Jerzy Krysztof - Liczby pierwsze.pdf

Jerzy KrysztofSamorządowa Szkoła Podstawowaw SicinachLiczby pierwsze- 2003 -

1. WstępCo jest najmądrzejsze? Liczba.Co jest najpiękniejsze? Harmonia.Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowegobractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkieznaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Pitagorejskie"igraszki" z liczbą nie były jałowe, bo obok cudacznych spekulacjipitagorejczycy poczynili odkrycia, które do dziś nie straciły swejwartości. Oni pierwsi podzielili liczby na parzyste i nieparzyste,odkryli liczby trójkątne i kwadratowe (przypadki szczególne liczbwielokątnych), doskonałe, zaprzyjaźnione. Oni wreszcie odkryliliczby niewymierne. Jeśli dziś uważamy, że jedną z najpiękniejszychdyscyplin matematycznych jest teoria liczb, to musimy pamiętać, żeprekursorami jej byli pitagorejczycy.Szczególnie ważnym zagadnieniem w matematyce jest podziałliczb naturalnych na liczby pierwsze i złożone. Liczby pierwsze badasię od tysięcy lat, niestety wraz z wzrostem wiedzy o nich rośnierównież liczba pytań na które wciąż szukamy odpowiedzi.- Jak można określić (wskazać) kolejne liczby pierwsze?- Ile jest liczb pierwszych?- Jak brzmi ogólny wzór (formuła), za którego pomocą możnaokreślić liczbę pierwszą?W swej pracy spróbuję sprecyzować - czym są liczby pierwsze,jakimi własnościami się charakteryzują, gdzie się je stosuje?– 3 –

Inne źródła wiedzy: Mały słownik matematyczny, Wiedza Powszechna,Warszawa 1967, str. 146:liczby pierwsze: liczby naturalne n > 1, które majątylko dwa dzielniki naturalne: 1 oraz n.liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie sąpierwsze Z. Muzyczka, M. Kordos Słownik szkolny. Matematyka,Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996, str. 85:liczby pierwsze, liczby naturalne mającedokładnie dwa podzielniki naturalne. Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne iPedagogiczne, Warszawa 1988, str. 122:liczby pierwsze: liczby naturalne p > 1, którychjedynymi dzielnikami są 1 oraz p. Liczby 1 nie zaliczasię do l. p.liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie sąliczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny kspełniający nierówność 1 < k < n.Wreszcie podręczniki akademickie: W. Sierpiński Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa1968 (wyd. 4), str. 86:Liczbę naturalną p większą od jedności nazywamyliczbą pierwszą, jeżeli p ma tylko dwa dzielniki(mianowicie 1 i p).Na to więc, żeby liczba naturalna p była pierwsza,potrzeba i wystarcza, żeby spełniała równanie (p) = 2.Tutaj (n) jest liczbą dzielników naturalnych liczby n.– 5 –

Wł. Narkiewicz Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977, str. 12:Każda liczba naturalna n > 1 ma przynajmniej dwadzielniki naturalne - liczby 1 i n. Jeśli nie ma innych, tomówimy, że n jest liczbą pierwszą. Zbiór wszystkichliczb pierwszych oznaczamy przez P. Liczby n > 1,które nie są liczbami pierwszymi, nazywamy liczbamizłożonymi.– 6 –

Zadanie polega na tym, iż stajemy na 2 (omijamy 1, która nie jest anipierwsza ani złożona) i od 2 (którą zaznaczamy w kółeczko)skreślamy co drugą liczbę.Następnie na 3 (którą zaznaczamy w kółeczko) i od 3 skreślamy cotrzecią liczbę.Na 4-ce nie stajemy, bo została skreślona (przy 2 i kroku dwa)Dalej na piątce i tak dalej aż zakreślimy wszystkie liczby.Zakreślone (w kółko) w ten sposób liczby to liczby pierwszez przedziału od 0 do 100.– 8 –

