www.MATHVN.com www.MATHVN.com

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcI/ PHẦN CHUNG (7 điểm)Câu 1 (2 điểm):a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớnnhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tínhchất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...Câu 2 (1 điểm):Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.Câu 3 (1 điểm):Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.Câu 4 (1 điểm):- Tìm giới hạn.- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.Câu 5 (1 điểm):Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanhcủa hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diệntích mặt cầu và thể tích khối cầu.Câu 6 (1 điểm):Bài toán tổng hợp.II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).Theo chương trình chuẩn:Câu 7a (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.- Đường tròn, elip.- Viết phương trình đường thẳng.- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.Câu 8a (1 điểm)Phương pháp tọa độ trong không gian:- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.- Đường tròn, Mặt cầu.- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối củađường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.Câu 9a (1 điểm):- Số phức.- Tổ hợp, xác suất, thống kê.- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số.Theo chương trình nâng cao:Câu 7b (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.- Đường tròn, ba đường conic.- Viết phương trình đường thẳng.- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.Câu 8b (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian:- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.- Đường tròn, mặt cầu.- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối củađường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.Câu 9b (1 điểm):- Số phức.- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan.- Sự tiếp xúc của hai đường cong.- Hệ phương trình mũ và lôgarit.- Tổ hợp, xác suất, thống kê.- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.Theo Toán Học Việt NamVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 1 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:- Lƣu ý khi vẽ đồ thị:+ Không đƣợc vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ.+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn.+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn(nếu có).2. Phƣơng trình lƣợng giác:- Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặcbiệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK.- Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao về các biểu thức lƣợng giác bậc thấphơn có trong phƣơng trình để dễ dàng đƣa về phƣơng trình tích.- Nếu trong phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan vàcot về các hàm sin và cos.3. Phƣơng trình (vô tỉ), bất phƣơng trình (vô tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit:- Thuộc các công thức logarit.- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản.- Ứng dụng thành thạo 2 phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trongđó PP thế là PP đƣợc ứng dụng nhiều nhất.- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp.- Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ(thông thƣờng ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt).4. Nguyên hàm, tích phân:- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng.- Nắm rõ 2 phƣơng pháp thông dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phântừng phần:+ Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức.+ Phƣơng pháp tích phân từng phần thƣờng áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khácnhau về bản chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ.Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 2 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc- Lƣu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn.- Trong một số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt.5. Hình học không gian:- Nắm vững công thức tính thể tích của các khối thông dụng.- Ứng dụng các định lí về quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian để tạo đƣợc mối liênhệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết.6. Bất đẳng thức, cực trị:- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki.- Với một số bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứngdụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số.7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồgiải) trƣớc khi giải.8. Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạnglƣợng giác của các góc đặc biệt.Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 3 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá ......................................................................................................... 161. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. .................................................................................................... 162. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. .................................................................................................... 16Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ................................................................................. 16Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị............................................................................... 16Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ .............................................................................. 171. Định nghĩa: .......................................................................................................................... 172. Chú ý: .................................................................................................................................. 17Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ....................................... 171. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) .............................. 17Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) .. 181. Dạng 1:F(x, m) = 0 f(x) = m (1) ................................................................................... 182. Dạng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2) ............................................................................... 183. Dạng 3: F(x, m) = 0 f(x) = kx + m (3) ........................................................................... 184. Dạng 4: F(x, m) = 0 f(x) = m(x – x 0 ) + y 0 (4) ................................................................ 18Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị ........................................................ 18Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị ............................................. 181. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3 ........................................................ 191.1.1.2.1.3.Trƣờng hợp 1: ............................................................................................................ 19Trƣờng hợp 2: ............................................................................................................ 19Trƣờng hợp 3: ............................................................................................................ 192. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu .......................................................... 192.1.2.2.Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt ....................................................... 19rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt .......................................................... 19Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÖC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG. ................ 19Vaán ñeà 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) ....................... 191. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm M x ; y : ................ 200 0 02. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k chotrƣớc. ................................................................................................................................... 203. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A ( x ; y ) .............................................................................................................................................. 20Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc .............................................................................. 20Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 4 -AA

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng ........................................................... 612. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng: ...................................................... 623. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : ........................................................ 624. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng..................................................................................... 62Vaán ñeà 3: Caùch xaùc ñònh goùc trong khoâng gian ............................................................................. 631. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: ................................................................................................ 632. Goùc giöõa hai maët phaúng:.................................................................................................... 633. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng: ............................................................................... 63Vaán ñeà 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT .............................................................. 641. Hình chóp tam giác đều ...................................................................................................... 642. Hình chóp tứ giác đều ......................................................................................................... 643. Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáy .................................................................. 644. Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:........................................................ 65Vaán ñeà 5: DIEÄN TÍCH & THEÅ TÍCH HÌNH CHOÙP...................................................................... 651. DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 651.1. Diện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU: ............................................. 652. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 653. TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) .................................................................................................. 654. HÌNH CHÓP CỤT .............................................................................................................. 664.1. DIỆN TÍCH ............................................................................................................... 664.2. THỂ TÍCH ................................................................................................................. 66Vaán ñeà 6: HÌNH LĂNG TRỤ.......................................................................................................... 661. DIỆN TÍCH: ........................................................................................................................ 662. THỂ TÍCH: ......................................................................................................................... 67Vaán ñeà 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU ....................................................................... 671. HÌNH TRỤ .......................................................................................................................... 671.1. Diện tích: ................................................................................................................... 671.2. Thể tích: ..................................................................................................................... 672. HÌNH NÓN ......................................................................................................................... 672.1. Diện tích: ................................................................................................................... 672.2. Thể tích: ..................................................................................................................... 673. HÌNH NÓN CỤT ................................................................................................................ 673.1. Diện tích: ................................................................................................................... 673.2. Thể tích: ..................................................................................................................... 684. HÌNH CẦU ......................................................................................................................... 68Vaán ñeà 8: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ........................ 68Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 8 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. PHÖÔNG PHAÙP: ............................................................................................................... 682. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian ...................................................................... 68Vaán ñeà 1: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC ....................................................................................................... 731. Ñònh nghóa : ........................................................................................................................ 732. Tính chaát :........................................................................................................................... 733. BÑT Coâ Si : ........................................................................................................................ 734. BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý) ............................................................................................. 735. BÑT BecnuLi : ................................................................................................................... 736. BÑT tam giaùc : ................................................................................................................... 74Vaán ñeà 2: Cấp số cộng, cấp số nhân ................................................................................................ 741. Cấp số cộng: ........................................................................................................................ 742. Cấp số nhân: ........................................................................................................................ 743. Ví duï: .................................................................................................................................. 74Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :.................................................................................................. 76Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG THAÚNG ........................................................................................................... 761. Phöông trình tham soá : ....................................................................................................... 762. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 0) ............................................... 773. Phöông trình phaùp daïng :................................................................................................... 774. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x 0 , y 0 ) coù heä soá goùc K : .............................................. 775. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(x A , y A ) vaø B(x B , y B ) :................................................... 776. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén) ......................................... 777. Phöông trình chính taéc : ..................................................................................................... 778. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) : ...................................... 779. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x 0 , y 0 ) ñeán Ax + By + C = 0 : ........................................... 7710. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : .............................................................................. 7811. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d 1 vaø d 2 :................................................................................... 7812. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d 1 vaø d 2 : ......................................... 78Vaán ñeà 3: ĐƢỜNG TRÕN .............................................................................................................. 791. Phƣơng trình đƣờng tròn: .................................................................................................... 792. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn: ................................................................ 793. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn ............................................................................. 79Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 9 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn Hoïc3.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng: ..................................................... 793.2. Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x 0 ;y 0 ).............................................................. 793.3. Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By+ C = 0 793.4. Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k: ............................................. 804. Phƣơng trình tích của một điểm M(x 0 ; y 0 ) đối với đƣờng tròn (C): ................................... 805. Trục đẳng thức .................................................................................................................... 80Vaán ñeà 4: CAÙC COÂNG THÖÙC HÌNH HOÏC CÔ BAÛN: ................................................................. 801. Tam giác đều cạnh a: .......................................................................................................... 802. Tam giác vuông:.................................................................................................................. 803. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): .............................................................................. 804. Nửa tam giác đều: ............................................................................................................... 805. Tam giác cân: ...................................................................................................................... 806. Hình chữ nhật: ..................................................................................................................... 807. Hình thoi: ............................................................................................................................ 808. Hình vuông:......................................................................................................................... 819. Hình bình hành: ................................................................................................................... 8110. Đƣờng tròn: ......................................................................................................................... 8111. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC ................................................................................. 81Vaán ñeà 5: ELIP ................................................................................................................................ 811. Tiếp tuyến Elip: ................................................................................................................... 81Vaán ñeà 6: HYPEBOL ...................................................................................................................... 821. Tiếp tuyến của Hyperbol: .................................................................................................... 82Vaán ñeà 7: PARAPOL ...................................................................................................................... 821. Tiếp tuyến của Parapol (P): y 2 = 2px .................................................................................. 83Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :.................................................................................................. 83Vaán ñeà 2: Pheùp toaùn ........................................................................................................................ 831. Định nghĩa :......................................................................................................................... 842. Tính chất : ........................................................................................................................... 84Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG ........................................................................ 851. Phƣơng trình tham số :........................................................................................................ 852. Phƣơng trình tổng quát : ..................................................................................................... 853. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn : .......................................................................... 854. Các dạng chính tắc : ............................................................................................................ 855. Chùm mặt phẳng : ............................................................................................................... 86Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 10 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ......................................... 9218. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bánkính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc). ........................................................................... 9219. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ........................................... 9320. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) cóbán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc) .................................................................... 9321. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) cóbán kính nhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm). ........................................... 93Vaán ñeà 6: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNGGIAN ............................................................................................................................... 931. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTCP u =(a,b,c) ......................................... 932. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B ............................................................................. 943. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng ( ) ............................................... 944. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) ............................................................................ 945. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d 1 ),(d 2 ) ...................................... 946. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp ............................................................. 947. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) ...................................................................... 948. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d 1 , d 2 :....................... 949. Dạng 9: Viết pt đƣờng thẳng d song song d 1 và cắt cả d 2 , d 3 ............................................. 9510. Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đƣờng thẳng d 1 và cắt d 2 ............................. 9511. Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ), cắt đƣờng thẳng d' ............................ 9512. Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d 1 , d 2 cho trƣớc. ................. 9513. Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đƣờng thẳng d' tại giao điểm Icủa (P) và d'. ........................................................................................................................ 9514. Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dƣờng thẳng chéo nhau d 1 , d 2 : .................. 9515. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d 1 ,d 2 . ........ 9616. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d 1 . ................... 960 017. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d 1 ,tạo với d 2 góc (0 ;90 ) (= 30 0 , 45 0 ,60 0 )...................................................................................................................................... 9618. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d 1 góc19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d 1 góc0 0 (0 ;90 ) ..... 960 0 (0 ;90 ) ........... 9620. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d 1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. ............ 97Vaán ñeà 7: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI ............................................................ 971. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳng ............................... 972. Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( )......................... 973. Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( ) .............. 97Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 12 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc4. Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đƣờng thẳng ........................ 975. Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc ............................................... 986. Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng lên mp ( ).......................... 987. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1lên mp ( )theo phƣơng 2cắt( ) .................................................................................................................................... 1008. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và cắt 1, 2với 1, 2chéo nhau vàkhông đi qua M ................................................................................................................. 1009. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 1, 2và song song với 3.................. 10010. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và vuông góc với 1, cắt 2trong đóM 1,2........................................................................................................................ 10111. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau , ................................................................................................................................ 1021 212. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất : ............................................. 10312.1. Dạng 1: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2).Tìm M ( P) : ax by cz d 0để(MA+MB)min. ....................................................................................................................... 10312.2. Dạng 2: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2).Tìm M ( P) : ax by cz d 0đểMA MB max. ..................................................................................................................... 10412.3. Dạng 3: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2). Tìm M cho trƣớc sao cho (MA +MB) min................................................................................................................................. 104Vaán ñeà 8: CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU ........................................................................... 1051. Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R .......................................................... 1052. Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu .................................................................... 1053. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu ......................................................................... 1054. CAÙC DAÏNG TOAÙN ......................................................................................................... 1054.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.www.MATHVN.comDaïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A ............................................................................ 105Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB ........................................................................... 106Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp() ................................................................. 106Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD .......................................................... 106Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) ....................................................... 106Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A. .......................................................... 106Daïng 7: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu: ............................................................ 106Vaán ñeà 1: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC ................................................................................................... 107Vaán ñeà 2: ÑAÏO HAØM ................................................................................................................... 107Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 13 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. Ñònh nghóa ñaïo haøm :....................................................................................................... 1072. Qui taéc tính ñaïo haøm :...................................................................................................... 1073. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn :.............................................................. 107Vaán ñeà 3: LUYÕ THÖØA – LOGARIT ............................................................................................ 1091. LUYÕ THÖØA ...................................................................................................................... 1091.1. Ñònh nghóa luyõ thöøa ................................................................................................ 1091.2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa ............................................................................................ 1091.3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc .................................................................... 1092. II. LOGARIT .................................................................................................................... 1102.1. Ñònh nghóa ............................................................................................................... 1102.2. Tính chaát .................................................................................................................. 1102.3. Caùc qui taéc tính logarit ........................................................................................... 1102.4. Ñoåi cô soá ................................................................................................................. 110Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT .............................................. 1101. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ..................................................................................................... 1101.1. Phöông trình muõ cô baûn: ......................................................................................... 1101.2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ ........................................................... 1111.2.1. Ñöa veà cuøng cô soá: .............................................................................................. 1111.2.2. Logarit hoaù: ......................................................................................................... 1111.2.3. Ñaët aån phuï: .......................................................................................................... 1111.2.4. Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá: .................................................................... 1112. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT .......................................................................................... 1112.1. Phöông trình logarit cô baûn .................................................................................... 1112.2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit ...................................................... 111Vaán ñeà 5: BAÁT PHÖÔNG, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT .................................... 112Vaán ñeà 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ........................................................................................ 112Vaán ñeà 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 112Vaán ñeà 1: HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP ......................................................................... 1131. Hoaùn vò : ........................................................................................................................... 1132. Toå hôïp :............................................................................................................................. 1133. Chænh hôïp : ....................................................................................................................... 113Vaán ñeà 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT ....................................................................................... 113Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 14 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. Nguyên tắc đếm ................................................................................................................ 1131.1. Chú ý:....................................................................................................................... 1132. XÁC SUẤT ....................................................................................................................... 1132.1. Không gian mẫu: ...................................................................................................... 1132.2. Xác suất: .................................................................................................................. 1132.3. CÁC CÔNG THỨC ................................................................................................. 113Vaán ñeà 3: Nhị thức NIUTƠN ........................................................................................................ 1141. Công thức nhị thức Newtơn: ............................................................................................. 1142. Các nhận xét về công thức khai triển: ( a b) n .............................................................. 1143. Một số dạng đặc biệt: ........................................................................................................ 1144. Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn ...................................................................... 1151. Khaùi nieäm soá phöùc ........................................................................................................... 1172. Bieåu dieãn hình hoïc: .......................................................................................................... 1173. Coäng vaø tröø soá phöùc: ........................................................................................................ 1174. Nhaân hai soá phöùc : ........................................................................................................... 1175. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi ................................................... 1186. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi....................................................................................... 1187. Chia hai soá phöùc: .............................................................................................................. 1188. Caên baäc hai cuûa soá phöùc: ................................................................................................. 1189. Phöông trình baäc hai Az 2 + Bz + C = 0 ........................................................................... 11810. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: ......................................................................................... 11811. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc ....................................................................... 11912. Coâng thöùc Moa–vrô: ........................................................................................................ 11913. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: ............................................................. 11914. Các dạng bài tập: ............................................................................................................... 11914.1. Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trìnhtrên tập số phức ..................................................................................................................... 11914.2.14.3.Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức .......................................................... 123Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác .............................. 124Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 15 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1:Tìm cöïc trò cuûa haøm soá1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. Tìm f (x). Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i .2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …).+ Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i .+ Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i .Vaán ñeà 2:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 .Chú ý: Hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt.Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:+3 2(0)0 0 0y x ax bx cx d+ y( x0) Ax0 B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.2 Hàm số ax bx cb'y = Px ( )(aa 0) có cực trị Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác .a'x b'Qx ( )a'Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:Px (0)yx (0) hoặc P'( x0)yx (0)Qx (0)Q'( x0) Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.Vaán ñeà 3:Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị3 21. Hàm số bậc ba y f ( x) ax bx cx d . Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B. Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:y1 f ( x1) Ax1 By2 f ( x2) Ax2 B Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.P( x)ax bx cy f ( x) Q( x)dx e .'( ) .y0Q'( x )2. Hàm số phân thức Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì P x020 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:P'( x) 2ax by .Q'( x)dVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 16 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Vaán ñeà 4:ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊToaùn Hoïc1. Định nghĩa: Đƣờng thẳng x x 0đgl đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f ( x)nếu ít nhất một trong các điềukiện sau đƣợc thoả mãn:lim f( x) ; lim f( x) ;xxxx00lim f( x) ; lim f( x) xx0xx0 Đƣờng thẳng y y 0điều kiện sau đƣợc thoả mãn:lim f ( x) y ;0lim f ( x) y0xx Đƣờng thẳng y ax b, a 0các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: đgl đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f ( x)nếu ít nhất một trong các đgl đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f ( x)nếu ít nhất một trong ; f x ax b lim f ( x) ( ax b) 0xlim ( ) ( ) 0x2. Chú ý:a) Nếu Px ( )y f ( x)là hàm số phân thức hữu tỷ.Qx ( ) Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x0. Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang. Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.b) Để xác định các hệ số a, b trong phƣơng trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:f( x)a lim ; b lim f ( x) axxxxf( x)a lim ; b lim f ( x) axxxxwww.MATHVN.comhoặc Vaán ñeà 5:KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) Tìm tập xác định của hàm số. Xét sự biến thiên của hàm số:+ Tính y.+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. Vẽ đồ thị của hàm số:+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phƣơng).– Tính y.– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.+ Vẽ các đƣờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị.+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị nhƣ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trƣờnghợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìmthêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 17 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) Cơ sở của phƣơng pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Để biện luận số nghiệm của phƣơng trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:1. Dạng 1:F(x, m) = 0 f(x) = m (1)Khi đó (1) có thể xem là phƣơng trình hoành độ giao điểm của hai đƣờng: y(C)(C): y = f(x)m Ad: y = my c.(d) : yC d là đƣờng thẳng cùng phƣơng với trục hoành.x x Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)2. Dạng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)Thực hiện tƣơng tự nhƣ trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.y d 1by = kx3. Dạng 3: F(x, m) = 0 f(x) = kx + m (3)1 dd 2M(k: không đổi)OKhi đó (3) có thể xem là phƣơng trình hoành độx(C mMAgiao điểm của hai đƣờng:(C): y = f(x)b 2d: y = kx + m Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phƣơng với đƣờng thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0;m). Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d 1 , d 2 , … của (C) có hệ số góc k. Dựa vào các tung độ gốc m, b 1 , b 2 , … của d, d 1 , d 2 , … để biện luận.4. Dạng 4: F(x, m) = 0 f(x) = m(x – x 0 ) + y 0 (4)Khi đó (4) có thể xem là phƣơng trìnhhoành độ giao điểm của hai đƣờng:(C): y = f(x)d: y = m(x – x 0 ) + y 0 d quay quanh điểm cố định M 0 (x 0 ; y 0 ). Viết phƣơng trình các tiếp tuyến d 1 , d 2 , … của (C) đi qua M 0 . Cho d quay quanh điểm M 0 để biện luận.Chú ý: Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: x thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với x . Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.y CVaán ñeà 7:Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thịĐể biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trongđó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.Vaán ñeà 8:Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thịCơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:3 2ax bx cx d 0(a 0) (1)Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba:3 2y f ( x) ax bx cx dSố nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoànhVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 18 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 31.1. Trƣờng hợp 1:(1) chỉ có 1 nghiệm (C) và Ox có 1 điểm chung f khoâng coù cöïc trò f coù 2 cöïc trò yCÑ. yCT 0( h.1 a)( h.1 b)y(C)Ax0 O (h.1a) xAx 0yy CĐy CTx 1 o x 2(C)(h.1b)Toaùn Hoïcx1.2. Trƣờng hợp 2:(1) có đúng 2 nghiệm (C) tiếp xúc với Ox f coù 2 cöïc tròyCÑ. yCT 0( h.2)1.3. Trƣờng hợp 3:(1) có 3 nghiệm phân biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt f coù 2 cöïc tròyCÑ. yCT 0( h.3)2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu2.1.Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương f coù 2 cöïc tròyCÑ. yCT 0xCÑ0, xCT0 a. f (0) 0 ( hay ad 0)2.2. rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm f coù 2 cöïc tròyCÑ. yCT 0xCÑ0, xCT0 a. f (0) 0 ( hay ad 0)ya > 0(CyA B CĐ x 2 Co x x 1 x B xyCTAf(0)CA B Cx A x B x Cox 1xa > 0x 2y(C)f(0)y CĐy CTyf( CĐA x 1 B C0) o x x B x 2 x xy Axya < 0CCT(C)Vaán ñeà 9:SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG.1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thịM x ; f ( x ) .(C) của hàm số tại điểm0 0 0 Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ; ( ) M x f x là:0 0 0y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 ) (y 0 = f(x 0 ))2. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phƣơng trình sau cónghiệm: f ( x) g( x) f '( x) g'( x)(*)Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đƣờng đó.3. Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phƣơng trình2ax bx c px q có nghiệm kép.Vaán ñeà 10:Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng)Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 19 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.com1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x) tại điểm ; Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ).Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0 . Tính y = f (x). Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 ). Phương trình tiếp tuyến là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )M x y :0 0 0Toaùn Hoïc2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trƣớc.Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Tính f (x 0 ). có hệ số góc k f (x 0 ) = k (1) Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ). Từ đó viết phương trình của .Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. Phương trình đường thẳng có dạng: y = kx + m. tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x)kx m(*) f '( x) k Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của .Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau:+ tạo với chiều dương trục hoành góc thì k = tan+ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a+ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a 0) thì k =1a+ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc thì ka tan1ka3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A ( x ; y ) .Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 ). Phương trình tiếp tuyến tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 ) đi qua A ( x ; y ) nên: y – y = f (x ).(x – x (2)A 0 0 A )AA Giải phương trình (2), tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình của .Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. Phương trình đường thẳng đi qua A ( x ; y ) và có hệ số góc k: y – y = k(x – x )A A tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x A) y A(*) f '( x) kVaán ñeà 11:AATìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cónghiệm: f ( x) g( x)(*) f '( x) g'( x)Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.2. Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 + bx + c thì(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình2ax bx c px q có nghiệm kép.AAVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 20 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Vaán ñeà 12:www.MATHVN.comToaùn HoïcLập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C 1 ): y = f(x) và C 2 ): y = g(x)1. Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ).u là hoành độ tiếp điểm của và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của và (C 2 ). tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: f ( u) au b(1) f '( u) a(2)g( v) av b(3) g'( v) a(4) Từ (2) và (4) f (u) = g (v) u = h(v) (5) Thế a từ (2) vào (1) b = (u) (6) Thế (2), (5), (6) vào (3) v a u b. Từ đó viết phương trình của .2. Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếptuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó.Vaán ñeà 13:Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song songhoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc Gọi M(x 0 ; y 0 ) (C). là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x 0 ). Vì // d nên f (x 0 ) = k d (1)hoặc d nên f (x 0 ) = 1 (2)k d Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 . Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) (C).Vaán ñeà 14:Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến vớiđồ thị (C): y = f(x)Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x M ; y M ) d. Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x M) y M(1) f '( x) k(2) Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3) Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)Vaán ñeà 15:Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếptuyến đó vuông góc với nhauGọi M(x M ; y M ). Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x M) y M(1) f '( x) k(2) Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x M ).f (x) + y M (3) Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau f (x 1 ).f (x 2 ) = –1Từ đó tìm được M.Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thìVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 21 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013(3) coù 2 nghieäm phaân bieät f ( x1). f ( x2) 0www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 16:HỌ ĐỒ THỊCho họ đƣờng (C m ): y = f(x, m) (m là tham số).M(x 0 ; y 0 ) (C m ) y 0 = f(x 0 , m) (1)Xem (1) là phƣơng trình theo ẩn m.Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (C m ) đi qua M. Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (C m ) đều đi qua M.Khi đó, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (C m ). Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (C m ) đi qua M. Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua M.Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m)Cách 1: Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m ).M(x 0 ; y 0 ) (C m ), m y 0 = f(x 0 , m), m (1) Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: Dạng 1: (1) Am + B = 0, m2 Dạng 2: (1) Am Bm C 0, mA 0A 0 (2a) BB 00 (2b)C 0 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định.Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0 .Cách 2: Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m ).M(x 0 ; y 0 ) (C m ), m y 0 = f(x 0 , m), m (1) Đặt F(m) = f(x 0 , m) thì F(m) = y 0 không đổi. F (m) = 0 (3) Giải (3) tìm được x 0 . Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 . Từ đósuy ra được các điểm cố định.Vaán ñeà 18: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua.M(x 0 ; y 0 ) (C m ), m y 0 = f(x 0 , m) vô nghiệm m (1) Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: Dạng 1: (1) Am + B = 0 vô nghiệm m A 0(2a)B 0AB02 Dạng 2: (1) Am Bm C 0vô nghiệm m C 0(2b) A 0 2B4AC0Chú ý: Kết quả là một tập hợp điểm. Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua.Vaán ñeà 19:Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua Ta có: M(x 0 ; y 0 ) (C m ) y 0 = f(x 0 , m) (1) Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 22 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.comAm + B = 0 (2a) hoặc Am Bm C 0 (2b) Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M.2Toaùn HoïcVaán ñeà 20:TẬP HỢP ĐIỂMBài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất . Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phƣơng trình của tập hợp điểm đó.1. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.Có các trƣờng hợp xảy ra:Trƣờng hợp 1: M x f ( m)y g( m)Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:F(x, y) = 0 (gọi là phƣơng trình quĩ tích)Trƣờng hợp 2: M x a ( haèng soá )y g( m)Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng x = a.Trƣờng hợp 3: M x f ( m)y b ( haèng soá )Khi đó điểm M nằm trên đƣờng thẳng y = b.3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bƣớc 1), ta tìm đƣợc điều kiện của x hoặc y đểtồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phƣơng trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của xhoặc y (ở bƣớc 3).2. Dạng 2:Trong trƣờng hợp ta không thể tính đƣợc toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập đƣợc một hệ thứcchứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm đƣợc hệ thức dạng F(x, y) = 0.Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trìnhF(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.Vaán ñeà 21:HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị. Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Vẽ đồ thị hàm số tƣơng ứng trong các khoảng của miền xác định.Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f ( x).Đồ thị (C) của hàm số y f ( x)có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dƣới trục hoành qua trục hoành.+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.2. Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x .Đồ thị (C) của hàm số y f x có thể đƣợc suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nhƣ sau:Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 23 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.com+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.Toaùn HoïcVaán ñeà 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyênTìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ Px ( ) có toạ độ là những số nguyên:y Qx ( ) Phân tích Px ( )y thành dạng ay A( x) , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.Qx ( )Qx ( )x Khi đó Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a.y Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.Vaán ñeà 23:Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + bCơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB Phương trình đường thẳng vuông góc với d: y = ax = b có dạng:1(C)(d)(D):y x ma Phương trình hoành độ giao điểm của và (C):1f(x) = x m (1)a Tìm điều kiện của m để cắt (C) tại 2 điểmphân biệt A, B. Khi đó x A , x B là các nghiệm của (1). Tìm toạ độ trung điểm I của AB. Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìmđược m x A , x B y A , y B A, B.Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành xA xByAyx A, B đối xứng nhau qua trục tung AxByA yBx A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b A xByAyB2bBABI A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a xAxB2ayA yBVaán ñeà 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm của AB.Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.comI- 24 -AB

