D3 Laplaceova transformacija v2.pdf

Laplasova transformacija
0
st
L{ f ( t)}
F(
s)
f ( t)
e dt
j
1
1
st
L { F(
s)}
f ( t)
F(
s)
e
ds,
t 0
2j
j
• L{.} – Laplasova transformacija
• L -1 {.} – Inverzna Laplasova transformacija
• s – kompleksna učestanost (komp. prom. Laplasove trans.)
• F(s) – kompleksan lik funkcije f(t)
• f(t) – original funkcije F(s)

Osobine Laplasove transformacije
1. Teorema linearnosti
L
{ 2
a1 f1(
t)
a2
f2(
t)}
a1F1
( s)
a2F
( s)
2. Čisto vremensko kašnjenje
3. Pomeranje kompleksnog lika
4. Konvolucija originala
5. Teorema o izvodu originala
6. Teorema o integralu originala
7. Teorema o izvodu kompleksnog lika
8. Teorema o promeni vremenske skale
9. Prva granična teorema
10. Druga granična teorema
L{ f ( t
)} e F(
s)
at
s
L{ e f ( t)}
F(
s a)
L
( 2
d
L dt
t
f1(
t)*
f2(
t)}
F1
( s)
F ( s)
{ f ( t)}
sF(
s)
f (0)
L{
0
f ( t)
dt}
n
L{ f ( t)}
( 1)
t
a
F(
s)
s
L{ f ( )} aF(
as)
lim
t0
lim
t
f ( t)
n
d
n
F(
S)
ds
lim sF(
s)
s
f ( t)
limsF(
s)
s0
n

Tablica Laplasove transformacije
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
)
(
)
sin(
)
sin(
)
(
)
cos(
)
cos(
)
(
!
1
!
)
(
1
)
(
)
(
)
(
s
t
e
s
t
s
s
t
e
s
s
t
a
s
n
e
t
a
s
e
s
n
t
h
t
t
s
F
t
f
t
t
n
at
n
at
n
n

Hevisajdov signal
h(t)
1
0 t
s
s
e
dt
e
dt
e
t
f
t
f
L
s
F
t
t
t
h
st
st
st 1
1
)
(
)}
(
{
)
(
0
1,
0
0,
)
(
0
0
0

Dirakov impuls
(t)
0 t
1
0
1
)
(0
)}
(
{
}
)
(
{
)
(
1
)
(
0
,
0
0,
)
(
s
s
h
t
h
sL
dt
t
dh
L
s
F
dt
t
t
t
t

Jedinični nagibni signal
f(t)
1
0 t
1
2
0
0
0
1
1
)}
(
{
)}
(
{
)
(
0
,
0
0,
)
(
s
dt
e
s
s
e
t
dt
e
t
t
h
t
L
t
f
L
s
F
t
t
t
t
h
st
st
st

f(t)
1
0 t
a
2a
-1
a
t
a
t
a
a
t
t
t
h
0,
2
1,
0
1,
0
0,
)
(
Primer – složen signal 1
as
as
e
e
s
t
f
L
s
F
a
t
h
a
t
h
t
h
t
f
2
1
1
)}
(
{
)
(
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
2

0 2
-A
0
A
t
t
t
A
t
t
h
0,
0
,
sin
0
0,
)
(
Primer – složen signal 2
s
s
e
s
A
s
e
s
A
s
F
t
h
t
A
t
h
t
A
t
f
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
sin(
)
(
sin
)
(
2
2
2

f(t)
A
0 T
A/2
t
T
t
A
T
t
t
T
A
t
t
h
,
2
0
,
0
0,
)
(
Primer – složen signal 3
sT
sT
e
s
A
e
Ts
A
s
F
T
t
h
T
t
T
A
T
t
h
A
t
h
t
T
A
t
f
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2

Inverzna Laplasova transformacija
F(
s)
P(
s)
Q(
s)
b
m
ms
n
s
a
m1
bm1s
n1
n1s
...
b
... a
1
1
s b
s a
0
0
• Za određivanje inverzne Laplasove transformacije su od
posebnog značaja polovi funkcije F(s), i tu se mogu uočiti četiri
karakteristična slučaja:
– Svi polovi funkcije F(s) su realni i prosti
– Funkcija F(s) ima višestruke realne korene
– Postoje konjugovano-kompleksni polovi, a realni su, ako postoje, prosti
– Funkcija F(s) ima višestruke konjugovano kompleksne polove

Polovi funkcije su realni i prosti
)
)...(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1 n
s
s
s
s
s
s
s
P
s
Q
s
P
s
F
n
k
k
k
n
n
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
F
1
2
2
1
1
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
k
k
ds
d
k
ds
d
s
s
k
s
s
k
s
s
k
k
s
Q
s
P
s
Q
s
P
s
s
s
Q
s
P
s
s
K
s
Q
s
P
s
s
K
k
k
k
0
,
)
(
1
1
1
t
e
K
s
s
K
L
t
f
n
k
t
s
k
n
k
k
k
k

Polovi funkcije su realni višestruki
)
)...(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
3
1 n
s
s
s
s
s
s
s
P
s
Q
s
P
s
F
n
k
k
k
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
F
4
1
13
2
1
12
3
1
11
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
1
2
2
13
3
1
12
3
1
11
s
s
s
s
s
s
s
Q
s
P
s
s
ds
d
K
s
Q
s
P
s
s
ds
d
K
s
Q
s
P
s
s
K
p
m
s
Q
s
P
s
s
ds
d
m
K
s r
s
p
r
m
m
rm
1,2,...
)
(
)
(
)
(
1)!
(
1
1
1
0
,
2
)
(
4
13
12
2
11 1
1
1
t
e
K
e
K
te
K
e
t
K
t
f
n
k
t
s
k
t
s
t
s
t
s
k
n
k
k
k
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
Q
s
P
s
s
4
3
1
13
2
1
12
1
11
3
1 )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

Polovi funkcije su konjugovano kompleksni
)
)...(
)(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
*
1
1 n
s
s
s
s
s
s
s
s
s
P
s
Q
s
P
s
F
jb
a
K
jb
a
K
j
s
j
s
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
F
n
n
*
1
1
*
1
1
3
3
*
1
*
1
1
1
,
,
...
)
(
j
s
s
Q
s
P
jb
a
K
)
(
)
(
1
n
k
k
k
n
k
k
k
s
s
K
s
b
s
a
s
s
K
j
s
jb
a
j
s
jb
a
s
F
3
2
2
3 )
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
0
,
cos
2
sin
2
)
(
3
t
e
K
t
e
b
t
e
a
t
f
n
k
t
s
k
t
t
k

Primer primene Laplasove transformacije
x(t)
k
m
f(t)
c
• Mehanički sistem je opisan diferencijalnom jednačinom
2
d x(
t)
m
2
dt
c
dx(
t)
dt
k x(
t)
f
( t)
f
( t)
0,
x(0
)
x
0
1,
dx
dt
(0
)
0

Primer – nastavak
• Primena Laplasove transformacije na dif. jedn. daje:
m
s
2
X ( s)
sx(0
• a nakon sređivanja:
)
dx
(0
dt
2
ms cs kX
( s)
ms
c
X ( s)
ms
ms c
2
cs k
x(0
)
) c
x(0
ms
sX
( s)
x(0
)
k X ( s)
0
ms c
2
)
cs k
X ( s)
P(
s)
Q(
s)
s
2
s
c
m
c
m
s
k
m

Primer – realni jednostruki polovi
• Za k/m=2 i c/m=3 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
X ( s)
s 3 s 3 2 1
2
s 3s
2 ( s 1)(
s 2) s 1
s 2
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove
transformacije (upotrebom tablica)
x(
t)
L
1
{ X ( s)}
L
1
2
L
s
1
1
1
s
2
2e
t
e
2t
K=2; M=1; c=3;
P=[M c]; Q=[M c K];
[nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
plot(polovi+eps*j,'x')
roots(Q)
nule =
-1
2
polovi =
-2
-1
ostatak =
[]

Primer – realni višestruki polovi
• Za k/m=4 i c/m=4 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
X ( s)
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove
transformacije (upotrebom tablica)
x(
t)
s
L
2
1
s 4
4s
4
{ X ( s)}
s 4
( s 2)
L
1
2
1
s 2
1
L
s
2
1
2
( s 2)
2
( s 2)
2
2
e
2t
2te
2t
K=4; M=1; c=4;
P=[M c]; Q=[M c K];
[nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
plot(polovi+eps*j,'x')
roots(Q)
nule =
1
2
polovi =
-2
-2
ostatak =
[]

Primer – konjugovano-kompleksni polovi
• Za k/m=3 i c/m=2 Razvoj u sumu parcijalnih sabiraka
X ( s)
s
2
s 2
2s
3
s 11
2
( s 1)
( 2)
• Original x(t) se dobija promenim inverzne Laplasove
transformacije (upotrebom tablica)
2
s 1
2
( s 1)
(
2)
2
1
2 ( s 1)
2
2
(
2)
2
x(
t)
L
1
{ X ( s)}
L
1
s 1
2
( s 1)
(
2)
2
1
2
L
1
( s 1)
2
2
(
2)
2
x(
t)
e
cos( t
2)
1
t t
2
e
sin( t
2)

Primer – uporedni prikaz
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0 1 2 3 4 5 6 7

Odziv modela 2. reda
• Uvođenjem smena model se može napisati kao
c
2 km
n
k
m
X ( s)
ms
ms c
2
cs k
x
0
Faktor relativnog prigušenja
Prirodna učestanost
s
2
s 2
2
s
n
n
2
n
x
0
• Na karakter odziv sistema utiču polovi sistema
s
s
2
1,2
2
s
n
n
2
n
n
0
2
1
Realni koreni 1
s
1,2
n
j
n
1
2
Konjugovano-kompleksni polovi

Lokacije konjugovano-kompleksnih polova
Im{s}=j
n
- n Re{s}=
- n 0
s 1
j
n 1
s 2 j
2
n 1
2

Uticaj na lokacije polova
Smer porasta
Im{s}=j
0 Re{s}=
Smer porasta

Prigušen odziv sistema
y(t)
Polovi sistema realni i prosti.
Odziv je prigušeno aperiodičan.
t
y(
t)
Polovi sistema konjugovano kompleksni.
Odziv je prigušeno oscilatoran.
y0
e
2
1
nt
sin
n
1
2
t
arccos

Osobine linearnih modela
• Princip superpozicije. Odziv linearnog sistema na pobudu
datu zbirom pojedinačnih pobuda može se dobiti kao suma
odziva na pojedinačne pobude, koje na sistem deluju
nezavisno jedna od druge.
• Princip stacionarnosti. Ako na linearan, stacionaran sistem
bez početne energije (nulti početni uslovi) deluje pobuda
x(t)h(t) i odziv na tu pobudu je y(t)h(t), tada de za čisto
vremenski zakašnjenu pobudu x(t-T)h(t-T) sistem imati odziv
y(t-T)h(t-T).
– Ova se osobina još naziva i nezavisnost početka računanja vremena.

Primer – pobuda h(t)
>> K=2; M=1; c=3;
>> P=[1]; Q=[M c K 0];
>> [nule,polovi,ostatak]=residue(P,Q)
nule =
0.5000
-1.0000
0.5000
polovi =
-2
-1
0
ostatak =
[]
>> t=0:0.01:10; y=0.5+0.5*exp(-2*t)-1*exp(-t);
>> plot(t,y)
>> step(1,[M c K]) % kasnije