Wyznaczanie wartoÅci przyspieszenia ziemskiego g przy użyciu ...
Wyznaczanie wartoÅci przyspieszenia ziemskiego g przy użyciu ...
Wyznaczanie wartoÅci przyspieszenia ziemskiego g przy użyciu ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
POLITECHNIKA ŚLĄSKA<br />
WYDZIAŁ CHEMICZNY<br />
KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII<br />
POLIMERÓW<br />
LABORATORIUM Z FIZYKI<br />
<strong>Wyznaczanie</strong> <strong><strong>przy</strong>spieszenia</strong> <strong>ziemskiego</strong><br />
<strong>przy</strong> uŜyciu wahadła matematycznego
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 2<br />
<strong>Wyznaczanie</strong> <strong><strong>przy</strong>spieszenia</strong> <strong>ziemskiego</strong> <strong>przy</strong> uŜyciu wahadła matematycznego<br />
1.1.Wprowadzenie<br />
Wahadło matematyczne to punkt matrialny zawieszony na niewaŜkiej i nierozciągliwej<br />
nici, wkonujacy ruch w płaszczyźnie piomnowej pod działaniem siły cięŜkości. W laboratorium<br />
składa się ono z małego obiektu (obciąŜnika wahadła) zawieszonego na niewaŜkiej nici. Nić<br />
powinna być nierozciągliwa, a odwaŜnik wahadła musi być mały w stosunku do długości nici.<br />
Wychylenia wahadła w przód i w tył, bez uwzględnienia tarcia, realizuje ruch drgający prosty.<br />
Punkt materialny porusza się po łuku osiągając jednakowe wychylenie (amplitudę) po obu<br />
stronach od punktu równowagi (punkt gdzie znajduje się wahadło, gdy jest w spoczynku).<br />
Przechodząc przez punkt równowagi wahadło osiąga maksymalną prędkość.<br />
Gdy wahadło wychylone jest o kąt φ, moŜemy siłę cięŜkości Q (a w konsekwencji <strong>przy</strong>spieszenie<br />
g jakiego doznaje obciąŜnik w polu siły cięŜkości) rozłoŜyć na dwie składowe: jedną składową<br />
odpowiadającą sile napręŜenia nici N i na składową styczną do toru S (S = - mgsinφ). ObciąŜnik<br />
wahadła jest traktowany jako punkt materialny.<br />
Rys.1.1 Wahadło matematyczne<br />
Łuk zatoczony przez punkt materialny ma długość:<br />
s = l⋅ϕ (1.1)<br />
s ϕ<br />
≅ ⇒ s ≅ lϕ<br />
2 πl<br />
2 π
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 3<br />
gdzie φ jest kątem pomiędzy nicią, a pionem, zaś l jest długością nici, jak na rys. 1.1<br />
Przyspieszenie styczne moŜna zapisać następująco:<br />
Dla małych kątów moŜemy <strong>przy</strong>jąć:<br />
2 2<br />
d s d ϕ<br />
= l = −g<br />
sinϕ<br />
(1.2)<br />
2 2<br />
dt dt<br />
sin ϕ ≅ ϕ i s ≅ x<br />
(1.3)<br />
Stąd z równania (1.2) otrzymujemy:<br />
2<br />
d ϕ<br />
l = −gϕ<br />
, a poniewaŜ s = l ϕ to<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
2<br />
d s g d x g<br />
= − s lub + x = 0 to jest równanie ruchu harmonicznego prostego (1.4)<br />
2<br />
2<br />
dt l dt l<br />
Wahadło, wychylone o mały kąt z połoŜenia równowagi, wykonuje drgania harmoniczne proste.<br />
Uwzględniając, Ŝe<br />
okres wahań:<br />
2 g<br />
ω = (oscylator harmoniczny) i<br />
l<br />
ω = 2π moŜemy napisać równanie na<br />
T<br />
T<br />
l<br />
= 2π<br />
(1.5)<br />
g<br />
gdzie: l – długość wahadła, tj. odległość środka cięŜkości ciała od osi obrotu<br />
g – <strong>przy</strong>spieszenie ziemskie<br />