4. Rodzaje liczb pierwszychLiczby bliźniaczeLiczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze róźniące się o 2. Np. (3, 5),(5, 7), (11, 13), (17, 19), ...Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele parliczb bliźniaczych.Liczby czworaczeLiczby czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nichjest liczbą pierwszą. Np.:5, 7, 11, 13; 821, 823, 827, 829.Liczby izolowaneLiczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa liczba pierwszaróżni się od niej co najmniej o 4. Np.: 89, 157, 173.Liczby Sophie GermainLiczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 takżejest liczbą pierwszą. Np.: 5, 11, 23, 29.Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Niewiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwotrafienia na liczbę Sophie Germain wsród n początkowych liczbpierwszych dąży do zera (dla n dążącego do nieskończoności).Liczby FermataLiczby Fermata są to liczby postaci F 2 2n1. Słynny matematykPierre de Fermat (1601-1665). Przypuszczał, że wszystkie te liczby sąpierwsze. Wykazał to dla F4. Nie potrafił tego wykazać dla kolejnejliczby, ani znaleźć odpowiedniego kryterium.F03nF15– 9 –

F2F3F41725765537W 1772r. L. Euler wykazał, że liczbaF522 5142949672976416700417jest liczbą złożoną podzielną przez 641.W 1880r. E. Lucas (mając 82 lata) znalazł rozkładF627417767280421310721Liczba F7została rozłożona na czynniki dopiero w 1970r. przezM.A. Morrisona i J. Brillharta, a liczba F8w 1981r. przez R.P. Brentai J.M. Pollarda w 1981r. Znany jest jeszcze pełny rozkład liczb F9i F11.Największą znaną dziś liczbą pierwszą Fermata jest F465537.Największą znaną liczbą Fermata złożoną jest F23471.Najmniejszą znaną dziś liczbą złożoną (udowodnili to w 1963r.J.L. Selfridge i A. Hurwitz.), której żaden dzielnik pierwszy nie jestznany jest F14.Najmniejsze liczby Fermata o których nie wiadomo, czy są pierwszeczy złożone, są F24i F28.Liczby Mersenne'aLiczby Mersenne'a to liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbąpierwszą.Marin Mersenne (filozof, matematyk, popularyzator nauki) byłfranciszkańskim mnichem, który przeżył większą część swojego życiaw paryskich klasztorach. Był autorem dzieła pt. Cogniata Physico-Matematica, w którym stwierdzał bez dowodu, że liczby 2 p 1(oznaczane Mp) są pierwsze dla p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,– 10 –

127 i 257 i dla żadnych innych liczb pierwszych p

17. 2281 687 * 1952 R. M. Robinson18. 3217 969 * 1957 H. Riesel19. 4253 1281 * 1961 A. Hurwitz20. 4423 1332 * 1961 A. Hurwitz21. 9689 2917 * 1963 D. B. Gillies22. 9941 2993 * 1963 D. B. Gillies23. 11213 3376 * 1963 D. B. Gillies24. 19937 6002 * 1971 B. Tuckerman25. 21701 6533 * 1978 L. C. Noll i L. Nickel26. 23209 6987 * 1979 L. C. Noll27. 44497 13395 * 1979 H. Nelson i D. Slowinski28. 86243 25962 * 1982 D. Slowinski29. 110503 33265 * 1988W. N. Colquitt i L.Welsh, Jr.30. 132049 39751 * 1983 D. Slowinski31. 216091 65050 * 1985 D. Slowinski32. 756839 227832 * 1992 D. Slowinski i P. Gage33. 859433 258716 * 1993 D. Slowinski i P. Gage34. 1257787 378632 * 1996 D. Slowinski i P. Gage35. 1398269 420921 * 1997 J. Armengaud (GIMPS)36. 2976221 895932 * 1997 G. Spence (GIMPS)37. 3021377 909526 * 1998Roland Clarkson(GIMPS)38. 6972593 2098960 * 1999Nayan Hajratwala(GIMPS)39. 13466917 4053946 * 2001Michael Cameron(GIMPS)*- rozwinięcia dziesiętne tych liczb można znaleźć nawww.mersenne.obywatel.pl/– 12 –

5. Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele?Na to pytanie potrafimy odpowiedzieć. Liczb pierwszych jestnieskończenie wiele Pierwszy znany dowód znajduje sięw "Elementach" Euklidesa (ok. 365 - ok. 300 pne).Dowód:Niech A={p 1 ,p 2 , ..., p n } będzie dowolnym niepustym, skończonymzbiorem liczb pierwszych. Wtedy istnieje liczba pierwsza q nienależąca do tego zbioru:niech m = p 1 * p 2 * ... * p n + 1. Każda z liczb p 1 , p 2 , ..., p n jestwiększa lub równa 2, więc m > 2 - liczba m nie może być anizerem, ani jedynką. W takim razie liczba m ma rozkład na czynnikipierwsze, w którym występuje co najmniej jedna liczba pierwsza q.Liczba q jest pierwsza i q dzieli m. W takim razie liczba q niemoże być elementem zbioru A, bo dla każdego numeru i liczba mdaje resztę 1 z dzielenia przez p i .Inny wariant dowodu Euklidesa:Twierdzenie. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczbapierwsza p większa od n.DowódNiech n oznacza jakąkolwiek liczbę naturalną. Liczba m=n!+1(gdzie n! oznacza iloczyn 1, 2, ... n) jest oczywiście większe >1,a więc ma dzielnik pierwszy p. Liczba p nie może być żadnąz liczb 1, 2, 3, ..., n, gdyż przy dzieleniu liczby m przez każdąz nich otrzymujemy resztę 1, a więc nie są one dzielnikami liczby– 13 –

m (która jest >1). Musi więc być p>n. Dowodzimy zatem, że dlakażdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p większa od n.Wynika stąd, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.Przypuszczenie GOLDBACHANajsłynniejszą, do dziś nieudowodnioną hipotezą dotyczącąliczb jestHIPOTEZA GOLDBACHA,wedle którejkażda liczba parzysta większa od dwóchjest sumą dwóch liczb pierwszych.Jaka jest jej historia?7 czerwca 1742 roku rosyjski matematyk Christian Goldbachwysłał list do jednego z najsławniejszych matematyków europejskichtamtych czasów Leonarda Eulera.W liście tym wyraził przypuszczenie, że "każdą liczbę całkowitąmożna wyrazić jako sumę trzech liczb pierwszych". Euler nie umiałstwierdzić czy to prawda, zauważył jednak, że jeśli tak, to skoro jednąz tych trzech liczb pierwszych, wyrażających liczby parzyste, będziedwa (a dwa jest jedyną parzystą liczbą pierwszą), wypływa z tegooczywisty wniosek, że każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczbpierwszych (suma trzech liczb pierwszych większych od 2z konieczności jest nieparzysta). W ten sposób sformułował onostatecznie hipotezę, którą dzisiaj znamy pod nazwą hipotezyGoldbacha.– 14 –

6. Znaczenie liczb pierwszychNasuwa się pytanie: po co to wszystko? Czy te wszystkietwierdzenia i hipotezy mogą się do czegoś konkretnego przydać?Co z tego, że być może kiedyś będziemy wiedzieli, ile jest parliczb bliźniaczych i poznamy dokładny rozkład liczb pierwszych?Nie wydaje się, by rozwiązanie takiego czy innego problemunatychmiast przysporzyło nam dochodu narodowego lub znalazłozastosowanie na przykład w konstrukcjach lotniczych.Rozstrzygnięcia hipotez matematycznych nie mają jednakjednoznacznego przełożenia na gotówkę. w tej nauce w badaniachczęsto decydującą rolę odgrywa nieprzeparta chęć poznania, tasama, która kazała człowiekowi zdobywać bieguny, najwyższeszczyty górskie i lecieć w kosmos.Matematyka jest dziedziną wiedzy, w której trudno natychmiastprzewidzieć praktyczne zastosowania wyników. Jest to cechabardzo niedobra z punktu widzenia urzędników zarządzającychnauką. Oni chcieliby wiedzieć na pewno, ile ważnych hipotezzostanie rozwiązanych w danym roku i jaki będzie z nich pożytek.Nieprzewidywalność i trudności z planowaniem decydują teżo pięknie matematyki; czy byłaby taka pociągająca, gdybywszystko można było zaplanować? Jest coś niezwykłego w tym, żepewne twierdzenia, czy nawet całe teorie przez lata istnieją niezauważone, by nagle zabłysnąć jak diamenty...O teorii liczb mówiło się czasem, że jest najczystszą z czystychdziedzin matematycznych; o ile inne działy wyrosły z bardziej lubmniej bezpośrednich zastosowań, o tyle teorię liczb można by– 17 –

