Modeliranje digitalnih sistema 2007

2008.01.09.
Modeliranje digitalnih sistema
Razlozi upotrebe digitalnih modela
• Upotreba računara (obrada)
• Kodovanje signala
– Prenos signala na daljinu bez smetnji
• Vremenski multipleks
1

2008.01.09.
Kvantovanje signala
• Signali se predstavljaju brojnim vrednostima
• Signali se diskretizuju
– Po vremenu
– Po nivou (kvantovanje po nivou)
• Kvantovanje po vremenu vrši odabirač
– Na izlazu se pojavljuje povorka impulsa (odbiraka) u trenucima
odabiranja
– Perioda odabiranja T
• Kvantovanje po nivou vrši A/D konvertor (analogno-digitalni)
– Na izlazu se dobijaju brojne vrednosti
– Broj nivoa (kvantova) zavisi od rezolucije A/D konvertora
• 2 8 , 2 10 , 2 12 , 2 16
Kvantovanje signala - primer
r(t)
...
12
10
8
6
4
2
0
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
t
r* = [ 10 13 17 18 16 12 10 7 6 2 ]
2

2008.01.09.
Odabirač
r(t)
Kontinualni
signal
Odabirač
"Sempler"
T
r*(t)
Diskretni
signal
* r(
kT),
r ( t)
0,
t kT
t kT
k 0,1,...
r * (t)
*
r ( t)
r(
kT)
( t kT),
k 0,1,...
*
r ( t)
k 0
r(
kT)
( t kT)
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
Kolo zadrške nultog reda
• Inherentno sadrži proces odabiranja i zadršku
Odabirač
Zadrška
nultog reda
r(t)
T
r*(t)
G 0 (s)
p(t)
• Zadrška
1
g 0(t)
0 T
g ( t)
h(
t)
h(
t T
)
0
sT
1 e 1
e
G0
( s)
s s s
*
P(
s)
G ( s)
R ( s)
0
sT
3

2008.01.09.
Kolo zadrške nultog reda (2)
p(t)
p(
t)
P(
s)
P(
s)
k 0
k 0
k 0
r(
kT)
h(
t kT)
h(
t ( k 1)
T )
e
r(
kT)
s
kTs
1
e
r(
kT)
s
sT
e
e
(
k 1)
Ts
s
kTs
1
e
s
sT
k 0
/ L
r(
kT)
e
kTs
*
P(
s)
G ( s)
R ( s)
1
e
G0(
s)
s
*
R ( s)
0
k 0
sT
r(
kT)
e
kTs
Model zadrške
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
t
Kompleksan lik
povorke odbiraka r*(t)
Teorema o odabiranju
• Ako kontinualan signal f(t) ne sadrži harmonike u području
učestanosti 0 rad/s, on se može kompletno okarakterisati
vrednostima signala merenim u trenucima međusobno udaljenim za
vreme T=0.5(2/ 0 ).
4

2008.01.09.
Primer odabiranja
• Primer signala odabiranog različitim periodama odabiranja
– T a =0.5s
– T b =0.25s
Upravljanje računarom
Računar
Referentni ulaz
(digitalni signal)
Program
upravljačkog
algoritma
Digitalni
signal
D/A
konvertor
Analogni
signal
Aktuator
Proces
Odziv-izlaz
(analogni signal)
Digitalni
signal
A/D
konvertor
Analogni
signal
Senzor
(merenje)
5

2008.01.09.
Hibridni sistem
• Sistemi sa mešovitim komponentama - "sampled-data systems"
– analognim i
– diskretnim
r(kT)
Referentni ulaz
Digitalni
računar
u(kT)
Digitalnoanalogni
konvertor
p(t)
Aktuator
i proces
y(t)
Odziv-izlaz
m(kT)
Analogno
-digitalni
konvertor
m(t)
Z-transformacija
• Povorka vremenski diskretizovanog signala i njegova Laplasova
transformacija
*
r ( t)
L
k 0
*
r
( t)
r(
kT)
( t kT)
k 0
r(
kT)
e
kTs
• Smena uvodi novu kompleksnu promenljivu z
sT
z e
• Z-transformacija povorke signala
Z
*
r
( t)
Zr
( t)
R(
z)
k 0
r(
kT)
z
R(
z)
k
6

2008.01.09.
Primer - Z-transformacije
• Odrediti Z-transformaciju jediničnog odskočnog signala.
h(
t)
1,
t
0 h(
kT)
1,
k
0
Z h(
t)
H ( z)
1
H ( z)
1
z
1
k 0
z
z 1
h(
kT)
z
k
k 0
z
k
>> Pz=[1 0];
>> Qz=[1 -1];
>> y=dimpulse(Pz,Qz)
y =
1
1
1
1
...
• Definicioni integral
• Tablice Z-tranformacija
Z-transformacija funkcija
F(
z)
Z
F
f
t
1
*
(
( )
2j
z
p)
z
dp pT
e
c
Kontura c obuhvata sve polove
funkcije F(p) u kompleksnoj p-ravni
x(t) X(z) x(t) X(z)
(t) 1 1 - e-at
1 - e-aT z
(z - 1) z - e-aT
(t-kT) z-k sin(t) z sin(T)
z2 - 2z cos(T) + 1
h(t) z cos(t) z z - cos(T)
z - 1
z2 - 2z cos(T) + 1
t Tz e-at sin(t) ze-aT sin(T)
(z - 1)2
z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT
e-at z
z - e-aT e -at cos(t)
z z - e-aT cos(T)
z2 - 2z e-aT cos(T) + e-2aT
7

2008.01.09.
Osobine Z transformacije
• Linearnost
• Pomeranje u
vremenskom domenu
• Početna i krajnja
vrednost originala
• Konvolucija originala
• Izvod kompleksnog lika
• Pomeranje kompleksnog
lika
Z
Z
af
t)
bf
( t)
aF ( z)
bF
( )
1( 2
1
2
z
Z f ( t nT )
z
n
F(
z)
n 1
n
i
f
( t nT )
z F(
z)
f ( iT ) z
f (0) lim F(
z)
z
f ( )
lim(1 z
z1
1
F ( z)
F2
( z)
Z
) F(
z)
n
i1
f1(
mT)
f2(
nT mT
1
)
m0
Z
Z
t
dF(
z)
f ( t)
Tz
dz
at
aT
e
f ( t)
Fze
Diskretna funkcija prenosa
• Podrazumeva se da je D/A konvertor na ulazu objekta sa funkcijom
prenosa G p (s)
sT
1
e
G( s)
Gp(
s)
s
• Tada je izlaz sistema
r(t)
T
r * (t)
D/A
G P (s)
T
c * (t)
c(t)
C(
s)
G(
s)
R * ( s)
• Izlaz posmatramo samo u diskretnim trenucima
* * *
C ( s)
G ( s)
R ( s)
C(
z)
G(
z)
R(
z)
• Diskretna funkcija prenosa
C(
z)
G(
z)
R(z)
R(
z)
G(z)
C(z)
8

2008.01.09.
Primer – diskretna funkcija prenosa
• Odrediti funkciju prenosa u Z-domenu za periodu odabiranja T=1s i
jedinični impulsni odziv sistema.
• Ponoviti rešenje za T=0.5s.
Odabirač
Zadrška
nultog
reda
Proces
r(t)
T=1
r*(t)
G 0 (s)
p(t)
1
G p (s)
s(s 1)
y(t)
Y(
s)
1
e
G(
s)
G ( s)
G ( s)
*
o p
R ( s)
s
sT
sT
1 1
e
2
s(
s 1)
s ( s 1)
Primer – diskretna funkcija prenosa (2)
sT
1 1 1
G( s)
(1 e )
2
s s s 1
1
Tz z z
G( z)
(1 z )
2
T
( z 1)
z 1
z e
T 1
1
1
ze 1
2e
0.3679z
0.2642
G( z)
1
2
( z 1)(
z e ) z 1.3679z
0.3679
T
T
T
ze
z Tz
1
e Te
( z 1)(
z e
T
)
>> P=1; Q=[1 1 0]; % podrazumevano kolo zadrske na ulazu
>> T=1;
>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,T); [Pz,Qz]=ss2tf(E,F,C,D)
Pz =
0 0.3679 0.2642
Qz =
1.0000 -1.3679 0.3679
9

2008.01.09.
Primer – diskretna funkcija prenosa (3)
r(
t)
( t)
Y(
z)
G(
z)
R(
z)
G(
z)
Y(
z)
(0.3679z
0.2642) : ( z
Y(
z)
0.3679z
R(
z)
1
1
0.7675z
Z
2
2
1.3679z
0.3679)
0.9145z
3
*
y(
t)
Zy
( t)
Y(
z)
k 0
y(
kT)
z
k
0.9685z
Y(
z)
4
...
>> y = dimpulse(Pz,Qz)
y =
0
0.36787944117144
0.76745584206517
0.91445178513125
0.96852857052087
0.98842230811035
0.99574080517758
0.99843312978889
0.99942358066235
0.99978794717618
0.99992199012568
0.99997130177103
0.99998944251156
0.99999611611705
0.99999857119931
0.99999947437360
0.99999980663285
0.99999992886420
0.99999997383060
0.99999999037282
0.99999999645836
Primer – diskretna funkcija prenosa (4)
T
T
T
ze
z Tz
1
e Te
G( z)
T
( z 1)(
z e )
T 1
T 0.5
0.3679z
0.2642
G(
z)
2
z 1.3679z
0.3679
0.1065z
0.0902
G(
z)
2
z 1.6065z
0.6065
>> P=1; Q=[1 1 0]; % podrazumevano kolo zadrske na ulazu
>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,1); [P1,Q1]=ss2tf(E,F,C,D)
Pz =
0 0.3679 0.2642
Qz =
1.0000 -1.3679 0.3679
>> [A,B,C,D]=tf2ss(P,Q); [E,F]=c2d(A,B,0.5); [P05,Q05]=ss2tf(E,F,C,D)
P05 =
0 0.1065 0.0902
Q05 =
1.0000 -1.6065 0.6065
10

2008.01.09.
• Kada je poznato: P(
z)
F(
z)
Q(
z)
Inverzna Z-transformacija
• Original se može dobiti
– Razvojem u red F(
z)
f (0) f ( T)
z
– Formiranjem sume percijalnih sabiraka i nalaženjem originala pomoću
tablica Z-transformacije
– Integracijom po konturi
f ( kT)
1
2j
f (2T
) z
Gde kontura u obuhvara sve polove F(z) u z-ravni
1
F(
z)
z
k1
dz
2
f (3T
) z
3
...
Algebra funkcija prenosa
r(t) m*(t)
G(s)
T T
H(s)c(t)
*
M ( s)
G(
s)
R ( s)
*
* *
C(
s)
H ( s)
M ( s)
H ( s)
G
( s)
R ( s)
C(
z)
G(
z)
H ( z)
R(
z)
r(t)
G(s)
T
H(s)c(t)
*
C(
s)
H(
s)
G(
s)
R ( s)
C(
z)
GH(
z)
R(
z)
m(t)
e*(t) G(s)
c(t)
r(t)+
- T H(s)
*
E(
s)
R(
s)
G(
s)
H ( s)
E ( s)
*
C(
s)
G(
s)
E ( s)
C(
z)
G(
z)
R(
z)
1
GH(
z)
GH(
z)
G(
z)
H ( z)
11

2008.01.09.
Diskretna funkcija prenosa sistema sa
zatvorenom povratnom spregom
r(t)
R(z) +
-
Y(z)
E(z)
G(z)
Y(z)
R(z) +
-
E(z)
G(z)
Y(z)
Y(
z)
G(
z)
R(
z)
1
G(
z)
Diskretna funkcija prenosa sistema sa
zatvorenom povratnom spregom (2)
r(t)
R(z) +
-
G(z)
H(z)
Y(z)
Y(z)
R(z) +
-
E(z)
G(z)
H(z)
Y(z)
Y(
z)
G(
z)
H(
z)
R(
z)
1
G(
z)
H(
z)
12

Amplitude
2008.01.09.
Primer odziva sistema
• Odrediti funkciju prenosa u Z-domenu za periodu odabiranja T=1s i
jedinični odskočni odziv sistema.
Zadrška
nultog reda
G p(s)
r(t) +
-
e(t)
T=1
e*(t)
G 0 (s)
1
s(s 1)
y(t)
1
1
ze 1
2e
0.3679z
0.2642
G( z)
1
2
( z 1)(
z e ) z 1.3679z
0.3679
Y ( z)
G(
z)
0.3679z
0.2642
W
( z)
>> Pz=[0.3679 0.2642];
2
R(
z)
1
G(
z)
z z 0.6321 >> Qz=[1 -1.3679 0.3679];
>> [Pz1,Qz1]=cloop(Pz,Qz)
Pz1 =
0 0.3679 0.2642
Qz1 =
1.0000 -1.0000 0.6321
Primer odziva sistema (2)
• Jedinična odskočna pobuda
z
r(
t)
h(
t)
R(
z)
z 1
z 0.3679z
0.2642
• Odziv sistema Y( z)
W
( z)
R(
z)
2
z 1
z z 0.6321
2
0.3679z
0.2642z
Y(
z)
3 2
z 2z
1.6321z
0.6321
1
2
3
Y(
z)
0.3679z
z 1.4
1.4
4
1.147
5
...
>> y = dstep(Pz1,Qz1)
y =
0
0.36787944117144
1.00000000000000
1.39957640089373
1.39957640089373
1.14699594306608
0.89441548523843
…
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Step Response
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Time (sec)
13

Amplitude
To: Y(1)
2008.01.09.
Primer odziva sistema (3)
• Uporedni jedinični odziv kontinulnog i diskretizovanog sistema
1.6
Step Response
From: U(1)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Time (sec.)
Analiza stabilnosti u z-ravni
• Digitalni sistem automatskog upravljanja je stabilan ako svi polovi
funkcije spregnutog prenosa leže unutar jediničnog kruga u Z-ravni.
z e
sT
z e
arg
T
z
e
,
T
( j)
T
0
z 1
14

2008.01.09.
Diferencna jednačina
R(z)
• Data je diskretna funkcija prenosa
G(z)
C(
z)
H ( z),
R(
z)
• U razvijenom obliku
C(
z)
P(
z)
H ( z)
Q(
z)
1
m
k
ak
z
k 0
n
k
bk
z
k 0
1
m
1
n
a
a z ...
a z R(
z)
b z ...
b z
C(
z)
a R(
z)
a z
0
0
1
1
1
m
R(
z)
...
a z
m
m
R(
z)
b z
1
1
C(
z)
C(
z)
...
b
z
C(
z)
• Na osnovu osobine “Pomeranje u vremenskom domenu”
1
n
n
n
C(z)
c(
kT)
a r(
kT)
a r(
kT T)
...
a r(
kT mT)
b c(
kT T)
...
b c(
kT nT )
c(
kT)
0
k 0,1,...
m
i0
a r(
kT iT )
i
1
n
i
i1
m
b c(
kT iT )
1
n
Koncept stanja diskretnog sistema
• Tokom jedne periode T ulazi m(t) su konstantni
• Izlazi sistema nas intresuju samo u trenucima odabiranja t=kT
u 1 (t)
u r (t)
T
T
u 1* (t)
...
u r* (t)
D/A
D/A
m 1 (t)
m r (t)
x
( t)
Ax(
t)
Bm(
t)
y(
t)
Cx(
t)
Dm(
t)
y 1 (t)
...
y r (t)
15

2008.01.09.
16
Računanje kretanja sistema
• Kako je pobuda konstantna tokom jedne periode
• Intresuje nas vrednost izlaza samo u trenutku odabiranja
• Matrice E(T) i F(T) su
T
kT
t
kT
kT
d
t
kT
kT
t
t
t
kT
),
(
)
(
)
(
)
(
)
( m
B
Φ
x
Φ
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( kT
T
kT
T
T
kT
m
F
x
E
x
B
Φ
B
Φ
B
Φ
F
Φ
E
d
d
T
d
T
kT
T
T
T
T
T
T
kT
kT 0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Primer - Računanje kretanja sistema
t
t
t
t
t
t
t
t
s
s
s
s
s
s
s
s
e
e
e
e
e
e
e
e
s
R
L
t
s
R
s
s
s
s
s
s
A
sI
s
R
D
C
B
A
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2)
1)(
(
1
1
2
3
)
(
)
(
0
5
0
0
1
0
1
2
3
T
T
T
T
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
t
T
t
t
T
T
T
T
T
T
T
T
T
e
e
e
e
e
e
e
e
dt
e
e
dt
e
e
B
dt
t
T
F
e
e
e
e
e
e
e
e
T
T
E
2
2
1
2
1
2
0
2
2
1
0
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
2
2
)
(
)
2
(
)
(
)
(
2
2
2
2
)
(
)
(

2008.01.09.
Primer - Računanje kretanja sistema (2)
3
A
1
e
E(
T )
e
2
0
T
T
2e
e
T
e e
F(
T ) T
1
e
2
1
B
0
2T
2T
2T
e
2e
2e
1 2T
2
T
T
2e
e
2T
2T
>> T=0.5;
>> a=exp(-T); b=exp(-2*T);
>> E1=[-a+2*b -2*a+2*b; a-b 2*a-b]
E1 =
0.1292 -0.4773
0.2387 0.8452
>> F1=[a-b; 0.5-a+0.5*b]
F1 =
0.2387
0.0774
>> A=[-3 -2; 1 0]; B=[1;0];
>> [E,F]=c2d(A,B,T)
E =
0.1292 -0.4773
0.2387 0.8452
F =
0.2387
0.0774
17