Translatorni mehanički sistemi

2008.01.09.
Translatorni mehanički sistemi
Modeli fizičkih sistema
Modeliranje i simulacija sistema
Promenljive
Osnovne promenljive:
• x – rastojanje [m]
• v – brzina [m/s]
• a – ubrzanje [m /s2]
• f – sila [N]
Sve su funkcije
vremena
dx
v
dt
2
dv d x
a
2
dt dt
Dodatne promenljive:
• w – energija [J]
• p – snaga [W]
p f v
x
m
x
m
v
m
p
dw
dt
t1
w( t)
p(
t)
dt w(
t0)
v
f
m
m
f
t o
1

2008.01.09.
Elementi i njihovi zakoni
Posmatramo elemente i pojave:
• Masa
• Trenje
• Elastičnost
• Masa tela M [kg]
• II Njutonov zakon:
d
dt
Masa tela
dv
( M v)
f za M=const M f
dt
• Energija
– Kinetička
– Potencijalna
w k
1 v 2
2
M
w p
Mgh
2

2008.01.09.
Trenje
• Sila trenja se javlja kada se dva tela dodiruju i
kredu različitim brzinama
f f ( v)
v
v 2
v
1
• Linearizovana zavisnost: f cv
c – koeficijent trenja (viskoznosti) [Nm/s]
• direktno je srazmeren površi dodira, a
obrnuto srazmeren debljini uljanog filma.
zanemarujemo
trenje
c 0
česta oznaka:
c
c
v 2
m
v 1
v 2
m
v 1
• Karakteristika
trenja
linearno
f
suvo
f
povlačenje
f
A
v
-A
v
v
• Opruga
Elastičnost
– Pod dejstvom spoljašnje sile f opruga se isteže za x
• d o - istegnutost opruge bez dejstva sile
• Sila u opruzi:
f f ( x)
x
x 2
x 1
d o +x
x
f
• Za mala istezanja važi
(linearizovano ponašanje)
f k x
k - koeficijent elastičnosti [N/m]
f
x 1
d o +x 1 +x 2
x 2
f
• Energija opruge:
w p
1 ) 2
2
k( x
3

2008.01.09.
Zakonitosti kod uzajamnog dejstva elemenata
1. Dalamberov zakon (drugačuja formulacija II Njutnovog zakona)
dv
dv
( fext
)
i
M ( fext
)
i
M 0
dt
dt
i
i
2. Zakon akcije i reakcije (III Njutnov zakon)
i
inercijalna sila
D`Alambert-ova sila
f i
0
k
f k f k
f k
v 2
m
v 1
3. Zakon pomeraja: suma pomeraja duž zatvorene putanje je 0
m
0 xi
x 1 x 2
B 1 B 2
M 1
x1 ( x2
x1
)
x2
pomeraj pomeraj pomeraj
B1
B2 k
k
i
0
Dobijanje modela sistema – primer 1
• Kombinuju se zakonitosti elemenata i
zakonitosti interakcije (međusobnih
veza) elemenata
x 1
x 2
c M
M 2
1
k 1 k 2
f a (t)
– Za svako telo posmatramo sile
koje na njega deluju
– Na osnovu Dalamberovog zakona
pišemo jednačine
k x 1 1
M 1
c( x 2
x
1)
M1x
k
1
2( x2
x1)
c( x 2
x
1)
M
k2( x2
x
2 f
1)
a
M 2x
2
c(
x
2
x
) k ( x
1
f ( t)
c(
x
a
2
2
x ) M x k x
x
) k ( x
1
2
1
2
2
1 1
x ) M x
1
1 1
2
0
2
0
M x cx
( k k ) x cx
1 1
1
2
1
2
1
2
2
2
cx
k x M x cx
k x f ( t)
1
2
2
k x 0
2
2
2
2
a
4

2008.01.09.
Primer 2
c 1
k 2
x(t)
z(t)
M 2 f a (t)
c 2
k
k2(
x z)
M2
1
c
M
2
z
1
M ( x
)
c 3
2
z
c x
1
c
3 x
M x
1
M 1
f a
c2z
k 1
x
Primer 3
k 1
k 2
x 2
B/2
M 2
k 3
B/2
f a (t)
M 1
x 1
M 1
1
M1x
k x 1 1
k 2
x2
k
2
2x 2
k 3x M (
2
x
1
x
2)
M 2
k3x 2
g M 2
f a
B x
k 3
x 2 2
M 1
g
5

2008.01.09.
Primer 4
x 1
k 1
B 2
f(t)
M 1
M 2
M 2
2
B 1 x 2
k 2
f (t)
B1x
1
M k x )
1
x 1
M 1
1( 1
x2
M 2x 2
k1( x1
x2)
M 2
g k 2
x B 2
x
2
6