∞n = +∞,lim 1/n · n .n→+∞Nejsme tedy nijak ve sporu s klasickou reálnou analýzou byť to tak na první pohled vypadá. Nadruhou stranu, je-li například a n = 0 a b n = +∞ pro všechna n ∈ N, dostanemeObsah37. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮lim a nb n = lim (0 · (+∞)) = lim 0 = 0 .n→∞ n→∞ n→∞Výsledek jsme ovšem dostali z toho, že a n b n = 0 je konstantní posloupnost a ne z věty o algebřelimit.Věta 1.52 (Rudin, [20]). Rozšířená reálná osa R * se sytémem T ⊂ 2 R* tvořeným otevřenýmiintervaly (a, b), množinami typu (a, +∞], [−∞, b), a, b ∈ R, a jejich libovolnými sjednoceními jetopologický prostor.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.3.2. Kvíz - Prostor R N Prostor R N - základní pojmy1. Máme prostor R N = R × R × · · · × R,a) eukleidovská norma na prostoru R N je dána předpisem|u| R N ,2 =(|u 1| 2 +. . .+|u N | 2 ) 1 2|u| R N ,p =(|u 1| p +. . .+|u N | p ) 1 p|u| R N ,1 =(|u 1|+. . .+|u N |)|u| R N ,∞ =max{|u 1|, . . . , |u N |}Obsahb) podmnožiny prostoru R N s topologií indukovanou normou |u| R N ,p jsou kompaktní právě tehdy,když38. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮jsou otevřené a obloukově souvislé◭◮jsou uzavřené a obloukově souvisléjsou uzavřené a omezenéjsou otevřené a omezenéZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

c) podmnožina Ω ⊂ R N se nazývá oblast, jestliže jeobloukově souvislá a uzavřenáotevřená a omezenáuzavřená a omezenáobloukově souvislá a otevřenáObsah39. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.3.3. Základní pojmyV teorii parciálních diferenciálních rovnic ať už klasické založené na teorii potenciálu či modernízaložené na pojmu slabého řešení se pracuje s mírou a integrálem. V této podkapitole stučně apřehledně zopakujeme výsledky teorie míry. Nejedná se o ucelený a systematický výklad, ale jen opřipomenutí základních pojmů, které budeme potřebovat. Velmi pěkný výklad z něhož zde čerpámelze nalézt v učebním textu Malý [16].Definice 1.53. Nechť X je prostor (neprázdná množina). Řekneme, že S ⊂ 2 Xmnožině X, pokudje σ-algebra na(S1) ∅ ∈ S,(S2) ∀A ⊂ X : A ∈ S ⇒ X ∖ A ∈ S,(S3) ∀{A i } ∞ i=1 ⊂ S: ⋃︀ i∈N A i ∈ S.Množinová funkce μ: S → [0, +∞] se nazývá míra, pokud platí(M1) μ(∅) = 0,Obsah40. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(M2) ∀{A} i∈N ⊂ S ∀i, j ∈ N: (i ≠ j ⇒ A i ∩ A j = ∅) ⇒ ∑︀ i∈Nμ(A i ) = μ (︀⋃︀ i∈N A i)︀.Trojici (X, S, μ) se říká prostor s mírou.Poznámka 1.54. Pro daný prostor X může existovat více σ-algeber a na dané σ-algebře může takébýt definováno více měr.Definice 1.55. Množině E ⊂ S: μ(E) = 0 se říká množina míry nula (vzhledem k míře μ) nebomnožina nulové míry (vzhledem k míře μ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.56. Nechť P je nějaká vlastnost bodu x ∈ D ⊂ S, kterou bod x buď má nebo nemá.Výrok „Pro μ-skoro všechna x ∈ D platí P (x)” chápeme v tom smyslu, že existuje N ∈ S: μ(N) = 0taková, že výrok∀x ∈ D ∖ N : P (x)platí.V následující definici jsou zadefinovány některé speciální typy měr.Definice 1.57.1. Míra μ se nazývá úplná, pokud platí∀A ⊂ X ∀E ∈ S: (μ(E) = 0 ∧ A ⊂ E) ⇒ (A ∈ S ∧ μ(A) = 0) .2. Míra μ se nazývá konečná, pokud platí μ(X) < +∞.3. Míra μ se nazývá σ-konečná, pokud existuje spočetný systém {A i } i∈N ⊂ S, takový, že X == ⋃︀ i∈N A i a zároveň ∀i ∈ N: μ(A i ) < +∞.Míra se většinou vytváří z tzv. výchozí množinové funkce pomocí vnější míry. Vnější míra je narozdíl od míry definována na všech podmnožinách prostoru X.Obsah41. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.58. Množinová funkce μ * : 2 X → [0, +∞] se nazývá vnější míra, pokud platí(VM1) μ * (∅) = 0,(VM2) ∀A, B ⊂ X : A ⊂ B ⇒ μ * (A) ≦ μ * (B) (monotonie),(VM3) ∀{A i } i∈N ⊂ X : μ (︀⋃︀ * i∈N A )︀ ∑︀i ≦ μ * (A i ) (σ-subaditivita).i∈NVnější míra je na rozdíl od míry pouze σ-subaditivní. Následující důležitý výsledek ukazuje, žerestrikce vnější míry na vhodnou podmnožinu je již míra.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.59. Nechť γ : 2 X → [0, +∞] je vnější míra na X. Množinu M ⊂ X nazveme γ-měřitelnou(podle Carathéodoryho), jestliže platí∀T ⊂ X : γ(T ) = γ(T ∩ M) + γ(T ∖ M) . (1.27)Množinu všech M ⊂ X splňujících (1.27) označíme M(γ).Věta 1.60 (Věta Carathéodoryova[16]). Nechť γ je vnější míra na X. Pak množina M(γ) tvoříσ-algebru a restrikce γ| M(γ) je úplná míra na M(γ).Užitečnost výše uvedeného tvrzení bude patrná až při konstrukci míry. V praxi máme dánu nějakouvýchozí množinovou funkci μ 0 definovanou na nějaké podmnožině G ⊂ 2 X , μ 0 : G → [0, +∞].Množina G je zpravidla množinou nějakých jednoduchých geometrických útvarů, jimž je snadné přiřaditmíru (intuitivně, tak aby měla geometricky nebo fyzikálně smysl - objem, hmotnost a podobně).Například při konstrukci trojrozměrné Lebesgueovy míry (viz dále) se jedná o množinu všech kvádrůse stěnami rovnoběžnými s rovinami xy, yz, zx. V abstraktní teorii míry jedinou podmínkou navýchozí funkci je tzv. počáteční podmínka:∅ ∈ G a μ 0 (∅) = 0 . (1.28)Z funkce μ 0 vytvoříme množinovou funkci definovanou na celém 2 X :{︃ ∑︁A ∈ 2 X ↦→ inf μ 0 (G i ): A ⊂ ⋃︁ }︃G i , G i ∈ G , i ∈ N . (1.29)i∈Ni ∈ NObsah42. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Platí následující věta.Věta 1.61 ([16]). Zobrazení definované v rovnici (1.29) splňuje axiomy (VM1)-(VM3) vnější míryDefinice 1.58 .Nyní máme z výchozí množinové funkce vytvořenu vnější míru{︃ ∑︁μ * (A) def= inf μ 0 (G i ): A ⊂ ⋃︁ }︃G i , G i ∈ G , i ∈ Ni∈Ni ∈ NZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

definovanou na celém 2 X , která je obecně pouze σ-subaditivní. Její restrikcí na M(μ * ) dostávámeúplnou míru μ na M(μ * ). Bohužel abstraktní konstrukce nezaručuje anidokonce ani inkluzi∀G ∈ G : μ 0 (G) = μ(G) (1.30)G ⊂ M(μ) . (1.31)Toto je třeba dokázat pro daný konkrétní případ a je to obvykle nejpracnější část celé konstrukce.Jakmile je (1.30) a (1.31) dokázáno, považuje se konstrukce za úspěšnou.1.3.4. Lebesgueova míraNejčastěji používaná míra v teorii diferenciálních rovnic je Lebesgueova míra, protože se jedná ozobecnění objemu. Výchozí množinovou funkcí je objem N-rozměrného intervalu (kvádru).Definice 1.62. Množina Q ⊂ R N se nazývá omezený N-rozměrný interval, pokud existuje Nomezených intervalů I 1 , I 2 , . . . I N , takových, že Q = I 1 × I 2 × . . . I N . Množinu všech omezenýchN-rozměrných intervalů budeme značit I N . Nechť a i = inf I i a b i = sup I i . Potom definujeme objemN-rozměrného omezeného intervalu Q ∈ I N :l N (Q) def= (b 1 − a 1 ) · (b 2 − a 2 ) · . . . · (b N − a N ) . (1.32)Objem l N N-rozměrného omezeného intervalu Q vezmeme jako výchozí množinovou funkci definovanouna I N . Snadno se ověří podmínka l N (∅) = 0, protože např. ∅ = (0, 0) × (0, 0) × . . . × (0, 0)(kartézský součin N prázdných intervalů). K l N vytvoříme funkci λ N,* : 2 RN → [0, +∞] předpisem{︃ ∑︁λ N,* (A) def= inf l N (Q i ): A ⊂ ⋃︁ }︃Q i , Q i ∈ I N , i ∈ N . (1.33)i∈Ni ∈ NObsah43. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮O funkci λ N,* víme podle Věty 1.61, že je to vnější míra. Této funkci se říká Lebesgueova vnějšímíra. Nyní se provede restrikce λ N,* na M(λ N,* ) a podle Věty 1.60 dostaneme úplnou míru λ NZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

na M(λ N,* ). Této míře se říká N-rozměrná Lebesgueova míra. Nyní nastává nejpracnější část celékonstrukce a sice musí se dokázat, že I N ⊂ M(λ N,* ) a ∀Q ∈ I N : λ N (Q) = l N (Q). Nebudeme zdedokazovat, jen poznamenáme, že se k tomu používá následující lemma.Lemma 1.63 (Subaditivita objemu). Nechť Q ∈ I N je N-rozměrný interval a {G} k je (konečnánebo spočetná) posloupnost N-rozměrných intervalů, Q ⊂ ⋃︀ k∈N G k. Potoml N (Q) ≦ ∑︁ k∈Nl N (G k ) .Důkaz. viz Malý [16].Základní vlastnosti Lebesgueovy míry, které se zásadně projevují v teorii parciálních diferenciálníchrovnic, jsou uvedeny v následující větě.Věta 1.64. Lebesgueova míra λ N je úplná a σ-konečná míra na R N . Nechť e ∈ R N ,N∑︀e 2 i = 1, aT e je operátor otočení okolo počátku o ∈ R N , který převede vektor (1, 0, 0, . . . , 0) na e. Potom platínásledující implikace:(1) ∀A ∈ 2 RN ∀x ∈ R N : A ∈ M(λ N,* ) ⇒ A + x ∈ M(λ N,* ) a λ N (A) = λ N (A + x) (translačníinvariance Lebesgueovy míry).i=1Obsah44. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(2) ∀A ∈ 2 RN ∀e ∈ R N :N∑︀e 2 ii=1(rotační invariance Lebesgueovy míry).Na závěr jedna nepříjemná věta.= 1 ∧ A ∈ M(λN,* ) ⇒ T e (A) ∈ M(λ N,* ) a λ N (A) = λ N (T e (A))Věta 1.65 (Existence lebesgueovsky neměřitelné množiny). Existuje E ⊂ R NE ∉ M(λ N,* ).taková, žeZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.66. Existence lebesgueovsky neměřitelné množiny se dokazuje pomocí axiomu výběru.Přestože důkaz je čistě existenční a prakticky vyskytující se množiny měřitelné jsou, je třebaměřitelnost množiny, jejíž míru počítáme, dokázat. V teorii nelineárních parciálních diferenciálníchrovnic se často potřebuje odhadnout Lebesgueova míra vzoru číselné množiny v zobrazení, kteréje (neznámým) řešením parciální diferenciální rovnice. Zde je třeba maximální opatrnosti (jakákolivintuice může být zavádějící) a měřitelnost tohoto vzoru je třeba rigorózně dokázat z apriorníchznalostí o řešení daného typu rovnice.1.3.5. Měřitelný prostor a topologieVěta 1.67 ([20], Věta 1.10). Je-li F ⊂ 2 X libovolný systém podmnožin X, potom existuje na Xnejmenší σ-algebra M F obsahující F.Na základě této věty má smysl následující definice.Definice 1.68. Nechť (X, T ) je topologický prostor, kde T je systém všech otevřených podmnožinna X. Potom definujeme B(X, T ) jako nejmenší σ-algebru obsahující T . σ-algebře B(X, T ) říkámeσ-algebra borelovských množin.Poznámka 1.69. Z Definice 1.53 se snadno ukáže, že B(X, T ) obsahuje také všechny uzavřenémnožiny.Obsah45. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 1.70. Borelovské množiny provazují strukturu prostoru s mírou (X, S, μ) s topologiíprostoru (X, T ), která mimo jiné určuje spojitost funkcí na něm. Proto míry definované na systémuborelovských množin, tj. pokud B(X, T ) ⊂ S, hrají jistou ústřední úlohu, jak uvidíte později.Na R N (obecněji na lokálně kompaktních Hausdorffových topologických prostorech) lze topologiiprovázat s měřitelností ještě více. Zde se omezíme na definici pro R N s topologií danou eukleidovskou(nebo ekvivalentní) normou, kterou budeme při studiu parciálních diferenciálních rovnic nejvícepotřebovat.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.71 (Úplná Radonova míra, Malý [16]). Nechť N ∈ N, (R N , S, μ) je prostor s míroua μ je úplná míra na S. Řekneme, že μ je úplná Radonova míra, pokud platí:(RM1) Je-li K ⊂ R N kompaktní, pak K ∈ S a μ(K) < +∞ (konečnost na kompaktních množinách).(RM2) Je-li E ⊂ S, pak μ(E) = sup{μ(K): K ⊂ E, K je kompaktní} (vnitřní regularita).Platí totiž následující věta, důkaz viz [16]:Věta 1.72 (Vlastnosti úplných Radonových měr, Malý [16]). Nechť S je σ-algebra na R Na μ je úplná Radonova míra definovaná na S. Potom(1) B R N ⊂ S (symbol B R N bude značit borelovskou σ-algebru na R N s topologií danou eukleidovskounormou),(2) μ je σ-konečná.Věta 1.73. Lebesgueova míra v R N je úplná Radonova míra.1.3.6. Další míry používané v teorii parciálních diferenciálních rovnicNásledující míry jsou důležité v teorii distribucí a Sobolevových prostorů.Obsah46. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.74. Úplná Radonova míra definovaná na nějaké σ-algebře S prostoru R se nazýváLebesgueova-Stieltjesova míra.Budeme využívat následující dvě věty převzaté z textu [16], kde je uveden důkaz:Věta 1.75. Nechť F : R → R je neklesající zprava spojitá funkce. Potom existuje právě jedna Lebesgueova-Stieltjesovamíra μ na R taková, že platí−∞ < a < b < +∞ =⇒ F (b) − F (a) = μ ((a, b]) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.76. Nechť μ je Lebesgueova-Stieltjesova míra na R. Potom existuje zprava spojitá neklesajícífunkce F : R → R taková, že platí−∞ < a < b < +∞ =⇒ μ ((a, b]) = F (b) − F (a) .Funkce F je mírou μ určena jednoznačně až na aditivní konstantu.Pro měření např. délek a povrchů M-rozměrných útvarů v N-rozměrném prostoru se používáHausdorffova míra. Tuto míru nyní definujeme pomocí základní konstrukce z vnější míry.Definice 1.77 (Průměr množiny). Řekneme, že množina E ⊂ 2 RN má průměr d ≧ 0 (značímediam(E)), pokud platíd = diam(E) def= sup{|x − y| R N : x, y ∈ E} , (1.34)kde | · | R N značí eukleidovskou normu na R N .Definice 1.78 (Hausdorffova vnější míra). Nechť E ⊂ R N . Řekneme, že spočetný systém{A i } i=N ⊂ 2 RN je δ-pokrytí E, pokud platía0 < diam(A i ) < δE ⊂ ⋃︁ i∈NA i .Obsah47. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Nechť s ∈ [0, +∞). Pro libovolné δ > 0 definujme nejprve pomocnou množinovou funkciH s δ : 2 RN→ [0, +∞]předpisemH s δdef= inf{︃2 −s √ πΓ(1 + s/2)}︃∑︁(diam A i ) s : {A i } i∈N je δ-pokrytí E . (1.35)i∈NZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Množinová funkce H s,* : 2 RN→ [0, +∞] definovaná předpisemse nazývá s-rozměrná Hausdorffova vnější míra.H s,* (E) def= sup Hδ(E) s (1.36)Poznámka 1.79. V předchozí definici je použita Eulerova funkce Γ: R ∖ Z − 0 → R:Γ(t) def=∫︁ +∞0δ>0x t−1 e −x dx .Pro s ∈ N představuje výraz√ πΓ(1+s/2) objem jednotkové koule v Rs .Lemma 1.80 (Attouch-Buttazzo-Michaille [3], Propozice 4.1.1, str. 110). Množinováfunkce H s,* : 2 RN → [0, +∞] z Definice 1.78 splňuje axiomy vnější míry, viz Definice 1.58.Důkaz. viz [3] str. 110–111.Standartním postupem vytvoříme z vnější míry H s,* úplnou míru H s definovanou na σ-algebřeM(H s,* ). Zkráceně budeme používatObsah48. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮M H s = M(H s,* ) .Definice 1.81. Míře vytvořené z vnější míry H s,* standarní konstrukcí říkáme s-rozměrná Hausdorfovamíra.V následující větě shrneme poznatky o H s a M H s.Věta 1.82 ([3], shrnutí vět a komentářů, str. 109–116).(1) Borelovské množiny na R N jsou H s měřitelné, tj. B R N ⊂ M H s.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(2) V prostoru R N platí: M R N ⊂ M H N a(3) ∀N ∈ N ∀E ⊂ R N ∀s > N : H s (E) = 0.∀E ∈ M R N : λ N (E) = H N (E) .(4) ∀N ∈ N ∀E ⊂ R N ∀κ > 0: H s (κE) = κ s H s (E).(5) Míra H 0 je počítací míra (přiřadí podmnožině R N počet jejích prvků N ∪ {+∞}).(6) Pro 0 ≦ s < N není H s na R N σ-konečná.Pro dostatečně regulární M-rozměrnou nadplochu v R N je M-rozměrná Hausdorffova míra rovnaklasickému povrchu této plochy vypočtenému pomocí parametrizace.Věta 1.83 ([3], Propozice 4.1.6, str. 117). Nechť M, N ∈ N, M ≦ N, f : R M → R N je prostézobrazení splňující Lipschitzovu podmínku. Nechť E ∈ B R N . Potom∫︁H M (f(E)) =E⎛ ⎞( N (1/2)M)⎜∑︁⎝ |J i | 2 ⎟⎠ dλ N ,i=1Obsah49. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde J i , i = 1, 2, . . . , (︀ (︀NM)︀jsou minory M × M Jacobiho matice zobrazení f aN)︀ def N!M=M!(N−M)!jekombinační číslo.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4. Kvíz - teorie míry a integrálu1. Máme neprázdnou množinu X,Teorie míry a integrálua) řekneme, že S ⊂ 2 X je σ-algebra na množině X, jestliže∅∈S∀A⊂X :A∈S⇒X ∖A∈S∀{A i } ∞ ⋂︀i=1 ⊂S: A i ∈Si∈N∅∈S∀A⊂X :A∈S⇒X ∖A∈S∀{A i } ∞ ⋃︀i=1 ⊂S: A i ∈Si∈N∅∈S∀A⊂X :A∈S⇒X ∖A∈S∀A, B ⊂S:A∪B ∈SObsah50. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

) funkce μ : S → [0, ∞) se nazývá míra, jestliže splňujeμ(∅)=0; ∀{A i } ∞ i=1 ⊂S:(i≠j ⇒A i ≠A j )⇒∞∑︀μ(A i ) ≦ μ( ∞ ⋃︀A i )i=1i=1μ(∅)=0; ∀{A i } ∞ i=1∞∑︀⊂S:μ(A i )i=1=μ( ∞ ⋃︀A i ) − μ( ∞ ⋂︀A i )i=1i=1μ(∅)=0; ∀{A i } ∞ i=1 ⊂S:(i≠j ⇒A i ≠A j )⇒∞∑︀μ(A i ) = μ( ∞ ⋃︀A i )i=1i=1c) máme vnější míru γ : 2 X → [0, ∞], jestližeM(γ)={M ⊂X : ∀ T ⊂Xγ(T )=γ(T ∩M)+γ(T ∖M)},pak γ je úplná míra na M(γ).Obsah51. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮M(γ)={M ⊂X : ∀ T ⊂Xγ(T )=γ(T ∪M)−γ(T ∩M)},pak γ je úplná míra na M(γ).M(γ)={M ⊂X : ∀ T ⊂Xγ(T )=γ(T ∩M)+γ(T ∖M)},pak γ je míra na M(γ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2. Na prostoru R N máme Lebesgueovu vnější míru λ N,* ,a) pro A ⊂ R platíλ 1,* ∑︀(A)=sup{ ∞ (b i −a i ):i=1A⊃ ∞ ⋃︀[a i , b i ]}i=1λ 1,* (A)=inf{(b i −a i ):A⊂ ∞ ⋂︀[a i , b i ]}i=1λ 1,* ∑︀(A)=inf{ ∞ (b i −a i ):i=1A⊂ ∞ ⋃︀[a i , b i ]}i=13. Máme topologický prostor (X, T ),množina A ⊂ X se nazývá Borelovská (A ∈ B(X, T ) = B X ), jestližeje prvkem nejmenší σ-algebry, která obsahuje TA= ⋃︀ B i : B i ∈TiObsah52. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮A= ⋂︀ B i : B i ∈Tije prvkem σ-algebry, která obsahuje TZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4. Máme prostor (R N , S, μ) s úplnou mírou μ,řekneme, že μ je úplná Radonová míra, jestližeje-li K ⊂R N kompaktní,pak μ(K) < ∞ aje-li E ⊂S, pak μ(E)=sup{μ(K):K ⊂E, K kompaktní}je-li K ⊂R N kompaktní,pak K ∈S, μ(K) < ∞ aje-li E ⊂S, pak μ(E)=sup{μ(K):K ⊂E, K kompaktní}je-li K ⊂R N kompaktní,pak K ∈S, μ(K) < ∞ aje-li E ⊂S, pak μ(E)=inf{μ(K):E ⊂K, K kompaktní}Obsah53. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5. Nechť H s je s-rozměrná Hausdoffova míra,pak tato míra je σ-konečná pros = 0s ≦ 0s ≧ Ns ∈ (0, N)Obsah54. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4.1. Abstraktní Lebesgův integrálDefinice 1.84. Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou. Řekneme, že funkce f : X → R * je μ-měřitelnánebo S-měřitelná, pokud vzorem každé borelovské množiny E ∈ B R * je μ-měřitelná množina, tj.E ∈ B R * ⇒ f −1 (E) ∈ S.Poznámka 1.85. K definici pojmu měřitelnosti funkce nepotřebujeme míti dánu míru. Stačí námk tomu σ-algebra S na X. Protože ovšem v praktických situacích tato σ-algebra vzniká až přikonstrukci nějaké konkrétní míry, definujeme jak S-měřitelnost tak μ-měřitelnost, i když je to totéž.Věta 1.86 (Kritérium měřitelnosti). Nechť S je σ-algebra na X, D ∈ S, f : S → R * a∀q ∈ Q: {x ∈ X : f(x) > q} ∈ S .Potom je funkce f S-měřitelná.Věta 1.87. Nechť (X, T ) je topologický prostor, f : X → R * je spojitá funkce vzhledem k topologiiT , potom vzorem borelovské množiny E ∈ B R * je borelovská množina f −1 (E) ∈ B(X, T ).Důsledek předchozí věty později sehraje důležitou roli při charakterizaci spojitých funkcionálůna prostoru spojitých funkcí:Obsah55. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Důsledek 1.88. Nechť (X, S, μ) je prostor s borelovskou mírou, B(X, T ) ⊂ S a f : X → R * jespojitá, pak je μ měřitelná.Tato věta je velice důležitá v teorii nelineárních parciálních diferenciálních rovnic:Věta 1.89 (Měřitelnost složené funkce, [16]). Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou, f je μ--měřitelná a g : G ⊂ R * → R * je spojitá funkce na otevřené nebo uzavřené množině G. Potom jemnožina D ′ = {x ∈ X : f(x) ∈ G} měřitelná a složená funkce g ∘ f je měřitelná na D ′ .Poznámka 1.90. Pozor, budeme-li skládat funkce v opačném pořadí, tj. vnější bude měřitelná avnitřní spojitá, nemusíme obecně dostat měřitelnou funkci. Naštěstí přirozené pořadí skládání funkcíZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

u nelineárních parciálních diferenciálních rovnic je stejné jako ve Větě 1.89, takže v praktickýchsituacích jsme zachráněni. Vyjímečně se též v praxi vyšetřují úlohy (např. suché tření), kde g je počástech spojitá s konečně mnoha skoky. Tímto případem se zde zabývat nebudeme.Definice 1.91. Nechť S je σ-algebra na množině X a E ∈ S. Konečný systém{A 1 , A 2 , . . . , A m } ⊂ Spo dvou disjunktních množin, tj. A i ∩ A j = ∅ pro i ≠ j, nazýváne dělením množiny E, pokud platím⋃︁E = A i .i=1Definice 1.92 (Kladná a záporná část funkce). Nechť f : D → R * , kde D je nějaká množina.Definujeme funkcef + : D → R * , x ↦→ max{0, f(x)} , (1.37)f − : D → R * , x ↦→ max{0, −f(x)} . (1.38)Funkci f + se říká kladná část funkce f a funkci f − se říká záporná část funkce f.Poznámka 1.93. Pro všechna x ∈ D platí f(x) = f + (x) − f − (x).(1.39)Definice 1.94 (Definice Lebesgueova integrálu, [16]). Nechť f : D ∈ S → R * je nezápornáμ-měřitelná funkce, pak definujeme⎧∫︁⎨ m∑︁fdμ def= sup αD⎩ j μ(A j ): {A 1 , A 2 , . . . A m } je dělení D∧ (1.40)j=1⎫⎬∧ ∀x ∈ A j : 0 ≦ α j ≦ f(x) , j = 1, 2, . . . m⎭Obsah56. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nechť f : D ∈ S → R * je μ-měřitelná funkce a∫︁∫︁f + dμ < +∞ ∨DDf − dμ < +∞definujeme∫︁ ∫︁ ∫︁fdμ def= f + dμ − f − dμ .DDDNechť f : D ′ ∈ S → R * je μ-měřitelná funkce, D ′ ⊂ D a μ(D ∖ D ′ ) = 0, potom definujeme∫︁Dfdμ def=∫︁D ′ fdμ .Věta 1.95 (Různé vlastnosti Lebesgueova integrálu, [16], Věty 8.6, 8.11 a 8.12). NechťD ∈ S a f, g jsou S-měřitelné funkce na D.(LI1) Je-li f ≧ 0, D 1 , D 2 ∈ S a D 1 ⊂ D 2 ⊂ D, pak∫︁ ∫︁fdμ ≦ fdμ ;D 1 D 2(monotonie vzhledem k integračnímu oboru).(LI2) Jestliže D 1 , D 2 ∈ S, D 1 ∩ D 2 = ∅ a D 1 ∪ D 2 = D, pak∫︁fdμ =D∫︁fdμ +D 1∫︁fdμD 2(LI3) Je-li(aditivita vzhledem k integračnímu oboru).pak |f(x)| < +∞ pro μ-skoro všechna x ∈ D.∫︁D|f|dμ < +∞ ,Obsah57. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(LI4) Je-li∫︁|f|dμ = 0 ,pak f(x) = 0 pro μ-skoro všechna x ∈ D.(LI5) Jestliže pro μ-skoro všechna x ∈ D platí f(x) ≦ g(x) pak nerovnost∫︁ ∫︁fdμ ≦ gdμDDDplatí, kdykoliv oba integrály existují (monotonie vzhledem k integrandu).(LI6) Existuje-li konečný integrál∫︁gdμ < +∞a |f(x)| ≦ g(x) pro μ-skoro všechna x ∈ D, pak existuje i konečný integrál∫︁fdμ < +∞ .DDObsah58. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(LI7)(aditivita vzhledem k integrandu).∫︁D∫︁(f + g)dμ =D∫︁gdμ + fdμD(LI8) Nechť κ ∈ R, potom∫︁∫︁(κ f)dμ = κ fdμ(homogenita vzhledem k integrandu).DDZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4.2. Konvergenční větyV prostoru (X, S, μ) lze definovat různé způsoby konvergence, uvedeme zde jen následující dva, kterébudeme v tomto textu potřebovat.Definice 1.96. Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou, u n , u: X → R * jsou měřitelné funkce.(1) Řekneme, že posloupnost {u n } ∞ n=1 konverguje k u bodově μ-skoro všude jestliže existuje E ⊂ Staková, že μ(E) = 0 a pro všechna x ∈ X ∖ E platílim u n(x) = u(x) .n→+∞(2) Řekneme, že posloupnost {u n } ∞ n=1 konverguje k u v míře μ jestliže pro všechna ε > 0 platí:lim μ ({x ∈ X : |u n(x) − u(x)| > ε}) = 0 .n→∞Věta 1.97 (Leviho věta, [16]). Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou. Buď {f n } ∞ n=1 posloupnostnezáporných μ-měřitelných funkcí definovaných na D ⊂ S splňující podmínku 0 ≦ f 1 (x) ≦ f 2 (x) ≦≦ . . . pro μ-skoro všechna x ∈ D. Potom pro μ-skoro všechna x ∈ D existuje limitaObsah59. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮f(x) =lim f n(x) ,n→+∞funkce f je μ-měřitelná, její integrál existuje a∫︁fdμ =Dlimn→+∞∫︁Df n dμ .Poznámka 1.98. Leviho věta v této podobě je výjimečná v tom, že umožňuje narozdíl od jinýchkonvergenčních vět dokázat, že integrál limitní funkce je roven +∞. Ve většině literatury je bohuželpsána pro omezené funkce. Tím se ztrácí její původní význam.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.99 (Fatouovo Lemma). Nechť {f n } ∞ n=1 je posloupnost nezáporných μ-měřitelných funkcídefinovaných na D ⊂ S. Potom funkce lim infn→+∞ f n je měřitelná, má Lebesgův integrál a platí∫︁D∫︁lim inf f ndμ ≦ lim infn→ +∞ n→+∞Df n dμ .Věta 1.100 (Lebesgueova věta o dominantní konvergenci). Nechť {f n } ∞ n=1 je posloupnostμ-měřitelných funkcí definovaných na D ⊂ S a pro μ-skoro všechna x ∈ D platíf n (x) → f(x) ,tj. u n konverguje k u bodově μ-skoro všude. Předpokládejme dále, že existuje μ-měřitelná nezápornáfunkce g definovaná na D s konečným Lebesgueovým integrálem na množině D taková, že pro všechnan ∈ N a μ-skoro všechna x ∈ D platí|f n (x)| ≦ g(x) .Potom funkce f n , n ∈ N, a f mají konečný Lebesguův integrál a platí:∫︁∫︁fdμ = f n dμ .Dlimn→+∞Z výše uvedené věty lze dokázat věty o spojitosti integrálu podle parametru a derivování podleparametru. Tyto věty se pak hojně používají v teorii parciálních diferenciálních rovnic a ve variačnímpočtu.DObsah60. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 1.101 (Spojitost integrálu podle parametru, Fučík-John-Kufner [8]). Buď (X, S, μ)prostor s mírou a M je metrický prostor. Nechť D ⊂ S, A ⊂ M a f : D × A → R. Předpokládejme,že platí(i) Pro μ-skoro všechna x ∈ D je f(x, · ) spojitá na A.(ii) Pro každé α ∈ A je f( · , α) měřitelná funkce na D.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(iii) Existuje nezáporná funkce μ-měřitelná funkce definovaná na D s konečným Lebesgueovým integrálemtaková, že pro všechna α ∈ A a skoro všechna x ∈ D platíPotomje spojitou funkcí proměnné α na množině A.|f(x, α)| ≦ g(x) .∫︁F (α) def= f( · , α)dμDVěta 1.102 (Derivace integrálu podle parametru, Fučík-John-Kufner [8]). Buď (X, S, μ)prostor s mírou a I = (a, b) interval. Nechť D ⊂ S a f : D × I → R. Nechť platí(i) Integrál∫︁F (α) def= f( · , α)dμDje konečný alespoň pro jednu hodnotu α ∈ (a, b).(ii) Pro každé α ∈ (a, b) je funkce f( · , α) měřitelná na D.Obsah61. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(iii) Pro všechna α ∈ (a, b) a skoro všechna x ∈ D existuje konečná derivace∂∂f(x, α) .∂∂α(iv) Existuje nezáporná funkce μ-měřitelná funkce definovaná na D s konečným Lebesgueovým integrálemtaková, že pro všechna α ∈ A a skoro všechna x ∈ D platí∂∂f(x, α) ≦ g(x) .∂∂αZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Potom pro každé α ∈ (a, b) platí, že integrál∫︁F (α) =je konečný aDf( · , α)dμdFdα∫︁D(α) = ∂∂f∂∂α ( · , α)dμ .Než uvedeme jednu z nejobecnějších konvergenčních vět vyslovíme následující definici.Definice 1.103. Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou, 1 ≦ p < +∞. Řekneme, že systém F měřitelnýchfunkcí u: X → [−∞, +∞] je p-ekviintegrovatelný, jestliže pro všechna ε > 0 existuje δ > 0 tak,že∫︁|u| p dμ ≦ εpro všechna u ∈ F a pro všechny měřitelné množiny E ⊂ X : μ(E) ≦ δ.EVěta 1.104 (Vitalliova konvergenční věta, Leoni [13], Věta B.101, str. 535). Nechť (X, S, μ)je prostor s mírou, 1 ≦ p < +∞, {u n } ∞ n=1 ⊂ L p (X, S, μ). Potom u n konverguje k u ∈ L p (X, S, μ)právě tehdy, kdyžObsah62. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(i) {u n } ∞ n=1 konverguje k u v míře μ;(ii) {u n } ∞ n=1 je p-ekviintegrovtelná;(iii) pro každé ε > 0 existuje E ∈ S taková, že μ(E) < +∞ a pro všechna n ∈ N platí∫︁|u n | p dμ ≦ ε .Poznámka 1.105. Podmínka (iii) je splněna automaticky, pokud μ(X) < +∞.X∖EZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Toto je vhodné kritérium pro ověření ekviintegrability.Věta 1.106 ([13], Věta B.102, str. 535). Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou. Nechť F je systémměřitelných funkcí u: X → [−∞, +∞]. Uvažujme následující podmínky:(i) Systém Fje 1-ekviintegrovatelný.(ii)∫︁lim sup|u|dμ = 0t→+∞ u∈F {x∈X : |u|>t}(iii) Existuje rostoucí funkce γ : [0, +∞] → [0, +∞] s limitoutaková, žeγ(t)lim = +∞t→+∞ t∫︁sup γ(|u|)dμ < +∞ .u∈F XPotom (ii) a (iii) jsou ekvivalentní a každá z nich implikuje (i). Pokud navíc předpokládáme∫︁|u|dμ < +∞ ,supu∈FXObsah63. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮potom (i) implikuje (ii) a všechny tři podmínky jsou ekvivalentní.1.4.3. Součin měr a Fubiniova větaNechť (X 1 , S 1 , μ 1 ) a (X 2 , S 2 , μ 2 ) jsou dva prostory s mírou, kde míry μ 1 a μ 2 jsou σ-konečné. Naprostoru X 1 × X 2 uvažujme systém množin G = {G ∈ 2 X1×X2 : G = G 1 × G 2 , kde G i ∈ S i , i = 1, 2}Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(systém měřitelných obdélníků), a množinovou funkci μ 0 : G → [0, +∞] definovanou pro G = G 1 ×G 2taktoμ 0 (G) = μ 1 (G 1 ) · μ(G 2 ) .Snadno se ověří, že μ 0 (∅) = 0. Standardní konstrukcí dostaneme z této výchozí množinové funkcepřes vnější míru μ * úplnou míru μ na prostoru X 1 × X 2 . V textu [16] je ukázáno, že G ⊂ M(μ * ) aže platí μ(G) = μ 0 (G) = μ 1 (G 1 ) · μ(G 2 ) pro G ∈ G, G = G 1 × G 2 . Míra μ se nazývá součinová míraměr μ 1 a μ 2 a píše se μ = μ 1 ⊗ μ 2 .Věta 1.107 (Fubiniova věta). Nechť (X 1 , S 1 , μ 1 ) a (X 2 , S 2 , μ 2 ) jsou prostory se σ-konečnýmimírami μ 1 , μ 2 a μ je součinová míra μ 1 ⊗ μ 2 na X 1 × X 2 . Nechť f : X 1 × X 2 → R je μ-měřitelná a∫︀X 1×X 2|f|dμ < +∞. Potom pro μ 2 -skoro všechny hodnoty x 2 ∈ X 2 platífunkce f( · , x 2 ) je μ 1 -měřitelná a∫︁X 1|f( · , x 2 )|dμ < +∞ .Navíc funkce g : X 1 → R definovaná integrálemg(x 2 ) def=∫︁f( · , x 2 )dμ 1 je μ 2 -měřitelná aX 1∫︁|g(x 2 )|dμ 2 < +∞ .X 2Obsah64. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Platí rovnost∫︁∫︁fdμ =X 1×X 2gdμ 2 =X 2∫︁X 2(︂∫︁X 1f( · , x 2 )dμ 1)︂dμ 2 .Poznámka 1.108. Prostory X 1 a X 2 jsou rovnocenné a tak platí i rovnost∫︁X 1×X 2fdμ =∫︁X 1(︂∫︁X 2f(x 1 , · , )dμ 2)︂dμ 1 .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.109 (Tonelliho věta). Nechť (X 1 , S 1 , μ 1 ) a (X 2 , S 2 , μ 2 ) jsou prostory se σ-konečnýmimírami μ 1 , μ 2 a μ je součinová míra μ 1 ⊗ μ 2 na X 1 × X 2 . Nechť f : X 1 × X 2 → [0, +∞] je μ--měřitelná. Potom platí rovnost∫︁)︂)︂fdμ = f( · , x 2 )dμ 1 dμ 2 = f(x 1 , · )dμ 2 dμ 1 ,X 1×X 2∫︁X 2(︂∫︁X 1∫︁X 1(︂∫︁X 2kde integrály mohou nabývat hodnot z oboru [0, +∞].1.4.4. Integrál a derivaceNyní uvedeme přehled vět, které dávají do souvislosti Lebesgueovu míru, derivaci a diferenciál funkce.Jednorozměrná Lebesgueova míra je vytvořena z délky intervalu, proto se dá intuitivně očekávat, ženásledující věty pro Lebesgueovu míru platí. Samozřejmě jejich důkazy jsou značně komplikované.Definice 1.110. Nechť f je λ N měřitelná funkce definovaná na R N a pro každou kompaktní podmnožinuD ⊂ R N platí ∫︀ D |f|dλN < +∞. Potom řekneme, že bod x ∈ R N je Lebesgueovým bodemfunkce f, pokud platí:limε→0∫︁1|f − f(x)| dλ N = 0 .|B(x, ε)| B(x,ε)Obsah65. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 1.111. Nechť f je λ N měřitelná funkce definovaná na R N a pro každou kompaktnípodmnožinu D ⊂ R N platí ∫︀ D |f|dλN < +∞. Každý bod, v němž je funkce f spojitá je jejímLebesgueovým bodem.Věta 1.112. Nechť f je λ N měřitelná funkce definovaná na R N a pro každou kompaktní podmnožinuD ⊂ R N platí ∫︀ D |f|dλN < +∞. Potom skoro každý bod x ∈ R N je Lebesgův bod funkce f.Lemma 1.113. Nechť f : [a, b] → R je monotónní. Potom derivace f ′ (x) existuje pro λ-skorovšechna x ∈ [a, b].Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.114. I když derivace monotónní funkce existuje skoro všude, nemusí platit f(b) −− f(a) = ∫︀ ba f ′ (x) dx. Uvažujme například funkci s: [−1, 1] → R, s(x) = −1 pro [−1, 0) a s(x) = 1pro x ∈ [0, 1]. Potom s ′ (x) = 0 pro všechna x ∈ [−1, 1] ∖ {0} a zároveň s(1) − s(−1) = 2 ≠ 0 == ∫︀ [−1,1] s′ (x) dx.Definice 1.115. Funkce f : [a, b] → R se nazývá absolutně spojitá, jestliže pro každé ε > 0 existujetakové δ > 0, že pro každý systém intervalů [a i , b i ], i = 1, 2, . . . , M, M ∈ N:a ≦ a 1 < b 1 ≦ a 2 < b 2 ≦ . . . a M < b M ≦ bplatíM∑︁M∑︁(b i − a i ) < δ =⇒ |f(b i ) − f(a i )| < ε .i=1i=1Věta 1.116. Nechť funkce f : [a, b] → R je absolutně spojitá. Potom derivace f ′ existuje pro λ-skorovšechna x ∈ (a, b) a pro všechna x, y ∈ [a, b] platí f(y) − f(x) = ∫︀ (x,y) f ′ dλ.Věta 1.117 (Věta Rademacherova). Nechť M, N ∈ N, Ω ⊂ R N je oblast a f : Ω → R M splňujeLipschitzovu podmínku:|f(y) − f(x)|∃L > 0 ∀x, y ∈ Ω:R M≦ L|y − x| R Nna oblasti Ω, potom je zobrazení f diferencovatelné λ N -skoro všude v Ω.Obsah66. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮1.4.5. Prostory integrovatelných funkcíDefinice 1.118. Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou a u: X → R * μ-měřitelná funkce na X. Pro1 ≦ p < +∞ definujeme(︂∫︁ )︂ 1/pdef||u|| p = |u| p dμXZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a pro p = +∞ definujeme||u|| ∞def= inf {C ≧ 0: |u(x)| ≦ C pro skoro všechna x ∈ X} .Věta 1.119. Nechť p ∈ [0, +∞], L p (X, S, μ) je množina všech μ-měřitelných funkcí u definovanýchna X takových, že||u|| p < +∞ .Potom L p (X, S, μ) je lineární prostor a ||· | p : L p (X, S, μ) → [0, +∞) je seminorma na L p (X, S, μ).Věta 1.120. Relace ∼ definovaná na L p (X, S, μ) × L p (X, S, μ) vztahemu ∼ v ⇔ u(x) = v(x) pro skoro všechna x ∈ Xje relací ekvivalence na L p (X, S, μ).Definice 1.121. Symbolem L p (X, S, μ) označíme faktorprostorL p (X, S, μ) def= L p (X, S, μ)/ ∼obsahující třídy ∼-ekvivalence prvků prostoru L p (X, S, μ):Obsah67. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 1.122. Lze pak také psát[u] def= {v ∈ L p (X, S, μ): v ∼ u} .L p (X, S, μ) = {[u]: u ∈ L p (X, S, μ)} .Poznámka 1.123. Pokud nejste sběhlí s třídami ekvivalence a faktorprostory, nejsnazší objekty, nakterých lze tento velmi důležitý koncept pochopit, jsou zbytkové třídy mod v (Z, +), které tvořífaktorgrupy (Z, +).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.124. Na prostoru L p (X, S, μ) definujeme vnitřní binární operaci sčítání:[u] + [v] def= [u + v]a operaci vnější binární operaci násobení reálným číslem:κ [u] def= [κ u] .Dále definujeme zobrazení ‖ · ‖ L p (X,S,μ) : L p (X, S, μ) → (0, +∞) předpisem‖[u]‖ L p (X,S,μ)def= ||u|| pa také relaci uspořádání:[u] < [v] ⇔ u(x) = v(x) pro μ-skoro všechna x ∈ XVěta 1.125. Prostor L p (X, S, μ) vybavený výše uvedenými operacemi sčítání a násobení reálnýmčíslem je lineární prostor.Zobrazení ‖ · ‖ L p (X,S,μ) je norma na L p (X, S, μ) a prostor L p (X, S, μ) je vzhledem k této norměúplný (tj. Banachův prostor).Obsah68. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.126. Řekneme, že prvek [u] ∈ L p (X, S, μ) je spojitý, pokud existuje reprezentantu ∈ L p (X, S, μ), který je spojitý.Definice 1.127 (Prostory lokálně integrovatelných funkcí). Nechť (X, T ) je lokálně kompaktníHausdorfův prostor a (X, S, μ) je prostor s borelovskou mírou μ: S → [0, +∞], B(X, T ) ⊂ Sa 1 ≦ p ≦ +∞. Prostor L p loc(X, S, μ) je prostor tříd ∼-ekvivalence [u] měřitelných funkcí u: X → [−−∞, +∞] takových, že pro každou kompaktní množinu K ⊂ X platí [u] ∈ L p (K, 2 K ∩ S, μ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4.6. Duální prostory k L p (X, S, μ)Definice 1.128. Nechť 1 ≦ p ≦ +∞. Hölderův konjugovaný exponent je prvek rozšířeného reálnéhooboru p ′ ∈ [1, +∞] definovaný takto:⎧⎨p ′ def=⎩pp−1pro 1 < p < +∞+∞ pro p = 11 pro p = +∞Poznámka 1.129. Pro p ∈ (1, +∞) je p ′ ∈ (1, +∞) a je splněna rovnice(1.41)1p + 1 p ′ = 1 (1.42)Pro dualitu na prostorech L p (X, S, μ) je klíčová Hölderova nerovnost.Věta 1.130 (Hölderova nerovnost). Nechť L p (X, S, μ) je prostor s mírou a 1 ≦ p ≦ +∞ a p ′je Hölderův konjugovaný exponent p. Jestliže u, v : X → R * jsou μ-měřitelné funkce, pak platí‖u v‖ L1 (X,S,μ) ≦ ‖u‖ Lp (X,S,μ)‖v‖ L p ′ (X,S,μ) .Věta 1.131. (Rieszova věta o reprezentaci v L p (X, S, μ)).Nechť L p (X, S, μ) je prostor s mírou a1 < p < +∞ a p ′ je Hölderův konjugovaný exponent p. Potom každý omezený lineární funkcionáll : L p (X, S, μ) → R lze reprezentovat právě jedním v l ∈ L p′ (X, S, μ) → R takovým, že∫︁∀u ∈ L p (X, S, μ): l(u) = u v l dμ .Navíc operátorová norma l je stejná, jako ‖v l ‖ L p ′ (X,S,μ). Platí též opačné tvrzení, že zobrazeníl v : v ↦→ ∫︀ X u vdμ definuje omezený lineární funkcionál na Lp (X, S, μ). V tomto smyslu lze duálníprostor (L p (X, S, μ)) * ztotožnit s L p′ (X, S, μ) (mezi těmito dvěma prostory existuje izometrickýizomorfismus). L p (X, S, μ) je reflexívní prostor ((p ′ ) ′ = p).XObsah69. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.132. (Rieszova věta o reprezentaci v L 1 (X, S, μ), [13], Věta B.95, str. 533). Nechť L 1 (X, S, μ)je prostor se σ-konečnou mírou, potom duální prostor k L 1 (X, S, μ) lze ztotožnit s L ∞ (X, S, μ).Definice 1.133. Nechť X je neprázdná množina a A je algebra podmnožin X, to jest(A1) ∅, X ∈ A;(A2) ∀E ∈ A: X ∖ A ∈ A;(A3) ∀E 1 , E 2 ∈ A: E 1 ∪ E 2 ∈ A.Řekneme, že množinová funkce ν : A → [−∞, +∞] je konečně aditivní znaménková míra, platí-li(KM1) ν(∅);(KM2) ν nabývá nejvýše jedné z hodnot −∞, +∞, tj. buď ν : A → [−∞, +∞) nebo ν : A → (−∞, ++∞];(KM3) pro všechna E 1 , E 2 ∈ A: E 1 ∩ E 2 = ∅ platíν(E 1 ∪ E 2 ) = ν(E 1 ) + ν(E 2 ) .Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou. Definujeme prostor ba(X, S, μ) konečně aditivních znaménkovýchměr absolutně spojitých vzhledem k μ jako množinu všech ν : S → R takových, žeObsah70. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(i) ν je konečně aditivní znaménková míra na S;(ii) ν je omezená, tj. její totální variace{︃ l∑︁}︃|ν| def= sup |ν (E n )| ,n=1je konečná, kde supremum je přes všechna konečná dělení prostoru X;Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(iii) absolutně spojitá vzhledem k μ, tj. pro všechna E ∈ S: μ(E) = 0 platí ν(E) = 0.Věta 1.134. (Rieszova věta o reprezentaci v L ∞ (X, S, μ), [13], Věta B.96, str. 533; Yosida-Hewitt[30], Věta 2.3, str. 53). Nechť L ∞ (X, S, μ) je prostor s mírou. Potom duální prostor k L ∞ (X, S, μ) lzeztotožnit s prostorem omezených konečně aditivních znaménkových měr absolutně spojitých vzhledemk μ v tom smyslu, že ke každému omezenému lineárnímu funkcionálu l na L ∞ (X, S, μ) odpovídáprávě jeden prvek ν l ∈ ba(X, S, μ) takový, že pro všechna u ∈ L ∞ (X, S, μ) platí∫︁l(u) = udν l .Navíc operátorová norma l je rovna totální variaci |ν|. Naopak pro daný prvek ν ∈ ba(X, S, μ) jezobrazení l ν : u → ∫︀ X udν omezený lineární funkcionál na L∞ (X, S, μ).XPoznámka 1.135. Jak plyne z předchozí věty, prostory L 1 (X, S, μ) a L ∞ (X, S, μ) nejsou reflexivní.To výrazně ztěžuje analýzu v těchto prostorech. Bohužel někdy je i přes tyto obtíže z důvoduregularity nutno v těchto prostorech pracovat.1.4.7. Vnoření prostorů integrovatelných funkcíObsah71. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 1.136 ([13], Věta B.84, str. 531). Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou a 1 ≦ p < q < +∞.Potom(1) L p (X, S, μ) není podmnožinou L q (X, S, μ) právě tehdy, když X obsahuje měřitelné množinylibovolně malé míry, tj.∀ε > 0 ∃E ∈ S: μ(E) < ε .(2) L q (X, S, μ) není podmnožinou L p (X, S, μ) právě tehdy, když X obsahuje měřitelné množinylibovolně velké míry, tj.∀ε > 0 ∃E ∈ S: μ(E) > ε .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.137 (srovnej [13], Důsledek B.85, str. 531). Nechť (X, S, μ) je prostor s mírou a1 ≦ p < q ≦ +∞. Jestliže μ(X) < +∞, potomL q (X, S, μ) ⊂ L p (X, S, μ) .Navíc existuje c > 0 tak, že ‖u‖ p ≦ c‖u‖ q pro všechna u ∈ L q (X, S, μ) a tedyL q (X, S, μ) ˓→ L p (X, S, μ) .1.4.8. Typy konvergencí a kompaktní množiny v L p (X, S, μ)O charakterizaci totálně omezených podmnožin L p (Ω) hovoří Kolmogorova věta viz Adams [1, Věta2.21, strana 31].V následující větě budeme k funkci u definované na měřitelné množině Ω ⊂ R N uvažovat jejírozšíření ˜u nulou na celé R N , tj.{︂ u(x) pro x ∈ Ω ,˜u(x) =0 pro x ∈ R N (1.43)∖ Ω .Věta 1.138 (Kolmogorova věta). Nechť 1 ≦ p < +∞. Omezená podmmnožina K ⊂ L p (Ω), tj.podmnožina splňující podmínkusup ‖u‖ Lp (Ω) < c < +∞ (1.44)u∈Kje totálně omezená v L p (Ω) (její uzávěr je kompaktní v L p (Ω)) právě tehdy, když pro všechna ε > 0existuje δ > 0 a G Ω takové, že pro všechna u ∈ K a všechna h ∈ R N : |h| R N < δ platí∫︁|˜u(x + h) − ˜u(x)| p dx < ε p (1.45)aΩ∫︁Ω∖G|u(x)| p dx < ε p (1.46)Poznámka 1.139. Podmínce (1.45) se říká spojitost v průměru a podmínce (1.46) se říká poklesv nekonečnu.Obsah72. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4.9. Znaménkové a komplexní míryDefinice 1.140. Nechť S je σ-algebra na množině X a E ∈ S. Spočetný systém {E i } ⊂ S po dvoudisjunktních množin, tj. E i ∩ E j = ∅ pro i ≠ j, nazýváne rozklad množiny E, pokud platí E = ⋃︀ E i .Znaménková (komplexní) míra μ na S je pak taková reálná (komplexní) funkce na S, že pro každéE ∈ S a každý rozklad {E i } množiny E uvedená řada konverguje a platí:μ(E) =∞∑︁μ(E i ) .i=1Poznámka 1.141. Protože permutace indexů systému {E i } nemění sjednocení systému, uvedenářada konverguje dokonce absolutně.Definice 1.142. Nechť μ je znaménková (komplexní) míra na S. Množinovou funkci μ: S → R +definovanou vztahem:{︃ ∞}︃∑︁|μ|(E) = sup |μ(E i )|: {E i } je rozklad Enazýváme variace míry μ. Číslo μ(X) se nazývá totální variace míry μ na X.i=1Věta 1.143 (Rudin, věty 6.2 a 6.4). Variace |μ| znaménkové (komplexní) míry μ definované naσ-algebře S je (nezáporná) míra na S. Navíc |μ(X)| < ∞.Poznámka 1.144. Nechť μ a ν jsou znaménkové (komplexní) míry definované na téže σ-algebře Sa c ∈ R (c ∈ C). Definujme operace μ + ν a cμ obvyklým způsobem, tj. pro každé E ∈ SObsah73. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(μ + λ)(E) = μ(E) + λ(E) , (c μ)(E) = c μ(E) .Lehce lze ověřit, že μ+λ a c μ jsou znaménkové (komplexní) míry. Systém všech komplexních měr naS tvoří vektorový prostor. Položíme-li ‖μ‖ = |μ|(X), lze ověřit, že jsou splněny axiomy normovanéholineárního prostoru.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.145. Nechť (X, T ) je Hausdorffův topologický prostor a nechť S je σ-algebra na Xobsahující otevřené množiny T (takže každá otevřená množina je měřitelná a S obsahuje σ-algebruBorelovských množin na X). Potom míra μ na měřitelném prostoru (X, S) se nazývá regulárnízevnitř pokud pro každou množinu A z S, platíμ(A) = sup{μ(K): K je kompaktní a K ⊆ A}.Tato vlastnost se také někdy nazývá “aproximace kompaktními množinami”.Definice 1.146. Borelovská míra je definována následovně: Nechť X je lokálně kompaktní Hausdorffůvprostor, a nechť B(X) je nejmenší σ-algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny X (takzvanáσ-algebra Borelovských množin). Každá míra μ definovaná na σ-algebře Borelovských množinse nazývá Borelovská míra. Jestliže Borelovská míra μ je zároveň regulární zevnitř i regulárnízvnějšku, nazývá se regulární Borelovská míra. Je-li μ zároveň regulární zevnitř a lokálně konečná(pro každou kompaktní C ∈ B(X) je μ(C) < +∞), nazývá se Radonova míra.Definice 1.147. Lineární prostor všech spojitých zobrazení φ : X → R(C) takových, že jejich nosičje kompaktní množina v (X, T ) označíme C c (X).{x ∈ X : φ(x) ≠ 0}Věta 1.148. Nechť X je lokálně kompaktní Hausdorfův topologický prostor. Potom ke každémuomezenému lineárnímu funkcionálu Φ na prostoru C c (X) existuje právě jedna regulární (znaménkovánebo komplexní) borelovská míra μ taková, že platí∫︁Φ(f) = fdμpro všechny funkce f ∈ C c (X). Navíc je norma Φ rovna totální variaci μ:X‖Φ‖ = |μ|(X).Obsah74. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.149. Připomeňme si, že je-li f : X → R(C) spojitá na X, pak vzor f −1 (A) otevřenémnožiny A ∈ R(C) je také otevřená množina a tedy f −1 (A) ∈ B(X). Funkce f spojitá na X jetudíž μ-měřitelná libovolnou borelovskou mírou na X. Z linearity integrálu je vidět, že zobrazeníΦ(f) = ∫︀ fdμ je lineární.X1.4.10. Značení používané mimo abstraktní teoriiTam, kde se Lebesgův integrál s Lebesgueovou mírou používá mimo výše uvedenou abstraktní teorii,se většinou z historických důvodů používá následující značení:∫︁Ω∫︁Ω∫︁ ba∫︁Ωf(x) dxf(x) dxf(x, y) dx dyf(x, y, z) dx dy dzozn.=ozn.=ozn.=ozn.=∫︁∫︁∫︁∫︁(a,b)ΩΩΩf dλf dλ Nf dλ 2f dλ 3Toto značení též odráží fakt, že Lebesgův integrál zobecňuje Riemannův integrál, který se taktotradičně zapisuje. I my se budeme v tomto textu většinou tohoto značení držet. Vždy to buď vyplynez kontextu (nebude-li hrozit nedorozumění), nebo to výslovně zmíníme.Obsah75. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.5. Kvíz - měřitelné funkce a Lebesgueův integrálMěřitelné funkce a Lebesgueův integrál1. Máme prostor (X, S, μ) s mírou μ,řekneme, že funkce f : X → R * je μ-měřitelná, jestliže∀E ∈B R *:f −1 (E)∈S∀E ⊂ R * :f −1 (E)∈S∀E ∈B R *:f −1 (E)⊂X∀E ⊂ R:f −1 (E)∈S2. Nechť f : D → R * je nezáporná μ-měřitelná, {A 1 , A 2 , . . . A m } je dělení D,pak Lebesgueův integrál je dán vztahem∫︁D∫︁D∫︁Df dμ = infmf dμ = supmf dμ = supm{︁ ∑︁ m }︁α j μ(A j ): 0≦f(x)≦α j , ∀x∈A jj=1{︁ ∑︁ m }︁α j μ(A j ): 0≦α j ≦f(x), ∀x∈A jj=1{︁ ∑︁ m }︁α j μ(A j ): 0≦α j =f(x j ), x j ∈A jj=13. Nechť f n : D → R * je posloupnost nezáporných μ-měřitelných funkcí, pakf(x)=lim sup f n je měřitelná funkce a ∫︀ ∫︀D f dμ = lim sup Dfn dμn→∞n→∞Obsah76. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

f(x)=lim infn→∞ fn je měřitelná funkce a ∫︀ D∫︀f dμ = lim infn→∞ Dfn dμf(x)=lim infn→∞ fn je měřitelná funkce a ∫︀ ∫︀D f dμ ≦ lim infn→∞ Dfn dμ4. Posloupnost {u n } konverguje k u v L p ((a, b), S, μ) právě tehdy, kdyžu n → u v míře μ a {u n} je p-ekviintegrovatelnáu n → u bodově a {u n} je p-ekviintegrovatelnáu n → u v míře μ a {u n} je omezenáu n → u bodově a {u n} je p-ekviintegrovatelná5. Nechť f je monotónní funkce na [a, b], potomf je absolutně spojitá funkce∫︀ bf ′ dλ=f(b)−f(a)aObsah77. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮f ′ (x) existuje pro sko- ro všechna x∈[a, b]f(x) ≦ f(y) pro x, y ∈[a, b], x≦y6. Máme prostor L p (X) = L p (X, S, μ), Rieszova větapopisuje omezenost spojitého funkcionálu na L p (X)dokazuje existenci duálního prostoru k L p (X)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

