PRZEGLĄD MECHANICZNY 5/2015
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
modelu, a w przypadku ruchu okresowego – identyfikacja<br />
problemu w dziedzinie cz´stotliwoÊci.<br />
W tym miejscu warto podkreÊliç, ˝e rozwiàzania<br />
numeryczne sà w takim zagadnieniu ma∏o praktyczne.<br />
Zwiàzane jest to z charakterem otrzymywanych<br />
wyników w postaci ciàgu wektorów rozwiàzania<br />
w wybranych punktach czasowych. Niestety rozwiàzanie<br />
dyskretne nie pozwala na bezpoÊrednià ocen´<br />
wp∏ywu poszczególnych parametrów modelu na<br />
charakterystyki widmowe.<br />
Sytuacja zmienia si´ radykalnie w momencie znalezienia<br />
zamkni´tego rozwiàzania. Mo˝liwe jest wtedy<br />
wykorzystanie ca∏ego wachlarza metod analizy matematycznej<br />
w celu zbadania otrzymanych rozwiàzaƒ,<br />
a w konsekwencji wykorzystania wyników do procesu<br />
identyfikacji parametrycznej modelu.<br />
Model uk∏adu wirujàcego<br />
z zaburzeniem momentu obrotowego<br />
Zjawisko zaburzenia momentu obrotowego jest<br />
powszechne w szeroko poj´tej budowie i eksploatacji<br />
maszyn. Wyst´puje np. we wszelkiego typu maszynach<br />
turbinowych lub silnikach t∏okowych. OczywiÊcie<br />
w zale˝noÊci od parametrów uk∏adu i punktu pracy,<br />
zmiennoÊç momentu oraz nieod∏àczne drgania<br />
skr´tne b´dà osiàgaç ró˝ne amplitudy. Problem ten<br />
jest o tyle istotny, ˝e w jego konsekwencji w uk∏adzie<br />
pojawiajà si´ znaczne nadwy˝ki dynamiczne.<br />
W przypadku silników t∏okowych drgania skr´tne<br />
w otoczeniu cz´stoÊci w∏asnej mogà nawet doprowadziç<br />
do uszkodzenia obiektu. Ponadto w obliczeniach<br />
wytrzyma∏oÊciowych nale˝y uwzgl´dniç wytrzyma∏oÊç<br />
zm´czeniowà. Zasadniczo mo˝na okreÊliç<br />
3 êród∏a powstawania zjawiska zaburzenia momentu<br />
obrotowego:<br />
– zmiennoÊç momentu nap´dowego w zale˝noÊci<br />
od parametrów pracy uk∏adu, tj. czasu, po∏o˝enia,<br />
pr´dkoÊci itp.,<br />
– zmiennoÊç momentu oporowego w zale˝noÊci<br />
od parametrów pracy uk∏adu, tj. czasu, po∏o˝enia,<br />
pr´dkoÊci itp.,<br />
– zale˝noÊç parametrów uk∏adu, takich jak sztywnoÊç,<br />
t∏umienie itp., od parametrów pracy uk∏adu,<br />
tj. czasu, po∏o˝enia, pr´dkoÊci itp.<br />
W celu zbadania tych zjawisk dog∏´bniej zaproponowano<br />
model o wysokim poziomie abstrakcji,<br />
w którym wyst´powanie drgaƒ skr´tnych ma znaczàcy<br />
wp∏yw na dynamik´ ca∏ego uk∏adu. Zaproponowany<br />
model fizyczny (rys. 1) sk∏ada si´ z tarczy<br />
o masie m i momencie bezw∏adnoÊci I, zamocowanej<br />
mimoÊrodowo na wale, w odleg∏oÊci e od osi obrotu.<br />
Sam wa∏ jest podatny gi´tnie oraz sztywny skr´tnie.<br />
SztywnoÊç gi´tna wa∏u wynosi k.<br />
Pomimo pozornej prostoty tego modelu mo˝liwe<br />
jest jego efektywne zastosowanie w opisie matematycznym<br />
bardziej skomplikowanych obiektów. Warunkiem<br />
jest poprawne przeprowadzenie procesu<br />
identyfikacji modelu dynamicznego. Równania ruchu<br />
badanego uk∏adu (znalezione z wykorzystaniem<br />
formalizmu równaƒ Lagrange’a II rodzaju) majà<br />
nast´pujàcà postaç:<br />
(3)<br />
Uk∏ad równaƒ ró˝niczkowych (1) – (3) jest nieliniowym<br />
sprz´˝onym uk∏adem równaƒ ró˝niczkowych<br />
zwyczajnych rz´du drugiego. Nale˝y podkreÊliç,<br />
˝e dla uk∏adu tej klasy nie istnieje zamkni´ty<br />
algorytm poszukiwania jego ca∏ek szczególnych. Co<br />
wi´cej, nie istnieje zamkni´ta forma rozwiàzania.<br />
Ponadto charakter pracy wi´kszoÊci uk∏adów nap´dowych<br />
wià˝e si´ z pewnymi ograniczeniami ruchu<br />
obrotowego. Po∏o˝enie kàtowe wirnika wygodnie<br />
jest przedstawiç w postaci sumy ruchu podstawowego<br />
oraz zaburzenia. Korzystanie z takiej formy<br />
uzasadnione jest przejrzystoÊcià, jakà daje rozdzielenie<br />
ruchu na jego cz´Êç zasadniczà oraz zaburzenie,<br />
które mo˝na traktowaç jako swego rodzaju ruch<br />
paso˝ytniczy. Zatem kàt obrotu wa∏u mo˝na zapisaç<br />
jako:<br />
gdzie:<br />
– ruch podstawowy,<br />
– zaburzenie ruchu – najcz´Êciej opisane<br />
pewnà funkcjà okresowà.<br />
Dodatkowo nale˝y za∏o˝yç, ˝e amplituda zaburzenia<br />
kàtowego nie mo˝e przekraczaç pewnych<br />
dopuszczalnych wartoÊci. Du˝e odst´pstwa ca∏kowitego<br />
przemieszczenia kàtowego od ruchu podstawowego<br />
sà niedopuszczalne, poniewa˝ wp∏yn´-<br />
∏oby to istotnie na dzia∏anie uk∏adu jako ca∏oÊci.<br />
Ograniczenie to mo˝na sformu∏owaç w sposób<br />
nast´pujàcy:<br />
gdzie:<br />
– maksymalna dopuszczalna amplituda<br />
zaburzenia po∏o˝enia kàtowego,<br />
(1)<br />
(2)<br />
(4)<br />
(5)<br />
– wielokrotnoÊç kàta w kàcie π.<br />
Ponadto, stosunek amplitudy pr´dkoÊci zaburzenia<br />
do pr´dkoÊci ruchu podstawowego jest ograniczony.<br />
Uzasadnione jest to faktem, ˝e praca uk∏adu<br />
mechanicznego z du˝ymi zmianami pr´dkoÊci kàtowej<br />
jest w wi´kszoÊci przypadków niedopuszczalna.<br />
Rys. 1. Model wa∏u [1]<br />
30 ROK WYD. LXXIV ZESZYT 5/<strong>2015</strong>
Change language