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.com Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),có hệ số góc k có dạng: y k( x a) b. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:f(x) = k( x a) b (1) Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệtA, B. khi đó x A , x B là 2 nghiệm của (1). Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm được k x A , x B .xChú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O AxByAyBToaùn HoïcVaán ñeà 25:Khoảng cáchKiến thức cơ bản:2 21) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB= ( xB xA) ( yB yA)2) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:ax0 by0cd(M, ) =2 2a b3) Diện tích tam giác ABC:1 1AB. AC.sin A AB . AC AB.AC2 22 2S = 2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 25 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc1. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc )221/. Sin x Cos x 12/. SinxTanx Cosx3/. CosxCotx Sinx4/. Tanx . Cotx 15/. 1Tan x 2Cos x2 16/. 1Cot x 2Sin xÑieàu kieän toàn taïi : Tanx laø x / 2 + k , k Z Cotx laø x k , k Z Sinx laø – 1 Sinx 1 Cosx laø – 1 Cosx 1Chuù yù : a 2 + b 2 = ( a + b) 2 – 2ab a 3 + b 3 = ( a + b) 3 – 3ab( a + b)2 1Vaán ñeà 1:Coâng thöùc löôïng giaùc2. COÂNG THÖÙC COÄNG ( 8 coâng thöùc )Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sinCos thì cos cos, sin sin nhớ trừ (dấu đối)”7/. Cos(a b) CosaCosb SinaSinb8/. Cos(a b) CosaCosb SinaSinb9/. Sin(a b) SinaCosb CosaSinb10/. Sin(a b) SinaCosb CosaSinbTana Tanb11/. Tan(a b)1TanaTanbTana Tanb12/. Tan(a b)1TanaTanb13/.CotaCotb 1Cot(a b)Cota CotbCotaCotb 114/. Cot(a b)Cota Cotb3. COÂNG THÖÙC NHAÂN3.1. NHAÂN ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)15/. Sin2a 2SinaCosa222 22216/. Cos2a 2Cosa 112Sina Cos a Sin a Cos a(1 tan a)17/.2TanaTan2a21TanaVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 26 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133.2. NHAÂN BA : ( 3 coâng thöùc)318/. Cos3a 4Cosa 3Cosa319/. Sin3a 3Sina 4Sina320/. 3TanaTanaTan3a213Tana4. HAÏ BAÄC : ( 4 coâng thöùc)www.MATHVN.comToaùn Hoïc21/.2 1Cos2a2Sin a 1Cos2a 2Sina22 1Cos2a222/. Cos a 1Cos2a 2Cosa2323/.3Sina Sin3aSin a 4324/.3Cosa Cos3aCos a 45. GOÙC CHIA ÑOÂI : ( 3 coâng thöùc)225/. 2tSinx 26/. 1tCosx , vôùixt Tan221t1t22t27/. Tanx 21t6. TOÅNG THAØNH TÍCH : ( 8 coâng thöùc)Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos. Sin trừ sin bằng hai lần cos sinCos cộng cos bằng hai lần cos cos. Cos trừ cos bằng hai lần cos sin”28/.a b a bCosa Cosb 2CosCos2 229/.a b a bCosa Cosb 2SinSin2 230/.a b a bSina Sinb 2SinCos2 231/.a b a bSina Sinb 2CosSin2 232/.Sin( a b)Tana Tanb CosaCosb33/.Sin( a b)Tana Tanb CosaCosb34/.Sin( a b)Cota Cotb SinaSinb35/. Sin( a b)Cota Cotb SinaSinb7. TÍCH THAØNH TOÅNG : ( 3 coâng thöùc)1 Cos(a b)21SinaSinb Cos(a b) Cos(a b)21SinaCosb Sin(a b) Sin(a b)21cos asinb Sin(a b) Sin(a b)236/. CosaCosb Cosa b37/. 38/. 39/. Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 27 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com‣ Đặc biệt:sin x cos x 2 sinx 2 cosx 4 4 sin x cos x 2 sinx 2 cosx 4 4 8. CUNG LIEÂN KEÁT :Toaùn HoïcCos ñoáiSin buøPhuï cheùoKhaùc TanSai keùm / 2Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – SinSin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – CosSin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = SinTan( + ) = Tan ; Cot( + ) = CotSin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – SinVaán ñeà 2:PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC1. CÔ BAÛN :Sinu = SinvCosu = CosvTanu = TanvCotu = CotvSinu = 0Sinu = 1Sinu = –1Cosu = 0Cosu = 1Cosu = – 1u v k2 u v k2 u v k2 u v k u v k u k u / 2 k2 u / 2 k2 u / 2 k u k2 u k2k Z2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos2.1. Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a 2 + b 2 0 )Phöông phaùp :Caùch 1:Chia hai veá choÑaët :Ta coùa22 2a b ≠ 0a Cos;b2 b2 2a bSin(x ) c (*)2 2a b(*) Coù nghieäm khi c 12 2a b(*) Voâ nghieäm khi2 2 a b c2 2 2 a b c2 SinCaùch 2: Kieåm chöùng x = (2k + 1) coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâng? Xeùt x (2k + 1) Ñaët : xt Tan2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 28 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Theá2tSinx 1t2;1tCosx 1tVaøo phöông trình (1) ( ) x = ?Cách 3:Chia hai vế cho a (giả sử a ≠ 0)Khi đó (1)( )3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI:3.1.Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc:Giaû söû a 02aSin x bSinx c 0 ; ( ñaët t Sinx , t 1)2aCos x bCosx c 0 ; (ñaët t Cosx , t 1)2aTan x bTanx c 0 ; ( ñaët t Tanx , x k)22aCot x bCotx c 0 ; ( ñaët t Cotx , x k)www.MATHVN.com22( )Toaùn Hoïc3.2.Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx22Daïng: aSin x bSinxCosx cCos x 0 (1)3223aSin x bSin xCosx cSinxCos x dCos x 0 (2)Phöông phaùp :Caùch 1:Kieåm cosx = 0 x = / 2 + k coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ? Xét cosx 0 x / 2 + k . Chia hai veá cho Cos 2 x ( daïng 1), chia Cos 3 x ( daïng 2) ñeå ñöaphöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx.Caùch 2:Daïng (1) coù theå söû duïng coâng thöùc haï baäc vaøSin2xSinxCosx theá vaøo23.3. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx:Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)Phöông phaùp: Ñaët :t Sinx Cosx 2Sin(x ), t 242t 1(*) at b c 02 t ( neáu coù) xChuù yù:Daïng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi töông töï :Ñaët :t Sinx Cosx 2Sin(x ), t 2421t(*) at b c 0 t ? ( neáu coù) x ?2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 29 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT :www.MATHVN.comToaùn Hoïc4.1.Toång bình phöông :A 2 + B 2 + ........+ Z 2 = 0 A = B = ......= Z = 0 A 0, B 0,......, Z 0Ta coù : A + B + .... + Z = 0 A = B = .....= Z = 04.2. Ñoái laäp :Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*)A KNeáu ta chöùng minh B KA l3/. B kA B l k4/. A 1,B 1A l B kA 1AB 1 hayB 1Vaán ñeà 3:A 1B 1A K(*) B KPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC1. Phƣơng pháp 1: Dùng các công thức lƣợng giác đƣa về phƣơng trình dạng tích.Ví dụ 1. Giải phƣơng tình: sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x (1).Giải1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: x x x x2 2 2 2 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0 π π kπ5x kπcos5 0 2 x x 10 5π π lπcos 2x 0 2 x kπ x , ( k, l, n) 2 4 2cos x 0 ππx kπ x nπ2 2Ví dụ 2. Giải phƣơng trình: cos 6 x+sin 6 x = 2 ( cos 8 x+sin 8 x) (2).GiảiTa có (2) cos 6 x(2cos 2 x1) = sin 6 x(12sin 2 x) cos2x(sin 6 x–cos 6 x) = 0 cos2x(sin 2 x–cos 2 x)(1+sin 2 x.cos 2 x) = 0 cos2x = 0π π kπ 2 x kπ x ,( k )2 4 26 3 4Ví dụ 3: Giải phƣơng trình: 8 2 cos x 2 2 sin xsin3x 6 2 cos x 1 0(3).GiảiTa có:Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 30 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133 3 3(3) 2 2 cos x(4cos x 3cos x) 2 2 sin xsin 3x1 0 2 22cos x.2cos x cos3x 2sin x.2sin xsin x3x2 (1 cos 2 x)(cos 2x cos 4 x) (1 cos 2 x)(cos 2x cos 4 x) 2 2(cos 2x cos 2x cos 4 x) 2 cos 2 x(1 cos 4 x)2cos 2 x.cos 2x 24222 π cos 2x x kπ,( k)2 82. Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng trình đại số:Ví dụ 4. Giải phƣơng trình lƣợng giác: sinGiảiTa có (4)4 48 8 17xcosx (4).32Toaùn Hoïc1cos 2x 1cos 2x17 1 4 2 17 (cos 2x6cos 2x1)2 2 32 8 32 1Đặt cos 2 2x = t, với t[0; 1], ta có 2 17 2 13 tt 6t 1 t 6t 0 24 4 13t 21 2 1 cos 4x1 1Vì t[0;1], nên t cos 2x 2 2 2 2π π πcos4x = 0 4 x kπ x k ,( k )2 8 4Ví dụ 5. Giải phƣơng trình lƣơng giác: 2sin 3 x – cos2x + cosx = 0 (5)GiảiTa có (5) 2(1 cos 2 x)sinx + 2 – 2 cos 2 x + cosx – 1 = 0 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0cos x 1 x k2 π,( k) 2sin x 2cos x 2sin xcos x 1 0 (*)Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phƣơng trình (*) trở thành:t 0π2t + t 2 – 1 + 1 = 0 t 2 + 2t = 0 sin x -cos x x nπ,( n) t 2( lo¹i)4πVậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là: x nπ ; xk2 π, ( n, k )43. Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác về việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác bằng cáchđánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.Ví dụ 6. Giải phƣơng trình: πGiảiĐiều kiện: x ≥ 0Do | sin x | 0, nênπ|sin x||sin x| 0 cos x (6).π 1, mà |cosx| ≤ 1.www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 31 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc2 2 2| sin x | 0 x kπ,( k) xk π k π nkn0Do đó (6) | cos x | 1 x nπ,( n ) x nπ x nπ x 0(Vì k, n Z). Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x = 0.4. Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.2xVí dụ 7: (ĐH Sƣ phạm 2) Giải phƣơng trình: 1 cos x .2Giải2xĐặt f ( x)= cos x . Dễ thấy f(x) = f(x), x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trƣớc hết ta chỉ xét với x2≥ 0.Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biếnvới x≥0 .Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình. π Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0; thoả mãn phƣơng 2 2nwww.MATHVN.comn n 2trình: sin xcos x 2 .GiảiĐặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x.= nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x)2 Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; 2 , ta có minf(x) = f 4 = 2Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.BÀI TẬPGiải các phƣơng trình sau:1. cos 3 x+cos 2 x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x k2 ; x n222. tanx.sin 2 x2sin 2 x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin 2 x ĐS: x k; x n24 33. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại) 7ĐS: x k ; x n; x m.4 4 12 124. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x k .25. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)1ĐS: x k2 ; x n2 ; x l2 ;với sin .246. sinx4sin 3 x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x k.4 7. sin 3x sin 2 x.sin x 4 4 ; (Học Viện BCVT) ĐS: x k4 28. sin 3 x.cos3x+cos 3 x.sin3x=sin 3 4xHD: sin 2 x.sinx.cos3x+cos 2 x. cosx.sin3x=sin 3 4xĐS: x k .12Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 32 -n2

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc9. x k41 1 7 4sin xsin x 3 ĐS: x k 4sin x 8 25x k 8310. sin x 3 23cos x sin xcos x 23sin xcosxHD: Chia hai vế cho cos 3 xĐS: x = k, x k3411. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosxHD: Đƣa về cung x đặt thừa số2ĐS: x k x k2 ( k 4 3)12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).Giải(1) 2sinxcosx+2cos 2 x–1=1+sinx–3cosx.2cos 2 x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.2cos 2 x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.Đặt t=cosx, ĐK t 1, ta đƣợc: 2t 2 +(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3) 2 +3.2.(sinx+2)=(2sinx+5) 2 . 1t12 cosx …(biết giải) 2 t sin x- 2 loaïi13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.HD: Tƣơng tự câu a ta có phƣơng trình 2(1–2cosx)sin 2 x–sinx+cosx=0.Đặt t=sinx, ĐK t 1.2(1–2cosx)t 2 –t+cosx=0 … =(4cosx–1) 2 .14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.(sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(cos 2 x–sin 2 x)=0.(sinx+cosx) 2 +(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …1 2 cos xsinx15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:tan x cot 2x cot x 1Giải cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2x0Điều kiện: cot x 11 2 cos xsin x cos x.sin 2xTừ (1) ta có: sin x cos 2x cos x1cos xcos x sin 2x sin x2sin x.cosx 2 sin x 22 x k cos x 4k2 x k2 4www.MATHVN.com2 sin xSo với điều kiện, ta đƣợc họ nghiệm của phƣơng trình đã cho là x k2k Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 33 -4

