poziom rozszerzony - Gazeta.pl
poziom rozszerzony - Gazeta.pl
poziom rozszerzony - Gazeta.pl
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Próbna matura z matematyki 1 <strong>Gazeta</strong> Edukacja 33<br />
wyborcza.<strong>pl</strong> 1 <strong>Gazeta</strong> Wyborcza 1 Środa 27 kwietnia 2011<br />
Stąd wynika, że aby były dwa punkty wspólne, to m 2, czyli m 4.<br />
Odpowiedź: m , m .<br />
Zadanie 4. (4 pkt)<br />
Obie strony nierówności są dodatnie, po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy<br />
nierówności równoważne:<br />
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy<br />
ad bc 2<br />
abcd .<br />
Podnosząc jeszcze raz obie strony do kwadratu, otrzymujemy<br />
2 2<br />
<br />
ad bc 2abcd 4abcd<br />
,<br />
czyli<br />
ad bc 2 0<br />
.<br />
.<br />
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d.<br />
Zadanie 5. (5 pkt)<br />
Korzystając ze wzorów na cos2 oraz sin2 , zapisujemy równanie w postaci<br />
2 2 2 2<br />
cos x sin<br />
x 3 2sinxcosx cos x 7sin<br />
x,<br />
czyli<br />
2<br />
6sin x 2 3 sinxcosx<br />
0<br />
cosx 0<br />
nie jest rozwiązaniem tego równania, możemy więc obie strony tego równania po-<br />
2<br />
dzielić przez 6cos x.<br />
Otrzymujemy<br />
3 <br />
2 3<br />
tg x tgx<br />
0<br />
czyli tgx <br />
tgx<br />
<br />
0<br />
3 3 <br />
<br />
3<br />
Stąd tgx 0<br />
albo tgx .<br />
3<br />
Odpowiedź: x k<br />
, gdzie k jest liczbą całkowitą<br />
albo x <br />
Zadanie 6. (4 pkt)<br />
Oznaczmy przez a pierwszą z trzech liczb (najmniejszą) oraz przez r różnicę ciągu arytmetycznego;<br />
r 0. Liczby możemy zapisać w postaci: a, a r, a 4r<br />
(a oznacza drugi wyraz ciągu<br />
arytmetycznego).<br />
Znając sumę tych liczb oraz własność ciągu geometrycznego, zapisujemy układ równań<br />
a a r a 4r<br />
26<br />
2<br />
a r aa 4r<br />
Po przekształceniach otrzymujemy układ równań<br />
3a 5r<br />
26<br />
<br />
r r 2a0<br />
Z drugiego równania wynika, że r 2a<br />
lub r 0, a to rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem.<br />
Stąd r 2a<br />
, czyli a 2, r 4.<br />
Odpowiedź: Liczby opisane w treści zadania, to 2, 6, 18.<br />
Zadanie 7. (5 pkt)<br />
Stwierdzamy, że są trzy parami rozłączne przypadki. Pierwszą cyfrą tej liczby może być:<br />
1. cyfra 1,<br />
2. cyfra 2,<br />
3. cyfra należąca do zbioru 3,4,5,6,7,8,9 .<br />
Obliczamy, ile jest liczb w każdym przypadku.<br />
ad. 1.<br />
ad. 2.<br />
5 4<br />
2<br />
ad. 3. 7 8 13440<br />
1 2<br />
Odpowiedź: Łącznie jest 5120 10240 13440 28800<br />
takich liczb.<br />
Zadanie 8. (4 pkt)<br />
A<br />
5<br />
k<br />
, gdzie k jest liczbą całkowitą.<br />
6<br />
5<br />
<br />
2<br />
3<br />
1 8 5120<br />
5 4<br />
<br />
1 1<br />
3<br />
1 8 10240<br />
b<br />
1<br />
0<br />
c<br />
.<br />
C<br />
2<br />
4<br />
a cb d ab cd 2<br />
abcd<br />
D<br />
<br />
a<br />
B<br />
<br />
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy<br />
oznaczenia: BC a, AC b,<br />
AB c.<br />
Oznaczmy przez p obwód trójkąta ABC.<br />
Trójkąty ADC oraz ABC są podobne, stąd<br />
b 40<br />
.<br />
c p<br />
Trójkąty BDC oraz ABC są podobne, stąd<br />
a 24<br />
.<br />
c p<br />
Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABC i przekształcamy tę równość<br />
2 2 2<br />
c a b<br />
<br />
stąd p 2176 8 34 .<br />
a<br />
b<br />
24 40 2176<br />
1 ,<br />
2<br />
c c p p p<br />
Odpowiedź: Obwód trójkąta ABC jest równy 8 34 .<br />
Zadanie 9. (4 pkt)<br />
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia: AB BC CD DA a,<br />
BD e,<br />
AC f .<br />
Stosując twierdzenie kosinusów do trójkątów BAD oraz ABC, otrzymujemy<br />
2 2 2 2 2 2<br />
e a a 2aacos45 2a a 2 a<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
f a a 2a a cos135 2a a 2 a<br />
2<br />
2<br />
Stąd<br />
<br />
<br />
e<br />
f <br />
2 1, co należało wykazać.<br />
Zadanie 10. (4 pkt)<br />
Środek S okręgu to punkt wspólny podanej prostej oraz symetralnej odcinka AB. Symetralna<br />
odcinka AB ma równanie 2x y<br />
25 0. (Punkt P x,<br />
y<br />
leży na symetralnej odcinka AB wtedy<br />
i tylko wtedy, gdy AP BP ).<br />
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań<br />
x y<br />
3 0<br />
<br />
2x y<br />
25 0<br />
Otrzymujemy S 28, 31<br />
.<br />
2<br />
Obliczamy kwadrat promienia r okręgu: r AS 2210.<br />
Odpowiedź: Równanie okręgu jest postaci: x 28 y 31 2210.<br />
Zadanie 11. (6 pkt)<br />
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku<br />
C<br />
A x D x<br />
B<br />
2x 2y<br />
24<br />
, czyli x y<br />
12.<br />
Bryła powstała z obrotu trójkąta dookoła prostej AB to suma dwóch przystających stożków<br />
o promieniu r DC i wysokości h x.<br />
1<br />
V 2 <br />
3<br />
A<br />
2<br />
r x<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
r y x y x y x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
e a 2 2 2 2<br />
32 2 <br />
2 2 1<br />
f<br />
2<br />
a 2 2 2<br />
12 12 2x<br />
<br />
<br />
Zapisujemy wzór funkcji V x : objętość bryły V w zależności od x, x 0;6<br />
1<br />
V x2 1212 2xx 16<br />
6<br />
xx<br />
3<br />
a<br />
45<br />
<br />
a<br />
y<br />
D<br />
.<br />
2 2<br />
B<br />
<br />
Funkcja V przyjmuje największą wartość dla x 3.<br />
Odpowiedź: Wymiary trójkąta są następujące: podstawa ma długość 6, ramiona mają długość 9.<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
y<br />
.<br />
a<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
C<br />
<br />
<br />
1<br />
NOWA SERIA<br />
SŁOWNIKÓW TEMATYCZNYCH<br />
NIEZBĘDNA DLA UCZNIA<br />
Od jutra w kioskach WIEDZA O KULTURZE<br />
co czwartek kolejny tom<br />
ZAMÓWIENIA PRZYJMUJEMY NA<br />
LUB POD NUMEREM TELEFONU 801 130 000<br />
KOSZT POŁĄCZENIA WYNOSI 0,29 ZŁ W SIECI TP SA<br />
Sprawdzasz i wiesz<br />
n ponad 1000 zwięzłych haseł,<br />
pojęć i terminów<br />
n kulturoznawstwo<br />
n tradycje i nurty teatralne<br />
n gatunki sztuki filmowej<br />
P O L E C A J Ą<br />
O G Ł O S Z E N I E W Ł A S N E W Y D A W C Y<br />
30701557