Chalmers Finite Element Center - FEniCS Project

¢¡¤£ ¡¦¥ § § ¨©§ § £ ¥ § £ ¥ §
PREPRINT 2003–05
Smoothing properties and approximation of time
derivatives in multistep backward difference methods
for linear parabolic equations
Yubin Yan
Chalmers Finite Element Center
CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Göteborg Sweden 2003

¡ ¢ £¥¤ ¦¨§© ¦ ¦¨£¥¦¨¤ ¦¨ ¦¨ ¦¨§
Preprint 2003–05
Smoothing properties and approximation of
time derivatives in multistep backward
difference methods for linear parabolic
equations
Yubin Yan
Chalmers Finite Element Center
Chalmers University of Technology
SE–412 96 Göteborg Sweden
Göteborg, March 2003

Smoothing properties and approximation of time derivatives in multistep backward
difference methods for linear parabolic equations
Yubin Yan
NO 2003–05
ISSN 1404–4382
Chalmers Finite Element Center
Chalmers University of Technology
SE–412 96 Göteborg
Sweden
Telephone: +46 (0)31 772 1000
Fax: +46 (0)31 772 3595
¡ ¡ £¢¥¤¡¦¨§©¢¦¢
Printed in Sweden
Chalmers University of Technology
Göteborg, Sweden 2003

£¦ £¡¦ £§ £§!"¦#¡$
¢¡¤£¥£§¦©¨
)# ¡*+,¦ -¦ ./021%3 !4!5¥6708¡$6¦©¨£§9
%&'¦('%
¡b¢F-£ZŸ œ
Ošs›vœ--žFŸ
¹º©³·¥­V§t©•µO¥;µ…»-§x©³·;¯
¤¦¥§x¨ª©•«†¬®­…¬,¯#°†±M¯6«tẌ­…²³²F´#µO¥®«t©³®¯°M§x¨®¯«g·;µ˜µ…§t¨®©•¥®¸¬®°tµ…¬,¯#°g§x©³¯«4­V¥®§x¨®¯­…¬®¬®°gµ
±Å©³¥®¸9¥®µ…¥®¨®µO·§µO¸O¯#¥®¯µO¾ª«
®¯#°t©³¼V­V§t©³¼…¯«2©³¥½·2¾®²³§t©•«Q§x¯¬À¿X­…´vÁ±5­V°tÄ,¯°g¯¥®´#¯·;¯§x¨®µ˜®«©»HµO°§x¨®¯»Hµ…²•²•µ
²•©³¥®¯p­V°5¬X­…°t­…¿,µ…²•©•´‹¯ÆU¾X­V§t©•µO¥
…š³?È ÉXʪËÃÌ‹É%ÍÏÎÑÐ »HµO°BÒ†ÓÕÔ Ð ±Å©Ö§x¨ É Ç Ô ÈƒÍØ×ÑÐ
Ç
±Å©³§t¨Ã¥ªµO°t· Ü6Ý-Ü?Þ

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
Ç È ©•«Å­…´#´¾®°t­V§x¯µ…» µO°tª¯° $ Þ®© š ¯ š Þ
±Å¨®¯#°t¯§x¨®¯°x­d§x©•µ…¥X­…²,»H¾ª¥®´#§t©•µO¥
…šUÈ Ç È Í Ç ÈÐ ­…« ! Ô ©
Ç
¤…š%$ ¯âX¥®¯§t¨®¯»Hµ…²•²•µ ±Å©³¥®¸/âX¥®©³§t¯©®©ÖÄF¯#°t¯#¥®´¯Æ˜¾ªµ…§x©³¯¥Â§pÞJ±Å©³§x¨«tµO·§¯¥®µO¥®¥®¯#¸Â­V§t©³¼O¯ ©•¥Â§x¯#¸O¯°g«
ú-¯#§#"
-
3021
076 *54
, -/ ©•«Å­V¥­V¬®¬®°tµp¹º©•·;­V§t©•µO¥µV»ŠµO°g®¯° $ §xµ/§x¨®¯6§t©•·§¯®¯°g©³¼V­V§t©³¼O¯:9 -Ê Þº§xẌ­V§Å©³«Þª»Hµ…°
«g«t¾®·§¯6§xẌ­d§
É Þ
­…¥Âã«g·;µ˜µ…§x¨%°g¯p­…²„ÿ¼V­…²•¾ª¯»H¾®¥®´§x©³µO¥
±Å©³¥®¸2«t·§µ˜µ…§x¨%X­V§x­/¯°t°gµO°4¯«Q§x©³·¥­V§t¯«
>ö¯§t¨®¯¥Ẍ­p¼O¯§x¨ª¯»Hµ…²•²•µ
…š ü È Ü ,ö¯©³¥Â§x°tµ˜®¾®´#¯§x¨®¯¿X­V´vÁU±†­…°g9®©ÖÄF¯#°t¯¥ª´¯µO¬,¯#°x­V§tµO°NM
M
M
Í
3
±Å¥»H°tµO·§x¨ª¯5§x¨®¯#µO°gã2»Hµ…°B¥U¾®·;¯#°t©³ṕ­…²º«tµO²³¾ª§x©³µO¥2µ…»JµO°g®©•¥X­V°g㮩³Ä,¯°g¯¥Â§x©•­…²ª¯#Ƙ¾®­V§x©³µO¥®«Þ
¤§ƒ©³«Š±†¯#²•²®ÁU¥®µ
š ¸ š ÞªÚ&­…©³°t¯#°M­V¥®Q>À­…¥®¥®¯#°6î…ï ÞU§x¨®­V§†§t¨®©•«