Stąd <strong>przy</strong>spieszenie ziemskie moŜemy obliczyć z następującego wyraŜenia:<br />
Prosty oscylator harmoniczny<br />
2<br />
4π<br />
l<br />
g = (1.6)<br />
2<br />
T<br />
Poziomo poruszający się cięŜarek jest <strong>przy</strong>kładem oscylatora harmonicznego prostego. Jest to ciało o masie m na<br />
spręŜynie na który działa liniowa siła spręŜystości F odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x.<br />
Zakładając, Ŝe na układ nie działają siły zewnętrzne, otrzymujemy:<br />
F = −kx<br />
Siłę moŜemy zapisać zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona jako iloczyn masy i <strong>przy</strong>sieszenia:<br />
2<br />
d x<br />
F = ma = m<br />
2<br />
dt<br />
− kx = m<br />
2<br />
d x<br />
2<br />
dt
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 4<br />
2<br />
d x<br />
m + kx = 0 (*)<br />
2<br />
dt<br />
Dla:<br />
x = Acos<br />
ϖ t + ϕ<br />
( )<br />
( ϖ ϕ)<br />
x&<br />
= −Aϖ sin t +<br />
( ϖ ϕ)<br />
& x<br />
= Aϖ 2 cos t +<br />
A po wstawieniu do rów. (*)<br />
2<br />
mA ϖ cos<br />
2<br />
mϖ + k = 0<br />
( ϖt<br />
+ ϕ) + kAcos( ϖt<br />
+ ϕ) = 0<br />
k<br />
=<br />
m<br />
Dla wahadła matematycznego<br />
2<br />
ϖ<br />
mg<br />
k =<br />
l<br />
1.2. Część doświadczalna<br />
Dokonujemy serii pomiarów okresu wahań T 1 <strong>przy</strong> dowolnej długości wahadła. Następnie<br />
skracamy lub wydłuŜamy długość wahadła o znaną wartość D i mierzymy nowy okres T 2<br />
PoniewaŜ:<br />
l1<br />
T1 = 2π<br />
(1.7)<br />
g<br />
oraz<br />
l2<br />
T2 = 2π<br />
(1.8)<br />
g<br />
Stąd:<br />
D<br />
T T<br />
4 2<br />
2<br />
2 2 π 4<br />
1<br />
−<br />
2<br />
= ( l1<br />
− l2<br />
) =<br />
π<br />
(1.9)<br />
g<br />
g<br />
A zatem zaleŜność na obliczenie <strong><strong>przy</strong>spieszenia</strong> <strong>ziemskiego</strong> <strong>przy</strong>biera postać:<br />
2<br />
4π<br />
D<br />
g =<br />
T − T<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
(1.10)
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 5<br />
MoŜemy <strong>przy</strong>jąć takie <strong>przy</strong>bliŜenie poniewaŜ pomimo, Ŝe drgania wahadła są w istocie<br />
drganiami tłumionymi i ich amplituda maleje z czasem do zera, lecz ich okres, jako niezaleŜny<br />
od amplitudy nie ulega zmianie. Wzór (1.5) jest waŜny tylko dla bardzo małych amplitud<br />
(φ < 5 0 ). W celu zmierzenia okresu T mierzymy kilkakrotnie (5-10 razy) czas trwania<br />
kilkudziesięciu (50-100) okresów. Z otrzymanych wyników tworzymy średnią a następnie<br />
obliczamy okres drgań T.<br />
Wyniki zapisujemy w tabeli:<br />
Numer pomiaru Długość D Okres drgań T<br />
1.3 Wyniki, obliczenia i analiza błędów<br />
Z danych zebranych w tabeli obliczamy średni okres drgań T:<br />
T<br />
1<br />
=<br />
n<br />
n<br />
∑T i<br />
i=<br />
1<br />
(1.11)<br />
średnią długość D:<br />
n<br />
1<br />
D = ∑ D i<br />
(1.12)<br />
n i=<br />
1<br />
Oraz odpowiednie odchylenia standardowe.<br />
Po obliczeniu <strong><strong>przy</strong>spieszenia</strong> <strong>ziemskiego</strong> z równania (1.10) naleŜy obliczyć niepewność pomiaru<br />
złoŜonego ze wzoru:<br />
dg<br />
2<br />
2<br />
∂g<br />
2 ∂g<br />
2 ∂g<br />
2<br />
