KOLOKVIJI I ISPITI IZ MATEMATIKE 2 Sadržaj - FSB

KOLOKVIJI I ISPITI IZ MATEMATIKE 2Sadržaj10.06.2010.,ispit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.03.2010., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.03.2010., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.04.2010., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.04.2010., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710.06.2010., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.06.2010., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.03.2009., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.03.2009., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130.04.2009., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230.04.2009., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.06.2009., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.06.2009., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1531.03.2008., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.03.2008., prvi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.05.2008., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.05.2008., drugi kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.06.2008., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.06.2008., treći kolokvij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

MATEMATIKA 2(10.06.2010.,ispit)1. Koristeći se poznatim Taylorovim redom funkcije sin x razvijte u red funkcijuf (x)=(1+ x 2 ) sin(2x).(10 bodova)2. Odredite radijus konvergencije reda∞∑n=0n·2 n3 n x n .(5 bodova)3. Izračunaj∫a) e sin x· cos x dxb)∫ e1(x+1)· ln x dx(15 bodova)4. Metodom separacije varijabli riješite diferencijalnu jednadžbuy ′ = x 2 y−y.(10 bodova)5. Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbexy ′ + y=2xkoje zadovoljava početni uvjet y(0)=5.(10 bodova)6. Nadite opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe 2. reday ′′ + y= x 2 .(15 bodova)

7. Odredite sve parcijalne derivacije prvog reda funkcijez=y+2 y ln(x 2 y)(5 bodova)8. Pomoću diferencijala funkcijeizračunajte približno 1.9·e 0.1 .z= x·e y(15 bodova)9. Izračunajte integral za P na slici. Koristite polarne koordinate.(P)1dP(x 2 + y 2 )3/2(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(19.03.2010., prvi kolokvij)1. Zadana je funkcija f (x)=13√1+ x.(a) Napišite prva četiri člana Newtonove binomne formule funkcije f (x) .(b) Pomoću prva tri člana Newtonove binomne formule približno izračunajte13√1.1= f (0.1) .(15 bodova)2. Zadan je red potencija(a) Napišite opći član reda potencija.(b) Izračunajte radijus konvergencije.1− 12·3 x+ 23·3 2 x2 − 34·3 3 x3 + 45·3 4 x4 −...(15 bodova)3. Zadana je funkcija f (x)= x+21− x 2 .(a) Razvijte funkciju f (x) u red potencija (koristeći se poznatim razvojem).(b) Pomoću dobivenog reda potencija odredite razvoj funkcije f ′ (x) u red potencija.(15 bodova)4. Izračunajte∫ (2√2x+3+)1√ dx.x2 − 2(10 bodova)5. Metodom supstitucije izračunajte∫− sin x√4−cos2 x dx.(15 bodova)6. Izračunajte∫ 10(x−3) 3 x dx.(15 bodova)7. Izračunajte površinu lika omedenog sinusoidom y=sin x, pravcem y= 2√ 2x, te osi x . (Vidi skicu!)3πyy sin x2 2y x334x(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(19.03.2010., prvi kolokvij)1. Zadana je funkcija f (x)= √ 1− x .(a) Napišite prva četiri člana Newtonove binomne formule funkcije f (x) .(b) Pomoću prva tri člana Newtonove binomne formule približno izračunajte √ 0.8= f (0.2) .(15 bodova)2. Zadan je red potencija(a) Napišite prva četiri člana toga reda potencija.(b) Izračunajte radijus konvergencije.∞∑n=13 n x n(3n−2)2 n.(15 bodova)ln(1− x)3. Zadana je funkcija f (x)= .x(a) Razvijte funkciju f (x) u red potencija (koristeći se poznatim razvojem).∫ ln(1− x)(b) Pomoću dobivenog reda potencija izračunajte neodredeni integralxdx .4. Izračunajte∫ ( 2x−33√ x+)1√ dx.2− x2(15 bodova)(10 bodova)5. Metodom supstitucije izračunajte∫ln x√ dx.x 4−ln 2 x(15 bodova)6. Izračunajte∫ 212 ln xx 2dx.(15 bodova)7. Izračunajte površinu lika omedenog grafom funkcije y= 1 i pravcima y= x i y=4 . (Vidi skicu!)x2 yy 41y 2xy xx(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(23.04.2010., drugi kolokvij)1. Napišite integral kojim se računa volumen tijela nastao rotacijom osjenčanog lika na slici oko osi x.yy=x 22y+x=31x(15 bodova)2. Nadite težište osjenčanog lika na slici ( površina lika P= 4 3 π−√ 3 ).y1x(20 bodova)3. Metalna ploča zagrijana je na 200 ◦ C. Vanjska temperatura je 22 ◦ C. Ako je nakon 3 minute temperatura ploče pala na50 ◦ C, kolika će ona biti nakon 5 minuta? (Prema Newtonovu zakonu brzina promjene temperature ploče proporcionalnaje razlici temperatura ploče i okoline.)a) Postavite odgovarajuću diferencijalnu jednadžbu.b) Riješite jednadžbu uz zadane uvjete.(15 bodova)4. Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbexy ′ = x 2 − x−y,koje zadovoljava početni uvjet: y(1)=4.(15 bodova)5. Zadana je familija krivulja x22 + y24 = C .a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu.b) Odredite ortogonalne trajektorije zadane familije.(15 bodova)6. Zadana je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda 4 y ′′ + 4 y ′ + y=− 1 2 x2 + 2x .a) Riješite pridruženu homogenu diferencijalnu jednadžbu.b) Odredite partikularno rješenje nehomogene jednadžbe i napišite opće rješenje.(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(23.03.2009., prvi kolokvij)1. Koristeći se odgovarajućim Taylorovim polinomom trećeg stupnja približno izračunajtesin 0.1.(15 bodova)2. Izračunajte radijus konvergencije reda1− x 7 + x2 x3 x4 x52·72− 3·73+ 4·74− 5·7 5+... (15 bodova)3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu formulu)f (x)= x21+ x . (15 bodova)4. Izračunajte∫ 10(5 √ )2x+cos 2 x − 3x dx.(10 bodova)5. Izračunajte ∫e x cos(e x ) dx, uz supstituciju t=e x .(15 bodova)6. Izračunajte ∫ π0x sin x dx.(15 bodova)7. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.y11y 1x2-1y 2x21x(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(23.03.2009., prvi kolokvij)1. Koristeći se odgovarajućim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajteln 0.9.(15 bodova)2. Izračunajte radijus konvergencije reda1+ x 5 + x2 x3 x4 x52·52+ 3·53+ 4·54+ 5·5 5+... (15 bodova)3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu formulu)f (x)= sin xx.(15 bodova)4. Izračunajte∫ 1(x 6 − 2 cos x+e x) dx.0(10 bodova)5. Izračunajte∫ 2√5− x2 x dx.1(15 bodova)6. Izračunajte ∫x ln x dx.(15 bodova)7. Izračunajte površinu ispod prvog luka cikloide (osjenčani lik sa slike).y2x t sin ty 1cost(0 t 2)02 x(15 bodova)

xA MATEMATIKA 2(30.04.2009., drugi kolokvij)1. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike oko x-osi.yy=-x+11y=e x-2 1x(20 bodova)2. Nadite težište osjenčenog lika sa slike.y11y=ln xy=-x+1-2(15 bodova)3. Riješite diferencijalnu jednadžbuy ′ y+ x= x 2 .(15 bodova)4. Riješite diferencijalnu jednadžbuy ′ − y x = x+2uz početni uvjet y(1)=0.(15 bodova)5. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljay= C x . (15 bodova)6. Nadite opće rješenje jednadžbey ′′ + 2 y ′ + 2 y=2x 2 .(20 bodova)

xB MATEMATIKA 2(30.04.2009., drugi kolokvij)1. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike oko y-osi.y11y=ln xy=-x+1-2(20 bodova)2. Nadite težište osjenčenog lika sa slike.y12 2x + y =1-1 1x(15 bodova)3. Riješite diferencijalnu jednadžbu−y ′ y 2 − x 2 = 1.(15 bodova)4. Riješite diferencijalnu jednadžbuuz početni uvjet y(1)=e.y ′ + 2 y x = ex(15 bodova)5. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljay=C x 2 − 5.(15 bodova)6. Nadite opće rješenje jednadžbey ′′ + 3 y ′ + 2 y=2 x 2 + 3.(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(05.06.2009., treći kolokvij)1. Nadite parcijalne derivacije z x i z y funkcije z= x sin(y 2 )−y ln x.(15 bodova)2. Derivirajte funkciju z= x 3 + y 2 − 2 x y 3 u točki T(2, 1) u smjeru⃗s=(−4, 3).(15 bodova)3. Nadite lokalne ekstreme funkcije z=3 x 2 + 2 y 3 + 6 x y−5.(20 bodova)4. Izračunajte:∫ 10⎛⎜⎝∫ x 2x⎞(x−2 y) dy⎟⎠ dx.(15 bodova)∫∫5. Napišite granice u oba redoslijeda integracije u integralu f (x, y) dP po području P na slici:(P)y4aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaay=-x 2 +4aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaPaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0 2x(15 bodova)∫∫ √6. Izračunajte integral x 2 + y 2 dP po području P na slici (koristite polarne koordinate):(P)x +y =42 2x +y =12 2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Paaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0 1 2(20 bodova)