M
Ë
Ë
' ' D É I K Ç'& È D'
&
+
"
Ë
' D ÉXÊ Ç*& È D' &
Ç'& 騧 & Ë Ò0/ ' D ÉXÊ Ç Ò ' È D'
( - Ð
A ­…¥ª )±M¯/®¯¥ªµ…§x¯2²•­…°t¸…¯2­…¥®«g·¥­V²•²b¬,µ…«t©³§t©³¼…¯©´µ…¥®«g§x­…¥Â§x«©•¥®ª¯¬J¯¥®®¯#¥Â§µ…»ƒ§x¨®¯»H¾®¥®´#§t©•µO¥ª«
íMã
š > ¨ª¯¥
­…¥®ö¬X­…°t­…·;¯§x¯#°t«´µO¥ª´¯°g¥®¯FÞB¿®¾ª§¥®µ…§¥®¯´#¯«g«x­…°g©•²³ã§t¨®¯§«x­…·§¯§­V§©ª©³Ä,¯°t¯#¥Â§µ˜´´#¾®°t°g¯¥®´#¯«
M
,š ¤¦¥Â§x°tµ˜®¾®´#©•¥®¸)= Ç?> ÈsÍA@ *54 ±Å¨®¯#°t¯/§x¨®¯/´#µº¯
*
Þ¢©Ö§6©•«¯­…«gã
§xµ´v¨®¯#´vÁ§xẌ­V§ Ç OšÖ ó È ©•«4¯#ÆU¾®©³¼V­…²³¯¥Â§Å§xµ
ó š ó È = Ç È Í; Ç ÈÐ ­…« ( Ô ©
Ç
É Ç Ò ÈƒÍ
Ê ©³¥ Ç OšÖ ó È Þ®±†¯Ẍ­p¼O¯
¤¦¥%»l­…´#§Þª±Å©³§t¨
Ç
/ È2 §Í; Ç È(Ð ­V« Ô Ð
=
¿Âã ÞŠ±M¯«t¨ªµ?± Ç ó š ó È(š,B ¥ §x¨ª¯¥µ…§t¨®¯°2¨®­…¥®¢ÞB©Ö» Ç ó š ó È ¨ªµO²•®«#Þ Ç …š³ ó È »HµO²³²•µ ±Å«»H°tµO·
°t¯#¬®²’­V´©•¥ª¸
3
*54
Þ Ç OšÖO?È °t¯#®¾®´#¯«Å§xµ/§x¨®¯¿X­V´vÁU±†­…°g,Cƒ¾®²•¯#°4·;¯§x¨®µ˜
Ègà ËÃÌ Í Î Ð »Hµ…° $OÐ
Ç
Þ
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