uważać za "sztukę dla sztuki". Tym niemniej... Na przykładuporczywe próby pokonania Wielkiego Twierdzenia Fermata,które jako problem matematyczny jest jedynie ciekawostką (gdyżod dawna było wiadomo, że rozwiązanie tego konkretnegorównania nie ma znaczenia praktycznego ani nie pomożew rozwiązywaniu podobnych równań), przyczyniły się istotnie doogromnego rozwoju wielu dziedzin matematyki i rozwinięciatechnik bardzo przydatnych w rozmaitych sytuacjach. Podobnieataki na twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych spowodowałyrozwój metod niezwykle użytecznych w teorii funkcji zmiennychzespolonych, prowadzących nawet do praktycznych zastosowań.Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych też wydawało się tylkozabawą. Tymczasem duże liczby pierwsze niespodziewanieznalazły zastosowanie w teorii kodowania informacji przykonstrukcji tak zwanych szyfrów z kluczem publicznym. Otóżmożna zaszyfrować informację, podać sposób i klucz szyfrowania,a mimo to tekst odczyta tylko osoba, dla której był onprzeznaczony - dzięki temu, że wie, których liczb pierwszychużyto, przy czym liczby te muszą być odpowiednio duże. Z tegoteż powodu odnajdywane olbrzymie liczby pierwsze nie sąpodawane do publicznej wiadomości (z wyjątkiem największejaktualnie znanej).– 18 –

7. Programy komputerowe do znajdowania liczb pierwszychNajprostszą metodą wyszukiwania liczb pierwszychw ograniczonym zbiorze jest sito Eratostenesa. Aby omówić algorytmwyszukiwania liczb pierwszych zobaczmy jak działa sitoEratostenesa.PrzykładSpróbujmy wg tej metody odszukać wszystkie liczby pierwszew zbiorze 30 kolejnych liczb naturalnych.{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30}Oto początkowy zbiór liczb. Najpierw usuniemy z niego liczbę 1 - nie jest toliczba pierwsza, ponieważ nie posiada dokładnie dwóch różnych podzielników.{ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 }Bierzemy pierwszą liczbę 2 i usuwamy ze zbioru wszystkie jej wielokrotności.W ten sposób pozbyliśmy się liczb parzystych. Zauważ iż obliczaniewielokrotności nie wymaga mnożenia - wystarczy dodawać daną liczbę.{ 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 }Następną wolną liczbą jest 3. Usuwamy ze zbioru wszystkie wielokrotności liczby3. Pozostaną więc liczby niepodzielne przez 2 i przez 3.{ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 }Teraz pozostawiamy w zbiorze liczbę 5 usuwając z niego wszystkie jejwielokrotności.{ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 }Wykonane - w zbiorze pozostały same liczby pierwsze.– 19 –

Pozostaje naturalne pytanie, do jakiej liczby pierwszej należydojść, aby mieć pewność, iż reszta zbioru składa się wyłącznie z liczbpierwszych. Odpowiedź brzmi - do liczby pierwszej równej lubbezpośrednio mniejszej od pierwiastka z największej liczby w zbiorzewyjściowym. U nas największą liczbą było 30. Pierwiastek z 30wynosi 5,47 - czyli do liczby pierwszej 5. Dalsze sprawdzaniewielokrotności nie ma sensu, ponieważ w zbiorze nie pozostały żadneliczby podzielne przez 7, 11, 19... Weźmy dla przykładu liczbę 7 (dlapozostałych jest identycznie). Jeśli któraś z następnych liczb miałabyjeden z podzielników równy 7, to drugi podzielnik musiałby byćmniejszy od 5, gdyż 7 x 5 = 35 > 30. Skoro tak, to liczba takazostałaby wyeliminowana ze zbioru przed dojściem do 5 przyusuwaniu wielokrotności tego podzielnika. Tak stało się z liczbą14 (2 x 7), 21 (3 x 7) oraz 28 (2 x 2 x 7).Z rozważań tych wynika następujący wniosek:Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych { 2 3 4 5 ... n } wyrzucamywielokrotności początkowych liczb, aż do napotkania liczby większejod pierwiastka z n. Wtedy możemy już przestać - przez sitoEratostenesa wypadły wszystkie liczby złożone, pozostały wyłączniepierwsze.Schemat blokowyZanim podamy sposób wyznaczania liczb pierwszych przy pomocysita Eratostenesa, wyjaśnijmy metodę przechowywania tych liczbw pamięci komputera. Otóż wykorzystamy do tego celu tablicę,której elementami będą wartości logiczne. Wartość liczby będzieokreślona przez numer indeksu danego elementu:a[3] - reprezentuje liczbę o wartości 3,a[17] - liczbę o wartości 17, itd.– 20 –

Zawartość elementu będzie informować nas, czy dana liczba zostałapozostawiona w zbiorze, czy też usunięto ją, ponieważ byławielokrotnością innej, wcześniejszej liczby.a[i] = true - liczba i-ta jest pierwsza - pozostała w zbiorzea[i] = false - liczba i-ta jest złożona - usunięto ją ze zbioru.Na początku działania algorytmu ustawiamy wszystkie elementyw tablicy na true. Następnie algorytm sita Eratostenesa usuniez tablicy wielokrotności liczb pierwszych zastępując je wartościamifalse. Na końcu wystarczy przeglądnąć tablicę i wypisać indeksywszystkich elementów o wartości logicznej true, pomijając elementyo wartości false. Tablica będzie rozpoczynać się od indeksu 2.Na schemacie blokowym zostały użyte następujące symbole:a[...] tablica tworzonych liczb pierwszychni,jnumer ostatniego elementu tablicy a[...]zmienne licznikowe pętlimaxi zakres przeglądania tablicy a[...]– 21 –

Wykonanie algorytmurozpoczynamy od wypełnieniacałej tablicy a[...] wartościamitrue. Jest to konieczne, ponieważusunięcie elementu będziepolegało na wpisaniu na jegopozycji wartości logicznej false.Po wykonaniu tego zadaniaobliczamy największą liczbęmaxi, do której mamy dojść przywyrzucaniu z tablicy kolejnychwielokrotności.Następnie tworzymy pętlęz licznikiem przebiegającym powartościach od dwóch do maxi,w której eliminujemy z tablicywielokrotności licznika pętli. Gdylicznik pętli przekroczy ostatnią pozycję, w tablicy a[...] pozostanąjedynie same liczby pierwsze.Liczby te możemy odczytać przeglądając tablicę a[..] i biorąc poduwagę jedynie te indeksy elementów, których wartość wynosi true.Elementy o wartości logicznej false będą reprezentować liczbywyrzucone z tablicy, będące wielokrotnościami wcześniejszych liczbpierwszych.Oczywiście podany algorytm nie jest optymalny - ponieważwszystkie liczby pierwsze z wyjątkiem 2 są liczbami nieparzystymi,można np. pominąć w tablicy a[..] wszystkie liczby parzyste,a kolejne indeksy mogą odnosić się do kolejnych liczb nieparzystycho wartości 2i+1, gdzie i - numer indeksu elementu. Uzyskamy dzięki– 22 –

temu dwukrotny wzrost pojemności naszej tablicy. Jeszczeefektywniejszym podejściem byłoby zastosowanie bitów doreprezentacji kolejnych liczb - 1 bajt zawiera 8 bitów, więc w jednejkomórce pamięci można zmieścić informację o 8 liczbachnaturalnych. Tablica zajmująca 1MB zawiera ich ponad 8 milionów.Liczbom wyrzuconym mogą odpowiadać bity o wartości 0, a bity owartości 1 mogą reprezentować liczby pierwsze, które pozostaływ tablicy.– 23 –

Przykładowe programy do wyznaczania liczb pierwszych:Autor: Jacek KędzierskiProgram wyświetla liczbypierwsze i złożonez podanego zakresu(zawiera błąd – do liczbpierwszych zalicza teżliczbę 1).Autor: Paweł KmakProgram wyświetla liczbypierwsze z podanego zakresu.Wyszukane liczby można wprosty sposób skopiować doedytora.– 24 –

8. Wielkie internetowe poszukiwania liczb pierwszychBardzo starym i znanym sposobem poszukiwania liczbpierwszych jest “sito Eratostenesa”.Ta prosta metoda zawodzi jednak w wypadku ogromnej długościi przy jej zastosowaniu obliczenia trwały zbyt długo, żeby tenzachęcający algorytm uznać za przydatny.W jaki sposób znaleźć więc wielkie liczby pierwsze. Używającniezwykle potężnych i piekielnie drogich superkomputerów Crayz serii T90, wyposażone w potężny algorytm Lucasa-Lehmera. Patentna użycie Craya do wyszukiwania kolejnych liczb pierwszych maprzede wszystkim wchodząca w skład specjalnego zespołu SiliconGraphic’s Cray Research sławna para matematyków David Slowinski– Paul Gage. Szczególnie Slowinski uważany jest za “łowcę”wielkich liczb pierwszych. Ten program jest ważny nie tylko dlatego,że bije rekordy, ale i dlatego, iż jest on cennym narzędziem dotestowania każdego nowego modelu superkomputera. Techniki,stosowane do przyspieszenia działania programu wyszukiwania liczbpierwszych, mają duże znaczenie dla rozwiązywania niezwykłej wagiproblemów,w rodzaju obliczaniapewnychprognozpogody czy analizydanych,służącychposzukiwaniu nowychzłóż ropy.Inny od użyciasuperkomputerasposób poszukiwaniaOn twierdzi, że 2 756839 -1 jest ostatnią liczbą pierwszą,więcej jego pamięć nie mieści.– 25 –

liczb pierwszych polega na zebraniu kilkudziesięciu czy kilkusetprzyjaciół i wykonanie tej pracy zespołowo, przy podziale jej namniejsze fragmenty. Dokładnie na tym polega projekt GIMPS (GreatInternet Mersenne Prime Search), w ramach Którego Joel ArmengaudJako pierwszy, odkrył nową liczbę pierwszą Mersenne’a: 2ⁿ-1 gdzien=1398269 ( liczby Mersenne’a są to liczby które da się zapisaćw postaci 2ⁿ-1 gdzie n musi być liczbą pierwszą; niektóre z nich teżsą pierwsze. Liczby Mersenne’a dość łatwo poddają się testowaniu).Dokonał tego, używając opracowanego przez George’a Woltmanamodyfikacji algorytmu Lucasa-Lehmera i pracując wspólnie z ponad700 matematykami, komunikującemu się przez Internet. Obecniew projekcie GIMPS bierze udział już około 2 tysięcy entuzjastówliczb pierwszych. Założyli sprawdzenie wszystkich liczb Mersenne’ao wykładniku mniejszym niż 1345000 jeszcze przed końcem 1997roku, a do końca 2000 roku chcą sprawdzić wykładniki aż do2655000. Z początkiem 1996 roku sam Woltman dołączył do zespołuGIMPS.Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: 2 13466917 -1.Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa sięz 4053946 cyfr! Co więcej, liczba ta należy do tzw. liczb Mersenne'a(jest to 39 liczba pierwsza Mersenne'a). Odkrycie zostało dokonanew ramach wspomnianego wyżej programu GIMPS, w którym obliczeńdokonują wspólnie pracujące w Internecie komputery ponad 130tysięcy badaczy-ochotników, zaprzęgając do poszukiwań ponad 200tysięcy komputerów PC.– 26 –

Polska strona GIMPS– 27 –

9.KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DLA KLASY VSZKOŁY PODSTAWOWEJTemat: Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa.Cel ogólny: Uczeń znajduje liczby pierwsze mniejsze od 100 stosując sitoEratostenesa.Cele operacyjne:Uczeń potrafi:Uczeń zna:Dokonać podziału liczb naturalnych,Wskazać liczby podzielne przez 2 i wielokrotności liczby 2Wskazać liczby podzielne przez 3 i wielokrotności liczby 3Wskazać liczby podzielne przez 5 i wielokrotności liczby 5Wskazać liczby podzielne przez 7 i wielokrotności liczby 7Dzielić pisemnie.Liczby pierwsze i złożone,Cechy podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5 i 7Tabliczkę mnożenia i dzielenia.Formy pracy: zbiorowa, grupowa jednolita, indywidualna jednolitaMetody: słowna (rozmowa), praktycznego działaniaETAPY LEKCJIZAANGAŻOWANIEBADANIEPRZEBIEG LEKCJIOdczytują zadanie domowe, „Ktoto był Eratostenes”?Uczniowie przypominają: co to sąliczby pierwsze, liczby złożoneoraz co wiedzą o liczbach 0 i 1.Wyjaśniam uczniom, że celemlekcji jest znalezienie wszystkichliczb pierwszych mniejszych od100 stosując metodę zwaną sitemEratostenesa.Rozdaję uczniom zadania napisanena kartkach.(załącznik 1)Uczniowie w parach zapoznają się ztreścią przydzielonych zadań.Planują sposób pracy w zespole.Udzielam dodatkowych wyjaśnień iodpowiedzi na postawione pytania.UMIEJĘTNOŚCIKLUCZOWE-komunikowanie sięnauczyciel- uczeń,-organizowanieuczenia się-planowanie własnegouczenia się-współpraca w grupie,-przydział ról wgrupie-rozwiązywanieproblemów,-komunikowanieuczeń-uczeń, uczeńnauczycielUWAGI– 28 –

PRZEKSZTAŁCANIEPREZENTACJADOSKONALENIEREFLEKSJAUczniowie rozwiązują te samezadania. Przedstawiają pomysłyrozwiązań, wybierają elementywspólne, porównują wyniki.Obserwuję pracę uczniów nieingerując w ich prace. Udzielamewentualnych odpowiedzi napostawione pytania. Nie dajęjednak gotowych recept.Członkowie poszczególnych grupomawiają sposób rozwiązaniazadania.Przedstawiają wyniki pracy,tabelkę z zaznaczonymi liczbamipierwszymi mniejszymi od 100.Odczytują liczby pierwsze i podająich ilość.Grupy, które prawidłowo rozwiążązadanie nagradzam ocenamiUczniowie samodzielnie siadają dokomputera. Uruchamiają grę „SitoEratostenesa” i zapoznają się zzasadami gry. Rywalizują ze sobą ipoprzez zabawę doskonalą nabyteumiejętności.(załącznik 2)Wspólna dyskusja:-czego nauczyłeś się na lekcji?-co było najłatwiejsze?-co było najtrudniejsze?Uczniowie dokonują samoocenypracy na lekcji(załącznik3).Na koniec lekcji uczennica czytawiersz pt. „ Ballada oEratostenesie”(załącznik 4)-analiza,-komunikowanie sięuczeń-uczeń-rozwiązywanieproblemów wewspółpracy z innymi-twórczerozwiązywanieproblemów-ocena wynikówwłasnego uczenia się-komunikowanieuczeń-uczeń- wykorzystywanienabytej wiedzy- sprawne działanie-organizowanie iocenianiewyników własnegouczenia się(ewaluacja)-komunikowanie sięnauczyciel-uczeń-samoocena pracykażdego ucznia– 29 –

Załącznik 1Przeczytaj uważnie tekst i wykonaj podane zadania.Oto sposób zwany sitem Eratostenesa na znalezienie wszystkichliczb pierwszych mniejszych niż 100.a) skreśl 1, gdyż nie jest liczbą pierwsząb) zostaw 2 i kolorem niebieskim skreśl kolejne wielokrotnościliczby 2c) zostaw 3 i kolorem zielonym skreśl kolejne wielokrotności liczby 3d) zostaw 5 i kolorem żółtym skreśl kolejne wielokrotności liczby 5e) zostaw 7 i kolorem brązowym skreśl wszystkie liczby podzielneprzez 7Liczby, które pozostaną nie skreślone są liczbami pierwszymimniejszymi od 100 (dlaczego?).Wypisz je i policz ile ich jest.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5951 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100– 30 –

