Prednáška č. 7 a 8

Obsah prednášky• čo je to MMC?• oblasti využitia MMC• náhodný jav a jeho pravdepodobnosť• náhodná premenná• základné typy rozdelení náhodných premenných• náhodné čísla• metóda Monte Carlo – princípZáklady modelovania a simulácie – p. 3/67

Čo je to MMCZáklady modelovania a simulácie – p. 4/67

Čo je to MMC• matematická technika, ktorá slúži na výpočetveličín obsahujúcich určitý stochastický prvokZáklady modelovania a simulácie – p. 4/67

Oblasti využitia MMCZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálovZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálov• jadrová fyzika – pohyb častícZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálov• jadrová fyzika – pohyb častíc• astrofyzika – pohyb fotónov v sférickej plazmeZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálov• jadrová fyzika – pohyb častíc• astrofyzika – pohyb fotónov v sférickej plazme• výpočet kvality a spoľahlivosti zariadení asúčiastokZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálov• jadrová fyzika – pohyb častíc• astrofyzika – pohyb fotónov v sférickej plazme• výpočet kvality a spoľahlivosti zariadení asúčiastok• skúmanie výrobných procesovZáklady modelovania a simulácie – p. 5/67

Oblasti využitia MMC• matematika – výpočet viacrozmerných integrálov• jadrová fyzika – pohyb častíc• astrofyzika – pohyb fotónov v sférickej plazme• výpočet kvality a spoľahlivosti zariadení asúčiastok• skúmanie výrobných procesov• ...Základy modelovania a simulácie – p. 5/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťZáklady modelovania a simulácie – p. 6/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosť• jav – pod týmto pojmom sa v teóriipravdepodobnosti myslí výsledok uskutočnenýchpokusov resp. pozorovaníZáklady modelovania a simulácie – p. 6/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosť• jav – pod týmto pojmom sa v teóriipravdepodobnosti myslí výsledok uskutočnenýchpokusov resp. pozorovaní• náhodný pokus – ak výsledok pokusov alebopozorovaní nemožno dopredu jednoznačnepredvídať pred realizáciou pokusu, nazývametakýto pokus náhodný pokusZáklady modelovania a simulácie – p. 6/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosť• jav – pod týmto pojmom sa v teóriipravdepodobnosti myslí výsledok uskutočnenýchpokusov resp. pozorovaní• náhodný pokus – ak výsledok pokusov alebopozorovaní nemožno dopredu jednoznačnepredvídať pred realizáciou pokusu, nazývametakýto pokus náhodný pokus• od klasického pokusu sa náhodný pokus líši tým,že jeho výsledok závisí jednak od podmienok,ktoré pri jeho realizácii dodržiavame a jednak odnáhodyZáklady modelovania a simulácie – p. 6/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosť• jav – pod týmto pojmom sa v teóriipravdepodobnosti myslí výsledok uskutočnenýchpokusov resp. pozorovaní• náhodný pokus – ak výsledok pokusov alebopozorovaní nemožno dopredu jednoznačnepredvídať pred realizáciou pokusu, nazývametakýto pokus náhodný pokus• od klasického pokusu sa náhodný pokus líši tým,že jeho výsledok závisí jednak od podmienok, ktorépri jeho realizácii dodržiavame a jednak od náhody• výsledok náhodného pokusu sa nazýva náhodný javZáklady modelovania a simulácie – p. 6/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťPríklady náhodných javov:Základy modelovania a simulácie – p. 7/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťPríklady náhodných javov:• objavenie znaku pri hádzaní minceZáklady modelovania a simulácie – p. 7/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťPríklady náhodných javov:• objavenie znaku pri hádzaní mince• vznik požiaru v lietadle pri zásahu jednou strelouZáklady modelovania a simulácie – p. 7/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťPríklady náhodných javov:• objavenie znaku pri hádzaní mince• vznik požiaru v lietadle pri zásahu jednou strelou• vytiahnutie esa z balíčka karietZáklady modelovania a simulácie – p. 7/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťPríklady náhodných javov:• objavenie znaku pri hádzaní mince• vznik požiaru v lietadle pri zásahu jednou strelou• vytiahnutie esa z balíčka kariet• vytiahnutie dvoch es po sebe z balíčka karietZáklady modelovania a simulácie – p. 7/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťMedzi javmi majú dva javy dôležité postavenie:Základy modelovania a simulácie – p. 8/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťMedzi javmi majú dva javy dôležité postavenie:• istý jav – je to jav, ktorý pri danom pokuse musínevyhnutne nastať (napr. jav, že padne pri hodekockou číslo nie väčšie ako 6), číselná hodnotapravdepodobnosti takéhoto javu je 1Základy modelovania a simulácie – p. 8/67

Náhodný jav a jeho pravdepodobnosťMedzi javmi majú dva javy dôležité postavenie:• istý jav – je to jav, ktorý pri danom pokuse musínevyhnutne nastať (napr. jav, že padne pri hodekockou číslo nie väčšie ako 6), číselná hodnotapravdepodobnosti takéhoto javu je 1• nemožný jav – je to jav, ktorý pri danom pokusenemôže nastať (napr. že pri dvoch pokusoch hodukockou súčet padnutých čísel bude 14), číselnáhodnota pravdepodobnosti takéhoto javu je 0Základy modelovania a simulácie – p. 8/67

Náhodná premennáZáklady modelovania a simulácie – p. 9/67

Náhodná premenná• náhodná premenná (tiež sa môžeme stretnúť spojmom náhodná veličina) je taká premenná,ktorá pri realizácii určitého náhodného pokusumôže nadobudnúť ľubovoľnú číselnú hodnotu vzávislosti od náhodyZáklady modelovania a simulácie – p. 9/67

Náhodná premenná• náhodná premenná (tiež sa môžeme stretnúť spojmom náhodná veličina) je taká premenná,ktorá pri realizácii určitého náhodného pokusumôže nadobudnúť ľubovoľnú číselnú hodnotu vzávislosti od náhody• vo všeobecnosti budeme náhodnú premennúoznačovať veľkými písmenami (napr. X, Y ) arealizáciu danej náhodnej veličiny, t.j. konkrétnehodnoty, malými písmenami (napr. x, y)Základy modelovania a simulácie – p. 9/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstrelochZáklady modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockouZáklady modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochZáklady modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochPri všetkých troch príkladoch môže náhodnápremenná nadobúdať diskrétne hodnoty, napr:Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochPri všetkých troch príkladoch môže náhodnápremenná nadobúdať diskrétne hodnoty, napr:• prvý príklad: 0, 1, 2,...Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochPri všetkých troch príkladoch môže náhodnápremenná nadobúdať diskrétne hodnoty, napr:• prvý príklad: 0, 1, 2,...• druhý príklad: 2, 3, 4,..., 12Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochPri všetkých troch príkladoch môže náhodnápremenná nadobúdať diskrétne hodnoty, napr:• prvý príklad: 0, 1, 2,...• druhý príklad: 2, 3, 4,..., 12• tretí príklad: 0, 1/10, 2/10,..., 1Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáPríklady náhodných premenných:• počet zásahov pri troch výstreloch• súčet pri dvoch hodoch kockou• početnosť padnutia hlavy pri hode mincou pridesiatich hodochPri všetkých troch príkladoch môže náhodnápremenná nadobúdať diskrétne hodnoty, napr:• prvý príklad: 0, 1, 2,...• druhý príklad: 2, 3, 4,..., 12• tretí príklad: 0, 1/10, 2/10,..., 1Náhodné premenné, ktoré nadobúda iba diskrétnehodnoty sa nazývajú diskrétne náhodné premenné.Základy modelovania a simulácie – p. 10/67

