rachunek macierzowy - Instytut Metod Komputerowych w Inżynierii ...

RACHUNEK MACIERZOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2012/2013
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Adam Wosatko
Ewa Pabisek
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Czym jest macierz?
Definicja
Macierzą A nazywamy funkcję dwóch zmiennych,
która parze (i, j) przyporządkowuje dokładnie jeden element a ij ,
przy czym i = 1, 2, . . . , m, natomiast j = 1, 2, . . . , n.
Tworzy się w ten sposób zbiór m ·n elementów umieszczonych w tablicy o
m wierszach i n kolumnach.
⎡
⎤
a 11 a 12 · · · a 1j · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2j · · · a 2n
.
A =
. . .. . · · · .
a i1 a i2 · · · a ij · · · a in
⎢
⎣
.
. . · · · . ..
⎥
. ⎦
a m1 a m2 · · · a mj · · · a mn
Ogólnie dany element macierzy a ij może być np. liczbą rzeczywistą,
liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania),
wielomianem lub wektorem.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Czym jest macierz?
Inny zapis
A = [a ij ] , gdzie: i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
A = [a ij ] [m×n]
= A [m×n]
[m × n] - wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn)
i - indeks numeracji wierszy
j - indeks numeracji kolumn
Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do macierzy rzeczywistych,
tzn. dla których element a ij jest liczbą rzeczywistą.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Różne typy macierzy
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa
Jeśli m ≠ n to macierz A nazywamy prostokątną.
Jeśli m = n = N to macierz A nazywamy kwadratową (stopnia N).
Przekątna główna macierzy kwadratowej A [n×n] składa się z elementów
a ii , gdzie i = 1, 2, . . . , n. Macierz kwadratowa A [n×n] , w której wszystkie
elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą
diagonalną (oznaczoną D).
Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka
macierz stanowi macierz jednostkową (oznaczoną I ).
⎡
⎤
⎡
⎤
a 11 0 · · · 0
1 0 · · · 0
0 a 22 · · · 0
0 1 · · · 0
D [n×n] = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥ I [n×n] = ⎢
. ⎦
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
0 0 · · · a nn 0 0 · · · 1
D = diag(a ii ) I = [δ ij ] [n×n]
, gdzie δ ij =
δ ij – symbol Kroneckera
{
0 dla i ≠ j
1 dla i = j
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Różne typy macierzy
Macierz transponowana
Macierz A T jest transponowana względem macierzy A, jeśli a ij = aji
T
(wiersze zamieniamy z kolumnami).
⎡
⎤
⎡
⎤
a 11 a 12 · · · a 1n
a 11 a 21 · · · a m1
a 21 a 22 · · · a 2n
a 12 a 22 · · · a m2
A [m×n] = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ AT [n×m] = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
a m1 a m2 · · · a mn a 1n a 2n · · · a mn
Właściwości macierzy transponowanej:
(
1 A T) T
= A
2 (αA) T = αA T , α – liczba rzeczywista
3 (A + B) T = A T + B T
4 (A B) T = B T A T
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Różne typy macierzy
Macierz symetryczna i antysymetryczna
Jeśli dla macierzy kwadratowej A [n×n] zachodzi związek A = A T to
macierz A jest symetryczna.
Jeśli dla macierzy kwadratowej A [n×n] zachodzi związek A = −A T to
macierz A jest antysymetryczna (skośnie symetryczna).
Przykład:
⎡
⎣
4 3 2
3 −1 1
2 1 5
⎤
⎦
⎡
⎣
0 −4 2
4 0 −5
−2 5 0
Macierz symetryczna i antysymetryczna.
Jeśli A jest macierzą kwadratową to:
1 A + A T jest macierzą symetryczną,
2 A − A T jest macierzą antysymetryczną.
Jeśli A jest dowolną macierzą prostokątną i S = A A T ,
to S jest macierzą symetryczną.
⎤
⎦
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Różne typy macierzy
Macierz trójkątna
Macierzą trójkątną nazywamy macierz o postaci:
⎡
⎤ ⎡
⎤
l 11 0 · · · 0
u 11 u 21 · · · u 1n
l 21 l 22 · · · 0
0 u 22 · · · u 2n
L = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥ U = ⎢
. ⎦ ⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
l n1 l n2 · · · l nn 0 0 · · · u nn
L jest macierzą dolnotrójkątną (trójkątną lewą).
U jest macierzą górnotrójkątną (trójkątną prawą).
Suma, iloczyn i odwrotność macierzy dolnotrójkątnych (górnotrójkątnych)
tworzy ponownie macierz dolnotrójkątną (górnotrójkątną).
