PRP_1_2_uvod do PaP a vnutorne sily

Počítačové riešenie políVladimír GogaKatedra mechaniky1

Pružnosť a pevnosťPrednáška 1_2.2

Obsah prednášky1. Úvod do pružnosti a pevnosti2. Zaťažujúce účinky – vonkajšie sily3. Deformácia telesa4. Vnútorné sily5. Výpočet vnútorných silových veličín3

1. Úvod do PaP• Predmet “Pružnosť a pevnosť“ (ďalej len PaP) sazaoberá rovnováhou deformovateľného(poddajného) telesa a skúma účinky pôsobeniazaťažujúcich síl na poddajné teleso:– každé teleso vystavené účinkomvonkajších síl, či zmene teploty,mení vo všeobecnosti svoj tvar arozmery – deformuje sa(deformácia je výsledkompremiestnení jednotlivýchčastíc telesa)– PaP teda skúma stav vnútorných síl a pretvorení telies a ichvzájomné súvislosti v dôsledku pôsobenia vonkajších síl4

1. Úvod do PaP• Stabilná poloha častíc telesa pred zaťažením jevýsledkom nulových výsledných vnútorných síl, ktorémedzi nimi pôsobia– vnútorné sily udržujúce nezaťažené teleso v pevnom tvarepružnosť a pevnosť neskúma, pretože tieto sily bezprostrednenezávisia od vonkajších vplyvov.• Zaoberá sa však tzv. doplnkovými vnútornými silami,ktoré pri vonkajšom zaťažení bránia vzájomnémuposunutiu častíc telesa a snažia sa ich vrátiť do polohy,ktorú tieto častice zaujímali pred deformáciou– doplnkové vnútorné sily (ďalej len vnútorné sily) majúschopnosť odstrániť, resp. zmenšiť deformácie spôsobenévonkajšími vplyvmi, ak tieto prestanú na teleso pôsobiť.5

1.1 Základné pojmy PaP• Pružnosť: je schopnosť pevných telies nadobudnúť poodstránení vonkajšieho zaťaženia pôvodný tvar.• Pevnosť: schopnosť prvku (konštrukcie) preniesťzaťaženie bez porušenia:• mierou pevnosti je hladina mechanického napätia (napätieje mierou intenzity vnútorných síl).• Tuhosť: je miera odporu prvku (konštrukcie)deformovať sa (zmeniť tvar a rozmery) v dôsledkuvonkajšieho zaťaženia.• Stabilita: schopnosť prvku (konštrukcie) zachovaťpočiatočný tvar pružnej rovnováhy.6

1.2 Ciele PaP• Cieľom PaP je určenie vzťahov a zákonitostí medzi vonkajšímzaťažením a rozmermi nosného elementu z materiálu definovanýchvlastností, ktoré zaručia dostatočnú bezpečnosť proti porušeniukonštrukcie pri prevádzkovom zaťažení:1. Priame metódy:– výpočet napätí: určenie mechanických napätí, ktoré vzniknú vnavrhovanej konštrukcii účinkom vonkajších síl a teplotných zmien– výpočet deformácií: určenie deformácií, ktoré vzniknú v navrhovanejkonštrukcii účinkom vonkajších síl a teplotných zmien2. Nepriame metódy:– dimenzovanie: určenie rozmerov prierezov tak, aby napätia(pevnostné dimenzovanie) alebo deformácie (tuhostnédimenzovanie) boli menšie, nanajvýš rovné dovoleným, resp.návrhovým hodnotám7

1.3 Požiadavky na konštrukcie v rámci PaP• bezpečnosť a hospodárnosť:– sú si často vzájomne protichodné– voľba materiálu a rozmery (dimenzie) súčiastok majú byť vsúlade s podmienkami ekonomického využitia materiálu• pevnostné požiadavky:– ich stupeň nie je pre všetky typy konštrukcií rovnaký• niekedy je rozhodujúcou nosnosť konštrukcie (mosty, žeriavy,výťahy, ...)• inokedy rozhoduje vonkajší tvar (krídla lietadiel, trup rakiet, tvarlodí, ...)• často rozmery determinuje požadovaná tuhosť konštrukcie(hriadeľ turbíny, ...)8

1.4 Materiál konštrukčných prvkov• Materiál konštrukčných prvkov možno rozdeliť dodvoch skupín:– kryštalické– amorfné• Kryštalické materiály pozostávajú z veľkého počtumalých zŕn. Každé zrno tvorí sústava atómovpravidelne v radoch rozložených, ktoré tvoriakryštalickú mriežku.• Naproti tomu amorfné materiály nemajúpravidelne usporiadané atómy.9

