Przykładowe zadania

Przykładowe zadania konkursowe:1. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które spełniają każdą z dwóch nierówności:2 x 1,74 x0 , 7 5 ( 1, 7 5)i x + 2 - 0 ,8 (3 x + 6 ) < 0 .2. Proste o równaniach y = ax + b i y = bx + a + 1 przecinają się w punkcieA = (2;3). Wyznacz punkty przecięcia tych prostych z osią OX.3. Jeśli pewną liczbę podzielimy przez 3 i do ilorazu dodamy dzielną i dzielnik, to otrzymamy 163. Jaka to liczba ?4. Punkty A = (1;2), B = (-1;-1), C = (5;2) są wierzchołkami trójkąta.a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.b) Wyznacz współrzędne punktu D tak , aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.5. Na statku pewnego kapitana było 31 marynarzy o średniej wieku 23 lata. Jeśli doliczy się wiek kapitana, to średniawieku załogi wzrośnie do 24 lat. Ile lat miał kapitan?6. Sprawdź równość:2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1.7. Jedno z rozwiązań równania: acx 2 + (a bc)x b =0 z niewiadomą x jest równe 4. Liczby: a, b, c tworzą ciągarytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie równania.8. Cięciwą okręgu o równaniu x 2 + y 2 + 4x 2y 20 = 0 jest odcinek AB zawarty w prostej o równaniux + y 6 = 0. Oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest środkiem okręgu.9. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wpisaniu liczby 5 między cyfry każdej z nich otrzymujemy liczbę11 razy większą.110. Wykaż, że jeżeli a > 0, to a 2 .a11. Dla jakich liczb całkowitych a i b funkcje y = 2x + b i y = ax + 3 mają to samo miejsce zerowe.12. Oblicz wartość wyrażenia: 3 5 3 5 2.13. Pan Bak jest właścicielem 200 akcji Rako i Lizy. Pewnego dnia zysk na jednej akcji Rako wynosił 1 zł., ana jednej akcji Lizy - 2 zł. Pan Bak obliczył, że w tym dniu miałby o 40 zł. Większy zysk, gdyby byłwłaścicielem tylu akcji Rako, ile miał Lizy, a Lizy tyle, ile - Rako. Ile akcji każdej firmy posiadał pan Bak ?35214. Sprawdź, prawdziwość wyrażenia:5 2 7 2 7 515. Na egzaminie z matematyki 15% liczby osób egzaminowanych nie rozwiązało ani jednego zadania,144 rozwiązały zadania ale popełniły przy tym różnego rodzaju błędy. Liczba osób, które rozwiązałyzadania bezbłędnie jest1 2 razy większa od liczby osób, które nie rozwiązały ani jednego zadania.3Ile osób brało udział w tym egzaminie?16. Jeżeli kwadrat pewnej liczby naturalnej dwucyfrowej podzielimy przez połowę tej liczby i dodamy 36, aotrzymaną sumę podzielimy przez 2, to otrzymamy liczbę utworzoną z tych samych cyfr, lecz ustawionychw odwrotnej kolejności. Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że cyfra dziesiątek jest dwa razy większa odróżnicy obu cyfr.17. Dane są okręgi o O1, 4 , o O2, 1styczne wewnętrznie. Narysuj okręg styczny wewnętrzniedo okręgu o promieniu 4 zaś zewnętrznie do okręgu o promieniu 1. Jaką liczbą może być promieńposzukiwanego okręgu?18. Sporządź wykres funkcji: y x 2 3 .Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 3 m posiada trzy różne rozwiązania.19. Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 11 dają resztę 7.20. Leśna szkółka doświadczalna ma kształt prostokąta, którego przekątna jest o 1 m dłuższa od dłuższegoboku prostokąta. Gdyby powiększyć o 3m każdy wymiar tego prostokąta, to przekątna zwiększyłaby się o4m. Oblicz wymiary szkółki.21. Oto rozkład jazdy autobusu szkolnego z miejscowości A do D:

7 00 Wyjazd autobusu z miejscowości A7 20 7 30 Postój w miejscowości B7 30 7 45 Przejazd z B do C7 45 7 50 Postój w miejscowości C8 00 Dotarcie autobusu do miejscowości Da) przedstaw na układzie współrzędnych zależność drogi od czasu jazdy autobusu wiedząc, że z Ado B jest 15 km, z B do C 12 km, a z C do D autobus jedzie z prędkością 60 km/hb) oblicz prędkość autobusu na trasie z A do Bc) jaką odległość pokonał autobus na całej trasie?22. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 85,60 zł. Podatek VAT na ten towar podniesiono do22%. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru?23. Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (2,4) a promień ma długość 5. Drugiokrąg dany jest równaniem x 2 + y 2 2x 8y + 16 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tychokręgów. Sporządź odpowiedni rysunek.24. Wykaż, że liczby 312 są liczbami przeciwnymi.5 2i3 2 5 325. Oblicz pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu r = 2 cm wiedząc, że ramię tegotrapezu ma 6cm.26. Pod budowę domu należało wykopać 8000 m 3 ziemi. Praca została wykonana na 8 dni przed terminem,gdyż robotnicy przekraczali każdego dnia plan wydobycia ziemi o 50 m 3 ziemi. Ile dni zaplanowano nawykonanie tej pracy?27. Po dwukrotnej obniżce ceny, za każdym razem o ten sam procent, telewizor kosztuje 810 zł. Przed obniżkąkosztował 1000zł. O jaki procent dokonywano każdorazowo obniżki ceny telewizora?2 1 5 228. Wykaż, że liczby i są liczbami odwrotnymi.5 3 3 2 329. Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (1,3) a promień ma długość 4. Drugiokrąg dany jest równaniem x 2 + y 2 6x 4y + 4 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tychokręgów. Sporządź odpowiedni rysunek.30. Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równe 96 cm 2 . Ramię trapezu ma długość12 cm. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.31. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 53,50 zł. Podatek VAT na ten towar podniesiono do22%. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru?32. Górnośląski węgiel kamienny pozostawia po spaleniu 12% popiołu, a węgiel dąbrowiecki 22%. Oblicz, ileprocent popiołu pozostanie po spaleniu mieszanki, w której stosunek wagowy węgla górnośląskiego dodąbrowieckiego jest równy 1 : 3.33. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 8cm i 10 cm wiedząc, że przekątne tegotrapezu przecinają się pod kątem prostym.2 234. Rozwiąż nierówność: x 6x 9 x 10 .35. Dla jakiej wartości parametru m punkt przecięcia się prostych: x 2y = m + 4 i x + y = 2m 3 należy doprostej x y + 4 = 036. Wykaż, że trójkąty ABC i A’B’C’ są przystające jeżeli środkowa CD w trójkącie ABC jest równaśrodkowej C’D’ w trójkącie A’B’C’, a kąty DCB i D’C’B’ oraz CDA i C’D’A’ są odpowiednio przystające.37. Kasia i Wojtek, świeżo poślubieni mieszkańcy Trójmiasta, postanowili mieć czwórkę dzieci. Kasi marząsię trzej chłopcy i jedna dziewczynka zaś Wojtkowi dwie dziewczynki i dwóch chłopców. Wiedząc, że wTrójmieście na 1000 niemowląt rodzi się średnio 520 chłopców, oceń czyje marzenie ma większą szansę naspełnienie.38. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji 2x 3y = 2 i 3x + 2y = 10oraz osią OX.39. W klasie jest 48 uczniów. Z nich: 31,25% uprawiało tylko koszykówkę, 56 1 % tylko siatkówkę, reszta4nie uprawiała żadnej gry w piłkę. Ilu uczniów było w każdej grupie, jeżeli 5 uczniów uprawiało oba sporty?40. Znajdź m, jeżeli prosta przechodząca przez punkty: (4;1) i (m;2) ma współczynnik kierunkowy 1 3 .41. Oblicz miary kątów AOB i BOC wiedząc, że ich suma ma wartość 210 o , a przedłużenie półprostej OAdzieli kąt BOC na połowy.42. Wykonaj działania: AB, AB, AB, BA gdy: A = {x: xR x 24 3 2 1 }i B = {x: xR 4x (1 x)(x + 1)< (x+3) 2 }x x 4

