Graf toka signala i Mejsonovo pravilo

Graf toka signala i Mejsonovo pravilo

Graf toka signala
• Teorija grafova
• Linijski segmenti:
– Grane
– Čvorovi
X 1 (s) X 2 (s) G(s)
G
x 1 (s)
x 2 (s)
blok
pojačanje grane
GTS je dijagram koji se sastoji od čvorova meĎusobno
povezanih granama (linijama) i predstavlja grafičku
reprezentaciju seta (skupa) linearnih relacija.

Pri formiranju i analiziranju GTS postoje sledeća pravila:
• U jednom čvoru se može susticati proizvoljan broj grana
isto kao što iz jednog čvora može izlaziti proizvoljan broj
grana;
•Zbir signala sa krajnjih tačaka svih grana koje se sustiču u
čvoru čini promenljivu čvora (signal čvora);
•Promenljiva čvora se ravnomerno prosleĎuje kroz sve grane
koje iz tog čvora izlaze;
•Signal se kroz granu prostire isključivo u smeru označenom
strelicom.

U 1 (s)
U 2 (s)
G 2 (s)
G 3 (s)
G 1 (s)
X(s)
H 1 (s)
H 2 (s)
Y 1 (s)
Y 2 (s)
U 3 (s)
X(s) = G 1 (s)U 1 (s) + G 2 (s)U 2 (s) + G 3 (s)U 3 (s)
Y 1 (s) = X(s)H 1 (s);
Y 2 (s) = X(s)H 2 (s)

Direktna ili otvorena putanja je skup grana koje meĎusobno
spajaju dva čvora i pri tome grane kroz svaku tačku prolaze
samo jedanput (nadalje će biti interesantne samo putanje koje
spajaju ulazni čvor grafa sa izlaznim, odnosno direktne
putanje koje vode od ulaza do izlaza iz sistema).
Na primeru sa slike su putanje 1234567 (oznake čvorova) i
134567. Niz grana 123434567 nije putanja jer dva pita prolazi
kroz granu 34.
U
Y
1 2 3 4 5 6 7

Petlja (zatvorena putanja) je zatvoren put koji polazi i završava
se u istom čvoru i pri tome sve grane iz petlje kroz svaku tačku
prolaze samo jednom.
Na donjoj slici petlje su: 121, 234562, 343, 565.
Nisu petlje: 1231 (kroz granu 13 se ide u suprotnom smeru),
23434562 (kroz granu 34 se prolazi dva puta)
U
Y
1 2 3 4 5 6 7

Dve putanje (otvorene ili zatvorene) se ne dodiruju ako
nemaju zajedničkih čvorova ili grana.
U primeru sa slike tri sledeće putanje se ne dodiruju
meĎusobno: 121 i 343; 121 i 565; 343 i 565.
Dodiruju se: 1234567 i 121; 1234567 i 343; 1234567 i 565;
1234567 i 234562; 134567 i 121; 134567 i 343;
134567 i 565; 134567 i 234562; 1234567 i 134567;
121 i 234562; 343 i 234562; 565 i 234562.
U
Y
1 2 3 4 5 6 7

Mason-ovo pravilo
Funkcija prenosa grafa toka signala se odreĎuje na osnovu
obrasca
n
P i
i
G(s) = Y(s)
U(s) = i=1
gde je:
Pi - prenos (pojačanje) i-te direktne (otvorene) putanje;
- determinanta grafa;
i - primenjeno na zatvorene putanje koje ne dodiruju i-tu
direktnu putanju;
n - broj direktnih putanja u grafu.

Determinanta grafa:
= 1 - (-1) k+1
P 1j
j
j
k
j
P kj
= 1 -
j
P 1j
+
j
P 2j
-
j
P 3j
+
j
P 4j
- +...
- zbir pojačanja (prenosa, funkcija prenosa) svih
zatvorenih putanja (petlji) grafa;
P - zbir proizvoda pojačanja po "k" zatvorenih putanja
kj
koje se meĎusobno ne dodiruju.
Brojilac determinante grafa toka signala je
KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA

Primer:
Posmatra se graf toka signala prikazan na slici. Odrediti funkciju prenosa
sistema od čvora 1 do čvora 8.
U
1 2 3 4 5 6 7
Y
8
Y
Rešenje:
Direktne putanje: P 1 = 12345678 i P 2 = 145678.
Zatvorene putanje: P 11 =232; P 12 =565; P 13 =787; P 14 =345673.
Proizvodi po dve zatvorene putanje koje se meĎusobno ne dodiruju:
P 21 =P 11 P 12 ; P 22 =P 11 P 13 ; P 23 =P 12 P 13 ;
Proizvodi po tri zatvorene putanje koje se meĎusobno ne dodiruju:
P 31 =P 11 P 12 P 13 ;
Proizvoda po četiri zatvorene putanje koje se meĎusobno ne dodiruju
nema, jer P 14 dodiruje bar jednu od ostale tri putanje (u stvari dodiruje sve
tri). Naravno nema ni proizvoda po pet, šest itd. zatvorenih putanja koje se
meĎusobno ne dodiruju.
Determinanta grafa je prema definiciji
= 1 - (P 11 + P 12 + P 13 + P 14 ) + (P 21 + P 22 + P 23 ) - P 31

i se dobija na osnovu tako što se iz izbace sve petlje koje
dodiruju i-tu direktnu putanju (izbacuju se i svi proizvodi gde te
petlje učestvuju kao činioci), tako da je
1 = 1
2 = 1 - P 11 .
Funkcija prenosa grafa od čvora 1 do čvora 8 je
G(s) = P 1 1 + P 2 2
=
P 1 + P 2 - P 2 P 11
1 - P 11 - P 12 - P 13 - P 14 + P 21 + P 22 + P 23 - P 31
kraj primera

Transformacija SBD u GTS
Primenom sledećih pravila:
• Diskriminatori i čvorovi strukturnog blok dijagrama postaju
čvorovi grafa toka signala;
• Blokovi strukturnog blok dijagrama postaju grane grafa toka
signala, a funkcije prenosa blokova postaju pojačanja grana;
• Smer toka signala se pri transformaciji ne menja;
• Pošto se signali u čvoru GTS po definiciji sabiraju, predznak
grane sa kojim ona ulazi u diskriminator strukturnog blok
dijagrama se pridružuje funkciji prenosa, odnosno pojačanju
odgovarajuće grane.

U(s)
1
2
-
+
G
+
1 G
+ 4
2 G 3 G 4
3
5
-
+
H 1
H 2
6
Y(s)
7
H 3
U(s)
-H 2
Y(s)
1 G 1
G 2 G G
3
4 1
1 2 3 4 H 5 6 7
1
-H 3