Załącznik 2Plik „Sito Eratostenesa.exe“ (wydruk planszy końcowej) Autor:Eugeniusz JakubasZałącznik 3Uczniowie wybierają i zapisują na kartkach jedną z trzech liczbpierwszych według oznaczeń:5- pracowałem dobrze3-pracowałem słabo2- nie pracowałem– 31 –

Załącznik 4Ballada o Eratostenesie.Ballada się nasza zaczyna,Nie pęknie od tego głowa,Istniała liczbowa kraina,W której bałagan panował.Trwało tam wciąż zamieszanie,Liczby nie chciały się zgodzić,Aż wreszcie zwołano zebranie,Aby w tym względzie coś zrobić.I wtedy wkroczył na scenę,Grek mądry ciut pogłówkował,Matematyk Eratostenes,Bałagan uporządkował.W przyszłości to wszystkim pomoże,Czas przyjdzie perspektyw szerszych,Gdy w miejscu nieładu tu stworzęPrzepiękną krainę liczb pierwszych.Potrzebne jest sito w tym celu,Liczby, zostaną przesianeUbędą liczby złożone,A liczby pierwsze zostaną.Chcąc bardziej ułatwić tę sprawę,By wszyscy to mogli zrozumieć,Wyłożę kawę na ławę,Jak liczby te poznać w tłumie.Dokładnie dwa dzielniki mają,Są różne od jeden i zera,Pierwszymi się więc nazywają,Te liczby czy wiecie już teraz?Dziś prawdy przedstawię najszczersze,Niech dowie się kto jeszcze nie wie,Przez jeden te liczby pierwsze,Dzielą się i tylko przez siebie.Tak geniusz Eratostenes,Grek, który nie pisał wierszy ,Na naukowej arenie,Stworzył krainę liczb pierwszych.– 32 –

10. ZakończeniePraca jaką napisałem z całą pewnością tylko w niewielkimstopniu przedstawia zagadnienia dotyczące liczb pierwszych.Postawione we wstępie pytania w części mają już swojeodpowiedzi, ale na wiele wciąż jeszcze się ich szuka, w tym nanajważniejsze z nich: „Jak brzmi ogólny wzór (formuła), za któregopomocą można określić liczbę pierwszą?”. Swoista przypadkowośćjaka cechuje rozmieszczenie liczb pierwszych skłania do postawieniatezy, że jest to niemożliwe.Jak pasjonujące jest to zagadnienie niech świadczy to jak wielusłynnych matematyków próbowało rozwiązać ten problem. W 1801roku w artykule Disquisitiones Arithmeticae C.F. Gauss pisał:Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych odzłożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynnikipierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużympraktycznym znaczeniu w arytmetyce ... .Sama powaganauki zdaje się wymagać, aby dołożyć wszelkichmożliwych starań do rozwiązania tak eleganckiegoi tak słynnego zagadnienia.– 33 –

11. SuplementJuż po napisaniu tej pracy w prasie polskiej pojawiła sięinformacja o znalezieniu przez GIMPS nowej, 40 liczby Mersenne’a.Jest nią 2 20996011 -1, a do jej zapisu potrzeba 6320430 cyfr. Liczba tapojawiła się na komputerze Michaela Shefera 17 listopada 2003r.– 34 –

Bibliografia1. Sierpiński W.: Co wiemy a czego nie wiemy o liczbachpierwszych. PZWSz, W-wa 1961.2. Sierpiński W.: Czym się zajmuje teoria liczb. WiedzaPowszechna, W-wa 1957.3. Sznirelman L.: Liczby pierwsze. PWN, W-wa 1954.4. Rademacher H., Toeplitz O.: O liczbach i figurach. PWN,W-wa 1956.5. Narkiewicz W.: Teoria liczb. PWN, W-wa 1977.6. Sporer Z.: Och, ta matematyka. Nasza księgarnia, W-wa 1991.7. Ribenboim P.: Mała księga wielkich liczb pierwszych.Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa 1997.8. Strony www:- www.mersenne.org- www.mersenne.obywatel.pl- www.znak.com.pl/doxiadis/math1.html- www.math.uni.wroc.pl/~s102606/Liczby/prime.html- www.pi.home.staszic.waw.pl/liczby/pierw.html- www.jakubas.pl- www.wiem.onet.pl/wiem/00f5dc.html– 35 –