Náhodná premennáIné príklady náhodných premenných:Základy modelovania a simulácie – p. 11/67

Náhodná premennáIné príklady náhodných premenných:• x-ová súradnica bodu zásahu pri výstreleZáklady modelovania a simulácie – p. 11/67

Náhodná premennáIné príklady náhodných premenných:• x-ová súradnica bodu zásahu pri výstrele• chyba rýchlomeru v lietadleZáklady modelovania a simulácie – p. 11/67

Náhodná premennáIné príklady náhodných premenných:• x-ová súradnica bodu zásahu pri výstrele• chyba rýchlomeru v lietadle• tiaž náhodne vybraného jadra cievkyZáklady modelovania a simulácie – p. 11/67

Náhodná premennáIné príklady náhodných premenných:• x-ová súradnica bodu zásahu pri výstrele• chyba rýchlomeru v lietadle• tiaž náhodne vybraného jadra cievkyMožné hodnoty takýchto náhodných premenných niesú vzájomne oddelené ale spojite vyplňujú určitýinterval, pričom hranice tohto intervalu môžu byť jasnevymedzené alebo môžu byť neurčité. Takéto náhodnépremenné sa nazývajú spojité náhodné premenné.Základy modelovania a simulácie – p. 11/67

Náhodná premenná• výsledkom pokusu diskrétnej náhodnej premennejX bude jeden z javov:Základy modelovania a simulácie – p. 12/67

Náhodná premenná• výsledkom pokusu diskrétnej náhodnej premennejX bude jeden z javov:X = x 1 , X = x 2 , ...X = x nZáklady modelovania a simulácie – p. 12/67

Náhodná premenná• výsledkom pokusu diskrétnej náhodnej premennejX bude jeden z javov:X = x 1 , X = x 2 , ...X = x n• ak označíme pravdepodobnosť nastaniajednotlivých javovP(X = x 1 ) = p(x 1 ), P(X = x 2 ) = p(x 2 ), ...P(X = x n ) = p(x n )Základy modelovania a simulácie – p. 12/67

Náhodná premenná• výsledkom pokusu diskrétnej náhodnej premennejX bude jeden z javov:X = x 1 , X = x 2 , ...X = x n• ak označíme pravdepodobnosť nastaniajednotlivých javovP(X = x 1 ) = p(x 1 ), P(X = x 2 ) = p(x 2 ), ...P(X = x n ) = p(x n )• potom vzhľadom na fakt, že javy x 1 , x 2 ,...,x n súnezlučiteľné, platín∑i=1p(x i ) = 1Základy modelovania a simulácie – p. 12/67

Náhodná premennáZáklady modelovania a simulácie – p. 13/67

Náhodná premenná• funkcia P(X = x) sa nazýva funkciapravdepodobnosti a má význam len pri diskrétnychnáhodných premennýchZáklady modelovania a simulácie – p. 13/67

Náhodná premenná• funkcia P(X = x) sa nazýva funkciapravdepodobnosti a má význam len pri diskrétnychnáhodných premenných• výhodnejšie z hľadiska použiteľnosti tak pridiskrétnych ako aj pri spojitých náhodnýchpremenných je zaviesť pojem distribučnej funkcieF(x), ktorá pre diskrétnu náhodnú premennú jedefinovaná nasledovneZáklady modelovania a simulácie – p. 13/67

Náhodná premenná• funkcia P(X = x) sa nazýva funkciapravdepodobnosti a má význam len pri diskrétnychnáhodných premenných• výhodnejšie z hľadiska použiteľnosti tak pridiskrétnych ako aj pri spojitých náhodnýchpremenných je zaviesť pojem distribučnej funkcieF(x), ktorá pre diskrétnu náhodnú premennú jedefinovaná nasledovneF(x j ) =j∑i=1p(x i )Základy modelovania a simulácie – p. 13/67

Náhodná premennáZáklady modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premenná• distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnúpremennú z pravdepodobnostného hľadiskaZáklady modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premenná• distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnúpremennú z pravdepodobnostného hľadiska• obecne je definovaná na intervale (−∞, ∞)Základy modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premenná• distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnúpremennú z pravdepodobnostného hľadiska• obecne je definovaná na intervale (−∞, ∞)• hodnota F(x j ) predstavuje pravdepodobnosť javuX ≤ x j , t.j. pravdepodobnosti, že náhodnápremenná X neprekročí číslo x jZáklady modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premenná• distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnúpremennú z pravdepodobnostného hľadiska• obecne je definovaná na intervale (−∞, ∞)• hodnota F(x j ) predstavuje pravdepodobnosť javuX ≤ x j , t.j. pravdepodobnosti, že náhodnápremenná X neprekročí číslo x j• tento fakt tiež môže byť zapísaný v tvareF(x j ) = P(X ≤ x j )Základy modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premenná• distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnúpremennú z pravdepodobnostného hľadiska• obecne je definovaná na intervale (−∞, ∞)• hodnota F(x j ) predstavuje pravdepodobnosť javuX ≤ x j , t.j. pravdepodobnosti, že náhodnápremenná X neprekročí číslo x j• tento fakt tiež môže byť zapísaný v tvare• pričom platíF(x j ) = P(X ≤ x j )0 ≤ F(x j ) ≤ 1Základy modelovania a simulácie – p. 14/67

Náhodná premennáTypické príklady funkcie pravdepodobnosti P(X = x)a distribučnej funkcie F(x) diskrétnej náhodnejpremennej XP(X = x)F(x)10, 30, 80, 20, 10, 60, 40, 200 1 2 3 4 5 6x700 1 2 3 4 5 6 7xZáklady modelovania a simulácie – p. 15/67

Náhodná premenná• pri spojitých náhodných premenných je distribučnáfunkcia F(x) definovaná vzťahomF(x) =∫ x−∞f(z)dzZáklady modelovania a simulácie – p. 16/67

Náhodná premenná• pri spojitých náhodných premenných je distribučnáfunkcia F(x) definovaná vzťahomF(x) =∫ x−∞f(z)dz• f(z) sa nazýva hustota pravdepodobnosti spojitejnáhodnej premennej X (alebo sa tiež môžemestretnúť s pojmom hustota rozdelenia náhodnejpremennej)Základy modelovania a simulácie – p. 16/67