= dD + dT1<br />
+ dT2<br />
(1.13)<br />
∂D<br />
dT1<br />
dT2<br />
Końcowy wynik naleŜy podać w postaci:<br />
1.4 Pytania<br />
g = g ± dg<br />
(1.14)<br />
1. Jakie załoŜenia trzeba <strong>przy</strong>jąć, aby otrzymać równanie drgań harmonicznych prostych?<br />
2. Wyjaśnij źródło <strong>przy</strong>bliŜenia sinx=x. PokaŜ dla jakich warunków jest to poprawne.<br />
3. Czy moŜemy przewidzieć wartość okresu drgań na Marsie?<br />
4. Jak zmieni się okres T, gdy wahadło będzie się poruszało z <strong>przy</strong>spieszeniem a?<br />
5. Co to jest wahadło fizyczne? Wyprowadź równanie jego okresu.<br />
6. Dlaczego bierzemy w obliczeniach pomiary dla dwóch róŜnych długości wahadła, a nie<br />
tylko jednego?<br />
7. Wyprowadź i omów prosty oscylator harmoniczny.
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 6<br />
8. Omów drgania harmoniczne proste, tłumione i wymuszone.<br />
9. Co to jest wahadło matematyczne? Wyprowadź równanie jego okresu.<br />
10. Wyprowadź wzory na energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą dla ciała o masie m<br />
poruszającego się ruchem harmonicznym.<br />
1.5 Literatura<br />
1. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna, Część I, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa,<br />
1980<br />
2. J.Orear, Fizyka, Tom I, PWN Warszawa 1980<br />
3. R.Resnick, D.Halliday, Fizyka, Tom I, PWN, Warszawa,1980<br />
4. H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, 1994<br />
5. Douglas C.Giancoli, Physics for Scientist & Engineers ,Prentice Hall, 2000
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 7<br />
POLITECHNIKA ŚLĄSKA<br />
WYDZIAŁ CHEMICZNY<br />
KATEDRA FIZYKOCHEMII I TECHNOLOGII<br />
POLIMERÓW<br />
LABORATORIUM Z FIZYKI<br />
<strong>Wyznaczanie</strong> momentów bezwładności brył<br />
sztywnych metodą zawieszenia<br />
trójnitkowego
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 8<br />
2 <strong>Wyznaczanie</strong> momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego<br />
2.1 Wprowadzenie<br />
Rozpatrzmy obracającą się bryłę sztywną, np. koło obracające się wokół osi przechodzącej przez<br />
jego środek. MoŜemy potraktowac koło, jako obiekt, który składa się z wielu cząsteczek<br />
umieszczonych w róŜnych odległościach R 1 , R 2 , ... R n od jego osi obrotu.<br />
Moment bezwładności bryły mierzy siłę z jaką obiekt przeciwstawia się zmianom prędkości<br />
obrotowej i jest określony równaniem:<br />
I<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= ∑ mi Ri<br />
= m1R1<br />
+ m2R2<br />
+ .....[kg m 2 ] (2.1)<br />
Suma ∑ m R 2<br />
i 1<br />
jest sumą iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości do osi obrotu.<br />
Jak wynika z równania (2.1) moment bezwładności bryły zaleŜy nie tylko od jego masy ale<br />
równieŜ od tego jak rozłoŜona jest jego masa względem osi obrotu. Na <strong>przy</strong>kład cylinder o duŜej<br />
średnicy będzie miał większy moment bezwładności niŜ walec o tej samej masie lecz mniejszej<br />
średnicy wynika to z tego, Ŝe cząstki bardziej oddalone muszą podlegać większym zmianom<br />
prędkości stycznej <strong>przy</strong> zadanej zmianie prędkości kątowej. Moment bezwładności danego<br />
obiektu jest róŜny dla róŜnych osi obrotu.<br />
Wiele brył sztywnych moŜe być rozpatrywanych jako obiekty o ciągłym rozkładzie masy.<br />
W takim <strong>przy</strong>padku moment bezwładności otrzymujemy z wyraŜenia:<br />
∫<br />
2<br />
I = R dm<br />
gdzie dm odpowiada infinitezymalnie małym częściom ciała a R jest odległością prostopadłą do<br />
osi obrotu. Całkowanie wykonuje się po całej objętości (zazwyczaj jest to całka podwójna lub<br />
potrójna).<br />
(2.2)<br />
2.2 Część doświadczalna<br />
Bryłę o masie m 1 , której moment bezwładności I 1 względem osi (głównej, centralnej) pragniemy<br />
wyznaczyć, kładziemy na poziomej, jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R 0 , zawieszonej na<br />
trzech pionowych niciach. Nici mają jednakową długość l i są <strong>przy</strong>mocowane do tarczy w<br />
równych odległościach R od jej środka O w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Oś główna<br />
bezwładności bryły powinna pokrywać się z osią tarczy OO” (rys. 2).
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 9<br />
Rys. 2.1 Przyrząd do wyznaczania momentów bezwładności<br />
JeŜeli obrócimy tarczę o niewielki (kilka stopni) kąt φ, to punkt C zajmie połoŜenie D, a środek<br />
cięŜkości zawieszonych mas podniesie się o niewielki odcinek z. JeŜeli teraz puścimy tarczę,<br />
będzie ona wykonywać drgania o okresie:<br />
T<br />
2<br />
R<br />
I + I<br />
m + m<br />
0 1<br />
0 1<br />
= π = C<br />
(2.3)<br />
0<br />
1<br />
l<br />
g<br />
I + I<br />
m + m<br />
0<br />
1<br />
gdzie: m<br />
0<br />
- masa tarczy<br />
I<br />
0<br />
- moment bezwładności pustej tarczy<br />
Wzór ten wynika bezpośrednio z zapisania drugiego prawa Newtona ruchu obrotowego dla<br />
układu tarczy. Gdy obrócimy tarczę o pewien kąt φ, nitki odchylą się od pionu w <strong>przy</strong>bliŜeniu o<br />
kąt β=φR/l. Na odchylone nitki działa siła grawitacji pochodząca od tarczy i badanego ciała. Siła<br />
ta wyznacza składową pionową napręŜenia nici. Dla małych wychyleń, składowa ta jest prawie<br />
równa całkowitemu napręŜeniu nici. Z kolei składowa pozioma napręŜenia równa jest<br />
napręŜeniu, przemnoŜonemu przez sinβ. Stąd, drugie prawo Newtona dla tego układu to
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 10<br />
Iε<br />
= −Rmg<br />
sin β<br />
Iε<br />
≈ −Rmgβ<br />
R<br />
Iε<br />
≈ −Rmg<br />
ϕ<br />
l<br />
2<br />
d ϕ m g 2<br />
≈ − R ϕ<br />
2<br />
dt I l<br />
Ostatnie równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego względem φ. W równaniu takim,<br />
współczynnik stojący <strong>przy</strong> -φ po prawej stronie to kwadrat częstości kolowej ω 2 . Wobec tego,<br />
2 ⎛<br />
ω = ⎜<br />
⎝<br />
2π<br />
T =<br />
R<br />
2<br />
2 2<br />
π ⎞<br />
⎟<br />
T ⎠<br />
I<br />
M<br />
m g<br />
= R<br />
I l<br />
l<br />
g<br />
Dla znanych wartości R i l moŜemy obliczyć stałą<br />
2π l<br />
C = , a następnie moment<br />
R g<br />
bezwładności pustej tarczy I 0 z równania:<br />
2<br />
m0R0<br />
I<br />
0<br />
= (2.4)<br />
2<br />
Następnie mierząc T wyliczamy I 1 ze wzoru (2.3).<br />
Wyznaczamy moment bezwładności drewnianego prostopadłościanu względem jednej z<br />