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134 4sin xcos x 1 tan cot16. Giải phƣơng trình: xxToaùn Hoïcsin 2x2Giải4 4sin xcos x 1 tan x cot x(1)sin 2x2Điều kiện: sin 2x 01 21 21sin 2x1sin 2x2 1 sin x cos x1 1 2(1) 2 1 sin 2x 1 sin 2x 0sin 2x 2 cos x sin x sin 2xsin 2x2Vậy phƣơng trình đã cho vô nghiệm.2 217. Giải phƣơng trình: 2sin x 2sin x tan x4. GiảiPt 2 2sin x 2sin 2 2 x tan x4(cosx 0) 1 cos 2x cos x 2sin x.cos x sin x 2 (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.18. Giải phƣơng trình: x x c 3 x c x xsin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0 .Giải3sin 2 x(cos x 3) 2 3.cos x 3 3.cos 2x 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2 3 22sin x.cos x 6sin x.cos x 2 3.cos x 6 3 cos x 3 3 8( 3.cos x sin x) 3 3 0 2cos2x (3cos x sinx)6.cosx( ( 3 cos x sin x)( 2cos x 6cos x 8) 0tan x 3 3 cos xsin x 0 cos x 12 cos x 3cos x 4 0 cos x 4 ( loai) x k 3 , k Zx k219. Giải phƣơng trình: cosx=8sin 3 x 6 Giảicosx=8sin 3 x 3sin xcos x62 cosx = 33cos x sinx)8(3cos x sinx) 03 2 2 3 3 3sin x 9sin xcos x 3 3sin xcos x cos x cos x 0 (3)Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm3 2(3) 3 3 tan x 8tan x 3 3 tan x 0 tan x 0 x k20. Giải phƣơng trình lƣợng giác:Giảiwww.MATHVN.com1 2 cos xsinxtan x cot 2x cot x 1Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 34 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Điều kiện: cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2x0 cot x 1www.MATHVN.com 1 2 cos xsin x cos x.sin 2xTừ (1) ta có: sin x cos 2x cos x1cos xcos x sin 2x sin x2sin x.cosx 2 sin x 22 x k cos x 4k2 x k2 42 sin xSo với điều kiện, ta đƣợc họ nghiệm của phƣơng trình đã cho là x k2k Z 21. Giải phƣơng trình: cos2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)GiảiPhƣơng trình (cosx–sinx) 2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0cos xsin x 1 cos x sin x 5 ( loai vi cos x sin x 2)xk22 sin x 1 sin x sin 2 ( k Z)4 4 4 x k222. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0Giải 3sin xcos x2cos3x 0 sin sinx + cos cosx = – cos3x.3 34Toaùn Hoïc cosx cos3x cosx cos( 3 x) 3 3 kx 3 2 k( k Z ) x = (kZ)x k3 2 323. Giải phƣơng trình cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 28GiảiTa có: cos3xcos 3 x – sin3xsin 3 x = 2 3 2 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2882 2 2 3 22 cos 3x sin 3x 3cos3x cos x sin 3xsinx cos 4 x x k , k Z .22 16 224. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm 2 4sin3xsin x 4cos 3x cos x cos 2x m 0 4 4 4 GiảiTa có:4sin3xsin x 2 cos2x cos4x;* Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 35 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc * 4cos 3x cos x 2 cos 2x cos 4x 2sin 2x cos 4x4 4 2 2 1 1* cos 2 x 1 cos 4 x 1 sin 4x4 2 2 2Do đó phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng:1 12cos 2x sin 2x sin 4x m 0 (1)2 2Đặt t cos 2x sin 2 x 2 cos 2x (điều kiện: 4 2 2 Khi đó sin 4 x 22sin 2xcos2 x t 1. Phƣơng trình (1) trở thành:2t 4t 2m 2 0 (2) với 2 t 22(2) t 4t 2 2mĐây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đƣờng ( D) : y 2 2m(là đƣờng song song với Ox và cắt trục2tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t 4tvới 2 t 2.x 22y’ +y 2 4 22 4 2Trong đoạn 2; 2 , hàm số 2y t 4tđạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t 2 và đạt giá trị lớn nhấtlà 2 4 2 tại t 2 .Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2m 24 2 2 2 m 2 2 .Vaán ñeà 4:HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC1. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù)2 2 22 2 2a b c 2bcCosAb c aCosA2bc2 2 2Haøm soá Cosin2 2 2 b a c 2acCosBa c bCosB2ac2 2 22 2 2c a b 2abCosCa b cCosC2abHaøm soá Sina b c 2RSinA SinB SinCa a 2RSinA,SinA 2RHaøm soá TanA BTan2 a bA B a bTan2Caùc chieáu a bCosC cCosBVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 36 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Trung tuyeánPhaân giaùcDieän tích2 2 22 2( b c ) am a4A2 bc.Cosl 2abc1 1 1S aha bhb chc2 2 21 1 1S bcSinA acSinB abSinC2 2 2S prabcS pr 4 RS p(p a)(p b)(p c) ( p a).rBán kính đường trònABCr ( p a) tan ( p b) tan ( p c) tannội tiếp 222Bán kính đường trònArbàng tiếp a p.tan 21.1. Chuù yù:SABCr ( p a)Tan ( p b)Tan ( p c)Tanp222abc a b cR 4S2SinA2SinB2SinC a, b, c : caïnh tam giaùc A, B, C: goùc tam giaùc h a : Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a m a : Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A R, r : Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc.a b cp Nöûa chu vi tam giaùc.22. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng:2 AH BH.CHAH.BC AB.ACA1AH21ABAC 2 CH.CB2 2BC AB AC221AC2www.MATHVN.comBAB 2 BH.BCHCaToaùn HoïcVaán ñeà 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚCho tam giaùc ABC :1/.A B CSinA SinB SinC 4CosCos Cos2 2 22/.A B CCosA CosB CosC 14SinSin Sin2 2 23/. TanA TanB TanC TanATanB . . TanC ( tam giaùc ABC khoâng vuoâng)4/.A B C A B CCot Cot Cot Cot . Cot . Cot2 2 2 2 2 2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 37 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20135/.A B B C C ATan . Tan Tan . Tan Tan . Tan 12 2 2 2 2 22226/ Sin A Sin B Sin C 2 2CosA . CosB . CosC2227/. Cos A Cos B Cos C 12CosACosB. . CosC8/. Sin(A B) SinCCos( A B) CosC; A B CSin Cos2 2A B CCos Sin ;A B CTan Cot2 22 29/.3 3SinA . SinB.SinC 810/.1CosA . CosB.CosC 811/.A B C 3 3Cos . Cos . Cos 2 2 2 812/.A B C 1Sin . Sin . Sin 2 2 2 822213/.3Cos A Cos B Cos C 422214/.4Sin A Sin B Sin C 922215/. Tan A TanB TanC 916/.3 2 A 2 B 2 C Sin Sin Sin 14 2 2 2217/.A 2 B 2 C2 Cos Cos Cos 2 2 218/.2 A 2 B 2 CTan Tan Tan 12 2 219/. 2 A 2 B 2 CCot Cot Cot 92 2 220/.3 3Sin 2A Sin2B Sin2C221/.3Cos2A Cos2B Cos2C 294www.MATHVN.comToaùn HoïcVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 38 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1:PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT: Ax = B A 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát Bx A A = 0 vaø B 0 : phöông trình voâ nghieäm A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieämAx > B A > 0 : Bx A A < 0 : Bx A A = 0 vaø B 0 : voâ nghieäm A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ PT VAØ BPT OÂN THI ÑAÏI HOÏC:Vd1: Giải bất phƣơng trình 22x 6x 1 x 2 0 1Giải1 2x 6x 1 x 2 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ: 2x 2x20 3 7 3 7 3 72 2 222x 6x 1 x 21 x 322x 6x 1 0 x x x 3Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình22x mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.Giải:Cách 1: x 1, phƣơng trình (*) luôn có 2 nghiệm:PT 2x m x 2 4 0,(*)2 22 m m 4 m 20 2 m m 4 m 201x2x . Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 2 nghiệm x 10, 02 22 m 4x2 1 4 m m 4m 20 2 m 12 4 m m 4m 20Chú ý: + x 1 > 0, x 2 < 0 vì x 1 > x 2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.+ Cách 1 thƣờng dùng khi hệ số a luôn dƣơng hoặc luôn âm.+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0.(*) trở thành: t 1 2 m 2t1 4 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0 .2Giải phƣơng trình: xx 1 xx 2 2 x 1.GiảiĐiều kiện:x1x 2*x 0 2 2 2 21 2x x 2 x x 1 x 2 4x 2 x x 1 x 2 x 2x1 2 2 224x x x 2 x 2x1 2 x x 8 9 0Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x=0,9x .8Vaán ñeà 2:HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN SOÁVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 39 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013ax by c1/. Daïng : / / /ax b y ca b/ /2/. Caùch giaûi : D ab a b/ /a bc b/ /c bD x/a c/a c/ cb c b/D y // ac a c Dx D 0 : heä coù nghieäm duy nhaát xDDyy D ⟦ D=0 và D x≠0D=0 và D y ≠0Hệ vô nghiệm* D = D x = D y = 0 : Heä voâ soá nghieäm hay voâ nghieäm tuøy thuoäc a, b, c, a / , b / , c /3/ Dạng đối xứng loại 1: f ( x,y) 0 với f ( x,y) f ( y,x)g(x,y) 0 g(x,y) g(y,x)Đặt: S x y(điều kiện S 2 4P)P x.yTa đƣợc hệ: F ( S,P) 0 ta tìm đƣợc S, PE(S,P) 0www.MATHVN.comToaùn HoïcKhi đó x,y là nghiệm của phƣơng trình: X 2 – SX + P = 04/ Dạng đối xứng loại 2: f ( x,y) 0(1) f ( y,x) 0(2)Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta đƣợc: (y – x). h(x,y) = 0y x(a) h(x,y) 0( b)kết hợp: (a ) va(1)( b)va(1)5/ Dạng: Hệ tổng quát: Thƣờng biến đổi để nhận ra ẩn số phụ, sau đó dùng phƣơng pháp thế để giải tiếp.1. MOÄT SOÁ VÍ DUÏ GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH OÂN THI ÑAÏI HOÏC:2 2Ví dụ 1. Tìm các giá trị m để hệ 3x 2xy y 11có nghiệm.2 2 x 2xy 3y 17 mPhân tích. Để có kết quả nhanh hơn ta sẽ đặt ngay y tx, x 0Lời giải.2TH 1. 2y11y11x 0 22 m 17 3ym17y 3Vậy hệ có nghiệm m 17x 0 11 m1632 2 2 2TH 2. x 0, Đặt y tx . Hệ 3x 2tx t x 11 2 2 2 2 x 2tx 3t x 17 m 2 112 2 x (3 2 ) 11 2 t t x 32tt2 2 (1 2t 3 t ) x 17 m 2 11(1 2t 3 t ). 17 m2 32ttVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 40 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc 2 11x2 32tt 2( m 16) t 2( m 6) t 3m 40 0 (*)Ta có 110,tnên hệ có nghiệm pt (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m 16 hoặc232tt2m 16, ' ( m 6) ( m 16)(3m 40) 0 5 363 m 5 363Kết luận. 5 363 m 5 363 3x12x y 1 7y14 2 xy Ví dụ 2. Giải hệ phƣơng trình 1Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho 3x và chia hai vếpt thứ hai cho 7y .Lời giải.ĐK: x 0, y 0, x y 0.Dễ thấy x 0 hoặc y 0 không thỏa mãn hệ pt. Vậy x0, y0Hệ 1 2 2 4 2 1 2 21 2 1 (1)xy3x 3x 7y 3x 7y 1 4 2 2 2 4 2 1 2 2 11 x y7y x y 3x 7y 3x 7yx yNhân theo vế hai pt trong hệ ta đƣợc 1 2 2 1 2 2 1 3x 7y 3x 7y xy y6x1 8 12 2 7y 38xy 24x 0 43x 7y x y y x 7TH 1. y 6xthế vào pt (1) ta đƣợc 1 2 114 7 22 8 7 1 x y3x21x21 7x y .TH 2. 4y x không xảy ra do 0, 07Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất 114 7 22 8 7 . xy ; ; 21 7 Chú ý. Hệ phƣơng trình có dạng a b m m n 2a. Trong trƣờng hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứaa b n m n 2bcăn thức nên ta chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức. a nmTổng quát ta có hệ sau: bx px qyc nm dy px qyVí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình2 2x y x y 18xy( x 1)( y 1) 72Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại IHƣớng 1. Biểu diễn từng pt theo tổng xHƣớng 2. Biểu diễn từng pt theo2xLời giải.2 2Hệ ( x x) ( y y) 18. Đặt 2 2 2 ( x x)( y y) 72 y và tích xy2 x và y1x x a,a 4 21y y b,b 4www.MATHVN.com y. Rõ ràng hƣớng này tốt hơn.ta đƣợc a b 18 a 6, b 12 ab 72 a 12, b 6Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 41 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20132TH 1. a 6 x x 6 x 2, x 3 2b 12 y y12y 3, y 4xx y 2, y 3TH 2. Đổi vai trò của a và b ta đƣợc 3, 4 . Vậy tập nghiệm của hệ làToaùn HoïcS = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3) 1.1. Phƣơng pháp đƣa về dạng tích* Cơ sở phƣơng pháp. Phân tích một trong hai phƣơng trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần tổ hợphai phƣơng trình thành phƣơng trình hệ quả rồi mới đƣa về dạng tích.* Cách thành lập hệ dạng này ( ax by c) f ( x; y) 0 trong đó f ( x; y ) đƣợc chọn sao cho f ( x; y) 0 vôg( x; y) 0g( x; y) 0nghiệm hoặc f ( x; y) 0 giải đƣợc; g( x; y ) đƣợc chọn sao cho ax by c 0 giải đƣợc và thỏa mãn kết hợpg( x; y) 0g( x; y) 0đƣợc với f ( x; y )2 2Ví dụ 4. Giải hệ phƣơng trình xy x y x 2 y (1) x 2y y x 1 2x 2 y (2)Phân tích. Rõ ràng, việc giải phƣơng trình (2) hay kết hợp (1) với (2) không thu đƣợc kết quả khả quan nênchúng ta tập trung để giải (1).Lời giải.ĐK: x1, y02 2(1) y( x y) ( x y) x y ( x y)( y 1 x y) 0TH 1. x y 0 (loại do x1, y 0)TH 2. 2y 1 x 0 x 2y 1 thế vào pt (2) ta đƣợc(2y 1) 2y y 2y 4y 2 2 y ( y 1) 2y 2( y 1) y 10 y 1. Do y 0 y 2. Vậy hệ có nghiệm ( xy ; ) (5;2)2y 2 y 2Chú ý. Do có thể phân tích đƣợc thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt (1) bằngcách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x).1.2. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số* Cơ sở phƣơng pháp. Nếu f( x ) đơn điệu trên khoảng ( ab ; ) và x, y ( a; b)thì f ( x) f ( y) x y* Cách xây dựng hệ theo phƣơng pháp này.Lấy hàm số f()t đơn điệu trên khoảng ( ab ; ) , u( x; y), v( x; y) ( a; b)Lấy g( x; y ) sao cho hệ u( x; y) v( x; y)giải đƣợc trên tập xác định của chúng.g( x; y) 0- Lập hệ phƣơng trình f ( u) f ( v)g( x; y) 02Ví dụ 5. Giải hệ phƣơng trình (4x 1) x ( y 3) 5 2y 0 (1)2 2 4x y 2 3 4x 7 (2)Lời giải. ĐK: 3x 3 4x0 4 5 2y0 5y 22(1) (4x 1)2 x (2y 6) 5 2y 0 2 32 (2 x) 1 (2 x) 5 2y 1 35 2 y (2 x) 2x 5 2y 5 2y3 f (2 x) f ( 5 2 y)với ()f t t t .22f '( t) 3t 1 0, t f ( t)đồng biến trên . Vậy 54x2Thế vào pt (2) ta đƣợc 22 54x4x 2 3 4x 7 0 g( x) 02 www.MATHVN.comf (2 x) f ( 5 2 y) 2x 5 2 y y , x 02Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 42 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc2Với 22 5 4x 3g( x) 4x 2 3 4x 7, x0;2 4 Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm3 3 2x y y x 3 3 2 02 2 2x x y y m 1 3 2 0Lời giải.Điều kiện. 1 x1, 0 y23 3(1) x 3 x ( y 1) 3( y 1)3Hàm số f ( t) t 3tnghịch biến trên đoạn [ 1;1]xy , 1 1;1 nên f ( x) f ( y 1) x y 1 y x 12 2Thế vào pt (2) ta đƣợc x 2 1 x m (3)Hệ có nghiệm Pt (3) có nghiệm x1;1 Xét2 2 1 g( x) x 2 1 x , x1;1 , g '( x) 2x12 1x g '( x) 0 x 0. g(0) 2, g( 1) 1x 1;1 2 m 1 1 m 2Pt (3) có nghiệm Ví dụ 23. Giải hệ phƣơng trình ln(1 x) ln(1 y) x y (1) 2 2x 12xy 20y 0 (2)Lời giải. ĐK: x 1, y 1(1) ln(1 x) x ln(1 y) y f ( x) f ( y) với f ( t) ln(1 t) t, t ( 1; )1 tđồng biến trên ( 1;0) và nghịch biến trên khoảngf '( t) 1 0 t 0 ( 1; ) f ( t)(0; )1t1tTH 1. xy , ( 1;0) hoặc xy , (0; ) thì f ( x) f ( y) x yThế vào pt (2) ta đƣợc x y 0 (không thỏa mãn)2 2TH 2. x( 1;0), y(0; ) hoặc ngƣợc lại thì xy 0 x 12xy 20y 0TH 3. xy 0 thì hệ có nghiệm x y 0. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y0Vaán ñeà 3: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI MOÄT AÅN ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) = b 2 – 4ac > 0 b b x1 , x22a2a = 0bNghieäm keùp x1 x2 2a < 0Voâ nghieäm / = b / 2 – ac / > 0/ // / b b x1 , x2aa / /= 0bNghieäm keùp x1 x2 a / < 0Voâ nghieämcChuù yù: a + b + c = 0 : nghieäm x 1 = 1, x 2 = aa – b + c = 0 : nghieäm x 1 = –1, x 2 =caVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 43 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comVaán ñeà 4:DAÁU NHÒ THÖÙCToaùn Hoïcf(x) = ax + b ( a 0)xb– +af(x) Traùi daáu a 0 cuøng daáu aVaán ñeà 5:DAÁU TAM THÖÙCf(x) = ax 2 + bx + c ( a 0) ( Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG)NeáuThì 0f(x) > 0, xa 0 0f(x) < 0, xa 0 0bf(x) > 0, x a 02a 0ba 0f(x) < 0, x 2a > 0 x – x 1 x 2 +f(x) cuøng 0 trái 0 cuøngdaáu aVaán ñeà 6: SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁo Định lí Vi-ét: Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a 0) (1)C ó: Tổng 2 nghiệm STích 2 nghiệm là P bKhi đó ta có: x1 x2 Sa cx x P1.2 a2Vậy 2 nghiệm pt (1) thoả mãn pt: X SX P 0 Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a 0) vaø , laø hai soá thöïc và1/. Muoán coù x 1 < < x 2 t a phaûi coù af(x) < 0 02/. Muoán coù x 2 > x 1 > ta phaûi coù af( ) 0S 0 2bS ; P acaVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 44 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 03/. Muoán coù x 1 < x 2 < ta phaûi coù af( ) 0S 0 2af( ) 04/. Muoán coù x 1 < < < x 2 ta phaûi coù af( ) 0af( ) 05/. Muoán coù x 1 < < x 2 < ta phaûi coù af( ) 0x1 x2 6/. Muoán coù ta phaûi coù f ( )f ( ) 0 x x1 0af ( ) 07/. Muoán coù < x 1 < x 2 < ta phaûi coù af( ) 0S 2‣ Chuù yù:1/. Muoán coù x 1 < 0 < x 2 ta phaûi coù P < 02/. Muoán coù x 2 > x 1 > 0 ta phaûi coù 0P 0S 03/. Muoán coù x 1 < x 2 < ta phaûi coù 0P 0S 02www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 7:PHÖÔNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN1/.2/.BA B 2KA BA B2KA B A 0( hayB 0)kA 2 B A 02 K2K3/. 2 k 11 B1/.A 0A B BA B2K02KVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 45 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013B 02/.A 02KA B B 02KA B2K12K13/. A B A B4/. A B A 0C B 02(A B) CA 05/.B 0A B C C 022 A B C1. Aùp duïng:Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:22x 1 x 3x1 0 (ĐH Khối D – 2006)Toaùn Hoïc2Biến đổi phƣơng trình thành: 2x 1 x 3x 1 (*), đặt điều kiện rồi bình phƣơng 2 vế ta đƣợc:4 3 2x 6x11x8x 2 0 ta dễ dạng nhẩm đƣợc nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta đƣợc:(*) (x – 1) 2 (x 2 – 4x + 2) = 0.2Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình: 4x 1 2x 101 3 2x 2 3, ĐK: x 223pt x 2x 1 x 52 x 3 2 x ( x 5) 3 2x 9 5x(1), Với x hai vế (1) đều không2âm nên ta bình phƣơng 2 vế: x 3 – x 2 – 5x – 3 0 x 3x1 2 0b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x* f x g xVí dụ 1: Giải bất phƣơng trìnhGiải 2 22x 6x 1 x 2 0 11 2x 6x 1 x 2 bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ:x 2x20 3 7 3 7 3 72 2 222x 6x 1 x 21 x 322x 6x 1 0 x x x 32Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình x 2mx 1 m 2 có nghiêm.Giải* Nếu m < 2 phƣơng trình vô nghiệm.* Nếu m 2 phƣơng trình x 2 2mxm 2 +4m3=0. Phƣơng trình này có =2m 2 4m+3>0 với mọi m.Vậy với m 2 thì phƣơng trình đã cho có nghiêm.Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trìnhGiải:www.MATHVN.com22x mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 46 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Cách 1: x 1PT , phƣơng trình (*) luôn có 2 nghiệm:2 x m 2x 4 0,(*)2 22 m m 4 m 20 2 m m 4 m 201x2Toaùn Hoïcx 0, 0. Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm (*) có 22 22 m 4nghiệm x 1 x2 1 4 m m 4m 20 2 m 12 4 m m 4m 20Chú ý: + x 1 > 0, x 2 < 0 vì x 1 > x 2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.+ Cách 1 thƣờng dùng khi hệ số a luôn dƣơng hoặc luôn âm.+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với x 1 t 0.(*) trở thành: t 2m t1 2 1 4 0 (**). Để (*) có 2 nghiệm x 1thì (**) phải có 2 nghiệm t 0 .2Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm thực phân biệt: x mx 2 2x 1, (1) 2x10Giải: pt để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc2 3x m 4 x 10, 2 m 4 2 12 01 19bằng hay f 0 m.2 22S1 2 21Chú ý : Cách 2: đặt t x , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng221 thì2 1 13t m 4t 10 có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0. 2 23. Các kỹ năng:1.1. a. Để bình phƣơng 2 vế phƣơng trình – bất phƣơng trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế khôngâm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình: 5x 1 x 1 2x 4 (ĐH Khối A – 2005)Vế phải không âm, nhƣng vế trái chƣa nhận xét đƣợc do đó ta phải biến đổi thành: 5x 1 x 1 2x 4khi đó ta bình phƣơng 2 vế rồi đƣa về dạng cơ bản để giải.2Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: xx 1 xx 2 2 x 1GiảiĐiều kiện:x1x 2*x 0 .2 2 2 21 2x x 2 x x 1 x 2 4x 2 x x 1 x 2 x 2x1 2 2 224x x x 2 x 2x1 2 x x 8 9 0Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm x=0,(Hãy tìm thêm cách giải khác)Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trìnhwww.MATHVN.com9x .82 22x mx x 4 0 có nghiệm.HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phƣơng hai vế tìm đƣợcđƣợc |m| 4.1.2. Chuyển về phƣơng trình – bất phƣơng trình tích:- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thứcVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 47 -x1,2mm2216. Kết hợp với điều kiện ta tìm

