Wielomiany ortogonalne

Wielomiany ortogonalneJan Derezi«skiKatedra Metod Matematycznych FizykiUniwersytet WarszawskiHo»a 74, 00-682, Warszawae-mail jan.derezinski@fuw.edu.pl28 maja 2007Metody Matematyczne Fizyki A,rok 2007Spis tre±ci1 Przestrzenie Hilberta 21.1 Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Bazy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Rzuty ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Ortogonalizacja Grama-Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Operatory 62.1 Twierdzenie spektralne w sko«czonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Twierdzenie spektralne w niesko«czonym wymiarze . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Widmo ci¡gªe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Operatory nieograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Hermitowsko±¢ nie wystarczy do samosprz¦»ono±ci . . . . . . . . . . . . . 72.3 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Operatory ró»niczkowe drugiego rz¦du w jednym wymiarze . . . . . . . . . . . . . 92.5 Problem Sturma-Liouville'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Wielomiany ortogonalne 113.1 Wielomiany ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Wzór Christoela-Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4 Klasyczne wielomiany ortogonalne 154.1 Wielomiany typu hipergeometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Uogólniony wzór Rodrigues'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory wªasne operatora Sturma-Liouville'a 174.4 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Wielomiany Hermite'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7 Wielomiany Laguerre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.8 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma pierwiastek podwójny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.9 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma dwa pierwiastki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.10 Wielomiany Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.11 Wielomiany Gegenbauera (symetryczne Jacobiego) . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.12 Wielomiany Legendre'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Harmoniki sferyczne 255.1 Wielomiany wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Wielomiany jednorodne wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Wielomiany harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Operator Laplace'a-Beltramiego na sferze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.6 Przestrze« L 2 (S d−1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 Standardowa baza harmonik sferycznych w L 2 (S 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Przestrzenie Hilberta1.1 Przestrzenie HilbertaPami¦tamy, »e w przestrzeni wektorowej V wyposa»onej w iloczyn skalarny v, w ↦→ (v|w) deniujesi¦ norm¦ ‖v‖ := (v|v) 1 2 . Mówimy, »e V jest przestrzeni¡ Hilberta, je±li V z metryk¡ d(v, w) :=‖v − w‖ jest zupeªna.Przykªad. Rozwa»my funkcj¦ dodatni¡ mierzaln¡ [a, b] ∋ x ↦→ ρ(x). (a mo»e by¢ równe −∞ ab mo»e by¢ równe +∞). Deniujemy przestrze« L 2 ([a, b], ρ) jako przestrze« funkcji mierzalnychtakich, »e∫ baf : [a, b] → C|f(x)| 2 ρ(x)dx < ∞.Jest to przestrze« Hilberta, je±li wyposa»ymy j¡ w iloczyn skalarny(f|g) :=∫ baf(x)g(x)ρ(x)dx,f, g ∈ L 2 ([a, b], ρ).2

1.2 Bazy ortogonalneNiech V b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta. Je±li W ⊂ V, deniujemy dopeªnienie ortogonalne zbioruW:W ⊥ := {v ∈ V : (w|v) = 0, w ∈ W }.Zauwa»my, »e W ⊥ jest zawsze domkni¦t¡ podprzestrzeni¡ w V.Niech {f 1 , f 2 , · · ·} ⊂ L 2 ([a, b], ρ). Mówimy, »e jest to ukªad ortogonalny, gdy(f n |f m ) = 0, n ≠ m.Je±li w dodatku (f n |f n ) = 1, to mówimy, »e jest to ukªad ortonormalny.Mówimy, »e {f 1 , f 2 , . . .} jest baz¡ ortogonaln¡ w V, gdy jest to ukªad ortogonalny skªadaj¡cysi¦ z niezerowych wektorów i taki, »e {f 1 , f 2 , . . .} ⊥ = {0}.Mówimy, »e {f 1 , f 2 , . . .} jest baz¡ ortonormaln¡ w L 2 ([a, b], ρ), gdy jest to ukªad ortonormalnyi {f 1 , f 2 , . . .} ⊥ = {0}.Oczywi±cie, je±li {f 1 , f 2 , · · ·} jest baz¡ ortogonaln¡, to mo»na zrobi¢ z niej baz¦ ortonormaln¡zast¦puj¡c f n przez fn. ‖f n‖Twierdzenie 1.1 Niech (f 1 , f 2 , . . .) b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ w przestrzeni Hilberta V.(1) Niech (c 1 , c 2 , . . .) b¦dzie ci¡giem zespolonym takim, »ePoªó»my∞∑|c j | 2 < ∞. (1.1)j=1h n :=Wtedy istnieje h ∈ V taki, »e ‖h − h n ‖ → 0.n∑c j f j . (1.2)(2) Niech h ∈ V. Niech c j := (f j |h). Wtedy (1.1) jest prawdziwe i je±li zdeniujemy h n jak w(1.2), to ‖h − h n ‖ → 0.Dowód. (1) Dla n ≥ m mamy‖h n − h m ‖ 2 =j=1n∑j=m+1|c j | 2 . (1.3)Z (1.1) widzimy, »e (1.3) d¡»y do zera, gdy n, m → ∞. Czyli ci¡g h n jest ci¡giem Cauchy'ego.Wiemy, »e przestrze« V jest zupeªna. Wi¦c h n posiada granic¦.(2) Najpierw sprawdzamy, »en∑|c j | 2 ≤ ‖h‖ 2 .j=13

St¡d∞∑|c j | 2 ≤ ‖h‖ 2 .j=1Zatem(1.1) jest speªnione. Na mocy (1) istnieje granica ˜h := lim n→∞ h n . Sprawdzamy, »e(h − ˜h|f j ) = 0, j = 1, 2, . . .. Zatem h − ˜h = 0. ✷B¦dziemy pisa¢∞∑c j f j := h,j=1gdzie h jest zdeniowany tak, jak w powy»szym twierdzeniu.Przykªad 1. W L 2 ([−π, π]), e n = e inφ , n ∈ Z, jest baz¡ ortogonaln¡ i (e n |e n ) = 2π. Je±lif ∈ L 2 ([−π, π]), dostajemygdzie∥ ∥∥∥∥∥f − limn→∞ˆf n :=12π∫ π−π∑|j|≤nˆf j e inφ ∥ ∥∥∥∥∥→ 0,f(φ)e −inφ dφs¡ wspóªczynnikami Fouriera funkcji f.Przykªad 2. Inn¡ pokrewn¡ baz¦ ortogonaln¡ w L 2 ([−π, π]) stanowi¡ e + n := cos nφ, e − n :=sin nφ, n = 1, 2, . . ., (e ± n |e ± n ) = π, e ′ 0 := 1, (e 0|e 0 ) = 2π.Przykªad 3. W L 2 ([0, π]) mamy baz¦ ortogonaln¡ e n := cos nφ, n = 1, 2, . . ., (e n |e n ) = π,2e 0 = 1, (e 0 |e 0 ) = π.Przykªad 4. W L 2 ([0, π]) mamy baz¦ ortogonaln¡ e n := sin nφ, n = 1, 2, . . ., (e n |e n ) = π.21.3 Szeregi FourieraPrzykªad 1. h(φ) := (a − e iφ ) −1 , a > 1. Wtedy{ 2πaĥ n =−n−1 , n = 0, 1, . . . ;0, n = −1, −2, . . . .Przykªad 2. h(φ) := (e iφ − a) −1 , a < 1. Wtedy{ 0, n = 0, 1, 2, . . . ;ĥ n =2πa −n−1 , n = −1, −2, . . . .Przykªad 3. h(φ) := φ. Wtedyĥ n ={ i2π(−1) nn, n ≠ 00. n = 0.Aby to otrzyma¢ mo»na zauwa»y¢, »e h(φ) = −i log(1 + e iφ ) + i log(1 + e −iφ ).4

