I rok Transportu Informatyka Przykładowe zadania kolokwialne 1 ...

I rok Transportu
Informatyka
Przykładowe zadania kolokwialne
3 2
1. Wykonać dwie iteracje w poszukiwaniu rozwiązania równania nieliniowego x + 2 ⋅ x + 4 = 0 . Obliczenia
rozpocząć w punkcie x = −3
. Zastosować metodę:
a) Newtona (stycznych),
b) iteracji prostych.
Po drugiej iteracji sprawdzić warunki zakończenia obliczeń.
3 2
2. Wykonać dwie iteracje w poszukiwaniu rozwiązania równania nieliniowego x + 2 ⋅ x + 4 = 0 . Obliczenia
rozpocząć dla pary punktów x 0
= −3,
x 1
= −1. Zastosować metodę:
a) bisekcji,
b) siecznych,
c) regula falsi.
Po drugiej iteracji sprawdzić warunki zakończenia obliczeń.
3. Wykonać dwie iteracje w poszukiwaniu rozwiązania układu równań nieliniowych:
2
⎧y
− 2 ⋅ x = 0
⎨
.
2 2
⎩x
+ y = 16
Obliczenia rozpocząć w punkcie x = −3 , y = 4 . Zastosować metodę Newtona–Raphsona. Po drugiej iteracji
sprawdzić warunki zakończenia obliczeń.
4. Podany układ liniowych równań algebraicznych rozwiązać metodą eliminacji Gaussa:
⎧ 0 ⋅ x + 4 ⋅ y − 6 ⋅ z = 2
⎪
⎨ 3⋅
x − 2 ⋅ y + 1⋅
z = 0 .
⎪
⎩2
⋅ x −1⋅
y − 3⋅
z = −3
5. Podany układ liniowych równań algebraicznych rozwiązać metodą rozkładu L ⋅ U :
⎧ 2 ⋅ x −1⋅
y + 0 ⋅ z = 0
⎪
⎨−
6 ⋅ x − 2 ⋅ y + 1⋅
z = −1
.
⎪
⎩ 4 ⋅ x + 3⋅
y −1⋅
z = −3
6. Podany układ liniowych równań algebraicznych rozwiązać metodą rozkładu Choleskiego–Banachiewicza:
⎧ 1⋅
x + 2 ⋅ y − 3⋅
z = −6
⎪
⎨ 2 ⋅ x + 8 ⋅ y − 4 ⋅ z = −18
.
⎪
⎩−
3⋅
x − 4 ⋅ y + 11⋅
z = 16
7. Wykonać dwie iteracje w poszukiwaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych metodą:
a) Jacobiego,
b) Gaussa-Seidla:
⎧ 1⋅
x + 2 ⋅ y − 3⋅
z = −6
x0
= 2
⎪
⎨ 2 ⋅ x + 8 ⋅ y − 4 ⋅ z = −18
, y0
= −1
.
⎪
⎩−
3⋅
x − 4 ⋅ y + 11⋅
z = 16 z0
= 2
Obliczenia rozpocząć z podanego powyżej punktu startowego. Po drugiej iteracji sprawdzić warunki
zakończenia obliczeń.

8. Znaleźć pseudorozwiązanie nadokreślonego układu równań z wagami:
⎧1⋅
x + 2⋅
y = −1
⎛3⎞
⎪
⎜ ⎟
⎨ 2⋅
x + 8⋅
y = 4 w = ⎜2⎟
.
⎪
⎩−
3⋅
x − 4⋅
y = 1
⎜ ⎟
⎝1⎠
9. Korzystając bezpośrednio z definicji i metodą Jacobiego obliczyć wartości i wektory własne podanej
macierzy:
⎛ 2 − 2⎞
⎜ ⎟ .
⎝−
2 6 ⎠
10. Zastosować ciągi Sturma i twierdzenie Gerszgorina do stwierdzenia, czy macierz A jest dodatnio określona.
⎛25
10 0⎞
⎜ ⎟
A = ⎜10
15 4⎟
.
⎜ ⎟
⎝ 0 4 5⎠
11. Zastosować metodę potęgową do wyznaczenia:
a) maksymalnej co do modułu,
b) minimalnej co do modułu
wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego macierzy C z zadania następnego. Wykonać dwie
iteracje rozpoczynając obliczenia z wektorem początkowym:
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
x = ⎜−1⎟
.
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
Po drugiej iteracji sprawdzić warunki zakończenia obliczeń.
12. Wartości własne macierzy C są równe:
λ1
= 3 + 15 ⎛ 6 2 −1⎞
⎜ ⎟
λ2
= 2 , C = ⎜ 2 2 1 ⎟ .
λ3
= 3 − 15 ⎜ ⎟
⎝−1
1 0 ⎠
Podać, do której wartości własnej λ 1 , λ 2 , λ 3 będą zbieżne: metoda potęgowa oraz metoda iteracji odwrotnej,
jeśli dokonamy przesunięcia widma macierzy C o wartość podaną w tablicy.
Przesunięcie -5.0 -0.5 0.0 1.5 5.0 6.5
Metoda potęgowa
Metoda odwrotna
22.03.2007 r.