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Lưu ý: Để sử dụng phƣơng pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...2Ví dụ 4: Giải phƣơng trình: x x 7 7.HD: Bình phƣơng hai vế. Dùng hằng đẳng thức a 2 b 2 =0.129 Nghiệm x2,x .22x2 2Ví dụ 5: Giải các bất phƣơng trình: a. x 4b.2 x 3x2x 3x 2 0 11x Toaùn Hoïc 1ĐS: a. 1x 0.x 2pt x 2x 4 mx 2 . Để chứng minh m 0 , phƣơng trình (1) có3 2 x 6x 32 m,(2)2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phƣơng trình (2) có một nghiệm khác 2.3 2' 2Thật vậy: đặt f x x 6x 32, x 2lim f x , f x 3x 12x 0, x 2 , ta có f(2) = 0, nên f(x) là hàm liên tục trên 2; và đồng biến trên khoảng đó suy ra m 0 phƣơng trình (2) luôn cónghiệm x 0 mà 2 < x 0 < .1.3. Chuyển về dạng: A 1 + A 2 +....+ A n = 0 với A 01 , i n khi đó pt tƣơng đƣơng với:A1 0, A2 0,A n 0 .2Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 4x 3x 3 4x x 3 2 2x 1 .ixHD: Phƣơng trình tƣơng đƣơng x 2 x x x x x Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:Giải4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0 . ĐS: x=1.2 24x y y 2 4x y .2 2 2 1Bình phƣơng hai vế ta đƣợc 2x 1 y 2 2 y 2 4x y 0 x , y 2.21.4. Sử dụng lập phƣơng:Với dạng tổng quát 3 a 3 b 3 c ta lập phƣơng hai vế và sử dụng hằng đẳng thứca b 3 a 3 b 3 3ab a b khi đó phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệnghiệm của phƣơng trình.3 3 3 a b c 3a b 3 abc cVí dụ: Giải bất phƣơng trình 3 x 1 3 x 2 3 2x 3 . ĐS:1.5.Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẩu:1.5.1. TH1: Mẩu luôn dƣơng hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:GiảiĐK: 4www.MATHVN.com22 x 16 7 x x 31x3 x31 2 x 16 x 3 7 x 2 x 16 10 2x2 2x . (ĐH Khối A2004). Giải hệ này ta có3x 1; x 2; x .2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 48 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013x 4 x 510 2x0 10 2x010 34 x 5 22x16 10 2x 2Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình là: x 10 34 .1.5.2. TH2: Mẩu âm dƣơng trên từng khoảng thì ta chia thành từng trƣờng hợp:Toaùn HoïcVí dụ 2: Giải các bất phƣơng trình: a. x 3 22 251 2xxx 4 x 9 b.1.1xHD: a. Xét ba trƣờng hợp x=3, x>3 và x

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn HoïcCách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).3 3Ví dụ 2: Giải phƣơng trình x x 3 x x335 35 30 .33 3 3 3 t 35HD: đặt: t 35 x x 35 x . ĐS: x=2, x=3.3tVí dụ 3: Giải bất phƣơng trìnhHD: Đặt t 7x 7 7x 6 0 … 6 x 6 .71.7. Dạng 3: 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x .Fnf x ,ng x 0, trong đó F(t) là một phƣơng trình đẳng cấp bậc k.TH1: Kiểm tra nghiệm với gx 0.kTH2: Giả sử gx 0 chia hai vế phƣơng trình cho g 3 2Ví dụ 1: Giải phƣơng trình 5 x 1 2x2ĐK: 1 . f xx và đặt t n .g xx . 5 x 3 1 2x 2 2 5 x 1 x 2 x 1 2x 2 x 1 2x 1x1 x1 2 5 2 02 2x x 1 x x 1t 2x 12Đặt t , t0. Phƣơng trình trở thành 2t 5t 2 0 21 .x x1 t 2 Với t=2: Phƣơng trình đã cho vô nghiệm.15 37 Với t : Phƣơng trình đã cho có nghiệm x .22Ví dụ 2: Giải phƣơng trìnhGiảiĐK: x 5 .2 25x 14x 9 x x 20 5 x 1 .2 2 2 25x 14x 9 x x 20 5 x 1 5x 14x 9 5 x 1 x x 20Bình phƣơng hai vế: 2x 2 4x 5 3x 4 5 x 2 4x 5x 4Đặt t x24x5 , t0. phƣơng trình trở thành 2t 5t 3 0 t 1,t .x 422 35 61 5 61 Với t = 1: Phƣơng trình đã cho có nghiệm x 5, x 5 .2 237 Với t : Phƣơng trình đã cho có nghiệm x 8 5, x 5.255 61Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm: x , x 8 .24 2Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 x 1 .HD: ĐK x 1. Xét hai trƣờng hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phƣơng trình chotx 1 210t 1. ĐS 1 m .x1 x131.8. Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để). 4 41af x g x f x hx 0www.MATHVN.com4 2x 1 đặt . Đặt t f x, khi đó phƣơng trình trở thành at 2 g xt hx 0 .Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 50 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Ví dụ: Giải phƣơng trình 2 2HD2 1 x x 2x 1 x 2x 1.Toaùn Hoïc2Đặt t x 2x 1 x 1 6 .(Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)1.9. Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác).Khi giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình lƣợng giác chúng ta thƣờng tìm mọi cách đặt ẩn phụ đểchuyển về phƣơng trình, bất phƣơng trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp cách là ngƣợc lại tỏ ra kháhiệu quả, bằng những tính chất của hàm lƣợng giác ta sẽ đƣa các bài toán đại số về bài toán lƣợng giác và giảiquyết bài toán lƣợng giác này.Lƣu ý vài tính chất cơ bản:2 2* sin a 1, cos a 1. * sin acos a 1.2 12 1* 1tana * 1cota .22cos asin aVí dụ 1: Giải phƣơng trình 1 2 21 x 2x.GiảiĐK 1 x cos t, t 0; . Khi đó phƣơng trình trở thànhx . Đặt 2 2 212 31 1 cos t 2cos t 2sin t sin t 1 0. Ta tìm đƣợc: sin t . Khi đó x cos t 1 sin t .22 Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định u x a . Ta có thể nghĩ đến cách đặt u x a sin t, t ;2 2 u x a cos t, t 0; .hoặc đặt u x a sin t, t 0; 2 .2* Nếu u x 0;ata có thể đặt 3Ví dụ 2: Giải phƣơng trình x 3 1 x 2 x 21x2 .HD: Đặt x cos t, t 0; dƣa về phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình này ta lại đặt u sin t cos t, u 2 .ĐS:2 1 2 2 2x , x .2 22 31 2 2Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 1 x 4x 3x. ĐS: x , x .2 41.10. Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình).* Khi gặp phƣơng trình có dạng , n ,m Đặt una f x,vmb f xF f x a f x b f x 0 . . Khi đó ta đƣợc hệ phƣơng trình sau:rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phƣơng trình una f xf x b a af x b .n* Khi gặp phƣơng trình có dạngn Ví dụ 2: Giải phƣơng trìnhGiảiĐặt , n sin t cos t 1 sin t cos t 2 sin t cos t . Để gảiVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 51 -F u, v 0. Giải hệ này tìm u, vn m u v a b hoặc vmb f xnt b ayt f x y af x b ta có hệ .n y b at2 x 32x4x .2www.MATHVN.com .

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc2 x3 x 1 2ĐK x 3. 2 2 1 x12x 4x 2 x 1 2 x 1 1 1 .2 2 2 2 2 1t 1 yx 1t 2 tĐặt t x 1, y 1 1 y 1 . Ta đƣợc hệ phƣơng trình 2 . Giải thêm chút nữa2 2 2 2 1y 1 t 23 17 5 13ta đƣợc kết quả!ĐS: x , x .4 4Chú ý: bài này không thể sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng vì không nhẩm đƣợc nghiệm, nên ta phải biến đổiđể xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.2. Phƣơng pháp hàm sốCác tính chất:Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phƣơng trình f(x)=k (kR) có không quá mộtnghiệm trong khoảng (a;b).Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f ( u) f v u v .Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phƣơng trình f(x)=g(x) có nhiềunhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). c a;b :Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì F b F aF'c. Khi áp dụng giải phƣơng trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thìbac a; b : F ' c 0 F ' x 0 có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phƣơng trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệmthuộc D.Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:Phƣơng án 1: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịchbiến) suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.Phƣơng án 2: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.Phƣơng án 3: Biến đổi phƣơng trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.Ví dụ: Giải phƣơng trình:ĐK:1224x1 4x1 1f x 4x 1 4x 1 . Miền xác định:x . Đặt 2Do đó hàm số đồng biến vớiVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 52 -12'x , f x 2 4x 0 .24x1 4x11x , nên phƣơng trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy2nghiệm của phƣơng trình.Đối với phƣơng trình chứa tham số ta thực hiện nhƣ sau:Xét phƣơng trình f(x,m) = g(m), (1)B1: Lập luận số nghiệm phƣơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đƣờng thẳngd: y = g(m).B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)B3: Kết luận: * phƣơng trình có nghiệm: min f x, m g m max f x,mxD* phƣơng trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.* phƣơng trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình:TXĐ: Rwww.MATHVN.com2 2x x 1 x x 1 m .xD có nghiệm.1x là2

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Xét hs: 2 2y f x x x 1 x x 1, D f = R,y ' 2x1 2x1 1 12 2x x x x x x ' 2 2 2 1 2 1 0y 0 2x 1 x x 1 2x 1x x 1 Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.2xlim lim 1xx2 2x x 1 x x 1Giới hạn:2xlim lim 1xx2 2x x 1 x x 1BBT: x y’ +y 11Vậy phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.2 22x 1 x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1Toaùn Hoïc(v.nghiệm)Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tậpgiá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phƣơng trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìmgiới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.Ví dụ 2: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm: mx x 3 m 1, ĐK: x 31x 3bpt m, xét hsx 1www.MATHVN.com1 x 3 5 xy y'x 1 2 x3 x1 2.'y 0 x 5. lim y 0 và f(3) = 1 2 .xBBT:x 3 5 y’ + 0 y12y(5)0Vậy bất phƣơng trình có nghiệm5 y m m 314Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình: x x x 12 m 5 x 4 x Giải: ĐK: 0 x 4 có nghiệm. xét hs y f x ( x x x 12) 5 x 4 x pt ( x x x 12) 5 x 4 x mđịnh: D 0;4Nhận xét: Hàm số hx x x x 12 đồng biến trên D.Hàm số g x 5 x 4 x đồng biến trên D. . Miền xácSuy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khif 0 m f 4 Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phƣơng trình:x 23 m x 1Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 53 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Giải: Phƣơng trình đƣợc viết lại dƣới dạng:x 3 m2x 1Số nghiệm của phƣơng trình là số giao điểm của (C):Lập BBT :x 1/3 y’ + 0 y 101www.MATHVN.comy x 3và đƣờng thẳng: y = m.2x 1Toaùn Hoïc1KL: m 1 m 10 : phƣơng trình vô nghiệm.1 m 1hoặc m 10: phƣơng trình có nghiệm duy nhất.1 m 10 : phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt.Ví dụ 5: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 1 3 13x x x x m , (1)Giải: ĐK: 1x 3. Đặt t x 1 3 x , lập BBT của t(x) với 1x 3 ta có 2 t 21Khi đó phƣơng trình (1) trở thành: t 2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với 2 t 2 từ đó2kết luận: 1m 2 .Vaán ñeà 8:PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI1/.A BB 0A B A BB 0A B2/. A B A Bf ( x) g(x)Chuù yù:x 0f ( x ) g(x)f ( x) g(x)x 0Vaán ñeà 9:BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI1/.B A BA B 2/.B 0A B 0A BB B 0A BB 03/.AB A2 B2Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 54 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1:BAÛNG TÍCH PHAÂN1. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz :babaf ( x)dx F(x) F(b) F(a)vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a, b}2. Tích phaân töøng phaàn :baudv [ u.v]babavduvôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b]3. Ñoåi cô soá :b f ( x)dx a.'f (t) ( t)dtvôùi x = (t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ’ (t) lieân tuïc treân [a, b] , t a = (), b = (), f[(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [, ]4. Tính chaát :ba) ( x)dx aaaf f ( x)dxb) f ( x)dx 0bcabc) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dxabad) [( x) g(x)]dx f ( x)dx abbf g(x)dxe) Kf ( x)dx K f ( x)dx , K af) Neáu m f(x) M thì5. Baûng tích phaân :babam( b a) f ( x)dx M ( b a)abcbaRTT10dx Cdx x CCoâng thöùcVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 55 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com 1 x x dx c 1( 1)2 1 1 ( ax b) ( ax b)dx . ca 1311 dx c 1x ( 1)x( 1)4dx1 c 1( ax b)a( 1)(ax b)( 1)5dx Ln x cx6dx 1 Lnax b cax b a7 Kdx Kx c , K R8x x e dx e c9baxb e dx e ca10xx a a dx cln a11 Sinxdx Cosx cax 1121 Sin ( ax b)dx Cos(ax b) ca13 Cosxdx Sinx c141Cos ( ax b)dx Sin(ax b) ca15dx Tanx c2Cos x16dx Cotx C2Sin x17dx arcTanx c2x 118dx 1 x arcTan c2 2x a a a19dx 1 x a ln c2 2x a 2ax a20dx 1 a x ln c2 2a x 2aa x21 dxx arcSin c2 2a x a( a 0)22dx2 ln x x a c2x aToaùn HoïcVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 56 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com22 2 x 2 2 a x23 a x dx a x arcSin c ( a 0)22 aToaùn Hoïc242 x 2 a2 x a dx x a ln x x a2 2 cdx 1 x a25 ln C( x a)(x b)a b x b26dx x ln tan Csin x 227dx x ln tan Ccos x 2 4 dx 1 x 1 x28 arctan C2 2 2 2 2 2( x a ) 2a x a a a29bebx f(t)dtChú ý: f(e )dx a e a tLöu yù: Ñoái vôùi caùc baøi tích phaân daïng löôïng giaùc nhôù aùp duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc phuø hôïp ñeå giaûi.Vaán ñeà 2:Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soábDaïng 1: Giaû söû ta caàn tính g( x)dx .baNeáu vieát ñöôïc g(x) döôùi daïng: ub ( ) g( x) dx f ( u)duu( a)Daïng 2: Giaû söû ta caàn tính f ( x)dx .ag( x) f u( x) . u'( x)thìÑaët x = x(t) (t K) vaø a, b K thoaû maõn = x(a), = x(b)bthì f ( x) dx f x( t) x '( t) dt g( t)dtaaDaïng 2 thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:bg( t) f x( t) . x'( t)Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 57 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013f(x) coù chöùawww.MATHVN.comCaùch ñoåi bieánToaùn HoïchoaëchoaëchoaëcVaán ñeà 3:Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaànVôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau:Thứ tự đặt u: Logarit – Đa thức -Lượng giác - MũbVaán ñeà 4:Thieát laäp coâng thöùc truy hoàiGiaû söû caàn tính tích phaân I f ( x, n)dx (n N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta thöôøng gaëp moät soánayeâu caàu sau: Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn I n theo caùc I n-k (1 k n). Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. Tính moät giaù trò I cuï theå naøo ñoù.n 01. Dieän tích hình phaúngVaán ñeà 5:ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:– Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].– Truïc hoaønh.– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b.laø: S f ( x)dx (1)a Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:– Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].– Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b. laø:bS f ( x) g( x)dx(2)aChuù yù:bVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 58 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì:bab f ( x) dx f ( x)dxaToaùn Hoïc Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân.Ta coù theå laøm nhö sau:Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm ñöôïc 2 nghieämc, d (c < d).Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn:b c d bf ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx a a c dc d b = f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dxa c d(vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu) Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:– Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y)(g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d])– Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d.2. Theå tích vaät theådS g( y) h( y)dyc Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b.S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi ñieåm coù hoaønh ñoäx (a x b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].Theå tích cuûa B laø: V S( x)dxba Theå tích cuûa khoái troøn xoay:Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:(C): y = f(x), truïc hoaønh, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh truïc Ox:bV f 2 ( x)dxwww.MATHVN.comaChuù yù: Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay xung quanh truïcOy:d(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d laø: V g 2 ( y)dycVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 59 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1:MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN VAØ THÖÔØNG DUØNG TRONG VIEÄC GIAÛI TOAÙNHÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN.TT HÌNH VEÕ KIEÁN THÖÙC1dd// // d aa//b b d aa d bb 2 a// neáu vaø chæ neáu treân coù a’ , a’//a3d daa a // da// 4d da // a // da// a5 Neáu chöùa a vaø b caét nhau, trong ñoù a// , b// thì // ba6PabPaP b a // b// 7 Neáu P // Q // R thì chuùng seõ chaén tr6n hai caùt tuyeán baát kyø a, ba bnhöõng ñoaïn thaúng tæ leä.A A'P' 'AB A BB'' 'BBC B CQRCC'8Ra dbP QP Q dR P a a // b // dR Q bd//R9 Neáu a thì a b, b 10 a neáu vaø chæ neáu a vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng b, c caétnhau trong Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 60 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com11 Neáu a// b vaø a thì b Neáu a thì b thì a//ba bToaùn Hoïc12 // vaø a thì a Neáu a vaø a thì //a13 b Neáu a cheùo ba* Coù moä tvaø chæ moät ñöôøng vuoâng goùc chung a* Coù moät vaø chæ moät maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng naøy vaø song bsong vôùi ñöôøng kia* Coù hai maët phaúng song song vaø moãi maët chöùa moät ñöôøng14 OÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC VAØ ÑÖÔØNG XIEÂN* Ñoaïn vuoâng goùc chung OH laø ñoaïn ngaén nhaát* Hai ñoaïn xieân daøi baèng nhau coù hình chieáu daøi baèng nhau vaøngöôïc laïi.BH AA'OA = OA’ HA = HA’*Hai ñoaïn xieân coù ñoä daøi khaùc nhau thì ñoaïn xieân daøi hôn coù hìnhchieáu daøi hôn vaø ngöôïc laïi.OB > OA HB > HA15 bÑÒNH LYÙ 3 ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙCaa vaø ñöôøng xieân b coù hình chieáu vuoâng goùc treân laø b’ , tab''coù : a b a b16ada a Neáu vaø d thì vôùi moïi a maø ad thìa dd P d P PP 17 S : Dieän tích cuûa moät hình phaúng HS’: Dieän tích cuûa hình chieáu vuoâng goùc cuûa H laø H’ : Goùc giöõa maët phaúng chöùa H vaø maët phaúng chöùa H’'S S.CosVaán ñeà 2:Khoaûng caùch trong khoâng gian1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳngPhương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểmđó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :‣ Cách 1 :Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .m P Q .Xác định Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 61 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Dựng MH m P Q,MH Psuy ra MH là đoạn cần tìm .Cách 2: Dựng MH // d o Chú ý :MA / / d M , d A, .‣ Nếu www.MATHVN.com Toaùn Hoïc‣ Nếu MA Id M,d A,IMIA2. Khoảng cách từ một đƣờng thẳng đến một mặt phẳng:aP‣ Khi d a, P0. a P‣ Khi a//Pd a, P d A,Pvới A P .3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :‣ Khi P Q. d P, Q0 P Q‣ Khi P // Q với A P. , , d P Q d M Q4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng‣ Khi '. d , ' 0 ' ‣ Khi / / ' d , ' d M , ' d N, với M , N ' .‣ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau và ' là đƣờng thẳng a cắt ở M và cắt ' ở N đồng thời vuông góc với cả và ' . Đoạn MN đƣợc gọi là đoạn vuông góc chung của hai đƣờngthẳng chéo nhau và ' . Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạnvuông góc chung của hai đƣờngthẳng đó .Phương pháp :‣ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P).‣ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng . Khoảng cách giữa hai mặtphẳng đó là khoảng cách cần tìm .‣ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau :Version 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 62 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 www.MATHVN.com‣ Cách 1: Khi ab Dựng một mp P b,Patại H . Trong (P) dựng HK b tại K . Đoạn HK là đoạn vuông gócchung của a và b .‣ Cách 2: Dựng P b, P/ / a . Dựng a' hchPa, bằng cách lấy MaMN , lúc đó a’ làdựng đoạn đƣờng thẳng đi qua N và song song a . Gọi H a' b, dựng HK // MN HK là đoạn vuông góc chung cần tìm .Toaùn HoïcVaán ñeà 3:Caùch xaùc ñònh goùc trong khoâng gian1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:Choïn ñieåm O tuyø yùDöïng qua O: a’// a; b’// bGoùc (a,b) = goùc (a’,b’) = AOBThöôøng choïn ñieåm O a hoaëc OaOa'bAb'B2. Goùc giöõa hai maët phaúng:Cách 1 : Dùng định nghĩa :Löu yù: . P , Q a , b trong đó : aP bQCách 2 : Dùng nhận xét :R P Q .R P p P, Q p,qR QqCách 3 : Dùng hệ quả :M Q.H hchM ,P P Q MNHHN m P Q00 903. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng:a a, 90 ; 0a// 0a, 0;a a a, a, a'a' hch ao Để tìm a' hch a ta lấy tùy ý điểm M a , dựng MH ' , a, MAHhch a a AH A a tại H , suy raVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 63 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 4:1. Hình chóp tam giác đềuShA αβB2. Hình chóp tứ giác đềuSADβIα HBCCHÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆTHình chóp tam giác đều:Đáy là tam giác đềuCác mặt bên là những tam giác cânĐặc biệt: Hình tứ diện đều có:Đáy là tam giác đềuCác mặt bên là những tam giác đềuCách vẽ:Vẽ đáy ABCVẽ trung tuyến AIDựng trọng tâm HVẽ SH (ABC)Ta có:SH là chiều cao của hình chópGóc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂Hình chóp tứ giác đều:Đáy là hình vuông.Các mặt bên là những tam giác cânCách vẽ:Vẽ đáy ABCDDựng giao điểm H của hai đƣờng chéo AC và BDVẽ SH (ABCD)Ta có:SH là chiều cao của hình chópGóc giữa cạnh bên và mặt đáy là: ̂Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: ̂3. Hình chóp có một canh bên vuông góc với đáySAβCSA (ABC)Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂αBSApDSA (ABCD)Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: ̂Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: ̂Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: ̂BαβCVersion 2 – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com- 64 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134. Phƣơng pháp xác định đƣờng cao các loại khối chóp:Toaùn Hoïc- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao.- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đƣờng cao chính là đƣờng kẻ từ mặt bên đến giaotuyến.- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đƣờng cao chính là giao tuyến của 2mặt kề nhau đó.- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thìchân đƣờng cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đƣờng cao chính là tâmvòng tròn nội tiếp đáy.1. DIỆN TÍCH:1.1.Vaán ñeà 5:www.MATHVN.comDIEÄN TÍCH & THEÅ TÍCH HÌNH CHOÙPDiện tích xung quanh, toàn phần của hình chóp ĐỀU:n: số cạnh đáy;a: độ dài cạnh đáy;d: độ dài trung đoạn.Diện tích toàn phần:B: là diện tích đáy.2. THỂ TÍCH:Thể tích khối chóp:V = 1 Bh3(diện tích đáy là đa giác)Thể tích tứ diện:a, b: độ dài hai cạnh đồid: độ dài đoạn vuông góc chungα: góc của hai cạnh đối3. TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý)+ Cách 1:AMSooo+ Cách 2ooXác định đa giác đáyXác định đƣờng cao ( phải chứng minh đƣờng cao vuông gới với mặt phẳng đáy)Tính thể tích khối chóp theo công thứcXác định đa giác đáyTình các tỷ số độ dài của đƣờng cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếucùng đƣờng cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cầntìm bằng k lần thể tích khối đã cho+ Cách 3: dùng tỷ số thể tíchNBKnCHai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ởđỉnh STa có :VS . MNKSM SN SK . .V SA SB SCwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 65 -S.ABC