Je±li zsumujemyh (n) (φ) := ∑|j|≤nĥ j e inφ2π ,To zaobserwujemy w otoczeniu φ = ±π tzw. zjawisko Gibbsa: funkcja h (n) przestrzeliwujewarto±¢ funkcji h. Mamy bowiemh (n) (−π + ɛ) = −2n∑j=1sin ɛj.jW otoczeniu nieci¡gªo±ci funkcji h obserwujemy zafalowanie funkcji h (n) , które w miar¦ wzrostun zw¦»a si¦, ale nie zmniejsza swej wysoko±ci zachowuj¡c swoj¡ wysoko±¢. To zafalowanie ma wgranicy ±ci±le okre±lony ksztaªt (z dokªadno±ci¡ do zw¦»ania), mamy bowiem(lim h (n) −π + c )= −2n→∞ n∫ c0sin xxdx.Jest to zjawisko wyst¦puj¡ce zawsze, kiedy mamy do czynienia z szeregiem Fouriera dlanieci¡gªej funkcji. Prowadzi ono do tego, »e dla funkcji nieci¡gªej o skoku aπ w sumie cz¦±ciowejszeregu Fouriera b¦dzie skok 2ac, gdzie c = ∫ π sin x0 xdx > π 2jest tzw. staª¡ Wilbrahama-Gibbsa.1.4 Rzuty ortogonalneMówimy, »e operator P jest rzutem ortogonalnym, gdy P 2 = P i KerP = RanP ⊥ . Mówimywtedy, »e jest to rzut ortogonalny na RanP.Je±li v jest niezerowym wektorem, to rzut ortogonalny na Cv jest równyP v w = v(v|w)(v|v) .W literaturze zycznej operator ten cz¦sto jest zapisywany jako |v)(v|(v|v) .Je±li v 1 , . . . , v n jest baz¡ ortogonaln¡ podprzestrzeni V 0 , to rzut ortogonalny na V 0 jest równyP V0 =n∑j=1|v j )(v j |(v j |v j ) .Przykªad. W przestrzeni L 2 ([−π, π]) rzut ortogonalny P n na podprzestrze« rozpi¦t¡ przez e ijφz |j| < n jest równy∫ πsin (2n+1)(φ−ψ)2(P n f n )(φ) =−π 2π sin (φ−ψ) f(ψ)dψ.25

1.5 Ortogonalizacja Grama-SchmidtaNiech (g 1 , g 2 , . . .) b¦dzie ci¡giem wektorów liniowo niezale»nym. Niech V n b¦dzie podprzestrzeni¡rozpi¦t¡ przez g 1 , . . . , g n . Wtedy V n jest przestrzni¡ wymiaru n i V 1 ⊂ V 2 ⊂ · · ·.Deniujemy indukcyjnien−1∑f n := g n −j=1f j (f j |g n )‖f j ‖ 2 = (1 − P n−1 )g n ,gdzie P n jest rzutem ortogonalnym na V n . (f 1 , f 2 , . . .) jest ukªadem ortogonalnym. (f 1 , . . . , f n )jest baz¡ ortogonaln¡ V n .2 Operatory2.1 Twierdzenie spektralne w sko«czonym wymiarzeNiech V b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta. Zaªó»my dla uproszczenia, »e V jest sko«czenie wymiarowa.Niech A b¦dzie operatorem liniowym na V. Operator hermitowsko sprz¦»ony do A deniujemywzorem(A ∗ w|v) = (w|Av), v, w ∈ V.Mówimy, »e A jest samosprz¦»ony, gdyMówimy, »e A jest unitarny, gdyA jest normalny, gdyA = A ∗ .AA ∗ = A ∗ A = 1.AA ∗ = A ∗ A.Oczywi±cie, operatory samosprz¦»one i operatory unitarne s¡ normalne.Na algebrze poznali±my tzw. Twierdzenie Spektralne:Twierdzenie 2.1 Niech A b¦dzie operatorem normalnym na sko«czenie wymiarowej przestrzeniHilberta. Wtedy istnieje baza ortonormalna zªo»ona z wektorów wªasnych operatora A.A jest samosprz¦»ony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie warto±ci wªasne s¡ rzeczywiste.A jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie warto±ci wªasne maj¡ moduª 1Przykªad. Niech e j , j = 1, . . . , n, b¦dzie baz¡ kanoniczn¡ w C n . Zdeniujmy operator UwzoremUe j := e j+1 , j = 1, . . . , n − 1, Ue n = e 0 .Wtedy U jest operatorem unitarnym, warto±ciami wªasnymi s¡ e ik2πn , odpowiadaj¡ im unormowanewektory wªasnew k = 1 √ nn∑j=1e ijk2πn ej .6

Przykªad. Niech vσ = ∑ 3i=1 v iσ i , gdzie v 1 , v 2 , v 3 ∈ R i σ i s¡ macierzami Pauliego na C 2 .Wtedy vσ jest samosprz¦»ony. Jest unitarny gdy v1 2 + v2 2 + v2 3 = 1. Warto±ci wªasne wynosz¡± √ v1 2 + v2 2 + v2 3 a wektory wªasnew + = √ 1 + v 1 e 1 + v 2 + v 3√ 1 + v1e 2 , w − = √ 1 − v 1 e 1 + −v 2 + v 3√ 1 − v1e 2 .2.2 Twierdzenie spektralne w niesko«czonym wymiarzeW niesko«czenie wymiarowej przestrzeni Hilberta istnieje odpowiednik poj¦cia operatora normalnego,samosprz¦»onego i unitarnego. Istnieje równie» uogólnienie Twierdzenia Spektralnego, aledu»o trudniejsze. Poni»ej omówimy dodatkowe trudno±ci, które pojawiaj¡ si¦ w niesko«czonymwymiarze.2.2.1 Widmo ci¡gªeWektory wªasne odnosz¡ce si¦ do ró»nych warto±ci wªasnych s¡ ortogonalne. Mo»e jednak nieistnie¢ baza ortonormalna zªo»ona z wektorów wªasnych. Wynika to z pojawienia si¦ tzw. widmaci¡gªego.Przykªad. Na L 2 ([0, 1]) deniujemy (Af)(x) = xf(x). Operator ten jest samosprz¦»ony ale niema wektorów wªasnych.Przykªad. Na L 2 (Z), niech e j oznacza baz¦ kanoniczn¡. Deniujemy operator U wzoremUe n := e n+1 . Jest on unitarny, ale nie ma wektorów wªasnych.2.2.2 Operatory nieograniczoneMo»e by¢ niemo»liwe zdeniowanie operatora na caªej przestrzeni Hilberta. Operator dziaªawtedy jedynie na swojej dziedzinie, która jest g¦st¡ podprzestrzeni¡ przestrzeni Hilberta. Tenproblem wyst¦puje dla tzw. operatorów nieograniczonych.Przykªad. Na L 2 (R) próbujemy zdeniowa¢ operator (Af)(x) = xf(x). Wektor (x+i) −1 nale»ydo L 2 (R) ale x(x+i) −1 nie nale»y do L 2 (R). Dlatego, (x+i) −1 nie nale»y do dziedziny operatoraA.Przykªad. Na L 2 (R) próbujemy zdeniowa¢ operator Df(x) = 1 i ∂ xf(x). Wektor θ(x)e −x nale»ydo L 2 (R) ale 1 i ∂ xθ(x)e −x nie nale»y do L 2 (R). (θ(x) oznacza funkcj¦ Heaviside'a). Dlategoθ(x)e −1 nie nale»y do dziedziny operatora D.(Przy odpowiedniej denicji, oba powy»sze operatory s¡ przykªadami nieograniczonych operatorówsamosprz¦»onych).2.2.3 Hermitowsko±¢ nie wystarczy do samosprz¦»ono±ciAby zdeniowa¢ operator nieograniczony nie zawsze wystarczy poda¢, jak on dziaªa na g¦stejdziedzinie. Ten problem wyst¦puje w szczególno±ci dla operatorów samosprz¦»onych.W szczególno±ci, je±li operator H dziaªa na dziedzinie D i speªnia(f|Hg) = (Hf|g), f, g ∈ D, (2.4)7