óºÞª±M¯Ẍ­p¼O¯
/'
ó Ë
Ç
' Ègà ËÃÌ ÍÏÎ Ð »HµO° ó Ð
'
­…¥ª ­…°t¯6¥®¯#¯®¯#9§xµ«Q§v­…°Q§4§x¨®¯¬®°gµº´#¯®¾®°g¯ š
­…¥®¿Jµ…§x¨:
3
X
O
Ü@?BA6Ò
ÜM
Y 6 ? ù. Z%- [3)9#!0E!0:-¢'*)©+#,%-0# ) Ð A %-21
M
R
3
R
A ^ - Ð 6@)©
3
R
.
Í
¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
CXµO° Í
톰t­…·2¿®²³¯…Þ ðŠ­…«g´©’­VÁJÞ ñ ­…·§·;µO¥FÞŠ­…¥ª
¯¯éîqó ï µO¿º§v­…©³¥ö§x¨ª¯;»HµO²³²•µ ±Å©•¥®¸%«Q§v­…¿®©³²•©Ö§¦ã°t¯#«t¾®²Ö§pÞŠ© š ¯ š Þ
è4¨®µO·Ùò
±Å©³§t¨:/§t¨®¯«tµO²³¾ª§x©³µO¥µ…» Ç OšÖO?È Þ
3@
ÜP Ü%?BA
ÜP - Ü Ë
A
Ü Î - Ü Ð »HµO° ©
Ç ó š ÷ È
- 4
3
4 -
¤¦¥;§t¨®©•«:¬X­V¬,¯#°:±M¯‹â®°t«g§M«t¨ªµ?±ì§t¨®¯Å»HµO²•²³µ?±Å©³¥®¸6«t·§µ˜µ…§x¨®©³¥®¸6¬®°gµO¬,¯#°g§¦ã»HµO°ƒ§x¨ª¯‹·2¾ª²³§x©³«g§t¯¬¿X­…´vÁ±†­…°t
š
®©ÖÄF¯#°t¯¥ª´¯·;¯§x¨®µ˜
¦¢¡¤£¦¥¨§©£
¤ ? ù "!$#&%('*)©+#,%- A/. !02143215)768 53)9#!0!0:-&1%-7)© Ì . #?¨' %-¨6@)©A B#9)©CD?E!F)© )76 Ç OšÖO?ÈBG !0 Î%Í Ô¦.
3P
Ç ó šUÈ
ÜP - Ü Ð 6@)© ó+ ©
èDµ§¬ª°tµ ¼O¯§x¨®©³«5§x¨®¯#µO°t¯#·Þ®±M¯¥®¯¯#§t¨®¯6»HµO²•²³µ?±Å©³¥®¸2²³¯·§·¥­»H°gµO·
¯#¯§î O ÞÑúb¯#·;·;­ Ô © ÷ ïoš
è4¨®µ…·Ùò
- 4
+=£HIIJKL "#9)©CD?H!F)©I)76 Ç OšÖO?È&M %-NPO G !04 . G !0 /Q - ͮΠ- Í ®Î Ç Ò
-
È .
3P
S
3
4 -
Ç ó š £ È Í
Ç ˜Ì6È S Ð 6@)© Ð
-
Ç ºÌ6È Q - Ë
S
4
S
G & R
- Ç È %-21 R
Ç È %- ¢1

§
§
§
3
*54
§
§
§
3
Í
3
R
§
§
§
3
§
§
§
3
*54
3
R
3
)+*¢¡ R
I
* K i
3
3
R
Ë
3
S
¥
3
3
+
3
R
*
i -
Ç ºÌ6È ) -
«g«t¾®·§©•¥ª¸;§x¨ª©•«s©•¥§t¨®¯©·§µO·§¯¥Â§pÞÑ¿Âã«t¬J¯´§x°x­V²Š°t¯#¬®°t¯#«t¯#¥U§x­V§x©³µO¥¢ÞJ§x¨®¯®¯«g©•°g¯é¯#«g§x©³·¥­d§x¯%Ü M
+
3
¥
©
Ð
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦ö¯­V²•«tµ¥®µV§x¯§x¨®­V§
*
S
S
Ç ó š ¡ È
)* R
Ç È:Í
R
Ç ÈÐ »HµO°¥SG & ? Ð ( gV & Ô ©
¤¦¥»l­V´#§pÞV©³» & G -Þ Ç ó š ¡ È »HµO²³²•µ ±Å«¢»H°tµO·$´#µO·§¬X­…°t©³¥®¸4§x¨®¯M´µ˜¯