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013DSAOIToaùn HoïcCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳngđáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCDMà :SABCD2 a ;IOwww.MATHVN.comGiảiGọi O là giao điểm AC và BDTa có : IO // SA và SA (ABCD) IO (ABCD)B1 VI . ABCD . SABCD. IO3C3SA1 2 a a ; Vậy VI . ABCD . a . a 23 34. HÌNH CHÓP CỤTSD'A'B'C'Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy vàthiết diện song song với đáyHình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụtđều.ABHCD4.1.DIỆN TÍCHDiện tích xung quanh của hình chóp cụt đều: ( )n: số cạnh đáy; a, a’: cạnh đáyd: độ dài trong đoạn, chiều cao của mặt bên4.2.THỂ TÍCHV: thể tích hình chóp cụt: thể tích hình chóp: thể tích hình chóp trên( ) ( √ )B, B’: là diện tích đáy; h: là chiều caoVaán ñeà 6:HÌNH LĂNG TRỤ- Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều- Lăng trụ đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau- Lăng trụ xiên có các cạnh bên không vuông góc với đáy1. DIỆN TÍCH:Lăng trụ :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 66 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Trong đó:Lăng trụ đứng:Trong đó: p: chu vi đáyh: chiều caop: chu vi thiết diện phẳngl: độ dài cạnh bênwww.MATHVN.comToaùn Hoïc2. THỂ TÍCH:- Thể tích lăng trụ: V= B.h ; trong đó: {- Thể tích lăng trụ tam giác cụt:Lăng trụ tam giác cụt là hình đa diện có hai đáy là tam giác có cạnh bên song song không bằng nhau; trong đó {Vaán ñeà 7:HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU1. HÌNH TRỤ1.1. Diện tích:Diện tích xung quanh:Diện tích toàn phần:Trong đó: R: bán kính đáy; h: chiều cao1.2.Thể tích:2. HÌNH NÓN2.1. Diện tích:; R: bán kính đáy; h: chiều caoDiện tích xung quanh:Diện tích toàn phần:Trong đó: R: bán kính đáy; l: độ dài đƣờng sinh2.2.Thể tích:h R2 2 23. HÌNH NÓN CỤT3.1. Diện tích:; R: bán kính đáy; h: chiều caoDiện tích xung quanh: ( )Diện tích toàn phần: ( )Trong đó: R, R’: bán kính đáy; l: độ dài đƣờng sinhwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 67 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133.2. Thể tích:( ) ; R,R’: bán kính đáy; h: chiều caoToaùn Hoïc4. HÌNH CẦUDiện tích mặt cầu:; trong đó: R: bán kính mặt cầuThể tích mặt cầu:Vaán ñeà 8:GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ1. PHÖÔNG PHAÙP:Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp (chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O)Böôùc 2: Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm coù lieân quan(coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát)Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo : YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân caùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïañoä). Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúnghaøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng.Böôùc 3: Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùnCaùc daïng toaùn thöôøng gaëp: Ñoä daøi ñoïan thaúng Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Goùc giöõa hai maët phaúng Theå tích khoái ña dieän Dieän tích thieát dieän Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tíchBoå sung kieán thöùc :1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S ' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu'S S.cos2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A ' , B ' , C ' khaùc vôùi STa luoân coù:V' ' 'S.A'B'C' SA SB SC . .V SA SB SCS.ABC2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gianTa có : Ox, Oy,Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ƣutiên chọn các đƣờng đó lần lƣợt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 68 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVới hình lập phƣơng hoặc hình hộp chữ nhậtABCD . A'B'C'D'Với hình lập phương .Chọn hệ trục tọa độ sao cho :A’D’A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C( a; a;0) ; D(0; a ;0)B’C’A'(0;0; a) ; B'( a;0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0; a; a)ADVới hình hộp chữ nhật.Chọn hệ trục tọa độ sao cho :A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; C( a; b;0) ; D(0; b ;0)A'(0;0; c) ; B'( a;0; c) ; C '( a; b; c) ; D'(0; b ;c)Với hình hộp đáy là hình thoiBABCD . A'B'C'D'CChọn hệ trục tọa độ sao cho :- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của haiđƣờng chéo của hình thoi ABCD- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáyB’BA’AOO’CCD’DVới hình chóp tứ giác đều S.ABCDChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽGiả sử cạnh hình vuông bằng a và đƣờng caoSO hChọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông a 2 Khi đó : A 2 ;0;0; Ca;0; 0A 2 2 a 2 a 2 B 0; ;0 ; D 0; ;0 ; S(0;0; h)2 2 BOSCDVới hình chóp tam giác đều S.ABCChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽGiả sử cạnh tam giác đều bằng a và đƣờng caobằng h . Gọi I là trung điểm của BCChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choI(0;0;0)Swww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013AC - 69 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 a a Khi đó : A;0;0 ; B ;0;0 2 2 a 3 a 3 C0; ;0 ; S 0; ; h2 6 Toaùn HoïcVới hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)ABCD là hình chữ nhật AB a;AD bchiều cao bằng hSChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choA(0;0;0)Khi đó : Ba;0;0 ; C a; b ;0D0; b;0 ; S(0;0; h )BAOCDVới hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)ABCD là hình thoi cạnh achiều cao bằng hSChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choO(0;0;0)ADOBCVới hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại ATam giác ABC vuông tại A cóAB a;AC b đƣờng cao bằng h .Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choA(0;0;0)SACBwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 70 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Khi đó : Ba;0;0 ; C0; b ;0S0;0;hwww.MATHVN.comToaùn HoïcVới hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại BTam giác ABC vuông tại B cóBA a;BC b đƣờng cao bằng h .SChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choB(0;0;0)Khi đó : Aa;0;0 ; C0; b ;0S a;0;h ABCVới hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại Svà ABC vuông tại C ABC vuông tại C CA a;CB bchiều cao bằng hSH là trung điểm của ABChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choC(0;0;0)Khi đó : Aa;0;0 ; B0; b ;0a bS( ; ; h )2 2AHCBVới hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại Svà ABC vuông tại A ABC vuông tại A AB a;AC bchiều cao bằng hSH là trung điểm của ABChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choA(0;0;0)ACwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 H- 71 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Khi đó : Ba;0;0 ; C0; b ;0aS(0; ; h )2www.MATHVN.comToaùn HoïcVới hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại Svà ABC vuông cân tại CTam giác ABC vuông cân tại C cóCA CB a đƣờng cao bằng h .H là trung điểm của ABSChọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ sao choH(0;0;0)AHBaaKhi đó : C ;0;0 ; A 0; ;0 2 2 a B0; ;0 ; S0;0;h 2 Cwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 72 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1:BAÁT ÑAÚNG THÖÙC1. Ñònh nghóa :Daïng : A > B, A BA < B, A B2. Tính chaát :a) a b b aa bb) a cb cc) a b a c b cac bc,c 0d) a b ac bc,c 0a be) a c b dc da b 0f) ac bdc d 011 ; khi ab0a bg) a b 11 ; khi ab0a b3. BÑT Coâ Si :Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a 1 , a 2 , a 3 ,......, a na1 a2 a3 ....... anna1a2a3.......anhay a a a123....... an a 1 a2 a3n ....... aDaáu ñaúng thöùc xaûy ra a 1 = a 2 = a 3 = ......... = a n4. BÑT Bunhia Coâp ski (chú ý)Cho a 1 , a 2 , a 3 ,......, a n , b 1 , b 2 , b 3 ,......, b n laø nhöõng soá töïc khi ñoù:2 2 22 2( a b a b ..... a b ) ( a a .... a )( b b221 1 2 2n n 1 2n 1 2.... bnDaáu ñaúng thöùc xaûy ra a i = k.b i , i = 1 , 2 , 3,......, n5. BÑT BecnuLi :nnn)Cho : a > –1, n Na 0Ñaúng thöùc xaûy ra n 1Ta coù : (1 + a) n 1 + nawww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 73 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20136. BÑT tam giaùc :A B A BÑaúng thöùc xaûy ra AB 0www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 2: Cấp số cộng, cấp số nhân1. Cấp số cộng:. Định nghĩa: Dãy số u1, u2,.....,ungọi là một cấp số cộng có công sai d nếu: uk uk1 d. Số hạng thứ n: u n u1 ( n 1)d. Tổng n số hạng đầu tiên:n nSn u1 u2.... un ( u1 un) 2u1(n 1)d2 22. Cấp số nhân:- Định nghĩa: Dãy số u1, u2,.....,ungọi là một cấp số nhân có công bội q nếu: uk uk1.q . Số hạng thứ n:. n1un u1 q. Tổng n số hạng đầu tiên:Sn u u3. Ví duï:n1q .... un u11q1 2(q 1)9. a. Chứng minh:2 2 2 a b c ab bc caa b c ab bc ca; a,b,c 03 32 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3a b c ab bc ca 3 3bc ca ab5. Chứng minh: a b c ; a, b, c 0a b cÁp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm2bc ca abc 2 2ca b abbc ca ab a b c2bc ba b ac, 2 2ba c ac2ca ab a bc, 2 2a b c bc.a b ca b c 319. Chứng minh: ; a , b , c > 0Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.b c a c a b 2a + b + c = 1 (X + Y + Z)2Y Z X Z X Y X Y Za , b , c 2 2 2a b c 1 Y X Z X Z Y 3b c a c a b 2 X Y X Z Y Z 1 2 2 2 332 2 .3x 126. Cho y , x 1. Định x để y đạt GTNN.2 x 1www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 74 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133(x 1) 1 3y 2 x 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm3x 11,2 x 1 :3x 1 1 3 3x 11 3 3y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra 6 x 13 x 1 1 2 2 3x 12 x 1 3 6x 1(loaïi) 36Vậy: Khi x 1thì y đạt GTNN bằng 6 33238. (Đại học 2002 dự bị 6)Toaùn HoïcCho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h a,h b , h c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:1 1 1 1 1 1 3a b c ha hb hcGiaøi1 1 1Ta có diện tích tam giác: S = aha bhb chc2 2 2 h a = 2S a ; h b = 2S b ; h c = 2S c 1 1 1 1 (a b c)h h h 2Sa b c 1 1 11 1 1 1 1 1 1 (a b c) a b c ha hb hc 2S a b c Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) 1 1 1 a b c ≥ 9và vì S = 3 2 , nên ta có: 1 1 1 1 1 1 9 3a b c ha hb hc 344. (Đại học khối D 2005)Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1z x 3 3xy yz zxKhi nào đẳng thức xảy ra?3 3Giaûi: 1 + x 3 + y 3 33 1.x .y = 3xy Tương tự:3 31y z 3yz yzwww.MATHVN.com3 31x y 3xy xy(2);3 3(1)1z x 3zx zx(3)3 3 3 3 3 3Mặt khác 33 3xy yz zx xy yz zx 3 3xy yz zxCộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1.3 3(4)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 75 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïc OM xe12M ( x,y)ye Cho A( x A , y A )B( x B , y B )1). AB x x , y y )(B A B AVaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ :22). AB ( xB xA, yB yA) xA xBx 23). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB : yA yBy 2 xA k.xx1k4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k 1 : yA k.yy 1kPheùp toaùn : Cho a a 1,a )1). a1b1a b a2 b2b 2). a b a b , a )(1 1 2b2.23). m a ( ma 1,ma ) 4). a b a1b1 a2b25).a2a 1 a22(2( b , b 1 2)BB6). a b a b a b 0 7). Cosa,b 1 1 2 2a211. Phöông trình tham soá :x x0 a1ty y0 a2ta b a b11 a22.2b221 b22Vaán ñeà 2:Vectô chæ phöông a a 1,a )(2ÑÖÔØNG THAÚNGwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 76 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20132. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 0) Phaùp vectô n ( A,B) Vectô chæ phöông a ( B,A)( hay a ( B,A)) Heä soá goùcAK B( B 0) Nếu A = 0 nên // Ox ( C = 0 thì Ox) Nếu B = 0 nên // Oy ( C = 0 thì Oy) Ox: y = 0; Oy: x = 03. Phöông trình phaùp daïng :Ax By C 02 2A B2 2A B2 2A BToaùn Hoïc4. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x 0 , y 0 ) coù heä soá goùc K :y y K( x ) 00x5. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(x A , y A ) vaø B(x B , y B ) :(x – x A )(y B – y A ) = (y – y A )(x B – x A )x xAy yAhay x x y yBABA6. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén)x y 1a b7. Phöông trình chính taéc :x x0 y y0 M( x0,y0), a ( a,b)a b * Quy öôùc :x x0y y0 x x00 b 0x x0y y0 y y0a 0 08. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(a, 0), B(0, b) ( ñoaïn chaén ) :x y 1a bLƣu ý: Cho d: Ax + By + C = 0d’ // d d’: Ax + By + C’ = 0 (C’ ≠ C)d’ d d’: Bx – Ay + C’ = 0 hay –Bx + Ay + C’ = 09. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x 0 , y 0 ) ñeán Ax + By + C = 0 :Lƣu ý:Ax0 ByA20 B C2www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 77 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013d(M, Ox) =d(M, Oy) =y MxM10. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :www.MATHVN.comToaùn Hoïcd 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0A1B1D A BD xD y2 C1 C* d 1 caét d 2 D 0D 0 D 0* d1// d2 hay D x 0 D y 0* d d D D x D 01 2yChuù yù : A 2 , B 2 , C 2 0A1B1d 1 caét d 2 A2B2// A1B1Cd d1 2 A B Cd1 d2AA12 2 2A1A2BB12122CC12BB12 C1 C11. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d 1 vaø d 2 :Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Cos Nếu d 1 , d 2 là các đƣờng thẳng không đứng:22n . n112n . n2A21A A B B12 B211A222 B22d 1 : y = k 1 x + b 1 ; d 2 : y = k 2 x + b 2k2 k1tan( d1,d2)1k . k12. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d 1 vaø d 2 :A1x B1y C1A2x B2y C2t1 t2 2 22 2A B A B1121* Chuù yù : Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù Daáu cuûa Phöông trình ñöôøng phaân giaùc Phöông trình ñöôøng phaân giaùc1 2goùc nhoïn taïo bôûi d 1 , d 2 goùc tuø taïo bôûi d 1 , d 2– t 1 = t 2 t 1 = – t 2+ t 1 = – t 2 t 1 = t 222www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 78 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comVaán ñeà 3:ĐƢỜNG TRÒNToaùn Hoïc1. Phƣơng trình đƣờng tròn:Đƣờng tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính RPhƣơng trình chính tắc: (C): (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2Phƣơng trình tổng quát: (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0Trong đó: c = a 2 + b 2 – R 2 R = √Cho đƣờng cong (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0Điều kiện để (C) là đƣờng tròn là: a 2 + b 2 – c > 02. Sự tƣơng giao giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn:Cho (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, có tâm I(a;b), bán kính Rd: Ax + By + C = 0Xét vị trí tƣơng đối giữa (C) và d:Phƣơng pháp 1:d(I,d) > R d không cắt (C)d(I,d) = R d tiếp xúc (C)d(I,d) < R d cắt (C) tại hai điểm phân biệtPhƣơng pháp 2:Xét hệ phƣơng trình tạo bởi d và (C):2 2x y 2ax 2by c 0Ax By C 0Hệ vô nghiệmHệ có nghiệm képd không cắt (C)d tiếp xúc (C)Hệ có hai nghiệm phân biệtd cắt (C) tại hai điểm phân biệt.3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn3.1.Cho (C): x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, có tâm I(a;b), bán kính Rd: Ax + By + C = 0Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng:Hay ( )( ) ( )( )3.2. Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x 0 ;y 0 )Gọi d là đƣờng thẳng qua M(x 0 ; y 0 ) có hệ số góc k( )d tiếp xúc (C) d(I,d) = R3.3. Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đƣờng thẳng : Ax + By + C = 0 ( )Gọi d [ ( )d tiếp xúc (C) d(I, d) = Rwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 79 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133.4.Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trƣớc hệ số góc k:Tiếp tuyến có hệ số góc k có dạng:: y = kx + b : kx – y + b = 0 tiếp xúc (C) d(I, d) = Rwww.MATHVN.comToaùn Hoïc4. Phƣơng trình tích của một điểm M(x 0 ; y 0 ) đối với đƣờng tròn (C):2 2P x y2ax by cM /( C )0 0 020P M/(C) > 0: M nằm ngoài đƣờng trònP M/(C) < 0: M nằm trong đƣờng trònP M/(C) = 0: M nằm trên đƣờng tròn5. Trục đẳng thứcCho (C 1 ): x 2 + y 2 – 2a 1 x – 2by 1 + c 1 = 0, (C 2 ): x 2 + y 2 – 2a 2 x – 2by 2 + c 2 = 0Khi đó phƣơng trình trục đẳng thức: : 2(a 1 – a 2 )x + 2(b 1 – b 2 )y – (c 1 – c 2 ) = 0Vaán ñeà 4:CAÙC COÂNG THÖÙC HÌNH HOÏC CÔ BAÛN:1. Tam giác đều cạnh a:a) Đƣờng cao: h = a 3a 322 ; b) S = 4c) Đƣờng cao cũng là đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng trung trực2. Tam giác vuông:a) S = 1 2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)b) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền3. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):a) S = 1 2 a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)b) Cạnh huyền bằng a 24. Nửa tam giác đều:a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30 o hoặc 60 oa 3b) BC = 2AB c) AC =25. Tam giác cân:1 a) S = ah2(h: đƣờng cao; a: cạnh đáy)d) S =2a 38b) Đƣờng cao hạ từ đỉnh cũng là đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng trung trực6. Hình chữ nhật:S = ab (a, b là các kích thƣớc)7. Hình thoi:S = 1 2 d 1.d 2 (d 1 , d 2 là 2 đƣờng chéo)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 80 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20138. Hình vuông:a) S = a 2 b) Đƣờng chéo bằng a 29. Hình bình hành:S = ah (h: đƣờng cao; a: cạnh đáy)10. Đƣờng tròn:a) C = 2R (R: bán kính đƣờng tròn)b) S = R 2 (R: bán kính đƣờng tròn)11. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁCwww.MATHVN.com1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giáca) Giao điểm của 3 đƣờng trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâmToaùn Hoïcb) * BG = 2 3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1 3 BN2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đƣờng cao của tam giác gọi là trực tâm3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đƣờng trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đƣờng phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giácVaán ñeà 5:ELIPLyù thuyeátPT chính taécxayb2 22 22 2( a b )12 22 22 2( a b )www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 81 -xaybTruïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2bTruïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2aLieân heä a, b, c c 2 = a 2 – b 2 c 2 = b 2 – a 2Tieâu ñieåm F 1 (– c, 0), F 2 ( c, 0) F 1 (0,– c), F 2 ( 0, c)ÑænhA 1,2 ( ± a, 0)A 1,2 ( ± a, 0)B 1,2 (0, ± b)B 1,2 (0, ± b)Taâm saicce e abÑöôøng chuaånabx y eeBaùn kính qua tieâuMF 1 = a + exMF 1 = b + eyMF 2 = a – exMF 2 = b – eyPt tieáp tuyeán taïi M(x 0 , y 0 )x0xy0yx0xy0y 1 12 2 2 2a ba bPt hình chöõ nhaät cô sôûxaxay by bKhoảng cách giữa 2 đƣờngchuẩn bằng nhau1. Tiếp tuyến Elip:2 2x yCho Elip (E): 1a b2a 2c2a 2c1