mówimy, »e operator H jest hermitowski. Nie jest to jednak równoznaczne z samosprz¦»ono±ci¡,która ma trudniejsz¡ denicj¦, której tu nie b¦dziemy przytacza¢. W zastosowaniach najwa»-niejsz¡ rol¦ graj¡ operatory samosprz¦»one, operatory hermitowskie lecz niesamosprz¦»one s¡ owiele mniej u»yteczne.Szczególnie wa»n¡ klas¡ przykªadów, w których wyst¦puje problem deniowania operatorówsamosprz¦»onych to operatory ró»niczkowe w których nale»y zada¢ warunki brzegowe. Tozagadnienie omówimy w nast¦pnym podrozdziale.2.3 Warunki brzegowePrzykªad. Rozwa»my prestrze« L 2 ([0, π]). Niech D min b¦dzie zbiorem funkcji f ∈ C ∞ ([0, π]),które s¡ równe zero w otoczeniu 0 i π. Jest to g¦sta podprzestrze« w L 2 ([0, π]).Deniujemy operator na D min wzoremH min f := −∂ 2 xf(x), f ∈ D min .Zauwa»my, »e nie ma on wcale wektorów wªasnych. Speªnia on natomiast warunek hermitowsko±ci,który dowodzimy caªkuj¡c przez cz¦±ci:(g|H min f) = −= −∫ π0∫ π0g(x)∂ 2 xf(x)dx(∂ 2 xg(x))f(x)dx = (H min g|f). (2.5)Zobaczymy, »e dziedzina operatora H min jest za maªa.Przykªad. W powy»szym przykªadzie, zast¡pmy D min przez D max wszystkie funkcje gªadkie na[0, π]. Operator H max jest zdenowany tym samym wzorem co H min , tylko na wi¦kszej dziedzinie.H max f := −∂ 2 xf(x), f ∈ D max .Wtedy wszystkie liczby zespolone s¡ warto±ciami wªasnymi, bo f ω (x) = e iωx speªniaH max f ω = ω 2 f ω . (2.6)Wektory wªasne odnoscz¡ce si¦ do ró»nych warto±ci wªasnych nie s¡ wzajemnie ortogonalne.Operator H max nie speªnia warunku hermitowsko±ci, bo przy caªkowaniu przez cz¦±ci pojawiaj¡si¦ wyrazy brzegowe:∫ π(g|H max f) = −0g(x)∂ 2 xf(x)dx (2.7)= g(0)∂ x f(0) − g(π)∂ x f(π) +∫ π0(∂ x g(x))∂ x f(x)dx= g(0)∂ x f(0) − g(π)∂ x f(π) − (∂ x g(0))f(0) + (∂ x g(π))f(π) −= g(0)∂ x f(0) − g(π)∂ x f(π) − (∂ x g(0))f(0) + (∂ x g(π))f(π) + (H max g|f).∫ π0(∂ 2 xg(x))f(x)dx8

Przykªad. Niech H D b¦dzie równy −∂ 2 x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = f(π) = 0.Wtedy operator H D deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymiDirichleta i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:f n (x) =√2π sin xn, H Df n = n 2 f n , n = 1, 2, . . . . (2.8)Przykªad. Niech H N b¦dzie równy −∂ 2 x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f ′ (0) = f ′ (π) = 0.Wtedy operator H N deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem z warunkami brzegowymiNeumanna i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:f 0 := 1 √ π, f n (x) =√2π cos xn, H Nf n = n 2 f n , n = 1, 2, . . . . (2.9)Przykªad. Niech H per b¦dzie równy −∂x 2 na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = f(π),f ′ (0) = f ′ (π). Wtedy operator H per deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem zperiodycznymi warunkami brzegowymi i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ ortonormaln¡:f n (x) = √ 1 e i2nx , H per f n = 4n 2 f n , n = 0, ±1, ±2, . . . . (2.10)πPrzykªad. Niech H ant b¦dzie równy −∂ 2 x na funkcjach gªadkich speªniaj¡cych f(0) = −f(π),f ′ (0) = −f ′ (π). Wtedy operator H ant deniuje operator samosprz¦»ony zwany Laplasjanem zantyperiodycznymi warunkami brzegowymi i z jego wektorów wªasnych mo»na utworzy¢ baz¦ortonormaln¡:f n (x) = 1 √ πe i(2n+1)x , H ant f n = (2n + 1) 2 f n , n = 0, ±1, ±2, . . . . (2.11)2.4 Operatory ró»niczkowe drugiego rz¦du w jednym wymiarzeW zyce szczególn¡ rol¦ odgrywaj¡ operatory drugiego rz¦duC; = σ(x)∂x 2 + τ(x)∂ x . (2.12)Cz¦sto wygodnie jest zapisa¢ taki operator w innej formie. Niech ρ(x) speªniaρ ′ (x) = (τ(x) − σ ′ (x))ρ(x). (2.13)Wtedy mamyC = ρ(x) −1 ∂ x ρ(x)σ(x)∂ x . (2.14)Twierdzenie 2.2 NiechD = {f ∈ C ∞ ([a, b]) : f = 0 w otoczeniu a, b}.Zakªadamy, »e C jest operatorem zdeniowanym na D wzorem (2.5), ρ > 0, σ jest rzeczywiste.Rozwa»my przestrze« Hilberta L 2 ([a, b], ρ). Wtedy C jest hermitowski.9

Dowód.✷(g|Cf) ==∫ ba∫ b= −=a∫ ba∫ baρ(x)g(x)ρ(x) −1 ∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f(x)dxg(x)∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f(x)dx(∂ x g(x))σ(x)ρ(x)∂ x f(x)dxρ(x)(ρ(x) −1 ∂ x σ(x)ρ(x)∂ x g(x))f(x)dx = (Cg|f).2.5 Problem Sturma-Liouville'aSzukanie warto±ci wªasnych samosprz¦»onego operatora ró»niczkowego na odcinku bywa nazywanyproblemem Sturma-Liouville'a.Twierdzenie 2.3 Niech σ b¦dzie rzeczywist¡ ró»niczkowaln¡ funkcj¡ na [a, b]. Niech f 1 , f 2 ∈C 2 (]a, b[) ∩ L 2 ([a, b], ρ), i takie, »e()lim ρ(x)σ(x) f ′ 1(x)f 2 (x) − f 1 (x)f 2(x)′ = 0.x→a,bNiech λ 1 ≠ λ 2 iWtedy (f 1 |f 2 ) = 0.ρ(x) −1 ∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f i (x) = λ i f i (x), i = 1, 2.Dowód.f 1 (x)∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f 2 (x) − ( ∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f 1 (x) ) f 2 (x)= ∂ x(f 1 (x)σ(x)ρ(x)∂ x f 2 (x) − (∂ x f 1 (x))σ(x)ρ(x)f 2 (x) )Dlatego✷=(λ 1 − λ 2 )∫ b−ɛa+ɛ∫ b−ɛa+ɛf 1 (x)f 2 (x)ρ(x)dx(f 1 (x)∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f 2 (x) − ( ∂ x σ(x)ρ(x)∂ x f 1 (x) ) f 2 (x) ) dx= f 1 (x)σ(x)ρ(x)f 2(x) ′ − f ′ 1(x)σ(x)ρ(x)f 2 (x) ∣ b−ɛ→ 0.a+ɛ10

3 Wielomiany ortogonalne3.1 Wielomiany ortogonalneNiech ρ > 0 jest ustalon¡ wag¡ na odcinku [a, b]. Zaªó»my, »e∫ ba|x| N |RHO(x)dx < ∞.Wtedy jednomiany 1, x, x 2 , . . . tworz¡ ukªad liniowo niezale»ny w L 2 ([a, b], ρ). Stosuj¡c do nichprocedur¦ Grama-Schmidta dostajemy wielomiany ortogonalne P 0 , P 1 , P 2 , . . .. gdzie degP n = n.Istnieje proste kryterium pozwalaj¡ce sprawdzi¢, kiedy jest to baza ortonormalna.Twierdzenie 3.1 Zaªó»my, »e dla pewnego ɛ > 0∫ bWtedy wielomiany s¡ g¦ste w L 2 ([a, b], ρ).ortogonaln¡ w L 2 ([a, b], ρ).ae ɛ|x| ρ(x)dx < ∞.Dlatego te», wielomiany P 0 , P 1 , . . . stanowi¡ baz¦Dowód. Niech h ∈ L 2 ([a, b], ρ). Wtedy dla |Imz| ≤ ɛ 2∫ bZatem dla Imz| ≤ ɛ 2a|ρ(x)h(x)e ixz |dx≤(∫ bmo»emy zdeniowa¢F (z) :=∫ baa) 1 (∫ρ(x)e ɛ|x| 2 b) 1dx ρ(x)|h(x)| 2 2dxaρ(x)e −izx h(x)dx, |Imz| < ɛ.< ∞.A wi¦c F jest analityczna na pasku {z ∈ C : |Imz| < ɛ }. Niech 2 (xn |h) = 0, n = 0, 1, . . ..Wtedyd n ∣ ∫ bdz n F (z) ∣∣z=0= (−i) n x n ρ(x)h(x)dx = (−i) n (x n |h) = 0.aAle funkcja analityczna, która znika wraz ze wszystkimi pochodnymi w jednym punkcie, znika nacaªej dziedzinie (je±li ta dziedzina jest spójna). Zatem F = 0 na caªej dziedzinie, w szczególno±cina prostej rzeczywistej. Czyli ĥ = 0. Z odwrotnej transformaty Fouriera wynika, »e h = 0.Czyli nie istnieje niezerowy wektor ortogonalny do wielomianów. Zatem wielomiany s¡ g¦stew L 2 ([a, b], ρ). ✷3.2 Wzór Christoela-DarbouxNiech p n (x) = Pn(x) b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ powstaª¡ z bazy ortogonalnej ‖P P n‖ 1, P 2 , . . ..Elementy macierzowe operatora x oznaczamy przezβ jm := (p j |xp m ) =∫ baρ(x)xp j (x)p m (x)dx.11