Wystarczy, gdy wszystkie elementy przekątnej głównej macierzy
trójkątnej są różne od 0 – wówczas macierz ta jest nieosobliwa.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Równość, dodawanie, odejmowanie macierzy
Dwie macierze A [m×n] i B [m×n] są równe, jeśli odpowiednie elementy są
sobie równe, tzn. a ij = b ij dla i = 1, 2, . . . , m i j = 1, 2, . . . , n.
Sumą lub różnicą dwóch macierzy A [m×n] i B [m×n]
nazywamy macierz C [m×n] , gdzie c ij = a ij ± b ij :
C = A ± B =
⎡
⎤ ⎡
c 11 c 12 · · · c 1n
c 21 c 22 · · · c 2n
⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ = ⎢
⎣
c m1 c m2 · · · c mn
⎤
a 11 ± b 11 a 12 ± b 12 · · · a 1n ± b 1n
a 21 ± b 21 a 22 ± b 22 · · · a 2n ± b 2n
.
. . ..
⎥
. ⎦
a m1 ± b m1 a m2 ± b m2 · · · a mn ± b mn
1 Przemienność dodawania: A + B = B + A.
2 Łączność dodawania i odejmowania: (A ± B) ± C = A ± (B ± C).
3 A + 0 = A.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn (αA lub Aα) macierzy A i liczby α tworzy macierz:
⎡
⎤
αa 11 αa 12 · · · αa 1n
αa 21 αa 22 · · · αa 2n
αA = Aα = [αa ij ] = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
αa m1 αa m2 · · · αa mn
1 1 · A = A
2 0 · A = 0
3 α(βA) = (αβ)A
4 (α + β)A = αA + βA
5 α(A + B) = αA + αB
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Mnożenie macierzy przez macierz
Iloczyn dwóch macierzy A [m×n] i B [n×p] tworzy macierz C [m×p] , gdzie:
n∑
c ik = a ij b jk dla i = 1, 2, . . . , m i k = 1, 2, . . . , p .
j=1
C [m×p] = A [m×n] · B [n×p]
Przykład:
⎡ ⎤
⎡
⎤ 2 −1
⎡
⎤
−1 4 2 −2
⎣ 1 2 −3 0 ⎦ · ⎢ 1 3
−2 21
⎥
⎣ −2 0 ⎦ = ⎣ 10 5 ⎦
−1 0 0 5
−2 −19
0 −4
4∑
c 11 = a 1j b j1 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + a 14 b 41
j=1
= (−1) · 2 + 4 · 1 + 2 · (−2) + (−2) · 0 = −2
(. . . )
4∑
c 32 = a 3j b j2 = a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 + a 34 b 42
j=1
= (−1) · (−1) + 0 · 3 + 0 · 0 + 5 · (−4) = −19
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Właściwości mnożenia macierzy
1 Mnożenie A B może być wykonalne, natomiast mnożenie B A może
być niewykonalne. Liczba wierszy pierwszej macierzy musi się
zgadzać z liczbą kolumn drugiej macierzy, tak aby zapewnić
prawidłowe sumowanie iloczynów.
2 Dla macierzy kwadratowych także zazwyczaj zachodzi A B ≠ B A.
3 Mnożenie macierzy jest łączne: (A B) C = A (B C).
4 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania
i odejmowania:
(A ± B) C = A C ± B C C(A ± B) = C A ± C B.
5 Jeśli A B = 0, to nie oznacza, że koniecznie A = 0 lub B = 0.
6 Jeśli A B = A C, to B nie zawsze jest równe C, nawet gdy A ≠ 0.
7 A I = I A = A
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Potęgowanie macierzy
Dla macierzy A obowiązują następujące reguły potęgowania:
A 0 = I A 1 = A
A 2 = A A A 3 = A A A
itd.
Właściwości potęgowania macierzy:
1 A k A p = A k+p
2 (A k ) p = A k p
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Wyznacznik macierzy
Każdej macierzy kwadratowej A możemy przypisać wartość liczbową D,
nazywaną wyznacznikiem macierzy A stopnia N i oznaczoną jako det A.
∣ a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣ a 21 a 22 · · · a 2n
det A =
. = D
. . .. .
∣ a n1 a n2 · · · a nn
W literaturze można spotkać także oznaczenia:
det (A) = |A| = |a ij | = det |a ij |
Znane są różne sposoby obliczania wartości wyznacznika.
det jest skrótem francuskiego słowa determinant czyli wyznacznik.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Wyznacznik macierzy
Rozwinięcie Laplace’a
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie
wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne
det A =
det A =
n∑
a ij · A ij
j=1
n∑
a ij · A ij
i=1
rozwinięcie względem i − tego wiersza
rozwinięcie względem j − tej kolumny
gdzie: a ij – element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, A ij – dopełnienie
algebraiczne elementu a ij .