I rok Transportu
Informatyka
Przykładowe zadania kolokwialne
1. Dokonać interpolacji funkcji y = cos 2 ( x)
w przedziale x ∈[ 1
,
3
4π
4π
] używając bazy wielomianów
Czebyszewa T
0
( x),
T1
( x)
. Jako węzły interpolacji przyjąć miejsca zerowe wielomianu Czebyszewa T 2
( x ) .
Obliczyć wartość funkcji interpolującej w punkcie x = π 2 i porównać z wartością analityczną.
2. Dokonać interpolacji funkcji f (x)
danej w postaci tabelarycznej:
x -2 -1 0 4
f (x) -12 2 0 192
przy pomocy:
a) wielomianów Lagrange'a,
0
b) odpowiedniej bazy jednomianowej, poczynając od jednomianu x .
Obliczyć wartość funkcji interpolującej w punkcie x = 3 .
3. Dokonać odwrotnej interpolacji wielomianami Lagrange'a funkcji f (x)
danej w postaci tabelarycznej:
x -1 0 1
f (x) -0.980085 0.826822 1.708073
Obliczyć wartość zmiennej niezależnej x , dla której f ( x)
= 0 .
4. Spline kwadratowy interpolujący funkcję f ( x)
= ln( x)
dany jest wzorem:
n
∑ − 1
2
2
i
S ( x)
= P2 ( x)
+ bi ⋅ ( x − x i
)
+
, dla x ∈ [ x n −1,
xn
] , gdzie P
2
( x)
= ∑ a i
⋅ x .
i=
1
i=
0
Zastosować ten wzór do obliczenia wartości S (3,5)
mając dane S '(1)
= 1 i:
x 1 3 4 6
S (x) 0.000000 1.098612 1.386294 1.791759
Uzyskany wynik porównać z wartością analityczną.
5. Dokonać najlepszej aproksymacji funkcji f (x)
danej tabelarycznie:
x -2 0 4
f (x) 14 4 32
funkcją
1
∑
i
g ( x)
= a i
⋅ x .
i=
0
9
x ⋅ dx
6. Obliczyć numerycznie całkę ∫ stosując złożoną metodę:
2
3 x − 4
a) trapezów,
b) Simpsona,
c) Gaussa dwupunktową
i podział na dwa podprzedziały całkowania.
7. Zaproponować odpowiednią procedurę postępowania w celu numerycznego obliczenia wartości całki
∞
1
∫ ⋅ dx .
2
x −1
2

3⋅
y − 5
8. Wykonać dwa kroki numerycznego całkowania problemu początkowego y '(
t)
= z warunkiem
2
t − t + 1
brzegowym y ( 1) = 2 i ∆t =
1
2 . Zastosować metodę a) Eulera, b) Rungego-Kutty II rzędu, c) pierwszy krok
metodą Eulera, drugi metodą predyktor-korektor II rzędu.
9. Metodą nieoznaczonych współczynników wyznaczyć współczynniki operatora różnicowego służącego do
wyznaczenia drugiej pochodnej w węźle A:
A B C
2h
h
10. Rozwiązać numerycznie (metodą różnic skończonych) na regularnej siatce 6 węzłów problem brzegowy:
w "(
x)
= x ⋅ ( x − 5) , dla x ∈[0,5]
, przy warunkach brzegowych w ( 0) = 0 , w ( 5) = 0.
Uzyskane rozwiązanie porównać z ścisłym rozwiązaniem analitycznym.
x =
0 1 2 3 4 5
h
h h h h
11. Zastosować metodę potęgową do wyznaczenia:
a) maksymalnej co do modułu,
b) minimalnej co do modułu
wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego macierzy C z zadania następnego. Wykonać dwie
iteracje rozpoczynając obliczenia z wektorem początkowym:
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
x = ⎜−1⎟
.
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠
Po drugiej iteracji sprawdzić warunki zakończenia obliczeń.
12. Wartości własne macierzy C są równe:
λ1
= 3 + 15 ⎛ 6 2 −1⎞
⎜ ⎟
λ2
= 2 , C = ⎜ 2 2 1 ⎟ .
λ3
= 3 − 15 ⎜ ⎟
⎝−1
1 0 ⎠
Podać, do której wartości własnej λ 1 , λ 2 , λ 3 będą zbieżne: metoda potęgowa oraz metoda iteracji odwrotnej,
jeśli dokonamy przesunięcia widma macierzy C o wartość podaną w tablicy.
Przesunięcie -5.0 -0.5 0.0 1.5 5.0 6.5
Metoda potęgowa
Metoda odwrotna
24.05.2007 r.