Twierdzenie 3.2β jm = β mj ,β jm = 0, |j − m| ≥ 2.Niech k j b¦dzie wspóªczynnikiem p j przy pot¦dze x j . Wtedyβ j,j+1 =k jk j+1,bo xp j ma najwy»szy wyraz k j x j+1 . Dostajemy wzór rekurencyjnyxp n = β n,n−1 p n−1 + β n,n p n + β n.n+1 p n+1 .Twierdzenie 3.3 (Wzór Christoela-Darboux) J¡dro caªkowe rzutu na przestrze« wielomianówstopnia ≤ n jest równea na diagonali∑P n (x, y) = n p k (x)p k (y)P n (x, x) =k=0= knk n+1p n(x)p n+1 (y)−p n+1 (x)p n(y)x−y,k nk n+1(p n (x)p ′ n+1(x) − p n+1 (x)p ′ n(x)).Dowód. Niech Q k b¦dzie rzutem na p k . Ma on j¡dro caªkowe[x, Q k ] ma j¡dro caªkoweQ k (x, y) = p k (x)p k (y).xQ k (x, y) − Q k (x, y)y= xp k (x)p k (y) − p k (x)p k (y)yZatem [x, P n ] = ∑ nk=1 [x, Q k] ma j¡dro caªkowe✷= β k,k−1 (p k−1 (x)p k (y) − p k (x)p k−1 (y))+β k+1,k (p k+1 (x)p k (y) − p k (x)p k+1 (y)).xP n (x, y) − P n (x, y)y = β n,n+1 (p n+1 (x)p n (y) − p n (x)p n+1 (y)).12

3.3 Wielomiany Czebyszewa 1-go rodzajuRozwa»amy przestrze«DeniujemyL 2 ([−1, 1], (1 − x 2 ) − 1 2 ).T n (cos φ) = cos nφ, φ ∈ [0, π],T n (x) = 1 2 ((x + i√ 1 − x 2 ) n + (x − i √ 1 − x 2 ) n ) x ∈ [−1, 1].Twierdzenie 3.4 Wielomiany T m s¡ baz¡ ortogonaln¡ i‖T 0 ‖ = π, ‖T n ‖ 2 = π , n = 1, 2, . . . .2Speªniaj¡ równanieDowód. ZdeniujmyWtedy((1 − x 2 )∂ 2 x − x∂ x + n 2 )T n (x) = 0. (3.15)W : L 2 ([−1, −1], (1 − x 2 ) − 1 2 ) → L 2 ([0, π]),W f(φ) := f(cos φ).‖W f‖ 2 =∫ π0|f(cos φ)| 2 dφ =∫ π0|f(cos φ)| 2 sin −1 φd cos φ =czyli operator W jest unitarny. Poza tymW T m (φ) = T m (cos φ) = cos mφ.∫ 1−1|f(x)| 2 (1 − x 2 ) − 1 2 dx,MamyAby zobaczy¢ (3.15) liczymy:(∂ 2 φ + n2 ) cos nφ = 0. (3.16)∂ φ W f(φ) = − sin φf ′ (cos φ),ZatemSt¡d✷W ∗ ∂ φ W f(x) = − sin(arccos x)f ′ (x) = −(1 − x 2 ) 1 2 ∂x f(x).W ∗ ∂ φ W = −(1 − x 2 ) 1 2 ∂x .W ∗ ∂ 2 φ W = (W ∗ ∂ φ W ) 2 = (1 − x 2 )∂ 2 x − x∂ x .13

3.4 Wielomiany Czebyszewa 2-go rodzajuRozwa»amy przestrze«DeniujemyU n (cos φ)L 2 ([−1, 1], (1 − x 2 ) 1 2 ).= sin(n+1)φsin φ, φ ∈ [0, π],U n (x) = (x+i√ 1−x 2 ) n+1 −(x−i √ 1−x 2 ) n+12i √ 1−x 2 , x ∈ [−1, 1].Twierdzenie 3.5 Wielomiany U m s¡ baz¡ ortogonaln¡ i‖U n ‖ 2 = π , n = 1, 2, . . . .2Speªniaj¡ równanieDowód. ZdenujmyWtedy((1 − x 2 )∂ 2 x − 3x∂ x + n(n + 2))U n (x) = 0. (3.17)W : L 2 ([−1, 1], (1 − x 2 ) 1 2 ) → L 2 ([0, π]),W f(φ) := f(cos φ) sin φ.‖W f‖ 2 =∫ π0|f(cos φ)| 2 sin 2 φdφ =∫ π0|f 2 (cos φ)| sin φd cos φ =czyli operator W jest unitarny. Poza tymW U m (φ) = U m (cos φ) sin φ = sin(m + 1)φ.∫ 1−1|f(x)| 2 (1 − x 2 ) 1 2 dx,MamyAby zobaczy¢ (3.17) liczymy(∂ 2 φ + (n + 1)2 )) sin(n + 1)φ = 0. (3.18)∂ φ Uf(φ) = − sin 2 φf ′ (cos φ) + cos φf(cos φ),ZatemSt¡d✷U ∗ ∂ φ U = −(1 − x 2 ) 1 2 ∂x + x(1 − x 2 ) − 1 2 .U ∗ ∂ 2 φ U = (U ∗ ∂ φ U) 2 = (1 − x 2 )∂ 2 x − 3x∂ x − 1.14

4 Klasyczne wielomiany ortogonalne4.1 Wielomiany typu hipergeometrycznegoSzukamy operatorów ró»niczkowych drugiego rz¦du, których wektorami wªasnymi s¡ wielomianyka»dego stopnia.Twierdzenie 4.1 NiechC := σ(z)∂ 2 z + τ(z)∂ z + η(z) (4.19)b¦dzie operatorem ró»niczkowym takim, »e istniej¡ wielomiany P 0 , P 1 , P 2 stopnia odpowiednio0, 1, 2 speªniaj¡ceCP n = λ n P n .Wtedy(1) σ(z) jest wielomianem stopnia ≤ 2,(2) τ(z) jest wielomianem stopnia ≤ 1,(3) η(z) jest wielomianem stopnia ≤ 0 (jest liczb¡).Dowód. CP 0 = η(z)P 0 , wi¦c degη = 0.CP 1 = τ(z)P 1 ′ + ηP 0, wi¦c degτ ≤ 1.CP 2 = σ(z)P 2 ′′ + τ(z)P 2 ′(z) + ηP 2, wi¦c degσ ≤ 2. ✷Zatem wystarczy ograniczy¢ si¦ do operatorów postaciC(τ) := σ(z)∂ 2 z + τ(z)∂ z , (4.20)gdzie degσ ≤ 2 i degτ ≤ 1. Poka»emy, »e dla szerokiej klasy (4.20) dla ka»dego n naturalnegoistnieje wielomian P n b¦d¡cy wektorem wªasnym (4.20).4.2 Uogólniony wzór Rodrigues'aNiektóre wªasno±ci wielomianów b¦d¡cych funkcjami wªasnymi operatora postaci opisanej wTwierdzeniu 4.1 mo»na wyprowadzi¢ w jednolity sposób nie rozbijaj¡c rozumowania na przypadkiszczególne. (Niniejszy rozdziaª mo»na pomin¡¢, odpowiednie wzory b¦d¡ pó¹niej wyprowadzonedla przypadków szczególnych).Ustalamy σ, ale b¦dziemy jawnie zaznaczali zale»no±¢ od τ. Niech ρ b¦dzie funkcj¡ speªniaj¡c¡równanieσ(z)∂ z ρ(z) = ( τ(z) − σ ′ (z) ) ρ(z). (4.21)Zauwa»my, »e ρ wyra»a si¦ poprzez funkcje elementarne. Operator C mo»na zapisa¢ jakoC(τ) = ρ −1 (z)∂ z σ(z)ρ(z)∂ z= ∂ z ρ −1 (z)σ(z)∂ z ρ(z) − τ ′ + σ ′′ . (4.22)15