Dopełnienie algebraiczne A ij elementu a ij macierzy A stanowi minor |M ij |
pomnożony przez (−1) i+j .
Minorem |M ij | macierzy A przynależnym elementowi a ij nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Wyznacznik macierzy
Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3
a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
det A =
a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 32
Powyższa reguła wykorzystuje definicję permutacyjną wyznacznika,
ale ma zastosowanie tylko dla macierzy stopnia 3.
Jeśli obliczamy wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3,
to można wykorzystać rozwinięcie Laplace’a i własności wyznaczników,
a po sprowadzeniu ich do stopnia 3 – zastosować regułę Sarrusa.
Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3
można obliczyć także przy pomocy eliminacji Gaussa.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Właściwości wyznaczników
1 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną
z samych zer jest równy 0
2 Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przedstawimy
między sobą dwie kolumny (dwa wiersze)
3 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe lub
proporcjonalne kolumny (dwa wiersze) jest równy 0
4 Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy
kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć
przed wyznacznik tej macierzy
5 Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej
kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny
(innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę
6 Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe
7 Jeżeli det A = 0, to macierz jest osobliwa
8 Wyznacznik z macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów glównej
przekątnej
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Właściwości wyznaczników
5 det A = det(A T )
6 det(AB) = det A det B (twierdzenie Cauchy’ego)
7 det(A + B) ≠ det A + det B
8 det(A −1 ) = (det A) −1
9 Jeżeli macierz A jest trójkątna, to det A = a 11 a 22 . . . a nn .
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, to możemy otrzymać
macierz do niej odwrotną A −1 .
Zachodzi zatem zależność:
Oznaczmy: C = A −1 .
A A −1 = A −1 A = I
Element macierzy odwrotnej c ij obliczamy w następujący sposób:
c ij = 1
det A (−1)i+j ∣ ∣ M
T
ij
∣ ∣
gdzie ∣ ∣ M
T
ij
∣ ∣ jest minorem otrzymywanym z macierzy A T .
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Właściwości macierzy odwrotnych
1 Jeśli det A = 0 czyli macierz jest osobliwa,
to macierz odwrotna A −1 nie istnieje.
2 (A B) −1 = B −1 A −1
3
(
A T) −1
=
(
A
−1 ) T
4 det ( A −1) = (det A) −1
5
(
A
−1 ) −1
= A
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Macierz odwrotna
Przykład:
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A:
⎡
A = ⎣ 1 3 2
⎤
⎡
4 −1 2 ⎦ −→ A T = ⎣ 1 4 1
3 −1 −1
1 −1 0
2 2 0
c 11 = 1
det A (−1)2 ∣ ∣ M
T
11
∣ ∣ =
1
2
⎤
∣ −1 −1
2 0 ∣ = 1
⎦ −→ det A = 2
(. . . )
c 33 = 1 ∣
det A (−1)6 M
T
33 1
= 2 ∣ 1 4
3 −1 ∣ = −13 2
⎡
1.0 −1.0 4.0
⎤
C = A −1 = ⎣ 1.0 −1.0 3.0 ⎦ −→ A · C = I
1.5 2.0 −6.5
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja normy macierzy
Normą macierzy kwadratowej A nazywamy nieujemną liczbę
rzeczywistą ‖A‖ (nie należy mylić z wyznacznikiem!), która spełnia
następujące warunki:
1 ‖A‖ > 0, gdy A ≠ 0 i ‖0‖ = 0
2 ‖αA‖ = |α| ‖A‖, α jest liczbą
3 ‖A + B‖ ‖A‖ + ‖B‖
4 ‖A B‖ ‖A‖ · ‖B‖
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Normy macierzy
jednokolumnowej (jednowierszowej) i kwadratowej
Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy
następujące normy:
suma modułów: ‖X ‖ 1 = ∑ n
i=1 |x i|
norma euklidesowa: ‖X ‖ 2 =
√ ∑n
i=1 |x i| 2
norma maksimum: ‖X ‖ ∞ = max|x i |
i
Dla macierzy kwadratowej A określamy następujące normy:
∑ m
norma sumy kolumn: ‖A‖ 1 =
i=1 |a ij|
max
1 j, n
√ ∑m ∑ n
norma euklidesowa: ‖A‖ 2 =
i=1 j=1 |a ij| 2
∑ n
norma sumy wierszy: ‖A‖ ∞ =
j=1 |a ij|
max
1 i m
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY

Zadanie domowe
Oblicz wyznacznik, macierz odwrotną i normy macierzy:
⎡
A = ⎣ 2 4 2
⎤
1 4 −1 ⎦
1 2 −1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY