Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz ... - Zadania.info

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
9
Zadanie 27. (2 pkt)
WykaŜ, Ŝe róŜnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.
Rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia: 2n, 2n+2 – kolejne liczby parzyste
2 2 2
2
2n
+ 2 − 2n
= 4n
+ 8n
+ 4 − 4n
= 8n
+ 4 = 4 2n
+ 1
( ) ( ) ( )
2 2
Zatem róŜnica ( 2 + 2) − ( 2n) = 4( 2n
+ 1)
n jest liczbą podzielną przez 4.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 1 pkt
gdy poprawnie zapisze róŜnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych i poprawnie
2 2 2
2
zastosuje wzór skróconego mnoŜenia: ( 2n
+ 2) − ( 2n) = 4n
+ 8n
+ 4 − 4n
.
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 2 pkt
gdy wykaŜe, Ŝe róŜnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną
2 2
2n + 2 − 2n
= 4 2n
+ 1 .
przez 4: ( ) ( ) ( )
Zadanie 28. (2 pkt)
2
Proste o równaniach y = − 9x
−1
i y = a x + 5 są prostopadłe. Wyznacz liczbę a.
Rozwiązanie
2
Proste o równaniach y = − 9x
−1
i y = a x + 5 są prostopadłe, zatem ich współczynniki
kierunkowe spełniają warunek a ⋅ a = 1.
PoniewaŜ a = 9,
1
−
2
2
a
2
= a
Stąd − 9 ⋅ a = −1
2 −1
a =
− 9
1
a
2 =
9
1 1
Zatem a = lub a = − .
3 3
Schemat oceniania
, to
1 2
−
2
a1 ⋅ a2
= −9 ⋅ a .
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 1 pkt
2
1
gdy poprawnie zapisze warunek prostopadłości prostych: − 9 ⋅ a = −1
lub a 2 = .
9
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 2 pkt
1 1
gdy obliczy i poda obie wartości a: , − . 3 3