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
±)¬®°gµ?¼…¯ š CXµO°4«t·;­…²•² G
Þ®±M¯Ẍ­p¼…¯…ÞÑ¿Âã
±Å¨®©³´v¨±M¯±Å©³²•²,¥®µ
Ç ó š ü È Þ®±†¯Ẍ­p¼O¯VÞ
Þ®¾®«g©•¥®¸;­…¸Â­…©³¥
š§¦ž-ž,ŸŠž 9¦; -£3§¨®9:;
÷
± §t¨®¯¯#°t°tµ…°5¯«Q§x©•·;­V§t¯«M»Hµ…°M§x¨ª¯6­…¬®¬®°gµp¹ª©³·¥­d§x©•µ…¥ M O
2µ…»-§t¨®¯&§x©³·;¯
¤¦¥§x¨ª©•«†«g¯´§x©•µ…¥¢Þº±M¯±Å©•²³²J«g¨®µ
4
>ö¯¥®µ ± §x¾ª°t¥Ù§xµ7¥®µO¥®«g·;µ˜µ…§t¨½X­V§v­¯#°t°tµ…°§¯#«g§t©•·;­V§x¯ š 톯²³µ ± ±M¯±Å©•²•²M¾®«t¯%§x¨ª¯¥®µO°t· D × D
S
i
£
X
Í
3
X
Í
Ç ó š ü È Þ
D R
&
S
Ç È D? Ç ^I È Ç*& ^ S È ? Ç ^& È ·;­d¹¢¡5 ^ + Ð ^& ¤£ ?BA ©
CXµO°
&
D R
S
È D?BA Ç ¥ ^& È Ç'& ^ S È ?BA Ð
Ç
Ç ó š³O Èš èDµO¸O¯#§t¨®¯°4§t¨®¯«g¯¯#«g§x©³·¥­d§x¯«Å´#µO·;¬ª²•¯#§t¯§x¨®¯¬®°gµºµV» µV»Šè4¨®¯(ÿ
±Å¨®©³´v¨´#µO·;¬ª²•¯#§t¯«4§x¨ª¯¬ª°tµ˜µ…»Dµ…»
µO°g¯· ó šÖOš ¥
®¯#°t©³¼V­V§t©³¼…¯ ÉXÊ Ç Ò
È ©³¥;¿Jµ…§x¨§«t·§µ˜µ…§x¨§­…¥®§¥®µO¥ª«t·§µºµ…§t¨;®­V§v­ṕ­…«g¯« š ûs¯#ṕ­…²³²®§xẌ­V§:§t¨®¯‹¯#°t°gµO°:¯«g§t©•·;­V§x¯
È ©³¥2§x¨®¯4«g·;µ˜µ…§x¨/®­V§v­´­…«t¯4°g¯p­…®«#ÞU«t¯¯4è4¨ªµO·Ùò
»HµO°Š§t¨®¯Å­…¬®¬ª°tµp¹º©•·;­V§x©³µO¥ 6µ…» É Ç Ò
¯#¯î … ÞÂè4¨®¯µ…°t¯·
Ô ©Öï Þ
3P
Ê%$
Ç ÷ š³?È
ÜP ½É Ü%?BA
ÜP - É - Ü Ë A "
Ü É I K Ç'& È Ü ß & Ð »Hµ…° ©
¬ª¬®²³ã˜©•¥ª¸
Ç ÷ šÖ?È Þƒ±M¯´­…¥Ã¯p­…«g©•²³ãö¬®°gµ?¼…¯§t¨®¯»HµO²³²•µ ±Å©•¥®¸9«t·§µºµ…§t¨½X­V§x­7¯#°t°gµO°/¯«Q§x©•·;­V§t¯¥»HµO°2§x¨ª¯
- 4
š
§x©³·;¯&®¯°g©³¼V­V§x©Ö¼O¯­…¬ª¬®°tµp¹º©•·;­V§x©³µO¥
©¤ ? ù "!$#&%('*)©+#,%- A/. !02143215)768 53)9#!0!0:-&1%-7)© Ì . #?¨'
%-
3P
Ê%$
Ü Ì Ç É È Ü Ë A "
Ü Ì&É I K Ç*& È Ü ß & Ð 6@)© ó ©
Ç ÷ š ó È
M O
½ÉXÊ Ç Ò
È Ü

Ë
±Å©³¥®¸2¸O¯#¥®¯°t­…²•©³õp­V§t©•µO¥µV»Bú-¯·§·;­§÷ š ó š
>ö¯¥ª¯¯%§x¨ª¯»Hµ…²•²•µ
© ©B¤ B? ù %-21 & Ô. %-21 C$ O( #9)©CD?H!F)©n)76 Ç Oš³…?È ¢¡ #*#? M ( %-
+=£HIIJ
ÜP Ü ' Ë
Ë
Ç )
Ë
Ë È ¥ Ë )
A
Ë
A
D¤ - D' Ç
S
D Î - D' Ç
S
i È ' ?BA
Ë
i È-Ë Ý Ý Ý Ë )
Ç Ð
0 Ð Ý Ý Ý Ð ¥ 0 æ ­…°t¯¸O©³¼…¯¥­V¥® § i æ Ð Ç & ? lP? -È ­…°t¯©­…°t¿ª©³§x°t­…°gã š >ö¯©«gẌ­…²•²
±Å¨®¯#°t¯©¥
«t¨ªµ?±
Ë
A
Ë
Ë
Ë
i
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

0 i Í Ô Ð- ?ml ? -ÞÑ­…¥ª%§t¨®¯¥%§x¨ª¯´­…«t¯±Å¨®¯#¥ § i Í Ô2»HµO° l & š
¥
š óºÞª±M¯âX¥ª§tẌ­V§
íMã%ú-¯#·;·;­ó
X 3
4
-
Ç ó š ü È Þª±M¯Ẍ­p¼O¯…ÞX»HµO°ÅÔV? ?
ššš
X 3
4
-
S D R
- D?BA X 3 "
4
-
R
R
R
Þ
S ^ - Í A S X 3 "
4
-
R
S
R
I K S
¼O¯ ¬®°t¯#¬X­…°t­V§x©³µO¥®«Þ‹±†¯ ¥®µ ± ´µ…¥®«t©³®¯°%§x¨®¯7¬®°gµºµV»2µ…» Ç ÷ š £ È ©•¥ §x¨®¯ ṕ­…«g¯ ±Å¨ª¯¥
»Z§t¯°§x¨ª¯À­…¿Jµ
0 Í Ý Ý Ý Í ¥ 0 Í Ô š >ö¯Ẍ­p¼O¯…ÞÑ¿Âã Ç ÷ š ü È Þ
¥
+
R
R
§ i -
'
i
R
i
+
A @
X
¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
±ì§x¾ª°t¥§tµ©¬®°gµ?¼…¯ Ç ÷ š £ Èvš íM㧲•©³¥®¯p­V°t©³§¦ã2©³§ö¯­V²•«tµ/¥ªµ…§x¯6§x¨®­V§4§x¨®¯«gµO²•¾ª§t©•µO¥ª« ¥ Ç & È µ…» Ç ÷ šUÈ «x­d§x©•«Q»ZãOÞX¿Âã Ç ó š £ È Þ
3P
¥ 0 Í R
Ç È § 0 Ë
È ¥ S 0 Ð Ç
S
4
3P
¥ 0 Í R
Ç È § 0 Ë
Ç È § 0 Ë
È ¥ S 0 Ð Ç
S
4
3@
- Ç È § - Ë
R
I 0 K S
Ç È ¥ S 0 Ð & Ð
¥ Í
3
4 0 -
S
4
µO°#Þ®©•¥%¸O¯#¥®¯°t­…²¢»HµO°t·Þ
3P
¥ S 0 Ð »HµO° & ©
Ç ÷ š ü È ¥ Í
3
4 0 -
-
§ - Ë
S
4
R
I 0 K S
3
4 0 -
¥ Í
§ i Ð »HµO° & Ð
-
§ - Í
0 3
i4
«tµ§x¨®­V§pÞ®¾ª«t©•¥ª¸§t¨®¯ ñ ´v¨Â±5­V°tõ ©³¥®¯ÆU¾X­V²•©³§¦ã…Þ
0 3
i4
0 3
i4
0 3
i4
È ' Í S
S Ç ¥
i È ' ©
D R
? S
D R
i
D -
i
D Ç §