popisuje reprezentaci spojitého funkcionálu na L p (X)dokazuje, že pro u, v ∈L p (X) platí ‖u + v‖≦‖u‖+‖v‖7. Nechť K ⊂L p (X, S, μ) je totálně omezená množina. Pro funkci u∈K neplatí∀ε > 0 ∃ δ > 0 a G X, že ∀h∈R N :|h| R N < δ∫︁|u(x + h) − u(x)| p dx < ε pX∫︁|u(x)| p dx < ε pX∖Gsup |u(x)| < +∞x∈XObsah78. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.6. Prostory spojitých funkcí1.6.1. Základní prostoryDefinice 1.150. Nechť Ω ⊂ R N je oblast. Definujeme následující množiny funkcí:(1) C(Ω) (nebo C 0 (Ω)) – množina všech funkcí definovaných v každém bodě oblasti Ω a spojitýchv každém bodě oblasti Ω.(2) C k (Ω), k ∈ N – množina všech funkcí definovaných v každém bodě oblasti Ω, které mají vkaždém bodě oblasti Ω všechny parciální derivace až do řádu k včetně a tyto derivace jsouspojité v každém bodě oblasti Ω.(3) C ∞ (Ω) – množina funkcí mající spojité derivace všech řádů v každém bodě Ω, to jestC ∞ (Ω) def=∞⋂︁C k (Ω) .Poznámka 1.151. Protože součet dvou spojitých funkcí u, v ∈ C(Ω) je opět spojitá funkce u ++ v ∈ C(Ω) a násobením spojité funkce u ∈ C(Ω) reálným číslem γ ∈ R dostaneme opět spojitoufunkci γ u ∈ C(Ω), jsou výše uvedené množiny z hlediska algebraické struktury lineární prostory nadtělesem reálných čísel.k=0Obsah79. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 1.152. Nechť Ω ⊂ R N je oblast. Nechť funkce u je definována v každém bodě Ω. Množinunazýváme nosičem funkce u.supp u def= {x ∈ Ω: u(x) ≠ 0} (1.47)Definice 1.153. Nechť k ∈ {0} ∪ N ∪ {∞}. Symbolem C k c (Ω) označíme množinu všech funkcí zC k (Ω), jejichž nosiče jsou kompaktní v Ω.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.154. Opět se snadno nahlédne, že výše definované množiny C k c (Ω) jsou z hlediskaalgebraické struktury lineární prostory nad tělesem reálných čísel.Definice 1.155. Nechť Ω ⊂ R N je oblast. Definujeme ještě následující množiny funkcí:(1) C(Ω) (nebo C 0 (Ω)) – množina všech funkcí z C(Ω), které jsou omezené a stejnoměrně spojiténa Ω.(2) C k (Ω), k ∈ N – množina všech funkcí u ∈ C k (Ω) takových, že každá jejich parciální derivaceaž do řádu k leží v C(Ω).(3) C ∞ (Ω) – množina definovaná předpisemC ∞ (Ω) def=∞⋂︁C k (Ω) .Věta 1.156. Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast. Potom lze funkci u ∈ C(Ω) jednoznačně spojitěrozšířit na Ω.Poznámka 1.157. Pro omezené oblasti Ω ⊂ R N budeme s funkcemi u ∈ C(Ω) pracovat jako sjejich spojitými rozšířeními na Ω. Tím bude možné používat např. Weierstrassovu větu a budememoci uvažovat, že funkce u ∈ C(Ω) (ve smyslu spojitého rozšíření) nabývá svého maxima a minimana Ω.k=0Obsah80. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Podle předchozí poznámky má smysl následující definice.Definice 1.158. Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast. Pro funkce u ∈ C(Ω) definujeme‖u‖ C(Ω)def= max |u(x)| (1.48)x∈ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast. Pro k ∈ N a funkce u ∈ C k (Ω) definujemedef‖u‖ Ck (Ω)= maxx∈Ω|u(x)| +k∑︁|α|=1maxx∈Ω⃒ ∂∂ |α| u ⃒⃒⃒⃒∂∂x α1 · · · ∂∂x α (x) , (1.49)Nkde α ∈ N N 0 , α = (α 1 , α 2 , . . . , α N ), N ∈ N je dimenze oblasti Ω a |α| def= α 1 + α 2 + · · · + α N . N-tici αříkáme multiindex a číslu |α| říkáme délka multiindexu α. Z důvodu zkrácení zápisu pro multiindexα ∈ N N 0ještě definujeme∂∂ α u def=∂∂ |α| u∂∂x α1 · · · ∂∂x α N .Věta 1.159. Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast. Potom platí(i) zobrazení ‖ · ‖ C(Ω): C(Ω) → R + 0 dané předpisem (1.48) je norma na C(Ω).(ii) Prostor C(Ω) je vzhledem k této normě Banachův prostor.(iii) Prostor C(Ω) s touto normou je navíc separabilní.Poznámka 1.160. Konvergence v normě dané předpisem (1.48) odpovídá stejnoměrné konvergencina Ω. Úplnost dokážeme tak, že nejprve najdeme bodovou limitu (cauchyovská číselná posloupnostje konvergentní). Dále využijeme faktu, že limitou stejnoměrně konvergující posloupnosti spojitýchfunkcí na kompaktní množině Ω (Ω je dle předpokladu omezená a uzavřená), je funkce spojitá naΩ. Díky tomu je prostor C(Ω) úplný.Separabilita vyplývá z následující věty.Věta 1.161 ([12], Věta 1.4.4, str. 30). Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast, u ∈ C(Ω) a ε > 0.Potom existuje n ∈ N a polynom P n (v proměnných x 1 , x 2 , . . . x N )P n (x) = ∑︁a α x α11 · · · xα NN|α|≦nObsah81. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

takový, že‖u − P n ‖ C(Ω)< ε .Poznámka 1.162. K předchozí větě je třeba dodat, že daný polynom lze volit tak, že všechnyjeho koeficienty splňují a α ∈ Q. Množina všech polynomů s racionálními koeficienty Q je spočetnésjednocení množin všech polynomů s racionálními koeficienty stupně nejvýše n ∈ N 0 , proto je Qspočetná. Z výše uvedené věty plyne, že spočetná množina Q je hustá v C(Ω) a tudíž je C(Ω)separabilní prostor.Z podobných důvodů jako u Věty 1.159 platí i následující věta.Věta 1.163. Nechť k ∈ R, Ω ⊂ R N je omezená oblast. Potom platí(i) zobrazení ‖ · ‖ Ck (Ω) : Ck (Ω) → R + 0 dané předpisem (1.49) je norma na C k (Ω).(ii) Prostor C k (Ω) je vzhledem k této normě Banachův prostor.(iii) Prostor C k (Ω) s touto normou je navíc separabilní.1.6.2. Hölderovy prostoryDefinice 1.164. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a 0 < λ ≦ 1. Pro funkci u ∈ C k (Ω) a multiindex α ∈ N N 0definujemeH α,λ (u) def |∂∂ α u(x) − ∂∂ α u(y)|= supx,y∈Ω |x − y| λ . (1.50)x≠ySymbolem C k,λ (Ω) označíme množinu všech funkcí z C k (Ω) takových, žePro u ∈ C k,λ (Ω) definujeme∀α: |α| = k : H α,λ (u) < +∞ .‖u‖ C k,λ (Ω)def= ‖u‖ C k (Ω) + ∑︁|α|=kH α,λ (u) (1.51)Obsah82. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 1.165. Nechť L, H > 0 jsou reálné konstanty. Ze základního kurzu matematické analýzyvíte, že funkci splňující podmínku|f(x) − f(y)| ≦ L|x − y| R N (1.52)pro všechna x, y ∈ E ⊂ R N se říká lipschitzovská funkce na množině E. Podmínce (1.53) se říkáLipschitzova podmínka a konstantě L Lipschitzova konstanta funkce f. Podobně, je-li 0 < λ < 1,funkci splňující podmínku|f(x) − f(y)| ≦ H|x − y| λ RN (1.53)pro všechna x, y ∈ E ⊂ R N se říká hölderovská funkce na množině E. Podmínce (1.53) se říkáHölderova podmínka a konstantě H Hölderova konstanta funkce f.Věta 1.166 ([12], Lemma 1.3.1., str. 25; Věta 1.3.3, str. 26). Nechť k ∈ N 0 , 0 < λ ≦ 1,Ω ⊂ R N je omezená oblast. Potom ‖ · ‖ C k,λ (Ω) je norma na Ck,λ (Ω). Prostor C k,λ (Ω) je vzhledem ktéto normě Banachův.Věta 1.167 ([12], Cvičení 1.2.8, str. 23). Nechť je Ω ⊂ R N je omezená oblast, 0 < ν ≦ λ ≦ 1,k ≧ 0 a u ∈ C k,λ (Ω). Potom pro všechna α ∈ N N 0 taková, že |α| = k platí:H α,ν (u) ≦ (diam Ω) λ−ν H α,λ (u) ; (1.54)(︂(λ−ν)/λH α,ν (u) ≦ 2 max |∂∂ u(x)|)︂ α (H α,λ (u)) λ/ν . (1.55)x∈ΩObsah83. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Z předchozí věty plyne následující důležitá věta o vnoření:Věta 1.168. Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast, 0 < ν ≦ λ ≦ 1, k ≧ 0. PotomJemnějšími odhady lze dokonce získat kompaktní vnoření:C k,λ (Ω) ˓→ C k,ν (Ω) . (1.56)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 1.169 ([12], Věta 1.5.10, Poznámka 1.5.11 str. 38–39). Nechť Ω ⊂ R Noblast, 0 < ν ≦ λ ≦ 1, k ≧ 0. Potomje omezenáC k,λ (Ω) C˓→ C k,ν (Ω) C˓→ C k (Ω) . (1.57)Dalším typem vnoření, která jsou užitečná při studiu parciálních diferenciálních rovnic jsou tatoC k+1,λ (Ω) ˓→ C k,λ (Ω) , (1.58)C k+1 (Ω) ˓→ C k,λ (Ω). (1.59)V případech vnoření prostorů s vyšší diferenecovatelností do prostorů s nižší diferencovatelností jesituace poněkud složitější než bychom na první pohled čekali a závisí na tvaru oblasti. Ukažme si tona základním příkladě: C 1 (Ω) ˓→ C 0,1 (Ω). Potřebujeme z omezenosti prvních derivací∀x ∈ Ω:∂∂u⃒ (x)∂∂x i⃒ ≦ ‖u‖ C 1 (Ω), i = 1, . . . , Nvyvodit odhad na H 1,0 seminormu funkce u (tj. odhad na Lipschitzovu konstantu funkce u: H 1,0 (u) == L ≧ 0) tak, aby platilo H 1,0 (u) ≦ M‖u‖ C 1 (Ω), kde konstanta M nesmí záviset na konkrétní funkciu, ale může eventuelně záviset na oblasti Ω.V čem spočívá problém odhadu rozdílu funkčních hodnot pomocí derivace je nejlépe vidět znásledující úvahy o grafu funkce nad křivkou ve dvou dimenzích (modifikaci pro vhodnou oblastproveďte podrobně sami). Mějme spirálu S : x = 1/t cos t, y = 1/t sin t, t ∈ (π, +∞). Délka obloukutéto spirály jes(t) =∫︁ t0√ √√︀ 1 + π ˙x(t)2 + ˙y(t) 2 21 + t2dt = − arcsinh π − + arcsinh t . (1.60)ππObsah84. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Snadno zjistíme, že limt→∞s(t) = +∞. Dále uvažujme funkciSnadno se ověří, že⎧⎪⎨u(t) =⎪⎩0 t ≦ 0 ,4π 2 t2 − 4 π 3 t3 + 1 π 4 t4 0 < t < 2π ,0 t ≧ 2π .u ′ (0) = u ′ (2π) = 0 (1.61)max |u(t)| = u(π) = 1 ,t∈R maxt∈R |u′ (t)| = 83 √ 3π(1.62)limt→∞u(t) = 0 (1.63)Nyní budeme uvažovat inverzní funkci k funkci (1.60), s ↦→ t(s), a zobrazení Z c : (0, +∞) → R 3 ,x(s) = 1/t(s) cos t(s) ,y(s) = 1/t(s) sin t(s) ,z(s) = u(s + c)Obsah85. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮pro s ∈ (0, +∞), kde c ∈ R je libovolná předem zvolená konstanta. Zobrazeníx(s) = 1/t(s) cos t(s), y(s) = 1/t(s) sin t(s)je vyjádření spirály S v přirozeném parametru - délce oblouku. To znamená, výška grafu zobrazeníZ c nad rovinou xy je po uběhnutí oblouku s > 0 po spirále S rovna z = u(s + c). Derivace výšky zvzhledem k oblouku s je u ′ (s+c), pro kterou platí |u ′ (s+c)| ≦ 83 √ . Maximální výšky z = 1 se nabývá3πZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro s max = π − c. Protožedostáváme následující dolní odhadsups 1,s 2∈(0,+∞)lim u(s + c) = 0 a lims→+∞1/t(s) cos t(s) = 0, lims→+∞|z(s 2 ) − z(s 1 )|√︁(x(s 2 ) − x(s 1 )) 2 + (y(s 2 ) − y(s 1 )) 2 ≧1/t(s) sin t(s) = 0,s→+∞≧|z(s max )|1≧=√︁(x(s max )) 2 + (y(s max ))√︁(x(s 2 max )) 2 + (y(s max )) 2= t(s max ) = t(π − c) .Uvažujme nyní poslopoupnost c n → −∞ a odpovídající posloupnost zobrazení Z c . Potom t(π −− c n ) → +∞ a tudížsups 1,s 2∈(0,+∞)|z(s 2 ) − z(s 1 )|√︁(x(s 2 ) − x(s 1 )) 2 + (y(s 2 ) − y(s 1 )) 2nelze odhadnout maxs∈(0,+∞) |u′ (s)|. Důvod je ten, že zatímco růst funkce máme derivací kontrolovánpouze podél oblouku spirály, výše uvedené supremum počítáme i tzv. “skokem přes závit”. Tím, žedélka oblouku spirály S je +∞ ( lim s(t) = +∞), můžeme s max libovolně zvětšovat, čímž se bod set→∞z(s s ) = 1 na spirále posunuje do míst, kde jsou závity čím dál blíže k sobě, a zároveň pro dostatečněvelká s > s m ax + π je z(s) = 0. Podobně by tomu bylo například, pokud bychom studovali graffunkce u nad grafem křivky K : (0, 1) → R 2 , x(t) = t, y(t) = sin(1/t) (opět kombinace nekonečnédélky grafu se zahušťováním vln v okolí bodu 0, proveďte rozbor sami).Zde popsané situace nás přivádí k definici vhodného typu oblastí, kde vnoření (1.58) a (1.59)platí 1 .1 Podmínka z monografie [12], Definice 1.2.12, str. 24, je nejlepší, kterou se nám pro tato vnoření podařilo vyhledat.Obsah86. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 1.170 ([12], Definice 1.2.12, str. 24). Řekneme, že oblast Ω ⊂ R N splňuje S-podmínku,pokud existuje konstanta M > 0 taková, že pro každé dva body x, y ∈ Ω existuje n ∈ N a (n+1)-ticebodů z 0 , . . . , z n ∈ R N splňující tyto tři podmínky:x = z 0 , . . . , z n = y , (1.64)∀t ∈ [0, 1], i = 0, . . . n − 1: tz i + (1 − t)z i+1 ⊂ Ω , (1.65)n−1 ∑︀i=0|z i+1 − z i | ≦ M|x − y| . (1.66)Věta 1.171 ([12], Věta 1.2.14). Nechť Ω ⊂ R N splňuje S-podmínku, potom platí následujícívnořeníplatí pro k ∈ N 0 a 0 < λ < 1.C k+1,λ (Ω) ˓→ C k,1 (Ω) ,C k+1,λ (Ω)C k+1 (Ω)C˓→ C k,λ (Ω) ,C˓→ C k,λ (Ω) ,Důkaz. Dokážeme speciální případ C 1 (Ω) ˓→ C 0,1 (Ω). Dále se využije následujícího řetězce vnoření,který plyne z Věty 1.168:C 1,λ (Ω) C˓→ C 1 (Ω) ˓→ C 0,1 (Ω) C˓→ C 0,λ (Ω) .Obecný případ k > 1 se dokazuje analogicky jen je technicky komplikovanější. Mějme dány dva bodyx, y ∈ Ω a nechť z 0 , . . . , z n ∈ R N je (n + 1)-tice bodů splňující podmínky (1.64)–(1.66). Zřejměu(y) − u(x) = u(z n ) − u(z n−1 ) + u(z n−1 ) − u(z n−2 ) · · · + u(z 1 ) − u(z 0 ) .Navíc, jak je vidět z předchozích úvah je velmi přirozená. V monografii [1] je uvedena pouze podmínka konvexnostinebo hvězdicovosti oblasti.Obsah87. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z trojúhelníkové nerovnosti odtud dostanemen−1∑︁|u(y) − u(x)| ≦ |u(z i + 1) − u(z i )| .i=0Užitím věty o střední hodnotě na každé z úseček tz i +(1−t)z i+1 , t ∈ [0, 1], dostaneme pro vhodnéθ ∈ [0, 1] rovnost:N∑︁ ∂∂uu(z i+1 ) − u(z i ) = (θz i + (1 − θ)z i+1 )v k ,∂∂x kk=1kde v k je k-tá složka vektoru v def= z i+1 − z i . Tudíž díky Cauchyově-Schwarzově nerovnosti a ekvivalencinorem v R N existuje konstanta K > 0 nezávislá na u, z i+1 , z i taková, že|u(z i+1 ) − u(z i )| ≦ K‖u‖ C 1 (Ω) |z i+1 − z i | R N .|u(y) − u(x)| ≦Obsah88. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮n−1∑︁n−1∑︁≦ |u(z i + 1) − u(z i )| ≦ K‖u‖ C 1 (Ω)|z i+1 − z i | R Ni=0i=0≦≦ K‖u‖ C1 (Ω) M|x − y| R N ,kde v poslední nerovnosti jsme použili (1.66) s konstantou M > 0 z definice (1.170) pro danou oblastΩ (nezávislou na volbě bodů x, y ∈ Ω).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Příklad 1.172 ([9],str. 53). Uveďme příklad, kde výše uvedené vnoření neplatí a na první pohlednení patrné, že není splněna S-podmínka. Uvažujme oblast Ω def= {x ∈ R 2 : x 2 1+x 2 2 < 1∧x 2 < |x 1 | 1/2 }.Nechť 1 < β < 2. Potom pro funkci u: Ω → R, x → x β 2 sgn x 1 platí u ∈ C 1 (Ω) a zároveň u ∉ C α (Ω)pro β/2 < α ≦ 1.Řešení Platnost u ∈ C 1 (Ω) a u ∉ C α (Ω) pro β/2 < α ≦ 1 dokažte sami. Problém s S-podmínkounastává na okolí bodu o = (0, 0). Uvažujme systém dvojic bodů x h , y h na hranici ∂∂Ω splňujícíx = (−h, √ h) a y = (h, √ h), h ∈ (0, 1/4]. Vzdálenost dvojic těchto bodů je |x h − y h | R 2 = 2h zatímconejkratší lomenná čára ležící v Ω spojující dvojici x h a y h je sjednocení úseček x h o a oy h , jejíž délkaje 2 √ h 2 + h. Dále platí|x − o| R 2 + |o − y| R 2|x − y| R 2= limh→0+2h2 √ h 2 + h = limh→0+1√︀1 + 1/h= +∞ .Proto tato oblast nesplňuje S-podmínku.□Tato věta asi čtenáře nepotěší, ale čtenář znalý této věty se bude moci vyhnout některým chybámv důkazech vět z teorie parciálních diferenciálních rovnic založených na aproximaci.Věta 1.173 ([12], Věta 1.4.9, str. 32). Nechť k ∈ N 0 a 0 < λ ≦ 1, potom prostor C k,λ (Ω) neníseparabilní.Následující věta je užitečná v některých konstrukcích řešení parciálních diferenciálních rovnic,kdy potřebujeme mít funkci dodefinovanou vně oblasti, kde je zadána (a zachovat přitom tříduspojitosti).Věta 1.174 (McShane [17], Důsledek 1). Nechť E ⊂ R N a f : E → R splňuje na E Lipschitzovunebo Hölderovu podmínku, tj. existuje M > 0 a 0 < α ≦ 1 takové, že∀x, y ∈ R N : x, y ∈ E ⇒ |f(x) − f(y)| ≦ M|x − y| α RN . (1.67)Pak lze f rozšířit na R N tak, že je podmínka (1.67) zachována.Obsah89. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Následující věta se týká zhlazování spojitých a Hölderovských funkcí. Nejprve ale definujme tzv.zhlazující jádro.Definice 1.175 (Systém standardních zhlazujících jader). Pro libovolné dané ε > 0 definujemefunkci ω ε : R N → R po částech předpisem{︃ (︁ )︁ω ε (x) def C= ε exp −ε2ε 2 −|x|pro |x| < ε ,2 (1.68)0 pro |x| ≧ ε ,kde C ε je voleno tak, aby ∫︀ R N ω ε dx = 1. Tomuto systému funkcí říkáme systém standardních zhlazujícíchjader.Věta 1.176 (Gilbarg-Trudinger [9], Lemma 7.1, str. 147). Nechť u ∈ C(Ω). Pro libovolnouΩ ′ : Ω ′ Ω a 0 < ε < dist(∂∂Ω, Ω ′ ) definujeme u ε : Ω ′ → R vztahem u ε (x) def= ∫︀ u(x)ωΩ ′ ε (x − y) dy.Potom pro libovolnou Ω ′ : Ω ′ Ω platí lim ‖u ε − u‖ε→0C(Ω ′ ) = 0.Podobné tvrzení platí i pro Hölderovy prostory.Věta 1.177 (srovnej diskuzi v [9] na str. 148). Nechť u ∈ C 0,α (Ω), 0 < α ≦ 1. Pro libovolnouΩ ′ : Ω ′ Ω a 0 < ε < dist(∂∂Ω, Ω ′ ) definujeme u ε : Ω ′ → R vztahem u ε (x) def= ∫︀ u(x)ωΩ ′ ε (x − y) dy.Potom pro libovolnou Ω ′ : Ω ′ Ω a libovolné 0 < β < α platí lim ‖u ε − u‖ε→0C 0,β (Ω ′ ) = 0.Obsah90. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮1.7. Typy oblastíDefinice 1.178. Řekneme, že omezená oblast Ω ⊂ R N má hranici třídy C k,α , jestliže tato hranicemůže být pokryta konečně mnoha (N − 1)-dimensionálními nadplochami Γ i , i = 1, 2, . . . , M < +∞,které ve vhodně zvoleném lokálním systému souřadnic (ξ1, i . . . , ξN i ) lze vyjádřit ve tvaruξ i N = g i (ξ i 1, . . . , ξ i N−1) , i = 1, 2, . . . , M ,Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kdeg i ∈ C k,α (Q i ) , i = 1, 2, . . . , M ,i defQ = {(ξ1, i . . . , ξN−1 i ) ∈ RN−1 : |(ξ1, i . . . , ξN−1 i )| R N−1 ≦ ri } a r i > 0. Dále předpokládáme, že existujeε 0 > 0 tak, že paralelní posuv nadplochy Γ i ε daný rovnicíξ i N = g i (ξ i 1, . . . , ξ i N−1) + ε ,pro −ε 0 < ε < 0 leží v Ω a pro 0 < ε < ε 0 v Ω neleží. (Díky tomu oblast Ω leží lokálně na jednéstraně své hranice ∂∂Ω).Věta 1.179. Omezená oblast Ω ⊂ R N s hranicí třídy C k,α , k + α ≧ 1, splňuje S-podmínku.Důsledek 1.180. Nechť oblast Ω ⊂ R N má hranici třídy C k,α , k + α ≧ 1. Potom na této oblastivnoření z Věty 1.171 platí.1.8. Kompaktnost množin v prostorech spojitých funkcíVěta 1.181 (Arzelà-Ascoli, dodat citaci). Nechť X je kompaktní metrický prostor s metrikoud : X × X → R + ∪ {0} a K je omezená podmnožina C(X), tj.sup ‖u‖ C(X) < c < +∞ . (1.69)u∈C(X)Jestliže pro všechna ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x 1 , x 2 ∈ X a všechna u ∈ K platíimplikaced(x 1 , x 2 ) < δ ⇒ |u(x 1 ) − u(x 2 )| < ε , (1.70)pak uzávěr K v C(K) je kompaktní.Poznámka 1.182. Podmínce (1.69) se říká stejná omezenost a podmínce (1.70) se říká stejnáspojitost.Obsah91. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.9. Kvíz - prostory spojitých funkcíSpojité funkce1. Pro funkci f ∈ CC k (Ω) neplatímnožina {x∈Ω : u(x)≠0} je kompaktníProstory spojitých funkcíderivace f (k) je spojitáfunkce f je omezená na Ωmnožina {x∈Ω : u(x)≠0} je omezená2. Nechť Ω je omezená oblast a pro f ∈C(Ω) definujeme ‖f‖ C(Ω)= max |u(x)|, potom neplatíx∈Ωzobrazení ‖ · ‖ C(Ω) je norma na C(Ω)Obsah92. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮prostor C(Ω) je vzhledem k ‖ · ‖ C(Ω) Banachůvprostor C(Ω) je s ‖ · ‖ C(Ω) separabilníprostor C(Ω) je s ‖ · ‖ C(Ω) HilbertůvZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a 0 < λ ≦ 1, pro funkci f ∈ C(Ω) definujeme hodnotu H 0,λ (f) =|f(x)−f(y)|= sup|x−y|, potomx≠yH 0,λ (·) je norma na C(Ω)‖ · ‖ C(Ω) +H 0,λ (·) je norma na C 0,λ (Ω)f ∈C(Ω) ⇔ H 0,λ (f)

Obsah94. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 2Úvod do teorie distribucíObsah95. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemV této kapitole se seznámíte s klíčovým pojmem moderního přístupu k parciálním diferenciálním rovnicím,jímž je distribuce. Distribuce umožňují definovat zobecněná řešení parciálních diferenciálníchrovnic, to jest řešení, která mohou mít menší hladkost, než je řád dané rovnice. Kromě teorie se zdenaučíte některé méně známé (byť velmi důležité) početní obraty s distribucemi. Jedním z ústředníchbodů této kapitoly je Weylovo lemma, které je prvním výsledkem o regularitě zobecněného řešení Poissonovyúlohy. Velmi poučný je také příklad Poissonovy úlohy, která má pravou stranu spojitou, aleřešení nemá spojité druhé derivace (neexistence klasického řešení). Budeme zde aplikovat poznatkyz předchozí kapitoly, které je nutné k pochopení této kapitoly perfektně ovládat.2.1. MotivaceKoncept distribuce vychází přirozeně z poměrně jednoduchých fyzikálních úvah týkajících se rozloženínějaké fyzikální veličiny v prostoru. Odtud název distribuce. Rozložení fyzikálních veličin můžebýt spojité, nespojité i diskrétní, případně různé kombinace těchto rozložení. Protože většina rovnicmatematické fyziky popisujících vztah mezi fyzikálními veličinami má diferenciální charakter, jecílem teorie distribucí vytvořit takový aparát, který by umožnil užití metod diferenciálního počtui na nespojité případně diskrétně rozložené veličiny. Z matematického pohledu lze distribuce považovatza jisté zobecnění funkcí, které zbavuje diferenciální počet komplikací způsobených existencínehladkých funkcí. Teorie distribucí rozšiřuje metody diferenciálního počtu na velice širokou tříduobjektů, distribucí, kterým se také říká zobecněné funkce. Toto rozšíření diferenciálního počtu naširší třídu objektů splňuje následující přirozené požadavky (viz Rudin [21, Kap. 6]):1. Každá lokálně integrovatelná funkce je distribuce.2. Každá distribuce má všechny parciální derivace, které jsou opět distribucemi. Třída distribucíje tedy uzavřená vzhledem k derivování a každá distribuce má derivace všech řádů.3. Pro diferencovatelnou funkci je nově definovaná derivace pro distribuce identická (v jistémsmyslu) s původní definicí.Obsah96. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4. Běžná formální pravidla diferenciálního počtu platí i pro distribuce.5. Teorie distribucí je vybudována tak, aby platily vhodné konvergenční věty pro limitní procesy.Nyní se vrátíme k fyzikální motivaci pojmu distribuce. Uvidíme, že distribuce matematicky vyjadřujefyzikální fakt, že není v praxi možné stanovit hodnotu fyzikální veličiny v daném bodě, alepouze její průměrnou hodnotu v nějaké dostatečně malé testovací oblasti obsahující daný bod. Zatímto účelem uvažujme prostorové rozložení nějaké fyzikální veličiny popsané funkcí f. Abychommohli vyjádřit průměrnou hodnotu funkce v dané testovací oblasti pomocí integrálu, budeme o tétofunkci předpokládat, že je lokálně integrovatelná v Lebesguově smyslu, tj. f ∈ L 1 loc (Ω), kde Ω je otevřenápodmnožina R N (oblast). Z teorie lebesguovsky integrovatelných funkcí je známo, že prostorf ∈ L 1 loc (Ω) je faktor-prostor integrovatelných funkcí nabývajících stejných hodnot v Ω až na množinuLebesgueovy míry nula a tudíž funkční hodnota daného reprezentanta f(x) v konkrétním boděx ∈ Ω nemá žádný význam (buď není definována vůbec, a pokud je, pak stejně neovlivní hodnotuintegrálu). Avšak z fyzikálního hlediska, je možné uvažovat pouze integrální průměry f na libovolněmalých podoblastech Ω. Speciálně můžeme uvažovat integrální průměry na koulích B(x, ε) ⊂ Ω, sestředem v x ∈ Ω a poloměrem ε. Z teorie Lebesgueova integrálu plyne, že pro skoro všechna x ∈ Ω(ve smyslu Lebesguovy míry), následující limita existuje a pro skoro všechna x ∈ Ω platíf(x) = limε→01|B(x, ε)|∫︁B(x,ε)f(ξ) dξ .Obsah97. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Body, ve kterých toto platí nazýváme Lebesguovými body funkce f. Povšimněte si, že integrály přeskoule B(x, ε) ⊂ Ω lze přepsat jako integrály přes celou oblast následujícím způsobem:∫︁∫︁1f(ξ) dξ = f(ξ)v x,ε (ξ) dξ ,|B(x, ε)|B(x,ε)Ωkde{︂ 1/|B(x, ε)| pokud ξ ∈ B(x, ε) ,v x,ε (ξ) =0 jinak .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tudíž je ekvivalentní znát f jakožto element L 1 loc (Ω) nebo znát hodnoty integrálů∫︁f(ξ)v x,ε (ξ) dξ , (2.1)Ωpro všechna x ∈ Ω a ε > 0 taková, že B(x, ε) ⊂ Ω. Obecněji, distribuci přiřazenou k funkci fpak chápeme jako zobrazení F : v ↦→ ∫︀ f(ξ)v(ξ) dξ pro v z určité třídy funkcí, které se nazývajíΩtestovací funkce. Protože integrály (2.1) nám poskytují informaci o tom, jak jsou funkční hodnoty vΩ rozloženy, tj. distribuovány, je tato úvaha motivací k zavedení abstrakního pojmu distribuce.Před tím, než vyslovíme přesnou definici se ještě podíváme na jeden motivační příklad, kterýukazuje, že distribucemi můžeme popisovat i taková fyzikálně opodstatněná rozložení veličin, kterápomocí funkcí z L 1 loc (Ω) popsat nejdou. Předpokládejme, že bychom chtěli popsat fyzikální situaci,kdy je hmota soustředěna do velmi malého prostoru, jehož velikost je pod rozlišovací schopnostipřístrojů. Z gravitačních účinků jsme pouze schopni určit celkovou hmotnost soustředěnou do tohotozanedbatelného prostoru a známe polohu těžiště (tu lze z gravitačních účinků zjistit měřením). Projednoduchost uvažujme polohu tohoto těžiště v počátku o ∈ Ω a hmotu soustředěnou do počátkuuvažujme jednotkovou. Potom celková hmota soustředěná v kouli B(x, ε) je{︂ 1 pokud o ∈ B(x, ε) ,m(B(x, ε)) =0 pokud o ∉ B(x, ε) .Předpokládejme sporem, že takovéto rozložení lze popsat funkcí f ∈ L 1 loc (Ω), to jest, existujef ∈ L 1 loc (Ω) taková, že∫︁{︂ 1 pokud o ∈ B(x, ε) ,f(ξ) dξ =(2.2)0 pokud o ∉ B(x, ε) .B(x,ε)Pro x ≠ o platí o ∉ B(x, ε) pro všechna ε : 0 < ε < |x| R N∫︀. Máme pro skoro všechna x ∈ Ω:1f(x) = limε→0 |B(x,ε)|f(ξ) dξ = 0. Na druhou stranu, je-li f(x) = 0 pro skoro všechna x ∈ Ω,B(x,ε)pak ∫︀ B(x,ε) f(ξ) dξ = 0 pro všechny koule B(x, ε) ⊂ Ω, tedy i ∫︀ f(ξ) dξ = 0, což je ve sporu sB(0,ε)předpokladem (2.2), neboť o ∈ B(0, ε) pro libovolné ε > 0.Obsah98. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nyní se na celou situaci podívejme z jiného pohledu. Fakt, že hmota je koncentrována do počátku,lze považovat za limitní případ rovnoměrného rozdělení stejné celkové hmoty v čím dál menšíchkoulích se středem v počátku. Uvažujme tedy jednoparametrický systém funkcí f ε ∈ L 1 loc (Ω)definovaných vztahem:{︂1/|B(0, ε)| x ∈ B(0, ε) ,f ε (x) =0 ,pro ε > 0 : B(0, ε) ⊂ Ω. Potom distribuce přiřazená k funkci f ε , je zobrazení∫︁v ↦→Ωf ε (ξ)v(ξ) dξ =∫︁1v(ξ) dξ .|B(0, ε)| B(0,ε)Zbývá vyjasnit z jaké třídy volit testovací funkce v. Protože f ε ∈ L ∞ (Ω) a f ε = 0 vně B(0, ε), jepatrné, že integrály mají smysl pro libovolnou testovací funkci v ∈ L 1 loc (RN ). Z Věty 1.112 plyne, žepro testovací funkci v ∈ L 1 loc (RN ) limitalimε→0∫︁1v(ξ) dξ|B(x, ε)| B(x,ε)existuje ve skoro každém bodě x ∈ Ω a je rovna v(x). Pokud by tedy testovací funkce v byla zL 1 loc (RN ), limita∫︁∫︁1lim f ε (ξ)v(ξ) dξ = limv(ξ) dξε→0Ωε→0 |B(x, ε)| B(x,ε)obecně nemá smysl, neboť v(x) není v třídě L 1 loc (RN ) dáno jednoznačně a ani nemusí být definováno.Pokud vezmeme za třídu testovacích funkcí prostor C c (Ω) (prostor spojitých funkcí s kompaktnímnosičem v Ω), pak podle Poznámky 1.111,∫︁∫︁1lim f ε (ξ)v(ξ) dξ = limv(ξ) dξ = v(o) .ε→0Ωε→0 |B(x, ε)| B(x,ε)Obsah99. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Hledaná limitní distribuce je tedy zobrazení:δ o : C c (Ω) → R, v ↦→ v(0) . (2.3)Protože se jedná o fyzikálně významnou distribuci, značíme ji δ o a nazýváme ji Diracova distribuce.Jak bylo ukázáno výše, Diracovu distribuci δ o nelze reprezentovat lokálně integrovatelnou funkcí.Budeme-li pro jednoduchost uvažovat omezenou oblast Ω ⊂ R N , pak zobrazení definované vztahem(2.3) je spojité a podle Rieszovy-Alexandrovovy věty 1.148 existuje Borelovská míra μ : B(Ω) → Rtaková, že∫︁v(o) = δ o (v) = v dμpro všechny funkce v ∈ C(Ω). Tato míra se nazývá též Diracova míra a také se obvykle značí δ o .Zápis pak vypadá takto:∫︁δ o (v) = v dδ o .Pro neomezené oblasti je situace trochu komplikovanější a bude vyřešena v následující kapitole.Pomocí distribucí můžeme pracovat s celou řadou objektů reprezentujících lineární funkcionály,které nelze ztotožnit s funkcemi. Můžeme například definovat derivaci libovolné funkce z L 1 loc (Ω). Projednoduchost, protože ještě nemáme definované potřebné pojmy, si to vysvětlíme na funkci z L 1 (Ω),kde Ω ⊂ R N je omezená oblast. Vezměme f ∈ L 1 (Ω) a pokusme se nalézt vhodnou definici pro∂∂f/∂∂x i . Za testovací funkce vezměme prostor C 1 (Ω), což je normovaný lineární prostor nad tělesemR. Tento prostor uvažujeme s normou ‖ · ‖ C1 (Ω), vzhledem ke které je Banachův. Distribucemibudeme v tomto příkladě rozumět spojité lineární funkcionály na C 1 (Ω). K definici distributivníderivace funkce f ∈ L 1 (Ω) se dostateme pomocí názorného limitního přechodu. Aproximujme funkcif ∈ L 1 (Ω) posloupností funkcí f n z C 1 (Ω). Připomeňme, že prostor C 1 (Ω) je hustý v L 1 (Ω). Prolibovolnou funkci f n ∈ C 1 (Ω) pak příslušná distribuce ∂∂f n /∂∂x i je zobrazení∫︁C 1 ∂∂f n(Ω) → R, v ↦→ (x)v(x) dx .∂∂x iΩΩΩObsah100. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

V integrálu však nemůžeme přejít k limitě pro n → ∞. Integrací per-partes dostaneme ekvivalentnívyjádření∫︁∫︁∂∂f n(x)v(x) dx = − f n (x) ∂∂v (x) dxΩ ∂∂x i Ω ∂∂x iplatné pro každé n ∈ N. Protože f n → f v L 1 (Ω), dostávámesupv∈C 1 (Ω),‖v‖ C 1 (Ω) ≦1∫︁⃒ (f n (x) − f(x)) ∂∂v∫︁(x) dx∂∂x i⃒ ≦ΩΩ|f n (x) − f(x)| dx → 0 .Z předchozí nerovnosti plyne, že posloupnost T n spojitých funkcionálů asociovaných s f n ∈ C 1 (Ω)∫︁T n : C 1 (Ω) → R, v ↦→konverguje v operátorové normě k funkcionáluΩ∫︁∂∂f n(x)v(x) dx = − f n (x) ∂∂v (x) dx∂∂x i Ω ∂∂x i∫︁T : C 1 (Ω) → R, v ↦→ − f(x) ∂∂v (x) dx . (2.4)Ω ∂∂x iTento operátor pak nazveme distributivní derivace f ∈ L 1 (Ω). Distribuce přiřazená k ∂∂f/∂∂x i jepotom spojitý lineární funkcionál T definovaný (2.4).Podobně bychom na Ω mohli definovat i derivace vyšších řádů tím, že bychom zvýšili požadavkyna hladkost testovacích funkcí. Předchozí příklady nás motivovaly k zavedení pojmu distribuce aprvní distributivní derivace. Abychom mohli podobné limitní přechody provádět nejen na kompaktníchpodmnožinách Ω ⊂ R N , kde Ω je omezená oblast, ale i na obecně otevřených i neomezenýchoblastech Ω, musíme vhodně zvolit prostor testovacích funkcí a hlavně velmi netriviálním způsobemdefinovat na tomto prostoru topologii, která nám tyto limitní přechody umožní. O tom pojednávánásledující odstavec.Obsah101. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2.2. Prostor testovacích funkcí D(Ω)V tomto odstavci definujeme prostor testovacích funkcí a zavedeme na něm vhodnou topologii auvedeme některá klíčová tvrzení. Důkazy těchto tvrzení mají fundamentální charakter a jsou velmiobtížné. Proto je zde neuvádíme a odkazujeme do monografie [21, Rudin, str. 32 a 33].Definice 2.1. Prvek α ∈ N N 0 , α = (α 1 , α 2 , . . . , α N ), kde N ∈ N je dimenze oblasti Ω (Ω je otevřenásouvislá podmnožina ⊂ R N ) se nazývá multiindex. Přirozené číslo |α| def= α 1 + α 2 + · · · + α N senazývá délka multiindexu α. Symbol D α v bude v následujícím textu značit parciální derivaci (a to iv zobecněném smyslu, viz dále):D α v def=∂∂ |α| v∂∂x α11 ∂∂xα2 2 . . . .∂∂xα NNŘekneme, že funkce v : Ω → R (C) definovaná na oblasti Ω ⊂ R N patří do C ∞ (Ω), pokudD α v ∈ C(Ω) pro všechny multiindexy α ∈ N N 0 .Definice 2.2. Nosič funkce v : Ω → R (C) je množinasupp v def= {x ∈ Ω : v(x) ≠ 0} .Je-li K ⊂ Ω kompaktní množina, potom D K (Ω) značí prostor všech funkcí v ∈ C ∞ (Ω) s nosičemobsaženým v K, tj.D K (Ω) def= {v ∈ C ∞ (Ω) : supp v ⊂ K} . (2.5)Poznámka 2.3. Snadno se ověří, že C ∞ (Ω) i D K (Ω) jsou lineární prostory. V následujícím definujemena těchto prostorech lokálně konvexní topologii i metriku.Nechť K i , i ∈ N je posloupnost kompaktních množin takových, že K i ⊂ int K i+1 a Ω = ∪ i∈N K i .Na prostoru C ∞ (Ω) definujeme následující systém seminorem:||v || idef= max{|D α v(x)| : x ∈ K i , |α| ≦ i} . (2.6)Obsah102. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Lokální báze lineárního topologického prostoru C ∞ (Ω) je potomV i = {v ∈ C ∞ (Ω) : ||v || < 1/i} pro i ∈ N .Systémem seminorem || · | i je definována metrizovatelná lokálně konvexní topologie na C ∞ (Ω), viz[21, Věta 1.37, str. 26, a bod (c) v poznámce 1.38, str. 27]. Příslušná metrika je dána tímto vztahem:ρ(u, v) def=∞∑︁i=12 −i ||u − v || i1 + ||u − v || i. (2.7)Prostor C ∞ (Ω), ale bohužel není lokálně omezený a není tudíž ani normovatelný ([21, str. 34]). Vmonografii [21, str. 33] je navíc ukázáno, že C ∞ (Ω) je vzhledem k metrice (2.7) úplný prostor.Konečně se dostáváme k definici prostoru testovacích funkcí.Definice 2.4. Nechť Ω ⊂ R N je oblast. Prostorem hladkých funkcí s kompaktním nosičem nazvememnožinu(Ω) def ⋃︁=D K (Ω) .C ∞ cK ⊂ ΩK je kompaktníSnadno se nahlédne, že Cc∞ (Ω) je lineární prostor. Problém je se zavedením vhodné topologie natomto prostoru.Obsah103. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 2.5. Prostor D K (Ω) je uzavřený podprostor Cc∞vzhledem k metrice (2.7).(Ω). 1 Tedy prostor D K (Ω) je také úplný1 Pro libovolné pevně dané x 0 ∈ Ω definujeme funkcionálF x0 : C ∞ c (Ω) → R (C), v ↦→ v(x 0 ) .Takto definované funkcionály jsou spojité pro všechna x 0 ∈ Ω. Snadno zjistíme, že D K (Ω) = ∩ x0 ∈Ω∖K ker F x0 . Tvrzenío uzavřenosti D K (Ω) pak plyne z toho, že jádro spojitého funkcionálu je uzavřená množina a průnik libovolnéhosystému uzavřených množin je uzavřená množina.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nejprve začneme “špatnou” topologií. Na prostoru Cc∞ (Ω) můžeme uvažovat systém seminorem(2.6) a definovat metriku (2.7). Bohužel vzhledem k této metrice není tento prostor úplný, jak dokládánásledující příklad.Příklad 2.6. Pro jednoduchost zvolme N = 1 a Ω = R. Uvažujme funkci φ ∈ Cc∞[−1, 1]. Potom posloupnost funkcí(Ω) s nosičem vφ n (x) def= φ(x − 1) + 1 2 φ(x − 2) + 1 3 φ(x − 3) + · · · + 1 φ(x − n) , x ∈ Rnje cauchyovská vzhledem k metrice (2.7), ale její limita nemá kompaktní nosič a tudíž nepatří doC ∞ c (Ω) (patří do C ∞ (Ω), protože tento prostor je již úplný vzhledem k (2.7)).Definice 2.7. Nechť Ω je oblast v R N , K je kompaktní podmnožina Ω a nechť τ K je topologie naD K (Ω) indukovaná metrikou (2.7).(B) Označme β sjednocení všech konvexních vyvážených 1 množin U ⊂ C ∞ cpro každou kompaktní množinu K ⊂ Ω.U ∩ D K (Ω) ∈ τ K(Ω) takových, žeObsah104. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(T) Označme τ sjednocení všech množin tvaru φ + U, kde φ ∈ C ∞ c(Ω) a U ∈ β.Věta 2.8 ([21, Věta 6.4, str. 138]). Nechť τ a β jsou systémy mmožin z Definice 2.7. Potom(a) τ je topologie na lineárním prostoru C ∞ c(Ω);(b) β je lokální báze τ;(c) prostor Cc∞ (Ω) s topologií τ je lokálně konvexní lineární topologický prostor.1 Řekneme, že podmnožina E lineárního prostoru L nad R je vyvážená, pokud tx ∈ E pro všechna x ∈ E at ∈ [−1, 1]Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 2.9. Lineární topologický prostor (Cc∞se D(Ω).(Ω), τ) se nazývá prostor testovacích funkcí a značíDefinice 2.10. (Zobecnění cauchyovské posloupnosti a úplnosti prostoru na topologické lineárníprostory.) Nechť X je lineární topologický prostor s topologií τ. Nechť dále β je libovolná lokálníbáze τ. Řekneme, že posloupnost {v n } ∞ n=1 ⊂ X je cauchyovská, pokud ke každému U ∈ β lze najítn 0 ∈ N tak, aby v n − v m ∈ U pro všechna n, m > n 0 .Lineární topologický prostor X s topologií τ je úplný, pokud každá cauchyovská posloupnost málimitu v X.Věta 2.11 ([21, Věta 6.5 na str. 139]).1. Topologie τ k na D K (Ω) je stejná jako topologie, kterou má D K (Ω) jakožto podprostor D(Ω).2. Je-li E omezená podmnožina D(Ω), potom E ⊂ D K (Ω) pro nějakou kompaktní podmnožinu Ωa navíc existuje posloupnost {M n } ∞ n=1 ⊂ R taková, že∀φ ∈ E ∀n ∈ N: ||φ|| n ≦ M n .3. Je-li {φ n } ∞ n=1 ⊂ D(Ω) cauchyovská posloupnost, potom existuje kompaktní podmnožina K ⊂ Ωtaková, že {φ n } ∞ n=1 ⊂ D K (Ω) a navíc pro každé pevně dané n ∈ N platíObsah105. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮lim ||φ i − φ j || n → 0 .i,j→∞4. Každá cauchyovská posloupnost v D(Ω) je konvergentní (tj. prostor D(Ω) je úplný).5. Jestliže posloupnost funkcí φ i → 0 v topologii D(Ω), potom existuje kompaktní podmnožinaK ⊂ Ω taková, že supp φ i ⊂ K pro všechna i ∈ N a D α φ i → 0 uniformě na K (tedy i na Ω)pro všechny multiindexy α ∈ N N 0 .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 2.12. Prostor D(Ω) není metrizovatelný. K tomuto tvrzení se použije Baireho věta okategoriích [21, Věta 2.2 na str. 42] nebo přesněji její důsledek:Úplný metrický prostor je druhé kategorie sám v sobě, tj. není spočetné sjednocení nikde hustýchpodmnožin. Protože D(Ω) je spočetné sjednocení prostorů D K (Ω), prostory D K (Ω) jsou vzhledemk topologii τ uzavřené (viz poznámka na str. 103), navíc D K mají vzhledem k topologii τ prázdnývnitřek, nemůže být prostor D(Ω) s topologií τ metrizovatelný (protože je vzhledem k τ úplný).Bod 5) z předchozí věty lze přepsat do následujícího tvrzení.Věta 2.13. Posloupnost funkcí {v n } ∞ n=1 konverguje v prostoru D(Ω) k funkci v ∈ D(Ω) pokud jsousplněny následující podmínky:1. existuje kompaktní množina K ⊂ Ω taková, že supp v n ⊂ K pro všechna n ∈ N a supp v ⊂ K;2. pro všechny multiindexy α ∈ N N 0 , D α v n → D α v stejnoměrně na K.Poznámka 2.14. Alternativně se předchozí Věta 2.13 používá k defininici sekvenciální konvergencena D(Ω) a topologie τ na D(Ω) se pak vůbec nedefinuje.Věta 2.15 ([21, Důsledek Věty 6.6, str. 141]). Každý diferenciální operátor D α , α ∈ N N 0 , jespojité zobrazení D(Ω) do D(Ω).Obsah106. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮2.2.1. Prostor distribucíDefinice 2.16. Distribuce T (na Ω) je spojitá lineární forma na D(Ω).Poznámka 2.17. Podle Věty 2.8 je D(Ω) lokálně konvexní prostor. Lokálně konvexní prostory majítu význačnou vlastnost, že prvky duálního prostoru v něm oddělují prvky [21, Důsledek Věty 3.4na str. 59]. To znamená, že x 1 = x 2 ∈ X právě tehdy, když l(x 1 ) = l(x 2 ) pro všechny l ∈ X * . Tatovlastnost bude velice významná v aplikacích, např. umožňuje definovat slabou topologii na D(Ω) ana topologickém duálu k D(Ω) budeme moci definovat *-slabou topologii.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Alternativně, bere-li se Věta 2.13 za definici sekvenciální konvergence, lineární formaT : D(Ω) → R je distribucí na Ω, jestliže pro každou posloupnost {v n } ∞ n=1 ⊂ D(Ω) platí následujícíimplikace:v n → 0 v D(Ω) (viz Věta 2.13) =⇒ T (v n ) → 0 .Prostor distribucí na Ω značíme D ′ (Ω). Dualitu mezi D(Ω) a D ′ (Ω) zapisujeme⟨T, v⟩ (D ′ (Ω),D(Ω)) = ⟨T, v⟩ = T (v) .Následující tvrzení nám umožní rozhodnout, zda je daná lineární forma na D(Ω) spojitá a tudíždistribuce.Propozice 2.18. Nechť T je lineární forma na D(Ω). Potom T je distribuce na Ω právě tehdy, kdyžpro všechny kompaktní K ⊂ Ω existuje n ∈ N 0 a C ≧ 0 případně závisející na K takové, že∑︁∀v ∈ D(Ω) : supp v ⊂ K =⇒ |T (v)| ≦ C‖D α v‖ ∞ .α∈N N 0 : |α|≦nPoznámka 2.19. Číslo n z předchozí věty může případně záviset na kompaktní množině K ⊂ Ω.Pokud n na K nezávisí jedná o takzvanou distribuci konečného řádu n.Definice 2.20. Řekneme, že distribuce T ∈ D ′ (Ω) je konečného řádu n, pokud existuje n ∈ N 0takové, že pro všechny kompaktní K ⊂ Ω existuje C ≧ 0 případně závisející na K takové, že∑︁∀v ∈ D(Ω) : supp v ⊂ K =⇒ |T (v)| ≦ C‖D α v‖ ∞ .α∈N N 0 : |α|≦nPříklad 2.21. Nechť f ∈ L 1 loc (Ω). Potom f definuje distribuci konečného řádu 0 identitou:∫︁∀φ ∈ D(Ω): T f (φ) = f(x)φ(x) dx .Takto definovaná distribuce T f se pak v praxi ztotožňuje s funkcí f.ΩObsah107. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Řešení. Z linearity integrálu plyne, že T f je lineární zobrazení. Nyní dokážeme spojitost T f . UvažujmeK kompaktní podmnožinu K ⊂ Ω a u ∈ D K , t.j. u ∈ D a její nosič je podmnožinou K. Potompodle Hölderovy nerovnosti platí∫︁|T f (φ)| =⃒ f(x)φ(x)dx⃒K∫︁≦ |f(x)| |φ(x)| dxK∫︁≦ |f(x)|dx ‖φ‖ ∞ .KProtože f je lokálně integrovatelná, je ∫︀ |f(x)| dx konečné. Ke každé kompaktní K ⊂ Ω tedyKexistuje 0 ≦ C K = ∫︀ |f(x)| dx < +∞ takové, žeKTudíž f je distribuce řádu 0 dle Definice 2.20.|T f (φ)| ≦ C K ‖φ‖ ∞ .Definice 2.22. Nechť T ∈ D ′ (Ω) a nechť existuje f ∈ L 1 loc (Ω) tak, že je splěna identita∫︁∀φ ∈ D(Ω): T (φ) = f(x)φ(x) dx , (2.8)pak se T nazývá regulární distribuce a funkce f se nazývá funkcí asociovanou s distribucí T f .Příklad 2.23. Nechť Ω = R. Nechť f(x) = 0 pro x ≦ 0 a f(x) = 1/x pro x > 0. ZobrazeníT 1 : D(R) → R, φ ↦→ ∫︀ f(x)φ(x) dx není spojité, tedy není to distribuce. Naproti tomu, je-liRΩ = R + a f(x) = 1/x pro x > 0, potom obrazení T 2 : D(R + ) → R, φ ↦→ ∫︀ f(x)φ(x) dx je spojitéR +a je to dokonce distribuce nultého řádu.Řešení. Funkce f(x) = 0 pro x ≦ 0 a f(x) = 1/x pro x > 0 není integrovatelná na kompaktníchpodmnožinách R a integrál ∫︀ f(x)φ(x) dx není definován pro všechny φ(x) ∈ D(R). Stačí např.Ruvažovat funkce z D(Ω) konstantní nenulové na nějakém okolí bodu x = 0.Funkce f(x) = 1/x je lokálně integrovatelná na R + a tudíž definuje distribuci nultého řádu.Ω✷Obsah108. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Příklad 2.24. Nechť o ∈ Ω ⊂ R. Potom δ 0 definovaná identitouδ 0 (φ) = φ(o)∀φ ∈ D(Ω)je distribuce konečného řádu 0.Řešení. Zřejmé. Dokažte sami.Příklad 2.25. Nechť μ : B(Ω) → [0, +∞] je Radonova míra. Potom μ definuje distribuci konečnéhořádu 0 identitou:∫︁T μ (φ) = φ dμ ∀φ ∈ D(Ω) .Takto definovaná distribuce T μ se pak v praxi ztotožňuje s mírou μ.Řešení. Nechť K ⊂ Ω je kompaktní a φ ∈ D K (Ω). Z Hölderovy nerovnosti platí 1 :∫︁⃒∫︁∫︁⃒⃒⃒|T μ (φ)| =⃒ φ dμ⃒ = φ dμ⃒ = ‖φ‖ ∞ ⃒ dμ⃒ = ‖φ‖ ∞ μ(K) .ΩKHledaná konstanta C K je tedy μ(K), což je konečné číslo dle předpokladu na míru μ.Zajímavější je ovšem opačné tvrzení k tvrzení předchozího příkladu.Věta 2.26. [13, Leoni, Věta 9.13] Nechť Ω ⊂ R N je oblast a nechť T ∈ D ′ (Ω).Ω1. Jestliže T je kladná distribuce, tj. T (φ) ≧ 0 pro všechny nezáporné funkce φ ∈ D(Ω), potomexistuje právě jedna Radonova míra μ : B(Ω) → [0, +∞] taková, že∫︁T (φ) = φ dμ ∀φ ∈ D(Ω) .Ω1 defV této Hölderovy nerovnosti uvažujeme nejprve ‖φ‖ ∞, μ = inf {a ∈ R : μ({x : φ(x) > a}) = 0}. Protože všakφ ∈ D(Ω) je funkce spojitá, ‖φ‖ ∞, μ = max |φ(x)| pro všechny Borelovské míry a můžeme tedy použít supremovoux∈Ωnormu pro Lebesgueovu míru ‖φ‖ ∞.KObsah109. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2. Jestliže T je distribuce nultého řádu, potom existují dvě Radonovy míry μ 1 , μ 2 : B(Ω) → [0, ++∞] takové, že∫︁ ∫︁T (φ) = φ dμ 1 − φ dμ 2 ∀φ ∈ D(Ω) .ΩΩPoznámka 2.27. Všimněte si, že narozdíl od Rieszovy-Alexandrovovy věty 1.148, v této větě vystupujemíra, u které se připouští hodnota +∞. Je to dáno topologií prostoru D(Ω). Stačí námkonečnost na kompaktních množinách. Příkladem Radonovy míry konečné na kompaktních množináchje Lebesgueova míra na R N nebo třeba množinová funkce: μ(A) def= ∫︀ A f(x) dx pro f ∈ L1 loc (Ω)a f ≧ 0. Tato míra by nedávala spojitý lineární funkcionál na C 0 (Ω), protože například pro Ω = R,f(x) = x 2 ∈ L 1 loc (R), φ(x) = 1/(1 + x2 ) ∈ C 0 (R), ∫︀ f(x)v(x) dx = +∞.R2.2.2. Lokalizace distribuce - nosič distribuceZ definice distribuce jakožto spojitého funkcionálu na D(Ω) je zřejmé, že není obecně možné počítathodnoty distribuce v daném bodě x ∈ Ω (to není možné ani u lokálně integrovatelných funkcí, kterédistribuce zobecňují). Na druhou stranu můžeme určit kdy je distribuce nulová v dané oblasti.Definice 2.28. [26, Vladimirov, str. 70–71]1. Řekneme, že distribuce T ∈ D ′ (Ω) je nulová v oblasti G ⊂ Ω, pokud T (φ) = 0 pro všechnaφ ∈ D(Ω), supp φ ⊂ G. Píšeme zkráceně T = 0 na G.2. Řekneme, že dvě distribuce S, T ∈ D ′ (Ω) se rovnají na oblasti G ⊂ Ω, pokud T − S = 0 na G.Zkráceně píšeme S = T na G.3. Řekneme, že distribuce T ∈ D ′ (Ω) je třídy C k (G), jestliže existuje funkce f k,G ∈ C k (G) taková,že T je na G rovna distribuci asociované s funkcí f k,G .Lemma 2.29. [26, str. 71] Nechť T ∈ D ′ (Ω) a Ω ⊂ R n je pokryta spočetným systémem okolíB(x k ; R k ) (koule se středem x k a poloměrem R k ), k ∈ N. Dále nechť na každém okolí B(x k ; R k )platí T = T k ∈ D(Ω). Potom je T určeno jednoznačně systémem T k .Obsah110. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 2.30. [26, str. 71] K tomu, aby T ∈ D ′ (Ω) byla rovna nule na G ⊂ Ω je nutné a stačí, abybyla nulová v okolí každého bodu x ∈ G.Definice 2.31. Množina všech bodů x ∈ Ω takových, že na každém okolí x platí T ≠ 0, se nazývánosič distribuce T . Tuto množinu značíme supp T .Lemma 2.32. [26, Du Bois Reymondovo Lemma; str. 72] K tomu, aby funkce f ∈ L 1 loc (G) bylanulová ve smyslu distribucí je nutné a stačí, aby f(x) = 0 pro skoro všechna x ∈ G.Nejčastěji se používá tento důsledek Du Bois Reymondovo lemmatu:Důsledek 2.33. Každá regulární distribuce je definována právě jednou f ∈ L 1 loc (Ω) (tedy třídouintegrovatelných funkcí lišících nejvýše na množině míry nula).Další důsledek Lemmatu 2.32 je tento.Důsledek 2.34. Nosič distribuce (podle Def. 2.28) asociované se spojitou funkcí f ∈ C(Ω) je stejnámnožina jako nosič této funkce t.j. supp f = {x ∈ Ω : f(x) ≠ 0}.Tematicky do této kapitoly též patří pojem restrikce distribuce.Definice 2.35. Nechť Ω a Ω ′ jsou otevřené podmnožiny R N a Ω Ω ′ . Nechť E ΩΩ ′ : D(Ω ′ ) → D(Ω)je operátor rozšíření funkcí z D(Ω ′ ) na D(Ω) nulou na Ω ∖ Ω ′ , tj.Obsah111. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮{︂E Ω′ Ωu def u na Ω′=0 na Ω ∖ Ω ′ (2.9)pro každou u ∈ D(Ω ′ ). Potom restrikce T ∈ D ′ (Ω) na Ω ′ je distribuce T | Ω ′ ∈ D ′ (Ω) splňujícípro všechny φ ∈ D(Ω ′ ).T | Ω ′(φ) = T (E Ω′ Ωφ) (2.10)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2.2.3. Derivace distribucíVěta 2.36. Nechť α ∈ N N 0je multiindex a T ∈ D ′ (Ω) je distribuce, potom identita(D α T ) (φ) = (−1) |α| T (D α φ) ∀φ ∈ D(Ω) (2.11)definuje spojitý lineární funkcionál (D α T ) na D(Ω) tj. distribuci.Důkaz. Linearita se ověří snadno. Je-li |T (φ)| ≦ C ∑︀ ‖D γ φ‖ ∞ pro nějaké n ∈ N 0 a všechnaφ ∈ D K (Ω), potom přímo z definice| (D α T ) (φ)| ≦ C ∑︁Tudíž podle Propozice 2.18 je D α T distribuce.|γ|≦n|γ|≦n+|α|‖D γ φ‖ ∞ .Definice 2.37. Distribuci (D α T ) přiřazenou T ∈ D ′ (Ω) a multiindexu α ∈ N N 0 identitou (2.11)nazýváme distributivní derivací T .Poznamenejme, že záměna pořadí distributivních derivací D α D β T = D α+β T = D β D α T platípro každou distribuci T ∈ D(Ω) a libovolné multiindexy α a β, neboť operátory D α a D β komutujína D(Ω):(D α D β T )(φ) = (−1) |α| (D β T )(D α φ) = (−1) |α|+|β| T (D β D α φ) =(−1) |α|+|β| T (D β+α φ) = (D β+α T )(φ) .Při práci s distributivními derivacemi funkcí se často používá více rozměrné integrování per--partes a Greenovy identity. Zde si uveďme variantu pro dostatečně hladkou dvojici funkcí a oblast sdostatečně hladkou hranicí (v případě výpočtu přes konkrétní hladkou hranici se Hausdorffova míraH N−1 vypočte z parciálních derivací parametrizace dané N − 1 rozměrné nadplochy).Obsah112. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 2.38 (Vícerozměrná integrace per-partes). Nechť oblast Ω ⊂ R N je omezená oblast shranicí ∂∂Ω třídy C 1 a u, v ∈ C 1 (Ω). Potom platí∫︁Ω∫︁∫︁∂∂u(x)v(x) dx = u(x)v(x)n i (x)H N−1 − u(x) ∂∂v (x) dx , (2.12)∂∂x i ∂∂ΩΩ ∂∂x ikde n i (x) je i-tá složka jednotkového vektoru vnější normály ⃗n(x) k nadploše ∂∂Ω v bodě x ∈ ∂∂Ω ai = 1 . . . N.Věta 2.39 (Greenova první a druhá identita). Nechť oblast Ω ⊂ R N je omezená oblast s hranicí∂∂Ω třídy C 1 a u, v ∈ C 2 (Ω). Potom∫︁Ω∫︁Ω∫︁∫︁∇u(x) · ∇v(x) dx + u(x)Δv(x) dx = u(x) ∂∂vΩ∂∂Ω ∂∂⃗n (x) dHN−1 (2.13)(u(x)Δv(x) − v(x)Δu(x)) dx = (2.14)∫︁ (︂= u(x) ∂∂v)︂∂∂u(x) − v(x)∂∂⃗n ∂∂⃗n (x) dH N−1∂∂ΩObsah113. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮V následujícím příkladě si techniku práce s vícerozměrnou integrací per-partes názorně předvedeme.Příklad 2.40. Nechť Ω = R 2 . f(x, y) = (x 3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) pro (x, y) ≠ 0 a f(0, 0) = 0.∂∂Druhé smíšené parciální derivace této funkce nejsou záměnné v bodě (0, 0):2 f∂∂y∂∂x(0, 0) = −1 ≠ 1 == ∂∂2 f∂∂y∂∂x (0, 0). Naproti tomu pro distributivní derivace platí D(0,1) D (1,0) f = D (1,0) D (0,1) f.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Řešení. Výpočtem snadno zjistíme, že∂∂ 2 f(x, y) =∂∂x∂∂y= 3y2 − 3x 2x 2 + y 2= ∂∂2 f(x, y)∂∂y∂∂x− 2y (︀ y 3 − 3x 2 y )︀(x 2 + y 2 ) 2− 2x (︀ 3xy 2 − x 3)︀(x 2 + y 2 ) 2+ 8xy (︀ xy 3 − x 3 y )︀(x 2 + y 2 ) 3Obsahpro (x, y) ≠ (0, 0).Na druhou stranu,114. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∂∂ff(x, y) − f(0, y)(0, y) = lim=∂∂x x→0 x(x 3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) − 0= lim= −y pro y ≠ 0 ,x→0 x∂∂ff(x, 0) − f(0, 0) 0(0, 0) = lim= lim∂∂x x→0 xx→0 x = 0 ,∂∂ 2 f(0, 0) = lim∂∂y∂∂x x→0∂∂f∂∂x∂∂f(0, y) −∂∂x(0, 0) −y − 0= lim = −1yy→0 yZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a∂∂ff(x, y) − f(x, 0)(x, 0) = lim=∂∂y y→0 x(x 3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) − 0= lim= x pro x ≠ 0 ,y→0 y∂∂ff(0, y) − f(0, 0) 0(0, 0) = lim= lim∂∂y y→0 xy→0 y = 0 ,∂∂ 2 f(0, 0) = lim∂∂x∂∂y x→0∂∂f∂∂y∂∂f(x, 0) −∂∂y(0, 0) x − 0= lim = 1 .yx→0 xOdtud máme hledanou nerovnost ∂∂2 f∂∂x∂∂y (0, 0) = −1 ≠ 1 = ∂∂2 f∂∂y∂∂x(0, 0).Druhé derivace funkce f nejsou záměnné v bodě (0, 0). Přesto distribuce T f ∈ D ′ (R 2 ) definovanávztahem:∫︁T f (φ) def= φ(x, y)(x 3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) dx dy ∀φ ∈ D(R 2 )R 2má derivace všech řádů záměnné. Z definice distributivní derivace a hladkosti φ totiž plyne:D (0,1) D (1,0) T f (φ) =∫︁=∫︁=R 2R 2∂∂ 2 φ∂∂x∂∂y (x, y)(x3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) dx dy =∂∂ 2 φ∂∂y∂∂x (x, y)(x3 y − y 3 x)/(x 2 + y 2 ) dx dy == D (0,1) D (1,0) T f (φ) = D (1,1) T f (φ)Obsah115. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Ukázali jsme, že klasické smíšené parciální derivace nejsou pro funkci f záměnné, na druhoustranu distributivní derivace záměnné jsou. Z toho vyvstává následující otázka: lze distributivníderivaci D (1,1) f reprezentovat pomocí integrálu a klasické parciální derivace ∂∂2 f∂∂x∂∂y nebo ∂∂2 f∂∂y∂∂x ?Nechť R > 0 je takové, že supp φ B(0, R). Pro libovolně malé ε ∈ (0, R) užitím vzorečku (2.12)pro x na mezikruží ε < x 2 + y 2 < R dostaneme:∫︁D (1,1) T f (φ) =(︂∫︁=(︂∫︁=R 2+ε

pro libovolně malé ε ∈ (0, R) užitím vzorečku (2.12) pro y na mezikruží ε < x 2 + y 2 < R dostaneme:∫︁D (1,1) ∂∂φT f (φ) =∂∂y (x, y)f(x, y)n x dH 1 −x 2 +y 2 =ε 2(︂∫︁)︂−+φ(x, y)x 2 +y 2 =ε∫︁x ∂∂f2 2 +y 2 =R ∂∂x (x, y)n y dH 1 +2∫︁+φ(x, y) ∂∂2 f(x, y) dx dy+ε

Tudíž∫︁D (1,1) T f (φ) = φ(x, y) ∂∂2 f(x, y) dx dyR ∂∂y∂∂x 2∫︁(a stejně tak i) = φ(x, y) ∂∂2 f(x, y) dx dy .R ∂∂x∂∂y 2Distribuci D (1,1) ∂∂T f lze vyjádřit pomocí2 f∂∂x∂∂y (x, y) i ∂∂ 2 f∂∂y∂∂x(x, y), neboť se liší jen v jednom bodě, tedyna množině míry nula.□Nechť T f ∈ D(Ω) je distribuce asociovaná s lokálně integrovatelnou funkcí. Potom distributivníderivace T f existuje a je podle výše uvedené věty také distribucí. Nyní vyvstává zajímavá otázka,co se stane, pokud D α f existuje v klasickém smyslu a je lokálně integrovatelná. Zajímá nás vztahmezi klasickou derivací D α f a D α T f , speciálně nás zajímá, zda platí(−1) |α| ∫︁Ω∫︁f(x)(D α φ)(x) dx = (D α f)(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(Ω) .ΩPokud f má všechny parciální derivace spojité až do řádu M včetně a |α| ≦ M, předchozí rovnostplatí — stačí integrovat per-partes jako v předchozím příkladě. Problém nastane pokud tatopodmínka spojitosti neplatí, jak ukazuje následující příklad:Příklad 2.41. Nechť Ω = R, f(x) = 0 pro x < 0 a f(x) = 1 pro x ≧ 0. Potom f ′ (x) = 0 pro skorovšechna x ∈ R a tudíž f ′ ∈ L 1 loc (R). Na druhou stranu⟨ ⟩∫︁D (1) T f , φ = − ⟨T f , φ ′ ⟩ = − f(x)φ ′ (x) dx =R−∫︁ ∞Předchozí příklad lze ještě poněkud zobecnit.0φ ′ (x) dx = φ(0) − limx→∞ φ(x) = φ(0) = δ 0(φ) .Obsah118. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 2.42. Nechť Ω = R a f je zprava spojitá neklesající funkce. Potom identita⟨ ⟩ ∫︁D (1) f, φ = φ(x)f ′ (x) dxR∀φ ∈ D(Ω)platí právě tehdy, když f je absolutně spojitá. Pokud f je zprava spojitá neklesající funkce ale neníabsolutně spojitá, pak platí alespoň toto:⟨ ⟩ ∫︁D (1) f, φ = φ(x) dμ(x) ∀φ ∈ D(Ω) , (2.17)RObsahkde μ je úplná Lebesgueova-Stieltjesova míra splňující μ((a, b]) = f(b) − f(a) pro všechna a < b ∈ R.Důkaz. Je známo, že derivace zprava spojité nerostoucí funkce existuje v klasickém smyslu skorovšude vzhledem k Lebesgueově míře 1.113 a že platí f ′ ∈ L 1 loc (R). Nyní dokážeme identitu (2.17).Vyjdeme z definice distributivní derivace119. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮⟨ ⟩ ∫︁D (1) f, φ = − f(x)φ ′ (x) dx ∀φ ∈ D(R) .RZavřít dokumentZvolme K > 0 takové, že pro dané φ ∈ D(R) platí supp φ ⊂ (−K, K). Potom f(y) = μ((−K, y]) +Celá obrazovka ⧸︀ Okno

+ f(−K) a∫︁∫︁ K− f(x)φ ′ (x) dx = − f(x)φ ′ (x) dx =R−K∫︁ K{︀ }︀= − f(−K) + μ ((−K, x]) φ ′ (x) dx =−K∫︁ K∫︁ K(︂∫︁ x)︂= −f(−K) φ ′ (x) dx −dμ(y) φ ′ (x) dx =−K−K −K∫︁∫︁Fubini= −φ ′ (x) dμ(y) ⊗ dx =−K

Protože rovnost∫︁ K−Kφ(x) dμ(x) =∫︁ K−Kφ(x)f ′ (x) dxnastává právě tehdy, když f je absolutně spojitá, dostáváme odtud hledané kritérium v jedné dimenzi.Příklad 2.43. Distributivní derivace Cantorovy funkce C : R → R je Borelovská míra.Řešení. Připomeňme aritmetickou definici Cantorovy funkce. Funkce C(x) = 0 pro x < 0, C(x) = 1pro x > 1 a tedy C ′ (x) = 0 pro x ∈ R ∖ [0, 1]. Nyní definujeme C(x) pro x ∈ [0, 1]. Nechť x ∈ [0, 1]je libovolné pevné a posloupnost {a x, j } ∞ j=1 je taková, že a x, j = {0, 1, 2} pro všechna j ∈ N a∑︀x = ∞ 3 −j a x, j (triadický rozvoj x). Připomeňme, že tento rozvoj existuje pro každé číslo x ∈ [0, 1]j=1a je jednoznačný, pokud pro všechna k, m ∈ N platí x ≠ ±m/3 k . Pokud x = ±m/3 k pro nějakék, m ∈ N, existují dva rozvoje čísla x:x =j 0∑︁j=13 −j a x, j a x =j∑︁0−1j=13 −j a x, j + (a x, j0 − 1)3 −j0 + 2∞∑︁3 −j ,j 0+1Obsah121. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde a x,j0 ∈ {1, 2}. V případě nejednoznačného rozvoje volíme ten druhý. NechťM xdef= min{i ∈ N : a x, i = 1} pokud {i ∈ N : a x, i = 1} ≠ ∅a M xdef= ∞ v opačném případě. Potom hodnota Cantorovy funkce v bodě x je definována následovně:C(x) def= 12 + 1 M∑︁x−12 −j a x, j , (2.18)Mx 2j=1Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde pro M x = ∞ položíme 1/2 Mx def= 0 a sumu do M x − 1 chápeme jako součet nekonečné řady. Tatodefinice je převzata z přehledového článku o Cantorově funkci Dovgoshey-Martio-Ryazanov-Vuorinen[7].Z aritmetické definice snadno plyne, že Cantorova funkce je neklesající funkce (dokažte jakocvičení).Z konstrukce je dále patrné, že Cantorova funkce je konstantní na intervalech, které lze zapsat vtrojkové soustavě jakoI (b1, b 2, ..., b n) = (0.b 1 b 2 b 3 · · · b n 022222 · · · , 0.b 1 b 2 b 3 · · · b n 122222 · · · ) ,b i ∈ {0, 2}, i = 1 . . . n a n ∈ N, což jsou přesně ty intervaly, které se vyjímají z intervalu [0, 1] přikonstrukci Cantorova diskontinua.Nyní dokážeme spojitost funkce C na intervalu [0, 1]. Pro libovolné dva body x, y ∈ [0, 1] : x ≠ yplatíx → y ⇒ min{n ∈ N : a x, n − a y, n ≠ 0} → ∞ . (2.19)Uvažujme posloupnost y m → x, y m ≠ x a označmeN mdef= min {n ∈ N : a x, n − a ym, n ≠ 0} . (2.20)Obsah122. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pak z (2.19) plyne, že N m → ∞ pro m → ∞. Pro M x ≠ ∞ tedy existuje m 0 ∈ N takové, že ∀m ∈ N:m > m 0 ⇒ N m > M x . PotomM x = min {n ∈ N : a x, n } = min {n ∈ N : a ym, n} = M ym ∀m > m 0 .Pak ovšem platíC(x) − C(y) = 12 Mx − 12 Mx + 1 2⎛∑︁⎝M x−1j=1⎞M ym −1∑︁2 −j a x, j − 2 −j a ym,⎠j = 0j=1Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro všechna m > m 0 . Funkce C je spojitá ve všech bodech x ∈ [0, 1], kde M x < ∞. Pro M x = ∞musí M ym → ∞. Potom|C(x) − C(y m )| ==⃒ − 1 + 1 2 Mym 2≦ 12 Mym + 1 2N∑︁m−1∞∑︁j=12 −j (a x, j − a ym, j) + 1 ∞∑︁2 −j (a x, j − a ym, j)2j=N m⃒ ≦j=N m2 −j (a x, j + a ym, j) ≦ 12 Mym + 1 2∞∑︁j=N m2 −j (2 + 2) == 1 + 1 4 = 12 Mym 2 21−Nm + 2 2−Nm → 02 Mympro m → ∞. Cantorova funkce je tedy spojitá na [0, 1]. Protože C(0) = 0 a C(1) = 1, je Cantorovafunkce spojitá na R.Derivace Cantorovy funkce existuje v klasickém smyslu na I (b1, b 2,..., b n) a je rovna 0. Množina[0, 1] ∖ ⋃︁ ⋃︁n∈N(b 1, b 2,..., b n)∈{0,2} n I (b1, b 2,..., b n)je známé Cantorovo diskontinuum, které má Lebesgueovu míru 0. Derivace Cantorovy funkce tedyexistuje v klasickém smyslu skoro všude na R a je rovna nule. Tudíž C ′ ∈ L 1 loc (R). Na druhou stranuje Cantorova funkce nekonstatní a tudíž není absolutně spojitá. Podle Věty 2.42 tedy neplatí⟨ ⟩ ∫︁D (1) C, φ = φ(x)C ′ (x) dx ∀φ ∈ D(R) .RLze říci alespoň toto: úplná Lebesgue-Stietjesova míra κ vytvořená z výchozí množinové funkceκ((a, b]) def= C(b)−C(a) (standardním procesem vytvoření míry z množinové funkce viz např. [Malý])je distributivní derivace C, tj.:⟨ ⟩ ∫︁D (1) C, φ = φ(x) dκ ∀φ ∈ D(R) .RObsah123. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Větu 2.42 lze ještě dále zobecnit:□Věta 2.44. Nechť Ω = R a f je zprava spojitá funkce konečné variace na kompaktních podmnožináchR. Potom identita⟨ ⟩ ∫︁D (1) f, φ = φ(x)f ′ (x) dx ∀φ ∈ D(Ω)Rplatí právě tehdy, když f je absolutně spojitá.Důkaz. Protože funkce f je zprava spojitá a má konečnou variaci na kompaktních intervalech, nadaném kompaktním intervalu ji rozložíme na rozdíl dvou neklesajících zprava spojitých funkcí f 1 af 2 k nimž vytvoříme Lebesgue-Stieltjesovy míry μ 1 a μ 2 . Potom f(b) − f(a) = ∫︀ ba dμ 1 − ∫︀ ba dμ 2 provšechna a < b ∈ R. Dále postupujeme analogicky jako ve Větě 2.42.Tento výsledek lze dále zobecnit do R N viz [Schwartz], Kap. 2, Sek. 5, Věta V, část (1).Věta 2.45. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a Pi ⊤Ω je ortogonální projekce Ω do nadroviny x i = 0 v R N .Nechť f ∈ L 1 loc (Ω) je absolutně spojitá vzhledem k proměnné x i na skoro všech přímkách rovnoběžnýchs osou x i procházejících Pi⊤Ω, t.j. pro danou třídu funkcí f ∈ L1 loc (Ω) 1 existuje reprezentant ftakový, že pro H N−1 -skoro všechnaObsah124. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(x 1 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x N ) : (x 1 , . . . , x i−1 , 0, x i+1 , . . . , x N ) ∈ P ⊤ iΩplatí, že funkcef(x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )je absolutně spojitá funkce jedné reálné proměnné t, kdet ∈ {s ∈ R : (x 1 , . . . , x i−1 , s, x i+1 , . . . , x N ) ∈ Ω} .1 Připomeňme opět, že L 1 loc (Ω) je faktorprostor funkcí f(x) = f(x) skoro všude v ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1 Nechť dále ∂∂f∂∂x i⟨ ∂∂f∂∂x i, φ∈ L 1 loc (Ω). Potom pro každou φ ∈ D(Ω) lze integrovat per-partes:⟩ ∫︁∫︁∂∂f= (x)φ(x) dx = −∂∂x iΩΩf(x) ∂∂φ ⟨⟩(x) dx = D (0,...,0,1,0,...,0) f, φ∂∂x ia tudíž příslušná distributivní parciální derivace souhlasí s klasickou parciální derivací skoro všudev Ω.Důkaz. Viz např. [Schwartz], Kap. 2, Sek. 5, Věta V, část (1).Dále následují užitečné příklady distributivních derivací různých integrovatelných funkcí i distribucí.Příklad 2.46. Uvažujme Ω = R. Potom první distributivní derivace funkce |x| je distribuce asociovanás Heavisideovou funkcí H 0 (x) = 0 pro x < 0, H 0 (x) = 1 pro x ≧ 0. Druhá distributivníderivace funkce |x| je Diracova distribuce.Řešení. Nechť T (φ) def= ∫︀ +∞|x|φ(x) dx pro všechna x ∈ R. Potom dle definice distributivní derivace−∞T ′ (φ) = − ∫︀ +∞−∞ |x|φ′ (x) dx pro všechna φ ∈ D(R). Protože |x| je absolutně spojitá a φ má kompaktnínosič na R, integrací per-partes dostaneme:T ′ (φ) = −∫︁ +∞−∞|x|φ ′ (x) dx =∫︁ +∞−∞H 0 (x)φ(x) dx ,pro všechna φ ∈ D(R).Opět podle definice distributivní derivace T ′′ (φ) = ∫︀ +∞−∞ |x|φ′′ (x) dx pro všechna φ ∈ D(R).Integrací per-partes stejně jako v předchozím případě dostaneme:T ′′ (φ) =∫︁ +∞−∞|x|φ ′′ (x) dx = −∫︁ +∞−∞H 0 (x)φ ′ (x) dx ,1 Snadno se ověří, že množina {s ∈ R : (x 1 , . . . , x i−1 , s, x i+1 , . . . , x N ) ∈ Ω} je otevřená a tudíž spočetné sjednoceníotevřených intervalů. Na těchto intervalech pak požadujeme absolutní spojitost t → f(x 1 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N ).Obsah125. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro všechna φ ∈ D(R). Dále již per-partes integrovat nemůžeme, protože funkce H 0 není spojitá vnule. Z definice Heavisideovy funkce je patrné, žea odtud dále integrací:T ′′ (φ) = −T ′′ (φ) = −∫︁ +∞0∫︁ +∞−∞H 0 (x)φ ′ (x) dx = −∫︁ +∞0φ ′ (x) dx(︁)︁φ ′ (x) dx = − lim φ(x) − φ(0) = φ(0).x→∞Tato rovnost je platná pro libovolnou φ ∈ D(Ω), tudíž T ′′ = δ 0 , což jsme měli ukázat.Příklad 2.47. Uvažujme Ω = R. Zobrazení∫︁P 1/x : φ ↦→ p.v. φ(x)/x dx = limε→0+R(︂∫︁ −εφ(x)/x dx +−∞∫︁ ∞ε)︂φ(x)/x dxje distribuce prvního řádu.Připomeňme, že pro měřitelnou funkci f na R (funkce f nemusí být integrovatelná) lze definovattzv. Cauchyovu hlavní hodnotu v nule∫︁p.v.Rf(x) dx def= limε→0+(︂∫︁ −εf(x) dx +−∞∫︁ ∞ε)︂f(x) dx ,kdykoliv má uvedená limita smysl.Řešení. Nechť φ ∈ D(R). Potom lze najít k > 0 tak, že supp φ ⊂ [−k, k]. Pro každé ε > 0, je funkceφ(x)/x na množině [−k, −ε] ∪ [ε, k] lebesgueovsky integrovatelná. Tudíž, po substituci x ↦→ −x prox ∈ [−k, −ε] dostaneme∫︁∫︁φ(x) − φ(−x)P 1/x (φ) = p.v. φ(x)/x dx = limdx. (2.21)Rε→0+[ε,k] xObsah126. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Protože φ ∈ D(R), je integrand v posledním výraze spojitý a dokonce diferencovatelný pro všechnax ∈ R ∖ {0}. Navíc integrand konverguje k 2φ ′ (0) pro x → 0, tudíž má odstranitelnou nespojitostv x = 0. Dodefinováním integrandu hodnotou 2φ ′ (0) v bodě x = 0 dostaneme spojitou funkci na[0, k]. Takto dodefinovaný integrand je tedy zřejmě Lebesgueovsky měřitelný a také integrovatelný na[0, k]. Použijeme jej tedy jako majorantu v následujícím limitním přechodu. Uvažujme posloupnostf n (x) = χ [1/n,k](︀φ(x) − φ(−x))︀/x. Užitím Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci dostanemeP 1/x (φ) =∫︁[0,k]φ(x) − φ(−x)xdx.Jak jsme právě ukázali, integrál na pravé straně existuje a je konečný pro libovolnou φ ∈ D(R).Tudíž hodnota P 1/x (φ) je konečná a funkcionál P 1/x zobrazuje D(R) do R. Protože D(R) je lineárníprostor, z linearity integrálu dostáváme linearitu P 1/x .Zbývá dokázat spojitost P 1/x . Uvažujme tedy kompaktní množinu K ⊂ R a φ ∈ D K . Bez újmyna obecnosti lze předpokládat, že K ⊂ [−k, k] pro nějaké k > 0. Pro x > 0 platíφ(x) − φ(−x)⃒ x ⃒ =∫︁1⃒x(−x,x)≦ 2‖φ ′ ‖ ∞ ,φ ′ (t) dt⃒Obsah127. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde ‖ · ‖ ∞ je supremová norma. V rovnosti užijeme základní větu kalkulu pro Lebesgueův integrál,neboť φ je absolutně spojitá na [−k, k]). Tudíž⃒⃒P 1/x (φ) ⃒ ⃒ ≦ 2k‖φ ′ ‖ ∞a P 1/x je distribuce prvního řádu, což jsme měli ukázat. ✷Příklad 2.48. Nechť Ω = R. Distributivní derivace funkce ln |x| ∈ L 1 loc (R) je funkcionál P 1/x anikoliv funkce 1 x ∉ L1 loc (R).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

d ln |x|Řešení. Protože klasická derivacedx= 1/x pro všechna x ∈ R ∖ {0} (tj. pro skoro všechnax ∈ R) a funkce 1/x není lokálně integrovatelná, vyvstává otázka jak souvisí distributivní derivacefunkce D (1) ln|x| s funkcí 1/x.Z definice distributivní derivace:⟨⟩ ⟨D (1) ln |x|, φ = − ln |x|, dφ ⟩ ∫︁ +∞= − ln |x| φ ′ (x) dx , (2.22)dxpřičemž poslední rovnost platí, protože ln|x| je lokálně integrovatelná funkce.Protože ln |x| φ ′ (x) je integrovatelná funkce na okolí bodu 0, lze psát⟨⟩D (1) ln |x|, φ = − lim ln |x| φε→0∫︁|x|>ε′ (x) dx .−∞Poslední výraz integrujeme per-partes s využitím faktu, že φ má kompaktní nosič:⟨⟩D (1) ln |x|, φ∫︁= − limε→0+ [ln |x| φ(x)]ε −ε + limε→0+|x|>εφ(x)x dx =∫︁− φ(−ε)φ(x)= lim 2ε ln εφ(ε) + limε→0+ 2εε→0+|x|>ε x∫︁Rdx = p.v. φ(x)x dx =Obsah128. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮= P 1/x (φ) .Zbývá ukázat, že D (1) ln |x| nelze vyjádřit pomocí žádné integrovatelné funkce. Pokud by existovalataková funkce f ∈ L 1 loc (R), pak by podle Věty 2.30 a Lemmatu 2.32 muselo platit f(x)−1/x = 0skoro všude na každé oblasti G ⊂ R neobsahující bod 0. To by ale znamenalo, že f(x) = 1/x skorovšude v R, což je spor s lokální integrovatelností f.□Příklad 2.49. Nechť Ω = R. Distribuce T = D (1) P 1/x je druhého řádu. Navíc platí T (φ) = −− p.v. ∫︀ +∞ φ(x)−φ(0)−∞ x.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Řešení. Z definice distributivní derivace máme⟨⟩D (1) P 1/x , φ = − ⟨︀ P 1/x , φ ′⟩︀ = ⟨ln |x|, φ ′′ ⟩ =∫︁Rln |x| φ ′′ (x) dx .První část tvrzení plyne z toho faktu, že funkce ln |x| je lokálně integrovatelná. Zbylou část tvrzenídokažte sami integrací per-partes.□2.2.4. KonvoluceNyní zobecníme pojem konvoluce dvou funkcí na konvoluci distribuce a testovací funkce a poté ještěna konvoluci dvou distribucí (z nichž alespoň jedna má kompaktní nosič).Definice 2.50. Pro funkci u : R N → R a x, y ∈ R N definujeme τ x u a ˘u předpisy(τ x u) (y) def= u(y − x) (2.23)Obsah129. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮a˘u(y) def= u(−y) . (2.24)◭◮Zřejmě(τ x˘u) (y) = ˘u(y − x) = u(x − y) .Nechť u, v : R N → R jsou měřitelné funkce, pak jejich konvoluce je definována výrazem∫︁(u * v)(x) def= u(y)v(x − y) dy (2.25)R Npokud integrál existuje pro skoro všechna x ∈ R N . Tento integrál existuje pro všechna x ∈ R N ,Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pokud jsou např. u ∈ L 1 loc (RN ) a v ∈ D(R N ) 1 . Protože (2.25) lze psát jako∫︁(u * v)(x) = u(y) (τ x˘v) (y) dy (2.26)R Nje následující definice přirozeným rozšířením definice konvoluce dvou funkcí na konvoluci distribucea testovací funkce.Definice 2.51. Nechť T ∈ D ′ (R N ) a φ ∈ D(R N ). Konvolucí T a φ nazveme funkci (T *φ) : R N → R Ndefinovanou(T * φ)(x) def= T (τ x ˘φ) . (2.27)Poznámka 2.52. Všimněte si, že zobrazení x ↦→ T (τ x ˘φ) je definováno pro každé x ∈ R N , protožeje-li φ ∈ D(R N ), pak také pro každé x ∈ R N je i τ x ˘φ ∈ D(R N ) a T ∈ D ′ (R N ) je spojitá lineárníforma na D(R N ).Vzhledem k tomu, že pro měřitelné funkce platí:∫︁(︀τx u )︀ ∫︁(y)v(y) dy = u(y) (︀ τ −x v )︀ (y) dyR N R Nkdykoliv integrály mají smysl, je přirozené definovat translaci distribuce.Obsah130. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 2.53 (Translace distribuce). Nechť T ∈ D ′ (R N ), potom translace distribuce je definována(︀τx T )︀ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩def(φ) = τ x T, φ = T, τ −x φ = T (τ −x φ) (2.28)pro všechna φ ∈ D(R N ).1 V tomto případě (u * v)(x) = ∫︀ R N u(y)v(x − y) dy = ∫︀ supp(τ x ˘v) u(y) (τx˘v) (y) dy, kde supp(τx˘v) je kompaktnímnožina a díky tomu stačí u ∈ L 1 loc (RN ). Pomocí Lebesguovy věty o dominantní konvergenci se pak snadno ověří, žeu * v je spojitá funkce na R N .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 2.54 ([21, Věta 6.30, str.156], [13, Věta 9.29, str. 275]). Nechť Tφ, ψ ∈ D(R N ). Potom∈ D ′ (R N ) a1. τ x (T * φ) = (τ x T ) * φ = T * (τ x φ) pro všechna x ∈ R N ;2. T * φ ∈ C ∞ (R N );3. supp(T * φ) ⊂ supp T + supp φ;4. pro každý multiindex α platíD α (T * φ) = T *(︂ ∂∂ |α| )︂φ∂∂x α = (D α T ) * φ ,5.(T * φ) * ψ = T * (φ * ψ) .ObsahDůkaz.Viz [21], str. 156–157 nebo [13], str. 275.Smysl má i následující definice131. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Definice 2.55. Nechť T ∈ D ′ (R N ) má kompaktní nosič a φ ∈ C ∞ (R N ). V tomto případě pro každéx ∈ R N definujeme (T * φ)(x) opět vzorcem (2.27), tj:(T * φ)(x) def= T (τ x ˘φ) .Poznámka 2.56. Distribuci T ∈ D ′ (R N ) s kompaktním nosičem lze rozšířit na spojitý lineárnífunkcionál definovaný na C ∞ (R N ), viz [21, Věta 6.24].Věta 2.57 (Věta 6.35, [21]). Předpokládejme, že T ∈ D ′ (R N ) má kompaktní nosič a φ ∈ C ∞ (R N ).Potom platíZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1. τ x (T * φ) = (τ x u) * φ = u * (τ x φ) pro všechna x ∈ R N ,2. T * φ ∈ C ∞ (R N ) aD α (T * φ) = (D α T ) * φ = T * (D α φ) .3. Jestliže navíc ψ ∈ D(R N ), potom dokonce T * ψ ∈ D(R N ) aT * (φ * ψ) = (T * ψ) * ψ = (T * ψ) * φ .Definice 2.58. Nechť T ∈ D ′ (R N ), S ∈ D ′ (R N ) a alespoň jedna z těchto distribucí má kompaktnínosič, potom definujeme konvoluci dvou distribucí T * S identitou(T * S)(φ) def= T * (S * φ) ∀φ ∈ D(R N ) .Poznámka 2.59. Správnost této definice vyplývá z úvah v [21] na str. 159–160.Věta 2.60 ([21, Věta 6.37, str. 160]). Nechť R, S, T ∈ D ′ (R N ).1. Nechť alespoň jedna z distribucí S, T má kompaktní nosič. PotomS * T = T * S a supp (S * T ) = supp S + supp T .2. Jestliže alespoň dva nosiče supp R, supp S, supp T jsou kompaktní, potom3. Je-li δ Diracova distribuce a α multiindex, pakSpeciálně platíR * (S * T ) = (R * S) * T .D α T = (D α δ) * T .T = δ * T .Důkaz. Viz [21], str. 160–161.Tato věta je velice důležitá při konstrukci řešení parciálních diferenciálních rovnic s konstantnímikoeficienty, známe-li fundamentální řešení.Obsah132. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2.2.5. Topologie v prostoru distribucíNyní definujeme vhodnou topologii v prostoru D ′ (Ω) tak, aby byl topologickým duálem k D(Ω). ProstorD ′ (Ω) je podle definice prostor všech lineárních funkcionálů definovaných na D(Ω) a spojitýchv topologii prostoru D(Ω). Podle Věty 2.8(c) (viz též [21], str. 66) je prostor D(Ω) lokálně konvexnílineární topologický prostor. Na lokálně konvexních lineárních topologických prostorech lze definovattzv. *-slabou topologii. Nejprve si vysvětlíme, co je *-slabá topologie v abstraktních prostorech.Nechť X je lokálně konvexní lineární topologický prostor (nad R nebo C) a nechť X ′ je množinavšech spojitých lineárních funkcionálů definovaných na X. Pro pevné x ∈ X definujeme seminormuna X ′ ,p x : X ′ → R + 0 , p x(F ) def= |F (x)| .Snadno se ověří, že jsou splněny axiomy seminormy:1. p x (F ) ≧ 0 pro všechna F ∈ X ′ ,2. p x (aF ) = |a|p x (F ) pro všechna F ∈ X ′ , a ∈ R (a ∈ C),3. p x (F + G) ≦ p x (F ) + p x (G) pro všechna F, G ∈ X ′ .Definice 2.61 (*-slabá topologie na X ′ ). Topologie na X ′ definovaná systémem seminorem{p x : x ∈ X} (lokální báze) se nazývá *-slabá topologie na X ′ .Obsah133. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Tato *-slabá topologie na X ′ je nejslabší topologie taková, že pro libovolné x ∈ X je zobrazenítvaru F ↦→ F (x) spojité z X ′ do R (C).Podle Věty 2.8(c), je D(Ω) lokálně konvexní lineární topologický prostor. Proto můžeme na D ′ (Ω)definovat *-slabou topologii.Definice 2.62 (*-slabá topologie na D ′ (Ω)). Topologie na D ′ (Ω) definovaná systémem seminorem{p φ : φ ∈ D(Ω)}, p φ (T ) def= |T (φ)| : T ∈ D ′ (Ω), φ ∈ D(Ω), se nazývá *-slabá topologie naD ′ (Ω).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tato definice okolí pak vede na následující vlastnost pro konvergenci posloupností:Věta 2.63 (Konvergence posloupnosti distribucí). Nechť {T n } ∞ n=1 ⊂ D ′ (Ω) je posloupnostdistribucí a T ∈ D ′ (Ω). Posloupnost {T n } ∞ n=1 konverguje k T v *-slabé topologii na D ′ (Ω) právětehdy, kdyžlimn→∞ T n(φ) = T (φ) ∀φ ∈ D(Ω) .Zkráceně konvergenci v *-slabé topologii posloupnosti nebo parametrického systému distribucí*zapisujeme T n ⇀ T v D ′ (Ω) nebo lim T n = T v D ′ (Ω).n→∞Věta 2.64 ([3, Propozice 2.2.7, str. 27]). Nechť α ∈ N N 0T ∈ D ′ (Ω) ↦→ D α T ∈ D ′ (Ω)je multiindex. Zobrazeníje spojité pro každý multiindex α. To znamená, že pro každou posloupnost {T n } ∞ n=1 ⊂ D ′ (Ω) aT ∈ D ′ (Ω) platí*T n ⇀ T v D ′ (Ω) ⇒ D α *T n ⇀ D α T v D ′ (Ω)Důkaz. Viz [3], str. 28.Příklad 2.65. Nechť Ω = R. Posloupnost spojitých lokálně integrovatelných funkcí f n (x) = x/(x 2 ++ 1/n) konverguje ve smyslu distribucí k P 1/x pro n → ∞.Řešení. Uvažujme posloupnostF n (x) =∫︁ x1ss 2 + 1/n ds = 1 (︂ nx 2 )︂2 ln + 1.n + 1Pro každé n ∈ N je f n ∈ L 1 (R), proto F n ∈ AC(I) pro každé n ∈ N a každý kompaktní intervalI ⊂ R. Tudíž pro distributivní derivaci D (1) F n platí⟨D (1) F n , φ⟩ = ⟨f n , φ⟩ ∀φ ∈ D ′ (Ω) . (2.29)Obsah134. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Platí následující nerovnost:0 ≦ |F n (x)| ≦ ⃒ ⃒ ln |x|⃒ ⃒ ∀n ∈ N a ∀x ∈ R ∖ {0} .Protože ⃒ ⃒ln |x| ⃒ ⃒ ∈ L 1 loc (R) a F n(x) → ln |x| pro všechna x ∈ R ∖ {0}, z Lebesgueovy věty dostávámelim ⟨F n, φ⟩ = (2.30)n→∞∫︁∫︁ K= lim F n (x)φ(x) dx = lim F n (x)φ(x) dx =n→∞Rn→∞−K=∫︁ K−K∫︁ln(x)φ(x) dx =Rln(x)φ(x) dx == ⟨ln |x|, φ⟩ ∀φ ∈ D(R) ,*kde K = max{− min supp φ, max supp φ}. Z rovnice (2.30) plyne, že F n ⇀ ln |x| v prostoru distribucíD ′ (R) (z důvodu srozumitelnosti v předchozím výkladu ztotoňujeme funkce F n s příslušnýmidistribucemi a funkci ln |x| s příslušnou distribucí). Podle Věty 2.64 dostaneme, že takéD (1) *F n ⇀ D (1) ln |x| v D ′ (R). Podle (2.29) lze distributivní derivaci D (1) F n vyjádřit pomocí klasickéderivace a z Příkladu 2.48 víme, že D (1) ln |x| = P 1/x . ProtoObsah135. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮xx 2 + 1/n = D(1) F n*⇀ D (1) ln |x| = P 1/xv D(R).□Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Příklad 2.66. Nechť Ω = (0, +∞). Zobrazení T : D(0, +∞) → R definované výrazemT (φ) def=∞∑︁n=1(︂ )︂dφ 1dx nje distribuce T ∈ D ′ (0, +∞) nekonečného řádu. Nelze jej rozšířit na distribuci na R, tj. neexistujedistribuce S ∈ D ′ (R) taková, že S| (0,+∞) = T . Nekonečnou řadu chápeme jako limitu posloupnostičástečných součtů, proto tento příklad tematicky zařazujeme mezi posloupnosti distribucí.Řešení. Tento příklad vyřešte sami. Pro důkaz nerozšiřitelnosti uvažujte funkci φ s kompaktnímnosičem v R rovnou exp(x) na nějakém okolí bodu 0.□Zde si připomeneme definici systému standardních zhlazujících jader.Připomenutí(Definice 1.175, strana 90.) Pro libovolné dané ε > 0 definujeme funkci ω ε : R N → Rpo částech předpisemω ε (x) def={︃(︁C ε exp −)︁ε2ε 2 −|x| 2pro |x| < ε ,0 pro |x| ≧ ε ,(2.31)kde C ε je voleno tak, aby ∫︀ R N ω ε dx = 1. Tomuto systému funkcí říkáme systém standardních zhlazujícíchjader.Obsah136. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 2.67. Nechť ε > 0 a ω ε je standardní zhlazující jádro. Potomω ε ∈ D(R N ) .Důsledek 2.68. Nechť T ∈ D ′ (R N ), ε > 0 a ω ε je standardní zhlazující jádro. PotomT * ω ε ∈ C ∞ (R N ) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 2.69 ([13, Věta 9.30, str. 277]). Nechť T ∈ D ′ (R N ) a nechť {ω} ε , ε > 0, je jednoparametrickýsystém standardních zhlazujících jader. Potom pro ε → 0+ systém T * ω ε ⇀ T v prostoru*distribucí D ′ (Ω), tedy∫︁lim (T * ω ε ) (x)φ(x) dx = T (φ) ∀φ ∈ D(R N ) .ε→0+R NDůkaz. Viz [13], str. 277.Důsledek 2.70. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a T ∈ D ′ (Ω). Pak existuje posloupnost {T n } ∞ n=1 ⊂ D ′ (Ω)*taková, že suppT n ⊂ Ω a T n ⇀ T v D ′ (Ω). Dokonce existuje {T n } ∞ n=1 ⊂ D ′ (Ω) s výše uvedenouvlastností, kde každý prvek T n lze reprezentovat funkcí z Cc∞ (Ω).Z předchozího tvrzení plyne tato věta.Věta 2.71. Prostor C ∞ c(Ω) je hustý v D ′ (Ω) vzhledem k *-slabé topologii na D ′ (Ω).2.2.6. Diferenciální rovnice ve smyslu distribucíDefinice 2.72. Nechť a ∈ C ∞ (Ω) a S ∈ D ′ (Ω). Potom součin aS je distribuce splňující identitu⟨(aS), φ⟩ = ⟨S, aφ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) . (2.32)Příklad 2.73. Nechť Ω ⊂ R N , a ∈ C ∞ (Ω). Potom a δ o = a(o)δ, neboť platí⟨a δ o , φ⟩ = ⟨δ o , a φ⟩ = a(o)φ(o) = ⟨a(o) δ o , φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) .Příklad 2.74. Nechť Ω = R. Potom xP 1/x = 1 ve smyslu ditribucí, neboť platí⟨︀x P1/x , φ ⟩︀ = ⟨︀ P 1/x , xφ ⟩︀ = (2.33)∫︁∫︁xφ(x)= p.v. dx = φ(x) dx = ⟨1, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) .R xRObsah137. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 2.75. Obecně součin dvou distribucí nemusí být distribuce. Navíc součin dvou distribucínelze obecně konzistentně definovat tak, aby splňoval běžná pravidla pro násobení čísel tj. nemůžebýt zároveň komutativní i asociativní. To dokázal již v padesátých letech dvacátého století zakladateltéto teorie, Laurent Schwartz. Například užitím výsledků Příkladů 2.73 a 2.74 dostaneme absurdnířetězec rovností:0 = 0 P 1/x = (xδ 0 ) P 1/x = (δ 0 x) P 1/x = δ 0(︀x P1/x)︀= δ0Pouze násobení distribuce funkcí třídy C ∞ je opět distribuce (hned z definice).Věta 2.76 (Leibnizův vzorec pro derivaci součinu). Nechť a ∈ C ∞ (Ω) a S ∈ D ′ (Ω),α ∈ N N 0 : |α| = 1, tj. existuje právě jedno i ∈ {1, . . . , N} takové, že α i = 1 a α j = 0 pro j ≠ i. Potom pro distributivníderivaci součinu aS platí Leibnizův vzorecDůkaz. Důkaz je jednoduchý. Proveďte sami podrobně.D α (aS) = ∂∂a∂∂x iS + aD α S . (2.34)Definice 2.77. Nechť m ≧ 1, F ∈ D ′ (Ω), a α ∈ C ∞ (Ω). Distribuci u ∈ D ′ (Ω) splňující rovnici vesmyslu distribucím∑︁a α D α u = F (2.35)nazveme řešením diferenciální rovniceve smyslu distribucí.|α|=0m∑︁ ∂∂ |α| ua α (x)∂∂x α11 . . . (x) = F, x ∈ Ω (2.36)∂∂xα NN|α|=0Obsah138. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 2.78. Samozřejmě, že diferenciální rovnici (2.36) nelze obecně chápat tak, že je splněnav každém bodě oblasti Ω. Je-li však distribuce F reprezentovatelná dostatečně hladkou funkcíf ∈ L 1 loc (Ω), má smysl uvažovat o splnění diferenciální rovnicev každém bodě x ∈ Ω.m∑︁ ∂∂ |α| ua α (x)∂∂x α11 . . . (x) = f(x) (2.37)∂∂xα NN|α|=0Poznámka 2.79. Díky předpokladu a α ∈ C ∞ (Ω) je výsledek operátoru na levé straně distribuce.Operátor můžeme dle definice součinu hladké funkce a distribuce a derivace distribuce přepsat natvar⟨∑︁ m⟩ ⟨⟩m∑︁a α D α u, φ = u, (−1) |α| D α (a α φ) . (2.38)|α|=0Poznámka 2.80. Přestože řešením diferenciální rovnice ve smyslu distribucí je obecně distribuce,v teorii diferenciálních rovnic se většinou omezujeme na u ∈ L 1 loc (Ω) případně ještě navíc požadujemeintegrovatelnost některých distributivních derivací řešení. O tom bude podrobně pojednáno vnásledující kapitole.|α|=0Příklad 2.81. Nechť Ω = R. Řešením diferenciální rovnice prvního řáduObsah139. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮x 2 u ′ (x) = 0ve smyslu distribucí jeS ∈ D ′ (Ω) : S = c 1 1 + c 2 H 0 + c 3 δ 0 ,kde c 1 , c 2 , c 3 ∈ R jsou libovolné konstanty, 1 je distribuce asociovaná s konstantní funkcí nabývajícíhodnoty 1 na R, H 0 je distribuce asociovaná s Heavisideovou funkcí H 0 (x) = 0 pro x < 0, H 0 (x) = 1pro x ≧ 0 (značíme zde stejně funkci i distribuci) a δ 0 je Diracova distribuce lokalizovaná v bodě 0.Řešení ve smyslu distribucí 1, H 0 , δ 0 jsou lineárně nezávislá.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Řešení. Ověřte sami splnění identity⟨︀c1 1 + c 2 H 0 + c 3 δ 0 , 2xφ + x 2 φ ′⟩︀ = 0 ∀φ ∈ D(R) .Poznámka 2.82. Všimněte si toho, že řešení ve smyslu distribucí může mít více parametrů (3 parametry)než je řád rovnice (první řád). Konstantní řešení 1 ∈ D ′ (Ω) je reprezentovatelné spojitě difencovatelnoukonstantní funkcí nabývající hodnoty 1 na R. Řešení H 0 ∈ L 1 loc (R) není diferencovatelnéa ani spojité v bodě 0. Další nezávislé řešení δ 0 ∈ D ′ (Ω) nelze ani vyjádřit lokálně integrovatelnoufunkcí.Příklad 2.83. Nechť Ω = R 2 . Potom Δ ln |x| = 2πδ o , kde druhé derivace v operátoru Δ = ∂∂2 + ∂∂2∂∂x 2 1 ∂∂x 2 2jsou chápány ve smyslu distribucí, tj. Δ = D (2,0) + D (0,2) .Řešení. Z definice derivace distribuce dostaneme:⟨⟩⟨Δ ln |x|, φ⟩ = D (2,0) ln |x| + D (0,2) ln |x|, φ =∫︁= ⟨ln |x|, Δφ⟩ = ln |x| Δφ(x) dx ,R 2⟨⟩ln |x|, ∂∂2 φ∂∂x 2 + ∂∂2 φ1 ∂∂x 2 =2Obsah140. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde poslední integrál má smysl, neboť funkce ln |x| je lokálně integrovatelná v R 2 .Poslední integrál pak přepíšeme jako limitu∫︁∫︁ln |x| Δφ(x) dx = limR 2 ε→0+|x|>εln |x| Δφ(x) dx .Nyní použijeme Greenovu identitu (2.14). Zvolme Ω ′ ⊂ R 2 s dostatečně hladkou hranicí, kteráobsahuje nosič φ a zároveň uzávěr koule B(0, ε). Nejsnazší je za Ω ′ volit kouli B(0, R), R > ε,Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

takovou, aby supp φ ⊂ B(0, R). Užitím Greenovy identity (2.14) na B(0, R) ∖ B(0, ε) dostaneme:∫︁∫︁ln |x| Δφ(x) dx = lim ln |x| Δφ(x) dxR 2 ε→0+∫︁|x|>ε= limΔ ln |x| φ(x) dx(2.39)ε→0+∫︁ B(0,R)∖B(0,ε) (︂+ limln |x| ∂∂φ(x)ε→0+∂∂⃗n− ∂∂ ln |x| )︂∂∂⃗nφ(x) dH 1 .∂∂(B(0,R)∖B(0,ε))Snadno se ověří přímým výpočtem, že pro |x| > ε > 0 platí bodově pro klasické parciální derivaceΔ ln |x| = 0. Protože nosič φ je vlastní podmnožinou B(0, R), je φ(x) i ∂∂φ(x)/∂∂⃗n rovno nule na∂∂B(0, R). Tudíž∫︁ln |x| Δφ(x) dH 1 =R 2 ∫︁ (︂− lim ln |x| ∂∂φ(x)ε→0+∂∂⃗n− ∂∂ ln |x| )︂∂∂⃗nφ(x) dH 1 =− limε→0+Ukázali jsme tedy, že∫︁∂∂B(0,ε)(︂ln ε ∂∂φ(x)dH 1 =(2.40)|x|=ε ∫︁∂∂⃗n1 ∂∂φ(x)ε |x|=ε ∂∂⃗ndH1 − 1 ∫︁ε lim φ(x) dH 1 =ε→0+|x|=ε∂∂⃗n (0) + 2πφ(0)− lim ε ln ε limε→0+ ε→0+= 0 · 2π ∂∂φ− 1 ε φ(x) )︂Obsah141. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮což znamená, ževe smyslu distribucí.⟨Δ ln |x|, φ⟩ = 2πφ(0) = ⟨2πδ 0 , φ⟩ ∀φ ∈ D(R 2 ) ,Δ ln |x| = 2πδ 0□Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Příklad 2.84. Nechť Ω = R 3 . Potom Δ(1/|x|) = −4πδ 0 .Řešení. Pro Ω = R 3 se rovnice Δ(1/|x|) = −4πδ 0 dokáže analogicky pomocí Greenovy identity(2.14). □K pojmu řešení diferenciální rovnice ve smyslu distribucí se úzce váže následující významný výsledek- Weylovo lemma. Toto lemma představuje jedno z prvních tvrzení týkajících se regularityzobecněných řešení parciálních diferenciálních rovnic. Teorie regularity zobecněných řešení zkoumápodmínky, za jakých je např. řešení ve smyslu distribucí též řešením klasickým, tj. za jakých podmínekje řešení diferencovatelné až do řádu rovnice 1 a rovnice je splněna ve všech bodech dané oblastiΩ.Lemma 2.85 (Weylovo lemma, viz např. [23]). Nechť Ω ⊂ R N je oblast. Nechť u ∈ D ′ (Ω)splňuje ve smyslu distribucí rovnici Δu = f, kde f ∈ C ∞ (Ω). Potom také u ∈ C ∞ (Ω).Poznámka 2.86. Regularita řešení rovnice Δu = f v sobě obsahuje zajímavý paradox. Řešeníeliptické rovnice závisí na hodnotách f v celém Ω, ale naproti tomu je regularita lokální jev. Pokudnapř. f ∈ D ′ (Ω) bude nějaká obecně "divoká"distribuce na Ω a zároveň restrikce f na podmnožinuΩ ′ Ω bude reprezentovatelná funkcí z C ∞ (Ω ′ ), pak také restrikce řešení u na podmnožinu Ω ′ Ωbude reprezentovatelná funkcí z C ∞ (Ω ′ ), i když hodnoty této restrikce budou závislé na hodnotáchf na Ω ∖ Ω ′ . Jak tento paradox funguje bude zřejmé až z důkazu Weylova lemmatu. To, že hodnotyfunkce u závisí na hodnotách f na celém Ω je vidět např. z toho, že pro Ω = R 2 a f = 2πδ o jeu = ln |x|, kde u(x) < 0 pro všechna 0 < |x| < 1 a u(x) > 0 pro všechna 1 < |x|. Zároveň aleu ∈ C ∞ (Ω ′ ) pro každou Ω ′ ⊂ R 2 takovou, že o ∉ Ω ′ .Ve většině učebních textů týkajících se zobecněných řešení parciálních diferenciálních rovnic jetoto tvrzení uvedeno bez důkazu. Z hlediska formy výkladu i zvoleného postupu nás zaujal článek[23], kde je důkaz z velké části proveden netradičním postupem pomocí teorie potenciálu. PůvodníWeylův důkaz (viz [28]) také založený na teorii potenciálu je mnohem techničtější. Protože důkaz včlánku [23] neobsahuje všechny detaily, rozhodli jsme se je v těchto skriptech doplnit. Než přistoupíme1 nebo existují všechny parciální derivace vyskytující se v rovnici ve všech bodech oblastiObsah142. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

k důkazu Weylova lemmatu dokážeme následující pomocné tvrzení, které se k důkazu v článku [23]používá, ale explicitně se nezmiňuje ani nedokazuje.Lemma 2.87 (Pomocné tvrzení k Weylově lemmatu). Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast.Nechť w t ∈ D(Ω), t ∈ (0, 1], je jednoparametrický systém funkcí a nechť pro každé m ∈ N existujeK m > 0 tak, že pro všechna t ∈ (0, 1] a multiindexy α ∈ N N 0 : |α| = m platí⃦ ∂∂ |α| w t ⃦⃦⃦∞⃦∂∂x α11 . . . ≦ K ∂∂xα Nm . (2.41)N*Nechť dále pro t → 0+ konverguje w t ⇀ W ∈ D ′ (Ω), tj.∫︁lim w t (x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩t→0+Ω∀φ ∈ D(Ω) . (2.42)Potom distribuci W ∈ D ′ (Ω) lze reprezentovat funkcí w ∈ L 1 (Ω) ∩ C ∞ (Ω K ) pro každou podoblastΩ K : Ω K Ω s hladkou hranicí ∂∂Ω K .Důkaz pomocného tvrzení k Weylově lemmatu. Protože ‖w t ‖ ∞ ≦ K 0 aObsah143. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖∂∂ |α| w t /∂∂x α11 . . . ∂∂xα NN‖ ∞ ≦ K 1 ,pro všechna α ∈ N N 0 : |α| = 1 a pro všechna t ∈ (0, 1], je systém funkcí w t , t ∈ (0, 1], stejně omezenýv normě L 1 (Ω) (podmínka (1.44)) a stejně spojitý v průměru (podmínka (1.45)). Pokles v nekonečnu(podmínka (1.46)) je zaručen předpokladem omezenosti Ω. Tím jsou splněny podmínky Věty 1.138(Kolmogorova věta) a existuje vybraná posloupnost w tn → w ∈ L 1 (Ω). Ukážeme, že W ∈ D ′ (Ω)z tvrzení Lemmatu 2.87 lze reprezentovat funkcí w ∈ L 1 (Ω), tj., že platí∫︁w(x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) . (2.43)ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Vskutku, podle Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci (‖w t ‖ ∞ ≦ K 0 pro všechna t ∈ (0, 1])dostáváme∫︁∫︁w tn (x)φ(x) dx = w(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(Ω)limt n→0+Ωa zároveň podle předpokladu (2.42)∫︁w tn (x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) .Odtud srovnánímlimt n→0+∫︁ΩΩΩw(x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) ,čímž jsme (2.43) dokázali pro podposloupnost funkcí {w tn } ∞ n=1. Distribuce W ∈ D ′ (Ω) je reprezentovatelnáintegrovatelnou funkcí w ∈ L 1 (Ω) a tedy regulární.Nyní ukážeme, že toto platí nejen pro podposloupnost {w tn } ∞ n=1, ale dokonce pro celý systémfunkcí w t , t ∈ (0, 1], platí w t → w pro t → 0+ v L 1 (Ω). Pokud by to neplatilo, pak bychom zmnožiny (0, 1] ∖ {t n } ∞ n=1 vybrali posloupnost {s n } ∞ n=1 konvergující k 0+ pro n → ∞ takovou, že pronějaké ε > 0 platí pro všechna n ∈ N∫︁|w sn (x) − w(x)| dx > ε . (2.44)ΩZ posloupnosti funkcí w sn lze postupem jako výše díky stejné omezenosti v normě L 1 (Ω) a stejnéspojitosti v průměru vybrat podposloupnost w snk → v konvergující v L 1 (Ω) a zároveň podle (2.44)musí platit w ≠ v. Podle Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci dostaneme∫︁∫︁w snk (x)φ(x) dx = w(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(Ω)lims nk →0+Ωa zároveň podle předpokladu (2.42)∫︁w snk (x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) .lims nk →0+ΩΩObsah144. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Odtud srovnáním∫︁Ωv(x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω) .Podle Důsledku 2.33 je regulární distribuce W ∈ D ′ (Ω) reprezentována právě jednou funkcí z L 1 (Ω).Tudíž w = v. Toto je spor s (2.44) a platí w t → w pro t → 0+.Nyní ukážeme, že pro každou podooblast Ω K , Ω K ⊂ Ω platí w t ⇒ w ∈ C(Ω K ) konvergující vC(Ω K ) stejnoměrně pro t → 0+. Protože ‖w t ‖ ∞ ≦ K 0 a ‖∂∂ |α| w t /∂∂x α11 . . . ∂∂xα NN‖ ∞ ≦ K 1 , pro |α| = 1,pro všechna t ∈ (0, 1], je systém funkcí w t , t ∈ (0, 1], stejně omezený v C(Ω K ) (podmínka (1.69)z Věty 1.181) a stejně spojitý (podmínka (1.70) z Věty 1.181). Tím jsou splněny podmínky Věty1.181 (Arzelàova-Ascoliova věta) a uzávěr systému w t , t ∈ (0, 1], v C(Ω K ) je kompaktní a existujevybraná posloupnost w tn ⇒ u ∈ C(Ω K ) pro n → +∞ a t n → 0+. Předpokládejme, že u − w ≠ 0 napodmnožině ω K ⊂ Ω K nenulové míry. Podle Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci dostaneme∫︁∫︁limt n→0+a zároveň podle předpokladu (2.42)∫︁Odtud srovnánímlimt n→0+Ω Kw tn (x)φ(x) dx =∫︁Ω Ku(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(Ω K )Ω Kw tn (x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω K ) .Ω Ku(x)φ(x) dx = ⟨W, φ⟩ ∀φ ∈ D(Ω K ) .Odtud dostaneme spor, protože restrikce distribuce W ∈ D ′ (Ω) na Ω K je reprezentována restrikcífunkce w na Ω K a je také regulární. Podle Důsledku 2.33 je regulární distribuce reprezentovánaprávě jednou lokálně integrovatelnou funkcí. Tudíž w = v skoro všude na Ω K . Toto je spor s tím,že u − w ≠ 0 na podmnožině ω K ⊂ Ω K nenulové míry. Platí tedy w t ⇒ w stejnoměrně na Ω K prot → 0+ (přesněji, existuje spojitý reprezentant w dané třídy funkcí z faktorprostoru L 1 (Ω), který jezároveň v C(Ω k ) a ke kterému w t konverguje stejnoměrně na Ω K pro t → 0+).Obsah145. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nyní ukážeme, že w ∈ C ∞ (Ω K ). Předpokládejme, že existuje β ∈ N N 0reprezentovat spojitou funkcí u ∈ C(Ω K ) takovou, žetak, že D β W nelze∂∂ |β| w∂∂x β11 . . . (x) = u(x) ∀x ∈ Ω ∂∂xβ NKN(Ω K ⊂ Ω) a zároveň, že pro všechna α ∈ N N 0 : |α| < |β| platí∂∂ |α| w∂∂x α11 . . . ∈ C(Ω ∂∂xα N K ) .NPostupným dosazením za m := |β| a m := |β| + 1 do nerovnosti (2.41) zjistíme, že systém funkcí∂∂ |β| w t∂∂x β11 . . . ∂∂xβ NNt ∈ (0, t]je stejně omezený a stejně spojitý na Ω K . Podle Věty 1.181, Arzelàova-Ascoliova věta, lze vybratkonvergentní posloupnost {t n } ∞ n=1, t n → 0+ pro n → ∞, takovou, že∂∂ |β| w tn∂∂x β11 . . . ⇒ u ∈ C(Ω ∂∂xβ NK )Npro n → ∞ a t n → 0+. Z Lebesgueovy věty o dominantní konvergenci ihned dostaneme∫︁∂∂ |β| ∫︁w tnlimt n→0+Ω ∂∂x β11 . . . (x)φ(x) dx = u(x)φ(x) dx ∀φ ∈ D(Ω ∂∂xβ NK ) .N Ω KZároveň podle (2.42) dostaneme∫︁limt n→0+Ω K∂∂ |β| w tn∂∂x β11 . . . (x)φ(x) dx = ⟨︀ D β W, φ ⟩︀ ∀φ ∈ D(Ω ∂∂xβ NK ) .NObsah146. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Srovnáním∫︁u(x)φ(x) dx = ⟨︀ D β W, φ ⟩︀ ∀φ ∈ D(Ω K ) .Ω KNyní ukážeme, že pro celý systém∂∂ |β| w t∂∂x β11 . . . , t ∈ (0, 1], platí∂∂xβ NN∂∂ |β| w tn∂∂x β11 . . . ⇒ u ∈ C(Ω ∂∂xβ NK ) (2.45)Npro t → 0+. Pokud by to neplatilo, vybrali bychom (opět pomocí Arzelàovy-Ascoliovy věty) zmnožiny (0, 1] ∖ {t n } ∞ n=1 posloupnost {s n } ∞ n=1, s n → 0 pro n → ∞ takovou, že∂∂ |β| w sn∂∂x β11 . . . ⇒ v ∈ C(Ω ∂∂xβ NK )Na zároveň u ≠ v. Opět by muselo platit (Lebesgueova věta a (2.42))∫︁Ω Kv(x)φ(x) dx = ⟨︀ D β W, φ ⟩︀ ∀φ ∈ D(Ω K )Obsah147. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a podle Důsledku 2.33 bychom dostali u = v, což je spor. Platí tedy (2.45).Zbývá ukázat, že∂∂ |β| w∂∂x β11 . . . (x) = u(x) ∀x ∈ Ω ∂∂xβ NK .NOd tohoto momentu dále budeme využívat předpokladu, že Ω K má hladkou hranici ∂∂Ω K . Dálevyužijeme předpokladu, že pro všechna α ∈ N N 0 : |α| < |β| platí∂∂ |α| w∂∂x α11 . . . ∈ C(Ω ∂∂xα N K ) .NZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nechť β j = α j pro j = 1, . . . , N, j ≠ i, a β i = α i − 1 (zřejmě nás zajímají jen taková i ∈ 1, . . . , N,pro která α i > 0). Můžeme tedy s pomocí Věty 2.38 (věta o vícerozměrné integraci per-partes) psát∫︁Ω Ku(x)φ(x) dx = ⟨︀ D β W, φ ⟩︀ = (2.46)= (−1)∫︁Ω |β| ∂∂ |β| φw(x)K ∂∂x β11 . . . (x) dx =∂∂xβ NN∫︁= −Ω K∂∂x β11 . . . ∂∂xβi−1Nyní ukážeme, že na uzávěru Ω K jeq def=lipschitzovská funkce. Definujme ještě∂∂ |β|−1 wi−1 ∂∂xβi−1 i∂∂x β11 . . . ∂∂xβi−1∂∂x βi+1i+1∂∂ |β|−1 wi−1 ∂∂xβi−1 i. . . ∂∂xβ NN∂∂x βi+1i+1. . . ∂∂xβ NN(x) ∂∂φ (x) dx .∂∂xi Obsah148. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮q tdef=∂∂x β11 . . . ∂∂xβi−1∂∂ |β|−1 w ti−1 ∂∂xβi−1 i∂∂x βi+1i+1. . . ∂∂xβ NN.Z předpokladu (2.41) je ihned vidět, že pro všechna t ∈ (0, 1] je q t ∈ D(Ω) a ‖∂∂q t /∂∂x j ‖ ∞ ≦ K βpro všechna j = 1, . . . , N. Zvolme x ∈ Ω K . Nechť h ∈ R N , |h| > 0, je takový, že x + θh ∈ Ω K provšechna θ ∈ [0, 1]. Označme y = x + h. Potom podle věty o střední hodnotěq t (y) − q t (x) = q t (x + h) − q t (x) =N∑︁j=1∂∂q t∂∂x j(x + θh)h jZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro nějaké θ ∈ [0, 1]. Odtud pomocí Hölderovy nerovnosti v R N :|q t (y) − q t (x)| ≦N∑︁∂∂q t⃒ (x + θh)∂∂x j⃒ · max |h j| ≦ NK β max |h j| ;j=1,...,N j=1,...,Nj=1tato nerovnost platí pro všechna t ∈ (0, 1].Pro výše dané h ∈ R N zvolme ε : 0 < ε < max |h j|. Protože q t ⇒ q na Ω K , lze najít δ > 0j=1,...,Ntakové, že pro všechna t ∈ (0, δ) jemax |q t (x) − q(x)| < ε < max |h j| .x∈Ω K j=1,...,NOdtud dostaneme následující nerovnost pro q na Ω K s hladkou hranicí:|q(y) − q(x)| ≦ |q(y) − q t (y) + q t (y) − q t (x) + q t (x) − q(x)| ≦ (2.47)≦ |q t (y) − q t (x)| + |q t (y) − q(y)| + |q t (x) − q(x)| ≦Obsah149. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮≦ NK β max |h j| + 2 max |h j| ≦ (2 + NK β ) max |h j| .j=1,...,N j=1,...,N j=1,...,NTato nerovnost již zaručuje splnění Lipschitzovy podmínky na oblasti s hladkou hranicí (oblasti shladkou hranicí splňují S-podmínku).Nyní ověříme podmínky Věty 2.2.6. Podle Věty 1.117, Rademacherova věta, pak ∂∂q/∂∂x i existujeskoro všude na Ω K . Navíc |∂∂q/∂∂x i | je omezená Lipschitzovou konstantou a tudíž ∂∂q/∂∂x i ∈ L 1 (Ω K ).Další předpoklady věty (absolutní spojitost na úsečkách rovnoběžných s osou x i ) vyplynou též zLipschitzovy podmínky (ověřte sami). Podle Věty 2.2.6 lze tedy provést integraci per-partes vzhledemZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

k proměnné x i ještě o jeden krok dále a dostaneme∫︁Ω Ku(x)φ(x) dx = (2.48)∫︁= −Ω K∂∂x β11 . . . ∂∂xβi−1∂∂ |β|−1 wi−1 ∂∂xβi−1 i∂∂x βi+1i+1. . . ∂∂xβ NN(x) ∂∂φ (x) dx =∂∂xi ∫︁=Ω K∂∂ |β| w∂∂x β11 . . . (x)φ(x) dx .∂∂xβ NNpro každé φ ∈ D(Ω K ). To je spor. Distribuci W ∈ D ′ (Ω) lze tedy reprezentovat funkcí w ∈ L 1 (Ω) ∩∩ C ∞ (Ω K ).Nyní můžeme přistoupit k důkazu Weylova lemmatu.Důkaz Weylova lemmatu. Chceme ukázat, že pro každé f ∈ C ∞ (Ω) platí, že u ∈ D ′ (Ω) splňujícímusí již náležet do C ∞ (Ω).Položme[︂ ]︂γ t (x) def= (4πt) − N 2 exp − |x|24t⟨u, Δφ⟩ = ⟨f, φ⟩ , ∀φ ∈ D(Ω) (2.49)pro x ∈ R N a t ∈ [0, 1] .Tato funkce je třídy C ∞ (R N × R) a pro její klasické derivace platí∂∂γ t∂∂t (x) = Δγ t(x) ∀x ∈ R N ∀t ∈ R .Pro libovolné předem zvolené x 0 ∈ Ω vyberme r > 0 tak, aby B(x 0 , 4r) Ω. Nechť dále η ∈ Cc∞ (B(x 0 , 4r))je funkce s oborem hodnot H(η) = [0, 1] taková, že supp η ⊂ B(x 0 , 3r) a η(x) = 1 pro x ∈ B(x 0 , 2r).Obsah150. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Položme v def= ηu a w def= Δv − ηf . Potom v = u na B(x 0 , 2r) a v = 0 na B(x 0 , 4r) ∖ B(x 0 , 3r)).Dále w = Δv − ηf = Δv − f = 0 na B(x 0 , 2r) a w = 0 na B(x 0 , 4r) ∖ B(x 0 , 3r)). Protosupp w ⊂ B(x 0 , 3r) ∖ B(x 0 , 2r). Nyní vezměmeav t (x) = (γ t * v)(x) = ⟨v, τ x ˘γ t ⟩w t (x) = (γ t * w)(x) = ⟨w, τ x ˘γ t ⟩(zde užíváme definici konvoluce pro distribuci s kompaktním nosičem s funkcí z C ∞ (R N ), Definice2.55). Podle Věty 2.57 dostaneme, že pro každé t > 0 platí v t ∈ C ∞ (B(x 0 , 4r)). Navícddt v ⟨v, τ x ˘γ s ⟩ − ⟨v, τ x ˘γ t ⟩t(x) = lim=s→t s − t⟨= lim v, τ ⟩x ˘γ s − τ x ˘γ t=s→t s − t⟨⟩∂∂γt ˘= lim v, τ xs→t ∂∂t + τ xŏ(|s − t|) =Obsah151. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮⟨ ⟩∂∂γt ˘ ⟨ ⟩= v, τ x = v, τ x Δγ ˘ t =∂∂t= ⟨w + ηf, τ x ˘γ t ⟩ = ⟨ηfτ x ˘γ t ⟩ + ⟨wτ x ˘γ t ⟩ .Tím dostáváme diferenciální rovniciddt v t(x) = ⟨ηf, τ x ˘γ t ⟩ + ⟨w, τ x ˘γ t ⟩ .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Její integrací dostaneme:v t (x) = v 1 (x) −∫︁ 1tγ t * (ηf)(x) dτ −∫︁ 1tw τ (x) dτ .Protože v ∈ D ′ (Ω) má kompaktní nosič a pro všechna t ∈ (0, 1] je γ t ∈ C ∞ (R N ), podle Věty 2.57dostaneme:v 1 (x) = (γ 1 * v) (x) ∈ C ∞ (B(x 0 , 4r)) .Dále z předpokladu f ∈ C ∞ (Ω) dostaneme ηf ∈ Cc∞ (B(x 0 , 4r)) (prohodili se role zhlazujícíhočinitele: zde ηf má derivace všech řádů a má kompaktní nosič, zatímco γ t je pro t = 0 prvek D ′ (Ω))a tudíž podle Věty 2.54 platí γ t * (ηf) ∈ C ∞ (R N ) pro všechna t ∈ [0, 1]. Odtud již dostáváme:∫︀ 1t (γ t * (ηf)) (x) dτ ∈ C ∞ (B(x 0 , 4r)). Důkaz hladkosti posledního členu je poněkud pracnější a jeproveden v následujících odstavcích.Protožesupp w t ⊂ B(x 0 , 4r) ∖ B(x 0 , 2r) ,omezíme se nyní na B(x 0 , 4r) ∖ B(x 0 , 2r). Indukcí lze dokázat (provedeme úplně na závěr celéhodůkazu na straně 153), že pro všechny multiindexy α ∈ N N 0 existuje polynom P α (x, t) : R N × R → Rstupně nejvýše |α| v proměnných x = (x 1 , . . . , x N ) a t tak, že∂∂ |α|∂∂x α (4πt)− N 2[︂ ]︂]︂exp − |x|2 = (4πt) − N 2 t −|α| exp[︂− |x|2 P α (x, t) .4t4tObsah152. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Odtud lze ukázat, že∀α ∈ N N 0 ∀r > 0 ∃K α,r > 0 ∀|x| > r ∀t ∈ (1, 0] : (2.50)∂∂ |α|[︂ ]︂⃒⃒∂∂x α (4πt)− N 2 exp − |x|2 ⃒⃒⃒< K α,r .4tZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Protože γ t ∈ C ∞ (R N ) pro všechna t ∈ (0, 1] a všechny derivace jsou odhadnuty uniformně nerovností(2.50) pro všechna t ∈ (0, 1] a |x| > r, je funkcew t (x) = ⟨τ x ˘γ t , w⟩třídy C ∞ (B(x 0 , r)) a její parciální derivace všech řádů jsou uniformně odhadnuty nerovnostmi:∀α ∈ N N 0 ∀r > 0 ∃K α,r > 0 ∀x ∈ R N ∀t ∈ (0, 1] : (2.51)⃒ |x − x 0 | < r =⇒∂∂ |α| w t ⃒⃒⃒⃒ ∂∂x α < K α,r .Funkce w t | B(x0,r) konverguje k distribuci w ∈ D ′ (B(x 0 , r)) ve smyslu distribucí. Vezmeme-li v úvahuuniformní odhady (2.51) pro všechna t ∈ (0, ∞] a faktu, že koule B(x 0 , r) v Eukleidovské norměmá hladkou hranici, pak z Lemmatu 2.87 plyne, že distribuce w ∈ D ′ (B(x 0 , r)) je reprezentovatelnáfunkcí w ∈ C ∞ (B(x 0 , r)) (zde jsme použili stejné značení pro funkci i distribuci).Protože Ω ⊂ R N je dle předpokladu oblast, tj. otevřená souvislá množina, lze ke každémux 0 ∈ Ω najít r > 0 tak, že B(x 0 , r) ⊂ Ω. Z předchozích úvah dostaneme w ∈ C ∞ (B(x 0 , r)).Proto w ∈ C ∞ (Ω).Zbývá dokázat, že pro všechny multiindexy α ∈ N N 0 existuje polynom P α (x, t) : R N × R → Rstupně nejvýše |α| v proměnných x = (x 1 , . . . , x N ) a t tak, že∂∂ |α|∂∂x α (4πt)− N 2[︂ ]︂]︂exp − |x|2 = (4πt) − N 2 t −|α| exp[︂− |x|2 P α (x, t) .4t4tPrvní indukční krok, |α| = 1. Nechť i = 1, . . . , N, potom∂∂∂∂x i (4πt)− N 2tedy P (0,...,0,1,0,...,0) (x, t) = 1 2 x i.[︂ ]︂]︂exp − |x|2 = (4πt) − N 2 t −1 exp[︂− |x|2 14t4t 2 x i ,Obsah153. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Druhý indukční krok. Platí-li rovnost pro β ∈ N N 0 : |β| = k ∈ N, pak platí i pro α ∈ N N 0 : |α| == k + 1. Nechť j = 1, . . . , N, potom∂∂ |α|∂∂x α (4πt)− N 2= (4πt) − N 2 t −|β| exp[︂ ]︂exp − |x|2 = ∂∂ ∂∂ |β|]︂4t ∂∂x j ∂∂x β (4πt)− N 2 t −|β| exp[︂− |x|2 P β (x, t) =4t]︂ (︂ [︂− |x|2 14t 2t x jP β (x, t) + t ∂∂P )︂β(x, t) =∂∂x j= (4πt) − N 2 t −|β|−1 exp]︂ (︂ [︂− |x|2 14t 2 x jP β (x, t) + t ∂∂P )︂β(x, t) ,∂∂x j(︁)︁1P α (x, t) :=2 x jP β (x, t) + t ∂∂P β∂∂x j(x, t) . Zřejmě |α| = |β| + 1 a P α (x, t) je stupně nejvýše |α| vproměnných x 1 , . . . x N a t.S pomocí teorie distribucí a Weylova lemmatu 2.85 v následujícím příkladě ukážeme poněkudpřekvapivý výsledek o neexistenci klasického řešení pro Poissonovu rovnici se spojitou pravou stranouf ∈ C(Ω). Tento příklad osvětluje základní těžkosti a jevy, se kterými se nesetkáme při řešeníobyčejných diferenciálních rovnic, ale které se typicky projevují i u těch strukturálně nejjednoduššíchparciálních diferenciálních rovnic. Námi prezentovaný příklad vznikl modifikací příkladu z Xinwei Yu[29] a schematu z monografie Zeidler [31, Protipříklad 6.3 na str. 249].Obsah154. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Příklad 2.88. Pro spojitou funkcif(x 1 , x 2 ) = −(︀ )︀ (︁ (︁x21 − x 2 2 8 ln 2 − ln √︀ )︁ )︁x 2 1 + x2 2 + 116 (x 2 1 + x2 2(︁ln ) 2 − log √︀ )︁ 3/2,x 2 1 + x2 2Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro x 1 , x 2 ≠ 0 a f(0, 0) = 0 nemá Dirichletovy úloha−Δu(x) = f(x) 0 ≦ |x| = √︀ x 2 1 + x2 2 < 1u(x) = 0 |x| = 1(2.52)klasické řešení, tj. neexistuje u ∈ C 2 (B(o, 1)) ∩ C 0 (B(o, 1)) splňující rovnici v každém bodě kouleB(o, 1) = {x ∈ R 2 : 0 ≦ |x| < 0} (zde o = (0, 0)) a u(x) = 0 pro každý bod kružnice x ∈ R 2 : |x| = 1.Řešení. V následujícím ukážeme, žeu(x 1 , x 2 ) = 1 (︀x24 1 − x 2 )︀ (︃√︂ √︁2 ln 2 − ln x 2 1 + x2 2 − √ )︃ln 2splňuje okrajovou podmínku úlohy (2.52), tj. u(x) = 0 pro |x| = 1; u ∉ C 2 (B(o, 1)); u splňuje rovnici−Δu = f ve smyslu distribucí na Ω = B(o, 1) a nakonec ukážeme, že úloha (2.52) žádné další řešeníve smyslu distribucí nemá. Protože klasická řešení jsou zároveň řešeními ve smyslu distribucí, úlohanemůže mít klasické řešení.Za prvé si všimněme, že funkce u má tuto strukturuu(x 1 , x 2 ) = (︀ x 2 1 − x 2 )︀√︁2 g( x 2 1 + x2 2 ) = (︀ x 2 1 − x 2 2)︀g(|x|) ,Obsah155. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮což lze v polárních souřadnicicích x = ρ cos φ, y = ρ sin φ vyjádřit taktou(ρ, φ) = ρ 2 cos 2φ g(ρ) .V následujícím výpočtu budeme potřebovat radiální parciální derivaci funkce u(ρ, φ) na obvodujednotkové kružnice. Tu lze vypočítat dosazením do radiální parciální derivace v obecném bodě(ρ, φ):∂∂∂∂ρ u(ρ, φ) = cos 2φ · (︀2ρg (ρ) + ρ 2 g ′ (ρ) )︀ . (2.53)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Okrajová podmínka. Dosazením za ρ = x 2 + y 2 = 1 dostanemeu(1, φ) = 1 (︂√︁ln2 cos 2φ 2 − ln √ 1 − √ )︂ln 2 = 1 cos 2φ · 0 = 0 .2Splnění rovnice bodově na B(o, 1) ∖ {o}.Obsah156. strana ze 343∂∂ 2 u∂∂x 2 (x 1 , x 2 ) = 1 (︂ √︁ )︂ √ln 2ln 2 − ln x 2 11 2+ x2 2 − + (2.54)2◭ ◭ ◮ ◮◭◮−3x 4 1 − 6x 2+2x 2 1 + x 4√︁ 28 (x 2 1 + x2 2 )2 ln 2 − ln √︀ +x 2 1 + x2 2(︀ )︀x2+2 − x 2 1 x2 (︁ 116 (x 2 1 + x2 2 )2 ln 2 − ln √︀ x 2 1 + x2 2)︁ 3/2Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

∂∂ 2 u∂∂x 2 (x 1 , x 2 ) = − 1 √︂√︁ √ln 2ln 2 − ln x 2 12 2+ x2 2 + + (2.55)2−x 4 1 + 6x 2+2x 2 1 + 3x 4√︁ 28 (x 2 1 + x2 2 )2 ln 2 − ln √︀ +x 2 1 + x2 2Sečtením dostaneme:(︀ )︀x2+2 − x 2 1 x2 (︁ 216 (x 2 1 + x2 2 )2 ln 2 − ln √︀ x 2 1 + x2 2)︁ 3/2(︀ )︀ (︁ (︁∂∂ 2 u∂∂x 2 (x 1 , x 2 ) + ∂∂2 ux21 − x 2 2 8 ln 2 − ln √︀ x 2 1 + x2 21 ∂∂x 2 (x 1 , x 2 ) = −216 (x 2 1 + x2 2 ) (︁ln 2 − log √︀ x 2 1 + x2 2)︁)︁+ 1)︁ 3/2,Obsah157. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮což znamená:∂∂ 2 u∂∂x 2 (x, y) + ∂∂2 u∂∂y 2 (x, y) = f(x, y) ∀(x, y) ∈ R2 : |x| > 0 .Splnění rovnice ve smyslu distribucí. Budeme pracovat s funkcí u zapsanou ve tvaru u(x) == u(x 1 , x 2 ) = (︀ x 2 1 − x 2 2)︀g(|x|). Máme ověřit, že platí⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ∫︁D (2,0) u, φ + D (0,2) u, φ = f(x) φ(x) dx ∀φ ∈ D ′ (B(o, 1)) ,B(o,1)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde x = (x, y). Z definice derivace distribuce a linearity integrálu dostaneme následující integrálníidentitu:∫︁B(o,1)(︂ ∂∂ 2 )︂ ∫︁φu(x)∂∂x 2 (x) + ∂∂2 φ1 ∂∂x 2 (x) dx = f(x) φ(x) dx (2.56)2B(o,1)splněnou pro všechna φ ∈ D ′ (B(o, 1)) .Tuto identitu dokážeme sporem. Předpokládejme, že existuje φ ∈ D ′ (B(o, 1)) a q > 0 tak, že∫︁⃒B(o,1)(︂ ∂∂ 2 )︂ ∫︁φu(x)∂∂x 2 (x) + ∂∂2 φ1 ∂∂x 2 (x) dx − f(x) φ(x) dx> q . (2.57)2B(o,1)⃒Obsah158. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Nejprve upravíme integrál ∫︀ (︁ )︁B(o,1) u(x) ∂∂ 2 φ(x) + ∂∂2 φ(x) dx. Nechť 0 < ε < 1. Rozdělíme integračníobor na B(o, 1)∖B(o, ε) a B(o, ε). Na integrál přes B(o, 1)∖B(o, ε) užijeme Greenovu∂∂x 2 1 ∂∂x 2 2identituZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(2.14):∫︁=B(o,1)∫︁=∫︁+∫︁+∫︁=∫︁+∫︁+u(x)Δφ(x) dx = (2.58)(︃ ∫︁ ∫︁+B(o, ε)B(o, ε)B(o,1)∖B(o, ε)B(o,1)∖B(o, ε)u(x)Δφ(x) dx+∂∂(B(o,1)∖B(o, ε))B(o, ε)B(o,1)∖B(o, ε))︃Δu(x)φ(x) dx(︂u(x)Δφ(x) dx+∂∂(B(o,1)∖B(o, ε))u(x)Δφ(x) dx =u(x) ∂∂φ)︂∂∂u(x) −∂∂⃗n ∂∂⃗n (x)φ(x) dH 1 =f(x)φ(x) dx(︂u(x) ∂∂φ)︂∂∂u(x) −∂∂⃗n ∂∂⃗n (x)φ(x) dH 1Obsah159. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Protože x ↦→ u(x) ∂∂φ∂∂⃗n (x) je spojitá funkce v R2 , je∫︁limε→0∂∂B(o, ε)u(x) ∂∂φ∂∂⃗n (x) dH1 = 0 . (2.59)Dále u(x) = 0 pro |x| = 1, proto je∫︁u(x) ∂∂φ∂∂B(o,1) ∂∂⃗n (x) dH1 = 0 . (2.60)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Hranice ∂∂B(o, ε) je kružnice se středem v počátku, proto přejdeme do polárních souřadnic x 1 == ρ cos φ, x 2 = ρ sin φ. Potom je derivace ∂∂u∂∂⃗nve směru normály k ∂∂B(o, ε) derivací podle radiusu ρpro ρ = 1. Dosazením z (2.53) a užitím parametrizace oblouku kružnice dostanemeAnalogicky∫︁∫︁∂∂u2πlimε→0∂∂B(o, ε) ∂∂⃗n (x)φ(x) ∂∂udH1 = ε (ε, φ) dφ = (2.61)0 ∂∂ρ= lim ε {︀ 2ε g (ε) + ε 2 g ′ (ε) }︀ ∫︁ 2πε→0∫︁∂∂B(o,1)∂∂u∂∂⃗n (x)φ(x) dH1 = ε= {2 g (1) + g ′ (1)}∫︁ 2π00cos 2φ dφ = limε→00 = 0 .∫︁ 2π0cos 2φ dφ = 0 .∂∂u(1, φ) dφ = (2.62)∂∂ρOdtud pro libovolné 0 < ε < 1 dostaneme:∫︁∫︁u(x)Δφ(x) dx − f(x) φ(x) dx⃒ B(o,1)B(o,1)⃒ = (2.63)∫︁∫︁=u(x)Δφ(x) dx − f(x)φ(x) dx+⃒ B(o, ε)B(o, ε)∫︁(︂+u(x) ∂∂φ)︂ ⃒∂∂u⃒⃒⃒⃒(x) −∂∂⃗n ∂∂⃗n (x)φ(x) dH 1 .∂∂(B(o,1)∖B(o, ε))Protože f(x) i u(x)Δφ(x) jsou spojité funkce, z Lebesguovy věty (o dominantní konvergenci), arovností (2.58), (2.59), (2.60), (2.61), (2.62) a (2.63) plyne, že pro libovolné q > 0 existuje ε > 0 tak,Obsah160. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

že⃒ ⃒⃒⃒⃒ ∫︁∫︁u(x)Δφ(x) dx −B(o,1)∂∂ 2 u∂∂x 2 1(x 1 , x 2 ) = 1 2B(o,1)což je ve sporu s (2.57) a identita (2.56) platí.u ∉ C 2 (B(o, 1)). Z předchozích výpočtů plyne, že například(︂ln 2 − lnf(x) φ(x) dx⃒ < q ,√︁x 2 1 + x2 2)︂+ O(1) .Tato funkce má limitu +∞ pro (x 1 , x 2 ) → (0, 0). Tudíž u ∉ C 2 (B(o, 1)).Neexistuje klasické řešení úlohy (2.52). Předpokládejme, že kromě výše uvedeného řešeníexistuje ještě klasické řešeníu ∉ C 2 (B(o, 1))v ∈ C 2 (B(o, 1)) .Potom je toto řešení též řešením ve smyslu distribucí. Rozdíl u − v pak řeší rovnici Δw = 0 na kouliB(o, 1)) ve smyslu distribucí. Podle Weylova lemmatu Lemma 2.85 je w ∈ C ∞ (B(o, 1)). To je spor,protože rozdíl funkce v ∈ C 2 (B(o, 1)) a u ∉ C 2 (B(o, 1)) nemůže být třídy C ∞ (B(o, 1)). Tento trikje převzat z monografie Zeidler [31, Protipříklad 6.3 na str. 249].□Podobný výsledek jako Weylovo lemma týkající se regularity řešení ve smyslu distribucí platí ipro rovnici vedení tepla.Věta 2.89 ([23]). Nechť Ω ⊂ R × R N je libovolná otevřená množina. Jestliže distribuce u ∈ D ′ (Ω)splňuje rovnici vedení tepla∂∂u∂∂t + Δu = f ∈ C∞ (Ω)ve smyslu distribucí, tj. ∀φ ∈ D(Ω) platí⟨u, − ∂∂φ ⟩∂∂t + Δφ = ⟨f, φ⟩ ,Obsah161. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

potom je distribuce u reprezentovatelná funkcí u ∈ C ∞ (Ω).Naopak pro vlnovou rovnici∂∂ 2 u− Δu = f∂∂t2 výsledek tohoto typu neplatí. Například funkce u: R × R : R, u(x) def= 1 2(sgn(x + t) + sgn(x − t))splňuje vlnovou rovnici∂∂ 2 u− Δu = 0 (2.64)∂∂t2 pro Ω = R × R ve smyslu distribucí a přitom není diferencovatelná pro x = t. Splnění vlnové rovnice(2.64) ve smyslu distribucí ověříme tak, že budeme uvažovat zhlazenou posloupnostu n : R × R → R, u n (x) def= 1 (︀ω1/n * sgn(x + t) + ω 1/n * sgn(x − t) )︀ .2Posloupnost funkcí u n ∈ C ∞ (R × R) splňuje rovnici (2.64) klasicky (D’Alambertův vzorec), tedy v*každém bodě (x, t) ∈ R × R a tedy i ve smyslu distribucí. Současně u n ⇀ u pro n → +∞ ve smysludistribucí. Tudíž limita u splňuje rovnici (2.64) ve smyslu distribucí.Obsah162. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2.3. Kvíz - DistribuceDistribuce1. Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast, pak pro Diracovu distribuci δ o neplatí∃ Borelovská míra μ: δ ∫︀ o(v)= v dμΩδ o :C c(Ω)→R, δ o(v) = v(0)∫︀ 1δ o:C c(Ω)→R,δ o(v)= limv(ξ) dξε→0 |B(0,ε)|B(0,ε)δ o :L 1 loc (Ω)→R, δo(v) = v(0)2. Nechť Ω ⊂ R N je oblast, pak neplatíD(Ω⊂Cc∞ (Ω)v ∈C ∞ (Ω)⇒ D α v ∈Cc ∞(Ω)Obsah163. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮C ∞ c(Ω)⊂C∞ (Ω)v ∈D K (Ω)⇒D α v ∈C(Ω)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3. Distribuce T (na Ω) jespojitá lineární forma na D(Ω)spojité zobrazení D(Ω)→D(Ω)spojité zobrazení C ∞ c(Ω)→Rspojité lineární zob- razení C ∞ (Ω)→R4. Pro T lineární formu na D(Ω) existuje n∈N 0 takové, že pro všechny kompaktní K ⊂Ω) existujeC případně závisející na K takové, že∀v ∈D(Ω):sppt v ⊂K ⇒ |T (v)|≦C∑︀ ‖D α v‖ ∞ , potom neplatí|α|≦nT je omezená forma na D(Ω)T je distribuce konečného řádu nT je C-omezená forma na D(Ω)Obsah164. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮T je distribuceZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5. Pro nosič sppt T distribuce T asociované se spojitou funkcí f ∈C(Ω) platísppt T ={φ∈D(Ω):T (φ)=0}sppt T ={φ∈D(Ω):T (φ)≠0}sppt T = sppt fsppt T ={φ∈D(Ω): ∫︀ Ωφf dx≠0}6. Nechť f je zprava spojitá na R. Potom identita ⟨D (1) f, φ⟩ = ∫︀ R φ(x)f ′ (x) dx ∀φ∈D platí, jestližef je neklesající a omezenáf má konečnou variaci na kompaktních podmnožinách Rf je absolutně spo- jitá a omezenáf je neklesající a absolutně spojitáObsah165. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

7. Nechť T ∈D ′ (R N ) a φ, ψ ∈ D(R N ), ((τ x u)(y) = u(y − x)), pak neplatíτ x(T * φ)=(τ xT ) * φT * φ∈C ∞ c (R N )sptt (T * φ)⊂sptt T + sptt φ(T * φ) * ψ =T * (φ * ψ)8. Nechť T n , T ∈D ′ (R N ), pakT n* ⇀ T , jestliže Tn(φ) →T (φ) ∀φ ∈ D(Ω)T n → T , jestliže T n(φ) → T (φ)∀φ ∈ D(Ω)T n* ⇀ T , jestliže Tn * φ → T * φ ∀φ ∈ D(Ω)T n → T , jestliže lim supφ∈D|T n(φ)−T (φ)|=0Obsah166. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

9. Nechť △= D (2,0) + D (0,2) , Ω⊂R 2 , pak △ ln |x| se rovná4πδ o02πδ o1x10. Nechť Ω⊂R N je oblast, u∈D ′ (Ω) splňuje ve smyslu distribucí rovnici △u = f, kde f ∈C ∞ (Ω),paku∈D(Ω)u∈L ∞ (Ω)u∈C ∞ (Ω)u∈Cc∞ (Ω)Obsah167. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

ηrObsah168. strana ze 343B(x, r)supp wB(x, 2r)◭ ◭ ◮ ◮◭◮B(x, 3r)-10B(x, 4r)Obr. 2.1Koule B(x, r), . . . B(x, 4r), funkce η a supp w.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

γrObsah169. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮B(x, r)supp wB(x, 2r)B(x, 3r)-10B(x, 4r)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ OknoObr. 2.2 Koule B(x, r), . . . B(x, 4r) a omezenost posunuté γ t .

Obsah170. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 2.3 Spojitá pravá strana f rovnice z Příkladu 2.88 na straně 154.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah171. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Obr. 2.4 Řešení úlohy Δu = f na B(o, 1), u = 0 na ∂∂B(o, 1) ve smyslu distribucí z Příkladu 2.88na straně 154, které není z prostoru C 2 (B(o, 1)).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah172. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 3Sobolevovy prostoryObsah173. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemModerní teorie parciálních diferenciálních rovnic je založena na operátorové formulaci úlohy v lineárníchprostorech. Metody, které máme k dispozici pak silně závisí na struktuře těchto prostorů.V první kapitole jsme viděli, že z uvedených struktur nám největší možnosti poskytuje hilbertovskástruktura. Bohužel prostory hladkých funkcí tuto strukturu nemají. Tuto strukturu ovšem nemají aniprostory distribucí. V této kapitole se seznámíte s teorií Sobolevových prostorů, které jistým způsobemzobecňují prostory hladkých funkcí. Speciální typy Sobolevových prostorů jsou prostory Hilbertovými.Díky tomu je pak možné použít příslušné metody ke studiu parciálních diferenciálních rovnic. Řešenípak hledáme v těchto prostorech v jistém zobecněném smyslu. V této kapitole budou dokázány důležitévěty s jejichž pomocí lze pak aplikovat výsledky první kapitoly na eliptické parciální diferenciálnírovnice, což bude provedeno v následující kapitole. Tak napříkad jedna z fundamentálních metod řešeníeliptických parciálních diferenciální rovnic je spojena s minimem kvadratického funkcionálu vizLaxovo-Milgramovo lemma, které bylo abstraktně zformulováno a dokázáno v první kapitole. Klíčovýpředpoklad Laxova-Milgramova lemmatu, koercivita příslušné bilineární formy, se v Sobolevovýchprostorech ověřuje pomocí Poincarého nerovnosti, kterou dokážeme v této kapitole. Mnoho metod jetaké založeno na kompaktnosti operátorů. K důkazu kompaktnosti se v Sobolevových prostorech častopoužívá Rellichova-Kondrachovova věta a věty o vnořeních. Dále v této kapitole definujeme pojemstopy funkce ze Sobolevova prostoru, který umožní definovat některé okrajové podmínky pro zobecněnářešení. Pro lepší pochopení souvislostí bude též uvedena charakterizace Sobolevových prostorůpomocí Fourierovy transformace.Obsah174. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮3.1. Základní definiceDefinice 3.1. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a 1 ≦ p ≦ ∞. Sobolevův prostor W 1,p (Ω) je prostor všech(tříd) funkcí u ∈ L p (Ω), jejichž první parciální derivace ve smyslu distribucí leží v L p (Ω), přesnějipro všechna i = 1, 2, . . . , N existuje funkce g i ∈ L p (Ω) taková, že∫︁Ωu ∂∂φ∂∂x idx = −∫︁Ωg i φdxZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro všechna φ ∈ D(Ω). Funkci g i se říká slabá parciální derivace funkce u vzhledem k x i a značí sestejně jako klasická parciální derivace ∂∂u∂∂x i.U funkcí z W 1,p (Ω) budeme vždy implicitně předpokládat, že ∂∂u∂∂x iznačí slabou derivaci pokudnebude výslovně řečeno, že se jedná o parciální derivaci klasickou.Příklad 3.2. (Leoni, Příklad 10.14) Nechť Ω = B(o, 1) ⊂ R N , a + 1 < N, 1 ≦ p < +∞. Potomfunkcef(x) def= 1|x| a pro x ≠ 0R Nnáleží W 1,p (B(o, 1)) v tom a jen v tom případě, že (a + 1)p < N. Speciálně f ∉ W 1,p (B(o, 1)),pokud p ≧ N.Předchozí příklad lze ještě vylepšit a dostaneme až neuvěřitelně divokou funkci patřící doW 1,p (B(o, 1)).Příklad 3.3. (Leoni, Příklad 10.14, modifikace) Nechť Ω = B(o, 1) ⊂ R N , a + 1 < N, 1 ≦ p < +∞.Nechť dále P : N ↔ B(o, 1) ∩ Q N je bijekce (tzv. očíslování bodů s racionálními souřadnicemi).Potom funkce∞∑︁f(x) def 1 1=2 n |x − P (n)| a pro x ≠ P (n), n ∈ NR Nn=1náleží W 1,p (B(o, 1)) v tom a jen v tom případě, že (a + 1)p < N.Obsah175. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 3.4. Všimněte si, že funkce f z předchozího příkladu není omezená na žádné kompaktnípodmnožině K ⊂ B(o, 1) s neprázdným vnitřkem. Její hodnota není definována pro B(o, 1) ∩ Q N anaopak nabývá reálné hodnoty pro x ∈ B(o, 1) ∖ Q N .Příklad 3.5. Nechť Ω = (−1, 1). Funkce f(x) def= sgn(x) nepatří do W 1,p (−1, 1) pro žádné 1 < p

Poznámka 3.6. Všimněte si, že f ′ (x) existuje skoro všude na intervalu (−1, 1) a je skoro všuderovna 0. Platí tedy, že f ′ ∈ L ∞ (−1, 1) a zdálo by se tak, že f ∈ W 1,p (−1, 1) pro libovolné p > 1.Ovšem není tomu tak, neboť distributívní derivace f = sgn je Diracova distribuce δ 0 , která neníreprezentovatelná integrovatelnou funkcí, ale Borelovskou mírou.Příklad 3.7. Nechť Ω = (0, 1). Cantorova funkce C(x) nepatří do W 1,p (0, 1) pro žádné 1 < p < +∞.Poznámka 3.8. Tentokrát se jedná o případ spojité funkce, která neleží ve W 1,p (0, 1). Opět jakov Příkladě 3.5 platí, že C ′ (x) existuje skoro všude na intervalu (0, 1) a je na něm skoro všude rovna0. Platí tedy, že C ′ ∈ L ∞ (−1, 1). Ovšem jak víme z příkladu 2.43, je distributívní derivace funkceC reprezentovatelná mírou, která není absolutně spojitá vůči Lebesgueově míře. Tudíž distributívníderivace funkce C není integrovatelná funkce a C tedy nepatří do W 1,p (0, 1) pro žádné 1 < p < +∞.Definice 3.9. Pro 1 < p < +∞ definujeme zobrazení ‖ · ‖ W 1,p (Ω) : W 1,p (Ω) → [0, +∞) předpisem‖u‖ W 1,p (Ω)def=(︃N ⃦‖u‖ p L p (Ω) + ∑︁∂∂u ⃦⃦⃦p⃦∂∂x ikde ∂∂u∂∂x i∈ L p (Ω) jsou slabé derivace u. Dále definujeme zobrazenípředpisem‖u‖ W 1,∞ (Ω)def= maxi=1L p (Ω)‖ · ‖ W 1,∞ (Ω) : W 1,∞ (Ω) → [0, +∞){︃‖u‖ L∞ (Ω),kde ∂∂u∂∂x i∈ L ∞ (Ω) jsou opět slabé derivace u.)︃ 1/p, (3.1)⃦ ⃦ }︃∂∂u ⃦⃦⃦L ⃦, . . . ,∂∂u ⃦⃦⃦L∂∂x 1⃦, (3.2)∞ (Ω)∂∂x N ∞ (Ω)Věta 3.10. Pro 1 < p < +∞ je zobrazení ‖ · ‖ W 1,p (Ω) : W 1,p (Ω) → [0, +∞) definované předpisem(3.1) norma na prostoru W 1,p (Ω). Metrický prostor (︀ W 1,p (Ω), ‖ · ‖ W 1,p (Ω))︀je Banachův. Zobrazení‖ · ‖ W 1,∞ (Ω) : W 1,∞ (Ω) → [0, +∞) definované předpisem (3.2) je norma na prostoru W 1,∞ (Ω).Metrický prostor (︀ W 1,∞ (Ω), ‖ · ‖ W 1,∞ (Ω))︀je Banachův.Obsah176. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 3.11. Místo (︀ W 1,p (Ω), ‖ · ‖ W 1,p (Ω))︀píšeme pro stručnost jen W 1,p (Ω). Pokud bychomchtěli uvažovat W 1,p (Ω) s jinou normou než ‖ · ‖ W 1,p (Ω), tento fakt explicitně zmíníme.Definice 3.12. Nechť Ω ⊂ R N je oblast a 1 ≦ p ≦ +∞. Definujme ještě prostor W 1,p0 (Ω) jakouzávěr D(Ω) ve W 1,p (Ω) vzhledem k normě ‖ · ‖ W 1,p (Ω). Tuto skutečnost též zapisujeme jakoW 1,p0 (Ω) def= D(Ω) ‖·‖ W 1,p (Ω). (3.3)Poznámka 3.13. Výše uvedená definice má jednu drobnou vadu na kráse, a sice tu, že směšujemefunkce z D(Ω) a třídy funkcí z W 1,p (Ω). Korektní postup je vzít funkci u ∈ D(Ω) jako reprezentantatřídy funkcí lišících se od u na množině Lebesgueovy míry nula a pak pracovat s touto třídou.Věta 3.14. Zobrazení ⟨ · , · ⟩ W 1,2 (Ω) : W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) → R definované předpisem∫︁∫︁def⟨u, v⟩ W 1,2 (Ω)= ∇u · ∇v dx + u v dx (3.4)Ωje skalární součin na W 1,2 (Ω) resp. na W 1,20 (Ω) a unitární prostor (W 1,2 (Ω), ⟨ · , · ⟩ W 1,2 (Ω) ) resp.(W 1,20 (Ω), ⟨ · , · ⟩ W 1,2 (Ω)) je Hilbertův.Definice 3.15. Prostor W 1,2 (Ω) resp. W 1,20 (Ω) se skalárním součinem ⟨ · , · ⟩ W 1,2 (Ω)budeme značitH 1 (Ω) resp. H0 1 (Ω) (abychom zdůraznili hilbertovskou strukturu těchto prostorů).Definice 3.16. Nechť Ω ⊂ R N je oblast, k ∈ N: k ≧ 2 a 1 ≦ p ≦ ∞. Sobolevův prostor W k,p (Ω)je prostor všech (tříd) funkcí u ∈ L p (Ω), jejichž všechny parciální derivace ve smyslu distribucí omultiindexu α ∈ N N 0 : 1 ≦ |α| ≦ k leží v L p (Ω), přesněji ke každému všechna α ∈ N N 0 : 1 ≦ |α| ≦ kexistuje funkce g α ∈ L p (Ω) taková, že∫︁∂∂ |α| φuΩ ∂∂x α11 . . . dx = (−1) |α| g ∂∂xα Nα φdxN∫︁ΩΩObsah177. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

pro všechna φ ∈ D(Ω). Funkci g α se říká slabá parciální derivace funkce u odpovídající multiindexuα a značí se stejně jako klasická parciální derivace(je to distributivní derivace, která je∂∂ |α| u∂∂x α 11 ...∂∂xα NNintegrovatelnou funkcí, proto ji značíme stejně jako klasickou derivaci).U funkcí z W 1,p (Ω) budeme vždy implicitně předpokládat, že ∂∂u∂∂x iznačí slabou derivaci pokudnebude výslovně řečeno, že se jedná o parciální derivaci klasickou.Definice 3.17. Pro 1 < p < +∞ definujeme zobrazení ‖ · ‖ W k,p (Ω) : W 1,p (Ω) → [0, +∞) předpisem⎛⎞1/pdef‖u‖ W 1,p (Ω) = ⎜⎝ ‖u‖p L p (Ω) +∑︁⃦ ∂∂ α u ⃦⃦⃦p⃦∂∂x α11 . . . ⎟∂∂xα N ⎠ , (3.5)Nα∈N 0N1≦|α|≦kL p (Ω)∂∂kdeα u∂∂x α 11 ...∂∂xα N ∈ L p (Ω) jsou slabé derivace u. Dále definujeme zobrazení ‖·‖ W 1,∞ (Ω) : W 1,∞ (Ω) → [0, +N+∞) předpisem⃦def‖u‖ W 1,∞ (Ω) = max∂∂ α u ⃦⃦⃦Lα∈N N 0⃦∂∂x α11 . . . , (3.6)∂∂xα N0≦|α|≦kN ∞ (Ω)∂∂kdeα u∂∂x α 11 ...∂∂xα NN∂∂ α u∂∂x α 11 ...∂∂xα NN∈ L ∞ (Ω) jsou opět slabé derivace u a pro α = (0, . . . , 0), tj. pro |α| = 0, výrazinterpretujeme jako u.Věta 3.18. Pro 1 < p < +∞ je zobrazení ‖ · ‖ W k,p (Ω) : W k,p (Ω) → [0, +∞) definované předpisem(3.5) norma na prostoru W k,p (Ω). Metrický prostor (︀ W k,p (Ω), ‖ · ‖ W k,p (Ω))︀je Banachův. Zobrazení‖ · ‖ W k,∞ (Ω) : W k,∞ (Ω) → [0, +∞) definované předpisem (3.6) je norma na prostoru W k,∞ (Ω).Metrický prostor (︀ W k,∞ (Ω), ‖ · ‖ W k,∞ (Ω))︀je Banachův.Definice 3.19. Nechť Ω ⊂ R N je oblast, k ≧ 2 a 1 ≦ p ≦ +∞. Definujme ještě prostor W k,p0 (Ω)jako uzávěr D(Ω) ve W k,p (Ω) vzhledem k normě ‖ · ‖ W k,p (Ω). Tuto skutečnost též zapisujeme jakoW k,p0 (Ω) def= D(Ω) ‖·‖ W k,p (Ω). (3.7)Obsah178. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 3.20. Nechť k ≧ 2. Zobrazení ⟨ · , · ⟩ W k,2 (Ω) : W k,2 (Ω) × W k,2 (Ω) → R definované předpisem⟨u, v⟩ W 1,2 (Ω)def= ∑︁1≦|α|≦k∫︁Ω∂∂ α u∂∂x α11 . . . ∂∂xα NN∂∂ α v∂∂x α11 . . . dx +∂∂xα NN∫︁Ωu v dx (3.8)je skalární součin na W k,2 (Ω) resp. na W k,20 (Ω) a unitární prostor (W k,2 (Ω), ⟨ · , · ⟩ W k,2 (Ω) ) resp.(W k,20 (Ω), ⟨ · , · ⟩ W k,2 (Ω)) je Hilbertův.Definice 3.21. Prostor W k,2 (Ω) resp. W k,20 (Ω) se skalárním součinem ⟨ · , · ⟩ W k,2 (Ω)budeme značitH k (Ω) resp. H k 0 (Ω) (abychom zdůraznili hilbertovskou strukturu těchto prostorů).Obsah179. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.2. Poincarého nerovnost a Rellichova-Kondrachovova větave W 1,p0 (Ω)Poincarého nerovnost je základní součástí variačního přístupu k Dirichletově úloze. Poskytuje koercivituDirichletova integrálu ∫︀ Ω |Dv|2 dx na prostoru H 1 0 (Ω).Věta 3.22 (Poincarého nerovnost). Buď Ω otevřená podmnožina R N , která je omezená v jednomsměru. Pak pro každé 1 ≦ p < +∞ existuje konstanta C p,N (Ω), závisející pouze na Ω, p a N, taková,že(︂∫︁|v(x)| p dxΩ)︂ 1p≦ Cp,N (Ω)(︃ ∫︁ΩN∑︁⃒ ∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dx∂∂x ii=1)︃ 1 p∀v ∈ W 1,p0 (Ω). (3.9)Důkaz. Protože Ω je omezená v jednom směru, můžeme najít soustavu souřadnic, kterou pro jednoduchoststále značíme (x 1 , x 2 , . . . , x N ), takovou, že Ω leží v pásu a ≦ x N ≦ b. Píšeme x = (x ′ , x N ),kde x ′ = (x 1 , x 2 , . . . , x N−1 ).Protože D(Ω) je hustá podmnožina W 1,p0 (Ω) (podle definice W 1,p0 (Ω)), uvažujme nejprvev ∈ D(Ω). Výsledek pak rozšíříme s využitím hustoty a spojitosti. Definujme˜v def={︃v na Ω,0 na R N ∖ Ω.Obsah180. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pro libovolné x = (x ′ , x N ) ∈ R N , kde a ≦ x N ≦ b a x ′ ∈ R N−1 , máme∫︁ xN˜v(x) = ˜v(x ′ , x N ) = ˜v(x ′ , a) +a∂∂˜v∂∂x N(x ′ , t)dt.Protože ˜v(x ′ , a) = 0, platí˜v(x ′ , x N ) =∫︁ xNa∂∂˜v∂∂x N(x ′ , t)dt.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z Hölderovy nerovnosti ( 1 p + 1 p= 1) nyní dostaneme′|˜v(x ′ , x N )| p ≦ (x N − a) p p ′≦ (x N − a) p p ′∫︁ xN∫︁aRp∂∂˜v⃒ (x ′ , t)∂∂x N⃒ dtp∂∂˜v⃒ (x ′ , t)∂∂x N⃒ dt.Integrujme nejprve podle x ′ ∈ R N−1 . Dostaneme∫︁ ⃒ ⃒⃒⃒p|˜v(x∫︁R ′ , x N )| p dx ′ ≦ (x N − a) p ∂∂˜vp ′ (x)N−1 R ∂∂x N N⃒ dx.Po integraci podle x N (a ≦ x N ≦ b) pak obdržíme|˜v(x)|∫︁R p dx ≦ (b − p ∫︁ ⃒ a)1+ p ′ ⃒⃒⃒p∂∂˜v1 + p (x)N p ′ R ∂∂x N N⃒ dx.Protože∂∂˜v∂∂x NMáme 1 + p p= p, a tedy′= Dv · n, kde n je jednotkový normálový vektor k pásu obsahujícímu Ω, platí⃒ ⃒ ∂∂˜v ⃒⃒⃒pN∑︁ ∂∂˜v ⃒⃒⃒⃒p (︃ N ⃒∑︁)︃ (︃⃒ =n∂∂x N ⃒i ≦∂∂˜v ⃒⃒⃒p ∑︁N∂∂x i⃒∂∂x ii=1∫︁R N |˜v(x)| p dx ≦i=1i=1∫︁(b − a)pN p p ′pR Nn p′iN ∑︁i=1)︃ p p ′ N ⃒∑︁≦ N p p ′ ∂∂˜v ⃒⃒⃒p⃒ .∂∂x i⃒ ∂∂˜v ⃒⃒⃒p⃒ dx.∂∂x iProtože vně množiny Ω platí ˜v = ∂∂˜v∂∂x i= 0, i = 1, . . . , N, a v množině Ω máme ˜v = v a ∂∂˜v∂∂x idostáváme(︂∫︁ )︂ 1(︃|v(x)| p p∫︁ ⃒ )︃N∑︁dx ≦ Cp,N (Ω)∂∂˜v ⃒⃒⃒p1 p⃒ dx ∀v ∈ D(Ω),ΩΩ ∂∂x ii=1i=1= ∂∂v∂∂x i,Obsah181. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde C p,N (Ω) = (b − a) N 1p ′p 1 p.Hustota D(Ω) v W 1,p0 (Ω) umožňuje uvedenou nerovnost přímo rozšířit na W 1,p0 (Ω). Tím je důkaz(3.9) proveden. Definice 3.23. Poincarého konstantou nazveme nejmenší konstantu C takovou, že platí (3.9), tj.¯C p,N (Ω) def=⎧⎨inf⎩(︂∫︁ΩC :)︂ 1(︃|v(x)| p p ∫︁dx ≦ CΩ⃒ N∑︁∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dx∂∂x ii=1)︃ 1 p⎫⎬∀v ∈ W 1,p0 (Ω)⎭ .Jinými slovy,1¯C p,N (Ω) = inf ⎧⎨⎩(︃ ∫︁Ω⃒ N∑︁∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dx∂∂x ii=1)︃ 1 p∫︁:Ω⎫⎬|v| p dx = 1, v ∈ W 1,p0 (Ω)⎭ .V některých případech (viz např. „ledový mrak“ („cloud of ice“) v Attouch [2]) je užitečné vědětpřesně, jak Poincarého konstanta závisí na velikosti Ω.Obsah182. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Propozice 3.24. Pro libovolné R > 0 a Ω ⊂ R N platí¯C p,N (RΩ) = R ¯C p,N (Ω).Důkaz. Nechť v ∈ W 1,p0 (RΩ). Definujeme v R (x) def= v(Rx). Zřejmě v R ∈ W 1,p0 (Ω),∫︁∫︁∫︁|v R (x)| p dx = |v(Rx)| p dx = R −N |v(y)| p dyΩΩRΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

aPotom∫︁Ω∫︁∫︁ N∑︁p ∫︁|Dv R (x)| p dx =∂∂v R⃒ (x)Ω ∂∂xi=1 i⃒ dx =∫︁ N∑︁p= R p ∂∂v⃒ (Rx)∂∂x i⃒ dxRΩΩ i=1= R p−N ∫︁RΩ i=1N∑︁p∂∂⃒ v(Rx)∂∂x i⃒ dxΩ i=1N∑︁p∂∂v⃒ (ξ)∂∂x i⃒ dξ.∫︁∫︁|v(y)| p dy = R N |v R (x)| p dx ≦ R N ¯Cpp,N (Ω) |Dv R | p dxΩΩ∫︁≦ R N R p−N ¯Cpp,N (Ω) |Dv| p dxRΩ∫︁= (R ¯C p,N (Ω)) p |Dv| p dx.Tato nerovnost platí pro libovolné v ∈ W 1,p0 (RΩ), takžeRΩ¯C p,N (RΩ) ≦ R ¯C p,N (Ω).Naopak, protože Ω = 1 R (RΩ), máme ¯C p,N (Ω) ≦ 1 R ¯C p,N (RΩ), a tudíž platí rovnost ¯C p,N (RΩ) == R ¯C p,N (Ω). V [3, Theorem 8.4.1] je uveden vztah Poincarého konstanty pro p = 2 a prvního vlastního číslaLaplacova operátoru s Dirichletovými okrajovými podmínkami.Dalším základním tvrzením je Rellichova-Kondrachovova věta o kompaktním vnoření. Nejprvepřipomeneme Kolmogorovova kritéria kompaktnosti v L p (R N ).Obsah183. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 3.25 (Kolmogorov). Nechť p ∈ [1, +∞) a F ⊂ L p (R N ). Potom F je relativně kompaktní vL p (R N ) právě tehdy, když jsou splněny následující tři podmínky:(i) F je omezená v L p (R N );∫︀(ii)|x|>R |v(x)|p dx = 0 stejnoměrně vzhledem k v ∈ F;limR→+∞(iii) lim ‖τ h v − v‖ L p (R N ) = 0 stejnoměrně vzhledem k v ∈ F, kde τ h v je posunutá funkceh→0(τ h v)(x) def= v(x − h).Důkaz. Dokážeme pouze implikaci, která je užitečná v aplikacích, tj. (i), (ii), (iii) =⇒ F je relativněkompaktní v L p (R N ).Dokážeme ekvivalentní vlastnost, že F je prekompaktní. To znamená, že pro libovolné ε > 0existuje konečný počet koulí B(v 1 , ε), . . . , B(v k , ε), které pokrývají F. Zvolme tedy ε > 0 pevné.Podle (ii) existuje R > 0 takové, že pro všechna v ∈ F∫︁|v(x)| p dx < ε.|x|>RNechť (ρ n ) n∈N je zhlazující jádro. Z [3, Proposition 2.2.4] plyne, žeObsah184. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀n ≧ 1 ∀v ∈ L p (R N ) ‖v − v * ρ n ‖ p L p ≦ ∫︁R N ρ n (y)‖v − τ y v‖ p L pdy.Tedy‖v − v * ρ n ‖ L p≦ sup ‖v − τ y v‖ L p.|y|≦ 1 nDíky (iii) existuje nějaké N(ε) ∈ N takové, že pro všechna v ∈ F‖v − v * ρ N(ε) ‖ L p < ε.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Na druhou stranu, pro libovolné x, x ′ ∈ R N , v ∈ Ł p (R N ) a n ∈ N máme∫︁|(v * ρ n )(x) − (v * ρ n )(x ′ )| ≦ |v(x − y) − v(x ′ − y)|ρ n (y)dyR N≦ ‖τ xˇv − τ x ′ ˇv‖ L p‖ρ n ‖ L p ′≦ ‖τ x−x ′v − v‖ L p‖ρ n ‖ L p ′ .(V posledním kroku jsme využili translační invarianci Lebesguovy míry.) Dále platí|(v * ρ n )(x)| ≦ ‖v‖ L p‖ρ n ‖ L p ′ .Uvažujme třídu H = {v * ρ N(ε) : B(0, R) → R, v ∈ F}. Z (i) a (iii) plyne, že splňuje předpokladyAscoliho věty. Tudíž je prekompaktní vzhledem k topologii stejnoměrné konvergence na B(0, R), atedy existuje konečná množina {v 1 , . . . , v k } prvků z F, splňujícík⋃︁B(v i * ρ N(ε) , εR − N p ) ⊃ H.Takže pro všechna v ∈ F existuje j ∈ {1, 2, . . . , k} takové, žei=1Obsah185. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀x ∈ B(0, R) |v * ρ N(ε) (x) − v j * ρ N(ε) (x)| ≦ ε|B(0, R)| − 1 p .Odtud plyne‖v − v j ‖ L p (R N ) ≦(︃ ∫︁|v| p dx|x|>R)︃ 1p+(︃ ∫︁|v j | p dx|x|>R)︃ 1p+ ‖v − v * ρ N(ε) ‖ L p + ‖v j − v j * ρ N(ε) ‖ L p+ ‖v * ρ N(ε) − v j * ρ N(ε) ‖ L p (B(0,R)).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poslední výraz můžeme odhadnout shora:‖v * ρ N(ε) − v j * ρ N(ε) ‖ Lp (B(0,R))=(︃ ∫︁|v * ρ N(ε) (x) − v j * ρ N(ε) (x)| p dxB(0,R)≦ ε|B(0, R)| − 1 p |B(0, R)|1p = ε.)︃ 1pMáme tedy‖v − v j ‖ L p (R N ) ≦ 5εa důkaz prekompaktnosti F v L p (R N ) je dokončen.Rychlost konvergence τ h v k v v prostoru L p (R N ) pro |h| → 0 můžeme určit přesně pro funkce vz prostoru W 1,p (R N ).Propozice 3.26. Pro všechna 1 ≦ p ≦ +∞ a všechna v ∈ W 1,p (R N ) platí následující nerovnost:∀h ∈ R Nkde ‖Dv‖ L p (R N ) = (︀∫︀ R N |Dv(x)| p dx )︀ 1 p‖τ h v − v‖ L p (R N ) ≦ ‖Dv‖ L p (R N )|h|,a |Dv(x)| je eukleidovská norma Dv(x).Obsah186. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Důkaz. Protože D(R N ) je hustá podmnožina W 1,p (R N ), stačí dokázat požadovanou nerovnostpouze pro v ∈ D(R N ). Platí(τ h v)(x) − v(x) = v(x − h) − v(x) = −Podle Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti potom|(τ h v)(x) − v(x)| ≦∫︁ 10∫︁ 10|Dv(x − th)| |h|dt,Dv(x − th)hdt.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a tedy díky Hölderově nerovnostiIntegrací přes R N dostaneme∫︁ 1|(τ h v)(x) − v(x)| p ≦ |h| p |Dv(x − th)| p dt,∫︁R N |(τ h v)(x) − v(x)| p dx ≦ |h| p ∫︁R N (︂∫︁ 100)︂|Dv(x − th)| p dt dx,Z Fubiniho-Tonelliho věty a translační invariance Lebesguovy míry v R N nyní plyne∫︁R N |τ h v − v| p dx ≦ |h| p ∫︁R N |Dv(x)| p dx,a tím je důkaz hotov.Nyní už můžeme zformulovat hlavní větu o kompaktním vnoření Sobolevova prostoru do Lebesguovaprostoru.Věta 3.27 (Rellich-Kondrachov). Buď Ω omezená otevřená podmnožina R N . Pak je kanonickévnoření W 1,p0 (Ω) ˓→ L p (Ω) kompaktní. Jinými slovy, každá omezená podmnožina W 1,p0 (Ω) je relativněkompaktní podmnožina L p (Ω).Důkaz. Označme q přirozený rozšiřující operátor dodefinování nulou mimo Ω, který je spojitýz W 1,p0 (Ω) do W 1,p (R N ). Z [3, Proposition 5.1.1] totiž plyne, že q je lineární izometrie.Operátor r : L p (R N ) → L p (Ω), který funkci v ∈ L p (R N ) přiřadí její restrikci na Ω, tj. r(v) = v| Ω ,je zřejmě lineární a spojitý s normou menší nebo rovnou jedné. Tudíž můžeme naše vnořenínapsat jako složení i = r ∘ j ∘ q,i: W 1,p0 (Ω) ˓→ L p (Ω)W 1,p0 (Ω) q → W 1,p (R N ) j → L p (R N ) r → L p (Ω),Obsah187. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde j je kanonické vnoření W 1,p (R N ) do L p (R N ).Nechť B je jednotková koule v W 1,p0 (Ω). Protože operátor r je spojitý a obrazem kompaktnímnožiny ve spojitém zobrazení je kompaktní množina, potřebujeme dokázat, že (j ∘q)(B) je relativněkompaktní podmnožina L p (R N ). K tomu použijeme Kolmogorovova kritéria kompaktnosti v L p (R N ),viz Věta 3.25.(i) Protože j a q jsou lineární a spojité, je (j ∘ q)(B) omezená v L p (R N ).(ii) Předpokládáme, že Ω je omezená, takže existuje R > 0 takové, že Ω ⊂ B(0, R). Tudíž provšechna v ∈ B platí q(v) = 0 na R N ∖ B(0, R), a tedy ∫︀ |x|>R |q(v)|p dx = 0.(iii) Protože q(B) je podmnožinou jednotkové koule v W 1,p (R N ), plyne z Propozice 3.26, že existujekonstanta C > 0 taková, že∀v ∈ B‖τ h q(v) − q(v)‖ L p (R N ) ≦ C|h|.To znamená, že τ h q(v) konverguje k q(v) v prostoru L p (R N ) pro h → 0, a to stejnoměrněvzhledem k v ∈ B.Tímto je důkaz dokončen.Podobně lze dokázat i následující užitečné tvrzení.Důsledek 3.28. Buď F podmnožina W 1,p (R N ), 1 ≦ p < +∞, splňující následující dvě podmínky:(i) F je omezená v W 1,p (R N ), tj. sup ‖v‖ W 1,p (R N ) < +∞.v∈F(ii) F je L p -ekviintegrovatelná v nekonečnu, tj.∫︁stejnoměrně vzhledem k v ∈ F.limR→+∞|x|>RPotom je F relativně kompaktní podmnožinou L p (R N ).|v(x)| p dx = 0Obsah188. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.3. Rozšiřující operátory z W 1,p (Ω) do W 1,p (R N ) a jejich aplikace.Podařilo se nám dokázat některé důležité vlastnosti prostoru W 1,p0 (Ω), a to bez jakýchkoliv předpokladůna regularitu hranice otevřené množiny Ω, protože vždy existuje spojitý rozšiřující operátor zW 1,p0 (Ω) do W 1,p (R N ), jmenovitě dodefinování nulou ([3, Proposition 5.1.1]). V případě práce s prostoremW 1,p (Ω) je situace komplikovanější a regularita hranice Ω bude hrát zásadní roli v důkazecha příslušných tvrzeních. Hlavním úkolem bude opět nalezení rozšiřujícího operátoru. To nám pakumožní využít předchozích výsledků ve W 1,p (R N ), kde se přirozeně aplikují techniky jako konvoluceči posunutí.Značení. Pro x ∈ R N píšeme x = (x ′ , x N ), kde x ′ ∈ R N−1 , x ′ = (x 1 , x 2 , . . . , x N−1 ). ZnačímeR N + = {x = (x ′ , x N ) : x N > 0} – otevřený horní poloprostor,{︃(︂ N∑︀)︂ }︃1B = B(0, 1) = x ∈ R N : |x| = x 2 2i < 1 – otevřená jednotková koule v R N ,i=1B + = B(0, 1) ∩ R + N ,Obsah189. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮B 0 = B ∩ R N−1 = {x = (x ′ , x N ) ∈ R N : |x ′ | ≦ 1 a x N = 0}.C 1 -diffeomorfizmem z otevřené množiny U ⊂ X do otevřené množiny V ⊂ Y , kde X a Y jsounormované lineární prostory, nazveme takové vzájemně jednoznačné zobrazení φ z U do V , které jespojitě diferencovatelné a k němu inverzní zobrazení φ −1 je spojitě diferencovatelné z V do U.Definice 3.29. Buď Ω otevřená podmnožina R N . Řekneme, že Ω je třídy C 1 , pokud pro všechnax ∈ Γ = ∂∂Ω (topologická hranice Ω) existuje otevřené okolí G bodu x a C 1 -diffeomorfizmus φ zB(0, 1) do G takový, žeφ(B + ) = G ∩ Ω a φ(B 0 ) = G ∩ Γ.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 3.30. Buď Ω otevřená podmnožina R N třídy C 1 , která je omezená (nebo Ω = R + N ). Potomexistuje rozšiřující operátor P : W 1,p (Ω) → W 1,p (R N ), který je lineární a spojitý. Přesněji řečeno,pro libovolné v ∈ W 1,p (Ω) platí(i) P v| Ω = v,(ii) ‖P v‖ L p (R N ) ≦ C‖v‖ L p (Ω),(iii) ‖P v‖ W 1,p (R N ) ≦ C‖v‖ W 1,p (Ω).Konstanta C závisí pouze na Ω a p.Důkaz Věty 3.30 provedeme nejprve pro případ, kdy Ω = R + N je poloprostor, a pak pro obecnýpřípad s použitím rozkladu jedničky a lokálních souřadnic.Lemma 3.31. Existuje rozšiřující operátor P : W 1,p (R N + ) → W 1,p (R N ), který vznikne zrcadlením:{︃(P u)(x ′ u(x ′ , x N ) pro x N > 0,, x N ) =u(x ′ , −x N ) pro x N < 0.Operátor P je navíc lineární a spojitý, platíObsah190. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖P u‖ Lp (R N ) ≦ 2‖u‖ Lp (R +N ),‖P u‖ W 1,p (R N ) ≦ 2‖u‖ W 1,p (R +N ).Důkaz. Zřejmě P u ∈ L p (R N ) a(︂∫︁R N |P u(x)| p dx)︂ 1p(︃ ∫︁= 2R +N|u(x)| p dx)︃ 1p= 2 1 p ‖u‖Lp (R +N ) ≦ 2‖u‖ Lp (R +N ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Dokážeme, žekde operátor S definujeme(︂ )︂∂∂∂∂u(P u) = P∂∂x i ∂∂x i(︂ )︂∂∂∂∂u(P u) = S ,∂∂x N ∂∂x N(Sv)(x ′ , x N ) =pro i = 1, 2, . . . , N − 1,{︃v(x ′ , x N ) pro x N > 0,−v(x ′ , −x N ) pro x N ≦ 0.Dále potřebujeme zavést funkci oříznutí (na oblast). Nechť η ∈ C ∞ (R) splňuje{︃0 pro t < 1η(t) =2 ,1 pro t > 1.⟨ ⟩Označme η k (t) def= η(kt) pro k ∈ N * . Pro dané φ ∈ D(R N ∂∂) nyní spočítejme∂∂x i(P u), φ(a) Nejprve vezměme 1 ≦ i ≦ N − 1. Podle definice⟨ ⟩∂∂(P u), φ∂∂x iPodle definice P dále∫︁R N P u ∂∂φ∂∂x idx =(D ′ (R N ),D(R N ))∫︁R N−1 dx ′ ∫︁(D ′ ,D)∫︁= − P u ∂∂φ dx. (3.10)R ∂∂x N iu(x ′ , x N ) ∂∂φ (x ′ , x N )dx NR ∂∂x∫︁+ i+ dx∫︁R ′ u(x ′ , −x N ) ∂∂φ (x ′ , x N )dx NN−1 R ∂∂x∫︁− i=R +Nu(x) ∂∂ψ∂∂x idx, (3.11):Obsah191. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde ψ(x ′ , x N ) def= φ(x ′ , x N ) + φ(x ′ , −x N ).Protože ale ψ nepatří do D(R + N ), potřebujeme nyní použít metodu oříznutí.Vezměme testovací funkci (η k ψ)(x ′ , x N ) = η k (x N )ψ(x ′ , x N ). Protože η k ψ patří do D(R N + ) au ∈ W 1,p (R N + ), máme∫︁u ∂∂∫︁∂∂u(η k ψ)dx = − η k ψdx.R N +∂∂x i R N +∂∂x iKdyž si uvědomíme, že∂∂∂∂ψ∂∂x i(η k ψ) = η k ∂∂x i∫︁∫︁∂∂ψuη k dx = −∂∂x iR +N(protože uvažujeme 1 ≦ i ≦ N − 1), dostanemeR +N∂∂u∂∂x iη k ψdx.Nyní přejdeme k limitě pro k → +∞. Z Lebesguovy věty (o dominantní konvergenci) pakplyne∫︁u ∂∂ψ ∫︁∂∂udx = − ψdx. (3.12)R N +∂∂x i R N +∂∂x iKombinací (3.10), (3.11) a (3.12) dostávámeTedy∂∂∂∂x i(P u) = P⟨ ⟩ ∫︁∂∂(P u), φ =∂∂x i∫︁=(︁)︁∂∂u∂∂x i∫︁=R +NR +NR N P∂∂uψdx∂∂x i∫︁∂∂uφ(x ′ , x N )dx +∂∂x i(︂ )︂ ∂∂uφdx.∂∂x ipro i = 1, 2, . . . , N − 1.R +N∂∂u∂∂x iφ(x ′ , −x N )dxObsah192. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(b) Nyní vezměme i = N a počítejme∫︁P u ∂∂φ∫︁dx = dxR ∂∂x N N∫︁R ′ u(x ′ , x N ) ∂∂φ (x ′ , x N )dx NN−1 R ∂∂x∫︁+ N+ dx∫︁R ′ u(x ′ , −x N ) ∂∂φ (x ′ , x N )dx N .N−1 R ∂∂x − NDále platí∫︁R − u(x ′ , −x N ) ∂∂φ∂∂x N(x ′ , x N )dx N =∫︁u(x ′ ∂∂, x N ) (φ(x ′ , −x N ))dx N .R ∂∂x + NOznačme χ(x ′ , x N ) def= φ(x ′ , x N ) − φ(x ′ , −x N ). Potom∫︁P u ∂∂φ ∫︁dx =R ∂∂x N Nu ∂∂χ dx.∂∂x N(3.13)R +NProtože χ(x ′ , 0) = 0, existuje konstanta M > 0 taková, že|χ(x ′ , x N )| ≦ M|x N | pro |x N | ≦ R, kde supp φ ⊂ B(0, R).Obsah193. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pomocí funkce oříznutí η k (platí η k χ ∈ D(R N + )), dostaneme obdobně jako výše∫︁u∂∂∫︁∂∂u(η k χ)dx = − η k χdx.∂∂x N ∂∂x NR +NR +NPřitoma∂∂∂∂χ(η k χ) = η k + η∂∂x N ∂∂xkχ′Nη k(x ′ N ) = kη ′ (kx N ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tudíž∫︁R +N∫︁∂∂uη k χdx = −∂∂x N R N +∫︁∂∂χuη k dx −∂∂x NR +Nukη ′ (kx N )χ(x ′ , x N )dx. (3.14)Nyní přejdeme k limitě pro k → +∞. Podle Lebesguovy věty∫︁∫︁R +NR +N∫︁∂∂uη k χdx →∂∂x N∫︁∂∂χuη k dx →∂∂x Na poslední integrál v (3.14) lze shora odhadnout∫︁⃒R +NR +NR +N∫︁kuη ′ (kx N )χ(x ′ , x N )dx⃒ ≦ kMC ∫︁≦ MC∂∂u∂∂x Nχdx,u ∂∂χ∂∂x Ndx0

a tedy podle (3.13)∫︁P u ∂∂φ ∫︁dx = −R ∂∂x N N∫︁= −tj.∫︁= −∫︁= −R +NR +NR +NR N S∂∂u∂∂x Nχdx∂∂u(φ(x ′ , x N ) − φ(x ′ , −x N ))dx∂∂x N∫︁ (︂ )︂∂∂u∂∂uφdx +(x ′ , −x N )φdx∂∂x N R N −∂∂x N(︂ )︂ ∂∂uφdx,∂∂x N(︂ )︂∂∂∂∂u(P u) = S .∂∂x N ∂∂x NNyní uvažujme obecně otevřenou omezenou množinu Ω ⊂ R N třídy C 1 . Použijeme rozkladjedničky. Existuje konečný počet otevřených množin G 0 , G 1 , . . . , G k takových, že Ω ⊂ ⋃︀ ki=0 G i aG 0 ⊂ Ω a dále pro každé i = 1, 2, . . . , k existuje soustava lokálních souřadnic φ i : B(0, 1) → G i .Zavedeme si rozklad jedničky vzhledem k otevřenému pokrytí {G 0 , G 1 , . . . , G k } kompaktní množinyΩ: existuje {α 0 , α 1 , . . . , α k }, kde α i ∈ D(G i ), 0 ≦ i ≦ k apotřebné k důkazu Věty 3.30.Důkaz Věty 3.30. Mějme v ∈ W 1,p (Ω). Protože 1 = k ∑︀v =(︃ k∑︁i=0α i)︃v =k∑︁α i v =i=0i=0k∑︁v i ,i=0k ∑︀i=0α i na Ω, platíkde v i = α i v.α i = 1 na Ω. Nyní máme všeObsah195. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nyní rozšíříme každou z funkcí v i na celé R N . Musíme odlišit případ i = 0 od případu i ≧ 1.(a) Rozšíření v 0 . Přirozeným rozšířením je{︃v 0 (x) pro x ∈ Ω,̃︀v 0 (x) =0 pro x ∈ R N ∖ Ω.Snadno ověříme, žepatří do L p (R N ), a tedy ̃︀v 0 ∈ W 1,p (R N ).∂∂∂∂x i˜v 0 = α 0̃︂∂∂v∂∂x i+ ∂∂α 0∂∂x ĩ︀v(b) Rozšíření v i , 1 ≦ i ≦ k. Pomocí lokálních souřadnic φ i na G i definujeme pro 1 ≦ i ≦ k{︃def v i ∘ φ i na B + ,w i =0 na R N + ∖ B + .Tato funkce patří do W 1,p (R + N ). Aplikací operátoru rozšíření zrcadlením P (viz Lemma 3.31)dostanemeP w i ∈ W 1,p (R N ), přičemž supp P w i ⊂ B(0, 1).Nyní se vrátíme k množině G i tím, že budeme uvažovat P w i ∘ φ −1i . Definujeme{︃def P w i ∘ φ −1i na G i ,^v i =0 na R N ∖ G i .∑︀Protože v = k v i a protože hledáme lineární rozšiřující operátor, položímei=0P v = ̃︀v 0 +k∑︁^v i .i=1Obsah196. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Snadno ověříme, že P v se shoduje s v na Ω a protože uvedená konstrukce sestává ze spojitých operacína W 1,p , je spojitý i operátor P .Jako přímý důsledek Věty 3.30 dostáváme následující tvrzení, kde značímeD(Ω) = {v| Ω : v ∈ D(R N )} .Propozice 3.32. Nechť Ω je otevřená omezená podmnožina R ND(Ω) je hustá podmnožina W 1,p (Ω) (1 ≦ p < +∞).třídy C 1 , nebo Ω = R + N . PakDůkaz. Nechť v ∈ W 1,p (Ω). Podle Věty 3.30 je P v ∈ W 1,p (R N ). Z hustoty D(R N ) ve W 1,p (R N )(viz [3, Theorem 5.1.3]) plyne, že existuje posloupnost (v n ) n∈N v D(R N n→+∞) taková, že v n −→ P v veW 1,p (R N ). Potom v n | Ω ∈ D(Ω) a v n | Ω → P v| Ω = v ve W 1,p (Ω).V případě Ω = R N + lze tvrzení dokázat pomocí oříznutí (viz [5, Corollary IX.8]).Dalším důležitým důsledkem Věty 3.30 je Rellichova-Kondrachovova věta o kompaktním vnořeníW 1,p (Ω).Věta 3.33. Něchť Ω je omezená otevřená podmnožina R N třídy C 1 . Je-li 1 ≦ p ≦ +∞, pakkanonické vnoření W 1,p (Ω) → L p (Ω) je kompaktní.Důkaz. Nechť (v n ) n∈N je omezená posloupnost ve W 1,p (Ω). Podle Věty 3.30 je posloupnost (P (v n ))omezená ve W 1,p (R N ). Díky omezenosti Ω existuje konstanta R > 0 taková, že Ω ⊂ B(0, R). Zvolmeα ∈ D(R N ) tak, aby α = 1 na B(0, R) a α = 0 na R N ∖ B(0, 2R). Posloupnost (αP (v n )) n∈N je tedyomezená ve W 1,p (R N ) a identicky rovna nule na R N ∖ B(0, 2R). Z Rellichovy-Kondrachovovy větyve W 1,p (R N ) (srov. Důsledek 3.28) pak plyne, že posloupnost (αP (v n )) n∈N je relativně kompaktnív L p (R N ). Nechť αP (v nk ) → v v L p (R N ). PotomObsah197. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮αP (v nk )| Ω → v| Ω v L p (Ω).Protože αP (v nk )| Ω = v nk , máme v nk → v| Ω v L p (Ω). Rellichovu-Kondrachovovu větu ve W 1,p (Ω) použijeme v důkazu následujícího tvrzení.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 3.34. Nechť Ω je omezená otevřená souvislá podmnožina R N třídy C 1 . Buď V ⊂ W 1,puzavřený lineární podprostor W 1,p (Ω) takový, že jedinou konstatní funkcí, patřící do V , je funkceidenticky nulová. Pak existuje konstanta C > 0 taková, že(︃ ∫︁ N∑︁⃒ ‖v‖ Lp (Ω) ≦ C∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dxΩ ∂∂x ii=1)︃ 1 p∀v ∈ V.Důkaz provedeme sporem. Nechť existuje posloupnost (v n ) n∈N ve V , v n ≢ 0 taková, že‖v n ‖ L p > n‖Dv n ‖ L p,(︂ N∑︀ ⃒kde Dv def)︂ = ⃒ ∂∂v ⃒⃒p 1 pdef v∂∂x i. Označme u n = n‖v . Máme tedy u n‖ L p n ∈ V (protože V je lineárníi=1podprostor), ‖u n ‖ L p = 1 a ‖Du n ‖ L p < 1 n, takže lim ‖Du n‖ L p = 0. Posloupnost (u n ) n∈N jen→+∞omezená ve W 1,p (Ω), takže podle Rellichovy-Kondrachovovy věty je relativně kompaktní podmnožinouL p (Ω). Můžeme z ní tudíž vybrat podposloupnost (u nk ) k∈N takovou, žeu nk→ u v L p (Ω).Obsah198. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮ProtožeDu nk→ 0 v L p (Ω),máme Du = 0. Množina Ω je souvislá, je tedy u ≡ C au nk→ C ve W 1,p (Ω).Dále V je uzavřená ve W 1,p (Ω), takže C patří do V , a tedy podle předpokladu věty musí být C = 0.Na druhou stranu, protože ‖u nk ‖ L p = 1 a u nk → C v L p , máme |C||Ω| 1 p = 1, což je spor s C = 0.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důsledek 3.35 (Poincarého-Wirtingerova nerovnost). Nechť Ω splňuje předpoklady Věty 3.34.Potom existuje konstanta C p > 0 taková, že⃦ v − 1 ∫︁v(x)dx|Ω| ⃦ ≦ C p ‖Dv‖ L p (Ω) ∀v ∈ W 1,p (Ω).L p (Ω)ΩDůkaz. Označme V def= {v ∈ W 1,p (Ω) : ∫︀ v(x)dx = 0}. Zřejmě platí, že V je uzavřený lineárníΩpodprostor W 1,p (Ω) a jedinou konstantní ∫︀ funkcí, patřící do V , je funkce identicky nulová. Tvrzenítedy plyne z Věty 3.34, jelikož v − 1|Ω| Ω v dx patří do V pro libovolné v ∈ W 1,p (Ω).Obsah199. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.4. Sobolevovy prostory pomocí Fourierovy transformace.Prostor H s (Ω), s ∈ RUvedeme popis prostoru H 1 (R N ) s využitím Fourierovy transformace. Připomínáme, že pro funkciv ∈ L 1 (R N ) je její Fourierova transformace ^v definovaná vztahem^v(ξ) def=∫︁1(2π) N/2R N e −iξx v(x)dx. (3.15)Lze ukázat, že ^v patří do C 0 (R N ). Pokud ^v ∈ L 1 (R N ), lze Fourierovu transformaci obrátit a získatv pomocí následujícího vztahu.∫︁1v(x) =e iξx^v(ξ)dξ. (3.16)(2π) N/2 R NProtože s podmínkou ^v ∈ L 1 (R N ) se ne vždy dobře pracuje, je často výhodnější používat následujícíFourierovu-Plancherelovu transformaci.Základní vlastností je, že pokud v ∈ L 1 (R N ) ∩ L 2 (R N ), potom ^v ∈ L 2 (R N ) a platí‖^v‖ L 2 (R N ) = ‖v‖ L 2 (R N ). (3.17)Pozor! Lebesguova míra R N je nekonečná, a proto L 2 (R N ) není podprostor L 1 (R N ) a nelze přímodefinovat ^v pro v ∈ L 2 (R N ) pomocí vzorce (3.15). Nicméně pokud v ∈ L 1 ∩ L 2 , potom (3.15) másmysl a (3.17) říká, že v ↦→ ^v je izometrie vzhledem k L 2 normě.Protože L 1 ∩L 2 je hustá podmnožina L 2 (například všechny spojité funkce s kompaktním nosičempatří do L 1 ∩ L 2 ), lze Fourierovu transformaci rozšířit na celé L 2 . Takto získané zobrazení paknazýváme Fourierova-Planche/-/relova transformace a značíme ho F. Základní vlastnosti F shrnujenásledující tvrzení.Propozice 3.36. Existuje zobrazení F : L 2 (R N ) → L 2 (R N ) (nazývané Fourierova-Plancherelovatransformace) s následujícími vlastnostmi:Obsah200. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(i) Fv = ^v ∀v ∈ L 1 (R N ) ∩ L 2 (R N ).(ii) ‖Fv‖ L2 (R N ) = ‖v‖ L2 (R N ) ∀v ∈ L 2 (R N ).(iii) Zobrazení F je izometrický izomorfizmus L 2 (R N ) na L 2 (R N ).(iv) Pokud pro v ∈ L 2 (R N ) a všechna n ∈ N označímew n (ξ) def=1(2π) N/2 ∫︁|x|≦npotom pro n → +∞ máme w n → Fv v L 2 (R N ).e −iξx v(x)dx,(v) Naopak, vezmeme-li v ∈ L 2 (R N ) a pro všechna n ∈ N označímev n (x) def=1(2π) N/2 ∫︁|ξ|≦npotom pro n → +∞ máme v n → v v L 2 (R N ).e iξx F(v)(ξ)dξ,Obsah201. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Nyní můžeme dokázat následující charakterizaci Sobolevova prostoru H 1 (R N ).Věta 3.37. PlatíH 1 (R N ) ={︁}︁v ∈ L 2 (R N ) : (1 + |ξ| 2 ) 1 2 F(v) ∈ L 2 (R N ) .Navíc pro libovolné v ∈ H 1 (R N ) máme‖v‖ H1 (R N ) =⃦⃦⃦(1 + |ξ| 2 ) 1 ⃦⃦L22 F(v) .(R N )Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Nejprve vezměme v ∈ D(R N ). Podle definicê︂∂∂v∂∂x k(ξ) = 1(2π) N 2∫︁−iξx ∂∂veR N∂∂x k(x)dx.Na uvedený integrál použijeme integraci per partes. Protože v má kompaktní nosič, dostanemê︂∂∂v∂∂x k(ξ) = (iξ k )^v(ξ),k ∈ {1, 2, . . . , N}. Nyní využijeme hustotu D(R N ) v H 1 (R N ) (viz [3, Theorem 5.1.3]). Pro libovolnév ∈ H 1 (R N ) existuje posloupnost (v n ) n∈N prvků z D(R N ) taková, že v n → v v normě prostoruH 1 (R N ). Tudíž pro každé n ∈ N̂︂∂∂v n∂∂x k(ξ) = (iξ k )^v n (ξ).Protože Fourierova-Plancherelova transformace je pro funkce z D(R N ) totožná s klasickou Fourierovoutransformací, máme rovněž(︂ )︂ ∂∂vnF (ξ) = (iξ k )F(v n )(ξ). (3.18)∂∂x kObsah202. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Protože v n → v v normě H 1 (R N ), máme v n → v v L 2 (R N ) a ∂∂vn∂∂x kv L 2 (R N ). S využitímspojitosti F vzhledem k normě L 2 (R N ) přejdeme nyní ve vztahu (3.18) k limitám. Existuje tedypodposloupnost n p taková, že pro p → +∞ máme→ ∂∂v∂∂x kF(v np )(ξ) → F(v)(ξ)pro skoro všechna ξ ∈ R N a(︂ )︂ (︂ )︂∂∂vnp∂∂vF (ξ) → F (ξ) pro skoro všechna ξ ∈ R N ,∂∂x k ∂∂x kZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a tudížFOdtud a z izometrie F v L 2 (R N ) plyne, žeDále platív ∈ H 1 (R N )(︂ ∂∂v∂∂x k)︂(ξ) = (iξ k )F(v)(ξ) pro skoro všechna ξ ∈ R N .⇐⇒ F(v) ∈ L 2 (R N ) a iξ k F(v) ∈ L 2 (R N ) ∀k ∈ {1, 2, . . . , N}⇐⇒ (1 + |ξ| 2 ) 1 2 F(v) ∈ L 2 (R N ).a tím je důkaz hotov.N∑︁(︂ )︂ 2 ∂∂v‖v‖ 2 H 1 (R N )∫︁R = v 2 (x) +(x)dx∂∂x N kk=1(︃N∑︁(︂ )︂= |F(v)(ξ)|∫︁R 2 +∂∂v⃒ F )︃(ξ) ⃒ dξ∂∂x⃒2 N kk=1∫︁= (1 + |ξ| 2 )|F(v)(ξ)| 2 dξR N= ‖(1 + |ξ| 2 ) 1 2 F(v)‖2L 2 (R N ) ,Uvedená charakterizace prostoru H 1 (R N ), využívající Fourierovu-Plancherelovu transformaci, jevelmi užitečná. Lze pomocí ní elegantně získat mnoho důležitých vlastností Sobolevových prostorů.Nejprve ukážeme, jak lze získat Rellichovu-Kondrachovovu větu.Věta 3.38 (alternativní důkaz Rellichovy-Kondrachovovy věty). Nechť Ω je omezená otevřenápodmnožina R N s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Potom je vnoření H 1 (Ω) do L 2 (Ω) kompaktní.Obsah203. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Mějme posloupnost (v n ) n∈N prvků z H 1 (Ω), která je omezená v normě prostoru H 1 (Ω), tj.‖v n ‖ H1 (Ω) < +∞. Díky existenci operátoru rozšíření P z Věty 3.30, který je lineární a spojitýsupn∈Nz H 1 (Ω) do H 1 (R N ), a díky možnosti využití metody oříznutí (Ω je omezená) můžeme předpokládat,že posloupnost v n je omezená v H 1 (R N ) a v n ≡ 0 vně nějaké koule B(0, R) (kde R nezávisí na n ∈ N).Jelikož je posloupnost (v n ) n∈N omezená v L 2 (R N ), má slabě konvergentní podposloupnostv nk ⇀ v v L 2 (R N ),k → +∞. Dokážeme, že stejnoměrné omezení normy prvků v nk v prostoru H 1 (R N ) zaručuje, že tatokonvergence v L 2 (R N ) je dokonce silná. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v = 0 (v nklze nahradit v nk − v).Pro jednoduchost budeme psát v k místo v nk . Mámev k ⇀ 0 v L 2 (R N ), (3.19)v k ≡ 0vně B(0, R),sup ‖v k ‖ H 1 (R N ) < +∞k∈NObsah204. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a chceme dokázat, že v k → 0 v L 2 (R N ). K tomu použijeme Fourierovy-Plancherelovu transformacia její vlastnost, že je izometrií L 2 (R N ) na L 2 (R N ). Potřebujeme dokázat, že‖F(v k )‖ L 2 (R N ) → 0,k → +∞,přičemž víme (viz Věta 3.37), že= sup ‖(1 + |ξ| 2 ) 1 2 F(vk )‖ L2 (R N ) < +∞.C defk∈NZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Pro M > 0 můžeme psát∫︁∫︁|F(v k )(ξ)| 2 dξ =R N ∫︁≦|ξ|≦M|ξ|≦M∫︁1+1 + M 2∫︁≦|ξ|≦M∫︁|F(v k )(ξ)| 2 dξ + |F(v k )(ξ)| 2 dξ|ξ|≧M|F(v k )(ξ)| 2 dξR N (1 + |ξ| 2 ) 1 2 |F(vk )(ξ)| 2 dξ|F(v k )(ξ)| 2 dξ +C21 + M 2 . (3.20)Na druhou stranu, protože v k ≡ 0 vně B(0, R), máme v k ∈ L 2 (R N ) ∩ L 1 (R N ) a F(v k ) = ^v k , tj.∫︁1F(v k )(ξ) =e −iξx v(2π) N/2 k (x)dxR∫︁N1=χ(2π) N/2 B(0,R) (x)e −iξx v k (x)dx.R NPro libovolné ξ ∈ R N patří funkce x ↦→ χ B(0,R) (x)e −iξx do L 2 (R N ).Využijeme-li (3.19), dostanemeObsah205. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀ξ ∈ R N F(v k )(ξ) → 0 pro k → +∞. (3.21)Abychom mohli použít Lebesguovu větu (o dominantní konvergenci), všimneme si, že díky Cauchyho--Schwarzově nerovnosti platíkde |B(0, R)| je Lebesguova míra koule B(0, R).|F(v k )(ξ)| 2 ≦ 1(2π) N ‖v k‖ 2 L 2 (R N )|B(0, R)|, (3.22)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z (3.21) a (3.22) dostáváme∫︁|ξ|≦MVrátíme-li se k (3.20), plyne nyní z (3.23), že|F(v k )(ξ)| 2 dξ → 0 pro k → +∞. (3.23)lim sup |F(v k )(ξ)|k→+∞∫︁R 2 dξ ≦ C21 + M 2 .NTato nerovnost platí pro libovolně velké M, takže pro M → +∞ konečně dostávámelim ‖F(v k)‖ L2 (Rk→+∞ N ) = 0,a tím je důkaz proveden.Charakterizaci prostoru H 1 (R N ) pomocí Fourierovy-Plancherelovy transformace lze snadno rozšířitna Sobolevovy prostory vyššího řádu H m (R N ), m ∈ N.Věta 3.39. Pro libovolné m ∈ N platíH m (R N ) = {︀ v ∈ L 2 (R N ) : (1 + |ξ| 2 ) m 2 F(v) ∈ L 2 (R N ) }︀Obsah206. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a pro každé v ∈ H m (R N ) pak‖v‖ H m (R N ) = ⃦ ⃦ (1 + |ξ| 2 ) m 2 F(v)⃦⃦L 2 (R N ) .Hlavním důvodem, proč zde tuto charakterizaci Sobolevových prostorů uvádíme, je, že námnabízí přirozenou definici prostoru H s (R N ) i pro jiné hodnoty s, než přirozená čísla. Zde s můžebýt i zlomek či obecně reálné číslo, nemusí být ani kladné. Důvodem je to, že požadavek konečnostiintegrálu∫︁R N (1 + |ξ| 2 ) s |F(v)(ξ)| 2 dξZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

má smysl pro libovolné s ∈ R, protože mocnina a s má smysl pro libovolné s ∈ R, pokud a > 0 (zdea = 1 + |ξ| 2 ≧ 1 > 0).Tím se dostáváme k následující definici.Definice 3.40. Nechť s ≧ 0 je nezáporné reálné číslo. Definujeme prostorH s (R N ) def= {︀ v ∈ L 2 (R N ) : (1 + |ξ| 2 ) s 2 F(v) ∈ L 2 (R N ) }︀se skalárním součinem, který pro všechna u, v ∈ H s (R N ) definujeme∫︁def⟨u, v⟩ H s (R N ) = (1 + |ξ| 2 ) s F(u)(ξ)F(v)(ξ)dξ,R Na příslušnou normou‖v‖ H s (R N )(︂∫︁)︂ 1def= (1 + |ξ| 2 ) s |F(v)(ξ)| 2 2dξ .R NNásledující tvrzení shrnuje některé základní vlastnosti Sobolevových prostorů H s (R N ).Propozice 3.41. Pro libovolné s ∈ R + je H s (R N ) Hilbertův prostor. Je-li s = m ∈ N, pakH s (R N ) = H m (R N ) = W m,2 (R N ) je klasický Sobolevův prostor.Důkaz. Zřejmě F je izomorfizmus prostoru H s (R N ) na váhový Lebesgův prostor L 2 (adξ), kde adξje míra s hustotou a(ξ) = (1 + |ξ| 2 ) s vzhledem k Lebesguově míře dξ na R N . Navíc je F izometrie, atudíž se hilbertovská struktura váhového Lebesguova prostoru L 2 (adξ) přenáší Fourierovým-Plancherelovýmzobrazením F i do prostoru H s (R N ). Máme tedyObsah207. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮H s (R N ) ∼ = L 2 ((1 + |ξ| 2 ) s dξ)(izomorfizmus),a tím je důkaz hotov.V souladu s definicí H −1 (Ω) jako topologického duálního prostoru k H 1 0 (Ω) definujeme H −s (R N )pro s ≧ 0 následujícím způsobem.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Definice 3.42. Nechť s je nezáporné reálné číslo. Definujemetj. topologický duální prostor k H s (R N ).H −s (R N ) def= H s (R N ) * ,Obsah208. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.5. Kvíz - Sobolevovy prostory, základní teorieSobolevovy prostory1. Funkce u je prvkem prostoru W 1,2 (0, 1), jestliže u∈L 2 (0, 1) a zároveňklasická derivace u ′ ∈L 2 (0, 1)1∫︀01∫︀uφ ′ dx=− u ′ φ dx ∀φ∈L 2 (0, 1)01∫︀∃g ∈L 2 (0, 1) :01∫︀∃g ∈L 2 (0, 1) :01∫︀uφ ′ dx=− gφ dx ∀φ∈D(0, 1)01∫︀uφ ′ dx=− gφ dx ∀φ∈C ∞ (0, 1)02. Funkce u je prvkem prostoru W 1,20 (0, 1), jestliže existuje posloupnost funkcí {u n } z prostoruC ∞ (0, 1) taková, že ‖u−u n‖ W 1,2 (0,1) →0Obsah209. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮D(0, 1) taková, že ‖u−u n‖ L 2 (0,1) →0C ∞ (0, 1) taková, že ‖u−u n‖ W 1,2 (0,1) →0D(0, 1) taková, že ‖u−u n‖ W 1,2 (0,1) →0Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3. Pro každé 1 ≦ p < ∞ existuje konstanta C p (a, b), závisející pouze na p, a, b, taková, že(︁ ∫︀b|u(x)| p dxa(︁ ∫︀b|u(x)| p dxa(︁ ∫︀b|u(x)| p dxa)︁ 1 (︁p∫︀b≦C pa)︁ 1 (︁p∫︀b≦C pa)︁ 1 (︁p∫︀b≦C pa)︁ 1|u ′ (x)| p pdx ∀u∈W 1,20 (0, 1))︁ 1|u ′ (x)| p′ pdx′ ∀u∈W 1,20 (0, 1))︁ 1|u ′ (x)| p′ pdx′ ∀u∈C 1 (0, 1)(︁ ∫︀b)︁ 1 (︁|u(x)| p p ∫︀b1dx ≦C p |u ′ (x)| p pdx)︁∀u∈C 1 (0, 1)aa4. Nechť Ω je omezená podmnožina R N a M je podmnožina prostoru W 1,p0 (Ω), potomjestliže M je uzavřená, tak je kompaktní podmnožina L p (Ω).Obsahjestliže M je omezená, tak je relativně kompaktní v L p (Ω).jestliže M je omezená, tak je kompaktní v L p (Ω).210. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮jestliže M je uzavřená, tak je relativně kompaktní v L p (Ω).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5. Jestliže Ω ⊂ R N jekompaktní,otevřená, omezená, třídy C 1 ,omezená, třídy C 1 ,otevřená, omezená, se spojitou hranicí,pak existuje rozšiřující operátor P : W 1,p (Ω) → W 1,p0 (R N ), který je lineární a spojitý.6. Nechť podmnožina Ω ⊂ R N je omezená otevřená souvislá třídy C 1 , potom existuje konstanta ctaková, že‖v‖ L p (Ω) ≦c‖Dv‖ L p (Ω) ∀v ∈W 1,p (Ω)‖v‖ L p (Ω) ≦c‖Dv‖ C 1 (Ω) ∀v ∈W 1,p (Ω)‖v‖ L p (Ω) ≦c‖Dv‖ L p (Ω) ∀v ∈W 1,p (Ω) takové, že ∫︀ v(x) dx = 0ΩObsah211. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖v‖ C 1 (Ω) ≦c‖Dv‖ L p (Ω) ∀v ∈W 1,p (Ω) takové, že ∫︀ v(x) dx = 0ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

7. Pro Fourierovu-Plancherelovu transformaci F : L 2 (R N ) → L 2 (R N ) neplatí∫︀ e −iξx v(x)dx → F(v) v (2π) N/2 L2 (R N )|x|≦n∫︀ e iξx F(v)(ξ)dξ →v v L 2 (R N )(2π) N/2 |x|≦n‖F(v)‖ L 2 (R N ) = ‖v‖ L 2 (R N ) ∀v ∈L2 (R N )F(v)= ^v ∀v ∈L 2 (R N )8. Nechť v ∈ H 1 (R N ), pak(1+|ξ|) 1 2 F(v)∈L 2 (R N )(1+|ξ|) 1 2 F(v)∈L 1 (R N )(1+|ξ|)v ∈L 2 (R N )(1+|ξ|)v ∈L 1 (R N )Obsah212. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

9. Na prostoru H s (R N ) se definuje skalární součin funkcí u, v rovností ⟨u, v⟩ =∫︀R N (1+|ξ|) 1 2F(u)F(v)dξ∫︀R N (1+|ξ|) s 2F(u)F(v)dξ∫︀R N (1+|ξ|) s F(u)F(v)dξ∫︀R N (1+|ξ|) s 2 uv dξObsah213. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.6. Teorie stop pro prostory W 1,p (Ω)Abychom mohli studovat Dirichletovy okrajové úlohy variačními metodami, musíme nejprve vyřešitnásledující problém:„Je možné dát smysl okrajové podmínce v = g na ∂∂Ω pro libovolné v ∈ H 1 (Ω)?“Pokud bychom uvažovali o v pouze jako o prvku L 2 (Ω), neměli bychom zřejmě dostatečnou informaci,abychom mohli hovořit o v na ∂∂Ω, protože Lebesguova míra ∂∂Ω je nulová (je-li Ω dostatečněhladká). Chceme-li tedy dát smysl v na ∂∂Ω, musíme využít i další informaci o v, tj. že ∂∂v∂∂x ipatří doL 2 (Ω) pro všechna i = 1, . . . , N.Poznamenejme, že s výjimkou případu N = 1 není prostor H 1 (Ω) vnořen do prostoru spojitýchfunkcí C(Ω). Dokážeme, že pro obecné v ∈ W 1,p (Ω), 1 ≦ p ≦ +∞, je možné dát smysl v na ∂∂Ω,kterým je tzv. stopa v na ∂∂Ω. K tomu využijeme geometrických vlastností ∂∂Ω, konkrétně že ∂∂Ωje lokálně (N − 1)-rozměrná varieta. Při tom musí platit, že pro hladkou funkci v je stopa v na∂∂Ω totéž, co restrikce v na ∂∂Ω. Tím se přirozeně nabízí definovat pojem stopy pomocí hustoty aspojitého rozšíření.Věta 3.43. Nechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N , jejíž hranice ∂∂Ω je třídy C 1 . Pak prolibovolné 1 ≦ p < +∞ je D(Ω) hustá podmnožina W 1,p (Ω) a operátor restrikceγ 0 : D(Ω) → L p (∂∂Ω) : v ↦→ γ 0 (v) def= v| ∂∂Ω ,který každému v ∈ D(Ω) přiřazuje jeho restrikci na ∂∂Ω, lze rozšířit na spojité lineární zobrazení zW 1,p (Ω) do L p (∂∂Ω), které stále značíme γ 0 . (Lze též použít jednodušší označení v| ∂∂Ω .)Takto definované zobrazeníγ 0 : W 1,p (Ω) → L p (∂∂Ω)nazýváme operátor stop (řádu nula).Důkaz. Díky Propozici 3.32 a hladkosti hranice ∂∂Ω víme, že D(Ω) je hustá podmnožina W 1,p (Ω).Pro v ∈ D(Ω) můžeme bez jakékoli nejednoznačnosti definovat γ 0 (v) def= v| ∂∂Ω , tj. restrikci v na ∂∂Ω.Obsah214. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Předpokládejme na chvíli, že víme, že zobrazeníγ 0 : (D(Ω), ‖ · ‖ W 1,p (Ω)) → (L p (∂∂Ω), ‖ · ‖ L p (∂∂Ω))je spojité. Protože je γ 0 lineární, je potom také stejnoměrně spojité. Prostor L p (∂∂Ω) je Banachůvprostor (je úplný). Všechny předpoklady věty o spojitém rozšíření jsou tedy splněny, což zaručujeexistenci ^γ 0 ,^γ 0 : W 1,p (Ω) → L p (∂∂Ω),jednoznačného spojitého lineárního rozšíření γ 0 . Pro jednoduchost značíme takto definovaný operátor,který je hledaným operátorem stop, stále γ 0 .Jediné, co tedy potřebujeme dokázat, je spojitost γ 0 na D(Ω). K tomu budeme nejprve uvažovatpřípad poloprostoru Ω = R + N a pak použijeme lokální souřadnice.Lemma 3.44. Nechť Ω = R N + = {x = (x ′ , x N ) ∈ R N−1 × R : x N > 0}. Pak pro libovolné1 ≦ p < +∞ platí nerovnost∀v ∈ D(R +N ) ‖γ 0 (v)‖ L p (R N−1 ) ≦ p 1 p ‖v‖W 1,p (R + N ).Důkaz. Nechť v ∈ D(R +N ). Pro každé x ′ ∈ R N−1 mámeObsah215. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∫︁ +∞|v(x ′ , 0)| p ∂∂= − |v(x ′ , x N )| p dx N∂∂x N≦ p0∫︁ +∞0⃒ ⃒⃒⃒|v(x ′ , x N )| p−1 ∂∂v(x ′ , x N )∂∂x N⃒ dx N .Nyní použijeme Youngovu nerovnostab ≦ 1 p ap + 1 p ′ bp′ ,Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde 1 p + 1 p= 1, a kde zvolíme′a =∂∂v⃒ (x ′ , x N )∂∂x N⃒ a b = |v(x ′ , x N )| p−1 .Dostaneme∫︁ +∞(︂ p 1 |v(x ′ , 0)| p ≦ p∂∂v0 p ⃒ (x ′ , x N )∂∂x N⃒ + 1 )︂p ′ |v(x′ , x N )| (p−1)p′ dx N .S využitím vztahu (p − 1)p ′ = p získáme nerovnost∫︁ +∞∫︁ +∞p|v(x ′ , 0)| p ≦ (p − 1) |v(x ′ , x N )| p dx N +∂∂v⃒ (x ′ , x N )∂∂x N⃒ dx N .0Integrací přes R N−1 pak dostaneme∫︁∫︁∫︁p|v(x ′ , 0)| p dx ′ ≦ (p − 1) |v(x)| p dx +∂∂v⃒ (x)R N−1 R N + R N +∂∂x N⃒ dx∫︁∫︁ N∑︁⃒ ≦ (p − 1) |v(x)| p dx +∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dxR N + R N +∂∂xi=1 i∫︁ (︃N∑︁⃒ )︃≦ p |v(x)| p +∂∂v ⃒⃒⃒p⃒ dx.R N +∂∂x iTudíža důkaz je hotov.0i=1‖v(·, 0)‖ Lp (R N−1 ) ≦ p 1 p ‖v‖W 1,p (R +N )Důkaz Věty 3.43 (pokračování). Použijeme soustavu lokálních souřadnic. Při stejném značeníjako v Odstavci 3.3 mámek⋃︁Ω ⊂ G i , kde G 0 ⊂ Ω a G i je otevřená ∀i ∈ {0, . . . , k},i=0Obsah216. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a dále φ i : B(0, 1) → G i , i = 1, 2, . . . , k, jsou lokální souřadnice a {α 0 , . . . , α k } je příslušný rozkladjedničky, tj. α i ∈ D(G i ), α i ≧ 0 ak ∑︀i=0α i = 1 na Ω.Vezměme v ∈ D(Ω). Pro každé 1 ≦ i ≦ k definujemew idef={︃(α i v) ∘ φ i na B + ,0 na R + N ∖ B + .Protože w i zřejmě patří do D(R + N ), plyne z Lemmatu 3.44, že‖w i (·, 0)‖ Lp (R N−1 ) ≦ p 1 p ‖wi ‖ W 1,p (R +N ). (3.24)Pomocí klasických pravidel diferenciálnho počtu (všechny funkce α i , v, φ i jsou spojitě diferencovatelné)dostáváme existenci konstanty C i (i = 1, . . . , k) takové, žeZ nerovností (3.24) a (3.25) pak dostáváme‖w i ‖ W 1,p (R +N ) ≦ C i ‖v‖ W 1,p (Ω). (3.25)‖w i (·, 0)‖ L p (R N−1 ) ≦ C i p 1 p ‖v‖W 1,p (Ω). (3.26)Obsah217. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Nyní použijeme definici normy v prostoru L p (∂∂Ω), která využívá lokální souřadnice. Lze ukázat, žek normě v L p (∂∂Ω) můžeme vyjádřit ekvivalentní normu pomocí lokálních souřadnic. Označíme-li ̃︀·rozšíření nulou vně množiny {y ∈ R N−1 : |y| < 1}, platíL p (∂∂Ω) = {v : ∂∂Ω → R :˜ (αi v) ∘ φ i (·, 0) ∈ L p (R N−1 ), 1 ≦ i ≦ k}a(︃ k∑︁v ↦→ ‖(α ˜ i v) ∘ φ i ‖ p L p (R N−1 )i=1)︃ 1 pZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

je norma ekvivalentní s normou v L p (∂∂Ω).Tato definice normy v L p (∂∂Ω) a nerovnost (3.26) (máme w i =˜ (α i v) ∘ φ i ) dávají‖v‖ L p (∂∂Ω) ≦ C(p, N, Ω)‖v‖ W 1,p (Ω)pro nějakou konstantu C = C(p, N, Ω). Tím jsme dokázali spojitost γ 0 na D(Ω) a důkaz je hotov.Nyní dokážeme některé z nejdůležitějších vlastností operátoru stop γ 0 .Propozice 3.45. Předpokládejme, že Ω je omezená otevřená podmnožina R N , jejíž hranice je třídyC 1 . Pak pro libovolné 1 ≦ p < +∞ je prostor W 1,p0 (Ω) totožný s jádrem operátoru stop γ 0 , tj.W 1,p0 (Ω) = {v ∈ W 1,p (Ω) : γ 0 (v) = 0}.Důkaz. Začneme důkazem inkluze W 1,p0 (Ω) ⊂ Ker γ 0 .Vezměme v ∈ W 1,p0 (Ω). Podle definice W 1,p0 (Ω) existuje posloupnost funkcí (v n ) n∈N , v n ∈ D(Ω),taková, že v n → v v prostoru W 1,p (Ω). Protože γ 0 (v n ) = v n | ∂∂Ω = 0, plyne ze spojitosti γ 0 , žeγ 0 (v) = 0, tj. v ∈ Ker γ 0 .Důkaz opačné inkluze je náročnější, takže pouze naznačíme jeho základní body. Omezíme se přitom pouze na případ Ω = R N + , k případu libovolné omezené otevřené množiny Ω pak lze přejítpomocí lokálních souřadnic.Vezměme v ∈ W 1,p (R + N ) takové, že γ 0 (v) = 0. Dokážeme, že v ∈ W 1,p0 (R + N ). Nejprve rozšířímev nulou vně R + N . S využitím předpokladu γ 0 (v) = 0 lze ověřit, že takto získané rozšíření ˜v patří doW 1,p (R N ). Nyní zavedeme posunutí funkce ˜v. Pro h > 0 definujemeObsah218. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(τ h˜v)(x ′ , x N ) def= ˜v(x ′ , x N − h).Nakonec regularizujeme funkci τ h˜v pomocí konvoluce. Víme, že funkce konvoluce ρ ε * (τ h˜v) patří doD(R + N ) a ρ ε * (τ h˜v) → v v prostoru W 1,p (R + N ) pro h → 0+ a ε → 0+. Tudíž v ∈ W 1,p0 (R + N ). Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Propozice 3.46 (Greenova formule). Nechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N , jejíž hranice∂∂Ω je třídy C 1 . Potom pro libovolné u, v ∈ H 1 (Ω) a každé 1 ≦ i ≦ N platí∫︁∫︁∂∂uvdx = − u ∂∂v ∫︁dx + γ 0 (u)γ 0 (v)(⃗n ·⃗e i )dσ.∂∂x i ∂∂x iΩΩDůkaz. Začneme důkazem Greenovy formule pro hladké funkce u, v ∈ D(Ω). Vyjdeme z následujícírovnosti. Jsou-li reálná funkce u a vektorová funkce V ⃗ obě třídy C 1 , potom∫︁∫︁div(uV ⃗ )dx = u( V ⃗ · ⃗n)dσ.Ω∂∂Ω∂∂ΩZvolme V ⃗ = v⃗e i , tj. všechny složky V ⃗ jsou nulové vyjma i-té složky, která je rovna v. Dostaneme∫︁ (︂u ∂∂v + v ∂∂u )︂ ∫︁dx = uv(⃗n ·⃗e i )dσ.∂∂x i ∂∂x iΩNyní uvažujme libovolné u, v ∈ H 1 (Ω). Využijeme hustotu D(Ω) v H 1 (Ω).Podle Propozice 3.32 existují aproximující posloupnosti (u k ) k∈N a (v k ) k∈N prvků z D(Ω) takové,že u n → u a v n → v v prostoru H 1 (Ω). Pro každé k ∈ N platí∫︁ (︂)︂ ∫︁∂∂v k ∂∂u ku k + v k dx = u k v k (⃗n ·⃗e i )dσ. (3.27)∂∂x i ∂∂x iΩNyní využijeme Větu 3.43. Podle definice γ 0 a díky spojitosti γ 0 z H 1 (Ω) do L 2 (∂∂Ω) máme∂∂Ω∂∂ΩObsah219. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Tudížu k | ∂∂Ω → γ 0 (u) v L 2 (∂∂Ω),v k | ∂∂Ω → γ 0 (v) v L 2 (∂∂Ω).∫︁∫︁u k v k (⃗n ·⃗e i )dσ → γ 0 (u)γ 0 (v)(⃗n ·⃗e i )dσ.∂∂Ω∂∂ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Na levé straně rovnosti (3.27) lze snadno přejít k limitě, takže dostáváme∫︁ (︂u ∂∂v + v ∂∂u )︂ ∫︁dx = γ 0 (u)γ 0 (v)(⃗n ·⃗e i )dσ∂∂x i ∂∂x ia tím je důkaz proveden.Poznámka 3.47.Ω(a) Uvedený důkaz je návodem pro obecnou metodu důkazu Greenových formulí: začne se důkazempro hladké funkce a pak se přejde k limitě pomocí spojitosti operátoru stop.(b) Stejná formule platí i pro u ∈ W 1,p (Ω) a v ∈ W 1,q (Ω), kde 1 p + 1 q = 1.∂∂ΩNyní prozkoumáme prostor stop {γ 0 (v) : v ∈ W 1,p (Ω)}, tj. obor hodnot γ 0 . Díky Větě 3.43 víme,že je podmnožinou L p (∂∂Ω). Ukážeme, že obor hodnot γ 0 je vlastní podmnožinou L p (∂∂Ω). Přesnějiplatí γ 0 (v) ∈ W 1− 1 p ,p (∂∂Ω). Pro důkaz toho tvrzení se ale používají Sobolevovy prostory lomenéhořádu na varietách, takže je značně komplikovaný. Pro p = 2 ale máme i jiný, mnohem jednoduššídůkaz, který využívá definici Sobolevových prostorů pomocí Fourierovy transformace.Propozice 3.48 (obor hodnot γ 0 ). Nechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N , jejíž hranice∂∂Ω je třídy C 1 . Potom je operátor stop γ 0 lineární spojitý operátor, zobrazující H 1 (Ω) na H 1 2 (∂∂Ω).Důkaz. Prostor H 1 2 (∂∂Ω) je definován pomocí lokálních souřadnic. Potřebujeme tedy dokázat tototvrzení pouze pro Ω = R + N , tj. ∂∂Ω = R N−1 . Díky spojitosti operátoru zrcadlení P : H 1 (R ++ N ) → H 1 (R N ) (viz Lemma 3.31) nám stačí dokázat, že operátor stopObsah220. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮H 1 (R N ) → γ0H 1 2 (R N−1 )je spojitý. S využitím hustoty D(R N ) v H 1 (R N ) a definice γ 0 nakonec můžeme zredukovat celýdůkaz na důkaz existence konstanty C ≧ 0 takové, že pro všechna v ∈ D(R N ) platí‖v(·, 0)‖ H12 (R N−1 ) ≦ C‖v‖ H 1 (R N ). (3.28)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

K důkazu (3.28) použijeme Fourierovu transformaci, definovanou v Odstavci 3.4.Označíme-li m N = (2π) − N 2 x, máme∫︁F N (v)(ξ) = e −iξx v(x)dm N ,R Nkde F N značí Fourierovu transformaci v R N . Budeme používat obvyklé značeníx = (x ′ , x N ) ∈ R N−1 × R .Pro libovolné v ∈ D(R N ) dostaneme podle Fubiniho věty∫︁ (︂∫︁)︂F N (v)(x ′ , x N ) = e −ix N te −ix′y v(y, t)dm N−1 (y) dm 1 (t)RR N−1= F 1 (F N−1 v(x ′ , ·))(x N )vypočítejme normu γ 0 (v) v prostoru H 1 2 (R N−1 ). Máme= F N−1 (F 1 v(·, x N ))(x ′ ). (3.29)γ 0 (v)(x ′ ) = v(x ′ , 0) = ¯F 1 F 1 (v(x ′ , ·))(0),Obsah221. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde jsme použili vzorec pro inverzní Fourierovu transformaci (Propozice 3.36). Tudížγ 0 (v)(x ′ ) =∫︁ +∞−∞F 1 (v(x ′ , ·))(t)dt. (3.30)Na obě strany rovnosti (3.30) aplikujeme transformaci F N−1 a s využitím (3.29) dostávámeF N−1 (γ 0 (v))(x ′ ) =∫︁ +∞−∞(F N v)(x ′ , t)dt. (3.31)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z Věty 3.37 pak plyne∫︁‖v‖ H 1 (R N ) = (1 + |x| 2 )|(F N v)(x)| 2 dxR∫︁N= (1 + |x ′ | 2 + t 2 )|(F N v)(x ′ , t)| 2 dx ′ dt.R NDále přepíšeme (3.31) do tvaruF N−1 (γ 0 (v))(x ′ ) =∫︁ +∞−∞a použijeme Cauchyho-Schwarzovu nerovnost. Dostaneme|F N−1 (γ 0 (v))(x ′ )| 2≦∫︁ +∞−∞(F N v)(x ′ , t)(1 + |x ′ | 2 + t 2 ) 1 dt2(1 + |x ′ | 2 + t 2 ) 1 2|(F N v)(x ′ , t)| 2 (1 + |x ′ | 2 + t 2 )dtPomocí substituce t = (1 + |x ′ | 2 ) 1 2 s snadno vypočteme, že∫︁ +∞−∞Kombinací (3.32) a (3.33) dostaneme nerovnost|(1 + |x ′ | 2 ) 1 4 FN−1 (γ 0 (v))(x ′ )| 2 ≦ πIntegrací (3.34) přes R N−1 pak získáme∫︁∫︁ +∞−∞dt1 + |x ′ | 2 + t 2 . (3.32)dt1 + |x ′ | 2 + t 2 = π. (3.33)(1 + |x ′ | 2 ) 1 2∫︁ +∞−∞|(1 + |x ′ | 2 ) 1 4 FN−1 (γ 0 (v))(x ′ )| 2 dx ′R N−1 ∫︁≦ π |(F N v)(x ′ , t)| 2 (1 + |x ′ | 2 + t 2 )dx ′ dt.R N|(F N v)(x ′ , t)| 2 (1 + |x ′ | 2 + t 2 )dt. (3.34)Obsah222. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z Věty 3.37 a Definice 3.40 prostoru H 1 2tedy plyne‖γ 0 (v)‖ H12 (R N−1 ) ≦ √ π‖v‖ H 1 (R N ),což vyjadřuje spojitost γ 0 z H 1 (R N ) do H 1 2 (R N−1 ).Poznámka 3.49. Pokud v patří do W 2,p (Ω), pak lze analogicky dát smysl i derivaci podle jednotkovévnější normály ∂∂v∂∂n . V tom případě totiž ∇v ∈ W 1,p (Ω) N , a tedy stopa ∇v na ∂∂Ω patří doL p (∂∂Ω) N . Definujeme∂∂v def= γ 0 (∇v) · ⃗n,∂∂ncož patří do L p (∂∂Ω). Přesněji lze ukázat, že∂∂v∂∂n ∈ W 1− 1 p ,p (∂∂Ω).Pro p = 2 a v ∈ H 2 (Ω) máme ∂∂v∂∂n ∈ H 1 2 (∂∂Ω).Lze též dokázat, že operátor v ↦→ {︀ v| ∂∂Ω , ∂∂v∂∂n}︀, je lineární spojitý operátor, zobrazující W 2,p (Ω)na W 2− 1 p ,p (∂∂Ω) × W 1− 1 p ,p (∂∂Ω).Obsah223. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.7. Sobolevovy věty o vnořeníNechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N . V [3, Section 5.1, Theorem 5.1.1], je dokázáno, žekaždý prvek Sobolevova prostoru W 1,p (a, b), 1 ≦ p ≦ +∞, má spojitého reprezentanta. Pro prvkyprostoru W 1,2 (Ω) už to však neplatí, jakmile je dimenze prostoru N ≧ 2. Vyvstává tedy přirozeněotázka, zda existuje vztah mezi čísly m, p a N, který by zaručil, že W m,p (Ω) ˓→ C(Ω). Pozitivníodpověď na tuto otázku dává Sobolevova věta o vnoření (Věta 3.51, resp. Věta 3.65), která říká,že uvedené vnoření platí pro mp > N. Kromě toho ještě Sobolevova věta o vnoření říká, že i kdyžv ∈ W m,p (Ω) a mp < N, stále máme lepší informaci než pouze v ∈ L p (Ω), a to v ∈ L q (Ω), kde1q = 1 p − m N .Zdůrazněme, že Sobolevova věta o vnoření hraje podstatnou roli ve variačním přístupu k parciálnímdiferenciálním rovnicím, protože nám dává vztah mezi dvěma druhy prostorů: W m,p (Ω) aC k,α (Ω).Pro speciální případ p = 2 můžeme důkaz provést poměrně snadno pomocí Fourierovy-Plancherelovytransformace, zavedené v Odstavci 3.4.Věta 3.50. Nechť s > 0 splňuje 2s > N. Potom je prostor H s (R N ) spojitě vnořen do C(R N ).Důkaz. Připomeňme (Věta 3.37 a Definice 3.40), žev ∈ H s (R N ) ⇔ (1 + |ξ| 2 ) s 2 F(v) ∈ L 2 (R N ).Označme g def= (1 + |ξ| 2 ) s 2 F(v). Podle předpokladu g ∈ L 2 (R N ). Máme tedy F(v) = g(1 + |ξ| 2 ) − s 2a v = ¯F(Fv). Patří-li F(v) = g(1 + |ξ| 2 ) − s 2 do L 1 (R N ), pak je ¯F totožné s klasickou inverzníFourierovou transformací (3.16), a tedy v ∈ C(R N ). Protože g patří do L 2 (R N ), pak nám na to,aby funkce g(1 + |ξ| 2 ) − s 2 patřila do L 1 (R N ), stačí ukázat, že (1 + |ξ| 2 ) − s 2 patří do L 2 (R N ), tj.∫︀R N (1 + |ξ| 2 ) −s dξ < +∞. Dále platí∫︁R N∫︁dξ+∞(1 + |ξ| 2 ) s = c r N−1(1 + r 2 dr)s0Obsah224. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a poslední integrál je konečný právě tehdy, když 2s − (N − 1) > 1, tj. 2s > N.Nyní přistoupíme k obecnému případu 1 ≦ p ≦ +∞. Začneme vnořením prostoru W 1,p (Ω).Indukcí přes m pak odvodíme vnoření pro W m,p (Ω).Věta 3.51 (Sobolev). Nechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 .Uvažujeme prostor W 1,p (Ω), 1 ≦ p ≦ +∞. Pak platí následující tvrzení o spojitých vnořeních.(i) Pokud 1 ≦ p < N, pak W 1,p (Ω) ˓→ L p* (Ω), kde 1p *= 1 p − 1 N. Přesněji řečeno každý prvekv ∈ W 1,p (Ω) patří zároveň do L p* (Ω) a existuje konstanta C, závisející pouze na p, N a Ωtaková, že pro všechna v ∈ W 1,p (Ω) platí‖v‖ L p * (Ω) ≦ C‖v‖ W 1,p (Ω).(ii) Pokud p = N, potom W 1,p (Ω) ˓→ L q (Ω) pro libovolné 1 ≦ q < +∞.(iii) Je-li p > N, pak W 1,p (Ω) ˓→ C(Ω). Přesněji platí W 1,p (Ω) ˓→ C 0,α (Ω), kde α = 1 − N p , tj.každý prvek v ∈ W 1,p (Ω) má Hölderovsky spojitého reprezentanta s exponentem α a existujekonstanta C závisející pouze na p, N a Ω taková, že pro všechna v ∈ W 1,p (Ω) máme|v(x) − v(y)| ≦ C‖v‖ W 1,p (Ω)|x − y| α pro s. v. x, y ∈ Ω.Důkaz. Metoda důkazu je podobná metodě použité v Odstavci 3.3. Nejprve dokážeme spojitávnoření (i), (ii) a (iii) pro případ Ω = R N . Ve skutečnosti dostaneme ještě o trochu silnější tvzení,viz Věta 3.52 (Sobolev-Gagliardo-Nirenberg pro případ 1 ≦ p < N), Věta 3.60 (Morrey pro případp > N) a Věta 3.61 (pro hraniční případ p = N).Použijeme spojitý lineární rozšiřující operátorP : W 1,p (Ω) → W 1,p (R N ),jehož vlastnosti zachycuje Věta 3.30. Vezměme případ 1 ≦ p < N. Složení spojitých operátorůW 1,p (Ω) P → W 1,p (R N )Věta 3.52˓→L p* (R N ) r → L p* (Ω)Obsah225. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(kde r je operátor restrikce na Ω) je rovněž spojité a je to kanonické vnoření prostoru W 1,p (Ω) doL p* (Ω), což je identita. Stejně postupujeme i v případech p > N a p = N.Poznamenejme, že k použití metody rozšiřujícího operátoru, zavedeného Větou 3.30, potřebujemepředpoklad regularity množiny Ω, tj. předpokládáme, že hranice ∂∂Ω je třídy C 1 .Ve zbytku tohoto Ostavce budeme pracovat s celým prostorem R N .Případ 1 ≦ p < NVěta 3.52 (Sobolev-Gagliardo-Nirenberg). Nechť 1 ≦ p < N. Potom W 1,p (R N ) ˓→ L p* (R N ),kde 1p= 1 * p − 1 N. Přesněji řečeno existuje konstanta C = C(p, N) taková, že∀v ∈ W 1,p (R N ) ‖v‖ L p * (R N ) ≦ C‖∇v‖ Lp (R N ).Poznámka 3.53. Než začneme dokazovat Větu 3.52, ukážeme, že elementární homogenní transformacínezávisle proměnné můžeme získat přesnou hodnotu p * =pNN−p. Předpokládejme, že existujekonstanta C a nějaké 1 ≦ q < +∞ takové, že pro všechna v ∈ W 1,p (R N ) platí‖v‖ Lq (R N ) ≦ C‖∇v‖ Lp (R N ).Dokážeme, že pak nutně q = p * . V poslední nerovnosti vezměme místo v funkci v λ (x) def= v(λx), kdeλ > 0. Dostaneme(︂∫︁)︂ 1 (︂∫︁|v(λx)| q qdx ≦ CR NPomocí substituce y = λx získáme nerovnostkterou upravíme do tvaru1λ N q‖v‖ Lq (R N ) ≦ Cλ 1)︂ 1λ p |∇v(λx)| p dxR Nλ N p‖∇v‖ Lp (R N ),‖v‖ Lq (R N ) ≦ Cλ (1− N p + N q ) ‖∇v‖Lp (R N ).p.Obsah226. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tato nerovnost má ovšem smysl pouze v případě, že 1 − N p + N q= 0, tj. q = p* . Jinak bychom totižpro λ → 0+ v případě, že 1 − N p + N q > 0, resp. pro λ → +∞ v případě, že 1 − N p + N q< 0, dostali,že v = 0 skoro všude v celém R N , přestože v ∈ W 1,p (R N ) bylo libovolné, a to by byl spor.K důkazu Věty 3.52 budeme potřebovat následující lemma, jehož autorem je Gagliardo.Lemma 3.54. Nechť N ≧ 2 a g 1 , g 2 , . . . , g N ∈ L N−1 (R N−1 ). Potom g ∈ L 1 (R N ), kdeg(x) def= g 1 (˜x 1 )g 2 (˜x 2 ) . . . g N (˜x N )a platí‖g‖ L1 (R N ) ≦N∏︁‖g i ‖ L N−1 (R N−1 ).i=1Důkaz. Nerovnost je zřejmé pro N = 2. Důkaz provedeme indukcí, takže budeme předpokládat, ženerovnost platí až do nějakého N, a dokážeme ji pro N +1. Mějme tedy N +1 funkcí g 1 , g 2 , . . . , g N+1patřících do L N (R N ) a uvažujme funkci g, definovanou pro všechna x = (x 1 , x 2 , . . . , x N+1 ) ∈ R N+1předpisemg(x) def= g 1 (˜x 1 )g 2 (˜x 2 ) . . . g N+1 (˜x N+1 ) = [g 1 (˜x 1 ) . . . g N (˜x N )]g N+1 (˜x N+1 ).Obsah227. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Pro pevné x N+1 použijeme Hölderovu nerovnost∫︁R N |g(x)|dx 1 dx 2 . . . dx N≦ ‖g N+1 ‖ L N (R N )(︂∫︁R N |g 1 (˜x 1 ) . . . g N (˜x N )| N ′ dx 1 . . . dx N)︂ 1N ′ ,(3.35)kde N ′ def= NN−1 . Dále si všimněme, že funkce |g 1(˜x 1 )| N ′ , . . . , |g N (˜x N )| N ′ patří do L N−1 (R N−1 ).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Podle indukčního předpokadu∫︁R N |g 1 (˜x 1 ) . . . g N (˜x N )| N ′ dx 1 . . . dx N ≦Kombinací (3.35) a (3.36) pak dostaneme∫︁R N |g(x)|dx 1 . . . dx N ≦ ‖g N+1 ‖ LN (R N )Nyní opět uvažujme x N+1 a integrujme (3.37) přes R. Máme∫︁R N+1 |g(x)|dx 1 . . . dx N+1≦ ‖g N+1 ‖ LN (R N )∫︁R i=1N∏︁i=1‖g i (·, x N+1 )‖ N ′L N (R N−1 ) . (3.36)N∏︁‖g i (·, x N+1 )‖ LN (R N−1 ). (3.37)i=1N∏︁‖g i (·, x N+1 )‖ LN (R N−1 )dx N+1 .(3.38)Poznamenejme, že pro všechna i = 1, . . . , N patří ‖g i (·, x N+1 )‖ L N (R N−1 ) do L N (R). Použitím Hölderovynerovnosti na (3.38) pro 1 N + · · · + 1 N= 1 (N krát) dostanemetj.čímž je důkaz indukcí dokončen.Důkaz Věty 3.52.∫︁R N+1 |g(x)|dx 1 . . . dx N+1 ≦ ‖g N+1 ‖ L N (R N )‖g‖ L 1 (R N ) ≦N+1∏︁i=1‖g i ‖ L N (R N ),N∏︁‖g i ‖ L N (R N ),i=1Obsah228. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(a) Využijeme hustoty a dokážeme, že je ekvivalentní, jestli nerovnost‖v‖ L p * (R N ) ≦ C‖∇v‖ L p (R N ) (3.39)platí pro všechna v ∈ D(R N ), nebo pro všechna v ∈ W 1,p (R N ). Pro dané v ∈ W 1,p (R N )můžeme díky [3, Theorem 5.1.3] najít posloupnost (v n ) n∈N prvků v n ∈ D(R N ) takovou, žev n → v ve W 1,p (R N ) a v n (x) → v(x) pro skoro všechna x ∈ R N .MějmePotom‖v n ‖ L p * (R N ) ≦ C‖∇v n ‖ Lp (R N ).‖v‖ L p * (R N ) ≦ lim infn→+∞ ‖v n‖ L p * (R N )≦ C lim ‖∇v n‖ Ln→+∞ p (R N ) = C‖∇v‖ L p (R N ),kde první z nerovností je důsledkem Fatouova lemmatu.(b) Nyní ukážeme, že nerovnost (3.39) stačí dokázat pro p = 1. Předpokládejme tedy, že pro p = 1platí, tj.∀v ∈ W 1,1 (R N ) ‖v‖ L 1 * (R N ) ≦ C 1 (N)‖∇v‖ L1 (R N ), (3.40)a dokažme, že potom platí pro libovolné 1 < p < N.Platí, že pokud v ∈ D(R N ), potom |v| p*1 * patří do W 1,1 (R N ). Skutečně, protože p > 1, mámep * > 1 * a funkce |v| p*1 * je spojitě diferencovatelná a má kompaktní nosič. TudížObsah229. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮a)︁∇(︁|v| p*1 *|v| p*1 * ∈ W 1,1 (R N )= p*p*sign v |v| 11 * −1 ∇v. (3.41)*Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nahraďme v v nerovnosti (3.40) funkcí |v| p*1 * . S využitím (3.41) dostaneme(︂∫︁ )︂ 1∫︁1 *|v| p* dx ≦ C 1 (N) p*R 1 * |v| p*1 * −1 |∇v|dx. (3.42)N R NPoužitím Hölderovy nerovnosti pro 1 p + 1 p= 1 na pravou stranu nerovnosti (3.42) získáme′(︂∫︁)︂ 11 *|v| p* dxR N (︂∫︁≦ C 1 (N) p*(︁ p* )︁11 * |v|* −1 p ′ dxR NJednoduchým výpočtem zjistíme, že 11− 1* p *tedy (3.43) můžeme zjednodušit do tvaru)︂ 1p ′(︂∫︁ )︂ (3.43)1|∇v| p pdx .R N= 1 p ′ , což je ekvivalentní s(︁ )︁p*1− 1 p ′ = p * , a*‖v‖ L p * (R N ) ≦ C 1 (N) p*1 * ‖∇v‖ L p (R N ),což je (3.39) s libovolným 1 < p < N. Poznemenejme, že jsme navíc dokázali, že lze brát(c) Nyní nám už stačí dokázat, že pro všechna v ∈ D(R N )C(p, N) = C 1 (N) p*1 * . (3.44)‖v‖ L 1 * (R N ) ≦ C 1 (N)‖∇v‖ L 1 (R N ). (3.45)Pro libovolné x = (x 1 , x 2 , . . . , x N ) ∈ R N máme∫︁ xi|v(x)| =∂∂v⃒ (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )dt−∞ ∂∂x i⃒∫︁ xi≦∂∂v⃒ (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )∂∂x i⃒ dt.−∞Obsah230. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Stejně tak|v(x)| ≦∫︁ +∞x i⃒ ⃒⃒⃒ ∂∂v(x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )∂∂x i⃒ dt.Sečtením těchto dvou nerovností dostaneme|v(x)| ≦ 1 ∫︁ +∞∂∂v2 ⃒ (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x N )∂∂x i⃒ dt. (3.46)−∞Budeme používat následující značení. Pro každé x ∈ R N a i = 1, 2, . . . , N definujeme˜x idef= (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x n ),∫︁ +∞f i (˜x i ) def=∂∂v⃒ (x 1 , x 2 , . . . , x i−1 , t, x i+1 , . . . , x n )∂∂x i⃒ dt.−∞Nerovnost (3.46) můžeme tedy přepsat jako |v(x)| ≦ 1 2 f i(˜x i ) pro každé i = 1, 2, . . . , N. Odtudplyne|v(x)| N ≦ 1 ∏︁ N2 N f i (˜x i ). (3.47)Abychom dokázali (3.45), potřebujeme odhad shora pro ‖v‖ L 1 * (R ). Protože 1 * =NN N−1 , přepíšeme(3.47) do tvaru|v(x)| 1* ≦ 1 N∏︁f2 N i (˜x i ) 1N−1 . (3.48)N−1i=1i=1Pro každé i = 1, 2, . . . , N patří funkce g i (˜x i ) def= f i (˜x i ) 1N−1⃦ 1‖g i ‖ L N−1 (R N−1 ) =∂∂v ⃦⃦⃦⃦∂∂x iN−1L 1 (R N )do L N−1 (R N−1 ) a navíc platí. (3.49)Obsah231. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nyní aplikujeme Lemma 3.54 na (3.48) a použijeme (3.49). Dostaneme∫︁|v(x)| 1* dx ≦ 1N∏︁gR N 2 NN−1 ⃦ i (˜x i ) ⃒≦ 12 NN−1≦ 12 NN−1i=1⃒L1 (R N )N∏︁‖g i ‖ L N−1 (R N−1 )i=1N∏︁⃦ 1∂∂v ⃦⃦⃦⃦∂∂x ii=1N−1L 1 (R N ).Protože 1 * =NN−1 , plyne odtud ‖v‖ L 1 * (R N ) ≦ 1 2⃦ 1N∏︁∂∂v ⃦⃦⃦ N⃦∂∂x ii=1L 1 (R N )Z nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměremplynea tím je důkaz hotov.‖v‖ L 1 * (R N ) ≦ 12N⃦ N∑︁∂∂v ⃦⃦⃦L1⃦∂∂x i (R N )i=1.(︁ ∏︀Ni=1 a i)︁ 1NPoznámka 3.55. Zkombinujeme-li (3.40), (3.44) a (3.50), zjistíme, že lze brátC(p, N) = 1 p * p(N − 1)=2N 1*2N(N − p) .≦ 1 Ni=1N∑︀a i konečně= 12N ‖∇v‖ L 1 (R N ), (3.50)Obsah232. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tato konstanta ovšem není optimální. Ta optimální je ostře menší než výše uvedená, je známá a jejíodvození je značně komplikované (srov. Aubin [4], Talenti [24] a Lieb [15]).Jako přímý důsledek Sobolevovy-Gagliardovy-Nirenbergovy věty dostáváme následující Poincarého-Sobolevovunerovnost.Propozice 3.56. Existuje konstanta C(p, N) taková, že pro libovolnou otevřenou podmnožinu Ωprostoru R N a pro libovolné 1 ≦ p < N platí nerovnost∀v ∈ W 1,p0 (Ω) ‖v‖ L p * (Ω) ≦ C(p, N)‖∇v‖ Lp (Ω).Důkaz. Nechť v ∈ W 1,p0 (Ω) a ˜v je rozšířením v nulou mimo Ω. Podle [3, Proposition 5.1.1] patří ˜vdo W 1,p (R N ). Protože ‖˜v‖ L p * (R N ) = ‖v‖ L p * (Ω) a ‖∇˜v‖ Lp (R N ) = ‖∇v‖ L p (Ω), je dokazované tvrzenídůsledkem Věty 3.52, použité, na funkci ˜v.Poznámka 3.57. (a) Zásadní vlastností Poincarého-Sobolevovy nerovnosti je, že platí pro libovolnouotevřenou množinu Ω (i neomezenou) a konstanta C(p, N) nezávisí na Ω. Skutečně jsmeukázali, že lze brát C(p, N) =p(N−1)2N(N−p) . Tato vlastnost platí díky tomu, že odhadujeme ‖v‖ L p*shora pomocí ‖∇v‖ L p. To je velký rozdíl oproti klasické Poincarého nerovnosti (Věta 3.22), kdeodhadujeme ‖v‖ L p shora pomocí ‖∇v‖ L p. Ta neplatí bez předpokladu omezenosti Ω (alespoňv jednom směru) a navíc Poincarého konstanta závisí na Ω.(b) Je-li Ω omezená, můžeme klasickou Poincarého nerovnost odvodit z Propozice 3.56 pomocíHölderovy nerovnosti. Za předpokladu 1 ≦ p < N platí∫︁(︂∫︁)︂ p|v(x)| p pp1− *dx ≦ |Ω|p * |v(x)| p* dx .ΩΩOdtud plyne‖v‖ L p (Ω) ≦ |Ω| 1 p − 1p * ‖v‖ L p * (Ω)≦ |Ω| 1 p − 1p * C(p, N)‖∇v‖ L p (Ω).Obsah233. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z rovnosti 1 p − 1p * = 1 Ntedy dostáváme‖v‖ L p (Ω) ≦ |Ω| 1 N C(p, N)‖∇v‖L p (Ω).Tímto způsobem můžeme také vidět, jak Poincarého konstanta ¯C p,N (Ω) závisí na Ω. Protože|RΩ| 1 N = R|Ω|, dostáváme opět tvrzení Propozice 3.24, tj. ¯C p,N (RΩ) = R ¯C p,N (Ω).Uvedené výsledky shrneme v následujícím tvrzení.Důsledek 3.58. Nechť Ω je omezená otevřená podmnožina R N a nechť 1 ≦ p < N. Pak prolibovolné v ∈ W 1,p0 (Ω) platí nerovnost‖v‖ Lp (Ω) ≦ |Ω| 1 N C(p, N)‖∇v‖Lp (Ω).Je-li například Ω = B(0, r) ⊂ R N , kde N > 2 (= p), dostaneme∫︁∫︁v(x) 2 dx ≦ Cr 2 |∇v(x)| 2 dx ∀v ∈ H0 1 (B(0, r)).B(0,r)B(0,r)Platí také následující Poincarého-Wirtingerova-Sobolevova nerovnost.Propozice 3.59. Buď Ω omezená, souvislá a otevřená podmnožina R N , jejíž hranice ∂∂Ω je třídyC 1 . Nechť 1 ≦ p < +∞. Potom existuje konstanta C(p, N, Ω) taková, že pro libovolné v ∈ W 1,p (Ω)platí následující nerovnost.⃦ v − 1 ∫︁v(x)dx|Ω| ⃦ ≦ C(p, N, Ω)‖∇v‖ Lp (Ω).L p * (Ω)Důkaz. Označme M(v) deffunkci v − M(v). Dostaneme= 1|Ω|∫︀ΩΩv(x)dx a použijeme Sobolevovu větu o vnoření (Věta 3.51(i)) na‖v − M(v)‖ L p * (Ω) ≦ C 1 (p, N, Ω)‖v − M(v)‖ W 1,p (Ω)≦ C 1 (p, N, Ω) (︀ ‖v − M(v)‖ L p (Ω) + ‖∇v‖ L p (Ω))︀.Obsah234. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Nyní použijeme klasickou Poincarého-Wirtingerovu nerovnost (Důsledek 3.35) na funkci v:Z posledních dvou nerovností konečně plyne‖v − M(v)‖ L p (Ω) ≦ C 2 (p, N, Ω)‖∇v‖ L p (Ω).a tím je důkaz hotov.‖v − M(v)‖ L p * (Ω) ≦ C(p, N, Ω)‖∇v‖ Lp (Ω)Případ p > NNyní uvažujeme prostor W 1,p (R N ), kde p > N. Následující větu dokázal Morrey [18].Věta 3.60 (Morrey). Předpokládejme, že p > N. Potom existuje spojité vnořeníW 1,p (R N ) ˓→ C 0,α (R N ) ,Obsah235. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde α = 1 − N p . Přesněji řečeno, existuje konstanta C(p, N) taková, že pro všechna v ∈ W 1,p (R N )platí|v(y) − v(x)| ≦ C(p, N)‖∇v‖ L p (R N )|y − x| α pro s.v. x, y ∈ R N .Důkaz. Začneme s v ∈ D(R N ). Poté bude důkaz dokončen pomocí hustoty. Nechť Q je otevřenákrychle obsahující počátek a jejíž hrany jsou rovnoběžné s osami souřadnic v R N a jejich délka jevesměs rovna r > 0. Pro každé x ∈ Q mámev(x) − v(0) =∫︁ 10ddt v(tx)dt.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Odtud pak∫︁ 1N∑︁|v(x) − v(0)| ≦ |x i |∂∂v⃒ (tx)0 ∂∂xi=1 i⃒ dtN∑︁∫︁ 1(3.51)≦ r∂∂v⃒ (tx)∂∂x i⃒ dt.Nechť ˜v def ∫︀= 1|Q|v(x)dx značí integrální průměr v na Q. Integrací (3.51) přes Q dostanemeQ|˜v − v(0)| ≦r ∫︁|Q| Qi=1dx0N∑︁i=1∫︁ 10∂∂v⃒ (tx)∂∂x i⃒ dt.Nyní zaměníme pořadí integrování (Fubiniho věta):Substitucí y = tx dále dostaneme|˜v − v(0)| ≦ 1 ∫︁ 1r N−1|˜v − v(0)| ≦ 1 ∫︁ 1r N−100∫︁dtQ∫︁dttQN∑︁∂∂v⃒ (tx)∂∂x i⃒ dx.Poslední integrál odhadneme shora pomocí Hölderovy nerovnosti:∫︁tQ(︂∫︁∂∂v⃒ (y)∂∂x i⃒ dy ≦ |tQ| 1 p ′tQi=1N∑︁∂∂v⃒ (y)dy∂∂x i⃒ . (3.52)tN i=1∂∂v⃒ (y)∂∂x i⃒p)︂ 1pdy . (3.53)Protože 0 ∈ Q, máme tQ ⊂ Q pro libovolné 0 ≦ t ≦ 1. Z výše uvedených nerovností (3.52) a (3.53)Obsah236. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

tedy plyne, že|˜v − v(0)| ≦ r N p ′r N−1 ∫︁ 10t N p ′ Nt N dt ∑︁i=1(︂∫︁Q(︂ ∂∂v(y)∂∂x i⃒p)︂ 1pdyN≦ r1− p1 − N ‖∇v‖ Lp (Q).pDíky posunutí platí tato nerovnost pro libovolnou krychli, jejíž hrany jsou rovnoběžné s osamisouřadnic a jejich délka je rovna r. Tudíž pro každé x ∈ Q platíDíky trojúhelníkové nerovnostidále dostávámeN |˜v − v(x)| ≦ r1− p1 − N ‖∇v‖ Lp (Q).p|v(y) − v(x)| ≦ |v(y) − ˜v| + |˜v − v(x)|N|v(y) − v(x)| ≦ 2r1− p1 − N ‖∇v‖ Lp (Q)p∀x, y ∈ Q.Nyní využijeme toho, že pro libovolné dva body x, y ∈ R N existuje otevřená krychle Q, konstruovanávýše uvedeným způsobem, taková, že x, y ∈ Q a r = 2|y − x|. Odtud pak plyne, že pro všechnax, y ∈ R N platí nerovnostObsah237. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮|v(y) − v(x)| ≦ C(p, N)‖∇v‖ L p (Q)|y − x| 1− N p ,Nkde C(p, N) závisí pouze na p a N. Zde jsme dostali C(p, N) = 22− p1− N pstandardně pomocí hustoty D(R N ).. Zbytek důkazu se provedeZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Případ p = NNejprve ukážeme, že pro libovolné 1 ≦ q < +∞ je W 1,N (R N ) spojitě vnořený do L q loc (RN ). Tototvrzení snadno plyne ze Sobolevovy-Gagliardovy-Nirenbergovy věty pro případ 1 ≦ p < N a toho,že p * = pNN−p → +∞ pro p → N −.Připomeňme, že v ∈ L q loc (RN ) znamená, že pro libovolné R > 0 máme ∫︀ B(0,R) |v(x)|q dx < +∞.Topologie na L q loc (RN ) je generovaná třídou seminorem {‖ · ‖ k , k = 1, 2, . . . }‖v‖ k =(︃ ∫︁|v(x)| q dxB(0,R k ))︃ 1q,kde R k je libovolná posloupnost divergující do +∞ pro k → +∞. Tímto způsobem dostanemeFrechetovu topologii (metrizovatelnou a úplnou), která nezávisí na volbě posloupnosti (R k ) k∈N ,R k → +∞. Konvergence v n → v v L q loc (RN ) je ekvivalentní výroku∫︁∀R < +∞ |v n (x) − v(x)| q dx → 0.B(0,R)Nyní můžeme přistoupit k formulaci následující věty.Věta 3.61 (limitní případ p = N). PlatíObsah238. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮W 1,N (R N ) ˓→ L q loc (RN )∀1 ≦ q < +∞.Toto vnoření je spojité a prosté zobrazení.Důkaz. Nechť v ∈ W 1,N (R N ). Použijeme metodu oříznutí (na oblast). Díky [3, Lemma 5.1.2] víme,že pro libovolné M ∈ D(R N ) patří funkce Mv do W 1,N (R N ) a má kompaktní nosič. Z toho plyne,žeMv ∈ W 1,N−ε (R N ) pro libovolně malé ε > 0.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(Pro libovolné R > 0 a libovolně malé ε > 0 totiž platí L N (B(0, R)) ⊂ L N−ε (B(0, R)), což nenípravda na celém R N !) Nyní použijeme Větu 3.52 pro p = N − ε < N. DostanemeMv ∈ L q (R N ), kde 1 q = 1N − ε − 1 N = εN(N − ε) .Pro každé M ∈ D(R N ) a 0 < ε < N tedy máme Mv ∈ L N(N−ε)ε (R N ).Zřejmě N(N−ε)ε→ +∞ pro ε → 0+. Vezmeme-li M ≡ 1 na B(0, R), dostaneme pro libovolné1 ≦ q < +∞ a R > 0v ∈ L q (B(0, R)).Snadno lze ověřit, že všechny použité operace jsou spojité, a tudíž i vnoření W 1,N (R N ) ˓→ L q loc (RN )je spojité pro libovolné 1 ≦ q < +∞.Poznámka 3.62. 1. Vnoření W 1,N (R N ) ˓→ L q loc (RN ) platí pro konečné hodnoty q. Obecně zv ∈ W 1,N (R N ) neplyne, že v je omezené na omezených množinách, viz příklad funkce v(x) == | ln(x)| k , uvedený v [3, Section 5.1].2. Lze ukázat (viz např. [5, Corollary IX.11]), že dokonce W 1,N (R N ) ˓→ L q (R N ) pro všechna1 ≦ q < +∞, což je zřejmě silnější tvrzení, než Věta 3.61.Obsah239. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮3. I když funkce v ∈ W 1,N (R N ) nemusí být v L ∞ loc (RN ), lze dokázat něco víc, že v ∈ L q loc (RN )pro každé 1 ≦ q < +∞. K tomu potřebujeme širší třídu prostorů, než klasické Lebesguovyprostory {L p , 1 ≦ p ≦ +∞}, a to Orliczovy prostory. Tvrzení formulujeme v následujícípropozici, kterou lze opět snadno dokázat pomocí Věty 3.52.Propozice 3.63. Existují dvě konstanty K > 0 a L > 0 takové, že pro libovolné R > 0 a libovolnoufunkci v ∈ W 1,N (R N ) splňující supp v ⊂ B(0, R) a ‖∇v‖ L N (R N ) ≦ 1 platí∫︁B(0,R)e Kv(x) dx ≦ L|B(0, R)|.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Vraťme se k Větě 3.52. Víme, že pro každé 1 ≦ p < N a v ∈ W 1,p (R N ) platí‖v‖ L p * (R N ) ≦(N − 1)p2N(N − p) ‖∇v‖ L p (R N ).Máme(N − 1)p2N(N − p) = N − 12N 2 · NpN − p .Protože p * = NpN−p a N−12N≦ 1 pro libovolné N ∈ N, platí2‖v‖ L p * (R N ) ≦ p * ‖∇v‖ Lp (R N ).(N−1)p2N(N−p) ≦ p* . TudížPředpokládejme nyní, že supp v ⊂ B(0, R). Z Hölderovy nerovnosti proplyne1p * p+ 1 Np= 1Obsah240. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖∇v‖ Lp (R N ) =(︃ ∫︁|∇v| p dxB(0,R)≦ |B(0, R)| 1p*)︃ 1p(︃ ∫︁|∇v| N dxB(0,R))︃ 1N.Kombinací posledních dvou nerovností dostaneme‖v‖ L p * (B(0,R)) ≦ p * |B(0, R)| 1p * ‖∇v‖ LN (B(0,R)).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Dále pokud 1 ≦ p < N, potom se příslušné p * =NpN−pza q, dostaneme následující tvrzení: pro libovolné q takové, žeNyní použijeme asymptotický rozvojpohybuje meziNNN−1N−1≦ q < +∞, platía +∞. Zaměníme-li p*‖v‖ Lq (B(0,R)) ≦ q|B(0, R)| 1 q ‖∇v‖LN (B(0,R)). (3.54)a dostanemee K|v| = 1 + K|v| + K22! |v|2 + · · · + Kqq! |v|q + · · ·∫︁B(0,R)Předpokládejme, že N ≧ 2. Potom‖∇v‖ L N (B(0,R)) ≦ 1, máme∀q ≧ 2∫︁e K|v| dx =|B(0, R)| + K |v|dxB(0,R)∫︁NN−1Pro q = 1 použijeme Hölderovu nerovnost∫︁B(0,R)+∞∑︁+q=2K qq!B(0,R)|v| q dx.(3.55)≦ 2, a tedy (3.54) platí pro každé q ≧ 2. Protože∫︁1|v| q dx ≦ q q . (3.56)|B(0, R)| B(0,R)|v(x)|dx ≦ |B(0, R)| 1 2a nerovnost (3.56) pro q = 2 a dostaneme∫︁(︃ ∫︁11|v(x)|dx ≦|B(0, R)| B(0,R)|B(0, R)|(︃ ∫︁|v(x)| 2 dxB(0,R)B(0,R))︃ 12|v(x)| 2 dx)︃ 12≦ 2. (3.57)Obsah241. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Z nerovností (3.55), (3.56) a (3.57) plyne∫︁1|B(0, R)| B(0,R)+∞∑︁e K|v(x)| dx ≦ 1 + 2K +q=2K q q q.q!Položme u qdef= Kq q qq!. Máme(︂u q+1lim = K lim 1 + 1 )︂ q= Ke.q→+∞ u q q→+∞ qŘada ∑︀ K q q qq!je tedy konvergentní pro K < 1 e . Pro zvolené K < 1 e+ +∞ ∑︀K q q qq!, a tedy pro libovolné R > 0 platíq=2∫︁1e Kv(x) dx ≦ L,|B(0, R)| B(0,R)čímž je důkaz dokončen.Tvrzení Propozice 3.63 lze vylepšit. Místo (3.54) lze dokázat přesnější odhadtedy vezmeme L = 1 + 2K +Obsah242. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖v‖ L q ≦ C N q 1− 1 N |B(0, R)|1q ‖∇v‖L N .Důležitá je zde znalost nejlepší konstanty C(p, N) v Sobolevově větě o vnoření. Stejným postupemjako výše se odvodí následující nerovnost, dokázaná Trudingerem [25] a Moserem [19].Propozice 3.64. Mějme stejné předpoklady jako v Propozici 3.63. Potom existují konstanty σ > 0a K(N) > 0 takové, že pro libovolné v ∈ W 1,p (R N ) splňující supp v ⊂ B(0, R) a ‖∇v‖ LN (B(0,R)) ≦ 1platí∫︁NN−1dx ≦ K(N)|B(0, R)|.e σ|v(x)|B(0,R)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

NPoznamenejme, že mocninaN−1je optimální.Vraťme se nyní k obecnému případu a dokončeme studium Sobolevových vět o vnoření následujícímtvrzením, které dostaneme opakovaným použitím Věty 3.51.Věta 3.65. Nechť Ω je otevřená omezená podmnožina R N s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Nechť 1 ≦ p N, potom W m,p (Ω) ˓→ C k,α (Ω), kdek =[︁ ]︁m − N pa α = m − N pC k,α (Ω) def= {︀ v ∈ C k (Ω) : D l v ∈ C 0,α (Ω) pro |l| = k }︀ ,− k (0 ≦ α < 1).Poznámka 3.66. Jako příklad použití Věty 3.65 uveďme, že H 2 (Ω), kde Ω ⊂ R N , je spojitě vnořendo C(Ω) pro N < 4, tj. N = 1, 2, 3.Kapitolu zakončíme následující větou o kompaktním vnoření. Použitím Sobolevovy věty o vnořenílze vylepšit Rellichovu-Kondrachovovu větu (Věta 3.33).Obsah243. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 3.67. Nechť Ω je otevřená omezená podmnožina R N , jejíž hranice ∂∂Ω je třídy C 1 . Pak mámenásledující kompaktní vnoření.(i) Je-li p < N, potom W 1,p (Ω) ˓→˓→ L q (Ω) pro každé 1 ≦ q < p * , kde 1p * = 1 p − 1 N .(ii) Je-li p = N, potom W 1,p (Ω) ˓→˓→ L q (Ω) pro každé 1 ≦ q < +∞.(iii) Je-li p > N, potom W 1,p (Ω) ˓→˓→ C(Ω).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz. Tvrzení (iii) plyne z Věty 3.51(iii) a Ascoliho věty, protože libovolná podmnožina W 1,p (Ω)je omezená v C 0,α , kde α = 1 − N p, a tedy stejně spojitá.Uvažujme případ (i). Vezměme omezenou posloupnost (v n ) n∈N prvků prostoru W 1,p (Ω). PodleSobolevovy věty o vnoření, Věty 3.51(i), je posloupnost (v n ) n∈N omezená v prostoru L p* (Ω). Podleklasické Rellichovy-Kondrachovovy věty, Věty 3.33, můžeme vybrat podposloupnost (v nk ) k∈N takovou,že v nk → v v prostoru L p (Ω). Dokážeme, že konvergence v nk → v platí i v každém L q (Ω), kde1 ≦ q < p * .Použijeme následující zobecněnou verzi Hölderovy nerovnosti. Pokud f 1 , f 2 , . . . , f k splňujíf i ∈ L pi (Ω), 1 ≦ i ≦ k, a1p = 1 + 1 + · · · + 1 ≦ 1,p 1 p 2 p kpotom jejich součin f = ∏︀ ki=1 f i patří do L p (Ω) a‖f‖ Lp (Ω) ≦ ‖f 1 ‖ L p 1 (Ω) ‖f 2 ‖ L p 2 (Ω) · · · ‖f k ‖ L p k (Ω) .Speciálně, pokud f ∈ L p (Ω) ∩ L q (Ω), kde 1 ≦ p ≦ q < +∞, potom f ∈ L r (Ω) pro všechna p ≦ r ≦ qa platí následující interpolační vztah.‖f‖ L r (Ω) ≦ ‖f‖ α L p (Ω) ‖f‖1−α L q (Ω) ,Použili jsme Hölderovu nerovnost na |f| α ∈ L p α1r = 1 pαkde 1 r = α p + 1 − αqa |f| 1−α ∈ L q1−α+ 1 q .1−α(0 ≦ α ≦ 1). (3.58)díky tomu, žeNyní vezmeme p ≦ q < p * a použijeme výše uvedený interpolační vztah (3.58) na |v nk − v| pro1q = α p + 1−αpa α > 0 (protože q < p * ). Dostaneme*‖v nk − v‖ L q (Ω) ≦ ‖v nk − v‖ α L p (Ω) ‖v n k− v‖ 1−αL p* (Ω)≦ C‖v nk − v‖ α L p (Ω) ,Obsah244. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

protože posloupnost (v nk ) k∈N je omezená v L p* (Ω). Například díky Fatouovu lemmatu navíc máme,že v patří do L p* (Ω). Protože α > 0 a v nk → v v prostoru L p (Ω), dostáváme, že v nk → v v L q (Ω)pro libovolné p ≦ q < p * , a tudíž i pro libovolné 1 ≦ q < p * (Ω je omezená).Poznámka 3.68. Jiný důkaz Věty 3.67 se opírá o použití Vitaliho věty. Lze ukázat, že pro libovolné1 < q < p * je posloupnost (|v nk | q ) k∈N ekviintegrovatelná (přímým použitím klasické Hölderovynerovnosti) a konverguje v míře (po přechodu k další vybrané podposloupnosti).Obsah245. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3.8. Kvíz - Vnoření Sobolevových prostorůVnoření Sobolevových prostorů1. Operátor stop γ 0 : W 1,p (Ω) → L p (∂∂Ω) je spojitým lineárním rozšířením operátoru γ 0 :W 1,p0 (Ω)→L p (∂∂Ω)D(Ω)→L p (∂∂Ω)D(Ω)→L p (∂∂Ω)C(Ω)→L p (∂∂Ω)2. Nechť γ 0 : W 1,p (Ω) → L p (∂∂Ω) je operátor stop, pak jeho jádro se rovná prostoruW 1,p0 (Ω)D(Ω)Obsah246. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮D(Ω)C(Ω)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3. Nechť Ω ⊂ R N je omezená otevřená množina s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Potom pro libovolnéu, v ∈ H 1 (Ω) a každé 1 ≦ i ≦ N platí4. Nechť∫︀ ∂∂uvdx= ∫︀ u ∂∂v dx+ ∫︀γ ∂∂x i ∂∂x 0 (u)γ 0 (v)(⃗n · ⃗e i ) dσiΩΩ∂∂Ω∫︀ ∂∂uvdx=− ∫︀ u ∂∂v dx+ ∫︀γ ∂∂x i ∂∂x 0 (u)γ 0 (v)(⃗n · ⃗e i ) dσiΩΩ∂∂Ω∫︀ ∂∂uvdx+ ∫︀ u ∂∂v dx=− ∫︀γ ∂∂x i ∂∂x 0 (u)γ 0 (v)(⃗n · ⃗e i ) dσiΩΩ∂∂Ωs > N 4 ,s > N 2 ,s > N − 2,2s > N − 2,pak prostor H s (R N ) je spojitě vnořen do prostoru C(R N ).Obsah247. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5. Nechť Ω ⊂ R N je omezená otevřená množina s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Potom prostor W 1,p (Ω),1 ≦ p < N je spojitě vnořen do prostoru L p* (Ω), kdep * = N−ppNp * =Npp−Np * = N+ppNp * =pNN−p6. Nechť Ω ⊂ R N je omezená otevřená množina s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Potom prostor W 1,p (Ω),N < p, je spojitě vnořen do prostoru C 0,α (Ω), kdeα = 1 − N pα = 1 − 1 pα = 1 − 1 NObsah248. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮α = 1Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

7. Nechť 1 ≦ p < N, potom prostor W 1,p (R N ), je spojitě vnořendo prostoru L p* (R N ), kdep * = p + 1 Np * = p + 1pNp * = N−ppNp * = p + N − 18. Nechť Ω ⊂ R N je otevřená množina, 1 ≦ p < N. Pak pro libovolnév ∈ L p (Ω)v ∈ W 1,p0 (Ω)v ∈ W 1,p (Ω)v ∈ W1,N−ppN (Ω)platí nerovnost ‖v‖ L p (Ω) ≦ |Ω| 1 N C(p, N)‖∇v‖ L p (Ω).Obsah249. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

9. Nechť p > N, α = 1 − N p. Pak existuje konstanta C = C(N, p) taková, že pro libovolnév ∈ W 1,p (R N ) platí|v(y)−v(x)| α ≦C‖∇v‖ L p (R N ) |y−x||v(y)−v(x)|≦C‖v‖ L p (R N ) |y−x|α|v(y)−v(x)|≦C‖∇v‖ L p (R N ) |y−x|α|v(y)−v(x)|≦C‖∇v‖ L p * (R N ) |y−x|α10. Nechť p = N, potomW 1,N (R N ) ˓→ L q (R N ), q ∈[1, ∞)W 1,N (R N ) ˓→ L q loc (RN ), q ∈[1, ∞)W 1,q (R N ) ˓→ L N loc (RN ), q ∈[1, ∞)W 1,N (R N ) ˓→ L q loc (RN ), q ∈[1, ∞]Obsah250. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

11. Existují konstanty K > 0 , L > 0 takové, že pro libovolné R > 0 a libovolnou funkciv ∈ W 1,N (R N ) splňujícísupp v ⊂B(0, R) ∧ ‖∇v‖ L N (R N ) ≦ 1supp v ⊂B(0, R) ∧ ‖∇v‖ L N (R N ) ≦ 1supp v ⊂B(0, R) ∧ ‖∇v‖ L N (R N ) ≦ Lsupp v ⊂B(0, R) ∧ ‖∇v‖ L N (R N )∫︀≦ Kplatí nerovnost e Kv(x) dx ≦ L|B(0, R)|.B(0,R)12. Nechť Ω ⊂ R 12 je omezená otevřená množina s hranicí ∂∂Ω třídy C 1 . Potoma) platí vnořeníW 2,3 (Ω) ˓→ L q (Ω), q ∈[1, 12]W 2,3 (Ω) ˓→ C 1 (Ω)Obsah251. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮W 2,3 (Ω) ˓→ L q (Ω), q ∈[1, 5]W 2,3 (Ω) ˓→ L q (Ω), q ∈[6, 12)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

) platí vnořeníW 3,4 (Ω) ˓→ C(Ω)W 3,4 (Ω) ˓→ C 1 (Ω)W 3,4 (Ω) ˓→ L ∞ (Ω)W 3,4 (Ω) ˓→ L q (Ω), q ∈[1, ∞)c) platí vnořeníW 4,5 (Ω) ˓→ C 2,α (Ω), α∈[0, 0.2)W 4,5 (Ω) ˓→ C 1,α (Ω), α∈[0, 0.6)W 4,5 (Ω) ˓→ C 1,α (Ω), α∈[0, 0.8)W 4,5 (Ω) ˓→ C 2,α (Ω), α∈[0, 2)Obsah252. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

d) platí kompaktní vnořeníW 1,12 (Ω)˓→˓→C(Ω)W 1,12 (Ω)˓→˓→L ∞ (Ω)W 1,12 (Ω)˓→˓→L q (Ω), q ∈[1, ∞)W 1,12 (Ω)˓→˓→C 1 (Ω)Obsah253. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah254. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 4Eliptické diferenciální rovniceObsah255. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemV této kapitole se seznámíte s moderními metodami řešení eliptických parciálních diferenciálních rovnic.Výchozí je variační přístup a Laxovo-Milgramovo lemma. Řešení hledáme v zobecněném smysluv Sobolevových prostorech. Využijeme zde poznatků z předchozí kapitoly a z první kapitoly. Dále sepak budeme zabývat podmínkami, za kterých je zobecněné řešení řešením klasickým (hladkost řešeníje alespoň taková, jako řád rovnice a rovnice i okrajové podmínky jsou splněny v každém bodě).Uvedeme si slavné Schauderovy odhady a některé jejich důsledky.4.1. Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici - variační přístupPrototypem okrajové úlohy pro eliptické parciální diferenciální rovnice je homogenní Dirichletovaúloha pro Poissonovu rovnici:−Δu = f v Ω ,(4.1)u = 0 na ∂∂Ω .Klasickým řešením této úlohy je každá funkce u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) splňující okrajové podmínky. Jakjsme viděli v Příkladu 2.88, spojitost f na Ω nezaručuje existenci klasického řešení. Na druhou stranuřešení ve smyslu distribucí je příliš obecný pojem. Nemusí se jednat ani o funkci. Z tohoto důvoduse definuje slabé řešení.Definice 4.1. Nechť F ∈ H0 1 (Ω) * . Řekneme, že funkce u ∈ H0 1 (Ω) je slabým řešením úlohy (4.1)pokud platí∫︁∇u · ∇φ dx = F (φ) (4.2)pro všechna φ ∈ H 1 0 (Ω).Pro připomenutí: ∇u · ∇φ = N ∑︀i=1Ω∂∂u ∂∂φ∂∂x i ∂∂x i.Obsah256. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 4.2 (Dirichletův princip). Nechť Ω ⊂ R N je oblast omezená v jednom směru. NechťF ∈ H0 1 (Ω) * . Potom existuje právě jedno slabé řešení u ∈ H0 1 (Ω) úlohy (4.1) a platí odhad:‖u‖ H 1 (Ω) ≦ K‖F ‖ H 1 (Ω) * , (4.3)kde konstanta K = K(N, Ω) závisí jen na dimenzi N a oblasti Ω.Navíc v tomto řešení se realizuje minimum kvadratického funkcionáluJ(v) def= 1 ∫︁|∇v| 2 dx − F (v) (4.4)2na H 1 0 (Ω), to jestJ(u) =Ωmin J(v) .v∈H0 1(Ω) Důkaz. Budeme aplikovat Větu 1.39 (Laxovo-Milgramovo Lemma). Na Hilbertově prostoru H0 1 (Ω)je skalární součin ⟨u, v⟩ H 1 (Ω) dán předpisem∫︁ ∫︁⟨u, v⟩ H 1 (Ω) = u v dx + ∇u · ∇v dxΩΩa norma ‖u‖ H1 (Ω) = √︀ ⟨u, u⟩ H1 (Ω). Omezenost bilineární formy ∫︀ ∇u · ∇v dx je zřejmá z následujícíΩnerovnosti∫︁∫︁ ∫︁∇u · ∇u dx ≦ u 2 dx + |∇u| 2 dx = ‖u‖ 2 H 1 (Ω)ΩΩNyní musíme dokázat (︀ H0 1 (Ω), ⟨ · , · ⟩ H (Ω))︀ 1 -koercivitu. Podle Věty 3.22 platí nerovnost (3.9), kteroupřepíšeme pro p = 2:∫︁∫︁u 2 dx ≦ c 2,N (Ω) |∇u| 2 dx .ΩΩTudíž∫︁∫︁∫︁‖∇u‖ 2 H 1 (Ω) = |∇u| 2 dx + u 2 dx ≦ (1 + c 2,N (Ω)) |∇u| 2 dx ,ΩΩΩΩObsah257. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a tedy11 + c 2,N (Ω) ‖∇u‖2 H 1 (Ω)∫︁Ω≦ |∇u| 2 dx .Tím je dokázána (︀ H0 1 (Ω), ⟨ · , · ⟩ H (Ω))︀ 1 -koercivita. Podle Věty 1.39 existuje právě jedno u ∈ H10 (Ω)splňující (4.1), to jest∫︁∀φ ∈ H0 1 (Ω): ∇u · ∇φ dx = F (φ) .Pro toto řešení navíc platí odhad (1.20), což v našem případě po dosazení je‖u‖ H 1 (Ω) ≦ (1 + c 2,N (Ω)) ‖F ‖ H 1 (Ω) *ΩProtože konstanta c 2,N (Ω) (p = 2) z Věty 3.22 závisí jen na dimenzi prostoru N a oblasti Ω, jedokázán odhad (4.3).Z Věty 1.39 též plyne, že toto řešení navíc minimalizuje (4.4).Věta 4.3. Nechť Ω ⊂ R N je oblast omezená v jednom směru. Na prostoru H0 1 (Ω) lze definovatskalární součin∫︁def⟨u, v⟩ H 10= ∇u · ∇v dx .Norma definovaná tímto skalárním součinem‖u‖ H 10 (Ω)Ω√︁def= ⟨u, u⟩ H 10Obsah258. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮je na tomto prostoru ekvivalentní s normou ‖u‖ H 1 (Ω), t.j. existují konstanty c, C > 0 tak, že∀u ∈ H 1 0 (Ω): c‖u‖ H1 (Ω) ≦ ‖u‖ H 10 (Ω) ≦ C‖u‖ H1 (Ω) .Důkaz. Z důkazu předchozí věty je vidět, že C = 1 a c =11+c 2,N (Ω) , kde c 2,N je konstanta z Věty3.22 pro p = 2. Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Propozice 4.4 (Charakterizace prvků duálu k H 1 (Ω) a H0 1 (Ω)). Nechť F ∈ H 1 (Ω) * resp.H0 1 (Ω) * je spojitý lineární funkcionál na H 1 (Ω) resp. H0 1 (Ω), Ω ⊂ R N . Potom existují funkcef 0 , f 1 , f 2 , . . . f N ∈ L 2 (Ω) takové, že∫︁∫︁∀φ ∈ H 1 (Ω) resp. H0 1 ∂∂φ(Ω)): F (φ) = f 0 φ dx + f i dx (4.5)ΩΩ ∂∂x ia zároveň platí rovnost‖F ‖ H 1 (Ω) *= ⎛⎝ ∑︁0≦i≦N⎞‖f i ‖ 2 ⎠L 2 (Ω)12. (4.6)V případě prostoru H 1 0 (Ω), kde Ω je oblast omezená v jednom směru, lze volit f 0 ≡ 0 a pak platí‖F ‖ H 10 (Ω) *= ⎛⎝ ∑︁1≦i≦N⎞‖f i ‖ 2 ⎠L 2 (Ω)12. (4.7)Naopak, jsou-li dány funkce f 0 , f 1 , f 2 , . . . f N ∈ L 2 (Ω), je F : H 1 (Ω) → R resp. F : H 1 (Ω) → Rdefinovaný identitou (4.5) lineární funkcionál, jehož norma splňuje nerovnost‖F ‖ H1 (Ω) *≦ ⎛⎝ ∑︁0≦i≦N⎞‖f i ‖ 2 ⎠L 2 (Ω)12. (4.8)Důkaz. Na Hilbertově prostoru H 1 (Ω) je skalární součin ⟨u, v⟩ H 1 (Ω) dán předpisem∫︁ ∫︁⟨u, v⟩ H 1 (Ω) = u v dx + ∇u · ∇v dx .ΩJe-li dán funkcionál F ∈ H 1 (Ω) * , pak podle Rieszovy věty o reprezentaci 1.36 spojitého lineárníhofunkcionálu na Hilbertově prostoru existuje u ∈ H 1 (Ω) tak, že platí 4.5:ΩObsah259. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

∫︁∀φ ∈ H 1 (Ω): F (φ) =Ω∫︁u φ dx +ΩN∑︁ ∂∂u∂∂x ii=1∂∂φ∂∂x idx . (4.9)Protože u ∈ H 1 (Ω), můžeme položit f 0 = u ∈ L 2 (Ω) a f i = ∂∂u∂∂x i∈ L 2 (Ω). Rovnost (4.6) plyne přímoz Rieszovy věty, rovnice (1.8).Nechť nyní opačně jsou dány funkce f 0 , f 1 , f 2 , . . . f N ∈ L 2 (Ω). Linearita plyne z linearity integrálu.Zbývá dokázat spojitost na H 1 (Ω). Podle Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (1.4) na Hilbertověprostoru L 2 (Ω) dostanemei=0∫︁|F (φ)| =⃒Ω∫︁f 0 φ dx +ΩN∑︁ ∂∂φN∑︁⃦f i dx∂∂x i ⃒ ≦ ‖f 0‖ L2 (Ω)‖φ‖ L2 (Ω) + ‖f i ‖ L2 ∂∂φ ⃦⃦⃦L2(Ω) ⃦ .∂∂x i (Ω)i=1Opětovným užitím Cauchyovy-Schwartzovy nerovnosti (1.4) na Hilbertově prostoru R N+1(︂∑︀(| N N∑︀)︂ 1 (︂ )︂a i b i | ≦ a 2 2 N∑︀1i b 2 2i ), dostanemei=0 i=0(︃ N)︃∑︁1 (︃ 2 N|F (φ)| ≦ ‖f i ‖ 2 L 2 (Ω) ‖φ‖ 2 L 2 (Ω) + ∑︁⃦ ∂∂φ ⃦⃦⃦L⃦∂∂x i 2 (Ω)i=0i=1)︃ 1 2i=1(︃∑︁ N= ‖f i ‖ 2 L 2 (Ω)i=0)︃ 1 2‖φ‖ H 1 (Ω) .Tím je dokázána omezenost a tedy i spojitost. Zároveň odtud plyne i odhad (4.8).Stejně bychom provedli důkaz pro H 1 0 (Ω). V případě, že Ω je oblast omezená v jednom směru,lze na H 1 0 (Ω) použít skalární součin ⟨u, v⟩ H 10 (Ω) dávající ekvivalentní normu ‖u‖ H 10 (Ω). Protože se veskalárním součinu ⟨u, v⟩ H 10 (Ω) nevyskytuje člen ∫︀ Ω u v dx, vyjde f 0 ≡ 0.Poznámka 4.5. Poznamenejme, že při konstrukci funkcionálu F z funkcí f 0 , f 1 , f 2 , . . . f N ∈ L 2 (Ω)nemůžeme obecně dostat rovnost v nerovnosti (4.8). Vytvoříme-li totiž F , může se stát, že prvekObsah260. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

u ∈ H 1 (Ω), který tento funkcionál reprezentuje (podle Rieszovy Věty o reprezentaci 1.36) nesplňujerovnost u = f 0 a ∂∂u∂∂x i= f i , i = 1, . . . , N. Ne každá N-tice funkcí f 1 , f 2 , . . . f N ∈ L 2 (Ω) je totižgradientem (ve slabém smyslu) funkce f 0 ∈ L 2 (Ω)! Rovnost nastane jen v tom případě, pokud platíu = f 0 a ∂∂u∂∂x i= f i , i = 1, . . . , N.Poznámka 4.6. Ve světle předchozí věty se někdy slabé řešení definuje ekvivalentně takto. Nechťf 0 , f 1 , . . . f N ∈ L 2 (Ω). Řekneme, že funkce u ∈ H0 1 (Ω) je slabým řešením pokud platípro všechna φ ∈ H 1 0 (Ω).∫︁Ω∫︁∇u · ∇φ dx =Ω∫︁f 0 φ dx +ΩN∑︁i=1f i∂∂φ∂∂x idx (4.10)V matematické fyzice se často vyskytuje Poissonova rovnice s nehomogenní okrajovou Dirichletovoupodmínkou. V její klasické podobě, jsou dány funkce f ∈ C(Ω) a v ∈ C(∂∂Ω). Klasickým řešenímúlohy−Δu = f v Ω ,(4.11)u = w na ∂∂Ω .je každá funkce u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) splňující rovnici i okrajové podmínky v každém bodě. Tato úlohabyla pro f = 0 studována od konce osmnáctého století. Byla to právě tato úloha, která podnítilarozvoj jak variačního počtu tak teorie potenciálu.Věta 4.7 ([6], Věta 9.25). Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast s hranicí třídy C 2 . Nechť f ∈ L 2 (Ω)a u ∈ H0 1 (Ω) je slabé řešení úlohy 4.1. Potom u ∈ H 2 (Ω) a ‖u‖ H 2 (Ω) ≦ C‖f‖ L 2, kde C závisí pouzena Ω.Navíc, je-li Ω omezená oblast s hranicí třídy C m a f ∈ H m (Ω), potom u ∈ H m+2 (Ω) a‖u‖ H m+2 (Ω) ≦ C‖f‖ Hm (Ω), kde C závisí pouze na Ω.Speciálně pro m > N/2, Ω omezenou oblast s hranicí třídy m a f ∈ H m (Ω), dostanemeu ∈ C 2 (Ω), ‖u‖ C 2 (Ω) ≦ C‖f‖ H m (Ω). Konečně pro Ω omezenou oblast s hranicí třídy C ∞ a f ∈C ∞ (Ω)dostaneme u ∈ C ∞ (Ω).Obsah261. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4.2. Princip maximaPrincip maxima pro klasická řešení se používá k jednoduchým avšak často velmi užitečným bodovýmodhadům řešení. Zde si uvedeme jeho variantu pro eliptický operátor typuLu def=N∑︁ ∂∂ 2 uN∑︁a ij (x) (x) + b i (x) ∂∂u (x) + c(x)u(x) , (4.12)∂∂x i ∂∂x j ∂∂x ii,j=1kde funkce a ij , b i a c ∈ C 0,α (Ω), i, j = 1, . . . , N, a funkce a ij splňují podmínky uniformní eliptičnosti:i=1a symetrie∃λ > 0 ∀ξ ∈ R N :N∑︁i,j=1a ij ξ i ξ j ≧ λ|ξ| 2 RN (4.13)a ij (x) = a ji (x) ∀x ∈ Ω . (4.14)Věta 4.8 ([9], Věta 3.7, str. 36). Nechť L u ≧ f v omezené oblasti Ω, L je uniformně eliptickýoperátor, c ≦ 0 a u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω). PotomsupΩu ≦ sup u + f −+ C sup∂∂ΩΩ λ , (4.15)Obsah262. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde f − def= max −f, 0. Pokud navíc L u = f na dané oblasti potomsupΩkde konstanta C závisí jen na diam Ω a|f||u| ≦ sup |u| + C sup∂∂ΩΩ λ , (4.16)β def= max sup b i (x)i=1,...,N x∈Ω λ .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Ve speciálním případě, kdy Ω leží mezi dvěma nadrovinami mezi nimiž je vzdálennost d, pak C == e (β+1)d − 1.Důkaz. Nechť d > 0 je takové, že Ω ⊂ {x ∈ R N : 0 < x 1 < d}. PoložmePro α ≧ β + 1 platíL 0 u def=N∑︁i,j=1a ij∂∂ 2 uN∑︁ ∂∂u+ b i .∂∂x i ∂∂x j ∂∂x ii=1L 0 e αx1 = (α 2 a 11 + αb 1 )e αx1 ≧ λ (︀ α 2 − αβ )︀ e αx1 ≧ λ .NechťVezmeme-li v úvahudostanemev def= sup∂∂Ω(︂u + + e αd f −− e αx1 supΩ λL v = L 0 v + cv ≦ −λ sup∂∂Ω(︂f −L(v − u) ≦ −λ supΩ λ + f )︂λf − λ ,)︂.∀x ∈ Ωa v − u ≧ 0 na ∂∂Ω. Odtud pro C = e αd − 1 a α ≧ β + 1 dostaneme nerovnost (4.15):Obsah263. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮supΩu ≦ sup u + f −+ C sup∂∂ΩΩ λ .Nerovnost (4.16) dostaneme z (4.15) záměnou u za −u.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4.3. Schauderova teorieSchauderova teorie se týká diferenciálních operátorů typuLu def=N∑︁ ∂∂ 2 uN∑︁a ij (x) (x) + b i (x) ∂∂u (x) + c(x)u(x) ,∂∂x i ∂∂x j ∂∂x ii,j=1i=1kde funkce a ij , b i a c ∈ C 0,α (Ω), i, j = 1, . . . , N, a funkce a ij splňují podmínky uniformní elipticity(4.13). a symetrie (4.14) Tato teorie se týká existence klasických řešení. Je založena na teorii potenciálu,kterou v jistém smyslu zobecňuje. Objev Schauderovy teorie Juliuszem Schauderem [22] v roce1930 znamenal průlom nejen v teorii eliptických parciálních diferenciálních rovnic, ale přinesl rovněžstěžejní výsledky ve funkcionální analýze. Slavný Lerrayův-Schauderův stupeň zobrazení, dnes nepostradatelnýnástroj nelineární analýzy, byl původně vytvořen za účelem studia i rovnic lineárních.Tento fakt je dnes v záplavě nelineárních článků již velice málo znám.Věta 4.9 (Hlavní Schauderův odhad, Gilbarg-Trudinger [9], Věta 6.6). Nechť 0 < α < 1,Ω ⊂ R N je oblast s hranicí třídy C 2,α a nechť u ∈ C 2,α (Ω) je klasické řešení úlohyLu = f v Ω , (4.17)u = φ na ∂∂Ω , (4.18)Obsah264. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde f ∈ C 0,α (Ω), φ ∈ C 2,α (Ω), koeficienty operátoru L splňují podmínku uniformní elipticity (4.13)a existuje Λ > 0 takové, že∀i, j = 1, . . . , N : ‖a ij ‖ C 0,α (Ω) , ‖b i‖ C 0,α (Ω) , ‖c‖ C 0,α (Ω)≦ Λ. (4.19)Potom)︁‖u‖ C 2,α (Ω)(︁‖u‖ ≦ C C0 (Ω) + ‖φ‖ C 2,α (Ω) + ‖f‖ C 0,α (Ω), (4.20)kde C > 0 závisí jen na N, α, λ, Λ a Ω a nikoliv na u.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 4.10. Aby nedošlo k mylné interpretaci předchozí věty, zdůrazněme, že věta předpokládá,že pokud máme klasické řešení u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) úlohy (4.17), o kterém už víme, žeu ∈ C 2,α (Ω), pak je jeho norma odhadnuta nerovností (4.20). Věta neříká, že každé klasické řešeníu ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), úlohy (4.17) má normu ‖u‖ C 2,α (Ω)odhadnutou nerovností (4.20) a tudíž je již zC 2,α (Ω).Poznámka 4.11. Všimněte si, že na pravé straně nerovnice (4.20) vystupuje též norma ‖u‖ C0 (Ω)a proto Věta 4.9 zahrnuje i případ, kdy L má netriviální jádro. Například Dirichletova úloha naomezené oblasti Ω ⊂ R N s hranicí třídy C 2,αΔu + λ 1 u = 0 v Ω ,u = 0 na ∂∂Ω ,kde λ 1 je první vlastní číslo, má nekonečně mnoho řešení. Tato řešení lze psát ve tvaru u = t φ 1 , kdet ∈ R a φ 1 je první vlastní funkce operátoru Δ s homogenní Dirichletovou podmínkou na ∂∂Ω.Poznámka 4.12. Konstanta C závisí na oblasti Ω v tom smyslu, že C závisí na konstantě K, kteráomezuje C 2,α normy zobrazení ψ, která lokálně reprezentují hranici ∂∂Ω.Věta 4.13 (Existence klasického řešení Dirichletovy úlohy, Gilbarg-Trudinger [9], Věta6.8, str. 100). Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N je oblast s hranicí třídy C 2,α . Nechť L splňuje stejnépředpoklady jako ve Větě 4.9 a nechť navíc c(x) ≦ 0 všude v Ω. Za těchto předpokladů platí následujícíimplikace. Má-li Dirichletova úloha pro Poissonovu rovniciΔu = f v Ω ,u = g na ∂∂Ωřešení v prostoru C 2,α (Ω) pro každé f ∈ C 0,α (Ω) a každé g ∈ C 2,α (Ω), potom má i úlohaLu = f v Ω , (4.21)u = g na ∂∂Ω (4.22)jednoznačné řešení v prostoru C 2,α (Ω) pro každé f ∈ C 0,α (Ω) a každé g ∈ C 2,α (Ω).Obsah265. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 4.13 se dokazuje pomocí odhadu (4.20) z Věty 4.9 a následující věty.Věta 4.14 (Kontinuace vzhledem k parametru, Gilbarg-Trudinger [9], Věta 5.2, str.75). Nechť B je Banachův prostor, V normovaný lineární prostor a L 0 , L 1 : B → V jsou omezenélineární operátory. Pro každé t ∈ [0, 1] položmeL tdef= (1 − t) L 0 + t L 1a předpokládejme, že existuje konstanta C > 0 taková, že‖u‖ B ≦ C‖ L t u‖ V (4.23)pro všechna t ∈ [0, 1]. Potom L 1 zobrazuje B na V tehdy a jen tehdy, pokud L 0 zobrazuje B na V .Důkaz. Předpokládejme, že L s zobrazuje B na V pro nějaké s ∈ [0, 1]. Z podmínky (4.23) plyne,že L s je prosté. Tudíž inverzní zobrazení L −1s existuje. Pro t ∈ [0, 1] a y ∈ V je rovnice L t u = yekvivalentní s rovnicícož lze přepsat jakoSnadno ukážeme, že zobrazeníK s,t : B → B,L s u = y + (L s − L t ) u == y + (t − s) L 0 u − (t − s) L 1 u ,x = L −1s y + (t − s) L −1 (L 0 − L 1 ) u .K s,t u def= L −1 y + (t − s) L −1 (L 0 − L 1 ) uje kontraktivní pro s, t ∈ [0, 1] dostatečně blízko sebe. Vskutku pro u, v ∈ B dostanemes‖K s,t u − K s,t v‖ B≦ |t − s| ⃦ ⃦L −1s (L 0 − L 1 )(u − v) ⃦ B≦|t − s|C (︀ ‖L 0 ‖ L (B,V ) + ‖L 1 ‖ L (B,V ))︀‖u − v‖B ,Obsah266. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde C je z nerovnosti (4.23). Pro každé s, t ∈ [0, 1] takové, že|t − s| < δ def= C (︀ ‖L 0 ‖ L (B,V ) + ‖L 1 ‖ L (B,V ))︀,je K s,t kontraktivní. Tudíž rovnice x = K s,t x má právě jedno řešení podle Věty 1.12. Toto řešeníje ovšem řešením i původní rovnice L t u = y. Zobrazení L t zobrazuje tedy B na celý prostor V provšechna t ∈ [0, 1] : |s − t| < δ.Nyní rozdělíme interval [0, 1] na systém intervalů:[0, 1] =M−1⋃︁i=0[︂ iM , i + 1 ]︂,Mkde M < 1/δ. Jistě platí, že s ∈ [ i0 M , i0+1M] pro nějaké i 0 ∈ {1, . . . M 0 }. Pak, ale L t zobrazuje B nacelý prostor V pro všechna t ∈ [ i0 M , i0+1M]. Dále použijeme jako startovní hodnoty krajní body tohotointervalu i0 M a i0+1i0−1Ma výsledek rozšíříme na [M, i0 M ] a [ i0+1M, i0+2M]. Toto opakujeme tak dlouho, ažpokryjeme celý interval [0, 1] (opakujeme nejvýše M krát). Tím dostaneme, že L t zobrazuje B nacelý prostor V pro všechna t ∈ ⋃︀ M−1i=0[ i M , i+1M] = [0, 1].Jako startovní bod nám slouží Kellogova věta.Obsah267. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 4.15 (König [10], Věta 2, str. 32). Nechť Ω ⊂ R N , N ≧ 2, je omezená oblast s hranicí∂∂Ω třídy C 2,α , 0 < α < 1. Potom pro každé f ∈ C α (Ω) a g ∈ C 2,α (Ω) existuje právě jedno řešeníu ∈ C 2,α (Ω) Dirichletovy okrajové úlohyΔu = f v Ω , (4.24)u = g na ∂∂Ω . (4.25)Důkaz Kellogovy věty je velice složitý. Výsledek nevyplývá jen čistě z teorie potenciálu a v důkazeje třeba kombinovat více přístupů. Z tohoto důvodu dokážeme větu ve speciálním tvaru, kdy je důkazZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

poměrně snadný. Důkaz plnohodnotného výsledku lze najít např. v knize Gilbarg-Trudinger [9].Zajímavé je, že v našem přístupu použijeme metodu kontinuace již k důkazu oslabené Kelloggovyvěty.Důkaz. Budeme navíc předpokládat, že hranice oblasti je třídy C k+2 , kde k def= N/2 + 1 pro N sudéa k = ⌈N/2⌉ pro N liché.Bez ztráty na obecnosti lze předpokládat, že g ≡ 0, neboť můžeme rovnici (4.24) uvažovat sw def= u − g. Rozšiřme funkci f ∈ C α (Ω) α-Hölderovsky na celé R N (podle Věty 1.174). Uvažujmejednoparametrický systémdeff t = f * ω t pro t ∈ [0, 1] .Podle Věty 1.177 platí, že f t ∈ C ∞ (Ω) pro t ∈ (0, 1] a f t ⇒ f stejnoměrně na Ω. Dokonce podleVěty 1.177 pro všechna t ∈ [0, 1] platí‖f t ‖ C α (Ω) ≦ 2‖f‖ C α (Ω) .Aplikací Věty 4.7 (L 2 teorie) na jednoparametrický systém úlohΔu = f t v Ω , (4.26)u = 0 na ∂∂Ω , (4.27)zjistíme, že tento problém má právě jedno řešení u t ∈ H k+2,2 (Ω) ˓→ C 2,α (Ω). Nyní, víme-li, žeu t ∈ C 2,α (Ω), můžeme použít Schauderova odhadu (4.20) a dostaneme)︁ (︁)︁‖u t ‖ C 2,α (Ω)(︁‖u ≦ C t ‖ C 0 (Ω) + ‖f t‖ C 0,α (Ω)≦ C ‖u t ‖ C 0 (Ω) + 2‖f‖ C 0,α (Ω),Obsah268. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮kde C > 0 závisí jen na N, α a Ω a nikoliv na u t . Z principu maxima, Věta 4.8, dále plyne, že‖u t ‖ C 0 (Ω) ≦ C 4.16‖f t ‖ C(Ω)≦ C 4.16 ‖f t ‖ C 0,α (Ω) ≦ 2C 4.16‖f‖ C 0,α (Ω) ,kde C 4.16 je konstanta z nerovnosti (4.16) závisející pouze na Ω a N. Odtud‖u t ‖ C 2,α (Ω) ≦ 2(C 4.16 + C)‖f‖ C 0,α (Ω) .Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Tento odhad je platný pro všechna t ∈ [0, 1]. 1 Zvolme nějaké t 0 ∈ [0, 1]. Pro toto t 0 má úloha(4.26)–(4.27) řešení u t0 ∈ C 2,α (Ω). Díky předešlému odhadu řešení pro t = 0 dostaneme kontinuacípodle Věty 4.14.Věta 4.16 (Existence klasického řešení Dirichletovy úlohy, Gilbarg-Trudinger [9], Věta6.14, str. 107). Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast, L je striktně eliptický lineární operátor typu(4.12) na Ω, c ≦ 0 na Ω, f ∈ C α (Ω) a všechny koeficienty v L jsou z C α (Ω) pro nějaké 0 < α < 1.Nechť dále ∂∂Ω je třídy C 2,α a funkce g ∈ C 2,α (Ω). Potom Dirichletova úlohaLu = f v Ω , (4.28)u = g na ∂∂Ω (4.29)má právě jedno řešení v prostoru C 2,α (Ω)Věta 4.17 (Fredholmova alternativa pro klasické řešení, Gilbarg-Trudinger [9], Věta6.15, str. 107–108). Nechť Ω ⊂ R N je omezená oblast, L je striktně eliptický lineární operátortypu (4.12) na Ω (c může nabývat i kladných hodnot) a všechny koeficienty v L jsou z C α (Ω) pronějaké 0 < α < 1. Nechť dále ∂∂Ω je třídy C 2,α . Potom nastává právě jedna z následujících možností.1. Homogenní Dirichletova úlohaObsah269. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Lu = 0 v Ω ,u = 0 na ∂∂Ωmá pouze nulové řešení. V tomto případě má Dirichletova úlohaLu = f v Ω ,u = g na ∂∂Ω1 Pro t ∈ (0, 1] tento odhad omezuje řešení o jejichž existenci již víme z L 2 -teorie, pro t = 0 se jedná o apriorníodhad, tj. odhad typu pokud C 2,α (Ω) řešení existuje, pak již musí být tímto odhadem omezené.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

právě jedno řešení v prostoru C 2,α (Ω) pro libovoulnou f ∈ C α (Ω) a g ∈ C 2,α (Ω).2. V opačném případě množina všech řešení homogenní Dirichletovy úlohyLu = 0 v Ω ,u = 0 na ∂∂Ωtvoří konečně dimenzionální podprostor C 2,α (Ω).Obsah270. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4.4. Kvíz - eliptické parciální diferenciální rovniceEliptické rovnice - základní teorie1. Uvažujeme Poissonovu rovnici −Δu = f v Ω ; u = 0 na ∂∂Ω , Ω ⊂ R N .a) Klasické řešení u Poissonovy rovnice splňuje okrajové podmínky au∈H0 1(Ω)u∈W 1,N0 (Ω)u∈D(Ω)u∈C(Ω)∩C 2 (Ω)b) Slabé řešení u Poissonovy rovnice splňuje rovnost ∫︀ ∇u · ∇φ dx = ∫︀ fφ dxΩΩObsah271. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮∀φ∈H 1 0 (Ω) a u∈H1 0 (Ω)◭◮∀φ∈H0 1 1,N(Ω) a u∈W0 (Ω)∀φ∈D(Ω) a u∈H 1 0 (Ω)∀φ∈D(Ω) a u∈C 0 (Ω)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

c) Nechť f ∈ L 2 (Ω), potom existuje právě jedno slabé řešení u ∈ H0 1 (Ω) Poissonovy rovnice a profunkcionál F (v) =∫︀ ∫︀1|∇v| 22 dx− fv dx je F (u)= max F (v)ΩΩv∈H0 1(Ω) ∫︀1|∇v| 22 −fv dx je F (u)= min F (v)Ωv∈H0 1(Ω) ∫︀ ∫︀1|∇v| 22 dx− fv dx je F (u)= min F (v)ΩΩv∈H0 1(Ω) ∫︀1|∇v| 22 −fv dx je F (u)= max F (v)v∈H0 1(Ω) Ωd) Nechť Ω je omezená oblast s hranicí třídy C m . Nechť f ∈ H m (Ω) a u ∈ H 1 0 (Ω) je slabé řešeníPoissonovy rovnice. Potomu ∈ H m (Ω) a ‖u‖ H m ≦C‖f‖ H m,u ∈ H m+2 (Ω) a ‖u‖ H m+2 ≦C‖f‖ H m ,u ∈ H 1 0 (Ω) a ‖u‖ H 1 0 ≦C‖f‖ H m ,Obsah272. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u ∈ C 0 (Ω) a ‖u‖ H m ≦C‖f‖ H m ,kde konstanta C závisí pouze na Ω.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

2. Nechť Lu ≧ f v omezené oblasti Ω, L je uniformně eliptický operátor, c ≦ 0 a funkce u ∈ C(Ω)∩∩ C 2 (Ω). Potom platí sup u ≦Ωsup u + f+C sup+ λ∂∂ΩΩsup u + f+C sup− λ∂∂ΩΩsup u − f+C sup+ λ∂∂ΩΩsup u − f+C sup− λ∂∂ΩΩ3. Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N je oblast s hranicí třídy C 2,α a nechť u ∈ C 2,α (Ω) je klasické řešeníúlohy Lu = f v Ω, u = 0 na ∂∂Ω, kde f ∈ C 0,α (Ω), koeficienty operátoru L splňují podmínkuuniformní elipticity a existuje Λ > 0 takové, žePotom∀ i, j = 1, . . . , N : ‖a ij ‖ C 0,α (Ω) , ‖b i‖ C 0,α (Ω) , ‖c‖ C 0,α (Ω) ≦ Λ .‖u‖ C 2,α (Ω) ≦Obsah273. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮C(‖u‖ C 0,α (Ω) ) + ‖f‖ C 0,α (Ω) ,C(‖u‖ C 0,α (Ω) + ‖f‖ C 0,α (Ω) ),‖u‖ C 0,α (Ω) + C(‖f‖ C 0,α (Ω) ),C(‖u‖ C 1,α (Ω) + ‖f‖ C 0,α (Ω) ),kde kostanta C > 0 závisí na N, α, λ, Λ a Ω.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

4. Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N je oblast s hranicí třídy C 2,α , nechť koeficienty operátoru L splňujípodmínku uniformní elipticity a existuje Λ > 0 takové,∀ i, j = 1, . . . , N : ‖a ij ‖ C 0,α (Ω) , ‖b i‖ C 0,α (Ω) , ‖c‖ C 0,α (Ω) ≦ Λa c(x) ≦ 0 . Má-li Dirichletova úloha pro Poissonovu rovniciΔu = 0 v Ω ; u = g na ∂∂Ω , Ω ⊂ R Nřešení v prostoru C 2,α (Ω) pro každé g ∈ C 2,α (Ω), potom má i úlohaLu = 0 v Ω ; u = g na ∂∂Ω , Ω ⊂ R Njednoznačné řešení u∈C 2,α (Ω)nejednoznačné řešení u∈C 2,α (Ω)nejednoznačné řešení u∈C 2,α (Ω)jednoznačné řešení u∈C 2,α (Ω)∀ g ∈C 0,α (Ω)∀ g ∈C 2,α (Ω)∀ g ∈C 0,α (Ω)∀ g ∈C 2,α (Ω)Obsah274. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Schauderova teorie - podrobný kvíz1. Nechť B je Banachův prostor, V je normovaný lineární prostor a L 0 , L 1 : B → V jsou omezenélineární operátory. Položíme L t = (1 − t)L 0 + tL 1 pro t ∈ [0, 1]. Předpokládáme, že existujekonstanta C taková, že‖u‖ B ≦C‖L tu‖ V‖L 0 u‖ V ≦C‖L tu‖ V‖L tu‖ V ≦C‖L 1 u‖ V‖L tu‖ V ≦C‖u‖ Bpro všechna t ∈ [0, 1]. Potom L 1 zobrazuje B na V tehdy a jen tehdy když L 0 zobrazuje B na V.2. Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N , N ≧ 2, je omezená oblast s hranicí třídy C 2,α . PotomObsah275. strana ze 343∀f ∈ C 0,α (Ω), ∀g ∈ C 0,α (Ω)∀f ∈ L 2 (Ω), ∀g ∈ C 0,α (Ω)∃! řešení u∈C 2,α (Ω)∃! řešení u∈C 0,α (Ω)◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀f ∈ C 0,α (Ω), ∀g ∈ C 2,α (Ω)∃! řešení u∈C 2,α (Ω)∀f ∈ L 2 (Ω), ∀g ∈ C 0 (Ω)úlohy Δu = f v Ω, u = g na ∂∂Ω.∃! řešení u∈W 1,2 (Ω)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3. Nechť 0 < α < 1, Ω ⊂ R N je omezená oblast s hranicí třídy C 2,α , nechť koeficienty striktněeliptického operátoru L jsou z C 0,α (Ω). Uvažujeme homogenní Dirichletovu úlohua nehomogenní(1) Lu = 0 v Ω ; u = 0 na ∂∂Ω ,(2) Lu = f v Ω ; u = g na ∂∂Ω , f ∈ C 0,α (Ω), g ∈ C 2,α (Ω) .Potom(1) má pouze nulové řešení, pak (2) má ∀ f, g právě jedno řešení u∈C 2,α (Ω)mmožina řešení (1) tvoří nekonečně dimenzionální podprostor C 2,α (Ω)(1) má pouze nulové řešení, pak (2) má ∀ f, g alespoň jedno řešení u∈C 2,α (Ω)(1) má jedno nenulo- vé řešení, pak (2) má ∀ f, g právě jedno řešení u∈C 2,α (Ω)Obsah276. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 5Hillova-Yosidova větaObsah277. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemV této kapitole vysvětlíme abstraktní funkcionálně analytický aparát k řešení evolučních rovnic. Pomocítohoto aparátu můžeme evoluční parciální rovnice (např. rovnici vedení tepla nebo vlnovourovnic) chápat jako “obyčejnou diferenciální rovnici” s derivací v čase a funkčními hodnotami v Hilbertověprostoru viz Hillova-Yosidova věta. Před tím, než je tato stěžejní věta vyslovena je nutnézadefinovat podpůrné pojmy ze spektrální teorie neomezených operátorů v Hilbertových prostorech.Na konci kapitoly je pak vysvětlen a diskutován pojem semigrupy, který je základem moderní teorieevolučních parciálních diferenciálních rovnic.5.1. Definice a základní vlastnosti maximálních monotónníchoperátorůV celé kapitole bude H značit Hilbertův prostor.Definice 5.1. Neomezený lineární operátor A: D(A) ⊂ H → H nazýváme monotónní, jestližesplňuje(Av, v) ≧ 0 ∀v ∈ D(A).Řekneme, že je maximální monotónní, jestliže navíc platí R(I + A) = H, tj.Obsah278. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮∀f ∈ H ∃u ∈ D(A) takové, že u + Au = f.Propozice 5.2. Nechť A je maximální monotónní operátor. Potom1. D(A) je hustá podmnožina H,2. A je uzavřený operátor,3. pro každé λ > 0 je (I + λA) bijekce D(A) na H, (I + λA) −1 je omezený operátor a ‖(I ++ λA) −1 ‖ L(H) ≦ 1.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Důkaz.1. Nechť pro f ∈ H platí (f, v) = 0 pro každé v ∈ D(A). Tvrdíme, že pak f = 0. Existujev 0 ∈ D(A) takové, že v 0 + Av 0 = f. MámeTudíž v 0 = 0, a tedy f = 0.0 = (f, v 0 ) = ‖v 0 ‖ 2 + (Av 0 , v 0 ) ≧ ‖v 0 ‖ 2 .2. Zvolíme-li nějaké f ∈ H, existuje právě jedno u ∈ D(A) takové, že u + Au = f. Kdyby totižbylo ¯u také řešení, platilo byu − ¯u + A(u − ¯u) = 0.Vezmeme-li skalární součin s (u − ¯u) a využijeme monotonii, dostaneme u − ¯u = 0. Dále platí‖u‖ ≦ ‖f‖, protože ‖u‖ 2 + (Au, u) = (f, u) ≧ ‖u‖ 2 . Tudíž zobrazení f ↦→ u, které značíme(I + A) −1 , je omezený lineární operátor zobrazující H do sebe a ‖(I + A) −1 ‖ L(H) ≦ 1. Nynídokážeme, že A je uzavřený operátor. Nechť (u n ) je posloupnost v D(A) taková, že u n → u aAu n → f. Musíme ověřit, že u ∈ D(A) a Au = f. Ale u n + Au n → u + f, a tedyu n = (I + A) −1 (u n + Au n ) → (I + A) −1 (u + f).Odtud máme u = (I + A) −1 (u + f), tj. u ∈ D(A) a u + Au = u + f.3. Dokážeme, že pokud R(I + λ 0 A) = H pro nějaké λ 0 > 0, pak R(I + λA) = H pro každéλ > λ 0 /2. Stejně jako v důkazu tvrzení 2 platí, že pro každé f ∈ H existuje právě jednou ∈ D(A) takové, že u + λ 0 Au = f. Navíc je zobrazení f ↦→ u, které značíme (I + λ 0 A) −1 ,omezený lineární operátor s normou ‖(I + λ 0 A) −1 ‖ L(H) ≦ 1. Chceme vyřešit rovniciObsah279. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u + λAu = f, kde λ > 0. (5.1)Tato rovnice může být ekvivalentně zapsána ve tvaruu + λ 0 Au = λ (︂0λ f + 1 − λ )︂0u,λZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

nebo též[︂ (︂u = (I + λ 0 A) −1 λ0λ f + 1 − λ )︂ ]︂0u . (5.2)λJe-li ⃒ ⃒1 − λ0 ⃒λ< 1, tj. λ > λ 0 /2, můžeme použít princip kontraktivního zobrazení [6, Theorem5.7] k důkazu existence řešení rovnice (5.2).Tvrzení 3 dokážeme snadno indukcí: protože I + A je surjektivní, I + λA je surjektivní prokaždé λ > 1/2, tudíž i pro každé λ > 1/4 atd.Poznámka 5.3. Pokud A je maximální monotónní, potom také λA je maximální monotónní prokaždé λ > 0. Nicméně jsou-li A a B maximální monotónní operátory, potom jejich součet A + B,definovaný na D(A) ∩ D(B), nemusí být maximální monotónní.Definice 5.4. Nechť A je maximální monotónní operátor. Pro libovolné λ > 0 značímeJ λdef= (I + λA) −1 a A λdef= 1 λ (I − J λ),kde J λ nazýváme rezolventa operátoru A a A λ Yosidova aproximace (či regularizace) operátoru A.Připomínáme, že ‖J λ ‖ L(H) ≦ 1.Propozice 5.5. Nechť A je maximální monotónní operátor. PotomObsah280. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮1. A λ v = A(J λ v) ∀v ∈ H a ∀λ > 0,2. A λ v = J λ (Av) ∀v ∈ D(A) a ∀λ > 0,3. ‖A λ v‖ ≦ ‖Av‖ ∀v ∈ D(A) a ∀λ > 0,4. limλ→0J λ v = v5. limλ→0A λ v = Av∀v ∈ H,∀v ∈ D(A),Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

6. (A λ v, v) ≧ 0 ∀v ∈ H a ∀λ > 0,7. ‖A λ v‖ ≦ (1/λ)‖v‖ ∀v ∈ H a ∀λ > 0.Důkaz.1. Rovnost lze přepsat jako v = J λ v + λA(J λ v), což je přímo definice J λ v.2. Podle 1 mámeA λ v + A(v − J λ v) = Av,tj.A λ v + λA(A λ v) = Av,což znamená, že A λ v = (I + λA) −1 Av.3. plyne snadno z 2.4. Předpokládejme napřed, že v ∈ D(A). Potom‖v − J λ v‖ = λ‖A λ v‖ ≦ λ‖Av‖podle 3, a tudíž limλ→0J λ v = v.Nyní vezmeme libovolný prvek v prostoru H. Pro každé ε > 0 existuje v 1 ∈ D(A) takové, že‖v − v 1 ‖ ≦ ε, protože D(A) je hustá podmnožina H podle Propozice 5.2. MámeObsah281. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Tudížtakže‖J λ v − v‖ ≦ ‖J λ v − J λ v 1 ‖ + ‖J λ v 1 − v 1 ‖ + ‖v 1 − v‖≦ 2‖v − v 1 ‖ + ‖J λ v 1 − v 1 ‖ ≦ 2ε + ‖J λ v 1 − v 1 ‖.lim sup ‖J λ v − v‖ ≦ 2ε ∀ε > 0,λ→0lim ‖J λv − v‖ = 0.λ→0Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5. je důsledek 2 a 4.6. Máme(A λ v, v) = (A λ v, v − J λ v) + (A λ v, J λ v)= λ‖A λ v‖ 2 + (A(J λ v), J λ v),a tedy(A λ v, v) ≧ λ‖A λ v‖ 2 . (5.3)7. je důsledek (5.3) a Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti. Poznámka 5.6. Z Propozice 5.5 plyne, že (A λ ) λ>0 je třída omezených operátorů, které „aproximují“neomezený operátor A pro λ → 0. Tato aproximace bude často používána. Je pochopitelné, že norma‖A λ ‖ L(H) bude obecně neomezená pro λ → 0.Obsah282. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5.2. Řešení evoluční úlohy dudt + Au = 0 na [0, +∞), u(0) = u 0.Existence a jednoznačnostVýklad zahájíme následujícím klasickým výsledkem:Věta 5.7 (Cauchy, Lipschitz, Picard). Nechť E je Banachův prostor a F : E → E je lipschitzovskézobrazení, tj. existuje konstanta L taková, že‖F u − F v‖ ≦ L‖u − v‖∀u, v ∈ E.Potom pro každé u 0 ∈ E existuje právě jedno řešení u ∈ C 1 ([0, +∞), E) úlohy⎧⎨ du(t) = F u(t) na [0, +∞),dt⎩u(0) = u 0 .Prvku u 0 říkáme počáteční data.Důkaz.Existence. Vyřešit úlohu (5.4) znamená nalézt u ∈ C([0, +∞), E) splňující integrální rovniciu(t) = u 0 +Mějme k > 0, které určíme později. Označme{︃X def=∫︁ t0(5.4)F (u(s))ds. (5.5)u ∈ C([0, +∞), E) : sup e −kt ‖u(t)‖ < ∞t≧0Snadno lze ověřit, že X je Banachův prostor s normou‖u‖ Xdef= sup e −kt ‖u(t)‖.t≧0}︃.Obsah283. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Pro každé u ∈ X platí, že funkce Φu definovaná(Φu)(t) = u 0 +patří také do X. Navíc máme∫︁ t0F (u(s))ds‖Φu − Φv‖ X ≦ L k ‖u − v‖ X∀u, v ∈ X.Zvolíme-li k > L, pak má Φ (právě jeden) pevný bod u v X, který je řešením (5.5).Jednoznačnost. Nechť u a ¯u jsou řešení úlohy (5.4). Označmeφ(t) def= ‖u(t) − ¯u(t)‖.Z rovnice (5.5) plyne, žeφ(t) ≦ L∫︁ t0φ(s)ds ∀t ≧ 0,a tudíž φ ≡ 0.Předchozí věta je velmi užitečná pro studium obyčejných diferenciálních rovnic. Nicméně je máloužitečná pro studium parciálních diferenciálních rovnic. Zato následující věta je mocným nástrojempro řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic, viz Kapitola 6.Věta 5.8 (Hille-Yosida). Nechť A je maximální monotónní operátor a nechť u 0 ∈ D(A). Potomexistuje právě jedna funkceu ∈ C 1 ([0, +∞), H) ∩ C([0, +∞), D(A))(kde topologie na prostoru D(A) je indukována grafovou normou ‖v‖ + ‖Av‖, nebo ekvivalentníHilbertovou normou (‖v‖ 2 + ‖Av‖ 2 ) 1/2 ), splňující⎧⎨⎩du(t) + Au = 0dtu(0) = u 0 .na [0, +∞),(5.6)Obsah284. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Navíc platí‖u(t)‖ ≦ ‖u 0 ‖a⃦ du ⃦⃦⃦⃦ dt (t) = ‖Au(t)‖ ≦ ‖Au 0 ‖ ∀t ≧ 0.Poznámka 5.9. Význam Věty 5.8 spočívá v tom, že převádí „evoluční úlohu“ na „stacionárnírovnici“ u + Au = f (víme-li již, že A je monotónní, což lze v praktických aplikacích snadno ověřit).Důkaz je rozdělen do šesti kroků.Krok 1: Jednoznačnost. Nechť u a ¯u jsou řešení úlohy (5.6). Platí(︂ ddt (u − ¯u), u − ¯u )︂= −(A(u − ¯u), u − ¯u) ≦ 0.Pro každé φ ∈ C 1 ([0, +∞), H) platí, žea tedy‖φ‖ 2 ∈ C 1 ([0, +∞), R)1 d2 dt ‖u(t) − ¯u(t)‖2 =a(︂ )︂ddφdt ‖φ‖2 = 2dt , φ ,(︂ ddt (u(t) − ¯u(t)), u(t) − ¯u(t) )︂.Odtud plyne, že funkce t ↦→ ‖u(t)− ¯u(t)‖ je nerostoucí na [0, +∞). Protože ‖u(0)− ¯u(0)‖ = 0, mámeObsah285. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮‖u(t) − ¯u(t)‖ = 0 ∀t ≧ 0.Hlavní myšlenkou důkazu existence je nahradit operátor A v úloze (5.6) operátorem A λ , použítVětu 5.7 na aproximující úlohu a pak přejít k limitě pro λ → 0 s použitím různých odhadů nezávislýchna λ. Nechť je tedy u λ řešením úlohy⎧⎨⎩du λdt + A λu λ = 0na [0, +∞),u λ (0) = u 0 ∈ D(A).(5.7)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Krok 2: Máme odhady‖u λ (t)‖ ≦ ‖u 0 ‖ ∀t ≧ 0 ∀λ > 0, (5.8)⃦ du λ ⃦⃦⃦⃦ dt (t) = ‖A λ u λ (t)‖ ≦ ‖Au 0 ‖ ∀t ≧ 0 ∀λ > 0, (5.9)které plynou přímo z následujícího lemmatu a skutečnosti, že ‖A λ u 0 ‖ ≦ ‖Au 0 ‖.Lemma 5.10. Nechť w ∈ C 1 ([0, +∞), H) je funkce splňujícídwdt + A λw = 0 na [0, +∞). (5.10)Potom jsou funkce t ↦→ ‖w(t)‖ a t ↦→ ⃦ ⃦ dwdt (t)⃦ ⃦ = ‖Aλ w(t)‖ nerostoucí na [0, +∞).Důkaz. Máme(︂ dwdt , w )︂+ (A λ w, w) = 0.Díky Propozici 5.56 víme, že (A λ w, w) ≧ 0, takže 1 2 dt ‖w‖2 ≦ 0, a tedy ‖w(t)‖ je nerostoucí. Na druhoustranu A λ je lineární omezený operátor, takže z rovnice (5.7) plyne (indukcí), že w ∈ C ∞ ([0, ++∞), H) a také, že(︂ )︂ (︂ )︂d dw dw+ A λ = 0.dt dt dtStejně jako ‖w(t)‖ je tedy i ⃦ ⃦ dwdt (t)⃦ ⃦ ⃦⃦ nerostoucí. Dokonce pro libovolné k ∈ N jed k w(t)dt⃦ takéknerostoucí.Krok 3: Nyní dokážeme, že pro libovolné t ≧ 0 konverguje u λ (t) pro λ → 0 k nějaké limitě, kterouoznačíme u(t). Tato konvergence je navíc stejnoměrná na libovolném omezeném intervalu [0, T ].Pro každé λ, μ > 0 mámedu λdt − du μdt + A λu λ − A μ u μ = 0,d⃦Obsah286. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a tedy1 d2 dt ‖u λ(t) − u μ (t)‖ 2 + (A λ u λ (t) − A μ u μ (t), u λ (t) − u μ (t)) = 0. (5.11)Vynecháme-li pro přehlednost argument t, můžeme psát(A λ u λ − A μ u μ , u λ − u μ )= (A λ u λ − A μ u μ , u λ − J λ u λ + J λ u λ − J μ u μ + J μ u μ − u μ )= (A λ u λ − A μ u μ , λA λ u λ − μA μ u μ )+ (A(J λ u λ − J μ u μ ), J λ u λ − J μ u μ )≧ (A λ u λ − A μ u μ , λA λ u λ − μA μ u μ ).(5.12)Z (5.9), (5.11) a (5.12) plyneIntegrací této nerovnosti dostávámetj.1 d2 dt ‖u λ − u μ ‖ 2 ≦ 2(λ + μ)‖Au 0 ‖ 2 .‖u λ (t) − u μ (t)‖ 2 ≦ 4(λ + μ)t‖Au 0 ‖ 2 ,‖u λ (t) − u μ (t)‖ ≦ 2 √︀ (λ + μ)t‖Au 0 ‖. (5.13)Odtud plyne, že pro každé pevné t ≧ 0 je u λ (t) cauchyovská posloupnost pro λ → 0, a tedykonverguje k nějaké limitě, kterou označíme u(t). Přechodem k limitě pro μ → 0 v nerovnosti (5.13)dostaneme‖u λ (t) − u(t)‖ ≦ 2 √ λt‖Au 0 ‖.Tato konvergence je tedy stejnoměrná pro t z libovolného omezeného intervalu [0, T ], takže u ∈ C([0, ++∞), H).Obsah287. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Krok 4: Budeme-li navíc předpokládat, že u 0 ∈ D(A 2 ), tj. nejen u 0 ∈ D(A), ale i Au 0 ∈ D(A),potom dokážeme, že du λdt(t) konverguje pro λ → 0 k nějaké limitě a že tato konvergence je stejnoměrnána libovolném omezeném intervalu [0, T ].defOzačíme-li v λ = du λdt , máme dv λdt+ A λ v λ = 0. Použitím stejného argumentu jako v Kroku 3dostaneme, že1 d2 dt ‖v λ − v μ ‖ 2 ≦ (‖A λ v λ ‖ + ‖A μ v μ ‖)(λ‖A λ v λ ‖ + μ‖A μ v μ ‖). (5.14)Z Lemmatu 5.10 plyne‖A λ v λ (t)‖ ≦ ‖A λ v λ (0)‖ = ‖A λ A λ u 0 ‖ (5.15)a obdobněProtože Au 0 ∈ D(A), dostávámea tedy‖A μ v μ (t)‖ ≦ ‖A μ v μ (0)‖ = ‖A μ A μ u 0 ‖. (5.16)A λ A λ u 0 = J λ AJ λ Au 0 = J λ J λ AAu 0 = J 2 λA 2 u 0 ,‖A λ A λ u 0 ‖ ≦ ‖A 2 u 0 ‖ a ‖A μ A μ u 0 ‖ ≦ ‖A 2 u 0 ‖. (5.17)Z nerovností (5.14), (5.15), (5.16) a (5.17) konečně plyne, že1 d2 dt ‖v λ − v μ ‖ 2 ≦ 2(λ + μ)‖A 2 u 0 ‖ 2 .Stejně jako v Kroku 3 odtud vyplývá, že v λ (t) = du λdt(t) konverguje pro λ → 0 k nějaké limitě a žetato konvergence je stejnoměrná na každém omezeném intervalu [0, T ].Krok 5: Za předpokladu u 0 ∈ D(A 2 ) dokážeme, že u je řešení úlohy (5.6).Z předchozích Kroků 3 a 4 víme, že pro všechna T < ∞{︃u λ (t) → u(t) pro λ → 0, stejnoměrně na [0, T ],du λdt(t) konverguje pro λ → 0, stejnoměrně na [0, T ].Obsah288. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Odtud už plyne, že u ∈ C 1 ([0, +∞), H) a du λ dudt(t) →dt(t) pro λ → 0, stejnoměrně na [0, T ]. Přepíšemerovnici v úloze (5.7) do tvarudu λdt (t) + A(J λu λ (t)) = 0. (5.18)Pro λ → 0 konverguje J λ u λ (t) → u(t), protože‖J λ u λ (t) − u(t)‖ ≦ ‖J λ u λ (t) − J λ u(t)‖ + ‖J λ u(t) − u(t)‖≦ ‖u λ (t) − u(t)‖ + ‖J λ u(t) − u(t)‖ → 0.Protože A má uzavřený graf, plyne z (5.18), že u(t) ∈ D(A) pro všechna t ≧ 0 adu(t) + Au(t) = 0.dtProtože u ∈ C 1 ([0, +∞), H), je funkce t ↦→ Au(t) spojitá z [0, +∞) do H, a tedy u ∈ C([0, ++∞), D(A)). Dostali jsme tedy řešení úlohy (5.6), které navíc splňuje⃦ ‖u(t)‖ ≦ ‖u 0 ‖ adu ⃦⃦⃦⃦ dt (t) = ‖Au(t)‖ ≦ ‖Au 0 ‖ ∀t ≧ 0.Krok 6: Nyní dokončíme důkaz věty.K tomu využijeme následující lemma.Lemma 5.11. Nechť u 0 ∈ D(A). Potom pro každé ε > 0 existuje ¯u 0 ∈ D(A 2 ) takové, že ‖u 0 −− ¯u 0 ‖ < ε a ‖Au 0 − A¯u 0 ‖ < ε. Jinými slovy, D(A 2 ) je hustá podmnožina D(A) (v grafové normě).Důkaz. Zvolíme ¯u 0 = J λ u 0 pro nějaké vhodné λ > 0, které určíme později. MámeObsah289. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮¯u 0 ∈ D(A) a ¯u 0 + λA¯u 0 = u 0 .Je tedy A¯u 0 ∈ D(A), tj. ¯u 0 ∈ D(A 2 ). Na druhou stranu díky Propozici 5.5 víme, želim ‖J λu 0 − u 0 ‖ = 0,λ→0lim ‖J λ Au 0 − Au 0 ‖ = 0 a J λ Au 0 = AJ λ u 0 .λ→0Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Požadované tvrzení dostaneme, zvolíme-li λ > 0 dostatečně malé.Nyní se vrátíme k důkazu Věty 5.8. Pro dané u 0 ∈ D(A) zkonstruujeme s použitím Lemmatu 5.11posloupnost (u 0n ) v D(A 2 ) takovou, že u 0n → u 0 a Au 0n → Au 0 . Podle Kroku 5 existuje řešení u núlohy⎧⎨ du ndt + Au n = 0 na [0, +∞),(5.19)⎩u n (0) = u 0n .Pro libovolné t ≧ 0 mámeTudíž‖u n (t) − u m (t)‖ ≦ ‖u 0n − u 0m ‖ −→ 0,m,n→∞ du n⃦ dt (t) − du ⃦m ⃦⃦⃦dt (t) ≦ ‖Au 0n − Au 0m ‖ −→u n (t) → u(t)du n du(t) →dt dt (t)m,n→∞ 0.stejnoměrně na [0, +∞),stejnoměrně na [0, +∞),kde u ∈ C 1 ([0, +∞), H). Přechodem k limitě v úloze (5.19) s využitím uzavřenosti operátoru Adostaneme, že u(t) ∈ D(A) a u splňuje (5.6). Z (5.6) pak vyplývá, že u ∈ C([0, +∞), D(A)). Obsah290. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 5.12. Nechť u λ je řešení (5.7).1. Předpokládejme, že u 0 ∈ D(A). Podle Kroku 3 víme, že pro λ → 0 konverguje u λ (t) pro každét ≧ 0 k nějaké limitě u(t). Lze přímo dokázat, že u ∈ C 1 ([0, +∞), H) ∩ C([0, +∞), D(A)) a žesplňuje (5.6).2. Předpokládejme pouze, že u 0 ∈ H. Stále můžeme dokázat, že pro λ → 0 konverguje u λ (t) prokaždé t ≧ 0 k nějaké limitě, kterou značíme u(t). Může se ale stát, že tato limita u(t) nepatřído D(A) pro všechna t ≧ 0 a že u(t) není na [0, +∞) nikde diferencovatelné. Pak u(t) neníZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

„klasické“ řešení (5.6). Pro takové u 0 pak (5.6) nemá žádné klasické řešení. Můžeme nicménětakové u(t) považovat za „zobecněné“ řešení úlohy (5.6). V sekci 5.4 uvidíme, že tato situacenemůže nastat, je-li operátor A samoadjungovaný. V tomto případě je u(t) „klasické“ řešení(5.6) pro každé u 0 ∈ H, i když u 0 ∉ D(A).Poznámka 5.13 (Kontrakční semigrupy). Pro libovolné t ≧ 0 uvažujme lineární zobrazeníu 0 ∈ D(A) ↦→ u(t) ∈ D(A), kde u(t) je řešení úlohy (5.6), jehož existenci zaručuje Věta 5.8. Protože‖u(t)‖ ≦ ‖u 0 ‖ a D(A) je hustá podmnožina H, můžeme toto zobrazení spojitě rozšířit na omezenýoperátor z H do sebe, který značíme S A (t). Můžeme též použít Poznámku 5.122 a definovat S A (t) naH přímo jako zobrazení u 0 ∈ H ↦→ u(t) ∈ H. Lze snadno ověřit, že S A (t) má následující vlastnosti:1. pro každé t ≧ 0 je S A (t) ∈ L(H) a ‖S A (t)‖ L(H) ≦ 1,2.{︃SA (t 1 + t 2 ) = S A (t 1 ) ∘ S A (t 2 ) ∀t 1 , t 2 ≧ 0,S A (0) = I,3. limt→0‖S A (t)u 0 − u 0 ‖ = 0t>0∀u 0 ∈ H.Taková třída {S(t)} t≧0 operátorů (z H do sebe) závisející na parametru t ≧ 0 se nazývá spojitásemigrupa kontrakcí.Hille a Yosida dokonce dokázali i opačné tvrzení, tj., že pro každou spojitou semigrupu kontrakcíS(t) na H existuje právě jeden maximální monotónní operátor A takový, že S(t) = S A (t) pro všechnat ≧ 0. Tím je tedy dáno vzájemně jednoznačné přiřazení mezi maximálními monotónními operátorya spojitými semigrupami kontrakcí.Poznámka 5.14. Nechť A je maximální monotónní operátor a λ ∈ R. Úlohu⎧⎨⎩du+ Au + λu = 0dtu(0) = u 0 ,na [0, +∞),Obsah291. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

lze redukovat na úlohu (5.6) pomocí jednoduché substituce. Označmev(t) def= e λt u(t).Potom v splňuje⎧⎨⎩dvdt + Av = 0 na [0, +∞),v(0) = u 0 .Obsah292. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5.3. RegularitaDokážeme, že za dodatečných předpokladů na počáteční data u 0 je řešení u úlohy (5.6), jehožexistenci zaručuje Věta 5.8, hladší, než pouze C 1 ([0, +∞), H) ∩ C([0, +∞), D(A)). Za tím účelemdefinujeme indukcí prostorD(A k ) = {︀ v ∈ D(A k−1 ) : Av ∈ D(A k−1 ) }︀ ,kde k ∈ N, k ≧ 2. Vidíme, že D(A k ) je Hilbertův prostor se skalárním součinema příslušnou normou(u, v) D(Ak )‖u‖ D(Ak )def=def=⎛⎝k∑︁(A j u, A j v)j=0k∑︁j=0⎞ 12‖A j u‖ 2 ⎠ .Věta 5.15. Nechť u 0 ∈ D(A k ) pro nějaké k ∈ N, k ≧ 2. Potom řešení u úlohy (5.6), dané Větou5.8, splňujeu ∈ C k−j ([0, +∞), D(A j )) ∀j ∈ {0, 1, . . . , k}.Důkaz. Nejprve předpokládejme, že k = 2. Uvažujme Hilbertův prostor H 1 = D(A) se skalárnímsoučinem (u, v) D(A) . Lze snadno ověřit, že operátor A 1 : D(A 1 ) ⊂ H 1 → H 1 , definovaný{︃D(A 1 ) = D(A 2 ),A 1 u = Au pro u ∈ D(A 1 ),je maximální monotónní na H 1 . Použijeme-li Větu 5.8 na operátor A 1 v prostoru H 1 , dostanemeexistenci funkceu ∈ C 1 ([0, +∞), H 1 ) ∩ C([0, +∞), D(A 1 ))Obsah293. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

takové, že⎧⎨⎩dudt + A 1u = 0u(0) = u 0 .na [0, +∞),Tedy u je řešením úlohy (5.6), které je dáno jednoznačně. Zbývá tudíž dokázat, že u ∈ C 2 ([0, ++∞), H). ProtožeA ∈ L(H 1 , H) a u ∈ C([0, +∞), H 1 ),máme Au ∈ C 1 ([0, +∞), H) aPoužijeme-li (5.6), dostanemeadudt ∈ C1 ([0, +∞), H),ddt(︂ )︂ du+ Adt(︂ )︂ddudt (Au) = A . (5.20)dttj. u ∈ C 2 ([0, +∞), H),(︂ )︂ du= 0 na [0, +∞). (5.21)dtNyní přejdeme k obecnému případu k ≧ 3. Budeme postupovat indukcí přes k. Předpokládejme,že tvrzení platí až do řádu k − 1 a vezměme u 0 ∈ D(A k ). Díky předchozí analýze víme, že řešení uúlohy (5.6) patří do C 2 ([0, +∞), H) ∩ C 1 ([0, +∞), D(A)) a že splňuje (5.22). Označíme-limámev def= dudt ,v ∈ C 1 ([0, +∞), H) ∩ C([0, +∞), D(A)),⎧⎨⎩dvdt + Av = 0v(0) = −Au 0 .na [0, +∞),Obsah294. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Jinými slovy, v je (jednoznačné) řešení úlohy (5.6) s počáteční podmínkou v 0 = −Au 0 . Protožev 0 ∈ D(A k−1 ), víme podle indukčního předpokladu, žetj.Už zbývá jen ověřit, žePoužijeme-li (5.22) s j = k − 1, vidíme, žev ∈ C k−1−j ([0, +∞), D(A j )) ∀j ∈ {0, 1, . . . , k − 1}, (5.22)u ∈ C k−j ([0, +∞), D(A j )) ∀j ∈ {0, 1, . . . , k − 1}.u ∈ C([0, +∞), D(A k )). (5.23)Z (5.24) a (5.6) pak plyne, žetj. platí (5.23).dudt ∈ C([0, +∞), D(Ak−1 )). (5.24)Au ∈ C([0, +∞), D(A k−1 )),Obsah295. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

5.4. Samoadjungovaný případNechť A: D(A) ⊂ H → H je neomezený lineární operátor s D(A) = H. Ztotožníme-li H * s H,můžeme na A * nahlížet jako na neomezený lineární operátor na H.Definice 5.16. Říkáme, že∙ A je symetrický, jestliže (Au, v) = (u, Av) ∀u, v ∈ D(A),∙ A je samoadjungovaný, jestliže D(A * ) = D(A) a A * = A.Poznámka 5.17. Pro omezené operátory pojmy symetrického a samoadjungovaného operátorusplývají. Nicméně pro nemezené operátory je mezi symetrickým a samoadjungovaným operátoremjemný rozdíl. Každý samoadjungovaný operátor je zřejmě rovněž symetrický. Opačně to ale neplatí,protože symetrie operátoru A znamená pouze, že A ⊂ A * , tj. D(A) ⊂ D(A * ) a A * = A na D(A).Může se ale stát, že A je symetrický a D(A) D(A * ). Následující tvrzení říká, že pokud A jemaximální monotónní, pakA je symetrický ⇐⇒ A je samoadjungovaný.Propozice 5.18. Nechť A je maximální monotónní symetrický operátor. Potom je A samoadjungovaný.Obsah296. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Důkaz. Označme J 1def= (I+A) −1 . Nejprve dokážeme, že J 1 je samoadjungovaný. Protože J 1 ∈ L(H),stačí ověřit, že(J 1 u, v) = (u, J 1 v) ∀u, v ∈ H. (5.25)Označíme u 1def= J 1 u a v 1def= J 1 v, takžeu 1 + Au 1 = u,v 1 + Av 1 = v.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Podle předpokladu máme (u 1 , Av 1 ) = (Au 1 , v 1 ), a tedy (u 1 , v) = (u, v 1 ), tj. platí (5.25).Nechť u ∈ D(A * ) a označme f def= u + A * u. Máme(f, v) = (u, v + Av)∀v ∈ D(A),tj.(f, J 1 w) = (u, w)∀w ∈ H.Odtud plyne, že u = J 1 f, a tedy u ∈ D(A). Tím jsme dokázali, že D(A * ) = D(A), tedy že A jesamoadjungovaný.Poznámka 5.19. Je třeba si dát pozor, že když je A monotónní operátor (dokonce symetrickýmonotónní operátor), pak A * nemusí být monotónní. Nicméně lze dokázat, že následující vlastnostijsou ekvivalentní:A je maximální monotónní ⇐⇒ A * je maximální monotónní⇐⇒ A je uzavřený, D(A) je hustá, A a A * jsou monotónní.Věta 5.20. Nechť A je samoadjungovaný maximální monotónní operátor. Pak pro každé u 0 ∈ Hexistuje právě jedna funkceu ∈ C([0, +∞), H) ∩ C 1 ((0, +∞), H) ∩ C((0, +∞), D(A))Obsah297. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮taková, žeNavíc máme‖u(t)‖ ≦ ‖u 0 ‖⎧⎨ du(t) + Au = 0 na (0, +∞),dt⎩u(0) = u 0 .a⃦ du ⃦⃦⃦⃦ dt (t) = ‖Au(t)‖ ≦ 1 t ‖u 0‖ ∀t > 0,u ∈ C k ((0, +∞), D(A l )) ∀k, l ∈ {0, 1, 2, . . . }. (5.26)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 5.21. Zdůrazněme rozdíl mezi Větami 5.8 a 5.20. Zde máme libovolné u 0 ∈ H (místou 0 ∈ D(A)), zato tvrzení říká, že řešení úlohy je hladké mimo t = 0 a ⃦ dudt (t)⃦ ⃦ může jít do nekonečnapro t → 0+.Důkaz.Jednoznačnost. Nechť u a ¯u jsou řešení. Díky monotonii A je pak funkce φ(t) def= ‖u(t) − ¯u(t)‖ 2nerostoucí na (0, +∞). Zároveň je φ spojitá na [0, +∞) a φ(0) = 0. Tudíž φ ≡ 0.Existence. Důkaz rozdělíme do dvou kroků.Krok 1. Nejprve budeme předpokládat, že u 0 ∈ D(A 2 ) a že u je řešení (5.6), jehož existenci zaručujeVěta 5.8. Tvrdíme, že⃦ ⃦ ⃦⃦⃦ du ⃦⃦⃦dt (t) ≦ 1 t ‖u 0‖ ∀t > 0. (5.27)Stejně jako v důkazu Propozice 5.18 mámeJ * λ = J λ a A * λ = A λ ∀λ > 0.Vracíme se přibližné úloze, formulované v důkazu Věty 5.8,⎧⎨ du λdt + A λu λ = 0 na [0, +∞),⎩u λ (0) = u 0 .(5.28)Obsah298. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Vezmeme-li skalární součin rovnice v (5.28) s u λ a zintegrujeme přes [0, T ], dostaneme∫︁1T2 ‖u λ(T )‖ 2 + (A λ u λ , u λ )dt = 102 ‖u 0‖ 2 . (5.29)Vezmeme-li skalární součin rovnice v (5.28) s t du λdt⃦∫︁ T0⃦⃦du λ ⃦⃦⃦2 ∫︁ Tdt (t) t dt +0a zintegrujeme přes [0, T ], dostaneme(︂A λ u λ (t), du λdt (t) )︂t dt = 0. (5.30)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Máme(︂ )︂ (︂ddt (A du λλu λ , u λ ) = A λdt , u λ + A λ u λ , du )︂ (︂λ= 2 A λ u λ , du )︂λ,dtdtprotože A * λ = A λ. Použijeme-li integraci per partes na druhý integrál v (5.30), dostaneme∫︁ T0(︂A λ u λ (t), du )︂λdt (t) t dt = 1 ∫︁ T2 0= 1 2 (A λu λ (T ), u λ (T ))T − 1 2d(A λ u λ , u λ )t dtdt∫︁ T0(A λ u λ , u λ )dt.(5.31)Protože je funkce t ↦→ ⃦ ⃦ du λdt (t)⃦ ⃦ nerostoucí díky Lemmatu 5.10, máme∫︁ T0⃦ du λ ⃦⃦⃦2⃦ dt (t) t dt ≧Nyní zkombinujeme (5.29), (5.30), (5.31) a (5.32) a dostaneme⃦du λdt (T ) ⃦ ⃦⃦⃦ 2 T 22 . (5.32)12 ‖u λ(T )‖ 2 + T (A λ u λ (T ), u λ (T )) + T 2 ⃦ ⃦⃦⃦ du λdt (T ) ⃦ ⃦⃦⃦2≦ 1 2 ‖u 0‖ 2 .Obsah299. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Odtud pak plyne⃦ du λ ⃦⃦⃦⃦ dt (T ) ≦ 1 T ‖u 0‖ ∀T > 0. (5.33)Nakonec v (5.33) přejdeme k limitě pro λ → 0+. Tím je dokončen důkaz (5.27), protože du λdt(viz Krok 5 důkazu Věty 5.8).Krok 2. Nyní předpokládejme, že u 0 ∈ H. Nechť (u 0n ) je posloupnost v D(A 2 ) taková, že u 0n → u 0(připomeňme, že D(A 2 ) je hustá podmnožina D(A) a D(A) je hustá podmnožina H, takže D(A 2 )→ dudtZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

je hustá podmnožina H). Nechť u n je řešením úlohyDíky Větě 5.8 víme, že⎧⎨⎩du ndt + Au n = 0u n (0) = u 0n .na [0, +∞),‖u n (t) − u m (t)‖ ≦ ‖u 0n − u 0m ‖ ∀m, n ∈ N ∀t ≧ 0a díky Kroku 1, žedu n⃦ dt (t) − du ⃦m ⃦⃦⃦dt (t) ≦ 1 t ‖u 0n − u 0m ‖ ∀m, n ∈ N ∀t > 0.Odtud plyne, že u n konverguje stejnoměrně na [0, +∞) k nějaké limitě u(t) a dundt(t) konverguje k(t) stejnoměrně na libovolném intervalu [δ, +∞), kde δ > 0. Limitní funkce u splňujedudtu ∈ C([0, +∞), H) ∩ C 1 ((0, +∞), H),u(t) ∈ D(A) ∀t > 0 adu(t) + Au(t) = 0 ∀t > 0dt(zde využíváme toho, že A je uzavřený).Nyní přikročíme k důkazu (5.26). Indukcí přes k ≧ 2 dokážeme, žeObsah300. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u ∈ C k−j ((0, +∞), D(A j )) ∀j ∈ {0, 1, . . . , k}. (5.34)Předpokládejme tedy, že (5.34) platí až do řádu k − 1. Platí tudížu ∈ C((0, +∞), D(A k−1 )). (5.35)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

K důkazu (5.34) stačí (vzhledem k Větě 5.15) ověřit, žeu ∈ C((0, +∞), D(A k )). (5.36)Uvažujme Hilbertův prostor˜Hdef= D(A k−1 ) a operátor ˜A: D( ˜A) ⊂ ˜H → ˜H definovaný{︃D( ˜A) = D(A k ),˜A = A.Vidíme, že ˜A je maximální monotónní a symetrický v ˜H, je tedy samoadjungovaný. Použijeme-liprvní tvrzení Věty 5.20 v Prostoru ˜H na operátor ˜A, získáme jednoznačné řešení v úlohypro libovolné v 0 ˜H. Navíc máme⎧⎨ dv(t) + Av = 0dt⎩v(0) = v 0 .na (0, +∞),v ∈ C([0, +∞), ˜H) ∩ C 1 ((0, +∞), ˜H) ∩ C((0, +∞), D( ˜A)).Obsah301. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zvolíme-li v 0 = u(ε), kde ε > 0, dostaneme u ∈ C((ε, +∞), D(A k )), protože podle (5.35) již víme,že v 0 ∈ ˜H. Tím jsme dokončili důkaz (5.36).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah302. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Kapitola 6Úlohy pro evoluční diferenciálnírovniceObsah303. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Průvodce studiemV této kapitole budeme aplikovat výsledky předchozí kapitoly na rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici.Rovnice vedení tepla je nejjednodušším příkladem parabolické rovnice a lze na ní vysvětlit principyzákladních metod pro stanovení existence, jednoznačnosti a regularity řešení počáteční úlohy bezkomplikací technickými detaily. Zároveň však jsou tyto metody aplikovatelné na počáteční úlohy proparabolické rovnice obecně. Také zde zmíníme souvislost s Fourierovou metodou, která se v praktickýchvýpočtech řešení počátečních úloh evolučních rovnic úspěšně používá přibližně 200 let. V závěrukapitoly je studována vlnová rovnice, která představuje nejjednodušší příklad hyperbolické rovnice.Opět je studována existence, jednoznačnost a regularita řešení počáteční úlohy. Navíc je dokázánzákon zachování energie pro vlnovou rovnici.6.1. Rovnice vedení tepla: existence, jednoznačnost a regularitaPísmenem Ω budeme značit otevřenou podmnožinu R N s hranicí ∂∂Ω. Dále označmeObsah304. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮Q def= Ω × (0, +∞),Σ def= ∂∂Ω × (0, +∞),kde Q nazýváme (časoprostorovým) válcem a Σ jeho pláštěm.Uvažujme úlohu nalézt funkci u(x, t): Ω × [0, +∞) → R takovou, že◭◮∂∂u− Δu = 0∂∂tna Q, (6.1)u = 0 na Σ, (6.2)u(x, 0) = u 0 (x) na Ω, (6.3)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde Δ = N ∑︀i=1∂∂ 2∂∂x 2 ije Laplacův operátor v prostorových proměnných x, dále t je časová proměnná au 0 (x) je daná funkce, zvaná počáteční (Cauchyho) podmínka či počáteční data.Rovnici (6.1) nazýváme rovnicí vedení tepla, protože modeluje rozložení tepla u v oblasti Ω včase t. Rovnice vedení tepla a její varianty se používají k modelování různých difuzních jevů (nejendifuze tepla). Rovnice vedení tepla je také nejjednodušším příkladem parabolické rovnice.Rovnici (6.2) říkáme (homogenní) Dirichletova okrajová podmínka. Ta může být nahrazena Neumannovouokrajovou podmínkou∂∂u= 0 na Σ, (6.4)∂∂nkde n je vektor jednotkové vnější normály k ∂∂Ω, případně jinou okrajovou podmínkou (viz např.[6, Chapters 8, 9]). Podmínka (6.2) odpovídá předpokladu, že teplota na hranici ∂∂Ω je udržovánana nule, zatímco podmínka (6.4) odpovídá předpokladu, že tok tepla přes hranici ∂∂Ω je nulový(izolovaná hranice). Řešení u(x, t) úlohy (6.1), (6.2), (6.3) budeme hledat jakožto funkci časovéproměnné t definovanou na [0, +∞) s hodnotami v prostoru H, kde H je vhodný prostor funkcí,závisejících pouze na x, například H = L 2 (Ω) či H = H 1 0 (Ω). Píšeme-li pouze u(t), máme tím namysli, že u(t) je prvek prostoru H, tedy funkce x ↦→ u(x, t). Tento přístup nám umožní vyřešitúlohu (6.1), (6.2), (6.3) velmi snadno kombinací Hillovy-Yosidovy věty a výsledků uvedených v [6,Chapters 8, 9].Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat, že Ω je třídy C ∞ s omezenou hranicí∂∂Ω, nicméně tento předpoklad lze podstatně zeslabit, pokud hledáme pouze slabá řešení.Obsah305. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Věta 6.1. Nechť u 0 ∈ L 2 (Ω). Potom existuje právě jedna funkce u splňující (6.1), (6.2), (6.3),u ∈ C([0, +∞), L 2 (Ω)) ∩ C((0, +∞), H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) a (6.5)u ∈ C 1 ((0, +∞), L 2 (Ω)). (6.6)Navíc platíu ∈ C ∞ (Ω × [ε, +∞)) ∀ε > 0,Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

dále u ∈ L 2 ((0, +∞), H 1 0 (Ω)) akdea∫︁1T2 ‖u(T )‖2 L 2 (Ω) +0‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt = 1 2 ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) ∀T > 0, (6.7)‖u(T )‖ 2 L 2 (Ω) = ∫︁ΩN‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) = ∑︁∫︁i=1Ω|u(x, T )| 2 dx2∂∂u⃒ (x, t)∂∂x i⃒ dx.Důkaz provedeme pomocí Hillovy-Yosidovy teorie v prostoru H = L 2 (Ω) (prostor lze zvolit i jinak,viz důkaz Věty 6.2). Uvažujme neomezený operátor A: D(A) ⊂ H → H definovaný{︃D(A) = H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω),Au = −Δu.Je důležité zdůraznit, že okrajové podmínky (6.2) jsou zahrnuty ve volbě definičního oboru D(A).Tvrdíme, že A je samoadjungovaný maximální monotónní operátor. Pak lze totiž použít Větu [6,Theorem 7.7] k důkazu existence jednoznačného řešení úlohy (6.1), (6.2), (6.3), splňujícího (6.5) a(6.6).(i) A je monotónní. Pro všechna u ∈ D(A) máme∫︁∫︁(Au, u) L 2 (Ω) = (−Δu)u =ΩΩ|∇u| 2 ≧ 0.(ii) A je maximální monotónní. Musíme ověřit, že R(I + A) = H = L 2 (Ω). Víme (viz [6, Theorem9.25]), že pro libovolné f ∈ L 2 (Ω) existuje právě jedno řešení u ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω) rovniceu − Δu = f.Obsah306. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(iii) A je samoadjungovaný. Díky [6, Proposition 7.6] stačí ověřit, že operátor A je symetrický. Provšechna u, v ∈ D(A) platí∫︁∫︁(Au, v) L 2 (Ω) = (−Δu)v = ∇u · ∇vatakže (Au, v) = (u, Av).∫︁(u, Av) L2 (Ω) =ΩΩ∫︁u(−Δv) =ΩΩ∇u · ∇v,Dále z [6, Theorem 9.25] plyne, že pro libovolné l ∈ N je D(A l ) ⊂ H 2l (Ω) se spojitým prostýmvnořením. Přesněji řečeno,D(A l ) = {︀ u ∈ H 2l (Ω) : u = Δu = · · · = Δ l−1 u = 0 na ∂∂Ω }︀ .Díky [6, Theorem 7.7] víme, že řešení úlohy (6.1), (6.2), (6.3) splňujeu ∈ C k ((0, +∞), D(A l )) ∀k, l,a tedyu ∈ C k ((0, +∞), H 2l (Ω)) ∀k, l.Odtud plyne (díky [6, Corollary 9.15]), žeObsah307. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u ∈ C k ((0, +∞), C k (Ω))∀k.Nyní dokážeme rovnost (6.7). Nejprve formálně vynásobíme rovnici (6.1) funkcí u a integrujemepřes Ω × (0, T ). To je třeba provést obezřetně, jelikož u(t) je diferencovatelné na (0, +∞), ale ne na[0, +∞). Uvažujme funkci φ(t) = 1 2 ‖u(t)‖2 L 2 (Ω) . Tato funkce je třídy C1 na (0, +∞) (podle (6.6)) apro t > 0 máme(︂φ ′ (t) = u(t), du∫︁dt)︂L (t) = (u(t), Δu(t)) L 2 (Ω) = − |∇u(t)| 2 .2 (Ω)ΩZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Pro 0 < ε < T < +∞ tedy dostávámeφ(T ) − φ(ε) =∫︁ Tε∫︁ Tφ ′ (t)dt = − ‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt.εNakonec provedeme limitní přechod pro ε → 0+. Již jsme dokázali, že u ∈ C([0, +∞), L 2 (Ω)), takžeplatí φ(ε) → 1 2 ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) , a tedy u ∈ L2 ((0, +∞), H0 1 (Ω)) a rovnost (6.7) je dokázaná.Přidáme-li další předpoklady na počáteční podmínku u 0 , pak řešení u bude hladší až do t = 0.Připomeňme, že mimo bod t = 0 zaručuje Věta 6.1 vždy, že řešení u je hladké, tj. u ∈ C ∞ (Ω × [ε, ++∞)) pro libovolně malé ε > 0.Věta 6.2.(a) Je-li u 0 ∈ H 1 0 (Ω), pak řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3) splňujeaNavíc máme∫︁ T0⃦ ∂∂u ⃦⃦⃦2⃦ ∂∂t (t)u ∈ C([0, +∞), H 1 0 (Ω)) ∩ L 2 ((0, +∞), H 2 (Ω))L 2 (Ω)∂∂u∂∂t ∈ L2 ((0, +∞), L 2 (Ω)).dt + 1 2 ‖∇u(T )‖2 L 2 (Ω) = 1 2 ‖∇u 0‖ 2 L 2 (Ω) ∀T > 0.Obsah308. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(b) Je-li u 0 ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω), paku ∈ C([0, +∞), H 2 (Ω)) ∩ L 2 ((0, +∞), H 3 (Ω))a∂∂u∂∂t ∈ L2 ((0, +∞), H 1 0 (Ω)).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(c) Je-li u 0 ∈ H k (Ω) pro všechna k ∈ N a splňuje tzv. podmínky kompatibilitypro všechna j ∈ N, potom u ∈ C ∞ (Ω × [0, +∞)).u 0 = Δu 0 = · · · = Δ j u 0 = · · · = 0 na ∂∂Ω (6.8)defDůkaz (a). Pracujeme v prostoru H 1 = H0 1 (Ω) se skalárním součinem∫︁∫︁def(u, v) H1 = ∇u · ∇v + uv.V prostoru H 1 uvažujeme neomezený operátor A 1 : D(A 1 ) ⊂ H 1 → H 1 , definovaný{︃D(A1 ) = {︀ u ∈ H 3 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω) : Δu ∈ H 1 0 (Ω) }︀ ,ΩΩA 1 u = −Δu.Tvrdíme, že A 1 je maximální monotónní a samoadjungovaný.(i) A 1 je monotónní. Pro všechna u ∈ D(A 1 ) máme∫︁∫︁(A 1 u, u) H1 = ∇(−Δu) · ∇u + (−Δu)uΩΩ∫︁ ∫︁= |Δu| 2 + |∇u| 2 ≧ 0.ΩΩObsah309. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮(ii) A 1 je maximální monotónní. Pro libovolné f ∈ H 1 (Ω) patří podle [6, Theorem 9.25] řešeníu ∈ H 1 0 (Ω) úlohy {︃u − Δu = f v Ω,u = 0na ∂∂ΩZavřít dokumentdo prostoru H 3 (Ω). Pokud navíc f ∈ H 1 0 (Ω), pak Δu ∈ H 1 0 (Ω), a tedy u ∈ D(A 1 ).Celá obrazovka ⧸︀ Okno

(iii) A 1 je symetrický. Pro každé u, v ∈ D(A 1 ) platí∫︁∫︁(A 1 u, v) H1 = ∇(−Δu) · ∇v + (−Δu)vΩΩ∫︁ ∫︁= ΔuΔv + ∇u · ∇v = (u, A 1 v) H1 .ΩZ [6, Theorem 7.7] plyne, že pokud u 0 ∈ H 1 0 (Ω), potom existuje řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3)(které se díky jednoznačnosti shoduje s řešením získaným ve Větě 6.1) takové, žeΩu ∈ C([0, +∞), H 1 0 (Ω)).Nakonec označme φ(t) def= 1 2 ‖∇u(t)‖2 L 2 (Ω) . Tato funkce je třídy C∞ na (0, +∞) a platí(︂φ ′ (t) = ∇u(t), ∇ dudt)︂L (t) 2 (Ω)(︂= −Δu(t), du⃦dt)︂L (t) = −du ⃦⃦⃦2⃦2 (Ω)dt (t)L 2 (Ω).Obsah310. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Odtud pak plyne, že pro 0 < ε < T < +∞ máme∫︁ Tφ(T ) − φ(ε) +ε⃦ du ⃦⃦⃦2⃦ dt (t)L 2 (Ω)dt = 0.Tvrzení pak snadno dostaneme z toho, že φ(ε) → 1 2 ‖∇u 0‖ 2 L 2 (Ω)pro ε → 0+.defDůkaz (b). Zde pracujeme v prostoru H 2 = H 2 (Ω) ∩ H0 1 (Ω) se skalárním součinem(u, v) H2def= (Δu, Δv) L2 (Ω) + (u, v) L2 (Ω)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

(dokažte, že příslušná norma je ekvivalentní s běžnou normou v H 2 (Ω)). V prostoru H 2 uvažujmeneomezený oparátor A 2 : D(A 2 ) ⊂ H 2 → H 2 , definovaný{︃D(A2 ) = {︀ u ∈ H 4 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω) : Δu ∈ H 1 0 (Ω) }︀ ,A 2 u = −Δu.Lze snadno dokázat, že A 2 je samoadjungovaný maximální operátor v H 2 . Můžeme tedy aplikovat[6, Theorem 7.7] na A 2 v prostoru H 2 . Konečně označme φ(t) def= 1 2 ‖Δu(t)‖2 L 2 (Ω). Tato funkce jetřídy C ∞ na (0, +∞) a platí(︂φ ′ (t) = Δu(t), Δ dudt)︂L (t) 2 (Ω)= (︀ Δu(t), Δ 2 u(t) )︀ L 2 (Ω) = − ‖∇Δu(t)‖2 L 2 (Ω) .Tudíž pro 0 < ε < T < +∞ máme∫︁ Tφ(T ) − φ(ε) + ‖∇Δu(t)‖ 2 L 2 (Ω)dt = 0.εV limitě pro ε → 0+ dostaneme, že u ∈ L 2 ((0, +∞), H 3 (Ω)) (zdůvodněte!) a (díky rovnici (6.1))dudt ∈ L2 ((0, +∞), H 1 (Ω)).Důkaz (c). V prostoru H def= L 2 (Ω) uvažujme neomezený operátor A: D(A) ⊂ H → H, definovaný{︃D(A) = H 2 (Ω) ∩ H0 1 (Ω),Obsah311. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Au = −Δu.Použitím [6, Theorem 7.5] dostaneme, že pokud u 0 ∈ D(A k ), k ∈ N, potomZavřít dokumentu ∈ C k−j ([0, +∞) : D(A j ))∀j ∈ {0, 1, . . . , k}.Celá obrazovka ⧸︀ Okno

Předpoklad (6.8) lze přepsat jako u 0 ∈ D(A k ) pro všechna k ∈ N. Tudíž mámeu ∈ C k−j ([0, +∞), D(A j ))∀k ∈ N ∀j ∈ {0, 1, . . . , k}.Z toho vyplývá (srov. důkaz Věty 6.1), že u ∈ C ∞ (Ω × [0, +∞)).Poznámka 6.3. Věta 6.1 ukazuje, že rovnice vedení tepla má silný zhlazovací efekt na počátečnídata u 0 . Všimněte si, že řešení u(x, t) je třídy C ∞ v proměnné x pro každé t > 0, a to i v případě, žejsou počáteční data nespojitá. Z toho mimo jiné plyne, že rovnici vedení tepla nelze obrátit v čase.To znamená, že obecně nelze řešit úlohu s „koncovou“ podmínkouMuseli bychom totiž nutně předpokládat, že∂∂u− Δu = 0∂∂tna Ω × (0, T ), (6.9)u = 0 na ∂∂Ω × (0, T ), (6.10)u(x, T ) = u T (x) na Ω. (6.11)u T ∈ C ∞ (Ω) a Δ j u T = 0 na ∂∂Ω ∀j ∈ {0, 1, . . . }.Ale ani s tímto předpokladem by řešení zpětné úlohy (6.9), (6.10), (6.11) nemuselo existovat. Tatozpětná úloha nesmí být zaměněna s úlohou (6.12), (6.10), (6.11), kdeObsah312. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮− ∂∂u − Δu = 0 na Ω × (0, T ), (6.12)∂∂tkterá má vždy právě jedno řešení pro libovolnou koncovou podmínku u Tsubstituci t := T − t a aplikovat Větu 6.1).∈ L 2 (Ω) (stačí použítPoznámka 6.4. Předchozí výsledky platí (po drobných úpravách), i když nahradíme Dirichletovuokrajovou podmínku Neumannovou okrajovou podmínkou.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 6.5. Je-li Ω omezená, lze úlohu (6.1), (6.2), (6.3) řešit též rozkladem v Hilbertově báziprostoru L 2 (Ω). Pro tento účel je vhodné zvolit bázi (e i (x)) i∈N prostoru L 2 (Ω) sestávající z vlastníchfunkcí operátoru −Δ (s homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou), tj.{︃−Δei = λ i e i na Ω,e i = 0na ∂∂Ω(viz [6, Section 9.8]). Řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3) hledáme ve tvaru řady∞∑︁u(x, t) = a i (t)e i (x).i=1(Tato metoda je nazývána metodou separace proměnných či Fourierovou metodou. Fourierovy řadyskutečně historicky vznikly, když Fourier studoval rovnici vedení tepla v jedné prostorové proměnné.)Okamžitě vidíme, že funkce a i (t) musí splňovata ′ i(t) + λ i a i (t) = 0,takže máme a i (t) = a i (0)e −λit . Konstanty a i (0) pak určíme ze vztahuu 0 (x) =∞∑︁a i (0)e i (x).i=1Obsah313. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮To znamená, že řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3) dostaneme ve tvaruu(x, t) =∞∑︁a i (0)e −λit e i (x),i=1kde konstanty a i (0) jsou souřadnice u 0 (x) v ortonormální bázi (e i ) i∈N , tj. a i (0) = ∫︀ Ω u 0e i . Otázkakonvergence této řady (a také regularity řešení u, získaného tímto způsobem) je studována v [27].Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Všimněte si analogie mezi uvedenou metodou a standardní metodou řešení lineární soustavy diferenciálníchrovnicdu+ Mu = 0,dtkde hodnoty u(t) se nacházejí v konečně rozměrném lineárním vektorovém prostoru a M je symetrickámatice. Zásadní rozdíl samozřejmě spočívá v tom, že úloha (6.1), (6.2), (6.3) přísluší nekonečněrozměrná soustava.Poznámka 6.6. Podmínky kompatibility (6.8) vypadají možná na první pohled záhadně, ale veskutečnosti jsou přirozené. Tyto podmínky jsou nutné k existenci řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3),které je hladké až do t = 0, tj. u ∈ C ∞ (Ω × [0, +∞)) (jen podmínky u 0 ∈ C ∞ (Ω) a u 0 = 0 na ∂∂Ωnezaručují hladkost až do t = 0). Skutečně, předpokládejme, že u ∈ C ∞ (Ω) × [0, +∞)) splňuje (6.1),(6.2), (6.3). Pak zřejmě∂∂ j u= 0 na Σ ∀j ∈ N∂∂tj a díky spojitosti takéDále platía indukcí dostanemeOpět díky spojitosti máme také∂∂ j u= 0 na ∂∂Ω × [0, +∞) ∀j ∈ N. (6.13)∂∂tj ∂∂ 2 u∂∂t 2(︂ )︂ ∂∂u= Δ = Δ 2 u na Q,∂∂t∂∂ j u∂∂t j = Δj u na Q ∀j ∈ N.Porovnáním (6.13) a (6.14) na ∂∂Ω × {0} získáme (6.8).∂∂ j u∂∂t j = Δj u na Ω × [0, +∞) ∀j ∈ N. (6.14)Obsah314. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Poznámka 6.7. Existuje ovšem mnoho variant věty o regularitě u blízko t = 0, pokud zvolímepředpoklady někde mezi případy (b) a (c) Věty 6.2.Obsah315. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

6.2. Princip maximaPrincipem maxima nazýváme následující tvrzení.Věta 6.8. Nechť u 0 ∈ L 2 (Ω) a buď u řešení úlohy (6.1), (6.2), (6.3). Potom pro všechna (x, t) ∈ Qplatí{︁ }︁{︂ }︂min 0, inf u 0 ≦ u(x, t) ≦ max 0, sup u 0 .Ω ΩDůkaz. Podobně jako v [6] pro eliptický případ použijeme Stampacchiovu metodu oříznutí. Označme{︂ }︂K def= max 0, sup u 0Ωa předpokládejme, že K < +∞. Zvolme funkci G ∈ C 1 (R), splňující(i) |G ′ (s)| ≦ M ∀s ∈ R,(ii) G je ostře rostoucí na (0, +∞),(iii) G(s) = 0 ∀s ≦ 0a označmeSnadno lze ověřit, že funkcemá následující vlastnosti:H(s) def=∫︁ s0G(σ)dσ, s ∈ R.∫︁φ(t) def= H(u(x, t) − K)dxΩφ ∈ C([0, +∞), R), φ(0) = 0, φ ≧ 0 na [0, +∞), (6.15)φ ∈ C 1 ((0, +∞), R) (6.16)Obsah316. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a∫︁φ ′ (t) = G(u(x, t) − K) ∂∂uΩ∂∂t∫︁Ω(x, t)dx = G(u(x, t) − K)Δu(x, t)dx∫︁= − G ′ (u − K)|∇u| 2 dx ≦ 0,Ωdíky tomu, že G(u(x, t) − K) ∈ H0 1 (Ω) pro všechna t > 0. Odtud pak plyne, že φ ≡ 0, a tedy provšechna t > 0 platí u(x, t) ≦ K skoro všude na Ω.Důsledek 6.9. Nechť u 0 ∈ L 2 (Ω). Potom řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3) má následující vlastnosti:(i) Je-li u 0 ≧ 0 skoro všude na Ω, pak u ≧ 0 na Q.(ii) Je-li u 0 ∈ L ∞ (Ω), potom u ∈ L ∞ (Q) a‖u‖ L∞ (Q) ≦ ‖u 0 ‖ L∞ (Ω). (6.17)Důsledek 6.10. Nechť u 0 ∈ C(Ω) ∩ L 2 (Ω) a u 0 = 0 na ∂∂Ω. Je-li Ω neomezená, předpokládejmenavíc, že u 0 (x) → 0 pro |x| → +∞. Potom řešení u úlohy (6.1), (6.2), (6.3) patří do C(Q).Obsah317. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Důkaz. Zřejmě existuje posloupnost (u 0,n ) n∈N funkcí z C ∞ 0 (Ω) taková, že u 0,n → u 0 v prostorechL ∞ (Ω) a L 2 (Ω). Podle Věty 6.2 patří řešení u n úlohy (6.1), (6.2), (6.3) s počáteční podmínkou u 0,ndo prostoru C ∞ (Q). Dále díky [6, Theorem 7.7] víme, že‖u n (t) − u(t)‖ L 2 (Ω) ≦ ‖u 0,n − u 0 ‖ L 2 (Ω) ∀t ≧ 0.Navíc podle (6.17) platí‖u n − u m ‖ L∞ (Q) ≦ ‖u 0,n − u 0,m ‖ L∞ (Ω).Zavřít dokumentTudíž posloupnost (u n ) n∈N konverguje k u stejnoměrně na Q, a tedy u ∈ C(Q).Celá obrazovka ⧸︀ Okno

Podobně jako v eliptickém případě (viz [6]) existuje alternativní přístup k principu maxima. Projednoduchost nyní předpokládejme, že Ω je omezená. Nechť u(x, t) splňujeu ∈ C(Ω × [0, T ]), (6.18)u je třídy C 1 v t a třídy C 2 v x na Ω × (0, T ) a (6.19)∂∂u− Δu ≦ 0 na Ω × (0, T ). (6.20)∂∂t(Všimněte si, nepředepisujeme žádnou okrajovou ani počáteční podmínku.)Důsledek 6.11. Nechť u splňuje (6.18), (6.19) a (6.20). PotommaxΩ×[0,T ]u = max u, (6.21)Pkde P def= (Ω × {0}) ∪ (∂∂Ω × [0, T ]) (hranice časoprostorového válce Ω × (0, T ) bez „horní podstavy“).Důkaz. Označme v(x, t) def= u(x, t) + ε|x| 2 , kde ε > 0, takžeDokážeme, že∂∂v− Δv ≦ −2εN < 0 na Ω × (0, T ). (6.22)∂∂tmaxΩ×[0,T ]v = max v.PPředpokládejme opak. Pak musí existovat bod (x 0 , t 0 ) ∈ Ω × [0, T ] takový, že (x 0 , t 0 ) ∉ P aObsah318. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Protože x 0 ∈ Ω a 0 < t 0 ≦ T , mámemax v = v(x 0 , t 0 ).Ω×[0,T ]Δv(x 0 , t 0 ) ≦ 0 (6.23)Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

a∂∂v∂∂t (x 0, t 0 ) ≧ 0, (6.24)protože pokud t 0 < T , pak ∂∂v∂∂t (x 0, t 0 ) = 0 a pokud t 0 = T , potom ∂∂v∂∂t (x 0, t 0 ) ≧ 0 (preciznější by bylopracovat na Ω × (0, T ′ ), kde T ′ < T , a pak přejít k limitě pro T ′ → T −, protože v je třídy C 1 v tpouze na Ω × (0, T )). Kombinací (6.23) a (6.24) nyní dostáváme(︂ )︂ ∂∂v∂∂t − Δv (x 0 , t 0 ) ≧ 0,což je spor s (6.22). Dokázali jsme tedy, žemaxΩ×[0,T ]kde C def= sup |x| 2 . Protože u ≦ v, mámex∈Ωa tím je důkaz (6.21) dokončen.maxΩ×[0,T ]v = maxPv ≦ max u + εC,Pu ≦ max u + εC ∀ε > 0,PObsah319. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

6.3. Kvíz - úloha vedení teplaÚloha na vedení tepla1. Nyní Ω je otevřená podmnožina R N s hranicí ∂∂Ω a Q = Ω × (0, ∞), Σ = ∂∂Ω × (0, ∞) a u 0 jedaná funkce. Úlohou na vedení tepla (VT) rozumíme následující rovnice∂∂u−Δu=0 na Ω u=0∂∂t naΣ u(x, 0)=u 0(x) na ∂∂Ω∂∂u−Δu=0 na Q u=0∂∂t na∂∂Σ u(x, 0)=u 0(x) na ∂∂Ω∂∂u−Δu=0 na Q u=0∂∂t na∂∂u−Δu=0 na Q u=0∂∂t na∂∂Σ u(x, 0)=u 0(x) na ΩΣ u(x, 0)=u 0(x) na Ωa) Nechť u 0 ∈ L 2 (Ω) a označíme H = H 2 (Ω)∩H 1 0 (Ω), potom existuje právě jedna funkce u splňující(VT) au∈C((0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C 1 ((0, ∞), H)u∈C 1 ((0, ∞), L 2 (Ω))Obsah320. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u∈C([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C([0, ∞), H)u∈C 1 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈C([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C((0, ∞), H)u∈C 1 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈C([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C((0, ∞), H)u∈C 1 ([0, ∞), L 2 (Ω))Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

) Navíc ∀ T >0 platíT∫︀u∈C ∞ (Ω×[ε, +∞)) ∀ε>0 a ‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) =∫︀ |u(x, T )| 2 dx +Ω 0N∑︀ ∫︀⃒ ∂∂u(x, t) ⃒ 2 dx dt∂∂xi=1 iΩu∈C ∞ (Ω×[ε, +∞)) ∀ε>0 a 1 2 ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) = 1 ∫︀T∫︀ N∑︀|u(x, T )| 22 ∫︀dx + ⃒ ∂∂u(x, t) ⃒ 2 dx dt∂∂xΩ0 i=1 iΩu∈C ∞ (Ω×(0, +∞)) a 1 2 ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) = 1 ∫︀T∫︀ N∑︀|u(x, T )| 22 ∫︀dx + ⃒ ∂∂u(x, t) ⃒ 2 dx dt∂∂xΩ0 i=1 iΩc) Je-li u 0 ∈ H 1 0 (Ω), potom řešení u úlohy (VT) splňujeu∈L 2 ((0, ∞), H 1 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L2 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈L 2 ((0, ∞), H 2 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L2 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈L 2 ((0, ∞), H 2 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L1 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈L 2 ((0, ∞), H 1 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L1 ((0, ∞), L 1 (Ω))Obsah321. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

d) Je-li u 0 ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω), potom řešení u úlohy (VT) splňujeu∈L 2 ((0, ∞), H 4 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L2 ((0, ∞), H0 1(Ω))u∈L 2 ((0, ∞), H 3 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 3 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L2 ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈L 2 ((0, ∞), H 3 (Ω)) u∈C([0, ∞), H 2 (Ω)) ∂∂u∂∂t ∈L2 ((0, ∞), H 1 0 (Ω))u∈L 3 ((0, ∞), H 3 (Ω)) u∈C([0, ∞), H0 1 ∂∂u(Ω)) ∂∂t ∈L1 ((0, ∞), L 1 (Ω))e) Řekneme, že u 0 ∈ H k (Ω) pro všechna k ∈ N splňuje podmínku kompatibility, jestližeu 0 =0 na ∂∂Ωu 0 =Δu 0 =0 na ∂∂Ωu 0 =Δu 0 =· · ·=Δ k u 0 = · · ·=0 na ∂∂Ω pro všechna k ∈ NΔu 0 =· · ·=Δ k u 0 = · · ·=0 na ∂∂Ω pro všechna k ∈ NObsah322. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

f) Fourierova metoda spočívá v hledání řešení u úlohy (VT) ve tvaru∑︀u= ∞ a i (t)e i (x), kde −Δe i = λ i e i na Ω, e i = 0 na ∂∂Ωi=1∑︀u= ∞ a i (x, t)e i (x), kde −Δe i = λ i e i na Ω, e i = 0 na ∂∂Ωi=1∑︀u= ∞ a i (t)e i (x, t), kde −Δe i = λ i e i na Q, e i = 0 na ∂∂Qi=1∑︀u= ∞ a i (x, t)e i (x, t), kde −Δe i = λ i e i na Q, e i = 0 na ∂∂Qi=1g) Je-li u 0 ∈ L 2 (Ω), potom řešení u úlohy (VT) splňuje|u(x, t)|≦max{|inf u 0|,|sup u 0 |}Ω Ωinf u 0 ≦u(x, t)≦ sup u 0Ω Ωmin{0, inf u 0}≦u(x, t)≦ max{0, sup u 0 }Ω Ω|u(x, t)|≦ sup |u 0 |ΩObsah323. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

h) Je-li u 0 ∈ L ∞ (Ω), potom řešení u úlohy (VT) splňuje‖u‖ L ∞ (Q) ≦ ‖u 0 ‖ L ∞ (Ω)‖u(·, t)‖ L ∞ (Ω) ≦ ‖u 0 ‖ L ∞ (Ω)∀t∈(0, ∞)‖u(·, t)‖ L 2 (Ω) ≦ ‖u 0‖ L ∞ (Ω)∀t∈[0, ∞)‖u‖ L 2 (Q) ≦ ‖u 0‖ L ∞ (Ω)Obsah324. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

6.4. Vlnová rovniceNechť Ω ⊂ R N je otevřená množina. Stejně jako výše označmeQ def= Ω × (0, +∞),Σ def= ∂∂Ω × (0, +∞).Uvažujme následující úlohu: najít funkci u(x, t): Ω × [0, +∞) → R splňujícíkde Δ = N ∑︀i=1∂∂ 2∂∂x 2 i∂∂ 2 u− Δu = 0∂∂t2 na Q, (6.25)u = 0 na Σ, (6.26)u(x, 0) = u 0 (x) na Ω, (6.27)∂∂u∂∂t (x, 0) = v 0(x) na Ω, (6.28)je Laplacův operátor v prostorových proměnných x, dále t je časová proměnná au 0 a v 0 jsou dané funkce.Rovnici (6.25) nazýváme vlnovou rovnicí. Operátor(︁∂∂ 2∂∂t 2)︁− Δse často značí □ a nazývá sed’Alembertův operátor. Vlnová rovnice je typickým příkladem hyperbolické rovnice.Pro N = 1 a Ω = (0, 1) modeluje rovnice (6.25) malé kmitání struny při absenci vnějších sil.Malé proto, že plná rovnice je velmi složitá nelineární rovnice, jejíž linearizace blízko ekvilibria(rovnovážného stavu) je rovnice (6.25). Pro každé t popisuje graf funkce x ∈ Ω ↦→ u(x, t) polohustruny v čase t. Pro N = 2 modeluje rovnice (6.25) malé kmitání pružné membrány. Pro každé t pakgraf funkce x ∈ Ω ↦→ u(x, t) popisuje polohu membrány v čase t. Obecně rovnice (6.25) modeluješíření vlny (zvukové, elektromagnetické atd.) v homogenním pružném prostředí Ω ⊂ R N .Rovnice (6.26) je (homogenní) Dirichletova okrajová podmínka. Ta může být nahrazena Neumannovounebo i jinou podmínkou. Podmínka u = 0 na Σ znamená, že struna (nebo membrána)Obsah325. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

je pevně uchycená na ∂∂Ω, zatímco Neumannova podmínka říká, že struna je v koncových bodechvolná.Rovnice (6.27) a (6.28) popisují počáteční stav soustavy, a to počáteční rozložení (počátečnívýchylku) popsané funkcí u 0 a počáteční rychlost popsanou funkcí v 0 . Data (u 0 , v 0 ) jsou též nazýványCauchyho data.Pro zjednodušení situace budeme ve zbytku této sekce předpokládat, že Ω je třídy C ∞ s omezenou∂∂Ω.Věta 6.12 (existence a jednoznačnost). Nechť u 0 ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω) a v 0 ∈ H 1 0 (Ω). Potomexistuje jednoznačné řešení u úlohy (6.25), (6.26), (6.27), (6.28) splňujícíNavíc platíkdea⃦ ∂∂u ⃦⃦⃦2⃦ ∂∂t (t)u ∈ C([0, +∞), H 2 (Ω) ∩ H0 1 (Ω)) ∩ C 1 ([0, +∞), H0 1 (Ω))(6.29)∩ C 2 ([0, +∞), L 2 (Ω)).L 2 (Ω)+ ‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) = ‖v 0‖ 2 L 2 (Ω) + ‖∇u 0‖ 2 L 2 (Ω) ∀t ≧ 0, (6.30)⃦ ∂∂u ⃦⃦⃦2⃦ ∂∂t (t)L 2 (Ω)∫︁=ΩN‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) = ∑︁∫︁i=1⃒ ∂∂u ⃒⃒⃒2⃒ ∂∂t (x, t) dxΩ2∂∂u⃒ (x, t)∂∂x i⃒ dx.Obsah326. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Poznámka 6.13. Rovnice (6.30) je zákon zachování, který říká, že energie soustavy se v časenemění.Před důkazem Věty 6.12 zmiňme ještě větu o regularitě.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Věta 6.14 (regularita). Předpokládejme, že počáteční podmínky splňujíu 0 ∈ H k (Ω) a v 0 ∈ H k (Ω) ∀k ∈ Na podmínky kompatibilityΔ j u 0 = Δ j v 0 = 0 na ∂∂Ω ∀j ∈ {0, 1, 2, . . . }.Potom řešení u úlohy (6.25), (6.26), (6.27), (6.28) patří do C ∞ (Ω × [0, +∞)).Důkaz Věty 6.12. Stejně jako v sekci 6.1 se budeme na u(x, t) dívat jako na zobrazení definovanéna [0, +∞) takové, že pro každé t ≧ 0 je jeho hodnota u(t) zobrazení x ↦→ u(x, t). Rovnici (6.25)přepíšeme ekvivalentně ve tvaru soustavy dvou rovnic prvního řádu⎧∂∂u ⎪⎨∂∂t − v = 0 na Q,(6.31)⎪⎩ ∂∂v∂∂t − Δu = 0 na Q(standardně se diferenciální rovnice k-tého řádu přepisuje jako soustava k rovnic prvního řádu).Označíme-li U def= (u, v) T , přejde (6.31) do tvarukde(︂AU def 0=−I−Δ 0dUdt+ AU = 0,)︂ (︂0U =−I−Δ 0)︂ (︂u=v)︂(︂ )︂−v. (6.32)−ΔuNyní aplikujeme Hillovu-Yosidovu teorii v prostoru H = H0 1 (Ω) × L 2 (Ω) se skalárním součinem∫︁∫︁∫︁(U 1 , U 2 ) = ∇u 1 · ∇u 2 dx + u 1 u 2 dx + v 1 v 2 dx,ΩΩΩObsah327. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

kde U 1 = (u 1 , v 1 ) T a U 2 = (u 2 , v 2 ) T .Uvažujme neomezený operátor A: D(A) ⊂ H → H definovaný (6.32) sD(A) = (H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) × H 1 0 (Ω).Poznamenejme, že okrajová podmínka (6.26) je zahrnuta ve volbě prostoru H. Podmínka v = ∂∂u∂∂t = 0na Σ je přímým důsledkem (6.26).Tvrdíme, že A + I je maximální monotónní na H.(i) A + I je monotónní. Pro U = (u, v) T ∈ D(A) skutečně máme∫︁∫︁ ∫︁(AU, U) H + ‖U‖ 2 H = − ∇v · ∇u − uv +Ω∫︁ ∫︁Ω∫︁+ u 2 + |∇u| 2 +∫︁Ω∫︁Ω∫︁Ω∫︁= uv + u 2 + v 2 +ΩΩΩΩv 2Ω(−Δu)v|∇u| 2 ≧ 0.(ii) A + I je maximální monotónní. To obnáší dokázat, že A + 2I je na. Pro libovolné dané F == (f, g) T ∈ H tedy musíme dokázat existenci řešení soustavy AU + 2U = F , tj. soustavy{︃−v + 2u = f na Ω,(6.33)−Δu + 2v = g na Ω,kdeZe soustavy (6.33) plyne, žeu ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω) a v ∈ H 1 0 (Ω).− Δu + 4u = 2f + g. (6.34)Rovnice (6.34) má díky [6, Theorem 9.25] jednoznačné řešení u ∈ H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω). Funkciv ∈ H 1 0 (Ω) dostaneme jednoduše jako v = 2u − f. Tím máme řešení (6.33).Obsah328. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Použitím Hillovy-Yosidovy věty ([6, Theorem 7.4 a Remark 7.7]) dostáváme nyní existenci a jednoznačnostřešení úlohy⎧⎨ dUdt + AU = 0 na [0, +∞),⎩U(0) = U 0 ,kdeU ∈ C 1 ([0, +∞), H) ∩ C([0, +∞), D(A)), (6.35)protože U 0 = (u 0 , v 0 ) T ∈ D(A). Z (6.35) pak plyne (6.29).K důkazu (6.30) stačí vynásobit rovnici (6.25) derivací ∂∂u∂∂ta zintegrovat přes Ω. Využijeme přitom, že∫︁∂∂ 2 u ∂∂uΩ ∂∂t 2 ∂∂t dx = 1 ∫︁⃒∂∂∂∂u ⃒⃒⃒22 ∂∂t ⃒Ω ∂∂t (x, t) dxa∫︁(−Δu) ∂∂uΩ ∂∂t∫︁Ωdx = ∇u · ∂∂∂∂t (∇u)dx = 1 ∫︁∂∂|∇u| 2 dx.2 ∂∂t ΩObsah329. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

6.5. Kvíz - vlnová rovniceVlnová rovnice1. Nyní Ω je otevřená podmnožina R N s hranicí ∂∂Ω a Q = Ω × (0, ∞), Σ = ∂∂Ω × (0, ∞) a u 0 , v 0jsou daná funkce. Vlnovou rovnicí (VR) rozumíme následující úlohu∂∂ 2 u∂∂ 2 −Δu=0 na Ω u=0t naΣ u(x, 0)=u 0(x) na ∂∂Ω ∂∂u∂∂t (x, 0)=v 0(x) na Ω∂∂ 2 u∂∂ 2 −Δu=0 na Q u=0t na∂∂Σ u(x, 0)=u 0(x) na ∂∂Ω ∂∂u∂∂t (x, 0)=v 0(x) na Q∂∂ 2 u∂∂ 2 −Δu=0 na Q u=0t na∂∂Σ u(x, 0)=u 0(x) na Ω ∂∂u∂∂t (x, 0)=v 0(x) na Q∂∂ 2 u∂∂ 2 −Δu=0 na Q u=0t naΣ u(x, 0)=u 0(x) na Ω ∂∂u∂∂t (x, 0)=v 0(x) na ΩObsaha) Nechť Ω je třídy C ∞ s omezenou ∂∂Ω. Označíme H = H 2 (Ω)∩H 1 0 (Ω), nechť u 0 ∈ H, v 0 ∈ H 1 0 (Ω),potom existuje právě jedna funkce u splňující (VR) au∈C([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C 1 ((0, ∞), H)u∈C 2 ((0, ∞), L 4 (Ω))330. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮u∈C 1 ([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C 2 ((0, ∞), H)u∈C ∞ ((0, ∞), L 2 (Ω))u∈C([0, ∞), H) u∈C 1 ([0, ∞), H 1 0 (Ω)) u∈C2 ([0, ∞), L 2 (Ω))u∈C 1 ([0, ∞), L 2 (Ω)) u∈C 2 ((0, ∞), H)u∈C 3 ((0, ∞), L 2 (Ω))Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

) Nechť u 0 ∈ H k (Ω) a v 0 ∈ H k (Ω) pro k ∈ N a Δ k u 0 = Δ k v 0 pro všechna k ∈ N ∪ {0}. Potomřešení (VR) nepatří nejvýše do prostoruH 2 0 (Q)C 2 (Q)C 1 (Ω × [0, ∞))C ∞ (Ω × [0, ∞))c) Pro N = 2 modeluje (VR)malé kmitání strunymalé kmitání pružné membrányproudění tekutinykmity matematického kyvadlaObsah331. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Obsah332. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

ObsahPředmluva 31 Abstraktní prostory a prostory funkcí 51.1 Abstraktní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Topologický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Kvíz - Topologické prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Metrický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4 Lineární prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5 Normovaný lineární prostor, Banachův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.6 Unitární lineární prostor, Hilbertův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Kvíz - metrické, Banachovy a Hilbertovy prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.1 R N - topologický, metrický, lineární a normovaný prostor . . . . . . . . . . . 341.3 Přehled výsledků teorie míry a integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.1 Rozšířená reálná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.2 Kvíz - Prostor R N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.3 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.4 Lebesgueova míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.3.5 Měřitelný prostor a topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.6 Další míry používané v teorii parciálních diferenciálních rovnic . . . . . . . . 461.4 Kvíz - teorie míry a integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.4.1 Abstraktní Lebesgův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Obsah333. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

1.4.2 Konvergenční věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.4.3 Součin měr a Fubiniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.4 Integrál a derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.4.5 Prostory integrovatelných funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.4.6 Duální prostory k L p (X, S, μ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.4.7 Vnoření prostorů integrovatelných funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.4.8 Typy konvergencí a kompaktní množiny v L p (X, S, μ) . . . . . . . . . . . . . 721.4.9 Znaménkové a komplexní míry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.4.10 Značení používané mimo abstraktní teorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.5 Kvíz - měřitelné funkce a Lebesgueův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.6 Prostory spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.6.1 Základní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.6.2 Hölderovy prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.7 Typy oblastí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.8 Kompaktnost množin v prostorech spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.9 Kvíz - prostory spojitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Úvod do teorie distribucí 952.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.2 Prostor testovacích funkcí D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.2.1 Prostor distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.2.2 Lokalizace distribuce - nosič distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.2.3 Derivace distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2.4 Konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.2.5 Topologie v prostoru distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.2.6 Diferenciální rovnice ve smyslu distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.3 Kvíz - Distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Obsah334. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

3 Sobolevovy prostory 1733.1 Základní definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.2 Poincarého nerovnost a Rellichova-Kondrachovova věta ve W 1,p0 (Ω) . . . . . . . . . . 1803.3 Rozšiřující operátory z W 1,p (Ω) do W 1,p (R N ) a jejich aplikace. . . . . . . . . . . . . 1893.4 Sobolevovy prostory pomocí Fourierovy transformace.Prostor H s (Ω), s ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.5 Kvíz - Sobolevovy prostory, základní teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.6 Teorie stop pro prostory W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.7 Sobolevovy věty o vnoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243.8 Kvíz - Vnoření Sobolevových prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464 Eliptické diferenciální rovnice 2554.1 Dirichletova úloha pro Poissonovu rovnici - variační přístup . . . . . . . . . . . . . . 2564.2 Princip maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.3 Schauderova teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.4 Kvíz - eliptické parciální diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715 Hillova-Yosidova věta 2775.1 Definice a základní vlastnosti maximálních monotónních operátorů . . . . . . . . . . 2785.2 Řešení evoluční úlohy dudt + Au = 0 na [0, +∞), u(0) = u 0. Existence a jednoznačnost 2835.3 Regularita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.4 Samoadjungovaný případ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2966 Úlohy pro evoluční diferenciální rovnice 3036.1 Rovnice vedení tepla: existence, jednoznačnost a regularita . . . . . . . . . . . . . . . 3046.2 Princip maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3166.3 Kvíz - úloha vedení tepla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.4 Vlnová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.5 Kvíz - vlnová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Obsah335. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 337Rejstřík 341Obsah336. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

337Literatura[1] Adams, Robert A., Sobolev spaces. Pure and Applied Mathematics, Vol. 65. Academic Press,New York-London, 1975. xviii+268 pp.[2] Attouch, Hedy, Variational convergence for functions and operators. Applicable MathematicsSeries. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984. xiv+423 pp. ISBN:0-273-08583-2.[3] Attouch, Hedy; Buttazzo, Giuseppe; Michaille, Gérard, Variational analysis in Sobolev and BVspaces. Applications to PDEs and optimization. MPS/SIAM Series on Optimization, 6. Societyfor Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA; Mathematical ProgrammingSociety (MPS), Philadelphia, PA, 2006. xii+634 pp. ISBN: 0-89871-600-4.Obsah337. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮[4] Aubin, Thierry, Problémes isopérimétriques et espaces de Sobolev. J. Differential Geometry 11(1976), no. 4, pp. 573 -–598.[5] Brezis, Haïm, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications. Masson. Paris, 1983.[6] Brezis, Haïm, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext.Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0, 35-01 (46-01 46E35 46N2047F05).Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 338[7] Dovgoshey, O.; Martio, O.; Ryazanov, V.; Vuorinen, M. The Cantor function. Expo. Math. 24(2006), no. 1, 1–37.[8] Fučík, S.; John, O.; Kufner, A., Prostory funkcí I. (Integrovatelné funkce.) (MFF UK / Skripta.)Praha 1974.[9] Gilbarg, David; Trudinger, Neil S., Elliptic partial differential equations of second order. Reprintof the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN:3-540-41160-7.[10] König, Manfred, On Juliusz Schauder’s paper on linear elliptic differential equations. Topol.Methods Nonlinear Anal. 11 (1998), no. 2, 351–360. 35J25 (35-03).[11] Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V., Introductory real analysis. Translated from the second Russianedition and edited by Richard A. Silverman. Corrected reprinting. Dover Publications, Inc., NewYork, 1975. xii+403 pp, 46-01 (28-01).[12] Kufner, Alois; John, Oldřich; Fučík, Svatopluk, Function spaces. Monographs and Textbookson Mechanics of Solids and Fluids; Mechanics: Analysis. Noordhoff International Publishing,Leyden; Academia, Prague, 1977. xv+454 pp. ISBN: 90-286-0015-9.Obsah338. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮[13] Leoni, Giovanni, A first course in Sobolev spaces. Graduate Studies in Mathematics, 105. AmericanMathematical Society, Providence, RI, 2009. xvi+607 pp. ISBN: 978-0-8218-4768-8.[14] Leray, Jean; Schauder, Jules, Topologie et équations fonctionnelles. Annales scientifiques del’École Normale Supérieure, Sér. 3, 51 (1934), p. 45-78.[15] Lieb, Elliott H., Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities. Ann.of Math. (2) 118 (1983), no. 2, 349–374.[16] Malý, Jan: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ maly/tmi07.pdfZavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 339[17] McShane, E. J., Extension of range of functions. Bull. Amer. Math. Soc. 40 (1934), no. 12,837–842.[18] Morrey, Charles B., Jr., Multiple integrals in the calculus of variations. Die Grundlehren dermathematischen Wissenschaften, Band 130 Springer-Verlag New York, Inc., New York 1966ix+506 pp.[19] Moser, Jürgen, A Harnack inequality for parabolic differential equations. Comm. Pure Appl.Math. 17, 1964, pp. 101 -–134.[20] Rudin, Walter, Analýza v reálném a komplexním oboru. [Analysis in the real and complexdomain] Translated from the second English edition by Ivan Netuka and Jiří Veselý. Academia,Prague, 1977. 463 pp.[21] Rudin, Walter, Functional analysis. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. McGraw-HillBook Co., New York-Düsseldorf-Johannesburg, 1973. xiii+397 pp.[22] Schauder, Jules, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2 (1930), 171–180.[23] Stroock, D. W., Weyl’s Lemma, One of Many, in Groups and Analysis, The legacy of HermannWeyl., Edited by Katrin Tent. London Mathematical Society Lecture Note Series, 354.Cambridge University Press, Cambridge, 2008. x+326 pp. ISBN: 978-0-521-71788-5.Obsah339. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮[24] Talenti, Giorgio, Best constant in Sobolev inequality. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 110 (1976), pp.353 -–372.[25] Trudinger, Neil S., On Harnack type inequalities and their application to quasilinear ellipticequations. Comm. Pure Appl. Math. 20, 1967, pp. 721 -–747.[26] Vladimirov, V. S. Equations of mathematical physics. Translated from the Russian by AudreyLittlewood. Edited by Alan Jeffrey. Pure and Applied Mathematics, 3 Marcel Dekker, Inc., NewYork 1971 vi+418 pp.Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Literatura 340[27] Weinberger, H., A First Course in Partial Differential Equations, Blaisdell, 1965.[28] Weyl, H., The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7 (1940),pp. 414 – 444.[29] Xinwei Yu, Regularity for Poisson Equation, Lecture 11,https://www.math.ualberta.ca/ xinweiyu/527.1.11f/lec11.pdf.[30] Yosida, K^osaku.; Hewitt, Edwin, Finitely additive measures. Trans. Amer. Math. Soc. 72,(1952), pp. 46–66.[31] Zeidler, E. Nonlinear functional analysis and its applications. I. Fixed-point theorems. Translatedfrom the German by Peter R. Wadsack. Springer-Verlag, New York, 1986. xxi+897 pp.ISBN: 0-387-90914-1.Obsah340. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

341Rejstříkσ-algebra, 40řešeníklasické, 256, 261slabé, 256, 261bázetopologického prostoru, 8báze topologiemetrický prostor, 12bodLebesgův, 65derivaceklasická, 66distribuce, 97ekviintegrovatelnost, 62faktorprostor, 67funkceabsolutně spojitá, 66měřitelná, 55integrálLebesgůvdefinice, 56vlastnosti, 57jádrokonvoluční, 90zhlazujícístandardní, 90konstantaPoincarého, 182, 233kontrakce, 13konvergencebodově skoro všude, 59topologický prostor, 8v míře, 59Obsah341. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 342koulemetrický prostor, 12kritériumekviintegrability, 63LemmaFatouovo, 60míra, 40míraσ-konečná, 41úplná, 41úplná Radonova, 46Hausdorffova, 48konečná, 41Lebesgueova, 44Lebesgueova-Stieltjesova, 46metrika, 12množinaborelovská, 45kompaktní, 7míry nula, 40neměřitelná, 44nulové míry, 40omezená, 36otevřená, 7nerovnostCauchyova-Schwarzova, 18Hölderova, 69Poincarého, 180Poincarého, 233Poincarého-Sobolevova, 233Poincarého-Wirtingerova-Sobolevova, 234trojúhelníková, 12Poincarého-Wirtingerova, 199norma, 16normaeukleidovská, 35unitární prostor, 18v R N , 35oblast, 35operátorLaplacův, 305samoadjungovaný, 296podmnožinahustá, 14posloupnostcauchyovská, 12principDirichletův, 257, 261prostorúplný, 12Banachův, 16duální, 69Hausdorffův, 7kompaktní, 7Obsah342. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno

Rejstřík 343lineární, 15lokálně integrovatelných funkcí, 68lokálně kompaktní, 8metrický, 12normovanýúplný, 16s mírou, 40separabilní, 15topologický, 7, 45unitární, 18rovnicedifuze, 305vedení tepla, 305vlnová, 325rovnostrovnoběžníková, 18seminorma, 16skoro všude, 41součinskalární, 17souvislá množinajednoduše, 36obloukovitě, 35topologie, 6topologieR N , 35metrický prostor, 12uzávěr, 7větaBaireova, 14Banachova, 13Carathéodoryova, 42Fubiniova, 64Hillova-Yosidova, 327Kolmogorova, 72Lebesgueova, 60Leviho, 59o vnoření L p , 71Rademacherova, 66RieszovaL 1 , 70RieszovaL ∞ , 71L p , 1 < p < ∞, 69Tonelliho, 65Vitalliova, 62vnější míra, 41vnořeníkompaktní, 17spojité, 17zobrazeníkontrakce, 13, 266spojité, 7Obsah343. strana ze 343◭ ◭ ◮ ◮◭◮Zavřít dokumentCelá obrazovka ⧸︀ Okno