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcPhƣơng trình tiếp tuyến của (E) tại M(x 0 ; y 0 )x.x y.y0 022. 2d : 1b x.x2 20 a y y0 a ba bĐƣờng thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E) a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 22Vaán ñeà 6:HYPEBOLPT chính taéc2 22 2x yy x 1 12 2 2 2Lyù thuyeáta bb aTruïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2bTruïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2aLieân heä a, b, c c 2 = a 2 + b 2 c 2 = a 2 + b 2Tieâu ñieåm F 1 (– c, 0), F 2 ( c, 0) F 1 (0,– c), F 2 ( 0, c)Ñænh A 1,2 ( ± a, 0) B 1,2 (0, ± b)Taâm saicce e abÑöôøng chuaånabx y eeTieäm caänbby xy xaaM nhaùnh phaûiMF 1 = ex + aM nhaùnh phaûiMF 1 = ey + bBaùn kính qua tieâuMF 2 = ex – aMF 2 = ey – bM nhaùnh traùiM nhaùnh traùiMF 1 = – (ex + a)MF 2 = – (ex – a)MF 1 = – (ey + b)MF 2 = – (ey – b)Khoảng cách giữa hai2a 22a 2đƣờng chuẩn bằng nhaucc1. Tiếp tuyến của Hyperbol:2 2x yCho (H): 12 2a bPhƣơng trình tiếp tuyến của (H) tại M(x 0 ; y 0 )x.x0 y.y0d : 12 b2aĐƣờng thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H) a 2 A 2 – b 2 B 2 = C 2Vaán ñeà 7:PARAPOLPt chính taécLyù thuyeáty 2 = 2px y 2 = – 2py x 2 = 2px x 2 = – 2pxTieâu ñieåmpF ,0p F ,0p F 0, p F 0, 2 2 2 2 Ñöôøng chuaån ppppx x y y 2222www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 82 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comBán kính qua tiêuđiểm1. Tiếp tuyến của Parapol (P): y 2 = 2pxPhƣơng trình tiếp tuyến của (P) tại M(x 0 ; y 0 ) có dạng d: y.y 0 = p(x + x 0 )Điều kiện để đƣờng thẳng : Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): B 2 p = 2ACToaùn Hoïc----------------------------------------------------------------M x, y,z OM x e y e z e 1 2 3Vaán ñeà 1: VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ : a ( a1, a2, a3) a a1 e1 a2 e2 a3 e3 Cho A( xA, yA, zA), B( xB, yB, zB)z1). AB ( xB xA, yB yA, zB zA)2).AB ( x x ) ( y y ) ( z z )2 2 2B A B A B A4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 : xA kxBx1k yA kyBy 1k zA kzBz 1kxOyVaán ñeà 2:Pheùp toaùn Cho a ( a1, a2, a3)1 2 3a1 b1 1). a b a2 b2a3 b3b 2). a b a1 b1 a2 b2 a3 b3( , , )3). m a ma1 ma2 ma3( , , )4). a b a1b 1 a2b2 a3b3( b , b , b )5).2 2 2a a1 a2 a3 6). a b a1b 1 a2b2 a3b3 0 a1b 1a2b2 a3b37). Cos a,b a a a . b b b2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 83 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20138). sin ab, a b a b a b a b a b a b 2 2 21 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2a a a b b b2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 39). Tích voâ höôùng cuûa hai Vectô a2 a3 a3a1 a1 a2ab , , , b2 b3 b3 b1 b1 b 2 a1 a2a31. Véctơ a cùng phƣơng với b b2 b2 b3xA xB yA yB zA zB2. điểm I của đoạn AB : xI ; yI ; zI2 2 23. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :xA xB xC yA yB yC zA zB zCxG ; yG ; zG3 3 34. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :x x x x y y y y z z z zxG ; yG ; zG4 4 4A B C D A B C d A B C DToaùn Hoïc1. Định nghĩa :Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a ( a1; a2; a3), b ( b1 ; b2; b3) .Tích có hƣớng của hai véctơ a và b là một véctơ, kí hiệu là ab, , và đƣợc xác định nhƣ sau : a2 a3 a3 a1 a1 a2ab , ; ; b2 b3b3 b1b1 b22. Tính chất :1. a cùng phƣơng với b ab, 02. ab, vuông góc với cả hai véctơ a và b3. b, a a,b 4. a, b a . b .sin( a; b)5. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ : Ba véctơ a; b;c đồng phẳng a, b . c 0Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện AB, AC . AD 01 121. Tính diện tích tam giác : S , . . 2ABC AB ACAB AC AB AC2 22. Tính thể tích hình hộp : VABCD. A' B' C ' D' AB, AC . AD13. Tính thể tích tứ diện : VABCD AB, AC.AD6 www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 84 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Toaùn Hoïc4. Tìm tọa độ chân đƣờng cao của tứ diện : AH là đƣờng cao của tứ diện ABCD. Tọa độ điểm H choAH BC AH. BC 0bởi : AH BD AH. BD 0BC, BD, BH ñoàng phaúng [ BC, BD] BH 0Vaán ñeà 3:PHÖÔNG TRÌNH CUÛA MAËT PHAÚNG1. Phƣơng trình tham số :Mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0; y0; z0)và có cặp VTCP a ( a1; a2; a3),tham số là :x x0 a1t 1 b1t2y y0 a2t1 b2t2 ( t1, t2 )z z0 a3t1 b3t22. Phƣơng trình tổng quát :Mặt phẳng ( ) đi qua M ( x0; y0; z0)và có VTPT n ( A; B; C)cóphƣơng trình tổng quát là :A( x x ) B( y y ) C( z z ) 00 0 0 Mỗi mặt phẳng đều có phƣơng trình tổng quát dạng :Ax By Cz D 0 với2 2 2A B C 0 (1) b b1 b2 b3 Ngƣợc lại, mỗi phƣơng trình có dạng (1) đều là phƣơng trình của mộtmặt phẳng và mặt phẳng đó có một VTPT là n ( A; B; C).3. Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn :Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ Ovà cắt Ox tại Aa ( ;0;0) , cắt Oy tại B(0; b ;0)cắt Oz tại C(0;0; c ) có phƣơng trình là :x y z( ) : 1.a b c4. Các dạng chính tắc :( ; ; ) có phƣơng trìnhMặt phẳng ( )Phƣơng trình VTPT1 Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) n ( A; B; C)2 Song song Ox hay vuông góc (Oyz) By + Cz + D = 0 n (0; B; C)3 Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 n (0; B; C)4 Song song Oy hay vuông góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 n ( A;0; C)5 Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 n ( A;0; C)6 Song song Oz hay vuông góc (Oxy) Ax + By + D = 0 n ( A; B;0)7 Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 n ( A; B;0)8 Vuông góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 n(0;0; C)ACOacbxzBn ( A; B; C)M 0ywww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 85 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20139 Trùng (Oxy) z = 0 n (0;0;1)10 Vuông góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 n( A;0;0)11 Trùng (Oyz) x = 0 n (1;0;0)12 Vuông góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 n(0; B;0)13 Trùng (Oxz) y = 0 n (0;1;0)5. Chùm mặt phẳng : Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của haimặt phẳng ( )và ( ) đƣợc gọi là một chùm mặt phẳng. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng( ) : A1 x B1 y C1z D1 0 và ( ) : A2 x B2 y C2z D2 0 .Khi đó mỗi mặt phẳng (P) chứa (d) có phƣơng trình dạng :m A x B y C z D n A x B y C z D m n2 2(1111) (2222) 0, 06. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1z D1 0 và ( ) : A2 x B2 y C2z D2 0 .1. ( )cắt ( )2. ( ) // ( )3. ( ) ( ) A : B : C A : B : C ;1 1 1 2 2 2A B C D A B C D1 1 1 12 2 2 2A B C D ;A B C D1 1 1 12 2 2 24. ( ) ( ) A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0Toaùn Hoïc7. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNGGóc giữa hai mặt phẳng ( 1) : A1 x B1 y C1z D1 0 và ( 2) : A2 x B2 y C2z D2 0 là góc 0 0(với 0 90 ) thỏa mãn : cospháp tuyến của ( 1);( 2).nn1.2 A1 A2 B1 B2 C1C2n . n A B C A B C2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 28. KHOẢNG CÁCH1. Khoảng cách từ điểm M0( x0; y0; z0)đến mặt phẳng ( ): Ax By Cz D 0 làAx0 By0 Cz0 DdM ( , )2 2 2A B C2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : d( , ) d( M, ), M ( ).3. Khoảng cách từ M0( x0; y0; z0)đến các mặt phẳng tọa độ :Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ làd M;mpOxyM0( x0; y0; z0)www.MATHVN.comOxy 0d M;mpOxzOxz 0d M;mpOyzOyz 0trong đó n1;n2là hai véctơwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 86 -zyx

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 4:PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG1. CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNGĐi qua VTCP Phƣơng trình Ghi chúM ( x0; y0; z0)u ( a1, a2, a3)A( xA; yA; zA)B( xB; yB; zB)AB1) Phƣơng trình tham số : x x0 a1ty y0 a2t ;( t ) z z0 a3t2) Phƣơng trình chính tắc :x x y y z z a a a0 0 01 2 3x x y y z z x z y y z z3) A A AB A B A B ANếu mẫu bằng 0 thì tử bằng0.Giao tuyếncủa hai mặtphẳng4) Phƣơng trình tổng quát :A1 x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2z D2 0A : B : C A : B : Cvới1 1 1 2 2 21.1.1.2.Phƣơng trình của các trục tọa độ :xti 1;0;0 Ox : y 0z 0x 0j 0;1;0 Oy : y tz 0x 0k 0;0;1 Oz : y 0z tChuyển dạng phƣơng trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :Trục Ox có VTCP Trục Oy có VTCP Trục Oz có VTCP n1 A1 ; B1 ; C1VTPT của hai mặt phẳng là : VTCP của d : u n1,n 2 n2 A2 ; B2;C 2x x y y z zTìm điểm M0( x0; y0; z0) ( ) ( ) Phƣơng trình chính tắc : a1 a2 a3Đặt tỉ số này bằng t Phƣơng trình tham số2. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG0 0 0Giả sử : d1qua A v à có VTCP l à u d2qua B v à có VTCP l à vwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 87 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20131. d1và d2chéo nhau 3 véctơ u; v;AB không đồng phẳng u; u . AB 0.2. d1và d2cắt nhau 3 veùctô u ; v ; AB khoâng ñoàng phaúng 2 veùctô u;v khoâng cuøng phöông3. d1song song d24. d1trùng d2uv; 0 u; AB 0uv; 0 u; AB 05. d 1 d 2 uv . 06. d 1 và d 2 đồng phẳng u, v AB 0www.MATHVN.comuv; 0 u; v . AB 0Toaùn Hoïc3. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG+ Đƣờng thẳng qua M ( x0; y0; z0)d : . có VTCP là u ( a; b; c)+ Mặt phẳng ( ) có VTPT là n ( A; B; C)1. d cắt ( ) un. 0 ;un . 02. d song song với ( ) M ( P)un . 03. d nằm trong ( ) ; M ( P)4. d ( ) n cuøng phöông vôùi u a : b : c A: B : CduMnnMudnMudun4. GÓC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG4.1.Góc giữa hai đƣờng thẳng :d 1u ( a ; a ; a )1 2 3+ d 1 đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và có VTCP u ( a1; a2; a3)+ d 2 đi qua M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) và có VTCP v ( b1 ; b2 ; b3)0 0Góc 0 ;90 giữa d 1 , d 2 xác định bởi :d 2v ( b ; b ; b )000 901 2 3uv . a1b 1a2b2 a3b3cos cos( uv , ) u . v a a a b b b2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 88 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134.2. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng :+ d đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP u ( a; b; c)+ mp(α) có VTPT n ( A; B; C)0 0Góc 0 ;90 giữa d và mp(α) xác định bởi :du ( a; b; c)n ( A; B; C)0 900 0Toaùn Hoïcun . aA bB cCsin cos( un , ) u . n a b c A B C2 2 2 2 2 25. KHOẢNG CÁCH5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM) đến mặt phẳng ( ): Ax By Cz D 0Ax By Cz DM M M ,( ) 2 2 2d M. Nếu ( )song song với ( )A B C. Nếu đƣờng thẳng song song với mp ( ) thì d ( ),( ) d M ( ),( ) thì d ,( ) d M ,( )5.2.Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng :. Cho đƣờng thẳng đi qua A và có VTCP u .. Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM) đến đƣờng thẳng là :d M,( )[ AM , u]5.3. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau : 1qua A và có VTCP là uGiả sử 2qua B và có VTCP là vuKhi đó khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng 1và 2là :d1 2 , [ u, v].AB[ uv , ]A( x0; y0; z0)6. HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG6.1. ĐiểmĐiểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z)Chiếu lên Tọa độ là Đối xứng qua Tọa độ làOx (x; 0; 0) Ox (x; y; z)Oy (0; y; 0) Oy ( x; y; z)Oz (0; 0; z) Oz ( y; x; z)mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y; z)mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x; y; z)mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) ( x; y; z)Gốc tọa độ ( x; y; z)BAMHuvu 1 2www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 89 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20136.2.Đƣờng thẳngwww.MATHVN.comHình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phƣơng trìnhx x0 a1tOxyy y0 a2t z 0của đƣờng thẳng dx x0 a1tx x0 a1ty y0 Oxza2ty 0 z zz z0 0 a3ta3tx 0Oyz y y0 a2tz z0 a3tToaùn HoïcVaán ñeà 5:CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN1. Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTPT n =(A;B;C)A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0 Ax + By + Cz + D = 02. Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và // mp (Q)- Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C)- Vì (P) // (Q) VTPT n P = n Q = (A;B;C)- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P3. Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và vuông góc với đƣờng thẳng d- Từ (d) VTCP u d = (A;B;C)- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P =u d =(A;B;C) Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P .4. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R- Vì (P) (Q) và (R) VTPT n P n Q và n P n R Chọn n P = [ n Q; n R ]- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R ]5. Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng- Tính AB , AC và a = [ AB , AC ]- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P = a = [ AB , AC ]www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 90 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20136. Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)www.MATHVN.comToaùn Hoïc- Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q ]- Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n P =[ AB , n Q ]- Viết ptmp (P)7. Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)- Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đƣờng thẳng (d).- Tính [u d , n Q ]- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT n P = [u d , n Q ]- Từ đó viết đƣợc PT mp (p)8. Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.- Tình trung điểm I của ABvà AB- Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT.9. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A- Tính VTCP u d của đƣờng thẳng (d) và tìm điểm M(d)- Tính AM và [u d , AM ]- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[u d , AM ].10. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)- Từ ( ) VTCP u và tính [u d , u ]- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [u d , u ].11. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)- Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d , n Q ]- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[u d , n Q ].12. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0( theo pt của mp (Q) , trong đó D D Q )- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm đƣợc D- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.13. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 91 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)www.MATHVN.comToaùn Hoïc- Vì (d) nằm trong (P) u d. n P =0 (1)- PT mp (p) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0- d(A,(P)) = h (2)- Giải (1);(2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).14. Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 90 0- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)- Vì d (P) u d. n P =0 (1)- Tính cos ((P),(Q)) (2)- Từ (1) và (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).15. Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 90 0- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)- Vì d (P) u d. n P =0 (1)- Tính sin ((P),( )) (2)- Hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết đƣợc PT mp(P).16. Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất- Gọi H là hình chiếu của A lên (d)- Ta có : d(A,(P)) = AK AH(tính chất đƣờng vuông góc và đƣờng xiên)Do đó d(A(P)) max AK = AH K H- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT17. Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0(theo pt của mp (Q) , trong đó D' D Q ).- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm đƣợc D'- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm18. Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn(C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc).- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)2- Adct : Chu vi đƣờng tròn C = 2 r và diện tích S = r tính r.2 2- d(I,(P)) = R r (1)- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0(theo pt của mp (Q) , trong đó D' D Q )www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 92 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.com- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm đƣợc D' viết đƣợc pt (P).Toaùn Hoïc19. Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)- d (P) u d. n P =0 (1)- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)- Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C PT mp(P).20. Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc)- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)2- Adct : Chu vi đƣờng tròn C = 2 r và diện tích S = r tính r.- Vì d (P) u d. n P =0 (1)- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A 2 + B 2 + C 2 >0,chọn M trên đƣờng thẳng d.=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) + C(z-z 0 ) = 0- Vì (P) cắt (S) theo đƣờng tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)- Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A,B theo C PT mp(P).21. Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kínhnhỏ nhất .(áp dụng trƣờng hợp d cắt (S) tại 2 điểm).- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)- Bán kính r =2R d 2 ( I,( p))để r min d(I,(P)) max- Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)- Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đƣờng vuông góc và đƣờng xiên)- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K H- PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPTVaán ñeà 6:CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN1. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTCP u =(a,b,c)PP: phương trình tham số của đƣờng thẳng d là:(d):* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắcx x0aty y0 bt với t Rz z0 ctx x y y z z a b c0 0 0* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ mộtđiểm thuộc d và toạ độ VTCP của d.www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 93 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20132. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B- Tính AB- Viết PT đƣờng thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCPToaùn Hoïc3. Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đƣờng thẳng ( )- Từ pt( ) VTCP u - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP4. Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)- Tìm VTPT của mp(P) là n P- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P5. Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d 1 ),(d 2 )- Từ (d 1 ),(d 2 ) VTCPd1 , d2là u1và u2=> tính [ u 1 , u 2 ].- Vì (d) (d 1 ),(d 2 ) nên có VTCP u d= [ u 1 , u 2 ]- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ u 1 , u 2 ]6. Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp(P):Ax + By + Cz + D = 0(Q):A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0- Từ (P) và (Q) n P , n Q- Tính [ n P , n Q ]- Xét hệ Ax + By + Cz +D =0.'' ' ' Ax B y C z D 0Chọn một nghiệm (x 0 ; y 0 ;z 0 ) từ đó Md- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q ].7. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)- Hình chiếu cần tìm d ' = (P) (Q)Cách 2: + Tìm A = d ( P ) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )+ Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)+ Viết phƣơng trình d' đi qua M, H8. Dạng 8: Viết pt đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đƣờng thẳng d 1 , d 2 :Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d 1( ) d* Tìm B = 2* Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, Bwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 94 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïclà các chân đƣờng vuông góc chung của d 1 , d 2- Ta có hệMN d1MN. u1 0 tt,'MN d2 MN. u2 0- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc)15. Dạng 15 : Viết pt đƣờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đƣờng thẳng d 1 ,d 2 .* Viết ptmp(Q) chứa d 1 và vuông góc với mp(P)* Viết ptmp(R) chứa d 2 và vuông góc với mp(P)* Đƣờng thẳng d = ( Q) ( R )16. Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đƣờng thẳng d 1 .- Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d 1( ) d- Tìm giao điểm B = 1- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua A, B17. Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d 1 ,tạo với d 2 góc* Gọi VTCP của d là2 2 2u ( a; b; c), dk : a b c 0* Vì d d1 u. u1 0=>phƣơng trình (1)uu . 2Vì cos => phƣơng trình (2)u.u2Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc0 0 (0 ;90 ) thì có18. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d 1 góc- Gọi VTCP của d là2 2 2u ( a; b; c), dk : a b c 0- Vì d//(P) nên un . p 0=> phƣơng trình (1).uu . 1- Vì cos( d, d1) cosnên có phƣơng trình (2).u.u1- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( a; b; c)19. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d 1 góc- Gọi VTCP của d là2 2 2u ( a; b; c), dk : a b c 0- Vì d(P) nên un . p 0=> phƣơng trình (1)..0 0 (0 ;90 ) (= 30 0 , 45 0 , 60 0 )uu . Psin )u.uP0 0 (0 ;90 ) .0 0 (0 ;90 ) .www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 96 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comuu . 1- Vì cos( d, d1)u.u1 cosnên có phƣơng trình (2).- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( a; b; c)Toaùn Hoïc20. Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d 1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.2 2 2* Gọi VTCP của d là* Vì d d1nên1* Vìu ( a; b; c), dk : a b c 0un . 0=> phƣơng trình (1).[ u, AM ]d( M , d) h h => phƣơng trình (2).u*Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( a; b; c)Vaán ñeà 7:CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI1. Dạng 1. Xác định vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng và mặt phẳngPhƣơng pháp :M( 1) ( )Cách 1. Giải hệ phƣơng trình : ; ( 2) ( )Cách 2. Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ. H2. Dạng 2. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( )Phƣơng pháp :Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng qua M và vuông góc với ( ). Giao điểm H của và ( )làhình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( ).VD: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.ĐS: H(2; -3; -1) x 6 2tHướng dẫn giải: Đƣờng thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phƣơng trình: y 1tz 5 2tGọi H = d (P). Ta có Hd H(6 + 2t; -1+ t; -5 -2t)Vì H(P) 2(6 + 2t) + ( 1+ t) 2( 5 2t) 3 = 0 t = 2Vậy H(2; 3; 1)3. Dạng 3. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớc qua mặt phẳng ( )Phƣơng pháp :Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ). Giả sử M( x1; y1; z1), H( x0; y0; z0). Khi đó, điểm M’ đối xứng vớiM qua ( )là M(2 x0 x1;2 y0 y1,2 z0 z1)4. Dạng 4. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đƣờng thẳng Phƣơng pháp :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 97 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Cách 1. Viết phƣơng trình mp ( ) qua M và vuông góc với . Giaođiểm H của và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên .Cách 2. Viết phƣơng trình tham số của tọa độ H theo tham sốToaùn Hoïct. Véctơ MH u là véctơ chỉ phƣơng của . Giải phƣơng trình : MH. u 0 tham số t Tọa độ H.x 2 3tVD: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đƣờng thẳng d: y 2 2t z 1tNhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đƣờng thẳng d khi và chỉ khiu . MH = 0 (u là VTCP của d)Hướng dẫn giải:Đƣờng thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).Gọi Hd suy ra: H( 2 + 3t; 2 2t; 1+ t) nên:MH =( 1+3t; 4 2t; 3 + t)H là hình chiếu của M trên d u . MH = 0 3( 1+3t) 2(4 2t) + ( 3+t) = 0 t = 1Vậy H(1; 0; 2)5. Dạng 5. Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trƣớcqua đƣờng thẳng Phƣơng pháp :Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên .Giả sử M( x1; y1; z1), H( x0; y0; z0). Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua làM(2 x x ;2 y y ,2 z z )0 1 0 1 0 1VD: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đƣờng thẳng d có phƣơng trình :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 98 - xy 12t 1tz 2tNhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đƣờng thẳng d khi và chỉ khi u . AH= 0 (u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA / từ đó suy ra tọa độ của A /Hướng dẫn giải:Đƣờng thẳng d có VTCP u = (2; 1; 2).Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; 1 t ; 2t)nên: AH =(2t ; 1 t ; 2t 5)H là hình chiếu của A trên d u . AH = 0 2(2t) (1 t) + 2(2t + 5) = 0 t = 1suy ra: H( 1; 0; 2)x/ 3ATa có H là trung điểm của AA / nên: y / 2 Vậy: A / ( 3 ; 2 ; 1).A/ z 1A6. Dạng 6. Xác định hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng lên mp( )Phƣơng pháp :www.MATHVN.comAHdA 'MHM’

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013TH1: ( )Hình chiếu vuông góc của lên mp ( ) là điểm H ( )TH2: không vuông góc với ( ), ( ):Cách 1. Viết phƣơng trình mp ( ) chứa và ( ) vuông góc với ( )Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng ( ) ( ).Cách 2. Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( ) là H 1 , H 2Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng H 1 H 2 .Cách 3. Nếu cắt ( ): Xác định A ( ). Lấy M bất kỳ không thuộc và khác A.Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( )Hình chiếu vuông góc của lên ( ) là đƣờng thẳng AH.VD: Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng d:( t R) trên mp(P): 2x + y 2z 3 = 0. x 6 5ty 12tz 5 5tNhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy Md, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đƣờng thẳng d trênToaùn Hoïcmp(P) là đƣờng thẳng qua H và có VTCP AH .Hướng dẫn giải:Gọi A là giao điểm của d và (P).Ta có: Ad suy ra: A(6 5t; 1+2t; 5+5t)Vì A(P) 2(6 5t) + ( 1+2t) 2( 5+5t) 3 = 0 t = 1Do đó A(1; 1; 0)Ta lại có: M(6; 1; 5) dGọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1) Hình chiếu của d trên (P) là đƣờng thẳng quaH và có VTCP AH = (1; 4; 1) x 2 tnên có phƣơng trình : y 3 4t z 1tCách 4. Nếu ( )( t R)VD: Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của đƣờng thẳng d: x 6 4ty 12tz 5 3t( t R) trênmp(P): 2x + y 2z 3 = 0.Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu của đƣờngthẳng d trên mp(P) là đƣờng thẳng qua H và song song với d.Hướng dẫn giải:Ta có: d qua điểm M(6; 1; 5), có VTCP u = (4; 2; 3)mp(P) có VTPT n = (2; 1; 2)u . n = 0 và M(P) nên: d // (P)www.MATHVN.comwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 99 -(P)(P)MHHMddA

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; 3; 1)Hình chiếu của d trên (P) là đƣờng thẳng qua H và song song với d nên có phƣơng trình : x 2 4ty 3 2t z 13twww.MATHVN.comToaùn Hoïc7. Dạng 7. Xác định hình chiếu song song của đƣờng thẳng 1lên mp( )theo phƣơng 2cắt ( )Phƣơng pháp :TH1: 1//2Hình chiếu song song của 1lên ( )theo phƣơng 2là điểm H 1 ( ).TH2: 1và 2không song song:Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1và song song 2Hình chiếu song song của 1lên ( )theo phƣơng 2là đƣờng thẳng ( ) ( ).8. Dạng 8. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và cắt 1, 2với 1, 2chéo nhau và không điqua MPhƣơng pháp :Cách 1. Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1Nếu 1có phƣơng trình tổng quát thì nên viết phƣơng trình ( )dƣới dạng chùmNếu 1có phƣơng trình tham số thì lấy hai điểm A, B thuộc 1Phƣơng trình( )qua 3 điểm A, B, M.* Nếu ( ) / / 2thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( )cắt 2thì tìm N 2 ( )Nếu MN // 1thì bài toán vô nghiệm. Nếu MN cắt 1thì đƣờng thẳng cần tìm là MN.Cách 2. Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1, mặt phẳng ( ) qua M và chứa 2* Xét ( ) ( ). Nếu cắt 1và 2thì đƣờng thẳng là đƣờng thẳng cần tìm. Nếu //1hoặc 2thì bài toán vô nghiệm.9. Dạng 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 1, 2và song song với 3Phƣơng pháp 1: Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1và song song 3, mp ( ) chứa 2và song song 3Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ).Nếu cắt 1và 2thì là đƣờng thẳng cần tìm.Nếu //1hoặc 2thì bài toán vô nghiệm.Phƣơng pháp 2: Viết phƣơng trình tham số của 1theo t 1 , của 2theo t 2 . Lấy điểm M1,N2 Tọađộ M, N theo t 1 , t 2 MN theo t 1 , t 2 .Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // 3Đƣờng thẳng cắt 1, 2và song song với 3là MN.Phƣơng pháp 3: Gọi M ( x0; y0; z0)là giao điểm của và 1. nhận VTCP của 3làm VTCP Phƣơng trình tham số của theo x0; y0;z0.www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 100 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 cắt 2suy ra hệ 2www.MATHVN.comcó nghiệm x0; y0;z0Phƣơng trình ./ x t x 12tVD: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cắt 2 đƣờng thẳng d 1 : y 2 3t; d 2 : y 13t z 1t / z 4 tx 4với đƣờng thẳng d:1 y z 3 2 1/Toaùn Hoïcvà song songNhận xét: Bài toán này ta lấy Ad 1 , Bd 2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai vectơ u , AB cùngphƣơng (u là VTCP của d), đƣờng thẳng qua A và có VTCP uHướng dẫn giải:Đƣờng thẳng d có VTCP u = (3; 2; 1).Gọi Ad 1 suy ra: A(t; 2 3t; 1+t)Bd 2 suy ra: B(1+2t / ; 1+3t / ; 4 t / )nên: AB = (2t / t + 1; 3t / + 3t + 1; t / t + 3)suy ra A(-1;1;0) .A, B u và AB cùng phƣơng2t/5t t// t 13t3 2t 8 t 1/ 3t1 t2t 1 /t 2 t 31Đƣờng thẳng qua A và có VTCP u = (3; 2; 1) nên có phƣơng trình :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 101 -/x 13t y 12t z t10. Dạng 10. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua M và vuông góc với 1, cắt 2trong đóM 1,2Phƣơng pháp : Viết phƣơng trình mp ( )qua M và vuông góc với 1, mp ( ) qua M chứa 2Nếu ( ) / /( ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( ) cắt ( ) thì xét ( ) ( ).Nếu cắt 2thì là đƣờng thẳng cần tìm.Nếu //2thì bài toán vô nghiệm. x 3 tVD: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đƣờng thẳng d 1 : y 12t z 4 tvới đƣờng thẳng d 2 : x 14t y 3 tz 5 t( t R)( t R) và vuông góc

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcNhận xét: Bài toán này ta lấy Hd 1 , khi đó H khi và chỉ khi u . AH = 0 (u là VTCP của d 2 );đƣờng thẳng qua I và có VTCP AHHướng dẫn giải:Đƣờng thẳng d 2 có VTCP u = (4; 1; 1).Gọi Hd 1 suy ra: H(3+t; 1 2t; 4+t) nên:AH =(1+t; 2 2t; 7+t)d 1H u . AH = 0 4(1+t) + ( 2 2t) + (7+t) = 0 t = -3Suy ra H(0; 5; 1)Đƣờng thẳng qua A và có VTCP AH =(2; 4; 4) = 2(1; 2; 2)nên có phƣơng trình : x 2 t y 12tz 3 2t( t R)AHd 211. Dạng 11. Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau 1,2Phƣơng pháp :a. TH dặc biệt : 1 2Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1và 2Tìm M 2 ( ), H là hình chiếu vuông góc của M lên 1 MH là đƣờng vuông góc chung của 1, 2.b. Phƣơng pháp 1 : Viết phƣơng trình 1, 2dƣới dạng tham sốLấy M1,N2 Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 MN theo t 1 , t 2 .MN là đƣờng vuông góc chung của 1,21 2 1 2 MN , MN t , t MN.c. Phƣơng pháp 2 : Gọi a1,a2là VTCP của 1, 2 Đƣờng vuông góc chung có VTCP a a1,a 2 .Viết phƣơng trình mp ( ) chứa 1và song song , mp ( ) chứa 2và song song ( ) ( ).VD: Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của 2 đƣờng thẳng chéo nhau/x 5 3t x 2 td: y 2 t ( t R) và d / /: y 7 3t( t / R) z t/ z 4 tNhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad 1 , Bd 2 ; AB là đƣờng vuông góc chung của d và d / khi và chỉkhiu. AB 0 v. AB 0Hướng dẫn giải:; đƣờng vuông góc chung qua A và có VTCP ABĐƣờng thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1).Đƣờng thẳng d / có VTCP v = (1; 3; -1).www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 102 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)Bd / suy ra: B( 2+t / ; 7+3t / ; 4 t / )www.MATHVN.comToaùn Hoïcnên: AB =(t / 3t 7; 3t / t 9; t / t + 4)AB là đƣờng vuông góc chung của d và d //3(t 3t 7) (3t /(t 3t 7) 3(3t/5t11t 26 t 1 / /11t 5t 38 t 3suy ra: A(2; 1; 1); AB =( 1; 1; 2)// t 9) ( t t 9) ( t//u. AB 0 v. AB 0 t 4) 0 t 4) 0Đƣờng vuông góc chung qua A và có VTCP AB =( 1; 1; 2) nên có phƣơng trình : x 2 t y 1t ( t R)z 12t12. Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :12.1. Dạng 1: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2).Tìm M ( P) : ax by cz d 0 để(MA+MB)min.Phƣơng pháp : Xác định vị trí tƣơng đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lƣợng :t ax by cz d;t ax by cz dA1 1 1 B 2 2 2* Nếu t t 0 A,B khác phía đối với (P). Gọi M0 ( AB) ( P), khi đó MA MB AB M0AM0 B.A B* Nếu tAtB0 A,B cùng phía đối với (P). Lấy A 1 đối xứng với A qua (P). Gọi M0 ( A1B ) ( P). Khi đó,MA MB MA1 MB A1 B M0A1 M0 B.VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), và N(4; 4; 5). Tìm điểm I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng. Nếu M, N nằm về haiphía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I làgiao điểm của M ' N và mặt phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.Hướng dẫn giải:Mặt phẳng (Oxy) có phƣơng trình z = 0. Trƣớc hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp(Oxy) hay không? Dể thấy z M . z N = 3.5 = 15 > 0 M, N ở về một phía với mp (Oxy).Đƣờng thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).Ta có H d H(1; 2; 3 + t)Vì H(Oxy) 3 + t = 0 t = 3 H(1; 2; 0)Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).H là trung điểm của MM' nên M'(1; 2; 3) và x 1 y 2z 3 tM'N = (3; 2; 8)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 103 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min (IM + IN) = M'N I là giao điểm của M'N và mp(Oxy)M'N qua M ' có VTCPM'N = (3; 2; 8) nên có phƣơng trình:, x13t, y 22tz 3 8tĐiểm I( 1 + 3t', 2 + 2t', 3 + 8t')d vì I(Oxy) 3 + 8t' = 0 t' = 3 817 11 Vậy I; ;0 8 4 12.2.Toaùn HoïcDạng 2: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2).Tìm M ( P) : ax by cz d 0 để MA MBmax.Phƣơng pháp : Xác định vị trí tƣơng đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lƣợng :t ax by cz d;t ax by cz dA1 1 1 B 2 2 2* Nếu tAtB0 A,B cùng phía đối với (P). Gọi M0 ( A1B ) ( P). Khi đóMA MB AB M0AM0B* Nếu tAtB0 A,B khác phía đối với (P). Lấy A 1 đối xứng với A qua (P). Gọi M0 ( A1B ) ( P). Khi đóMA MB MA1 MB A1 B M0A1 M0B12.3.Dạng 3: Cho 2 điểm A( x1; y1; z1); B( x2; y2; z2). Tìm M cho trƣớc sao cho (MA + MB) min.Phƣơng pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tƣơng ứng của các điểm A, B lên . Gọi M 0 làđiểm chia đoạn A’B’ theo tỉ sốMAAA0k M B BB .Ta chứng minh MA MB M0A M0B.Chứng minh : Gọi A P BA1 AAAAA1MA0 A1, M0,BAA 1 BB M0B0www.MATHVN.com1( ) ( ),sao cho A 1 khác phía đối với B so với và thỏa mãn MA MB MA1 MB A1 B M0A1 M0B M0A M0B. x7tVD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) và đƣờng thẳng d có phƣơng trình: y 3 2t. Tìm điểm I z 9td sao cho: IM + IN nhỏ nhất.Nhận xét: Ta có MN d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt phẳng quaMN và vuông góc với dHướng dẫn giải:www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 104 -,thẳngTa có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), vì MN .u =0 MN dMặt phẳng(P) qua MN và vuông góc với d có phƣơng trình là: x 2y + z 2 = 0Gọi H = d (P), Hd H(7 + t; 3 2t; 9 + t)Vì H(P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) 2 = 0hàng

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134 17 17 23 t = H; ; 3 3 3 3 Với Id, ta có: IM + IN HM + HN IM + IN nhỏ nhất IM + IN = HM + HN I H17 17 23 Vậy: I ; ; 3 3 3 www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 8:1. Phƣơng trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính RS(I,R) :S(I,R) :222 2xa y b z c Rx2 (1)CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ MAËT CAÀU2 22 2 2 y z 2ax 2by 2cz d 0 (2) ( vôùi a b c d 0 )2 2 2 Taâm I(a ; b ; c) vaø Ra b c d2. Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu2Cho 222(S) : x a y b z c R vaø (): Ax + By + Cz + D = 0Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp() :• d > R : (S) = • d = R : () tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, (): tieáp dieän)*Tìm tieáp ñieåm H (laø h chieáu cuûa taâm I treân mp) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp(): ta coù a d n Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()22• d < R : caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt(S) : x a y b z c: Ax By Cz D 0*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:2+ baùn kính r R d2 ( I,)+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp())2 R Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp() : ta coù Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()3. Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàudx xo a1ty yo a2tz zo a3t(S) :x a y b z c R (2): (1) vaø 2+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm4. CAÙC DAÏNG TOAÙN4.1.Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A222 2ª S(I,R) :x a y b z c R (1)Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R 22222a d nwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 105 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134.2. Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB• Taâm I laø trung ñieåm AB• Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)• Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R 24.3. Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp()Pt maët caàu taâm IToaùn Hoïc( S)R4.4.R d(I, )A.xI B.yI1 R2 I1I2 R1 R2SA2 B2 C2 ( S1),(2) C.zI DDaïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD2 2 2Duøng (2) S(I,R) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 A,B,C,D mc(S) heä pt, giaûi tìm a, b, c, d4.5.S(I,R) :Daïng 5: Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)x22 2 y z 2ax 2by 2cz d 0 (2)• A,B,C mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2).• I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α).• Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d.4.6.Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A.Tieáp dieän () cuûa mc(S) taïi A : () qua A, vtpt n IA4.7.Daïng 7: Vò trí töông ñoái giöõa hai maët caàu:Cho hai maët caàu S 1 (I 1 ,R 1 ) vaø S 2 (I 2 ,R 2 ).I1I21 2(1S2I R R S ),( ) trong nhau1I21 2(1S2I R R S ),( ) ngoaøi nhau.1I21 2(1S2I R R S ),( ) tieáp xuùc trong1I21 2(1S2 R R S ),( ) tieáp xuùc ngoaøicaét nhau theo moät ñöôøng troønwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 106 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn HoïcVaán ñeà 1: HAØM SOÁ LIEÂN TUÏCÑònh nghóa 1: Haøm soá y f (x)goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu :1/. f (x)xaùc ñònh taïi ñieåm x = a2/. lim f ( x) f ( a)xaÑònh nghóa 2: f (x)lieân tuïc taïi ñieåm x = a lim f ( x) lim f ( x) f ( a)xaÑònh lyù : Neáu f (x)lieân tuïc treân [a, b] vaø f ( a).f ( b) 0thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c (a, b) sao chof ( c) 0xaVaán ñeà 2: ÑAÏO HAØM1. Ñònh nghóa ñaïo haøm :Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x 0 ( a, b). Ta noùi f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 neáu giôùi haïnykhi x 0 toàn taïi.x' yf ( x0 x) f ( x0)f ( x0) lim limx0xx0x' y Ñaïo haøm beân traùi : f ( x0) lim ( toàn taïi )x0x' y Ñaïo haøm beân phaûi : f ( x0) lim ( toàn taïi )x0x‣ Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b)y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 (a, b) f ‘ (x + 0 ) = f ’ (x – 0 )2. Qui taéc tính ñaïo haøm :' ' '1/. ( a b ..... c) a b ....... c' ' '2/. ( ab) a . b a.b' '''( abc) a . b.c a.b . c a.b.c'' ' a a b ab3/. ( b 0)2 b b' '( cu) c.u ( c R)'' 1 u 2 u u3. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn :TT Haøm soá Ñaïo haøm1 y = c y ’ = 02 y = x y ’ = 13' 1y xy .x (x > 0)' 1'y uy . u . u41' 1y y 2xx'www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 107 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20135678y y y xunuy Sinxy Sinuy Cosxy Cosuy Tanxy Tanuy Cotxy Cotu9 y arcSinx10 y arcCosx11 y arcTanx12 y arcCotx131415xy auy auy euy ey ln xy ln u16 y log x17 y log uaawww.MATHVN.com' 1y 2 x'' uy 2 uu'y'n nn uyy'' Cosx1' u . Cosu'y Sinxy ' u' . Sinu' 1y2Cos x'uCos u'y2 Sin x'' uy 2Sin u'y 121x'y 11x' 1y 21x' 1y 21x' xy a Lnay 1' 2y'' u . axy ' eu .' ' uy u e' 1y x'' uy u' 1y xLnau'y'u ln a2LnaToaùn Hoïcwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 108 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20131. LUYÕ THÖØA1.1. Ñònh nghóa luyõ thöøaVaán ñeà 3:www.MATHVN.comLUYÕ THÖØA – LOGARITToaùn HoïcSoá muõ Cô soá aLuyõ thöøa a * n Na R na a a. a......a (n thöøa soá a) 0a 0 a a 0 1*n 1 n(n N )a 0 a anam* ( m Z,n N ) 0nm n n ma a ann( a b b a )* lim r ( r Q,n N )a 0r na lim ann1.2.Tính chaát cuûa luyõ thöøa Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:a. a a ;aa a a a( ab) a . b ; b b a > 1 : a a ; 0 < a < 1 : a a Vôùi 0 < a < b ta coù:mma b m 0 ; a b m 0Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0.+ Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.;m( a)m a.;1.3.Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùcn Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b a. Vôùi a, b 0, m, n N*, p, q Z ta coù:nn n n a aab a.b ; nn( bp 0) ; na a ( a 0) ;b nbp q n p m qn mn mNeáu thì a a ( a 0) ; Ñaëc bieät a an m Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n a n b.Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì n a n b.Chuù yù:+ Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu n a .+ Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.Coâng thöùc laõi keùpGoïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì.Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: C A(1 r) Npm namnawww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 109 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20132. II. LOGARITÑònh nghóa2.1.www.MATHVN.comToaùn Hoïc Vôùi a > 0, a 1, b > 0 ta coù: log ab a ba0, a1Chuù yù: log ab coù nghóa khi b 0 Logarit thaäp phaân: lgb log b log10b Logarit töï nhieân (logarit Nepe): ln blog eb 1 (vôùi e lim 1 2,718281 ) n n2.2.Tính chaátlog loga 1 0; loga a 1 ;ba a b;logaa b log bbb ( b 0) ; a logaa a Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi ñoù:+ Neáu a > 1 thì log b log c b ca+ Neáu 0 < a < 1 thì log b log c b caaa2.3.Caùc qui taéc tính logarit logVôùi a > 0, a 1, b, c > 0, ta coù: loga( bc) loga b logac log b log b logcab logaba a ac2.4.Ñoåi cô soáVôùi a, b, c > 0 vaø a, b 1, ta coù:logaclogbc hay logab.logb c logaclog blogaa1b log ab1log loga( 0)a cc Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH MUÕ, PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ1.1. Phöông trình muõ cô baûn:Vôùi a > 0, a 1:axb 0b x logabwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 110 -

