klasyfikacja ustrojÃ³w powierzchniowych - Instytut Metod ...

Podstawowa klasyfikacja Podstawowe pojęcia Przykłady konstrukcji Równania teorii sprężystości (3D) Literatura 

KLASYFIKACJA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH 

USTROJE POWIERZCHNIOWE 

Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie 

Studia II stopnia 

Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska 

Anna Stankiewicz 

Adam Wosatko 


KLASYFIKACJA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH


Tematyka wykładu 

1 Podstawowa klasyfikacja 

2 Podstawowe pojęcia 

3 Przykłady konstrukcji 

4 Równania teorii sprężystości (3D) 

5 Literatura 




Ustrój powierzchniowy 

Wyróżniamy ustroje: 

a) prętowe 

b) powierzchniowe 

c) bryłowe 

powierzchnia górna 

powierzchnia środkowa 

oś 

grubość 

powierzchnia boczna 

powierzchnia dolna 

a) prętowe (1D) b) powierzchniowe (2D) c) bryłowe (3D) 

Ustrój powierzchniowy (UP) - trójwymiarowe ciało odkształcalne, którego 

grubość h jest mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami. Ustrój ten 

jest ograniczony powierzchniami: górną, dolną i bocznymi, a jego 

reprezentantem geometrycznym w teorii dźwigarów cienkich jest 

powierzchnia środkowa. 




Kryteria podziału ustrojów powierzchniowych 

Ustroje powierzchniowe klasyfikujemy z uwagi na różne aspekty: 

geometrię (powierzchni środkowej) 

smukłość h/L 

stan naprężeń 

kinematykę 




Podstawowy podział ustrojów powierzchniowych 

W zależności od typów powierzchni środkowej wyróżniamy: 

ustroje modelowane za pomocą płaszczyzny środkowej 

tarcze 

płyty 

ustroje modelowane za pomocą pojedynczo lub podwójnie 

zakrzywionej powierzchni środkowej 

powłoki 




Definicja tarczy 

Tarczą nazywamy płaski dźwigar powierzchniowy, modelowany za 

pomocą płaszczyzny środkowej, z obciążeniem leżącym jedynie w tej 

płaszczyźnie, o stałym wzdłuż grubości rozkładzie naprężeń. 

J. Chróścielewski, J. Makowski, W. Pietraszkiewicz. 

Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych. 

IPPT PAN, Warszawa, 2004. 




Definicja płyty 

Płytą zginaną nazywamy płaski dźwigar powierzchniowy, modelowany 

za pomocą płaszczyzny środkowej, z obciążeniem prostopadłym do tej 

płaszczyzny, o liniowo zmiennym wzdłuż grubości rozkładzie naprężeń. 

J. Chróścielewski, J. Makowski, W. Pietraszkiewicz. 

Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. Nieliniowa teoria i metoda elementów skończonych. 

IPPT PAN, Warszawa, 2004. 




Definicja powłoki 

Powłoką nazywamy dźwigar powierzchniowy zakrzywiony. 




Rodzaje zakrzywionych powierzchni 

Powłoki pojedynczo zakrzywione 

walcowa [5] 

stożkowa 

Powłoki podwójnie zakrzywione 

kulista (elipsoidalna) [6] hiperboloidalna [9] 




Rodzaje powierzchni 

Powierzchnie mogą być: 

a) wyniosłe 

b) mało wyniosłe 

c) płaskie 

a) [6] b) [6] c) [8] 




Grubość ustrojów powierzchniowych 

Podział UP ze względu na grubość: 

cienkie - obowiązuje teoria Kirchhoffa-Love’a 

umiarkowanie grube - obowiązuje teoria Mindlina-Reissnera 

grube - analiza 3D 

Dla dźwigarów cienkich, model matematyczny (układ równań opisujący 

zachowanie się ustroju pod działaniem zewnętrznych czynników) można 

znacznie uprościć. 