Náhodná premennáTypický priebeh hustoty pravdepodobnosti f(x) adistribučnej funkcie F(x) spojitej náhodnej premennejXf(x)0, 250, 20, 150, 10, 05000, 22 4 6 8 10 12 14x 00 2 4 6 8 10 12 1410, 80, 60, 4F(x)xZáklady modelovania a simulácie – p. 17/67

Náhodná premenná• okrem distribučnej funkcie a hustotypravdepodobnosti existujú aj iné veličiny, ktorécharakterizujú náhodnú premennúZáklady modelovania a simulácie – p. 18/67

Náhodná premenná• okrem distribučnej funkcie a hustotypravdepodobnosti existujú aj iné veličiny, ktorécharakterizujú náhodnú premennú• medzi najzákladnejšie (ale nie jediné) patriaZáklady modelovania a simulácie – p. 18/67

Náhodná premenná• okrem distribučnej funkcie a hustotypravdepodobnosti existujú aj iné veličiny, ktorécharakterizujú náhodnú premennú• medzi najzákladnejšie (ale nie jediné) patria• stredná hodnota náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 18/67

Náhodná premenná• okrem distribučnej funkcie a hustotypravdepodobnosti existujú aj iné veličiny, ktorécharakterizujú náhodnú premennú• medzi najzákladnejšie (ale nie jediné) patria• stredná hodnota náhodnej premennej• rozptyl náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 18/67

Náhodná premennáStredná hodnota náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 19/67

Náhodná premennáStredná hodnota náhodnej premennej• stredná hodnota náhodnej premennej mácharakter pravdepodobnostného priemeru (tiež samôžeme stretnúť s pojmom očakávaná hodnota)Základy modelovania a simulácie – p. 19/67

Náhodná premennáStredná hodnota náhodnej premennej• stredná hodnota náhodnej premennej mácharakter pravdepodobnostného priemeru (tiež samôžeme stretnúť s pojmom očakávaná hodnota)• pre diskrétnu náhodnú premennú X platíE(X) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + ... + x n P(X = x n )n∑n∑= x i P(X = x i ) = x i p(x i )i=1i=1Základy modelovania a simulácie – p. 19/67

Náhodná premennáStredná hodnota náhodnej premennej• stredná hodnota náhodnej premennej mácharakter pravdepodobnostného priemeru (tiež samôžeme stretnúť s pojmom očakávaná hodnota)• pre diskrétnu náhodnú premennú X platíE(X) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + ... + x n P(X = x n )n∑n∑= x i P(X = x i ) = x i p(x i )i=1i=1• pre spojitú náhodnú premennú X platíE(X) =∫ ∞−∞xf(x)dx =∫ ∞−∞xdF(x)Základy modelovania a simulácie – p. 19/67

Náhodná premennáRozptylZáklady modelovania a simulácie – p. 20/67

Náhodná premennáRozptyl• rozptyl náhodnej premennej X, ktorá nadobúdaurčité hodnoty, je definovaný ako stredná hodnotaštvorcov odchýlok hodnôt x od strednej hodnotyE(X), t.j.D(X) = E([X − E(X)] 2 )Základy modelovania a simulácie – p. 20/67

Náhodná premennáRozptyl• rozptyl náhodnej premennej X, ktorá nadobúdaurčité hodnoty, je definovaný ako stredná hodnotaštvorcov odchýlok hodnôt x od strednej hodnotyE(X), t.j.D(X) = E([X − E(X)] 2 )• pre rozptyl sa zaužívalo označenie σ 2 , pričom σpredstavuje smerodajnú odchýlku, ktorá jedefinovanáσ = √ D(X)Základy modelovania a simulácie – p. 20/67

Základné typy rozdeleníZáklady modelovania a simulácie – p. 21/67

Základné typy rozdelení• normálne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 21/67

Základné typy rozdelení• normálne rozdelenie náhodnej premennej• rektangulárne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 21/67

Základné typy rozdelení• normálne rozdelenie náhodnej premennej• rektangulárne rozdelenie náhodnej premennej• exponenciálne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 21/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 22/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• normálny zákon rozdelenia (tiež sa nazývaGaussov zákon rozdelenia) je charakterizovanýhustotou pravdepodobnosti v tvaref(x) = 1σ √ 2π e−(x−m)2 2σ 2Základy modelovania a simulácie – p. 22/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• normálny zákon rozdelenia (tiež sa nazývaGaussov zákon rozdelenia) je charakterizovanýhustotou pravdepodobnosti v tvaref(x) = 1σ √ 2π e−(x−m)2 2σ 2• pre všetky x ∈ (−∞, ∞), kde m predstavujestrednú hodnotu náhodnej premennej a σ 2 jerozptyl náhodnej premennej (resp. σ jesmerodajná odchýlka)Základy modelovania a simulácie – p. 22/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• m a σ ovplyvňujú charakter rozdelenia a musímeich poznať ak chceme vyjadriť hustotupravdepodobnosti normálne rozdelenej náhodnejpremennejZáklady modelovania a simulácie – p. 23/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• m a σ ovplyvňujú charakter rozdelenia a musímeich poznať ak chceme vyjadriť hustotupravdepodobnosti normálne rozdelenej náhodnejpremennejf(x)0, 4 m = 00, 3 m = 1m = 20, 20, 40, 30, 2f(x)σ = 1σ = 2σ = 30, 10, 10−200 2 4x−4 −2 0 2 4xZáklady modelovania a simulácie – p. 23/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• odvodená distribučná funkcia pre normálnerozdelenie náhodnej premennej má tvarF(x) = 1σ √ 2π∫ x−∞e −(x−m)2 2σ 2dxZáklady modelovania a simulácie – p. 24/67

Základné typy rozdeleníNormálne rozdelenie náhodnej premennej• odvodená distribučná funkcia pre normálnerozdelenie náhodnej premennej má tvarF(x) = 1σ √ 2π∫ x−∞e −(x−m)2 2σ 2dxf(x)0, 4F(x)10, 30, 80, 20, 60, 40, 1 0, 20−4−2x 00 2 4 −4 −2 0 2 4xZáklady modelovania a simulácie – p. 24/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 25/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennej• tiež sa nazýva rovnomerné rozdelenie náhodnejpremennejZáklady modelovania a simulácie – p. 25/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennej• tiež sa nazýva rovnomerné rozdelenie náhodnejpremennej• hustota pravdepodobnosti takéhoto rozdelenia jedefinovaná nasledovnef(x) =⎧⎪⎨⎪⎩12apre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉, pre a > 00 pre ostatné xZáklady modelovania a simulácie – p. 25/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennej• tiež sa nazýva rovnomerné rozdelenie náhodnejpremennej• hustota pravdepodobnosti takéhoto rozdelenia jedefinovaná nasledovnef(x) =⎧⎪⎨⎪⎩12apre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉, pre a > 00 pre ostatné x• interval 〈x 0 − a,x 0 + a〉 predstavuje rozsah, naktorom je náhodná premenná definovanáZáklady modelovania a simulácie – p. 25/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennej• distribučná funkcia má tvarF(x) =⎧⎪⎨⎪⎩0 pre x < x 0 − ax − (x 0 − a)2apre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉1 pre x > x 0 + aZáklady modelovania a simulácie – p. 26/67

Základné typy rozdeleníRektangulárne rozdelenie náhodnej premennej0, 250, 20, 150, 10, 05• distribučná funkcia má tvar0F(x) =f(x)−6−4⎧⎪⎨⎪⎩−20 pre x < x 0 − ax − (x 0 − a)2apre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉1 pre x > x 0 + a10.80.60.40, 2F(x)x 00 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4Základy modelovania a simulácie – p. 26/67x6

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennejZáklady modelovania a simulácie – p. 27/67

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennej• hustota pravdepodobnosti náhodnej premennejs exponenciálnym rozdelením je definovanánasledovnef(x) = λe −λx Základy modelovania a simulácie – p. 27/67

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennej• hustota pravdepodobnosti náhodnej premennejs exponenciálnym rozdelením je definovanánasledovnef(x) = λe −λx• x nadobúda hodnoty z intervalu (0, ∞)Základy modelovania a simulácie – p. 27/67

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennej• hustota pravdepodobnosti náhodnej premennejs exponenciálnym rozdelením je definovanánasledovnef(x) = λe −λx• x nadobúda hodnoty z intervalu (0, ∞)• distribučná funkcia F(x) má potom tvarF(x) =∫ x0f(z)dz =∫ x0λe −λz dz = 1 − e −λxZáklady modelovania a simulácie – p. 27/67

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennej• grafické znázornenie hustoty pravdepodobnosti adistribučnej funkcieZáklady modelovania a simulácie – p. 28/67

Základné typy rozdeleníExponenciálne rozdelenie náhodnej premennej• grafické znázornenie hustoty pravdepodobnosti adistribučnej funkcief(x)21, 510, 500F(x)10, 80, 60, 40, 21 2 3 4 5x600 1 2 3 4 5x6Základy modelovania a simulácie – p. 28/67

Náhodné číslaZáklady modelovania a simulácie – p. 29/67

Náhodné čísla• získanie náhodných čísel s danou distribučnoufunkciou je základná črta každého Monte CarloexperimentuZáklady modelovania a simulácie – p. 29/67

Náhodné čísla• získanie náhodných čísel s danou distribučnoufunkciou je základná črta každého Monte Carloexperimentu• náhodné číslo s danou distribučnou funkciou námbude reprezentovať výsledok pokusu s náhodnoupremennou, ktorá sa správa podľa danejdistribučnej funkcieZáklady modelovania a simulácie – p. 29/67

Náhodné číslaSpôsoby získania náhodných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 30/67

Náhodné číslaSpôsoby získania náhodných čísel• tabuľka náhodných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 30/67

Náhodné číslaSpôsoby získania náhodných čísel• tabuľka náhodných čísel• generátory náhodných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 30/67

Náhodné číslaSpôsoby získania náhodných čísel• tabuľka náhodných čísel• generátory náhodných čísel• pseudonáhodné číslaZáklady modelovania a simulácie – p. 30/67

Náhodné číslaTabuľka náhodných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 31/67

Náhodné číslaTabuľka náhodných čísel• obsahuje náhodné čísla, ktoré boli získanéskutočne fyzickým experimentomZáklady modelovania a simulácie – p. 31/67

Náhodné číslaTabuľka náhodných čísel• obsahuje náhodné čísla, ktoré boli získanéskutočne fyzickým experimentom• získané čísla sú potom uložené v pamäti počítačaa môžu sa ďalej využívaťZáklady modelovania a simulácie – p. 31/67

Náhodné číslaTabuľka náhodných čísel• obsahuje náhodné čísla, ktoré boli získanéskutočne fyzickým experimentom• získané čísla sú potom uložené v pamäti počítačaa môžu sa ďalej využívať• musia byť preskúmané štatistickými testami, či sanaozaj jedná o náhodné (čísla) premenné a či priexperimente nevznikol určitý problém, ktorý bytieto tabuľky ovplyvnilZáklady modelovania a simulácie – p. 31/67

Náhodné číslaPseudonáhodné číslaZáklady modelovania a simulácie – p. 32/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• veľmi často sa ako zdroj náhodných číselpoužívajú tzv. generátory pseudonáhodných čísel,ktoré generujú náhodné čísla na základe určitýchpredpísaných výrazovZáklady modelovania a simulácie – p. 32/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• veľmi často sa ako zdroj náhodných číselpoužívajú tzv. generátory pseudonáhodných čísel,ktoré generujú náhodné čísla na základe určitýchpredpísaných výrazov• nie sú úplne náhodné a preto sa takto získané číslanazývajú pseudonáhodnéZáklady modelovania a simulácie – p. 32/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• veľmi často sa ako zdroj náhodných číselpoužívajú tzv. generátory pseudonáhodných čísel,ktoré generujú náhodné čísla na základe určitýchpredpísaných výrazov• nie sú úplne náhodné a preto sa takto získané číslanazývajú pseudonáhodné• predpisy musia byť formulované tak, aby získanéčísla prešli cez štatistické testy, ktoré určujúnáhodnosť alebo nenáhodnosť získaných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 32/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• väčšina takýchto algoritmov má tvarγ k = φ(γ k−1 ) pre k = 1, 2,...Základy modelovania a simulácie – p. 33/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• väčšina takýchto algoritmov má tvarγ k = φ(γ k−1 ) pre k = 1, 2,...• ak γ 0 je pevne dané, potom ostatné γ 1 , γ 2 ,... súpočítané pomocou tej istej rovniceZáklady modelovania a simulácie – p. 33/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• prvý algoritmus (mid-square method) bolnavrhnutý von NeumannomZáklady modelovania a simulácie – p. 34/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• prvý algoritmus (mid-square method) bolnavrhnutý von Neumannom• jeho podstata vyzerala nasledovne:Základy modelovania a simulácie – p. 34/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla• prvý algoritmus (mid-square method) bolnavrhnutý von Neumannom• jeho podstata vyzerala nasledovne:1. nech je dané γ 0 = 0, 98762. umocnením sa získa γ 2 0 = 0, 975353763. vybratím stredných štyroch čísel sa získa γ 1 ,ktoré má hodnotu γ 1 = 0, 53534. celý proces sa opakujeZáklady modelovania a simulácie – p. 34/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – transformácia náhodnýchpremennýchZáklady modelovania a simulácie – p. 35/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – transformácia náhodnýchpremenných• predchádzajúce spôsoby získavania náhodnejpremennej (resp. náhodného čísla), generujúnáhodné číslo s rovnomerným rozdelením naintervale 〈0, 1〉Základy modelovania a simulácie – p. 35/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – transformácia náhodnýchpremenných• predchádzajúce spôsoby získavania náhodnejpremennej (resp. náhodného čísla), generujúnáhodné číslo s rovnomerným rozdelením naintervale 〈0, 1〉• takto získané náhodné číslo trebapretransformovať na náhodné číslo s predpísanýmrozdelenímZáklady modelovania a simulácie – p. 35/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – transformácia náhodnýchpremenných• predchádzajúce spôsoby získavania náhodnejpremennej (resp. náhodného čísla), generujúnáhodné číslo s rovnomerným rozdelením naintervale 〈0, 1〉• takto získané náhodné číslo trebapretransformovať na náhodné číslo s predpísanýmrozdelením• medzi základné transformačné metódy patrímetóda inverznej transformácieZáklady modelovania a simulácie – p. 35/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieZáklady modelovania a simulácie – p. 36/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácie• nech F(x) predstavuje distribučnú funkciunáhodnej premennej X, ktorá je spojitá a rastúcaZáklady modelovania a simulácie – p. 36/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácie• nech F(x) predstavuje distribučnú funkciunáhodnej premennej X, ktorá je spojitá a rastúca• k takejto funkcii y = F(x) existuje inverznáfunkcia x = G(y) a pre všetky −∞ < x < ∞ a0 < y < 1 platíG(F(x)) = xF(G(y)) = yZáklady modelovania a simulácie – p. 36/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácie• nech číslo γ predstavuje náhodné číslo srovnomerným rozdelením z intervalu 〈0, 1〉Základy modelovania a simulácie – p. 37/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácie• nech číslo γ predstavuje náhodné číslo srovnomerným rozdelením z intervalu 〈0, 1〉• dá sa dokázať, že náhodné číslo ξ s distribučnoufunkciou F(x) získame akoξ = G(γ)Základy modelovania a simulácie – p. 37/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácie• nech číslo γ predstavuje náhodné číslo srovnomerným rozdelením z intervalu 〈0, 1〉• dá sa dokázať, že náhodné číslo ξ s distribučnoufunkciou F(x) získame akoξ = G(γ)• kde x = G(y) je inverzná funkcia k y = F(x)Základy modelovania a simulácie – p. 37/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieRovnomerné rozdelenieZáklady modelovania a simulácie – p. 38/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieRovnomerné rozdelenie• distribučná funkcia náhodnej premennej srovnomerným rozdelením pre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉F(x) = x − (x 0 − a)2a= yZáklady modelovania a simulácie – p. 38/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieRovnomerné rozdelenie• distribučná funkcia náhodnej premennej srovnomerným rozdelením pre x ∈ 〈x 0 − a,x 0 + a〉F(x) = x − (x 0 − a)2a• inverzná funkcia k F(x) má tvar= yG(y) = 2ay + (x 0 − a) = xZáklady modelovania a simulácie – p. 38/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieRovnomerné rozdelenie• obe funkcie F(x) aj G(y) pre prípad x 0 = 0 aa = 1 vyzerajú nasledovneZáklady modelovania a simulácie – p. 39/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieRovnomerné rozdelenie• obe funkcie F(x) aj G(y) pre prípad x 0 = 0 aa = 1 vyzerajú nasledovne10.80.60.40, 20−1F(x)−0, 50, 50−0, 5G(y)1x −10 0, 5 1 0 0, 2 0.4 0.6 0.8 1yZáklady modelovania a simulácie – p. 39/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieExponenciálne rozdelenieZáklady modelovania a simulácie – p. 40/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieExponenciálne rozdelenie• distribučná funkcia náhodnej premennej sexponenciálnym rozdelenímF(x) =∫ x0f(z)dz =∫ x0λe −λz dz = 1 − e −λx = yZáklady modelovania a simulácie – p. 40/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieExponenciálne rozdelenie• distribučná funkcia náhodnej premennej sexponenciálnym rozdelenímF(x) =∫ x0f(z)dz =∫ x• inverzná funkcia k F(x) má tvar0λe −λz dz = 1 − e −λx = yG(y) = − 1 λln(1 − y) = xZáklady modelovania a simulácie – p. 40/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieExponenciálne rozdelenie• obe funkcie F(x) aj G(y) pre prípad λ = 1vyzerajú nasledovneZáklady modelovania a simulácie – p. 41/67

Náhodné číslaPseudonáhodné čísla – metóda inverznej transformácieExponenciálne rozdelenie• obe funkcie F(x) aj G(y) pre prípad λ = 1vyzerajú nasledovneF(x)G(y)10, 80, 60, 4108640, 2200 2 4 6 8x100 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1yZáklady modelovania a simulácie – p. 41/67

Metóda Monte Carlo – princípZáklady modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – princípAlgoritmy založené na metóde Monte Carlo obsahujúkomponenty, ktoré tvoria základ tejto metódy. Sú tonajmä:Základy modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – princípAlgoritmy založené na metóde Monte Carlo obsahujúkomponenty, ktoré tvoria základ tejto metódy. Sú tonajmä:• distribučná funkciaZáklady modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – princípAlgoritmy založené na metóde Monte Carlo obsahujúkomponenty, ktoré tvoria základ tejto metódy. Sú tonajmä:• distribučná funkcia• generátor náhodných číselZáklady modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – princípAlgoritmy založené na metóde Monte Carlo obsahujúkomponenty, ktoré tvoria základ tejto metódy. Sú tonajmä:• distribučná funkcia• generátor náhodných čísel• transformácia náhodných čísel na náhodné čísla spožadovanou distribučnou funkciouZáklady modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – princípAlgoritmy založené na metóde Monte Carlo obsahujúkomponenty, ktoré tvoria základ tejto metódy. Sú tonajmä:• distribučná funkcia• generátor náhodných čísel• transformácia náhodných čísel na náhodné čísla spožadovanou distribučnou funkciou• odhad chyby výpočtuZáklady modelovania a simulácie – p. 42/67

Metóda Monte Carlo – aplikácieZáklady modelovania a simulácie – p. 43/67

Metóda Monte Carlo – aplikácie• výpočet viacrozmerného integráluZáklady modelovania a simulácie – p. 43/67

Metóda Monte Carlo – aplikácie• výpočet viacrozmerného integrálu• prechod neutrónov cez doskuZáklady modelovania a simulácie – p. 43/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluZáklady modelovania a simulácie – p. 44/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• viacrozmerné integrály, ktoré nie sme schopnívypočítať v uzavretom tvare, musíme počítaťnumerickyZáklady modelovania a simulácie – p. 44/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• viacrozmerné integrály, ktoré nie sme schopnívypočítať v uzavretom tvare, musíme počítaťnumericky• pri 1, 2 a 3 rozmerných integráloch prevládapoužitie numerických kvadratúr (tu hrá prímnajmä Gaussova kvadratúra)Základy modelovania a simulácie – p. 44/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• viacrozmerné integrály, ktoré nie sme schopnívypočítať v uzavretom tvare, musíme počítaťnumericky• pri 1, 2 a 3 rozmerných integráloch prevládapoužitie numerických kvadratúr (tu hrá prímnajmä Gaussova kvadratúra)• pri vyšších rozmerov integrálov je problém určiťpolohu Gaussovych bodov ako aj ich váhu, a pretoje výhodnejšie v týchto prípadoch použiť metóduMonte CarloZáklady modelovania a simulácie – p. 44/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• existujú dva spôsoby výpočtu viacrozmernéhointegráluZáklady modelovania a simulácie – p. 45/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• existujú dva spôsoby výpočtu viacrozmernéhointegrálu• oba postupy budú prezentované na jednoduchomjednorozmernom integrályZáklady modelovania a simulácie – p. 45/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integrálu• existujú dva spôsoby výpočtu viacrozmernéhointegrálu• oba postupy budú prezentované na jednoduchomjednorozmernom integrály0, 14h(x)I =∫ bah(x)dx0, 10, 060, 020, 2 0, 4 0, 6 0, 8x1Základy modelovania a simulácie – p. 45/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsobZáklady modelovania a simulácie – p. 46/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsob• podstata prvého spôsobu výpočtu integrálu naintervale 〈a,b〉 spočíva v náhodnom výbere Nbodov z intervalu 〈a,b〉Základy modelovania a simulácie – p. 46/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsob• podstata prvého spôsobu výpočtu integrálu naintervale 〈a,b〉 spočíva v náhodnom výbere Nbodov z intervalu 〈a,b〉• tieto body predstavujú realizáciu náhodnej veličinys rovnomerným rozdelením hustotypravdepodobnosti na intervale 〈a,b〉Základy modelovania a simulácie – p. 46/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsob• podstata prvého spôsobu výpočtu integrálu naintervale 〈a,b〉 spočíva v náhodnom výbere Nbodov z intervalu 〈a,b〉• tieto body predstavujú realizáciu náhodnej veličinys rovnomerným rozdelením hustotypravdepodobnosti na intervale 〈a,b〉• pre približné určenie hodnoty integrálu môžemepísaťI ∼ = I MC = (b − a) 1 NN∑h(x i )i=1Základy modelovania a simulácie – p. 46/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsob• celý postup je podobný klasickému numerickémuintegrovaniu, kde sa hodnota funkcie h(x)vyčísluje v určitých bodoch, avšak tieto body niesú zvolené náhodným procesom ale sú presnestanovenéZáklady modelovania a simulácie – p. 47/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluPrvý spôsob• náhodne zvolené body x i a ich funkčné hodnotyh(x i )h(x)0, 140, 1h(x)0, 140, 1h(x i )0, 060, 020, 060, 02 x ix0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8x1I ∼ = I MC = (b − a) 1 NN∑h(x i )i=1Základy modelovania a simulácie – p. 48/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsobZáklady modelovania a simulácie – p. 49/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• na určenie integrálu z funkcie h(x) sa môžemepozerať aj ako na určenie plochy pod toutokrivkouZáklady modelovania a simulácie – p. 49/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• na určenie integrálu z funkcie h(x) sa môžemepozerať aj ako na určenie plochy pod touto krivkou• body tejto plochy sú na osi x z rozmedziax ∈ 〈a,b〉 a na osi y z rozmedzia y ∈ 〈0,h max 〉Základy modelovania a simulácie – p. 49/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• na určenie integrálu z funkcie h(x) sa môžemepozerať aj ako na určenie plochy pod touto krivkou• body tejto plochy sú na osi x z rozmedziax ∈ 〈a,b〉 a na osi y z rozmedzia y ∈ 〈0,h max 〉0, 14h(x)0, 10, 060, 020, 2 0, 4 0, 6 0, 8x1Základy modelovania a simulácie – p. 49/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• druhý spôsob určenia integrálu na intervale 〈a,b〉spočíva v generovaní náhodných bodov sosúradnicami (γ,ξ) v oblasti, ktorá je definovanávýrazmi γ ∈ 〈a,b〉 a ξ ∈ 〈0,h max 〉Základy modelovania a simulácie – p. 50/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• druhý spôsob určenia integrálu na intervale 〈a,b〉spočíva v generovaní náhodných bodov sosúradnicami (γ,ξ) v oblasti, ktorá je definovanávýrazmi γ ∈ 〈a,b〉 a ξ ∈ 〈0,h max 〉• súradnice náhodného bodu γ a ξ predstavujúnáhodné čísla s rovnomerným rozdelením hustotypravdepodobnosti na zadaných intervalochZáklady modelovania a simulácie – p. 50/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• Po vygenerovaní N takto definovaných náhodnýchbodov je nutné ich rozdeliť do dvoch skupín:Základy modelovania a simulácie – p. 51/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• Po vygenerovaní N takto definovaných náhodnýchbodov je nutné ich rozdeliť do dvoch skupín:1. náhodné body, ktoré ležia pod krivkou h(x)(t.j. ležia vo vnútri skúmanej plochy), ichpočet nech je označený ako N 1Základy modelovania a simulácie – p. 51/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• Po vygenerovaní N takto definovaných náhodnýchbodov je nutné ich rozdeliť do dvoch skupín:1. náhodné body, ktoré ležia pod krivkou h(x)(t.j. ležia vo vnútri skúmanej plochy), ichpočet nech je označený ako N 12. náhodné body, ktoré ležia nad krivkou h(x)(t.j. ležia mimo skúmanú plochu), ich početnech je označený ako N 2Základy modelovania a simulácie – p. 51/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsobh(x)0, 14N náhodných bodov0, 140, 10, 10, 060, 060, 020, 20, 40, 60, 8x10, 020, 20, 40, 60, 81h(x)0, 14h(x)0, 140, 10, 10, 06N 1N 20, 060, 020, 20, 40, 60, 8x10, 020, 20, 40, 60, 8x1Základy modelovania a simulácie – p. 52/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• odhad skúmaného integrálu podľa metódy MonteCarlo je potom určený nasledovne:Základy modelovania a simulácie – p. 53/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• odhad skúmaného integrálu podľa metódy MonteCarlo je potom určený nasledovne:• ak by funkcia h(x) bola konštantná s hodnotouh max , potom by integrál bol rovný súčinu(b − a)h max a v takomto prípade by všetkýchN bodov patrilo súčasne aj do skupiny N 1Základy modelovania a simulácie – p. 53/67

