Podstawy Transmisji Przewodowej WykÅad 3 - cygnus
Podstawy Transmisji Przewodowej WykÅad 3 - cygnus
Podstawy Transmisji Przewodowej WykÅad 3 - cygnus
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Podstawy</strong> <strong>Transmisji</strong> <strong>Przewodowej</strong><br />
Wykład 3<br />
Grzegorz Stępniak<br />
Instytut Telekomunikacji, PW<br />
13 marca 2010<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 1 / 19
Dlaczego linia długa jest długa?<br />
Informacja - zaburzenie - fala rozchodzi się z prędkością rzędu 300 tys. km/s.<br />
A to jest tylko 30 cm/ ns<br />
* Z punktu widzenia teorii obwodów: warunek quasi-stacjonarności jest<br />
spełniony w praktyce, gdy wymiar geometryczny rozpatrywanego układu<br />
l ≪ λ 4<br />
A zatem, jeśli wymiar obwodu jest porównywalny z ćwiartką długości fali, a<br />
wymiar obwodu w jednym kierunku jest znacznie większy niż w drugim to<br />
obwód jest linią długą<br />
W linii długiej rozchodzi się fala typu TEM.<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 2 / 19
Dlaczego linia długa jest długa?<br />
Rozkład pola<br />
elektromagnetycznego w linii<br />
transmisyjnej. Opis obwodowy<br />
możliwy jest typowo, gdy<br />
odległość przewodów jest znacznie<br />
mniejsza od ćwierci długości fali.<br />
W przeciwnym wypadku pojawiają<br />
się mody wyższych rzędów,<br />
niekoniecznie TEM.<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 3 / 19
Rodzaje linii długich<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 4 / 19
Opis przy użyciu obwodów rozłożonych<br />
Parametry jednostkowe R[Ω/m],<br />
L[H/m], C[F/m], G[S/m] w ogólności<br />
zależne od częstotliwości<br />
Linia długa może być reprezentowana<br />
przez kaskadowe połączenie<br />
nieskończenie krótkich czwórników<br />
takich jak na rysunku<br />
Wprowadzamy prąd i napięcie w linii<br />
i = i(x, t), u = u(x, t)<br />
Dla takiego czwórnika można napisać<br />
równania (1)<br />
∂i(x, t)<br />
u(x + ∆x, t) = u(x, t) − R∆xi(x, t) − L∆x<br />
∂t<br />
∂u(x + ∆x, t)<br />
i(x + ∆x, t) = i(x, t) − G∆xu(x + ∆x, t) − C∆x<br />
∂t<br />
(1)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 5 / 19
Opis przy użyciu obwodów rozłożonych<br />
Przechodzimy z ∆x −→ 0<br />
Otrzymujemy układ równań<br />
{<br />
− ∂u(x,t)<br />
∂x<br />
− ∂i(x,t)<br />
∂x<br />
= Ri(x, t) + L ∂i(x,t)<br />
∂t<br />
= Gu(x, t) + C ∂u(x,t)<br />
∂t<br />
(2)<br />
Dla pobudzeń harmonicznych u(x, t) = U(x)e jωt , i(x, t) = I (x)e jωt<br />
{<br />
−<br />
dU<br />
= RI + LjωI<br />
dx = GU + CjωU (3)<br />
dx<br />
− dI<br />
Wstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy<br />
{<br />
d 2 U<br />
dx<br />
= γ 2 U<br />
2<br />
= γ 2 I<br />
d 2 I<br />
dx 2<br />
γ = √ (R + jωL)(G + jωC) = α + jβ - stała propagacji<br />
(4)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 6 / 19
Opis przy użyciu obwodów rozłożonych<br />