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20131.2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ1.2.1. Ñöa veà cuøng cô soá:Vôùi a > 0, a 1:f ( x) g( x)a a f ( x) g( x)Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: a a ( a 1)( M N) 01.2.2. Logarit hoaù:f ( x) g( x)a b f ( x) log b . g( x )aMNToaùn Hoïc1.2.3. Ñaët aån phuï: Daïng 1: Daïng 2: Daïng 3:ÑaëtChia 2 veá chof( x) f( xPa ( ) 0 t a ) , t 0, trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t.Pt( ) 02 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )a ( ab) b 0f ( x) f ( x)2 f ( x)b , roài ñaët aån phuïa b m , vôùi ab 1.f ( x) f ( x) 1t a b t1.2.4. Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá:at bf( x)Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) Ñoaùn nhaän x 0 laø moät nghieäm cuûa (1). Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x 0 laø nghieäm duyf ( x) ñoàng bieán vaø g( x) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).f ( x) ñôn ñieäu vaø g( x) c haèng soá Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì f ( u) f ( v) u ve) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieätA 0 Phöông trình tích A.B = 0 B 02 2 A 0 Phöông trình A B 0 B 0f) Phöông phaùp ñoái laäpXeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) f ( x) MNeáu ta chöùng minh ñöôïc: g( x) M2. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT f ( x) Mthì (1) g( x) Mnhaát:2.1.Phöông trình logarit cô baûnVôùi a > 0, a 1:loga x b x ab2.2.Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarita) Ñöa veà cuøng cô soáwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 111 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Vôùi a > 0, a 1:b) Muõ hoaù f ( x) g( x)logaf ( x) log ag( x) f ( x) 0 ( hoaëc g( x) 0)log ( )aVôùi a > 0, a 1: log ( ) f x ba f x b a ac) Ñaët aån phuïd) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soáe) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieätf) Phöông phaùp ñoái laäpChuù yù: Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa. Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c 1:awww.MATHVN.comlogbc clogbaToaùn HoïcVaán ñeà 5: BAÁT PHÖÔNG, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARITKhi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình ñaõ hoïc nhö: Phöông phaùp theá. Phöông phaùp coäng ñaïi soá. Phöông phaùp ñaët aån phuï. …….Vaán ñeà 6: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ.a 1f ( x) g( x)f ( x) g( x)a a 0 a 1 f ( x) g( x) Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ:– Ñöa veà cuøng cô soá.– Ñaët aån phuï.– ….Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:MNa a ( a 1)( M N) 0Vaán ñeà 7: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit.a 1f ( x) g( x) 0logaf ( x) log ag( x) 0 a 1 0 f ( x) g( x) Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit:– Ñöa veà cuøng cô soá.– Ñaët aån phuï.– ….Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 112 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comloga B 0 ( a 1)( B 1) 0 ; loglogaaA0 ( A 1)( B 1) 0B Toaùn HoïcVaán ñeà 1:1. Hoaùn vò :Số hoán vị của n phần tử: P n n!2. Toå hôïp :C K nn! ( 0 K n)K!(n K)!K‣ C n CnKn0 nn‣ C C 1nK‣ C3. Chænh hôïp :n1 CK 1n1 CKn0 1n‣ Cn Cn...... Cn 2A K nn!( n K)!nHOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP(0 K n)Vaán ñeà 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT1. Nguyên tắc đếm2 biến cố A và BA có m cách xảy raB có n cách xảy ra2 biến cố A và B cùng xảy ra có m n cáchBiến cố A hoặc B xảy ra có m + n cáchChú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố.1.1. Chú ý:Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vị hoặc một chỉnh hợpNếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp2. XÁC SUẤT2.1. Không gian mẫu:Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.Biến cố A là một tập hợp con của không gian mẫu.2.2. Xác suất:Nếu các phần tử của không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra, p là số phần tử của biến cố A, n là sốphần tử của không gian mẫu. Xác suất để biến cố A xảy ra:2.3.CÁC CÔNG THỨCKhông gian mẫu E là biến cố chắc chắn xảy ra: p(E) = 1Biến cố là biến cố không thể xảy ra: p() = 0Biến cố kéo theo A B là biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra: A B thì P(A) p(B)A B là biến cố A hay B xảy ra. p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 113 -( )

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013A B là biến cố A và B cùng xảy ra.Biến cố A và B đối lập nếu không cùng xảy ra.A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B)Biến cố ̅ là đối lập của A: p( ̅) = 1 – p(A)Xác suất có điều kiện:( )Toaùn HoïcBiến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra: ( | )( )hay p(A B) = p(B).p(A|B)Biến cố A và B độc lập nếu biến cố B xảy ra hay không thì xác suất của A vẫn không đổi:p(A|B) = p(A)p(A B) = p(A).p(B)1. Công thức nhị thức Newtơn:Vaán ñeà 3:Nhị thức NIUTƠNn n n k n k k nna b C a C ab C ab C b Ckan kbkn n n n n 0 1 1 1 .... ... k 0nN*2. Các nhận xét về công thức khai triển: ( ab) nCó n + 1 số hạng.Các hệ số của số hạng lần lƣợt là:Khai triển bắt đầu bằngC ; C ; C ; C ;'...; C .0 nCan kết thúc bằng0 1 2 3 nn n n n n(1)n nCbn , sau đó không kể đến hệ số, số mũ của aở các số hạng liền sau giảm đi 1 đơn vị và số mũ của b ở các số hạng liền sau tăng lên 1 đơn vị. Tổng các số mũ của a và b bằng n.Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu cuối bằng nhau.k n k k Công thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1: T k 1Cna b ( 0 k n )3. Một số dạng đặc biệt:* Thay a = 1; b = x ta đƣợc:n1 x C C x C x C x .... Ckxk... C xnn n n n n n (2) 0 1 2 2 3 3* Thay a = 1; b = - x ta đƣợc:n kn1 x C C x C x C x .... ( 1) Ckxk... ( 1) C xnn n n n n n (3) 0 1 2 2 3 3* Trong (2) ; (3) cho x = 1 ta đƣợc:2n n 11 C C C C .... Ck... Cn n n n n n(4) 0 1 2 3n0 11 C C C C .... ( 1)kCk... ( 1)nCn n n n n n (5) 0 1 2 3www.MATHVN.comwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 114 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134. Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơnCác dạng toán thƣờng gặp là:1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp3 - Dạng 3: Tìm Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTơn:C n CCác hệ số đối xứng:m nmnTam giác Pascal: 1 n = 01 1 n = 11 2 1 n = 21 3 3 1 n = 3........Vd:( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phƣơng trình sau:1 2 2 6 3A2x Ax Cx 102 x+ Điều kiện của x: 3 xN+ Biến đổi bất phƣơng trình về dạng:www.MATHVN.com1 (2 x)! x! 6 x! 102 (2x 2)! ( x 2)! x 3!( x 3)!( a b)1 6 ( x 2)( x 1)x (2x 1)2 x ( x 1) x 102 x 3! (2x 1) x ( x 1) x ( x 2)( x 1) 10 3x 12 0 x 4+ Kết hợp với Điều kiện (*) x 3; x4+ Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x3; x4Toaùn Hoïc< 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng6 em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại văn họcvà âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng?1. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại văn học, âm nhạc,hội hoạ đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?Giải:Số cách tặng sách là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là:1. Ta nhận xét rằng: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.+ Số cách chọn 6 sách từ 12 sách là:+ Số cách chọn sao cho không còn sách văn:+ Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc:+ Số cách chọn sao cho không còn sách hội hoạ:6A12 665280A . A 50405 16 7A . A 201604 26 8A . A 604803 36 9www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 115 -n6A9 60480

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013+ Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600< 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:a. 3 học sinhb. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữc. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.Toaùn HoïcGiải:Ban cán sự lớp gồm 3 ngƣời trong lớp không có sự sắp xếp1. Mỗi một ban cán sự 3 ngƣời là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy có:2. CóC cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời.Do đó có340 98801C25 cách chọn 1 học sinh nam và2C15cách chọn 2 học sinh nam.1 2C . C 2625 cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ25 1533. Có C cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 ngƣời toàn nữ.15455Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 ngƣời ma trong đó có ít nhất một namTìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển:Lời giải* Số hạng tổng quát trong khai triển ( x 3 - xy) 15 là:T C x xy( x xy)3 15 k ( 3 ) 15k ( ) kk1 15* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9:T 8 T C ( x ) ( xy) 6435xy71 15 7 3 15 7 7 31 7T 9 T C ( x ) ( xy) 6435xy81 15 3 1 10(2x )2xTrong khai triển nhị thức:Lời giải8 3 15 8 8 29 8hãy tìm số hạng không phụ thuộc x.3* Số hạng tổng quát trong khai triển 1 10(2x ) là:2xk 3 10k 1 k k 10k 305kTk1 C 10(2 x ) ( ) C 102 x2xT không phụ thuộc thuộc x 30 5k 0 k 6.* k 1* Vậy số hạng không phụ thuộc x là số hạng thứ 7 ứng với k = 6:(ĐH-A-2012) Cho n số nguyên dƣơng thỏa mãn2nx1 Niu-tơn , x ≠ 0. 14 x nwww.MATHVN.com1 35Cn nCn6 24T7 C10 . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thứcwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 116 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comLời giảiToaùn HoïcTa có:n( n 1)( n 2) 5. n 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) n = 761 35Cn nCnGọi a là hệ số của x 5 ta có C 14 – 3i = 5 i = 3 vàVậy số hạng chứa x 5 là351627ii7i x 1 57. ax 2 x 7i1C7. 2.x 5 .7ia a =7i7 14 3 5i i 1 i ( 1) C7. . x ax23516.1. Khaùi nieäm soá phöùc Taäp hôïp soá phöùc: C Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z a bi(a, bR , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo,i 2 = –1) z laø soá thöïc phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0)z laø thuaàn aûo phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0)Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo. Hai soá phöùc baèng nhau:aa'a bi a’ b’ i ( a, b, a', b' R)b b'2. Bieåu dieãn hình hoïc:Soá phöùc z = a + bi (a, b R)ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay bôûi u ( a; b)trong mp(Oxy) (mp phöùc)3. Coäng vaø tröø soá phöùc: a bi a’ b’ i a a’ b b’i a bi a’ b’ i a a’ b b’i Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi u bieåu dieãn z, u ' bieåu dieãn z' thì u u'bieåu dieãn z + z’ vaø u u'bieåu dieãn z – z’.4. Nhaân hai soá phöùc : a bia' b' i aa’– bb’ ab’ ba’i k( a bi) ka kbi ( k R)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 117 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.com5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a biToaùn Hoïc z zz z ; z z' z z' ; z. z' z. z'; z z1 1 z laø soá thöïc z2 2 z ; z laø soá aûo zz2 2; z.z a b6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi2 2z a b zz OM z 0, z C , z 0 z 0 z. z' z . z'7. Chia hai soá phöùc:z1 1 z (z 0)2zzz'z ' 1'. '. zz ' z z z z z2zz.z8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:z z z' z z' z z'z'z'w z'wzz z x yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w a bi 2 2 x y a 2xy b w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0 w 0 coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ai .a2z w9. Phöông trình baäc hai Az 2 + Bz + C = 0Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A 0).2 B 4ACB 0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät z1,2 , ( laø 1 caên baäc hai cuûa )2A 0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: z1 z2 B2AChuù yù: Neáu z 0 C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z0cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: z r(cos isin )(r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z 0)www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 118 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20132 2r a b a cos r bsin r laø moät acgumen cuûa z, ( Ox, OM) z 1 z cos isin ( R)11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùcCho z r(cos isin ) , z' r'(cos ' isin ') : z. z' rr '. cos( ') isin( ') cos( ') isin( ') 12. Coâng thöùc Moa–vrô:n n* r(cos isin ) r (cos n isin n ), ( n N )n cos isin cos n isinn13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: Soá phöùc z r(cos isin )(r > 0) coù hai caên baäc hai laø: rcos isin 2 2vaø r cos isin r cos isin 2 2 2 2 Môû roäng: Soá phöùc z r(cos isin )(r > 0) coù n caên baäc n laø:Toaùn Hoïcn k2 k2r cos isin , k 0,1,..., n 1 nn 14. Các dạng bài tập:14.1. Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình trên tập sốphứcPhƣơng Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực+ Mô đun của số phức z là :2 2z a b+Gọi w = x + yi với x,y R là một căn bậc hai của số phức z2Ta có w a bi x yi 22 2x y a a bi giải hệ phƣơng trình trên tìm đƣợc2xy bcác căn bậc hai của số phức z+Việc giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình đƣợc giải tƣơng tự nhƣ giải trên trƣờng số thực nhƣng chú ýđến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.Bài tập minh họaBài 1:z 1 4i 1iTìm môđun của số phức 3Lời giải: Vì 3 3 2 3www.MATHVN.comwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 119 -zz'1i 1 3i 3i i 13i 3i 2 2irr'

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013www.MATHVN.comToaùn Hoïcz 1 2i z 1 2 5Suy ra: 2 2Bài 2:z1Cho hai số phức: z1 3 5i; z2 3 i. TínhzLời giải:zz122 3 5i 3 i z13 5i 8 4 3i 23iz 3 i 3i 3i4 2 22 3 7Bài 3:Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình: zTính giá trị của biểu thức A =z2 2z1 2Lời giải: Ta có: = 1 2 - 10 = -9 = 9i 2Phƣơng trình có các nghiệm: z 1 = - 1 - 3i; z 2 = - 1 + 3i2 2 2 2 2 2Ta có: z z Bài 4:12 1 3 1 3 20Tìm số phức z thỏa mãn: z i22và 2 10 và zz . 25Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b , ta có:2 2zz . 25a b25 z 2 i 10 a 2 b 1i 10a 32 2 ab25 b 42ab10a 5 b 0Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0iBài 5:2zzCho số phức z = 4 - 3i. Tìmz2Lời giải: z z 4 3i 4 3i 21127i1127i 4 3i2z z 11 27i 37 141i2 24 3i4 3 25 zBài 6:z 2z 15iGiải phƣơng trình sau (ẩn z): 2Lời giải: Giả sử z a bi ; z 2z 15i 22 (*) a bi 2 a bi 110i 25iwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 120 -zz12 2z10 0 .2 2ab25a b3a 24 a 8 3a bi 24 10i z 8 10ib10 b 10Bài 7:2 2 2 1 10

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20133 2 3 3Tìm căn bậc hai của số phức sau: z i2 23 2 3 3 2 2 33Lời giải: Ta có: z i 3 i 3 cos isin2 2 2 2 4 4 Suy ra z có hai căn bậc hai là:w = 3 k2 3 k23 cos isin 8 2 8 2 + Khi k 0w = 333 cos isin 8 8 + khi k 1 w = 3 33 cos isin 8 8 = 11113 cos isin 8 8 Bài 8:Tìm các căn bậc hai của số phức: z2120iLời giải:Gọi x yi xy , là một căn bậc hai của z. 2 2x y 21 (1)Ta có: 2xy20(2)10(2) y x102 100Thay y vào (1) ta đƣợc: x 212xx4 2 x 21x100 02 x 25 x 5x 5 y 2; x 5 y 2Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 52i2 2* Cách khác: z 25 2.5.2i 2i 52iwww.MATHVN.comVậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 52iToaùn HoïcBài 9:Giải phƣơng trình: z 2 i z iLời giải: Ta có: 2 2 7 4 0 của' 35 12i . Ta tìm các căn bậc hai x yi2 22 x y 35x yi 35 12i 2xy12 1 6 i ;16iDo đó ta giải đƣợc 2 căn bậc hai là: nên phƣơng trình có hai nghiệm: z1 34ivà z2 22iBài 10:Giải phƣơng trình sau trênLời giải:(ẩn z):4 3 2z z z z 2 2 10' :www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 121 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 20134 3 2 2 1 1z 2z z 2z 1 0 z 2 z 1 02 (do z 0)z z1 2 1 2Đặt w = z+ z w 2 , ta đƣợc:2z z2 2 w=1w 2 2w1 0 w 2w3 0 w=-31 1Do đó: z 1 (1) hay z 3 (2)zz2+ Giải (1) z z10Ta có: 1 4 3 3i 213i13iVậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 ; z22 22+ Giải (2) z 3z1 0. Ta có: 9 4 535 35Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt: z3 ; z42 2Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm:13i13i35 35z1 ; z2 ; z3 ; z42 2 2 2Bài 11:4 3 2Giải phƣơng trình sau trên (ẩn z): 2z 2z z 2z 2 04 3 2 2 1 1Lời giải: 2z 2z z 2z 2 0 2 z 2 z 1 02 z z1 2 1 2Đặt w = z z w 22z z , ta đƣợc:2 22 w 2 2w1 0 2w 2w5 0+ Giải:22w2w5 0 (*) 110 9 3i'Ta có: 213i13iVậy phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt: w1 ;w22 21 13i1 13iDo đó: z (1) hay z (2)z 2z 22 13i2+ Giải (1) z z 1 0 2z 1 3i z 2 0 2 1 3i16 86iTa có: 2www.MATHVN.comSố phức z x yi ( xy , ) là căn bậc hai của 8 6i khi và chỉ khi z 8 6i x yi 8 6i x y 2xyi 8 6i 2xy 6 2 94 2 2x 8 x 8x 9 0 x 92 x Giải (**) 3 3 3 y y y x x x2 22 22 2 x y 8Toaùn Hoïcwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 122 -(**)

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013x3 x3 x 3 3 hay y y1 y 1 xSuy ra có hai căn bậc hai của là 3 i và 3i1 3i 3 i 1 3i 3i1 1Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm: z1 1 i;z2 i4 4 2 22 13i2+ Giải (2) z z 1 0 2z 1 3i z 2 0 2 13i16 86iTa có: 2Số phức z x yi , xy là căn bậc hai của 8 6i khi và chỉ khi2 22 22 2xy8z 8 6i x yi 8 6i x y 2xyi 8 6i (***)2xy6 2 94 2x 8 x 8x 9 02 x Giải (***) 3 3 y y x xx 32x 9 x3 y1 3 3 y y x3 x x y 1Suy ra có hai căn bậc hai của là 3 i và 3i13i 3i 13i 3i 1 1Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm: z3 1 i;z4 i4 4 2 2Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm:1 11 1z1 1 i;z2 i ; z3 1 i;z4 i2 22 2Bài 12: Z1 Z2 23iGiải hệ phƣơng trình sau trên tập số phức: 2 2 Z1 Z2 54iZ1 Z2 23iLời giải: hpt Z1. Z2 5 8iZ 1 và Z 2 là 2 nghiệm phƣơng trình: Z 2 - (2 + 3i)Z - 5 + 8i = 0Có = 2www.MATHVN.com15 20i 5 2 i35Z1 1 5 i235Z2 1 5 i214.2. Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứcPhƣơng pháp :Toaùn Hoïc+ Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực+ Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phƣơng trình nào .+ Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho.www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 123 -

ếpChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013Bài 13:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiệnz 3 4i 2Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y z, ta có:3 4i 2 x 3 y 4i 2 x y 2 2 x y 3 4 22 23 4 2Toaùn HoïcVậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện đã cho là đƣờngtròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2Bài 14:Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i z z 2iLời giải: Gọi z = x + yi (x, y )Ta có: 2 z i z z 2i 2 1 2 2 x y i y i2 22 2 x y 1 2 2y1 2 y x4Bài 15:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiệnz 5i 2 2Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y )Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i2 2 2 2Suy ra: z i x y x y 5 2 2 2 5 2 2 5 4Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2.14.3. Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giácPhƣơng pháp : + Nắm vững Acgumen của số phức z 0+ Dạng đại số : z = a + bi với a,bRz r cos +i.sinvới r là mô đun của số phức z và là một+ Dạng lƣợng giác : Acgumen của số phức z+ Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giácBài 16:Viết số phức sau dƣới dạng đại số:Lời giải: + Xét1 + Công thức Moivre : z www.MATHVN.com3 i1inr cos + i.sin r ( cosn + i.sinn ) 3 1 z 3 i 2 i 2 cos isin 2 2 6 6 9 9 9 99z12 cos isin 2 cos isin 6 6 2 2 1 1 + Xét z2 1 i 2 i 2 cos isin2 2 4 4 59www.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 124 -n

ếpwww.MATHVN.comChuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 55 5 5 5 5z22 cos isin 4 2 cos isin 4 4 4 4 9z1 3 3 1 1 z 64 2 cos isin 64 2 i 64 64i5z 24 4 2 2 Toaùn Hoïcwww.MATHVN.comVersion 2 – Thaùng 2/2013 - 125 -