1.4 Materiál konštrukčných prvkov• Ak by sme pristupovali ku skúmaniu účinkuzaťažujúcich síl na poddajné teleso mikroskopickýmspôsobom, narazili by sme na problémy spojené najmäso zložitosťou matematického modelu a s odlišnosťamiod ideálneho kryštalického zloženia konštrukčnýchmateriálov• dané nerovnomernosťou kryštalizácie, nečistotami avmestkami v kryštalickej mriežke,• preto v pružnosti a pevnosti abstrahujeme od skutočnéhozloženia hmotného telesa – aplikujeme makroskopickýprístup,• hmotné poddajné teleso budeme považovať za kontinuum.10

1.4 Materiál konštrukčných prvkov• My budeme za kontinuum pokladať hmotnételeso (priestor) so spojite rozdelenou hmotou vjeho objeme (priestore):• hmotné teleso bude takto pozostávať z hmotnýchbodov, z ktorých každý obsahuje veľké množstvoelementárnych častíc (atómov, elektrónov).• Koncept materiálneho kontinua je matematickouabstrakciou (idealizáciou) reálneho sveta a jeaplikovateľný na problémy, v ktorých nejasnosťštruktúry sa môže zanedbať.11

1.4 Materiál konštrukčných prvkov• V PaP sa uvažuje materiál homogénny aizotropný:• homogénny materiál má celý objem vyplnenýrovnomerne danou látkou, neuvažujú sa poruchy vštruktúre, prímesi iných materiálov a pod.(nehomogénny materiál),• izotropný materiál je materiál, ktorého vlastnostisú vo všetkých smeroch rovnaké (opakom jeanizotropný materiál, napr. drevo, kompozity, ...)12

1.5 Predpoklady v PaP• materiál spojito vyplňuje objem daného telesa• materiál je homogénny a izotropný• deformácie v porovnaní s rozmermi telesa sú veľmimalé (hypotéza malých deformácií)• materiál je ideálne pružný (pri reálnych telesách je tátohypotéza splnená len po určitú hodnotu zaťaženia)• závislosť medzi napätiami a deformáciami je lineárna,t.j. platí Hookov zákon• myslené rovinné rezy kolmé k osi telesa ostávajú podeformácii rovinné a kolmé k deformovanej osi telesa13

2. Zaťažujúce účinky – vonkajšie sily• vonkajšie sily predstavujú mechanické účinkyprenášané na skúmaný prvok z prostredia,ktoré ho obklopuje• vonkajšie sily teda treba chápať ako mieruvzájomného mechanického pôsobenia medzimateriálnymi objektmi14

2.1 Charakter vonkajších síl• povrchové sily:(sú na teleso prenášane z okolia kontaktom)– bodové zaťaženie: osamelé sily– plošné zaťaženie: spojité zaťaženie, napr.: tlak• objemové sily:(pôsobia na každú hmotnú časticu telesa)– tiažové– zotrvačné sily15

2.1.1 Bodové zaťaženie• pre tzv. osamelé sily je charakteristickourelatívne malá kontaktná plocha (teoreticky jeto bod alebo úsečka)16

2.1.2 Plošné zaťaženie• spojité zaťaženie rovnomerné alebo nerovnomerné je silovýúčinok prenášaný na povrch plochou spoločného dotykumateriálnych objektov, medzi ktorými dochádza k prenosuúčinku a je kvantifikovaný intenzitou, t.j. pomerom jednotieksily a kontaktnej plochy (v 2D úlohách dĺžky kontaktu)• napr.: tlak snehu na strechu, tlak uhlia na dno a stenyzásobníka, tlak vody na priehradný múr, ...17

2.1.2 Plošné zaťaženie• intenzitu zaťaženia q najednotku dĺžky možno určiťvynásobením intenzityzaťaženia (tlak) p po plochešírkou telesa b:qp.b– pričom má rozmer N.m -118

2.1.2 Plošné zaťaženie• intenzita zaťaženia na jednotku dĺžky sa nazývaspojité zaťaženie, ktoré môže byť rovnomerné(q=konst.) alebo nerovnomerné (q=q(x))• výslednicou F spojitého zaťaženia pre ľubovoľnézaťaženie možno určiť ako súčet elementárnych sílq(x).dx, pôsobiacich na úseku (a,c), t.j.Fc aq x dx 19

2.1.3 Bodové a plošné zaťaženie• často sa vyskytujú ajzaťaženia osamelýmidvojicami síl (momentmi)alebo spojito rozloženýmidvojicami síl (spojitémomentové zaťaženie)• výsledný moment spojitéhomomentové zaťaženia(moment rozložený po dĺžke)možno určiť integrovanímmomentomMd cm x dx 20

2.2 Závislosť zaťaženia na čase• v závislosti od charakteru zmeny zaťaženia v časerozdeľujeme zaťaženia na statické a dynamické– statické zaťaženie rastie z nulovej hodnoty na konečnútak pomaly, že zrýchlenie bodov konštrukcie pri ichpremiestneniach a zotrvačné sily, ktoré vzniknú pripohybe, možno zanedbať– dynamické zaťaženie, na rozdiel od statického, menísvoju veľkosť v krátkych časových intervaloch; pridynamických zaťaženiach je zrýchlenie bodovkonštrukcie nenulové a zotrvačné sily nemožnozanedbať21

2.2.1 Dynamické zaťaženie• dynamické zaťaženie delíme na:– zotrvačné: vo výpočte treba zohľadniť sily zotrvačnostihmoty vyšetrovanej konštrukcie či prvku, a aj hmoty,ktorá konštrukciu zaťažuje (napr. hmota vlaku)– cyklické: vonkajšie zaťaženie sa mení s časom tak, žepo tzv. perióde cyklu sa zaťaženie vo veľkosti a smereopakuje– rázové: medzi materiálnymi objektmi vzniká silovépôsobenie len v určitom krátkom časovom okamžiku22

3. Deformácia telesa• Deformáciou nazývame vzájomnú zmenu polohy častíctelesa, ktorá je vo všeobecnosti doprevádzaná zmenourozmerov a tvaru telesa.• Ak sily, ktoré vyvolali deformáciu postupne zmenšujeme ažna nulu, teleso sa snaží obnoviť pôvodný tvar a rozmery:– deformácia čiastočne alebo úplne zanikne– časť deformácie, ktorá po odstránení vonkajšieho zaťaženiazanikne, nazývame pružnou (elastickou)– deformáciu, ktorá ostane aj po odstránení zaťaženia, nazývametrvalou (plastickou)• Ak deformácie po úplnom odľahčení zanikli (trvalédeformácie sú nulové), potom teleso nazývame absolútnepružným.23

3.1 Požiadavky na deformáciu telesa• z hľadiska prevádzkových požiadaviek musí deformáciakonštrukcie vyvolaná statickými alebo dynamickýmivonkajšími vplyvmi umožniť bezporuchovú prevádzku• z hľadiska fyziologických požiadaviek je limitovanáhladina chvenia a kmitania jednotlivých konštrukčnýchprvkov aj konštrukcie ako celku tak, aby nepriaznivépôsobenie na ľudský organizmus bolo pod hranicouúnosnosti• z estetického hľadiska je daná medzná deformácia,ktorá nesmie byť prekročená, a to aj v prípade, žeostatné kritéria sú splnené24

4. Vnútorné sily• reálne telesá sa v dôsledku pôsobenia vonkajšiehozaťaženia deformujú (menia svoj tvar a rozmery)• deformáciu telesa sprevádza vznik vnútorných síl, ktorépôsobia proti snahe vonkajších síl teleso deformovať asnažia sa obnoviť pôvodný tvar a rozmery telesa• zo základného zákona statiky vyplýva, že teleso, na ktorépôsobí rovnovážna sústava síl, je v rovnováhe– vnútorné sily pôsobiace v ľubovoľnom priereze vyšetrovanéhoobjektu sú v rovnováhe s vonkajšími silami– pokiaľ si teleso zachová svoju integritu, musí byť v rovnováhe ajjeho ľubovoľná časť– toto je podstata metódy mysleného rezu, ktorou sa určujúvnútorné sily25

4.1 Metóda mysleného rezu• rozrežeme teleso zaťažené rovnovážnou sústavou síl myslenýmrezom na dve časti A a B– aby bola zachovaná rovnováha časti A je potrebné nahradiť pôsobeniečasti B po ploche mysleného rezu účinkom vnútorných silových veličín Ptak, aby časť A zostala v rovnováhe– vnútorné silové veličiny P, ktorými pôsobí časť B na časť A, budú v súladeso zákonom akcie a reakcie veľkosťou a smerom pôsobenia rovnaké akovnútorné silové veličiny P, ktorými pôsobí časť A na B, len opačneorientované26

4.1 Metóda mysleného rezu• hlavný vektor vnútorných síl P rozložíme na zložky vsúradnicovom systéme plochy rezu a normálou kploche rezu– potom v reze pôsobí šesť zložiek vnútorných silových veličín:– 3 zložky vnútorných síl:• P x = N – normálová (osová) sila• T y , T z – posúvajuca (priečna, resp. dotyková) sila– 3 zložky vnútorných momentov:• M x – krútiaci moment• M y , M z – ohybový moment27

4.1 Metóda mysleného rezu28

4.1 Metóda mysleného rezu• pre teleso v priestore vieme napísať 6 podmienokrovnováhy, z ktorých možno určiť šesť neznámychzložiek vnútorných silových veličín:iiiFFFiXiYiZ0 M 0• v rovine vieme napísať 3 podmienky rovnováhy,napr.:iiiiX0 M 0iY0 M 0 F 0 F 0 M 0iX iY iZi i iiZ29

4.1 Metóda mysleného rezu• metóda myslených rezov umožňuje teda určiť všetkyvnútorné silové veličiny v ľubovoľnom priereze telesazaťaženého vonkajším zaťažením• vnútorné silové veličiny sú vo všeobecnosti v každommyslenom reze rôzne, zostrojujú sa priebehy jednotlivýchsilových veličín po dĺžke telesa– tým sa zistí miesto najviac namáhaného prierezu, ktoré sanásledne pevnostne kontroluje alebo nadimenzuje• počet myslených rezov je daný počtom miest na telese,kde dochádza k zmene vonkajšieho zaťaženia a počtommiest, kde dochádza k zmene prierezu (toto má významaž pri výpočte napätí)30

4.2 Určenie znamienok vnútorných• kladná normálová N sila vyvolávapredĺženie, záporná skráteniesílových veličín• priečna sila T v reze je kladná, ak má sozreteľom na ľubovoľný bod mysleným rezomoddelenej časti telesa, na ktorú pôsobí,otáčavý účinok v zmysle pohybu hodinovýchručičiek• kladný krútiaci moment M k pri pohľade doplochy mysleného rezu otáča odrezanú časťv zmysle pohybu hodinových ručičiek• kladný ohybový moment M y spôsobujestlačenie horných a predĺženie spodnýchvlákien31

5. Výpočet vnútorných silových veličínVýpočet vnútorných silových veličín32

5.1 Postup pri určovaní vnútornýchsilových veličín• určíme reakcie väzieb, lebo majú charaktervonkajších síl• vedieme myslený rez v mieste, v ktoromchceme určiť vnútorné silové veličiny• vnútorné silové veličiny určíme zo statickýchpodmienok rovnováhy vnútorných avonkajších síl pre mysleným rezom oddelenúčasť33

5.2 Reakcie vo väzbách• teleso v priestore má 6 stupňovvoľnosti (DOF):– 3 posunutia v osiach x, y, z– 3 natočenia okolo osí x, y, z• teleso v rovine má 3 stupne voľnosti(uvažujme pohyb v rovine xy):– 2 posunutia v osiach x, y– 1 natočenia okolo osi z34

5.2 Reakcie vo väzbách• ak na teleso pôsobí nerovnovážna silová sústava,teleso je v pohybe• aby sa nemohlo pohybovať, treba mu odobraťminimálne všetky stupne voľnosti (DOF) pohybuväzbami• väzbové reakcie spolu s vonkajšími zaťažujúcimisilami budú tvoriť rovnovážnu silovú sústavu a telesobude v statickej rovnováhe• väzbové reakcie pôsobia v smere odobraného stupňavoľnosti pohybu a ich veľkosť a orientácia je závislána vonkajších silách35

5.3 Uloženie telesa – statická určitosť• statická určitosť je definovaná vzťahom:i n r– n je počet DOF telesa (3D n=6°, 2D n=3°)– r je počet DOF odobratých väzbami• môžu nastať prípady uloženia:i 01. teleso má väzbami odobrané všetky DOF pohyb –staticky určité uloženiei 02. teleso nemá odobrané všetky DOF (má pohyblivéuloženie) – staticky podurčené uloženie (je z hľadiskastatickej stability neprípustné)i 0(neurčitosť)3. teleso má odobratý väčší počet DOF ako ich vskutočnosti má – statický neurčité (preurčené) uloženie36

5.3 Uloženie telesa – statická určitosť• ak je teleso uložené staticky určito, na výpočetväzbových reakcií postačujú statické podmienkyrovnováhy:– teleso v priestore (6 DOF)– teleso v rovine xy (2 DOF)iii(neurčitosť)FFFiXiYiZ0 M 0iiiiX0 M 0iY0 M 0iZ FiX 0 FiY 0 MiZ 037i i i

5.3 Uloženie telesa – statická určitosť(neurčitosť)• pri staticky neurčitom uložení je potrebné staticképodmienky doplniť o ďalšie rovnice, vyplývajúce zdeformácie telesa• stupne voľnosti sa telesu odoberajú kombináciouzákladných väzieb– predpokladáme ideálne väzby (zanedbávame trenie a ich čiastočnúpoddajnosť)– pri väčšine technických výpočtoch je predpoklad ideálnej väzbypostačujúci38

5.4 Základné typy väzieb• my sa budeme pri zaoberať len 2D úlohami• používať budeme len tieto základné typy väzieb:39

5.4 Základné typy väzieb40

5.5 Príklady staticky určitého uloženia41

5.6 Príklady staticky neurčitého uloženia42

5.7 Príklady na určenie vnútorných síl43

5.7 Príklady na určenie vnútorných síl44