Rozwiązanie równań (4) ma postać<br />
U(x) = A 1 e −γx + A 2 e γx (5)<br />
I (x) = B 1 e −γx + B 2 e γx (6)<br />
Aby wyeliminować 2 nadmiarowe stałe (wcześniej były 2 równania)<br />
podstawiamy (5) do (3) otrzymując<br />
A 1 γe −γx − A 2 γe γx ≡ (R + jωL)(B 1 e −γx + B 2 e γx ) (7)<br />
Porównując współczynniki przy odpowiednich funkcjach otrzymujemy<br />
B 1 =<br />
A 1γ<br />
R + jωL = A 1<br />
Z f<br />
B 2 = − A 2γ<br />
R + jωL = −A 2<br />
Z f<br />
(8)<br />
Wprowadziliśmy impedancję falową linii<br />
√<br />
R + jωL<br />
Z f =<br />
G + jωC<br />
(9)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 7 / 19
Opis przy użyciu obwodów rozłożonych<br />
Ogólne rozwiązanie na prąd i napięcie w linii długiej ma zatem postać<br />
U(x) = A 1 e −γx + A 2 e γx (10)<br />
I (x) = 1 Z f<br />
(A 1 e −γx − A 2 e γx ) (11)<br />
Interpretacja: Dwie fale poruszające się w linii - jedna w kierunku od<br />
nadajnika do odbiornika (człon e −γx ), druga od odbiornika do nadajnika<br />
(człon e γx ).<br />
Druga postać rozwiązań ogólnych, dla linii o długości l o wartościach<br />
napięcia i prądu U 1 i I 1 na wejściu oraz U 2 i I 2 na wyjściu<br />
U 1 = U 2 cosh γl + Z f I 2 sinh γl (12)<br />
I 1 = U 2<br />
Z f<br />
sinh γl + I 2 cosh γl (13)<br />
Stąd otrzymujemy macierz łańcuchową linii: bardzo wygodne narzędzie do<br />
analizy linii składającej się z wielu odcinków, z elementami aktywnymi i<br />
pasywnymi<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 8 / 19
Parametry falowe linii<br />
Impedancja falowa linii czyli stosunek<br />
napięcia do prądu w linii<br />
|Z f | = 4 √<br />
R2 + ω 2 L 2<br />
G 2 + ω 2 C 2 (14)<br />
Ponadto obowiązuje konwencja<br />
R{Z f } 0<br />
γ = α + jβ [1/m]<br />
α 0 nosi nazwę współczynnika<br />
tłumienia [Np/m]<br />
β > 0 nosi nazwę stałej fazowej<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 9 / 19
Prędkość fazowa<br />
Fala poruszająca się w stronę dodatnich x ma postać<br />
u + (x, t) = A 1 e −αx e j(ωt−βx)<br />
Ruch punktu o pewnej (dowolnej) fazie jest zatem dany wyrażeniem 1<br />
ωt − βx + ϕ 1 = const<br />
Różniczkując to wyrażenie względem czasu otrzymujemy<br />
v f = dx<br />
dt = ω β<br />
(15)<br />
Prędkość fazowa fali w linii określa prędkość, z jaką porusza się płaszczyzna<br />
stałej fazy w linii<br />
Dla linii bezstratnej (R=G=0)<br />
v f = 1 √<br />
LC<br />
1 Uwaga: w tym wypadku mamy x(t)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 11 / 19
Prędkość grupowa i dyspersja<br />
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more stuff, applets, group velocity<br />
Nasz impuls u(x, t) zapiszemy w postaci pakietu falowego<br />
u(x, t) =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
A(ω)e j(ωt−βx) dω (16)<br />
czyli superpozycji fal monochromatycznych. A(ω) jest widmem<br />
częstotliwościowym naszego impulsu.<br />
Jeżeli A(ω) skupione jest wokół ω 0 to możemy skorzystać z rozwinięcia w<br />
szereg Taylora<br />
β(ω) = β(ω 0 ) + (ω − ω 0 ) dβ<br />
dω ∣ + ... (17)<br />
ω0<br />
Wstawiając dwa pierwsze wyrazy tego rozwinięcia do (16) otrzymujemy<br />
∫ ∞<br />
u(x, t) = Γ A(ω)e jωt dβ<br />
−jω dω | x<br />
e ω0 dω<br />
−∞<br />
gdzie Γ to pewien czynnik fazowy<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 12 / 19
Prędkość grupowa i dyspersja<br />
Z własności transformaty Fouriera (przesunięcie w czasie) wynika, że<br />
(<br />
)<br />
x<br />
u(x, t) = Γu x, t − ( dω<br />
)<br />
dk ω 0<br />
Jeśli w rozwinięciu (17) są dwa wyrazy, to nasz impuls<br />
1 Zachowuje kształt<br />
2 Porusza się z predkościa v g = ∂ω<br />
∂β<br />
Jeżeli w rozwinięciu są dalsze wyrazy (czyli β nie jest liniową funkcją pulsacji<br />
a v g jest funkcją częstotliwości) mamy doczynienia z dyspersją.<br />
Impuls w ośrodku dyspersyjnym zmienia swój kształt a o zmianie tego<br />
kształtu w największym stopniu decyduje trzeci wyraz rozwinięcia<br />
proporcjonalny do d2 k<br />
dω<br />
= dτg<br />
2 dω<br />
W praktyce dyspersja odpowiada za rozmywanie się impulsów<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 13 / 19
Linia (nie)zniekształcająca<br />
v f = ω β<br />
- prędkość fazowa<br />
v g = dω<br />
dβ<br />
- prędkość grupowa<br />
τ f = 1 v f<br />
= β ω - opóźność fazowa τ g = dβ<br />
dω<br />
- opóźność grupowa<br />
Linia niezniekształcająca<br />
Wprowadzamy transmitancję linii o długości l<br />
Y (ω) = H(ω) · X (ω) = e −γ(ω)l X (ω) = e −α(ω)l−jβ(ω)l X (ω) =<br />
Y (ω) = |H(ω)|e −jβ(ω)l X (ω)<br />
Jeśli |H(ω)| = const - linia nie zniekształca amplitudowo<br />
Jeśli β(ω) = ωτ f - linia nie zniekształca fazowo<br />
Warunki te są spełnione dla linii w której<br />
R<br />
L = G C<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 14 / 19
Linia z obciążeniem<br />
Rozwiązania ogólne dla linii dane jest (10)<br />
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne, nakładamy warunki brzegowe (patrz<br />
rysunek)<br />
E = Z 1 I 1 + U 1 (18)<br />
U 2 = Z 2 I 2<br />
U 1 = U(0) = A 1 + A 2 , U 2 = U(l) = A 1 e −γl + A 2 e γl<br />
I 1 = I (0) = 1 Z f<br />
(A 1 − A 2 ), I 2 = I (l) = 1 Z f<br />
(A 1 e −γl + A 2 e γl )<br />
Nic prostszego - rozwiązujemy układ równań (18) na A 1 i A 2<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 15 / 19
Linia z obciążeniem - rozwiązanie szczególne<br />
⎛<br />
⎞<br />
fala padająca fala wracająca<br />
U(x) =<br />
EZ { }} { { }} {<br />
f<br />
e −γx Γ 2 e −γ(2l−x)<br />
Z 1 + Z f<br />
⎜<br />
⎝1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl +<br />
1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl ⎟<br />
⎠<br />
(<br />
E e −γx<br />
I (x) =<br />
Z 1 + Z f 1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl − Γ 2e −γ(2l−x) )<br />
1 − Γ 1 Γ 2 e −2γl<br />
(19)<br />
(20)<br />
Γ 1 = Z 1 − Z f<br />
Z 1 + Z f<br />
(21)<br />
Γ 2 = Z 2 − Z f<br />
Z 2 + Z f<br />
(22)<br />
U(x) = U 1<br />
e −γx + Γ 2 e −2γl<br />
1 + Γ 2 e −2γl (23)<br />
I (x) = U 1 e −γx − Γ 2 e −2γl<br />
Z f 1 + Γ 2 e −2γl (24)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 16 / 19
Współczynniki odbicia i dopasowanie falowe<br />
Łatwo sprawdzić, że<br />
Γ 2 = U− 2<br />
U + 2<br />
= − I − 2<br />
I + 2<br />
Γ 2 jest tak zwanym współczynnikiem odbicia<br />
We wzorach (23 i 24) nie występuje Γ 1 . Zatem w stanie ustalonym U 1 jest<br />
idealnym źródłem napięciowym<br />
Γ 1 jako współczynnik odbicia, ujawnia się tylko w stanach nieustalonych<br />
Jeśli Z f = Z 2 = Z 1 oba współczynniki odbicia zerują się. Mówimy wtedy o<br />
dopasowaniu falowym w linii<br />
Ze wzorów na prąd i napięcie widać, że jeśli Γ 2 = 0 nie występuje fala<br />
powrotna<br />
W przypadku niedopasowania, w linii pojawia się fala stojąca. Można<br />
zdefiniować współczynnik fali stojącej, przyjmujący wartość 1 dla<br />
dopasowania, nieskończoność dla całkowitego odbicia<br />
ρ = |U+ (x)| + |U − (x)|<br />
|U + (x)| − |U − (x)|<br />
(25)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 17 / 19
Impedancja wejściowa linii<br />
Na początku linii (x = 0) możemy obliczyć impedancję wejściową linii. Jest to<br />
stosunek napięcia do prądu na początku linii (dzielimy równania 23 przez 24)<br />
Z we = Z f<br />
1 + Γ 2 e −2γl<br />
1 − Γ 2 e −2γl = Z f<br />
Z 2 + Z f tgh γl<br />
Z f + Z 2 tgh γ l<br />
(26)<br />
Widać, że jeśli panuje dopasowanie falowe, Z we = Z f<br />
W telekomunikacji ważnym parametrem jest tzw. tłumienność wtrąceniowa<br />
Tłumienność wtrąceniowa jest to stosunek mocy wydzielonej na odbiorniku w<br />
przypadku kiedy między nadajnikiem a odbiornikiem umieszczona jest linia<br />
długa, do mocy wydzielonej na odbiorniku gdy odbiornik jest podłączony<br />
bezpośrednio do nadajnika<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 18 / 19
Interpretacja rozwiązań dla linii z obciążeniem<br />
Przyjrzyjmy się raz jeszcze równaniom (19 i 20)<br />
W mianowniku występuje tam 1 − M przy czym |M| < 1 ponieważ |Γ 1 | 1,<br />
|Γ 2 | 1, również |e −2γl | 1<br />
Dlatego rozwijamy wzór (19) w nieskończony szereg geometryczny<br />
EZ<br />
(<br />
( )<br />
f<br />
U(x) =<br />
e −γx + Γ 2 e −γ(2l−x)) ∑<br />
∞ (<br />
Γ1 Γ 2 e −2γl) n<br />
Z 1 + Z f<br />
n=0<br />
EZ<br />
(<br />
f<br />
=<br />
e −γx + Γ 1 Γ 2 e −2γl−γx + . . . + Γ 2 e −γ(2l−x) +<br />
Z 1 + Z f<br />
)<br />
+ Γ 1 Γ 2 2e −γ(4l−x) + . . .<br />
Pierwsza grupa wyrazów reprezentuje sumę fal padających - każda kolejna<br />
odbija się od końców linii (we wzorach objawia się to przez pojawienie się<br />
wsp. odbicia) i doznaje transformacji fazy i tłumienia odpowiadającej<br />
czynnikowi e −2γl .<br />
Podobnie, druga grupa wyrazów to fale wracające<br />
(27)<br />
Instytut Telekomunikacji, PW 19 / 19