¡
?
¡
¡
0
0 3
¡
4
+ -
3
4 0
3
4 0
¡
¡
3
i
D Ç § i È ' -
©•¥§x¨®¯¬®°g¯«g¯¥Â§&´­…«t¯ š
±Å¨®©³´v¨´#µO·;¬ª²•¯#§t¯«5§t¨®¯¬®°tµ˜µ…»
§ - Í Ô Ð & ?"Q? ­…¥®¥ 0 i j Í Ô ÐÅ ?ml? Ð ¥ 0 ¥ i Í
>ö¯‹¥®¯(¹˜§†´#µO¥®«t©³®¯°:§x¨ª¯‹´­…«t¯Å±Å¨®¯¥
3
4 0
¡
3
¡
3
R
3
4 0
¡
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
[¡
Ç ó š ü È ­V¥® TS ?BA ¡ Ç ( & Ë l " È>S¢Ë Ç & l Ë " È S £ Þ
«tµ§x¨®­V§pÞ®¾ª«t©•¥ª¸
3
4 0
¡
È ' ?BA
3
3
3
3
4 0
. G !0 ( Ç*& ÈƒÍ D É I K Ç*& È D'
' P
M
M
Ü©¥ Ü ' ?BA
¡
3
Ë
R
Ë
Ë
MË Ç ( & Ë l " È S £ R '
¡
0 iY -
Ë
' D ÉXÊ Ç'& È D' &
D - É - D' ¡ '
Ë ' ' Ü Ì Ç - É - È Ü ' £
+
"
Ç*& 騧 & Ë Ò0/ ' D ÉÑÊ Ç Ò ' È D'
( - Ð
D ¥ - D' ¡ ' P ' Ë ' '
Ü©¥ - Ü ' £
Ë
.
0 iY - Ç È Ç ¥
0 i È '
S Ç ¥
È ' ?BA S
- 4
i
¡ MË Ç ( & Ë l " È S £ R
0 i - Ç È Ç ¥
?BA
0 i È '
- 4
i
Ç MË S È Ç ¥ 0 i È ' ©
?BA
CX°tµO·
§x¨®©³«5±†¯­…²³«tµµO¿ª§x­…©•¥
- 4
i
S Ç ¥
Ç È Ç ¥
0 i È '
- 4
i
Ç MË S È Ç ¥ 0 i È ' © ?BA
š ¥
èDµO¸O¯#§t¨®¯°4§t¨®¯«g¯¯#«g§x©³·¥­d§x¯«4´#µO·§¬®²•¯§x¯§x¨ª¯¬ª°tµ˜µ…»
± ±†¯­…°g¯§t¨®¯¬,µ…«t©³§t©•µO¥§tµ«g§v­d§x¯µO¾®°4¯#°t°tµ…°s¯#«g§t©•·;­V§x¯ š
¢‹µ
©¤£¤ ? ù %-21"C$ %-21 É O =#9)©CD?H!F)©+#[)76 Ç OšÖO?È %-21 Ç OšÖ?È . *#43*'E!0:-CDN
¦¢¡¤£¦¥¨§©£
& ' ' D É I K Ç'& È D'
P
3
'
' '
Ò
M O
½ÉXÊ Ç Ò
È Ü ' ?BA
Ü
Ê%$
- 4
A '
È Ç
_ )9)76 ƒè4¨ª¯¯#°t°tµ…°¦¥ Í
O
½ÉXÊ Ç Ò
È «x­V§t©•«g⮯«
È ÉXÊ Ç Ò
È £ Ð »HµO° ó ©
O
¥ ËÃÌ ¥ Í ¨§ Ð ±Å¨®¯#°t¯ § ÍØÌ ¡ M
O É Ç Ò
¬ª¬®²³ã˜©•¥ª¸;ú-¯#·;·;­/÷ š ÷/±Å©Ö§x¨ & Í ó Ë ó Ð & Í ó¢Þ®±†¯Ẍ­p¼O¯VÞX»HµO° ó-Þ
P
3
'
' '
Ò
- 4
A
D § - D' ¡ ' P /
' ' D § - D' £ ©
-
Ò
3
4 ' -
š >À¯±Å©³²•²,«t¨®µ ±)§tẌ­V§pÞº±Å©³§x¨­…¥Âã ¥®µO°t·
ÜMݺÜ&©³¥
>ö¯6¥®µ ±)¯«Q§x©³·¥­V§t¯&§x¨ª¯§t¯°g· @
- 4 ' D § - D'
' P /
ÛÀÞ
Ê
Ç ÷ š ¡ È
M O É Ç Ò
-
È ½ÉXÊ Ç Ò
-
È Ü

D §
' '
- D § - D'
?BA '
Ò
Í
-
Ò
-
Ò
+
+
+
' 3
* 4
3
3
3
'
Ò
Ò
§
§
§
"
3
š
¡
"
¡
' '
-
Ò
"
Ç'& 騧 &
§ § ÉXÊ
'
§
¡
"
Ë
Ð
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

[ ¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
Ò ' ' ' D §
' D' ?BA ' '
3
+
+
"
§
§
§
"
"
' D ÉXÊ Ç*& È D' &
"
Ê
3
*54
D ÉXÊ Ç Ò ' È D' -
Ò
- & È @ É I K Ç'& 騧 & § §
Ç
§
÷ š³ Ô È D - É - D
' Ë Ü Ì Ç - ½É - È Ü

- £ P
- 4 ¡
?BA%Ü × Ü ' š ¬®¬®²Ö㺩³¥®¸/»HµO°4è4¨®¯#µO°t¯#· ÷ š Þª±†¯´#µO·;¬ª²•¯#§t¯§x¨®¯¬®°gµºµV» š ¥
O
M
ËÃÌ Í)Î Ð »HµO° $OÐ ±Å©Ö§x¨ Í ×JÐ
±Å©³¥®¸2²•¯#·;·;­ š
>ö¯§t¨®¯¥Ẍ­p¼O¯§x¨ª¯»Hµ…²•²•µ
£¤¤ %-21 É O" #9)©CD?H!F)©+#&)76 Ç ®š³ È %-21 Ç OšÖ?È . *#43*'E!0:-CDN G %-:-
+=£HIIJ
Í
Í
/
/
JI/
S K
¦
/
+
+
"
/
/
/
¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

[ ¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
Í
¡ Ç ºÌÈ
/¦
' Ì Ç É È Ü@? Ü ˜Ì Ç Ç ˜Ì6È
/¦
/
Ü
"
+
"
/
/
"
/
"
/
£ Ç Ì&× ÃÎ Ç Ô ÈtÈ¢Ë ºÌ £ Ç Î¢È
"
"
/
/
§
§
§
§
§
§
è4ܾ®«Å±†¯Ẍ­p¼O¯VÞJ¥ªµ…§x©³¥®¸2§xẌ­d§
Ç È:Í
Ç Ç È È Þ
Ç ªš £ È
Ì Ç ½É ȃÍ
¡ Ç ºÌ6È
/¦
£ ÉXÊ Ç Ô È-Ë ºÌ £ Ç Î¢È-©
>ö¯â®°t«g§s«g¨®µ ±Ï§x¨®­V§
Ç ªš ù È ' Ü Ì Ç ½É È Ü

®šUÈ Ç ®š £ È Þ Ç ­…¥®
Ç ½É È D
£¨
? Ü Ç ºÌÈ Ç Ç ºÌ6È
/¦
Ì D
M
Ë
Ë
§
§
§
§
§
§
"
/
¨ JI S K ß &
§ §
§?BA »HµO°ÅÔ ?¡¥.? Þ
¤
"
+
"
/
/
"
/
+
/
"
"
/
S
§
§
§
¡ ¢ ¤£¦¥¦§£¦©¨# ¦©¥£¨¥ ¦©¨¢£U¦ ¦

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
[
)9)76 :Ús¯°g¯±M¯µO¥®²³ã¥¬®°tµ ¼…¯§t¨®¯ṕ­…«g¯