UP cienki to taki, dla którego h/l min


Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych 

Podział UP ze względu na rozkład naprężeń: 

jednorodny wzdłuż grubości 

tarcza 

powłoka w stanie bezmomentowym (błonowym) 

zmienny (liniowo) wzdłuż grubości 

płyta zginana 

powłoka w stanie membranowo-giętnym 




Układy współrzędnych 

Powłoki modelowane są za pomocą powierzchni środkowej, która jest 

dwuwymiarowym obiektem geometrycznym, opisywanym dwoma 

współrzędnymi krzywoliniowymi ξ 1 i ξ 2 

W zależności od kształtu powłoki, stosowane są następujące układy 

współrzędnych: 

a) sferycznych ξ 1 = ϕ, ξ 2 = Θ 

b) walcowych ξ 1 = x, ξ 2 = Θ 

c) kartezjańskich ξ 1 = x, ξ 2 = y 

ξ 1 = x 

ξ 2 = y 

a) b) c) 




Opis powierzchni 

Na powierzchni środkowej, względem tzw. głównych linii współrzędnych 

ξ 1 , ξ 2 , wprowadzamy dwa ekstremalne promienie głównych krzywizn 

R 1 , R 2 . Odwrotności promieni to krzywizny, oznaczane k 1 , k 2 : 

k αα = − 1 

R αα 

, dla α=1,2. 

ξ 3 = z 

ξ 1 

ξ 2 

R 1 

R 2 

Średnią krzywiznę H oraz krzywiznę Gaussa K definiujemy jako: 

H = 1 2 (k 1 + k 2 ) K = k 1 k 2 

Długość łuku ds α obliczana jest za pomocą parametrów Lamego A α : 

ds α = A α dξ α , dla α=1,2 




Wartości krzywizny Gaussa 

Klasyfikacja, przykłady 

Wyróżniamy powłoki: 

a) o dodatniej krzywiźnie Gaussa (K > 0 dla powłoki kulistej), 

b) o zerowej (K = 0 dla powłoki walcowej), 

c) o ujemnej (K < 0 dla powłoki hiperboloidalnej). 

a) [6] b) [5] c) [7] 




Powierzchnia środkowa, przekrój normalny 

W punkcie na powierzchni definiujemy przekrój poprzeczny, którym są 

dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne Π 1 , Π 2 . 

Na przecięciu obu płaszczyzn Π 1 , Π 2 leży odcinek (włókno), którego 

zachowanie się w trakcie deformacji podlega ścisłemu opisowi (tzn. 

więzom kinematycznym Kirchhoffa-Love’a lub Mindlina-Reissnera). 

a 

e 2 

(ξ 2 = const.) 

ds2 = 1 

ds1 = 1 

Π2 

n 

P 

e 1 

(ξ 1 = const.) 

Π 

n 

e2 

e1 

Z 

r 

Π1 

i Z 

i Y 

i X O 

Y 

R2 

R1 

X 




Powierzchnia środkowa, 

powierzchnia równo oddalona od środkowej 

Położenie punktu na powierzchni środkowej Π opisuje wektor: 

r = r(X , Y , Z) = r(ξ 1 , ξ 2 ) 

Powierzchnię równo oddaloną Π (z) opisuje równanie: 

r (z) = r + zn, gdzie − h 2 ≤ z ≤ h 2 

e (z) 

2 

ξ (z) 

2 

n = n (z) 

P (z) 

e (z) 

1 

ξ 2 

Π (z) 

e 2 

e 1 

ξ (z) 

1 

Π 

P 

r (z) 

r 

ξ 1 




Przykłady konstrukcji 

Tarcze i płyty 

[8], [10] 




Przykłady konstrukcji 

Powłoki 

[6], [8], [10] 




Wielkości znane dla zagadnień trójwymiarowych 

Przyjmujemy jako znane na wstępie analizy zewnętrzne oddziaływania 

(obciążenia i kinematyczne wymuszenia): 

wektor obciążeń masowych ˆb (3×1) = {ˆb x , ˆb y , ˆb z } [N/m 3 ] w Ω, 

wektor obciążeń brzegowych ˆσ b(3×1) = {ˆσ ν1 , ˆσ ν2 , ˆσ ν3 } [N/m 2 ] na ∂Ω σ , 

wektor przemieszczeń brzegowych û b(3×1) = {û ν1 , û ν2 , û ν3 } [m] na ∂Ω u . 