Metóda Monte Carlo – výpočet integráluDruhý spôsob• odhad skúmaného integrálu podľa metódy MonteCarlo je potom určený nasledovne:• ak by funkcia h(x) bola konštantná s hodnotouh max , potom by integrál bol rovný súčinu(b − a)h max a v takomto prípade by všetkýchN bodov patrilo súčasne aj do skupiny N 1• ak ale funkcia h(x) nie je konštantná, potomodhad tohto integrálu je definovaný akoI ∼ = I MC = (b − a)h maxN 1NZáklady modelovania a simulácie – p. 53/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovZáklady modelovania a simulácie – p. 54/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• v technickej praxi je často potrebné počítaťmakroskopický charakter procesov, pri ktorýchveľký počet častíc (neutrónov, fotónov, ...)prichádza do interakcie s tuhou látkouZáklady modelovania a simulácie – p. 54/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• v technickej praxi je často potrebné počítaťmakroskopický charakter procesov, pri ktorýchveľký počet častíc (neutrónov, fotónov, ...)prichádza do interakcie s tuhou látkou• takýto prípad sa vyskytuje napr. v jadrovomreaktoreZáklady modelovania a simulácie – p. 54/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• v technickej praxi je často potrebné počítaťmakroskopický charakter procesov, pri ktorýchveľký počet častíc (neutrónov, fotónov, ...)prichádza do interakcie s tuhou látkou• takýto prípad sa vyskytuje napr. v jadrovomreaktore• toto je situácia, kde metóda Monte Carlo našlasvoje významné uplatnenieZáklady modelovania a simulácie – p. 54/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valcaZáklady modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valca• pri zrážke neutrónu a atómu steny môžu nastaťštyri prípady :Základy modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valca• pri zrážke neutrónu a atómu steny môžu nastaťštyri prípady :• pružný rozptylZáklady modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valca• pri zrážke neutrónu a atómu steny môžu nastaťštyri prípady :• pružný rozptyl• nepružný rozptylZáklady modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valca• pri zrážke neutrónu a atómu steny môžu nastaťštyri prípady :• pružný rozptyl• nepružný rozptyl• absorbciaZáklady modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónov• neutróny buď preletia priamo cez celú stenu alebonarazia do atómu steny valca• pri zrážke neutrónu a atómu steny môžu nastaťštyri prípady :• pružný rozptyl• nepružný rozptyl• absorbcia• štiepenieZáklady modelovania a simulácie – p. 55/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovNávratneutrónuZdrojPrechodneutrónuAbsorbcianeutrónuZáklady modelovania a simulácie – p. 56/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovCieľom je určiť :Základy modelovania a simulácie – p. 57/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovCieľom je určiť :• pravdepodobnosť prechodu neutrónov cez doskuP pZáklady modelovania a simulácie – p. 57/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovCieľom je určiť :• pravdepodobnosť prechodu neutrónov cez doskuP p• pravdepodobnosť, že sa vrátia späť P nZáklady modelovania a simulácie – p. 57/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovCieľom je určiť :• pravdepodobnosť prechodu neutrónov cez doskuP p• pravdepodobnosť, že sa vrátia späť P n• pravdepodobnosť, že budú absorbované P aZáklady modelovania a simulácie – p. 57/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovPrierez pre absorbciu, prierez pre rozptyl:Základy modelovania a simulácie – p. 58/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovPrierez pre absorbciu, prierez pre rozptyl:• interakcia neutrónov s látkou je charakterizovanáprierezom pre absorbciu Σ a a prierezom prerozptyl Σ rZáklady modelovania a simulácie – p. 58/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovPrierez pre absorbciu, prierez pre rozptyl:• interakcia neutrónov s látkou je charakterizovanáprierezom pre absorbciu Σ a a prierezom prerozptyl Σ r• celý prierez je potom definovaný akoΣ = Σ a + Σ rZáklady modelovania a simulácie – p. 58/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovPrierez pre absorbciu, prierez pre rozptyl:• interakcia neutrónov s látkou je charakterizovanáprierezom pre absorbciu Σ a a prierezom prerozptyl Σ r• celý prierez je potom definovaný akoΣ = Σ a + Σ r• význam týchto prierezov je nasledovný:Σ a /Σ predstavuje pravdepodobnosť absorbcieΣ r /Σ vyjadruje pravdepodobnosť rozptyluZáklady modelovania a simulácie – p. 58/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovVoľná dĺžka:Základy modelovania a simulácie – p. 59/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovVoľná dĺžka:• dôležitou charakteristikou interakcie neutrónu aatómu je voľná dĺžka λ, ktorá definuje vzdialenosťmedzi dvoma zrážkami toho istého neutrónu sdvoma rôznymi atómamiZáklady modelovania a simulácie – p. 59/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovVoľná dĺžka:• dôležitou charakteristikou interakcie neutrónu aatómu je voľná dĺžka λ, ktorá definuje vzdialenosťmedzi dvoma zrážkami toho istého neutrónu sdvoma rôznymi atómami• λ predstavuje náhodnú premennú sexponenciálnym rozdelením, ktorého hustotapravdepodobnosti má tvarf 1 (λ) = Σe −Σλ λ ∈ (0, ∞)Základy modelovania a simulácie – p. 59/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovVoľná dĺžka:• podľa výrazu pre inverznú transformáciuexponenciálneho rozdelenia dostávame prenáhodnú veličinu λ výrazλ = − 1 Σln(1 − γ)Základy modelovania a simulácie – p. 60/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovVoľná dĺžka:• podľa výrazu pre inverznú transformáciuexponenciálneho rozdelenia dostávame prenáhodnú veličinu λ výrazλ = − 1 Σln(1 − γ)• kde γ je náhodná premenná s rovnomernýmrozdelením na intervale 〈0, 1〉Základy modelovania a simulácie – p. 60/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:Základy modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• zjednodušenie sa týka smeru odrazuZáklady modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• zjednodušenie sa týka smeru odrazu• v skutočnosti sa môže odraziť neutrón doľubovoľného smeru v priestoreZáklady modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• zjednodušenie sa týka smeru odrazu• v skutočnosti sa môže odraziť neutrón doľubovoľného smeru v priestore• kvôli prehľadnosti budeme uvažovať iba odraz vrovine x − yZáklady modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• zjednodušenie sa týka smeru odrazu• v skutočnosti sa môže odraziť neutrón doľubovoľného smeru v priestore• kvôli prehľadnosti budeme uvažovať iba odraz vrovine x − y• v tejto rovine sú všetky smery odrazu rovnakopravdepodobnéZáklady modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• zjednodušenie sa týka smeru odrazu• v skutočnosti sa môže odraziť neutrón doľubovoľného smeru v priestore• kvôli prehľadnosti budeme uvažovať iba odraz vrovine x − y• v tejto rovine sú všetky smery odrazu rovnakopravdepodobné• smer odrazu je charakterizovaný smerovýmkosínusom ϕ, ktorý predstavuje náhodnú veličinu srovnomerným rozdelenímµ = cos ϕ µ ∈ (−1, 1)Základy modelovania a simulácie – p. 61/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• pre hustotu pravdepodobnosti tejto náhodnejpremennej dostávame výrazf 2 (µ) = 12a = 1 2Základy modelovania a simulácie – p. 62/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• pre hustotu pravdepodobnosti tejto náhodnejpremennej dostávame výrazf 2 (µ) = 12a = 1 2• inverznou transformáciou dostávameµ = 2γ − 1Základy modelovania a simulácie – p. 62/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovSmeru odrazu:• pre hustotu pravdepodobnosti tejto náhodnejpremennej dostávame výrazf 2 (µ) = 12a = 1 2• inverznou transformáciou dostávameµ = 2γ − 1• γ je opäť náhodná premenná s rovnomernýmrozdelením na intervale 〈0, 1〉Základy modelovania a simulácie – p. 62/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtuZáklady modelovania a simulácie – p. 63/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• nech k−ta zrážka neutrónu s atómom dosky sauskutočnila na x−ovej súradnici x kZáklady modelovania a simulácie – p. 63/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• nech k−ta zrážka neutrónu s atómom dosky sauskutočnila na x−ovej súradnici x k• nech nový smer je µ kZáklady modelovania a simulácie – p. 63/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• nech k−ta zrážka neutrónu s atómom dosky sauskutočnila na x−ovej súradnici x k• nech nový smer je µ k• podľa prechádzajúceho výrazu nájdeme k−tuvoľnú dĺžku, t.j.λ k = − 1 Σln(1 − γ)Základy modelovania a simulácie – p. 63/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• nech k−ta zrážka neutrónu s atómom dosky sauskutočnila na x−ovej súradnici x k• nech nový smer je µ k• podľa prechádzajúceho výrazu nájdeme k−tuvoľnú dĺžku, t.j.λ k = − 1 Σln(1 − γ)• vypočítame novú polohu k + 1 zrážkyx k+1 = x k + λ k µ kZáklady modelovania a simulácie – p. 63/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme, či nastal jeden z limitnýchprípadov:Základy modelovania a simulácie – p. 64/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme, či nastal jeden z limitnýchprípadov:• neutrón vyletel von zo steny – podmienkax k+1 > h – zväčší sa počítadlo prechodu N pZáklady modelovania a simulácie – p. 64/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme, či nastal jeden z limitnýchprípadov:• neutrón vyletel von zo steny – podmienkax k+1 > h – zväčší sa počítadlo prechodu N p• neutrón sa vrátil späť – podmienka x k+1 < 0 –zväčší sa počítadlo návratu N nZáklady modelovania a simulácie – p. 64/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme, či nastal jeden z limitnýchprípadov:• neutrón vyletel von zo steny – podmienkax k+1 > h – zväčší sa počítadlo prechodu N p• neutrón sa vrátil späť – podmienka x k+1 < 0 –zväčší sa počítadlo návratu N n• ak bola splnená jedna z týchto dvoch podmienok,výpočet pre danú časticu sa skončil a môžemezačať s novou časticouZáklady modelovania a simulácie – p. 64/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme, či nastal jeden z limitnýchprípadov:• neutrón vyletel von zo steny – podmienkax k+1 > h – zväčší sa počítadlo prechodu N p• neutrón sa vrátil späť – podmienka x k+1 < 0 –zväčší sa počítadlo návratu N n• ak bola splnená jedna z týchto dvoch podmienok,výpočet pre danú časticu sa skončil a môžemezačať s novou časticou• ak sa častica stále nachádza vo vnútri steny(0 < x k+1 < h), musíme neutrón ďalej sledovaťZáklady modelovania a simulácie – p. 64/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme absorbciu neutrónuZáklady modelovania a simulácie – p. 65/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme absorbciu neutrónu• musíme vygenerovať ďalšie náhodné číslo γ srovnomerným rozdelením a testovať podmienkuabsorbcie pomocou pravdepodobnosti absorbcieγ < Σ a /ΣZáklady modelovania a simulácie – p. 65/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• skontrolujeme absorbciu neutrónu• musíme vygenerovať ďalšie náhodné číslo γ srovnomerným rozdelením a testovať podmienkuabsorbcie pomocou pravdepodobnosti absorbcieγ < Σ a /Σ• ak je podmienka splnená, neutrón je absorbovanýa jednotku pripočítame do počítadla pre absorbciuN a a môžeme začať so sledovaním novéhoneutrónuZáklady modelovania a simulácie – p. 65/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• ak nerovnosť γ < Σ a /Σ neplatí, neutrón sadostane až do novej polohy x k+1Základy modelovania a simulácie – p. 66/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• ak nerovnosť γ < Σ a /Σ neplatí, neutrón sadostane až do novej polohy x k+1• v novej polohe sa uskutoční nová zrážka s inýmatómom a nový smer je definovaný pomocounovej hodnoty γ akoµ k+1 = 2γ − 1Základy modelovania a simulácie – p. 66/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• ak nerovnosť γ < Σ a /Σ neplatí, neutrón sadostane až do novej polohy x k+1• v novej polohe sa uskutoční nová zrážka s inýmatómom a nový smer je definovaný pomocounovej hodnoty γ akoµ k+1 = 2γ − 1• celý proces pokračuje až daný neutrón neprejde nadruhú stranu alebo sa nevráti alebo neabsorbujeZáklady modelovania a simulácie – p. 66/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• môžeme prejsť na ďalší neutrón, pričom celkovýpočet takto preskúmaných neutrónov nech jeoznačený NZáklady modelovania a simulácie – p. 67/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• môžeme prejsť na ďalší neutrón, pričom celkovýpočet takto preskúmaných neutrónov nech jeoznačený N• celkový počet neutrónov, ktoré prejdu cez dosku jeN pZáklady modelovania a simulácie – p. 67/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• môžeme prejsť na ďalší neutrón, pričom celkovýpočet takto preskúmaných neutrónov nech jeoznačený N• celkový počet neutrónov, ktoré prejdu cez dosku jeN p• celkový počet neutrónov, ktoré sa vrátia je N nZáklady modelovania a simulácie – p. 67/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• môžeme prejsť na ďalší neutrón, pričom celkovýpočet takto preskúmaných neutrónov nech jeoznačený N• celkový počet neutrónov, ktoré prejdu cez dosku jeN p• celkový počet neutrónov, ktoré sa vrátia je N n• celkový počet neutrónov, ktoré absorbujú je N aZáklady modelovania a simulácie – p. 67/67

Metóda Monte Carlo – prechod neutrónovAlgoritmus výpočtu• môžeme prejsť na ďalší neutrón, pričom celkovýpočet takto preskúmaných neutrónov nech jeoznačený N• celkový počet neutrónov, ktoré prejdu cez dosku jeN p• celkový počet neutrónov, ktoré sa vrátia je N n• celkový počet neutrónov, ktoré absorbujú je N a• pre hľadané pravdepodobnosti dostávameP p∼ =N pNP n∼ =N nNP a∼ =N aNZáklady modelovania a simulácie – p. 67/67