głównych, centralnych osi bezwładności i porównujemy wielkość otrzymaną z wielkością<br />
obliczoną na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy (rys.2.2).<br />
Rys. 2.2 Prostopadłościan z wymiarami potrzebnymi do obliczenia momentu bezwładności<br />
Moment bezwładności jednorodnego prostopadłościanu (rys. 2.2) o masie m względem osi OO ’<br />
prostopadłej do krawędzi W i L wynosi:
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 11<br />
2 2<br />
( W )<br />
1<br />
I = m L +<br />
(2.5<br />
12<br />
Analogicznie naleŜy policzyć moment bezwładności dla stalowego prostopadłościanu oraz<br />
drewnianego krąŜka (rys. 2.3)<br />
Moment bezwładności walca o promieniu r jest równy:<br />
1 mr<br />
2<br />
I =<br />
2<br />
(2.6)<br />
Rys. 23Walec z wymiarami potrzebnymi do obliczenia momentu bezwładności<br />
Pomiary okresu T naleŜy przeprowadzić sześć razy dla kaŜdego rodzaju bryły sztywnej. Dane<br />
naleŜy umieścić w tabeli.<br />
2.3 Wyniki, obliczenia i analiza błędów<br />
Dla danych zebranych w tabeli 2.1 obliczamy średnie wartości pomiaru i błąd metodą róŜniczki<br />
zupełnej.<br />
Tabela 2.1<br />
Typ ciała (np. metalowy<br />
walec, drewniany walec,<br />
metalowy prostopadłościan)<br />
Czas [s]<br />
Okres T [s]<br />
1<br />
T =<br />
(2.7)<br />
n<br />
n<br />
∑T i<br />
i=<br />
1
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO 12<br />
Po obliczeniu I z równania (2.3) naleŜy obliczyc niepewność pomiaru złoŜonego z wzoru:<br />
dI<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
∂I<br />
2 ∂I<br />
2 ∂I<br />
2 ∂I<br />
2<br />
= dT + dl + dR + dR0<br />
(2.8)<br />
∂T<br />
dl dR ∂R0<br />
Końcowy wynik naleŜy podac w postaci:<br />
I = I ± dI<br />
(2.9)<br />
Porównaj moment bezwładności uzyskanego z danych eksperymentalnych z wielkością<br />
obliczoną na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy.<br />
2.4 Pytania<br />
1. PokaŜ, Ŝe moment bezwładności jednorodnej tulei (wydrąŜonego walca) o wewnętrznym<br />
1 2 2<br />
promieniu R 1 , zewnętrznym promieniu R 2 i masie M jest równe I M ( R + R )<br />
= 1 2 <strong>przy</strong><br />
2<br />
załoŜeniu, Ŝe oś obrotu pokrywa się z osią symetrii.<br />
2. Na czym polega zasada zachowania momentu pędu?<br />
3. Wyprowadź i wyjaśnij pojęcie energii kinetycznej w ruchu obrotowym.<br />
4. Zdefiniuj moment siły. Gdzie moŜemy wykorzystać moment siły?<br />
5. Wyprowadź wzór na pracę i moc dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi.<br />
6. Omów miary bezwładności w ruchu postępowym i obrotowym.<br />
7. Wyprowadź i omów równanie oscylatora harmonicznego względem φ<br />
8. Podaj i omów twierdzenie Steinera.<br />
9. Co to jest bryła sztywna?<br />
10. Omów podstawowe prawa dynamiki bryły sztywnej.<br />
2.5 Literatura<br />
1. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna, Część I, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa,<br />
1980<br />
2. J.Orear, Fizyka, Tom I, PWN Warszawa 1980<br />
3. R.Resnick, D.Halliday, Fizyka, PWN, Warszawa,1980<br />
4. H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, 1994<br />
5. Douglas C.Giancoli, Physics for Scientist & Engineers ,Prentice Hall, 2000