ZdeniujmyTwierdzenie 4.2 MamyP n (τ; z) := 1 n! ρ−1 (z)∂z n σ n (z)ρ(z)∫1=2πi ρ−1 (z) σ n (z + t)ρ(z + t)t −n−1 dt. (4.23)[0 + ]( )σ(z)∂2z + τ(z)∂ z Pn (τ; z) = (nτ ′ + n(n − 1) σ′′2 )P n(τ; z), (4.24)(σ(z)∂z + τ(z) − σ ′ (z) ) P n (τ; z) = (n + 1)P n+1 (τ − σ ′ ; z), (4.25))∂ z P n (τ; z) =(τ ′ + (n − 1) σ′′P n−1 (τ + σ ′ ; z), (4.26)2ρ(z + tσ(z))ρ(z)=∞∑t n P (τ − nσ ′ ; z). (4.27)n=0Dowód. Wprowadzamy nast¦puj¡ce operatory kreacji i anihilacji:Zauwa»my, »eA + (τ) = σ(z)∂ z + τ(z) = ρ −1 (z)∂ z ρ(z)σ(z),A − := ∂ z .Niech C(τ + σ ′ )F = λF. WtedyC(τ) = A + (τ)A −Zatem je±li C(τ + nσ ′ )F 0 = λ 0 F 0 , toKorzystaj¡c z tego, »e= A − A + (τ − σ ′ ) − (τ ′ − σ ′′ ).C(τ)A + (τ)F = A + (τ)A − A + (τ)F= A + (τ)(C(τ + σ ′ ) + τ ′ )F= (λ + τ ′ )F.C(τ) A + (τ) · · · A + (τ + (n − 1)σ ′ )F 0= (λ 0 + nτ ′ + n(n − 1) σ′′2 )A+ (τ) · · · A + (τ + (n − 1)σ ′ )F 0 .A + (τ) = ρ −1 (z)∂ z ρ(z)σ(z),A + (τ + σ ′ ) = ρ −1 (z)σ −1 (z)∂ z ρ(z)σ 2 (z),· · · = · · ·A + (τ + (n − 1)σ ′ ) = ρ −1 (z)σ −(n−1) ∂ z ρ(z)σ n (z),16

dostajemyA + (τ) · · · A + (τ + (n − 1)σ ′ )F 0 = ρ −1 ∂ z ρ(z)σ n (z)F 0 (z).We¹my teraz F 0 = 1, dla którego λ 0 = 0. Dostajemy wtedy (4.24). ✷4.3 Klasyczne wielomiany ortogonalne jako wektory wªasne operatora Sturma-Liouville'aSzukamy takich odcinków [a, b] ⊂ R i wag [a, b] ∋ x ↦→ ρ(x), dla których istniej¡ wielomianyP 0 , P 1 , . . . w speªniaj¡ce degP n = n,∫P n (x)P m (x)ρ(x)dx = c n δ n,m (4.28)i b¦d¡ce funkcjami wªasnymi operatora ró»niczkowego drugiego rz¦du C := σ(x)∂ 2 x +τ(x)∂ x , czylidla pewnych λ n ∈ R(σ(x)∂2x + τ(x)∂ x + λ n)Pn (x) = 0. (4.29)(Dopuszczamy a = −∞ lub b = ∞).Wiemy ju», »e nale»y w tym celu speªni¢ nast¦puj¡ce warunki:(1) σ musi by¢ wielomianem stopnia co najwy»ej 2 a τ wielomianem stopnia co najwy»ej 1.(Patrz Twierdzenie 4.1).(2) Waga ρ musi by¢ rozwi¡zaniem równaniaρ ′ (x) = (τ(x) − σ ′ (x))ρ(x), (4.30)by¢ dodatnia a σ rzeczywiste. Wtedy bowiem operator C, który mo»na zapisa¢ jakoC = ρ(x) −1 ∂ x ρ(x)σ(x)∂ x ,jest hermitowski przynajmniej na funkcjach znikaj¡cych w otoczeniu ko«ców przedziaªu[a, b]. (Patrz Twierdzenie 2.2).(3) Nale»y sprawdzi¢, czy operator jest samosprz¦»ony. W przypadku gdy koniec przedziaªu,powiedzmy a, jest sko«czon¡ liczb¡, jest to równoznaczne z warunkiem ρ(a)σ(a) = 0. (PatrzTwierdzenie 2.3).(4) ›eby P n nale»aªy do przestrzeni Hilberta L 2 ([a, b], ρ), dla ka»dego n musi zachodzi¢Troch¦ mocniejszy warunek∫ ba∫ baρ(x)|x| n dx < ∞. (4.31)e ɛ|x| ρ(x)dx < ∞ (4.32)dla pewnego ɛ > 0, wystarcza, aby dosta¢ baz¦ ortonormaln¡. (Patrz Twierdzenie 3.1).17

Znajdziemy wszystkie przestrzenie z wag¡ L 2 ([a, b], ρ) dla których takie wielomiany ortogonalneistniej¡. B¦dziemy upraszcza¢ nasze odpowiedzi do standardowych postaci(1) dokonuj¡c zamiany zmiennych x ↦→ ax + b dla a ≠ 0;(2) dziel¡c (zarówno równanie ró»niczkowe, jak i wag¦) przez staª¡.Otrzymamy w ten sposób wszystkie tak zwane klasyczne wielomiany ortogonalne.4.4 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 0Mo»na przyj¡¢, »e σ(x) = 1.Je±li degτ = 0, toLatwo odrzuci¢ ten przypadek.Zatem degτ = 1. CzyliPodstawmy x =√|a|(2 y +ba) . DostajemyC = ∂ 2 y + c∂ y .C = ∂ 2 y + (ay + b)∂ y .C = ∂x 2 + 2x∂ x , a > 0; (4.33)C = ∂x 2 − 2x∂ x , a < 0. (4.34)Dostajemy ρ(x) = e ±x2 .σ(x)ρ(x) = e ±x2 nigdy si¦ nie zeruje, zatem jedynym mo»liwym przedziaªem jest [−∞, ∞].W przypadku a > 0, ρ(x) = e x2 , co jest niemo»liwe ze wzgl¦du na (4.31).W przypadku a < 0, ρ(x) = e −x2 i dostajemy operator Hermite'a. Przedziaª [−∞, ∞]jest dopuszczalny, a nawet speªnia warunek 4.32. Dostajemy równanie i wag¦ dla wielomianówHermite'a, które zostan¡ omówione w nast¦pnym podrozdziale.4.5 Wielomiany Hermite'aTwierdzenie 4.3 Zdeniujmy wielomiany Hermite'aSpeªniaj¡ one równanie Hermite'aoraz relacjeH n (x) = (−1)n e x2 ∂x n e −x2 .n!(∂ 2 x − 2x∂ x + 2n)H n (x) = 0.(−∂ x + 2x)H n (x) = (n + 1)H n+1 (x) (4.35)∂ x H n (x) = 2H n−1 (x), (4.36)∞∑t n H n (x) = e 2tx−t2 . (4.37)n=018

Dowód. Twierdzenie to wynika z Twierdzenia 4.2 dlaσ(x) = −1, ρ = e −x2 .Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacjiSpeªniaj¡ one relacjeA − = ∂ x ,A + = −∂ x + 2x = −e x2 ∂ x e −x2 .[A + , A − ] = 2. (4.38)Mamy H n = (A+ ) n 1n!. (1 oznacza tu wektor w L 2 (e −x2 zadany przez funkcj¦ równ¡ 1. Natomiastw (4.38) 2 oznacza operator mno»enia przez liczb¦ 2.) St¡d wynikaAby dowie±¢ (4.40) u»ywamy (4.38).Wreszcie (4.39), (4.40) pokazuj¡, »eAle✷A + H n = (n + 1)H n+1 , (4.39)A − H n = 2H n−1 . (4.40)A + A − H n = 2nH n . (4.41)−∂ 2 x + 2x∂ x = A + A − . (4.42)Twierdzenie 4.4 H n stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L 2 (R, e −x2 ) z normalizacj¡∫ ∞√ π2H n (x) 2 ne −x2 dx = .n!−∞Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ ∞−∞H n (x)H m (x)e −x2 dx = (−1)nn!= 1 n!∫ ∞−∞∫ ∞−∞(∂ n x e −x2) H m (x)dxe −x2 ∂ n x H m (x)dx. (4.43)(4.43) równa si¦ zero dla n > m.Niech n = m. Z (4.36) i H 0 = 1 wynika ∂x n H n (x) = 2 n . Zatem (4.43) jest równe✷2 nn!∫ ∞−∞e −x2 dx = 2n √ π.n!Uwaga. Denicja wielomianów Hermite'a któr¡ wprowadzili±my jest zgodna z uogólnionym wzoremRodrigues'a (4.23). W literaturze spotyka si¦ te» inne denicje dla wielomianów Hermite'a,np. H n (x) := (−1) n e x2 ∂ n x e −x2 .19

4.6 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 1Wystarczy ograniczy¢ si¦ do przypadku σ(y) = y.Je±li degτ = 0, toC = y∂ 2 y + c∂ yAle takie C zawsze obni»a stopie« wielomianu. Czyli je±li CP = λP dla pewnego wielomianu, toλ = 0. To oznacza, »e P (x) = x −c . Czyli nie dostaniemy wielomianów wszystkich stopni jakofunkcji wªasnych.Zatem degτ = 1. Czyli, dla b ≠ 0,y∂ 2 y + (a + by)∂ y . (4.44)Przeskalowuj¡c, dostajemy operator wyst¦puj¡cy w równaniu Laguerre'aC = −x∂ 2 x + (−α − 1 + x)∂ x .Obliczamy, »e ρ = x α e −x . ρ(x)σ(x) = x α+1 e −x zeruje si¦ jedynie dla x = 0 i α > −1.Przedziaª [−∞, 0] jest wyeliminowany ze wzgl¦du na niecaªkowalno±¢ ρ. Przedziaª [0, ∞] jestdopuszczalny dla α > −1, a nawet speªnia wtedy warunek 4.32.Dostajemy równanie i wag¦ dla wielomianów Laguerre'a, które zostan¡ omówione w nast¦pnympodrozdziale.4.7 Wielomiany Laguerre'aTwierdzenie 4.5 Zdeniujmy wielomiany Laguerre'aL α n(x) = 1 n! ex x −α ∂ n x e −x x n+α= (1 + α) nF (−n; 1 + α; x).n!Speªniaj¡ one równanie Laguerre'a, które jest równaniem konuentnym ze zmodykowanymi parametrami:(x∂2x + (α + 1 − x)∂ x + n ) L α n(x) = 0oraz relacjeDowód. Mo»na zastosowa¢ Twierdzenie 4.2 dla(x∂ x + α − x)L α n(x) = (n + 1)L α−1n+1 (x), (4.45)∂ x L α n(x) = −L α+1n−1 (x). (4.46)σ(x) = x, ρ(x) = e −x x α .Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacjiA − = −∂ x ,A + α = x∂ x + α − x = x −α+1 e x ∂ x x α e −x .20

Speªniaj¡ one relacjeMamyA + α+1 A− − A − A + α = 1. (4.47)L α n = A+ α+1 · · · A+ α+n 1 . (4.48)n!(1 oznacza w (4.48) wektor zadany przez funkcj¦ równ¡ 1. Natomiast w (4.47) 1 oznacza operatormno»enia przez liczb¦ 1.) St¡d wynikaAby dowie±¢ (4.50) u»ywamy (4.47).Wreszcie (4.49), (4.50) pokazuje, »eA + α L α n = (n + 1)L α−1n+1 , (4.49)A − L α n = L α+1n−1 . (4.50)A + α+1 A− L α n = nL α n. (4.51)Ale✷−x∂ 2 x − (α + 1 − x)∂ x = A + α+1 A− . (4.52)Twierdzenie 4.6 Je±li α > −1, to wielomiany Laguerre'a stanowi¡ one baz¦ ortogonaln¡ wL 2 ([0, ∞[, e −x x α ) z normalizacj¡∫ ∞Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ ∞00L α n(x) 2 x α e −x dx =L α n(x)L α m(x)e −x2 dx = 1 n!∫ ∞0= (−1)nn!Γ(1 + α + n).n!(∂nx x n+α e −x) L α m(x)dx∫ ∞0x n+α e −x ∂ n x L α m(x)dx. (4.53)(4.53) równa si¦ zero dla n > m.Niech n = m. Z (4.46) i L α 0 = 1 wynika ∂n x L α n(x) = (−1) n . Zatem (4.53) jest równe✷1n!∫ ∞0x n+α e −x dx =Γ(n + α + 1).n!21

4.8 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma pierwiastek podwójnyMo»na przyj¡¢, »e σ(x) = x 2 .Je±li τ(0) = 0, toC = x 2 ∂x 2 + cx∂ x .Funkcjami wªasnymi tego operatora s¡ co prawda wielomiany x n , ale waga ρ(x) = x c−2 jestniedobra.Zaªó»my zatem, »e τ(0) ≠ 0. Przez przeskalowanie mo»na zaªo»y¢, »eτ(x) = 1 + (γ + 2)x.To daje ρ(x) = e − 1 x x γ . Jedyny punkt, gdzie ρ(x)σ(x) = e − 1 x x γ+2 mo»e si¦ zerowa¢ jest x = 0.Zatem jedynymi mo»liwymi przedziaªami s¡ [−∞, 0] i [0, ∞]. W pierwszym ρ jest niecaªkowalne,w drugim jest niecaªkowalne po pomno»eniu przez x n dla odpowiednio du»ego n.4.9 Klasyczne wielomiany ortogonalne dla degσ = 2,σ ma dwa pierwiastkiJe±li oba pierwiastki s¡ ró»ne i urojone, wystarczy zaªo»y¢, »e σ(x) = 1 + x 2 . Mo»na przyj¡¢, »eτ(x) = a + (b + 2)x. Wtedy ρ(x) = e a arctan x (1 + x 2 ) b . σ(x)ρ(x) nigdzie si¦ nie zeruje i dlategotrzeba rozwa»a¢ przedziaª [−∞, ∞]. Przypadek ten odrzucamy, gdy» ∫ ∞−∞ ρ(x)|x|n dx = ∞ dladostatecznie du»ych n.Czyli mo»na zaªo»y¢, »e pierwiastki s¡ ró»ne i rzeczywiste. Wystarczy zaªo»y¢, »e σ(x) =1 − x 2 . Niechτ(x) = β − α − (α + β − 2)x.Dostajemy ρ(x) = |1 − x| β |1 + x| α . Podobnie jak powy»ej, odrzucamy przedziaªy [−∞, −1]i [1, ∞]. Zostaje przedziaª [−1, 1], który prowadzi do wielomianów Jacobiego omawianych wnast¦pnym podrozdziale.4.10 Wielomiany JacobiegoTwierdzenie 4.7 Zdeniujmy wielomiany JacobiegoP α,βn (x) = (−1)n2 n n! (1 − x)−α (1 + x) −β ∂ n x (1 − x) α+n (1 + x) β+n= (n + α) nF (−n, n + α + β + 1; α + 1; 1 − x ).n!2Speªniaj¡ one równanie Jacobiego, które jest nieco zmodykowanym równaniem hipergeometrycznym:((1 − x 2 )∂x 2 + (β − α − (α + β + 2)x)∂ x + n(n + α + β + 1) ) Pn α,β (x) = 0.oraz relacje∂ x Pn α,β (x) = α + β + n + 1 P α+1,β+1n−1 ,2(4.54)− (1 − x2 )∂ x + β − α − (α + β)xPn α,β (x) = (n + 1)P α−1,β−1n+1 (x).2(4.55)22

Dowód. Mo»na zastosowa¢ Twierdzenie 4.2 dlaσ(x) = x2 − 1, ρ(x) = (1 − x) α (1 + x) β .2Poni»ej podajemy dowód bezpo±redni. Wprowad¹my operatory kreacji i anihilacjiSpeªniaj¡ one relacjeMamySt¡d wynikaA − = ∂ x ,A + α,β= − 1 ((1 − x 2 )∂ x + β − α − (α + β)x )2= − 1 2 (1 − x)−α+1 (1 + x) −β+1 ∂ x (1 − x) α (1 + x) β .A − A + α,β − A+ α+1,β+1 A− = α + β . (4.56)2n = A+ α+1,β+1 · · · A+ α+n,β+n 1. (4.57)n!P α,βA + α,β P n α,β = (n + 1)P α−1,β−1n+1 , (4.58)A − Pn α,β = α + β + n + 1 P α+1,β+1n−1 . (4.59)2Aby dowie±¢ (4.59) u»ywamy (4.56) i sumujemy szereg arytmetyczny.Wreszcie (4.58), (4.59) pokazuje, »eAle✷A + α+1,β+1 A− P α,βn =n(α + β + n + 1)Pn α,β . (4.60)2− 1 2 (1 − x2 )∂ 2 x + (−β + α + (α + β)x)∂ x = A + α+1,β+1 A− . (4.61)Twierdzenie 4.8 Je±li α, β > −1, to wielomiany Jacobiego stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ wL 2 ([−1, 1], (1 − x) α (1 + x) β ) z normalizacj¡∫ 1(P α,β−1n (x)) 2 (1 − x) α (1 + x) β dx =Dowód. Zaªó»my, »e n ≥ m. Wtedy∫ ∞0= (−1)n2 n n!1=2 n n!P α,βnΓ(1 + α + n)Γ(1 + β + n)2α+β+1(1 + 2n + α + β)n!Γ(1 + α + β + n) .(x)Pmα,β (x)(1 − x) α (1 + x) β dx(∫ ∞0∫ ∞0∂ n x (1 − x) α+n (1 + x) β+n) P α,βm(x)dx(1 − x) α+n (1 + x) β+n ∂x n Pm α,β (x)dx. (4.62)23

(4.62) równa si¦ zero dla n > m.Niech n = m. Z (4.55) i P α,β0 = 1 wynika ∂x n Pnα,β (x) = (α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n).Zatem (4.53) jest równe✷12 n n!∫ 1= 2α+β+1n!=−1∫ 1(1 − x) α+n (1 + x) β+n (α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n)dx0t α+n (1 − t) β+n (α + β + n + 1) · · · (α + β + 2n)dtΓ(1 + α + n)Γ(1 + β + n)2 α+β+1(1 + 2n + α + β)n!Γ(1 + α + β + n) .4.11 Wielomiany Gegenbauera (symetryczne Jacobiego)Rozwa»my szczególny przypadek wielomianów Jacobiego dla α = β. Wtedyσ(x) = x2 − 1, ρ(x) = (1 − x 2 ) α .2Wielomiany Jacobiego w tym wypadku s¡ zdeniowane wzoremP α,αn (x) = (−1)n2 n n! (1 − x2 ) −α ∂ n x (1 − x 2 ) α+n .Speªniaj¡ one równanie((1 − x 2 )∂ 2 x − 2(α + 1)x∂ x + n(n + 2α + 1) ) P α,αn (x) = 0. (4.63)Dla α > −1 stanowi¡ one ukªad ortogonalny w L 2 ([−1, 1], (1 − x 2 ) α ) z normalizacj¡∫ 1−1(P α,αn (x)) 2 (1 − x 2 ) α dx =Γ(1 + α + n) 2 2 2α+1(1 + 2n + 2α)n!Γ(1 + 2α + n) .W literaturze, czasami zamiast wielomianów Pnα,α (x) stosuje si¦ wielomiany Gegenbauerazdeniowane jakoCn(x) λ :=(2λ) n(λ + 1 2 ) nP λ− 1 2 ,λ− 1 2n (x).Speªniaj¡ one równanie Gegenbauera, które jest równaniem (4.63) z parametrem λ = α + 1 2 :((1 − x 2 )∂ 2 x − (2λ + 1)x∂ x + n(n + 2λ) ) C λ n(x) = 0. (4.64)Ich zalet¡ jest nast¦puj¡ca funkcja tworz¡ca:(1 − 2xt + t 2 ) −λ =∞∑t n Cn(x).λn=024

4.12 Wielomiany Legendre'aSzczególnie wa»nym przypadkiem wielomianów Jacobiego jest α = β = 0 (co dla wielomianówGegenbauera odpowiada λ = 1 2). Mamy wtedyDostajemy wtedy wielomiany Legendre'a:σ(x) = x2 − 1, ρ(x) = 1.2P n (x) := Pn0,0 (x) = C 1 2 n (x) = (−1)n2 n n! ∂n x (1 − x 2 ) n .Speªniaj¡ one równanie Legendre'a((1 − x 2 )∂ 2 x − 2x∂ x + n(n + 1) ) P n (x) = 0. (4.65)Stanowi¡ one ukªad ortogonalny w L 2 ([−1, 1]) z normalizacj¡5 Harmoniki sferyczne∫ 1−15.1 Wielomiany wielu zmiennychP n (x) 2 dx =2(1 + 2n) .Wielomianem zale»nym od zmiennych x 1 , . . . , x d nazywamy sko«czon¡ kombinacj¦ liniow¡ wyra»e«postacix k 11 · · · xk dd .Czyli s¡ to funkcje postaciP (x 1 , · · · x d ) =∑P k1 ,...k dx k 11 · · · xk dd .k 1 ,...,k dStopie« wielomianu P deniujemy jakodegP := max{k 1 + · · · + k d : P k1 ,...,k d ≠ 0}.5.2 Wielomiany jednorodne wielu zmiennychMówimy, »e P jest wielomianem jednorodnym stopnia l, gdyInnymi sªowy, mamy wtedyP (λx 1 , · · · λx d ) = λ l P (x 1 , · · · x d ).P (x 1 , · · · x d ) =∑k 1 +···+k d =lP k1 ,...,k dx k 11 · · · xk dd .Niech Pol l oznacza przestrze« wielomianów jednorodnych stopnia l25

Twierdzenie 5.1 Wymiar przestrzeni wielomianów jednorodnych l-tego stopnia d zmiennychwynosi( )dim Pol l d + l − 1 (d + l − 1)!:== . (5.66)d − 1 (d − 1)!l!Dowód. Rozwa»my d + l − 1 biaªych kulek ustawionych w rz¡d. Zaczerniamy d − 1 spo±ródnich. Dostajemy n rz¡dków biaªych kulek. W j-tym rz¡dku jest k j kulek, w sumie k 1 +· · ·+k d =d + l − 1 − (d − 1) = l. Liczba mo»liwych takich konguracji wynosi tyle ile d − 1 elementowychkombinacji w zbiorze l + d − 1-elementowym, czyli (5.66). ✷5.3 Wielomiany harmoniczneNiech∆ = ∂x 2 1+ · · · + ∂x 2 doznacza laplasjan. Mówimy, »e wielomian H jest wielomianem harmonicznym, je±li∆H = 0.Niech Har l oznacza przestrze« wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l.Twierdzenie 5.2 Wymiar przestrzeni wielomianów harmonicznych jednorodnych stopnia l wwymiarze d wynosi dim Har l = dim Pol l − dim Pol l−2 .Dowód. Niech H b¦dzie wielomianem jednorodnym stopnia l. Wtedy ∆H jest wielomianemjednorodnym stopnia l − 2. Dostajemy zatem operator liniowy ∆ l : Pol l → Pol l−2 . Ale Ker∆ l =Har l . Zatemdim Pol l = dim Ran∆ l + dim Ker∆ l≤ dim Pol l−2 + dim Har l .Niech P ∈ Pol l−2 . Twierdz¦, »e x 2 1P jest harmoniczny tylko gdy P = 0. Zawsze bowiemmo»na zapisa¢ P = P k x l−k−21 , gdzie P k jest wielomianem stopnia k nie zawieraj¡cym x 1 . NiechP b¦dzie harmoniczny. Wtedyx 2 10 = ∆x 2 1P = ∑ (l − k)(l − k − 1)x l−k−21 P k + ∑ x l−k1 ∆P k= ∑ x l−k−21 ((l − k)(l − k − 1)P k + ∆P k+2 ) . (5.67)Niech k 0 b¦dzie najwy»szym stopniem dla którego P k0 ≠ 0. Wtedy ∆P k0 +2 = 0. Ka»dy zwyrazów w sumie (5.67) musi by¢ zero. Dlatego (l − k 0 )(l − k 0 − 1)P k0 = 0, co jest niemo»liwe,bo k 0 ≤ l − 2.Czyli je±li T l−2 jest operatorem mno»enia przez x 2 1 na Pol l−2 , todim Pol l ≥ dim RanT l−2 + dim Har l= dim Pol l−2 + dim Har l .26

✷A oto przykªady wielomianów harmonicznych jednorodnych:Wymiar d = 2. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia m ≥ 1 we wspóªrz¦dnych kartezja«skichi biegunowych:(x ± iy) m = r m e ±iφ .h 1,0 = 1, h 1,l = 2, l ≥ 1.Wymiar d = 3. Wielomiany harmoniczne jednorodne stopnia l ≥ 1 we wspóªrz¦dnych kartezja«skichi sferycznychh 2,l = 2l + 1.5.4 Harmoniki sferyczneNiech(x sin ψ − y cos ψ ± iz) l = r l (sin θ sin(φ − ψ) ± i cos θ) lS d−1 := {(x 1 , . . . , x d ) ∈ R d : x 2 1 + · · · + x 2 d = 1}oznacza sfer¦ jednostkow¡ w R d . Mówimy, »e funkcja Y : S d−1 → C jest harmonik¡ sferyczn¡stopnia l, je±li istnieje harmoniczny wielomian H jednorodny stopnia l taki, »e Y jest obci¦ciemH do sfery. Równowa»ny warunek:⎛⎞(x 2 1 + · · · x 2 d ) l 2 Y ⎝x 1, . . . x√ d⎠x 2 1 + · · · x2 djest wielomianem harmonicznymA oto przykªady harmonik sferycznych:Wymiar d = 2 Rozwa»amy wspóªrz¦dne biegunowe: Harmoniki sferyczne stopnia m:e ±imφ .Wymiar d = 3 Rozwa»amy wspóªrz¦dne kartezja«skie i sferyczne: Harmoniki sferyczne stopnial:(cos θ sin(φ + ψ) ± i sin θ) l .5.5 Operator Laplace'a-Beltramiego na sferzeWprowad¹my operatory dziaªaj¡ce na funkcje na R d :ZdeniujmyL ij := x i ∂ xj − x j ∂ xi ,D = x 1 ∂ x1 + · · · + x d ∂ xd .∆ LB := ∑ i

Niech ω 1 , . . . ω d−1 b¦d¡ dowolnymi funkcjami na R d x\{)} zale»nymi tylko od √ jx, j =21 +···+x√2 d1, d. Doª¡czaj¡c r := x 2 1 + · · · + x2 dostajemy wspóªrz¦dne w d Rd . (Takie wspóªrz¦dne mo»nanazwa¢ uogólnionymi wspóªrz¦dnymi sferycznymi).Twierdzenie 5.3D = r∂ r , (5.68)∆ = ∂ r r d−1 ∂ r + 1 r 2 ∆ LB= ∂r 2 + d − 1 ∂ r + 1 r r 2 ∆ LB. (5.69)Poza tym, ∆ LB zale»y tylko od wspóªrz¦dnych na sferze.∆ LB obci¦ty do sfery to tak zwany operator Laplace'a-Beltramiego na sferze.Dowód. Najpierw zauwa»my, »e√√D x 2 1 + · · · + x2 d= x 2 1 + · · · + x2 d ,To dowodzi (5.68).MamyDlatego∑Dx j√x 2 1 + · · · + x2 d= 0, j = 1, d.L 2 ij = x 2 i ∂ 2 x j+ x 2 j∂ 2 x i− x i x j ∂ xi ∂ xj − x i ∂ xi − x j ∂ xj .i

5.6 Przestrze« L 2 (S d−1 )Przez dΩ b¦dziemy oznacza¢ miar¦ naturaln¡ na sferze. Jest to miara, która jest niezmienniczaze wzgl¦du na obroty i caªa sfera ma obj¦to±¢ 2π d 2Γ( d ).Mo»emy wprowadzi¢ przestrze« Hilberta2L 2 (S d−1 ) skªadaj¡c¡ si¦ z funkcji mierzalnych na S d−1 takich, »e∫|f(ω 1 , . . . , ω d−1 )| 2 dΩ < ∞,z iloczynem skalarnym∫(f|g) =f(ω 1 , . . . ω d−1 )g(ω 1 , . . . ω d−1 )dΩ.Harmoniki sferyczne stopnia l tworz¡ podprzestrze« w L 2 (S d−1 ). Oznaczmy j¡ przez H d,l .Twierdzenie 5.5 (1) H d,l s¡ wzajemnie ortogonalne dla ró»nych l.(2) Kombinacje liniowe elementów H l s¡ g¦ste w L 2 (S d−1 ).Innymi sªowy, L 2 (S d−1 ) = ⊕∞ H d,l .l=0Dowód. (1) wynika z tego, »e ∆ LB jest operatorem samosprz¦»onym na L 2 (S d−1 ) i H d,l jestpodprzestrzeni¡ spektraln¡ dla warto±ci wªasnej l(l + d − 2).(2) wynika z Twierdzenia Stone'a-Weierstrassa, które mówi, »e wielomiany s¡ g¦ste przestrzenifunkcji ci¡gªych na zwartym podzbiorze S d−1 w normie supremum. Z kolei funkcje ci¡gªe s¡ g¦stew L 2 (S d−1 ). ✷5.7 Standardowa baza harmonik sferycznych w L 2 (S 2 )Rozwa»amy S 2 we wspóªrz¦dnych sferycznychx = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.r = √ √xx 2 + y 2 + z 2 , θ = arctan2 + y 2, φ = arctan y zx .Macierz Jacobiego jest równa⎡⎤∂r ∂r ∂r ⎡⎤∂x ∂y ∂z sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ⎢ ∂θ ∂θ ∂θ ⎥⎣⎦ = ⎣cos θ sin φ ⎦ .∂x∂φ∂x∂y∂φ∂y∂z∂φ∂zDalej dostajemy, podstawiaj¡c w = − cos θ,cos θ cos φr− sin φr sin θ− sin θrrsin φr sin θ0cos θ cos φL x = y∂ z − z∂ y = − sin φ∂ θ − ∂ φsin θ= − sin φ √ 1 − w 2 w∂ w + √ cos φ∂ 1 − w 2φ,29

cos θ sin φL y = z∂ x − x∂ z = − cos φ∂ θ − ∂ φsin θ= cos φ √ 1 − w 2 w∂ w + √ sin φ∂ 1 − w 2φ,L z = x∂ y − y∂ x = ∂ φ .Operator Laplace'a Beltramiego na S 2 ma posta¢∆ LB =1sin θ ∂ θ sin θ∂ θ +∂2 φsin θ= ∂ w (1 − w 2 )∂ w + ∂2 w1 − w 2= (1 − w 2 )∂ 2 w − 2w∂ w + ∂2 w1 − w 2 ,gdzie w = − cos θ, ∂ θ = (1 − w 2 ) 1 2 ∂ w .Szukamy harmonik sferycznych w postaci Y (θ, φ) = f(cos θ)e imφ . Dostajemy równanie)(∂ w (1 − w 2 )∂ w − m21 − w 2 + l(l + 1) f(w) = 0 (5.70)(5.70) znane jest jako stowarzyszone równanie Legendre'a. Równanie to mo»na przeksztaªci¢ dorównania Jacobiego z α = β = m (równania Gegenbauera):)(1 − w 2 ) − m 2((1 − w 2 )∂w 2 − 2w∂ w − m21 − w 2 + l(l + 1) (1 − w 2 ) m 2= (1 − w 2 )∂ 2 w − (2 + 2m)w∂ w + (l − m)(l + m + 1).Pami¦tamy, »e wielomiany Jacobiego P m,m speªniaj¡l−m((1 − w 2 )∂w 2 − (2 + 2m)w∂ w + (l − m)(l + m + 1) ) P m,ml−m(w) = 0.Zateme imφ (1 − w 2 ) m 2 Pm,ml−m (w) = (−1)l−m e imφ sin m (θ)P m,ml−m(cos θ). (5.71)s¡ harmonikami sferycznymi stopnia l.Standardowa miara na sferze wynosidΩ = cos θdθdφ = dwdφ.Harmoniki (5.71) standardowo normalizujemy nast¦puj¡co:√l · · · (l − m + 1)Y l,m (θ, φ) =(l + 1) · · · (l + m)2π eimφ sin m (θ)P m,ml−m(cos θ).Twierdzenie 5.6 Funkcje Y l,m stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L 2 (S 2 ) speªniaj¡c¡∫ π0sin θdθ∫ ππdφ |Y l,m (θ, φ)| 2 = 11 + 2l .30

Dowód. Dla ró»nych m 1 ≠ m 2 , iloczyn skalarny (Y l1 ,m 1|Y l2 ,m 2) znika po przecaªkowaniu po φ.Wielomiany Jacobiego Pnm,m stanowi¡ baz¦ ortogonaln¡ w L 2 ([−1, 1], (1 − w 2 ) m ). Speªniaj¡one∫(P m,ml−m )2 (1 − w 2 ) m l · · · (l − m + 1)dw =(1 + 2l)(l + 1) · · · (l m ) .Dlatego, dla l 1 ≠ l 2✷∫ π ∫ πsin θdθ dφY l1 ,m(θ, φ)Y l2 ,m(θ, φ)0−π∫(l + 1) · · · (l + m) 1= 2π dw(1 − w 2 ) m P m,m m,ml · · · (l − m + 1)2πl 1 −m(w)Pl 2 −m (w)−11= δ l1 ,l 22l + 1 .31