£ Ç ÎFȃÍ
Ì Ç ' ½É ' È:ÍØÌ
/OÜ Ì Ç ' É ' È Ü%?BA '
/OÜ Ì Ç ' ½É ' È Ü

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
[
± ±†¯6§x¾ª°t¥%§xµ Ñš
¢‹µ
Í
/ Ü Ì
§
§
§
§
§
§
Ì
Ì
Ç ˜Ì6È Ç ½É È Ü%? / Ü Ì
Ç ªš³ £ È D Ì Ç ' É ' È D
¡
?BA '
/
©
D Ì Ç ' É ' È D
¡
+
+
+
? D Ì
Ë
/
+
/
ºÌ6È Ç É È D
¡
Ë D Ì%, Ç ºÌ6Èk× D
¡
Ç
˜Ì6ÈtÎ Ç Ô È D
¡
Ë D ºÌ £ Ç Î¢È D
¡
Ç
£ f Ð £ £ f ÞX­V¥® ¡ f Þª§x¨ª¯¥±M¯6§x¾®°g¥§tµ/§x¨®¯6§x¯#°t· f š
>ö¯â®°t«g§s¯#«g§x©³·¥­d§x¯§x¨ª¯§t¯°g·;«
£ f Þ®±M¯¨®­ ¼…¯…ÞÑ«t©³¥®´¯(D ' , Ç È DG A »HµO°ÅÔVG G F Þ
CXµO°
Ç ºÌÈtÎ Ç Ô È D
¡
D ºÌ
§
§
§
"
/
/
S
Ç ºÌ6È Ç Ç ºÌÈ
/¦
× Ü
2Í
Ë /
Ç ºÌÈ
ß & - Î Ç Ô È
¦ Ç ºÌÈ "
JI S K
/¦
Ë /
Ç ºÌÈ
¦ Ç ºÌÈ "
Î f Ç §X騧 § "
f Ç §Ñ騧 §sß & - § § Î
§
JI S K
/¦
Ë¢ ' Ë
¤§s©•«4¯­…«gã§tµ;«g¨®µ ±Ï§tẌ­V§
Ü Î f Ü ß § ©
?BA ' Ü × Ü Ð ' ? A /…Ü Î Ç Ô È Ü Ð ­…¥®
/
?Øó / "
è4ܾ®«Å±†¯¸O¯#§
Ü Î f Ü ß §
- ©
?BA '
Ü × Ü Ë Ü Î Ç Ô È Ü Ë "
ô†µO·2¿ª©•¥®©³¥®¸2§x¨®©³«5±Å©³§t¨%§t¨®¯¯«Q§x©•·;­V§t¯«4»HµO° £ ÑÐ £ ¦
­…¥® ¡§Þ®±M¯µO¿ª§v­V©•¥ Ç ®šÖ UÈ
>ö¯¥ª¯¹˜§s«t¨®µ ±)§tẌ­V§
' /
Ü Î f Ç §XÈ Ü ß §
- ©
Ü × Ü Ë "
¤¦¥%»l­…´#§Þ®¿Âã
Ç ®šÖ ó È ­…¥® Ç ®š³ ÷ È Þ
Í¡ f Ë ¦ f Ë ¦ £ f Ë¢ ¡ f ©
Ç ªš³ ù È
£ f Í D ˜Ì@, Ç ºÌÈQ× D
¡
Í ' Ü Ç ºÌ6È ' , Ç ºÌÈQ× Ü%?BA ' Ü × Ü ©
CXµO° £ £ f Þ®±M¯¨®­ ¼…¯…ÞÑ«t©³¥®´¯(D
Ç È D?;A »HµO°ÅÔ G G F Þ
£ £ f Í D ºÌ
Í ' Ü Ç ˜Ì6È
Ç ºÌ6ÈkÌ Ü%?BA ' Ü Î Ç Ô È Ü ©

Ë
D Ì
§
§ Ì
§
ºÌ '
Ç ºÌ6È Ç ½É È D
¡
+
©
/
+
f ?BA '
+
? D Ì
/
"
/
"
§
§
§
& - Î Ç Ô È
§ § ß
¡ §
× D
¡
"
/
S
§
§
§
f Ç §X騧 §4ß & - § § Î
¡ §
£¢¥¤ ¥§¦©¨£§2£I£§¤ ¤±Å©•«g¨ §xµé¯(¹ª¬ª°t¯«g«·©ãÀ«g©•¥®´#¯°g¯¸O°x­d§x©³§t¾®®¯ §xµé·©ãö«t¾ª¬,¯#°g¼˜©•«gµO° $ ° š ñ §x©³¸
¡
š
úb­…°t«g«tµO¥FÞ®±Å¨®µ;«g¾®¸O¸O¯#«g§t¯§t¨®¯6§xµO¬ª©•´6µ…»D§x¨®©³«4¬X­…¬J¯°#Þ®»HµO°4¨®©•«4«g¾®¬®¬JµO°g§‹­…¥ª¼V­…²³¾X­…¿®²³¯´°g©³§x©³´©³«t·
“ Q(Q.+%k‘PR(O(O-MPR(R” ˆ
"!$#
c(n5n5jYU‘-cYdm*)

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
ŒDcYd_l}…jd‘¡ 4$;*9 V4 4-#Y? 7.!$#&!§%A6 684$6K%29 # WYV!$#&% 924$6K7(!-V = % 709 WY;4

A 9 WYVG=

¡£¢¥¤§¦©¨¡§¨
4 = W 9KWY;T!(7.! =-P9¦¥§¡§¨ *P7$W 9 4$; # WY;B- 4C-P9 ;WY# %T%AX %AV0%A; #V%2# ?*4 7 24$6 # ?*% ' WY;

7(! =