B MATEMATIKA 2(05.06.2009., treći kolokvij)1. Nadite parcijalne derivacije z x i z y funkcije z=y cos(x 2 )− x ln y.(15 bodova)2. Nadite prvi diferencijal funkcije z= x 3 + y 2 − 2 x y 3 u točki T(−1, 2) za priraste dx=−0.1, dy=0.1 .(15 bodova)3. Nadite lokalne ekstreme funkcije z=−6 x 2 + 4 y 3 − 12 x y+3.(20 bodova)4. Izračunajte:∫ 1(∫ x+10 x)12 x y dy dx.(15 bodova)∫∫5. Napišite granice u oba redoslijeda integracije u integralu f (x, y) dP po osjenčenom području na slici:(P)y2y=-x+2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1 aaaaaaaaaaaa P0 2x(15 bodova)∫∫6. Izračunajte integral y dP po području P na slici (koristite polarne koordinate):(P)yx +y =92 2x +y =12 2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Paaaaaaaaa0 1 3x(20 bodova)

A MATEMATIKA 2(31.03.2008., prvi kolokvij)1.1. Koristeći se odgovarajućim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajtee 0.02 .(20 bodova)2. Izračunajte radijus konvergencije reda1− x 3 + x2 x32·32− 3·3 3+··· (15 bodova)3. Razvijte u red potencija (koristeći poznate redove funkcija)f (x)= x cos(2x).(15 bodova)4. Izračunajte∫ π21(4 3√ x−2 x + 3 )dx.sin 2 x(15 bodova)5. Izračunajtea)b)∫ 1∫0x−1√x2 − 2x+2 dx ,x 2 e x3 dx , uz supstituciju t=x 3 .(20 bodova)6. Izračunajte ∫2x ln x dx.(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(31.03.2008., prvi kolokvij)1. Koristeći se odgovarajućim Taylorovim polinomom drugog stupnja približno izračunajteln 1.04.(20 bodova)2. Izračunajte radijus konvergencije reda1− x 5 + x2 x32·52− 3·5 3+··· (15 bodova)3. Razvijte u red potencija (ne koristeći Taylorovu funkcija)f (x)= sin(2x)x.(15 bodova)4. Izračunajte∫ 10(3 √ )2x−cos 2 x + 2x dx.(15 bodova)5. Izračunajte∫ 3√ x√ xdx uz supstituciju t= √ x.(20 bodova)6. Izračunajte ∫(2x−1) sin x dx.(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(16.05.2008., drugi kolokvij)1. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.2y02y=-x +3x-22 4x-2y = - 2 x + 2-6(15 bodova)2. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika sa slike oko y-osi.y-2 01y=ln(x/2)2x-1(15 bodova)3. Nadite rješenje linearizirane jednadžbe njihalam l d2 θdt 2=−m gθ,uz početne uvjeteθ(0)=− π 4 i dθdt (0)=0.Vrijednosti parametara su l=8, g=10.(10 bodova)4. Riješite diferencijalnu jednadžbuuz početni uvjet y(0)=0.1y 2 + 1 y′ = x 2 + 1(15 bodova)

5. Riješite diferencijalnu jednadžbuy ′ − 3y=e 2x .(15 bodova)6. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljax 2 + 2y 2 = C 2 .(15 bodova)7. Nadite opće rješenje jednadžbey ′′ + 3y ′ + 2y= x 2 .(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(16.05.2008., drugi kolokvij)1. Izračunajte površinu osjenčanog lika sa slike.y2y= -x/2 + 5/21y=2/x1 4x(15 bodova)2. Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom likova sa slike oko x-osi.yy=e -xy=x+11y=x+1y=e -x-11 2x(15 bodova)3. Nadite rješenje linearizirane jednadžbe njihalauz početne uvjeteθ(0)= π 8 i dθdt (0)=0.Vrijednosti parametara su l=15, g=10.ml d2 θdt 2=−mgθ,(10 bodova)4. Riješite diferencijalnu jednadžbuuz početni uvjet y(0)=1.yy ′ =x1+ x 2(15 bodova)

5. Riješite diferencijalnu jednadžbuy ′ + 2y=e 3x .(15 bodova)6. Nadite ortogonalne trajektorije skupa krivuljay=Cx−2.(15 bodova)7. Nadite opće rješenje jednadžbey ′′ + 3y ′ + 2y=e −x .(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(16.06.2008., treći kolokvij)1. Nadite parcijalne derivacije z x i z y funkcije z= x sin y−e x .(15 bodova)2. Derivirajte funkciju z= x 2 + y 2 − 2 x y u točki T(2,−1) u smjeru⃗s(1, 3).(15 bodova)3. Nadite ekstreme funkcije z= x 2 − 2 x+y 2 − 4 y+5.(20 bodova)4. Izračunajte:∫ 21(∫ x0(x 2 + y ) )dy dx.(15 bodova)∫∫5. Napišite granice integracije u integralu f (x, y)dP ako je područje P kao na slici:(P)y204x(15 bodova)∫∫6. Izračunajte integral (y− x)dP ako je područje P kao na slici:(P)y045 o x3(20 bodova)