Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz ... - Zadania.info

12
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania .........................................................................................................................1 pkt
Zapisanie równania wynikającego z obwodu: a + b = 20 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ......................................................................2 pkt
Obliczenie długości odcinka y: y = 8 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt
Obliczenie długości jednej z podstaw trapezu: a = 18 lub b = 2 .
Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt
Obliczenie długości obu podstaw trapezu: a = 18 i b = 2 .
Uwaga
1. JeŜeli zdający przyjmie, Ŝe h = 3 oraz y = 4 i konsekwentnie rozwiąŜe zadanie,
to za całe rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.
2. JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu
rozwiąŜe zadanie, to przyznajemy 3 punkty.
Zadanie 31. (6 pkt)
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 15. JeŜeli pierwszą i trzecią liczbę
pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy
ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.
I sposób rozwiązania
Ciąg ( a a r,
a 2r)
1
,
1 1
+
+ – jest ciągiem arytmetycznym.
Z treści zadania wynika, Ŝe a
1
+ a1
+ r + a1
+ 2r
= 15.
Stąd 3a 1
+ 3r
= 15 .
a
1
+ r = 5
2
Ciąg ( a a + r −1,
a 2r)
jest ciągiem geometrycznym Zatem ( a r − ) = a ( a 2r)
1
,
1
1
+
Rozwiązujemy układ równań
⎧a
⎨
1
+ r = 5
2
⎩( 5 −1) = a1( a1
+ 2r)
⎧a
⎨
1
⎧r
= 5 − a
⎨
+ r = 5
2
⎩( a1
+ r −1) = a1( a1
+ 2r)
1
2
⎩( 5 −1) = a1( 10 − a1
)
2
⎧r
= 5 − a
⎨
⎩16
= a1
1
( 10 − a )
1
+ .
1
1
1 1
+
⎧r
= 5 − a1
⎨ 2
⎩a1
−10a
Rozwiązując równanie a
1
−10a
1
+ 16 = 0 otrzymujemy a
1
= 2 lub a
1
= 8 .
⎧a1
= 2 ⎧a1
= 8
Zatem ⎨ lub ⎨ .
⎩r
= 3 ⎩r
= −3
1
+ 16 = 0