Wielkości poszukiwane dla zagadnień trójwymiarowych 

Niewiadome w obszarze Ω: 

wektor naprężeń σ (6×1) (x, y, z) = {σ xx , σ yy , σ zz , τ xy , τ xz , τ yz } [N/m 2 ], 

wektor odkształceń ε (6×1) (x, y, z) = {ε xx , ε yy , ε zz , γ xy , γ xz , γ yz } [ − ], 

wektor przemieszczeń u (3×1) (x, y, z) = {u x , u y , u z } = {u, v, w} [m]. 

Zakładamy równość składowych naprężeń stycznych 

τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy . 




Kryterium znakowania naprężeń dla ośrodka 3D 




Równania teorii sprężystości 

dla zagadnień trójwymiarowych 

Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii 

sprężystości sprowadza się do zapisania układu 15 równań 

różniczkowo-algebraicznych i jego rozwiązania. Układ ten zawiera: 

równania kinematyczne – 6 

równania równowagi wewnętrznej – 3 

równania fizyczne – 6 

Jego uzupełnieniem muszą być zależności opisujące więzy podporowe 

i obciążenia brzegowe, zwane równaniami warunków brzegowych 

kinematycznych oraz statycznych. 




Równania kinematyczne i równowagi 

I) równania kinematyczne (6): 

ε x = ∂u x 

∂x , 

ε y = ∂u y 

∂y , 

ε z = ∂u z 

∂z , 

γ xy = ∂u x 

∂y + ∂u y 

∂x , 

II) równania równowagi (3): 

γ xz = ∂u x 

∂z + ∂u z 

∂x , 

γ yz = ∂u y 

∂z + ∂u z 

∂y , 

∂σ x 

∂x + ∂τ yx 

∂y 

+ ∂τ zx 

∂z + ˆb x = 0, 

∂τ xy 

∂x 

+ ∂σ y 

∂y + ∂τ zy 

∂z + ˆb y = 0, 

∂τ xz 

∂x 

+ ∂τ yz 

∂y 

+ ∂σ z 

∂z + ˆb z = 0, 




Równania fizyczne 

III) równania fizyczne (6): 

ε x = 1 E [σ x − ν(σ y + σ z )] , ε y = 1 E [σ y − ν(σ x + σ z )] , 

γ xy = 1 G τ xy = 

ε z = 1 E [σ z − ν(σ x + σ y )] , 

2(1 + ν) 

τ xy , γ xz = 1 E 

G τ xz = 

γ yz = 1 G τ yz = 

2(1 + ν) 

τ yz . 

E 

2(1 + ν) 

τ xz , 

E 




Literatura 

[1] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne 

oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. 

Skrypt PK, Kraków, 2009. 

[2] A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. 

Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie 

komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, 1995. 

[3] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementów skończonych 

w mechanice konstrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005. 

[4] J.N. Reddy. Theory and Analysis of Elastic Plates. 

Texas A&M University, Texas, 1999. 




Literatura 

[5] M. Abramowicz. Analiza statyki powłok i paneli walcowych przy użyciu 

systemu ANSYS. Praca magisterska, opiekun: M. Radwańska, PK, Kraków, 2005. 

[6] M. Florek. Wybrane zagadnienia statyki powłok kulistych – rozwiązania 

analityczne oraz numeryczne metodą elementów skończonych. Praca 

magisterska, opiekun: M. Radwańska, PK, Kraków, 2005. 

[7] K. Kwinta. Analiza powłok cienkich o różnych kształtach według teorii 

stanu bezmomentowego. Praca magisterska, opiekun: M. Radwańska, PK, 

Kraków, 2006. 

[8] W. Kolendowicz. Mechanika budowli dla architektów. 

Arkady, Warszawa, 1993. 

[9] J. Chróścielewski, J. Makowski, W. Pietraszkiewicz. 

Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. Nieliniowa teoria i metoda 

elementów skończonych. IPPT PAN, Warszawa, 2004. 

[10] W. Starosolski. Konstrukcje żelbetowe. 

T. 1,2 i 3, wyd. XII, PWN, Warszawa, 2008.

klasyfikacja ustrojÃ³w powierzchniowych - Instytut Metod ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?