62. Dla jakiej najmniejszej wartości m punkt A = (m 2 , 2m) należy do prostej l prostopadłej do prostej ko równaniu x + 3y + 30 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1, 2). Oblicz odległość punktu A od prostej k.63. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 26, a suma ich kwadratów jest równa 364.Wyznacz te liczby.64. Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 30 o . Oblicz miarę kąta między wysokościąa środkową, poprowadzonymi z wierzchołka kąta prostego.65. W dwóch zbiornikach A i B znajduje się woda. Ze zbiornika A przepompowano do zbiornika B tyle wody,że ilość wody w B podwoiła się. Następnie ze zbiornika B przepompowano do zbiornika A tyle wody, żeilość wody w A potroiła się. Okazało się wówczas, że w obu zbiornikach jest po 450 litrów wody. Oblicz,ile wody było na początku w każdym zbiorniku.66. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A = (2, 2), B = (4, 4).a) Wyznacz punkt przecięcia prostej AB z prostą 3x + 4y = 5.b) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.67. Liczbę naturalną t n nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych początkowych liczbnaturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t 1 = 1, t 2 = 1 +2 = 3,t 3 = 1 + 2 + 3 = 6, t 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 itd. Stosując tę definicję:a) Wyznacz liczbę t 27 ,b) Ułóż odpowiednie równanie i zbadaj czy liczba 7626 jest liczbą trójkątnąc) Wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.268. Dana jest funkcja określona za pomocą zbioru par uporządkowanych x , x 1 ;x N x a) Określ zbiór wartości funkcji,b) Sporządź wykres funkcji,c) Wyznacz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 37.69. Pewien kierowca kupuje regularnie benzynę za 700 zł. Po podwyżce ceny benzyny o 3 groszeza litr stwierdził, że otrzymał o 3 litry mniej. Jaka jest cena benzyny po podwyżce?70. Jacek podjął pracę chałupniczą polegającą na składaniu długopisów. Pierwszego dnia złożył20 długopisów, ale każdego następnego dnia będzie składać o dwa więcej niż poprzedniego.a) Ile długopisów złoży Jacek w szesnastym dniu pracy?b) Oblicz, ile zarobi Jacek, w ciągu miesiąca (miesiąc ma 30 dni), jeżeli za jeden długopis otrzyma 30groszy.71. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku AB, punkt K jest środkiem boku AD. Pole trójkąta CKMjest równe 3 cm 2 . Jakie pole ma ten kwadrat?72. Między przystaniami A i B odległymi o 6 km płynie rzeka z prędkością 5km/h. Wioślarz przepłynął tąrzeką od przystani A do przystani B i z powrotem w czasie 3 godz. i 30 minut. Z jaką prędkością płynie tenwioślarz w wodzie stojącej?73. Ze 100 kg mleka o zawartości 3,8% tłuszczu odciągnięto 10 kg śmietanki zawierającej 20% tłuszczu. Ileprocent tłuszczu zawiera odtłuszczone mleko?74. Funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość równą 8 dla argumentu równego 3. Jednym z miejsczerowych tej funkcji jest liczba 5. Zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej i sporządź jej wykres.75. Jeżeli jeden z boku kwadratu zwiększymy dwukrotnie, a drugi zmniejszymy o 1 cm, to otrzymamyprostokąt o polu większym od pola tego kwadratu o 8 cm 2 .Oblicz długość boku kwadratu.76. Wyznacz największą liczbę całkowitą niespełniającą nierówności: x 2 3 3 x 3 .77. Dwaj bracia mają razem 31 lat. Ich ojciec jest trzy razy starszy od młodszego syna. Za 10 lat wszyscyrazem będą mieli 103 lata. Ile lat ma każdy z nich?78. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz kącie ostrym naprzeciwboku a. Wiedząc, że 4 17cos :172a) oblicz tg, b) oblicz wartość wyrażenia a b .2 2a b a b79. Hotel dysponuje 70 pokojami. Opłata za wynajęcie jednego pokoju w tym hotelu jest równa 460 zł za dobę.Hotel udziela specjalnej zniżki firmom rezerwującym więcej niż 40 pokoi. Wówczas opłata za dobę, zakażdy wynajęty przez firmę pokój, jest niższa o 5 zł pomnożone przez liczbę zarezerwowanych pokoipowyżej 40. Ile pokoi powinna wynająć firma, żeby hotel osiągnął maksymalny możliwy przychód za dobę?80. Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 6 i 8 od końców dłuższegoramienia trapezu. Oblicz obwód trapezu.81. Linia tramwajowa ma długość 15 km. Po zwiększeniu prędkości o 3km/h każdy kurs tramwaju jest o półgodziny krótszy niż poprzednio (kursem nazywa się przebieg tramwaju od przystanku początkowego dokońcowego i z powrotem). Oblicz prędkość tramwaju przed zmianą.7

282. Dana jest funkcja 2 x 4x 6, dla x 2f ( x) 4x 2, dla x 2a) Narysuj wykres funkcji f i podaj jej maksymalne przedziały monotoniczności.b) Wyznacz rachunkowo miejsca zerowe funkcji f.83. Dane są dwa wierzchołki trójkąta ABC A = (1; 1), C = (7; 11) oraz punkt przecięcia się jego wysokości 17 61 P ; . Oblicz: a) współrzędne wierzchołka B, b) pole trójkąta ABC, 3 9 c) długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A.84. Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest równy 2.Wartość wielomianu W(x) = x 3 + ax 2 + bx + c dla argumentu 2 jest równa 4. Oblicz resztęz dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (2x +1).85. W trójkąt równoramienny ABC, w którym AB 24,BC AC 20 wpisujemy prostokąty tak, żejeden bok prostokąta zawiera się w boku AB, a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Podajwymiary prostokąta o największym polu.86. . Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny dzieli przeciwprostokątną naodcinki o długościach 3 cm i 10 cm. Znajdź:a) obwód tego trójkąta,b) pole koła opisanego na tym trójkącie.3 2x 2x 2x 487. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: f (x) 2x 3 2x 888. Pole rombu jest równe 60 cm 2 . Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takiedwa kąty o mierze , że 8 . Oblicz:tg 15a) długość boku rombu,b) pole koła wpisanego w ten romb.89. Miejscem zerowym wielomianu W(x) = 2x 3 + ax 2 6x jest liczba (1).a) Oblicz a.b) Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu.c) Rozwiąż nierówność W(x) x 2 + x.90. Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne płacąc producentowi za sztukę 100 złi sprzedaje 40 sztuk aparatów po 160 zł. Właściciel oszacował, że każda obniżka aparatu o 1 zł zwiększaliczbę sprzedawanych aparatów o jedną sztukę. Jaką powinien ustalić cenę, aby jego zysk był największy?Oblicz ten zysk.91. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30 o , wysokość i środkowa poprowadzonez wierzchołka kąta prostego dzielą go na trzy kąty równe.92. Rozwiąż układ równań: 14 1 12x y x y 3 5y 2x 2x 2y291493. Wyznacz x, dla którego liczby (x 1)(x + 1); 2(x 2) 2 ; 2x 2 11(x 1) w podanej kolejności tworzą ciągarytmetyczny. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę oraz wyznacz ogólny wyraz ciągu.94. Rozwiąż równanie: 2 3 2x .3 4 x2x95. Dla jakich wartości xR wartości funkcji f ( x) są nie większe od wartości funkcjix 18g ( x)3 3x96. Dla jakich wartości x ciąg liczb: x, 2x, 2x + 2 w podanej kolejności jest:a) ciągiem arytmetycznym, b) ciągiem geometrycznym.97. Współczynniki a, b, c równania ax 2 + bx +c = 0 tworzą ciąg arytmetyczny, którego suma jest równa 7,5.Jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 4. Znajdź drugi pierwiastek równania.98. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ), w którym: a 5 = 5, a 3 + a 8 = 12.

99. Z danych GUS wynika, że średnia powierzchnia mieszkania w mieście w 1999 roku wynosiła 56m 2 ,natomiast na wsi 72 m 2 . Wiedząc, że w 1999 roku mieszkania na wsi stanowiły 33% wszystkich mieszkań,oblicz średnią powierzchnię ogółu mieszkań w Polsce.100. Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5 : 3. Oblicz pole rombu.Opracowała: mgr Agnieszka Zawadzka