Metody numeryczne cz. 5 - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Wartości i wektory własne
Wektorem własnym macierzy A [ n × n]
nazywamy każdy niezerowy wektor V , który zachowuje kierunek
po wykonaniu mnożenia przez tę macierz:
A⋅V
= λ ⋅V
. (1)
Wielkość λ jest wartością własną macierzy A odpowiadającą wektorowi własnemu V .
Rzeczywista i symetryczna macierz A posiada wyłącznie rzeczywiste wartości własne, oraz zbiór
n liniowo niezależnych wektorów własnych oznaczonych V
1,
V
2,
..., V
n
. Wektory te oczywiście nie
są wyznaczone jednoznacznie, ponieważ każdy z nich może zostać pomnożony przez niezerową
stałą, dalej pozostając wektorem własnym (definicja).
Każdy wektor własny ma odpowiadającą wartość własną, oznaczoną λ
1,
λ
2,
..., λ
n
. Wartości własne
dla danej macierzy są określone jednoznacznie. Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy nazywamy
spektrum tej macierzy.
Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie:
( − λ ⋅ I ) = p( λ) 0
det A = , (2)
w którym I [ n×
n]
oznacza macierz jednostkową. Wyrażenie stojące po lewej stronie tego równania
jest wielomianem p stopnia n zmiennej λ . Tak więc wyznaczenie spektrum macierzy A jest
równoznaczne z wyznaczeniem wszystkich pierwiastków równania (2).
Macierz A jest pierwiastkiem własnego równania charakterystycznego, czyli:
p ( A) = 0 . (3)
Twierdzenie powyższe nosi nazwę twierdzenia Cayleya – Hamiltona. Ponadto, jeżeli q ( x)
jest wielomianem
a λ wartością własną macierzy A to q ( λ)
jest wartością własną macierzy q ( A)
.
Przekształcenie przez podobieństwo nie zmienia wartości własnych macierzy, czyli jeżeli istnieje
−1
odwracalna macierz P [ n × n]
to wartości własne macierzy P ⋅ A⋅
P i macierzy A są równe.
Przekształcenie ortogonalne nie zmienia wartości własnych macierzy, czyli jeżeli istnieje odwracalna
macierz Q [ n × n]
taka, że Q T ⋅ Q = I to wartości własne macierzy Q T ⋅ A⋅Q
i macierzy A są równe
(wniosek z twierdzenia poprzedniego).
Dla symetrycznej dodatnio określonej macierzy A i niezerowego wektora X zachodzi związek:
T
X ⋅ A⋅
X
0 < λmin
≤ ≤ λmax
. (4)
T
X ⋅ X
Do oszacowania spektrum wartości własnych dowolnej macierzy kwadratowej możemy użyć twierdzenia
Gerszgorina, natomiast w przypadku symetrycznej macierzy trójdiagonalnej możemy zastosować
ciągi Sturma do określenia z dowolną dokładnością przedziałów, w których znajdują się jej
poszczególne wartości własne.
Numeryczne wyznaczanie wartości własnych macierzy jest jednym z bardziej żmudnych zadań
podstawowej analizy numerycznej. Jednak ze względu na zastosowania praktyczne zostało opracowanych
wiele metod służących do rozwiązania tego zagadnienia. Metody te można podzielić na
trzy kategorie:
1

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
• metody pozwalające na znalezienie wszystkich wartości i wektorów własnych, np. metody:
Jacobiego zwana również metodą transformacji ortogonalnych, Lanczosa i Hausholdera w
połączenu z metodą rozkładu Q ⋅ R ;
• metody pozwalające na wyznaczenie wybranej wartości i odpowiadającego jej wektora własnego,
np. metoda potęgowa, w ogólności pozwalająca na wyznaczenie wartości własnej
najbliższej podanej liczbie i odpowiadającego jej wektora własnego;
• metody pozwalające na obliczenie grupy wartości własnych i odpowiadających im wektorów
własnych.
Przed wyborem metody obliczeń należy wobec powyższego, ze względu na efektywność czasową
obliczeń, zastanowić się, czy będą nam potrzebne wszystkie wartości własne analizowanej macierzy,
czy tylko ich wybrany podzbiór, czy też jedna jedyna wartość własna spełniająca określone warunki.
W dalszej części pracy zajmiemy się dwiema metodami wyznaczania wartości własnych rzeczywistej
macierzy symetrycznej.
Metoda Jacobiego
Metoda Jacobiego (transformacji ortogonalnych) polega na wykonaniu na wyjściowej macierzy
A [ n × n]
ciągu transformacji ortogonalnych, w wyniku których macierz ta zostanie doprowadzona do
postaci diagonalnej D [ n × n]
. W macierzy diagonalnej na przekątnej głównej znajdą się wartości własne
macierzy wyjściowej, natomiast wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym będą
zapisane w kolumnach macierzy W [ n × n]
.
gdzie:
{} i
A
T
= W ⋅ D ⋅W
, (5)
{ m} { i} { 2} { 1}
W = Q ⋅... ⋅Q
⋅...
⋅Q
⋅Q
. (6)
jest iloczynem macierzy Q definiujących kolejne transformacje ortogonalne i = 1,2,...,
m .
Transformacje ortogonalne są wykonywane w taki sposób, aby kolejno zerować pary elementów
macierzy A rozmieszczonych symetrycznie względem przekątnej głównej i największych co do
modułu. Tak więc algorytm metody można rozbić na następujące kroki:
1. Wybór elementu wiodącego transformacji ortogonalnej, czyli wyznaczenie indeksów p i q
elementu macierzy A największego co do modułu, a nie leżącego na przekątnej głównej tej macierzy:
2. Wyznaczenie macierzy transformacji
spełniały warunek:
{ i} { i}
p , q : a pq
= max a . (7)
kl
,
A
k l=
1,2,..., n
k≠l
{ i}
Q tak, aby elementy nowej macierzy:
{ i+1} { i} T { i} { i}
= Q
⋅ A
{ i+ 1} { i+ 1}
⋅Q
a = a = 0 , (9)
pq
qp
i wyznaczenie elementów nowej macierzy A { i+1}
.Jak łatwo sprawdzić, jeżeli macierz Q
{ i}
przyjmiemy jako macierz jednostkową, w której zmieniono jedynie elementy:
(8)
2

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
q
pp
q
q
= q
qp
pq
qq
= s
= −s
= c
, (10)
czyli ostateczna macierz będzie miała postać:
Q
{} i
=
p
q
⎡1
L
⎢M
1
⎢0
L
⎢M
⎢0
L
⎢M
⎢
⎣0
L
p
q
0 L 0 L 0⎤
M M M⎥
c L s L 0⎥
M 1 M M⎥
− s L c L 0⎥
M M 1 M⎥
⎥
0 L 0 L 0⎦
, (11)
to spełnienie warunku ortogonalności Q T ⋅ Q = I jest równoznaczne z zażądaniem aby wielkości
oznaczone jako c i s spełniały zależność:
2 2
c + s = 1 . (12)
Warunek ten jest jednocześnie warunkiem wystarczającym ortogonalności macierzy Q .
Jak łatwo się przekonać, w trakcie transformacji (8) zmieniają się jedynie elementy macierzy A
należące do wierszy i kolumn opatrzonych wskaźnikami p i q . Odpowiednie wzory transformacyjne
mają postać:
a
a
a
{ i+
1} 2 { i} 2 { i} { i}
pp
{ i+
1} 2 {} i 2 {} i
{} i
qq
{ i+
1} 2 2 {} i
{} i {} i
= ( c − s ) ⋅ a + c ⋅ s ⋅( a − a )
pq
a
a
a
a
= c
= s
⋅ a
⋅ a
pp
pp
+ s
+ c
pq
⋅ a
⋅ a
{ i+
1} { i} { i}
rp
= c ⋅ a
− s ⋅ a
+ c ⋅ a
− s ⋅ a
+ c ⋅ a
qq
qq
{ i+
1} {} i {} i
rq
= s ⋅a
{ i+
1} {} i {} i
rq
= c ⋅ a
{ i+
1} {} i {} i
rq
= s ⋅a
rp
rp
pr
pr
rq
rq
qr
qr
− 2⋅
s ⋅c
⋅ a
+ 2⋅
s ⋅c
⋅ a
pp
pq
pq
qq
r ≠ p,
r ≠ q
, (13)
, (14)
i można je wyprowadzić na przykład przez bezpośrednie wykonanie operacji macierzowych występujących
w (8).
Warunek (9) w połączeniu z równaniem (13) 3 służy do wyznaczenia c i s dla bieżącej iteracji.
A mianowicie, ponieważ:
jest równoważne:
oznaczonemu η , przy podstawieniu
równanie (16) przechodzi w:
2 2 { i} { i} { i}
( − s ) ⋅ a + c ⋅ s ⋅( a − a ) = 0
c (15)
c
pq
− s
a
pp
{ i} { i}
− a
qq
2 2
qq pp
η = =
{}
, (16)
i
2⋅c
⋅ s 2⋅
apq
s
t = (17)
c
3

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
2
t + 2⋅η ⋅t
−1
= 0 , (18)
czyli zwykłe równanie kwadratowe ze względu na pomocniczą zmienną t . Pierwiastki tego
równania można wyznaczyć posługując się dobrze znanymi wzorami, jednak, ze względu na poprawę
stabilności numerycznej rozwiązania, do wyznaczenia mniejszego z nich korzystniej jest
stosować formułę:
( η)
sgn
t =
. (19)
η + η
2 + 1
2
Gdyby jednakże η było tak duże, że η powodowałoby wystąpienie błędu nadmiaru w trakcie
wykonywania obliczeń, należy zastosować formułę:
1
t = . (20)
2 ⋅η
Po wyznaczeniu wartości zmiennej pomocniczej t powracamy do wyjściowych niewiadomych
c i s , korzystając z zależności (12) i (17):
3. Obliczenie macierzy wektorów własnych na podstawie zależności:
{ 0}
W jest macierz jednostkowa. Stosowne wzory transforma-
przy czym początkową macierzą
cyjne przyjmą postać:
w
w
W
1
c =
2
t + 1 . (21)
s = t ⋅c
{ i+1} { i} { i}
= W
⋅Q
, (22)
{ i+
1} { i} { i}
rp
= c ⋅ wrp
− s ⋅ wrq
{ } {} {} r = 1,2,..., n
i+
1
i
i
rq
= s ⋅ w
rp
+ c ⋅ w
rq
, (23)
która wynika z faktu, że w kolejnych iteracjach zmieniają się wyłącznie kolumny p i q macierzy
W .
4. Sprawdzenie warunku zakończenia obliczeń:
{ i+
1}
{ }
< ε
i+
1
sp
, (24)
sn
w którym licznik i mianownik ułamka są odpowiednio równe:
dla normy maksimum, lub:
sp
sp
sn
{ i+
1} { i+
1}
=
max
i,
j=
1,2,..., n
i≠
j
{ i+
1} { i+
1}
=
max
i=
1,2,..., n
a
a
n n
1
2
n −n
∑∑
i= 1 j=
1
i≠
j
{ i+
1} { i+
1}
sn
=
{ i+
1} { i+
1}
=
ii
ij
( a )
n
∑( aii
)
1
n
i=
1
ij
2
2
(25)
(26)
4

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
dla normy średniokwadratowej.
Jeżeli warunek (24) jest spełniony dla narzuconej przez użytkownika dokładności ε , to kończymy
obliczenia, w przeciwnym przypadku kontynuujemy pracę poczynając od wyznaczenia nowego
{ i+1}
elementu wiodącego a
pq
(7). Tak obrana metoda postępowania będzie zbieżna, ponieważ jeśli obliczymy
sumę kwadratów elementów macierzy A leżących poza przekątną główną i oznaczymy
{ i}
{} i
ją przez S :
to wprost z (14) wynika, że:
S
S
n
n
( a )
{} i
{} i
= ∑∑
i= 1 j=
1
i≠
j
{ i+
1} {} i
{} i
= S
− 2⋅
ij
2
( a ) 2
pq
, (27)
, (28)
czyli, że licznik ułamka we wzorze (24) będzie monotonicznie malał do zera w kolejnych iteracjach,
a więc dla dowolnie małego dodatniego ε warunek (24) zostanie spełniony po skończonej
liczbie iteracji.
Metoda Jacobiego jest efektywna dla macierzy A o niewielkich rozmiarach (rzędu 10). Do prowadzenia
obliczeń na dużych macierzach należy stosować inne, bardziej efektywne metody, np. metodę
Hausholdera lub Lanczosa aby doprowadzić macierz wyjściową do postaci trójdiagonalnej a następnie
metodę rozkładu Q ⋅ R do wyznaczenia wartości i wektorów własnych tak zredukowanej
macierzy.
Algorytm postępowania przedstawia się następująco:
1. Wybrać element wiodący (czyli wyznaczyć p i q ) (7);
2. Obliczyć η i t (16), (19);
3. Obliczyć c i s (21);
4. Wyznaczyć
5. Wyznaczyć
{ i+1}
A (8) lub (13), (14);
{ i+1}
W (22) lub (23);
6. Sprawdzić warunek (24).
W zależności od wyniku sprawdzenia albo należy wrócić do 1., albo zakończyć pracę.
Dla lepszej ilustracji sposobu postępowania przedstawimy go na przykładzie obliczania wszystkich
wartości własnych i odpowiadających im wektorów własnych macierzy A [ 4×4]
z dokładnością
ε = 0,0001 :
⎡
3 −2
1 4
⎤
{} 0 −2
−6
2 −1
A = A = ⎢ ⎥ . (29)
1 2 −2
5
⎢ ⎥
⎣ 4 −1
5 −7
⎦
5

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Iteracja pierwsza:
1. Element wiodący (największy co do modułu element macierzy
p = 3 , q = 4 .
2. Współczynniki η i t :
3. Współczynniki c i s :
4. Macierz A {} 1 :
{} 0
{ 0} { 0}
a33
= −2,
a34
= 5, a44
{} 0 {} 0
44
− a33
− 7 + 2
{}
=
0
= −7
a
η =
= −0,500000
2 ⋅a34
2 ⋅5
sgn( η)
sgn( −0,500000)
t =
=
= −0,618034
2
2
η + η + 1 − 0,500000 +
+ 1
( − 0,500000)
1
1
c = =
= 0,850651
2
2
t + 1 ( − 0,618034)
+ 1
s = t ⋅c
= −0,618034⋅0,850651
= −0,525731
{ 0}
A spoza przekątnej głównej)
. (30)
. (31)
⎡1
0 0 0⎤
⎢
⎥ ⎡1,000
0,000 0,000 0,000⎤
Q {} 0
0 1 0 0
= ⎢
⎥ 0,000 1,000 0,000 0,000
= ⎢
⎥
0,000 0,000 0,851 −0,526
⎢0
0 c s⎥
⎢
⎥
. (32)
⎢
⎥ ⎣0,000
0,000 0,526 0,851⎦
⎣0
0 − s c⎦
A
{} 1 { 0} T { 0} { 0
= Q ⋅ A ⋅Q
} =
⎡
= ⎢
⎢
⎣
5. Macierz W {} 1 :
1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,851 −0,526
0,000 0,000 0,526
0,851
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
3
−2
1
4
−2
1
−6
2
2 −7
−1
5
W
4
−1
5
−2
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
1,000 0,000
0,000 1,000
0,000 0,000
0,000 0,000
0,000 0,000
0,851 0,851
0,000 0,000 −0,526
0,526
{ 1} { 0} { 0
= W ⋅Q
} =
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
3,000 −2,000
2,954
−2,000
−6,000
1,176
2,954 1,176 1,090
2,877
−1,902
0,000
2,877 −1,902
0,000 −10,090
⎤
⎥
⎥
⎦
. (33)
⎡
= ⎢
⎢
⎣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
1,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,851
0,000 0,000 0,526
0,000
0,000
−0,526
0,851
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
6. Warunek zakończenia obliczeń (w normie maksimum):
sp
sn
{} 1
{ 1}
=
max
i,
j=
1,2,3,4
{} 1
{} 1
=
max
i=
1,2,3,4
a
a
ii
ij
i≠
j
= 10,090170
1,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,851
0,000 0,000 0,526
= 2,953575
0,000
0,000
−0,526
0,851
⎤
⎥
⎥
⎦
. (34)
, (35)
sp
sn
{} 1
2,953575
{}
= = 0, 292718 > ε
1
10,090170
czyli konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
, (36)
6

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Iteracja druga:
1. Element wiodący (największy co do modułu element macierzy
p = 1, q = 3.
2. Współczynniki η i t :
3. Współczynniki c i s :
4. Macierz A {} 2 :
a
{} 1 {} 1
{ 1}
11
= 3, a13
= 2,953575, a33
{} 1 {} 1
a33
− a11
1,090170 − 3
{}
=
1
= 1,090170
η =
= −0,323308
2⋅
a13
2 ⋅2,953575
sgn( η)
sgn( −0,323308)
t =
=
= −0,727657
2
2
η + η + 1 − 0,323308 +
+ 1
( − 0,323308)
1
1
c = =
= 0,808588
2
2
t + 1 ( − 0,727657)
+ 1
s = t ⋅c
= −0,727657⋅0,808588
= −0,588375
{ 1}
A spoza przekątnej głównej)
. (37)
. (38)
⎡ c 0 s 0⎤
⎢
⎥ ⎡0,809
0,000 −0,588
0,000⎤
{} 1
0 1 0 0
= ⎢
⎥ 0,000 1,000 0,000 0,000
Q = ⎢
⎥ . (39)
0,588 0,000 0,809 0,000
⎢−
s 0 c 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣0
0,000 0,000 1,000⎦
⎣ 0 0 0 1⎦
A
{} 2 { 1} T { 1} { 1
= Q ⋅ A ⋅Q
} =
⎡
= ⎢
⎢
⎣
0,809 0,000 −0,588
0,000
0,000 1,000
0,588 0,000
0,000 0,000
5. Macierz W {} 2 :
0,000 0,000
0,809 0,000
0,000 1,000
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
3,000 −2,000
2,954 2,877
−2,000
−6,000
1,176 −1,902
2,954 1,176 1,090 0,000
2,877 −1,902
0,000 −10,090
W
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
{ 2} { 1} { 1
= W ⋅Q
} =
0,809 0,000 0,588 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
−0,588
0,000 0,809 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
5,149 −0,926
0,000 2,326
−0,926
−6,000
2,127 −1,902
0,000 2,127 −1,059
−1,693
2,326 −1,902
−1,693
−10,090
⎤
⎥
⎥
⎦
. (40)
⎡
= ⎢
⎢
⎣
1,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,851
0,000 0,000 0,526
0,000
0,000
−0,526
0,851
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0,809 0,000 −0,588
0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,588 0,000 0,809 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
6. Warunek zakończenia obliczeń (w normie maksimum):
sp
sn
{} 2
{ 2}
=
max
i,
j=
1,2,3,4
i≠
j
{} 2
{} 2
=
max
i=
1,2,3,4
a
a
ii
ij
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
= 2,326205
= 10,090170
0,809 0,000
0,000 1,000
0,501 0,000
0,309 0,000
−0,588
0,000
0,688
0,425
0,000
0,000
−0,526
0,851
⎤
⎥
⎥
⎦
. (41)
, (42)
sp
sn
{} 2
{} = 2,326205
= 0, 230542 > ε
2
10,090170
czyli dalej konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
, (43)
7

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Iteracja trzecia:
1. Element wiodący (największy co do modułu element macierzy
p = 1, q = 4 .
2. Współczynniki η i t :
3. Współczynniki c i s :
4. Macierz A {} 3 :
{ 2} { 2} { 2}
11
= 5,149190, a14
= 2,326205, a44
{} 2 {} 2
a44
− a11
−10,090170
−
{}
=
2
a
= −10,090170
5,149190
η =
= −3,275584
2 ⋅a14
2 ⋅2,326205
sgn( η)
sgn( −3,275584)
t =
=
= −0,149245
2
2
η + η + 1 − 3,275584 +
+ 1
( − 3,275584)
1
1
c = =
= 0,989046
2
2
t + 1 ( − 0,149245)
+ 1
s = t ⋅c
= −0,149245⋅0,989046
= −0,147610
{ 2}
A spoza przekątnej głównej)
. (44)
. (45)
⎡ c 0 0 s⎤
⎢
⎥ ⎡0,989
0,000 0,000 −0,148⎤
{} 2
0 1 0 0
= ⎢
⎥ 0,000 1,000 0,000 0,000
Q = ⎢
⎥ . (46)
0,000 0,000 0,000 0,000
⎢ 0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣0,148
0,000 0,000 0,989⎦
⎣−
s 0 0 c⎦
A
{} 3 { 2} T { 2} { 2
= Q ⋅ A ⋅Q
} =
⎡
= ⎢
⎢
⎣
0,989 0,000 0,000 −0,148
0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 1,000
0,148 0,000 0,000
5. Macierz W {} 3 :
0,000
0,000
0,989
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
5,149 −0,926
0,000
−0,926
−6,000
2,127
0,000
2,127 −1,059
2,326
−1,902
−1,693
2,326 −1,902
−1,693
−10,090
W
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
{ 3} { 2} { 2
= W ⋅Q
} =
0,989 0,000 0,000 0,148
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
−0,148
0,000 0,000 0,989
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
5,496 −1,196
−0,250
0,000
−1,196
−6,000
2,127 −1,745
−0,250
2,127 −1,059
−1,674
0,000 −1,745
−1,674
−10,437
⎤
⎥
⎥
⎦
. (47)
⎡
= ⎢
⎢
⎣
0,809 0,000
0,000 1,000
0,501 0,000
0,309 0,000
−0,588
0,000
0,688
0,425
0,000
0,000
−0,526
0,851
⎤ ⎡
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0,989 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 1,000
0,148 0,000 0,000
−0,148
0,000
0,000
0,989
6. Warunek zakończenia obliczeń (w normie maksimum):
sp
sn
{} 3
{ 3}
=
max
i,
j=
1,2,3,4
i≠
j
{} 3
{} 3
=
max
i=
1,2,3,4
a
a
ii
ij
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
= 2,127302
= 10,437343
0,800
0,000
0,417
0,432
0,000
1,000
0,000
0,000
−0,588
0,000
0,688
0,425
−0,119
0,000
−0,594
0,796
⎤
⎥
⎥
⎦
. (48)
, (49)
sp
sn
{} 3
2,127302
{}
= = 0, 203816 > ε
3
10,437343
czyli dalej konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
, (50)
8

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Ostatecznie po wykonaniu 11 iteracji otrzymujemy:
⎡5,661
0,000 0,000 0,000⎤
{ 11}
0,000 −6,626
0,000 −0,001
D ≅ A = ⎢
⎥ , (51)
0,000 0,000 0,103 0,000
⎢
⎥
⎣0,000
−0,001
0,000 −11,137⎦
i warunek zakończenia obliczeń:
⎡ 0,836 0,327 −0,414
−0,154⎤
{ 11}
−0,119
0,883 0,350 0,288
W ≅ W = ⎢
⎥ , (52)
0,346 −0,109
0,794 −0,489
⎢
⎥
⎣ 0,410 −0,318
0,276 0,809⎦
sp
sn
{ 11} { 11}
=
max
i,
j=
1,2,3,4
i≠
j
{ 11} { 11}
=
max
i=
1,2,3,4
a
a
ii
ij
= 0,000265
= 11,137200
{ 11}
0,000265
{ }
= = 0, 000067 < ε
11
, (53)
sp
, (54)
sn 11,137200
podczas gdy wartości ścisłe macierzy D i W są równe odpowiednio:
⎡5,661
0,000 0,000 0,000⎤
{ ść}
0,000 −6,626
0,000 0,000
D = A = ⎢
⎥ , (55)
0,000 0,000 0,103 0,000
⎢
⎥
⎣0,000
0,000 0,000 −11,137⎦
⎡−0,836
0,327 0,414 0,154⎤
{ ść}
0,119 0,883 −0,350
−0,288
W = W = ⎢
⎥ . (56)
−0,346
−0,109
−0,794
0,489
⎢
⎥
⎣−0,410
−0,318
−0,276
−0,809⎦
Jak widać przyjęcie warunku zakończenia obliczeń w normie maksimum z dopuszczalnym poziomem
błędu ε = 0, 0001 pozwoliło na wyznaczenie wszystkich wartości i wektorów własnych macierzy
A z dokładnością co najmniej trzech cyfr znaczących.
0.3
0.2
0.1
z k
k
0 2 4 6 8 10 12
0.1
0.2
0.3
Rys. 1. Błąd metody Jacobiego w normie maksimum (k – liczba iteracji).
9

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Metoda potęgowa
Metoda potęgowa w wersji podstawowej służy do wyznaczenia maksymalnej co do modułu wartości
własnej i odpowiadającego jej wektora własnego. Jeżeli jednak wykorzystamy fakty, że wartości
własne macierzy odwrotnej są odwrotnościami wartości własnych macierzy danej oraz że modyfikacja
macierzy polegająca na dodaniu do elementów jej przekątnej głównej pewnej liczby d powoduje
przesunięcie wszystkich wartości własnych tej macierzy o tę samą liczbę d (przesunięcie
widma), możemy przy pomocy metody potęgowej wyznaczyć wartość własną najbliższą dowolnej
liczbie.
Metoda potęgowa polega na wykonaniu ciągu mnożeń przyjętego wektora startowego przez macierz,
której dominującej wartości własnej i odpowiadającego wektora własnego poszukujemy. Procedura
taka jest równoznaczna pomnożeniu wektora startowego przez macierz wyjściową podniesioną
do potęgi równej liczbie iteracji. Wektor będący iloczynem zmierza wtedy do wektora odpowiadającego
największej wartości własnej, samą wartość własną możemy natomiast obliczyć z wyrażenia
zwanego ilorazem Rayleigha (4). Uzasadnienie poprawności metody jest następujące. Rozważmy
dowolny wektor X oraz ciąg operacji mnożenia tego wektora przez macierz A [ n × n]
{} 0
:
X
X
{ 1} { 0}
{} 2
{} 1 2 {} 0
{ k+
1} {} k
{} 0 k+
1 {} 0
= A⋅
X
X
= A⋅
X
= A⋅
X
M
= A ⋅ X
= A⋅
A⋅... ⋅ A⋅
X = A ⋅ X
. (57)
Ponieważ każdy wektor w przestrzeni n wymiarowej można przedstawić jako kombinację liniową
wektorów własnych naszej macierzy, to w szczególności:
X
{} 0
=
n
∑
j=
1
α j
⋅V j
, (58)
gdzie V oznacza
j
j − ty wektor własny a α
j
mnożnik. Przyjmijmy ponadto, dla prostoty zapisu, że
wartości własne są uporządkowane w kolejności od największej do najmniejszej co do modułu
(wskaźnik j ). Podstawiając (58) do (57) 3 otrzymujemy:
X
{ k+
1}
= A
Ponieważ, na mocy definicji problemu własnego, zachodzi związek:
k+
1
to ostatni człon wyrażenia (59) jest równy:
A
⋅
n
n
k+
1
α
j
⋅V
= ∑α
j
⋅ A ⋅V
. (59)
j
j
j=
1
j=
1
∑
⋅V
k+ 1
k+
1
j j
= λ ⋅V
, (60)
j
n
n
k+
1
k+
1
∑α j
⋅ A ⋅V
= ∑α
j
⋅λ
j
⋅V
, (61)
j
j
j=
1
j=
1
co, po wyciągnięciu przed znak sumy dominującej wartości własnej ostatecznie prowadzi do następującej
zależności, wiążącej wektor X z wartościami i wektorami własnymi macierzy A :
{ k+1}
k+
1
⎡ n
⎤
{ k+
1}
k+
1
⎛ λ
j ⎞
X = λ
1
⋅ ⎢∑α
j
⋅
⎜
⎟ ⋅V
⎥ . (62)
j
⎢ j=
1
⎣ ⎝ λ1
⎠ ⎥⎦
10

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Zgodnie z wcześniejszym założeniem λ
1
jest dominującą wartością własną, czyli zachodzi zależność:
λ
j
< 1 dla j ≠ 1 , (63)
λ
a więc gdy
k+ 1
⎛ λ
j ⎞
k → ∞ to ⎜
⎟ → 0
⎝ λ1
⎠
1
. Jak z tego widać
lim X
k→∞
{} k
11
{ k+
1}
skł
{} k
X
= V1
, λ1
= . (64)
X
We wzorze (64) symbol skł oznacza dowolnie wybraną składową wektora.
Ze względu na stabilność numeryczną procedury, po każdym kroku potęgowym (57) nowo uzyskany
wektor X normalizujemy, czyli zastępujemy wektorem W o tym samym kierunku i
{ k +1}
{ i+1}
{ i+ 1} T { i+ 1}
zwrocie, ale długości równej 1, czyli W ⋅W
= 1 (gdyby tej operacji nie wykonać to długość
wektora po kolejnych krokach albo rosła by do nieskończoności, jeżeli długość wektora startowego
była większa od jedności, albo malała do zera w przeciwnym przypadku) a wartości własnej nie obliczamy
wprost ze wzoru (64) ale z ilorazu Rayleigha:
{ k} T { k}
⋅ A⋅
X
{} k T {} k
skł
{} k X
{} k T { k+
1}
λ
1
=
= W ⋅ X . (65)
X ⋅ X
Oczywiście po każdej iteracji należy sprawdzić warunki zakończenia obliczeń w postaci błędu
zbieżności wartości własnej i wektora własnego:
w
w
v
λ
=
=
W
{ k + 1} { k}
λ
{ k+
1}
λ
− λ
{ k + 1} { k}
−W
< ε
λ
< ε
v
. (66)
Ponieważ tempo zbieżności wartości własnej jest znacznie wyższe niż tempo zbieżności wektora
własnego, dobór wartości ε
λ
i ε v
powinien być wykonywany rozważnie, zwłaszcza dla dużych
macierzy. W szczególności należy się zastanowić, czy w dalszej analizie są nam potrzebne zarówno
wartość jak i odpowiadający jej wektor własny, a jeżeli tak, to czy muszą być wyznaczone tak samo
precyzyjnie.
Przy sprawdzaniu warunku (66) 2 należy mieć na uwadze fakt, że jeżeli dominująca wartość własna
jest ujemna, to wektory będące kolejnymi przybliżeniami odpowiadającego jej wektora własnego co
iteracja będą zmieniały zwrot na przeciwny.
Ostateczny algorytm metody wygląda następująco:
{} 0
Wyznaczyć wektor startowy X mając na względzie fakt, że jego dobór może mieć znaczący
wpływ na liczbę wykonanych iteracji. Oczywiście, jak łatwo się domyślić, im wektor startowy
jest bliższy poszukiwanemu wektorowi własnemu, tym mniej iteracji trzeba będzie wykonać;
1. Znormalizować wyznaczony wektor W
2. Wykonać krok potęgowy
X
{} k
{ k +1} { k}
= A⋅W
{ } { } { }
k+1 k T k+1
3. Obliczyć iloraz Rayleigha λ = W ⋅ X ;
{ k}
X
= ;
{} k T {} k
X ⋅ X
;

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
4. Sprawdzić warunek (66).
W zależności od wyniku sprawdzenia albo należy wrócić do 1., albo zakończyć pracę.
Dla lepszej ilustracji sposobu postępowania przedstawimy go na przykładzie obliczania dominującej
wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego macierzy A [ 4×4]
z poprzedniego przykładu
(29) dokładnością ε λ
{ 0}
= ε v
= 0, 0001 . W tym celu przyjmijmy wektor początkowy X [ 4]
:
1. Normalizacja:
2. Krok potęgowy:
3. Iloraz Rayleigha:
W
{} 0
=
X
1
⎡ 1 ⎤
{} 0
⎢−
1
X = ⎥ . (67)
−1
⎢ ⎥
⎣−1
⎦
Iteracja pierwsza:
{} 0 T {} 0
⋅ X
⎡
⋅ X
{} 0
=
1
⎡
⋅ ⎢
4 ⎢
⎣
⎤
⎡
1
−1
−1
−1
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
0,500
−0,500
−0,500
−0,500
⎤
⎥
⎥
⎦
. (68)
3 −2
1 4 0,500 ⎡ 0,000⎤
⎢ ⎥
{} 1
{ 0}
⎢−2
−6
2 −1
⎥ ⎢−0,500⎥
⎢ 1,500⎥
X = A⋅W
=
⋅ = ⎢ ⎥ . (69)
1 2 −2
5 −0,500
⎢−2,000
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥
4 −1
5 −7
−0,500
⎢ ⎥
⎣ 3,500⎦
{} 0 {} 0 T {} 1
λ
= W
⋅ X
⎣
⎦
⎡ 0,000⎤
1,500
= [ 0,500 −0,500
−0,500
−0,500] ⋅ ⎢ ⎥ = −1,
500000
−2,000
⎢ ⎥
⎣ 3,500⎦
⎣
⎦
. (70)
4. Warunki zakończenia obliczeń mogą być sprawdzone dopiero po drugiej iteracji, w takim razie
powracamy do punktu 1. i kontynuujemy obliczenia.
Iteracja druga:
1. Normalizacja:
2. Krok potęgowy:
3. Iloraz Rayleigha:
⎡ 0,
000 ⎤ ⎡ 0,
000 ⎤
{} 1 1
{} 1 1
⎢
1,
500
=
⋅ = ⋅ ⎥ = ⎢
0,
349
W X
⎥ . (71)
{} 1 T {} 1
−2,
000 −0,
465
X ⋅ X 18,
5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 3,
500 ⎦ ⎣ 0,
814 ⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
3 −2
1 4 0,000 ⎡ 2,092⎤
⎢ ⎥
{} 2
{} 1
⎢−2
−6
2 −1
⎥ ⎢
0,349⎥
⎢−3,836⎥
X = A⋅W
=
⋅ = ⎢ ⎥ . (72)
1 2 −2
5 −0,465
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5,696⎥
4 −1
5 −7
0,814 ⎢ ⎥
⎣−8,370⎦
{} 1 {} 1 T { 2}
λ
= W
⋅ X
⎣
⎦
⎡ 2,092⎤
−3,836
= [ 0,000 0,349 −0,465
0,814] ⋅ ⎢ ⎥ = −10,
797297
5,696
⎢ ⎥
⎣−8,370⎦
⎣
⎦
. (73)
12

4. Warunki zakończenia obliczeń:
w
w
λ
v
=
=
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
{} 1 { 0}
λ
W
− λ
{} 0
λ
−10,797297
+ 1,500000
=
−10,797297
⎡
⎤
= 0,861076 > ε
{} 1 { 0} 0,349
−0,500
−W
= ⎢ ⎥ − ( −1) ⋅ ⎢ ⎥ = 1,141277 > εv
⎢
⎣
0,000
−0,465
0,814
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0,500
−0,500
−0,500
czyli konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
Iteracja trzecia:
1. Normalizacja:
2. Krok potęgowy:
3. Iloraz Rayleigha:
W
{} 2
=
X
1
{} 2 T {} 2
⋅ X
⋅ X
⎡
{} 2
=
⎤
⎥
⎦
1
⎡
⋅ ⎢
11,026944 ⎢
⎣
⎤
⎡
2,092
−3,836
5,696
−8,370
⎤
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0,190
−0,348
0,517
−0,759
λ
⎤
⎥
⎥
⎦
, (74)
. (75)
3 −2
1 4 0,190 ⎡ −1,255⎤
⎢ ⎥
{} 3
{} 2
⎢−2
−6
2 −1
⎥ ⎢−0,348⎥
⎢ 3,500⎥
X = A⋅W
=
⋅ = ⎢ ⎥ . (76)
1 2 −2
5 0,517 ⎢−5,334
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥
4 −1
5 −7
−0,759
⎢ ⎥
⎣ 9,003⎦
{} 2 {} 2 T {} 3
λ
= W
⋅ X
4. Warunki zakończenia obliczeń:
w
w
λ
v
=
=
{} 2 {} 1
λ
W
− λ
{} 2
λ
⎣
⎦
⎡ −1,255⎤
3,500
= [ 0,190 −0,348
0,517 −0,759] ⋅ ⎢ ⎥ = −11,
044677
−5,334
⎢ ⎥
⎣ 9,003⎦
−11,044677
+ 10,797297
=
−11,044677
⎡
⎤
{} 2 {} 1 −0,348
0,349
−W
= ⎢ ⎥ − ( −1) ⋅ ⎢ ⎥ = 0,204110 > εv
⎢
⎣
0,190
0,517
−0,759
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
⎣
0,000
−0,465
0,814
⎤
⎥
⎦
⎦
= 0,022398 > ε
czyli dalej konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
W toku dalszych obliczeń można się przekonać, że po ośmiu iteracjach:
w
w
λ
v
=
=
{} 8 {} 7
λ
W
− λ
{} 8
λ
−11,137020
+ 11,136601
=
= 0,000038 < ελ
−11,137020
⎡
⎤
{} 8 {} 7 −0,291
0,292
−W
= ⎢ ⎥ − ( −1) ⋅ ⎢ ⎥ = 0,003910 > εv
⎢
⎣
0,154
0,490
−0,808
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
−0,150
−0,489
0,808
⎤
⎥
⎦
λ
. (77)
, (78)
, (79)
czyli został spełniony warunek (66) 1 (błąd zbieżności ze względu na wartość własną), a po 15 iteracjach:
13

w
λ
w
v
=
=
{ 15} { 14}
λ
W
− λ
{ 15}
λ
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
−11,137200
+ 11,137200
=
−11,137200
⎡
⎤
= 0,00000001<
ε
{ 15} { 14} 0,288
−0,288
−W
= ⎢ ⎥ − ( −1) ⋅ ⎢ ⎥ = 0,000057 < εv
⎢
⎣
−0,154
−0,489
0,809
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0,154
0,489
−0,809
⎤
⎥
⎦
λ
. (80)
czyli został spełniony warunek (66) 2 (błąd zbieżności ze względu na wektor własny). Jak widać,
uzyskanie takiej samej dokładności w przypadku wektora własnego, jak w przypadku wartości własnej
wymaga wykonania około dwukrotnie większej liczby iteracji.
Efektywność (tempo zbieżności) metody potęgowej zależy od wartości ilorazu λ
2
λ1
, gdyż
⎡
k
= λ1
⋅ ⎢
⎢⎣
gdzie c ( λ − ) ⋅α
,
j
j
n
⎛ j ⎞
( λ −1) ⋅α
⋅V
+ ⎜ ⎟ ⋅( λ −1)
1
1
j
1
1
∑
⎡
k
≤ λ1
⋅ ⎢c
⎣
j=
2 1
1
X
k
λ
⎜ ⎟ j
⎝ λ ⎠
k ⎛
⋅V
+ µ ⋅
1
⎜
⎝
{ k+
1} { k}
n
∑
j=
2
− X =
k
⎤ ⎡
n
k
⎛ λ
j ⎞
⋅α
j
⋅V
⎥ = λ1
⋅ ⎢c1
⋅V
+
1
⎜
⎟
j ∑
⎥ ⎢
j=
2
⎦ ⎣ ⎝ λ1
⎠
⎞⎤
λ2
c
j
⋅V
⎟⎥
, µ = , µ ≤1
j
⎠⎦
λ1
⋅c
j
⋅V
j
⎤
⎥ ≤
⎥⎦
, (81)
= j = 1,2,...,
n są stałymi współczynnikami rozkładu. Ze wzoru (81) wynika, że
tempo, z jakim wektor X zmierza do wektora własnego V jest szacowane od góry przez wartość
1
tego ilorazu. Najgorsza sytuacja wystąpi wtedy, gdy iloraz jest równy jeden, czyli wartości te różnią
się jedynie znakiem. W kolejnych iteracjach wystąpią oscylacje pomiędzy dwoma przeciwnymi
wartościami λ bez szans na spełnienie warunku zakończenia obliczeń. Najlepsza sytuacja natomiast
(a zatem również największe przyspieszenie obliczeń) nastąpi wtedy, gdy iloraz ten będzie
miał największą możliwą dla danej macierzy wartość. Sytuacja taka pojawi się, gdy λ
2
= λn
. Można
do niej doprowadzić przez odpowiednie przesunięcie widma wartości własnych wyjściowej macierzy
o wartość
opt
( λ λ ) 2
λ = + . (82)
2 n
Należy w tym celu najpierw możliwie precyzyjnie oszacować wartości własne λ
2
i λ
n
(na przykład
korzystając z ciągów Sturma) a następnie przekształcić macierz A [ n×
n]
odejmując od wszystkich
elementów jej przekątnej głównej składnik λ
opt
'
A = A − λ
opt ⋅
I
, (83)
gdzie I [ n × n]
oznacza macierz jednostkową, i dalsze obliczenia prowadzić na tak uzyskanej macierzy
'
A ×
, dla której będzie zachodził warunek
[ n n]
λ = λ . Po zakończeniu iteracji należy oczywiście
' '
2 n
powrócić do wartości własnej macierzy wyjściowej, dodając do wyniku obliczeń metodą potęgową
λ . Wyznaczony w trakcie tych obliczeń wektor własny nie wymaga żadnych modyfikacji, gdyż
opt
przesunięcie widma nie ma wpływu na jego składowe.
14

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
10
0 2 4 6 8 10 12 14
0.1
0.01
λ n
w n
1.10 3
1.10 4
1.10 5
1.10 6
1.10 7
1.10 8
Rys. 2. Zbieżność metody potęgowej dla dominującej wartości własnej ( λ ) i odpowiadającego jej
wektora własnego ( w ) w kolejnych iteracjach ( n ), skala logarytmiczna.
nn ,
Metoda iteracji odwrotnej
Metoda iteracji odwrotnej może być uważana za wariant metody potęgowej służący do wyznaczenia
wartości własnej macierzy, najbliższej zeru. Podstawą merytoryczną tej metody jest cytowane
wyżej twierdzenie, że wartości własne macierzy odwrotnej są odwrotnościami wartości własnych
macierzy danej. Sposób postępowania jest podobny jak poprzednio, z jednym zastrzeżeniem dotyczącym
kroku potęgowego.
−1
W najprostszej postaci metody iteracji odwrotnej formalnie zastępujemy macierz A macierzą A a
dalej obliczenia prowadzimy jak w metodzie potęgowej. Jednak taki sposób postępowania jest mało
efektywny numerycznie, gdyż złożoność obliczeniowa procedury odwracania macierzy jest duża.
Jest jednak prosty sposób uniknięcia tej operacji. Wystarczy w tym celu w kroku potęgowym zamiast
operacji mnożenia macierzy przez wektor:
{ k + } 1 { k}
X
1 = A
− ⋅ X , (84)
rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych:
{ k+1} { k}
A ⋅ X = X . (85)
Aby rozwiązanie układu równań było efektywne należy zastosować jedną z metod opartych na dekompozycji
macierzy (rozkład L ⋅ L jeżeli macierz jest dodatnio określona, rozkład L ⋅ U w prze-
T
ciwnym przypadku), gdyż dekompozycji dokonujemy jednokrotnie, natomiast układ równań musimy
rozwiązać w trakcie każdej iteracji. Taka procedura postępowania jest efektywna, gdy macierz
A jest pełna lub prawie pełna. Jeżeli natomiast mamy do czynienia z macierzą A , która jest rzadka,
korzystniejsze może okazać się zastosowanie procedury iteracyjnej rozwiązania układu liniowych
równań algebraicznych. Ostatecznie, w przypadku metody iteracji odwrotnej algorytm postępowania
przedstawia się następująco:
Wyznaczyć wektor startowy
{} 0
X ;
15

1. Znormalizować wyznaczony wektor W
przez rozwiązanie układu liniowych równań algebra-
2. Wykonać krok potęgowy
icznych;
3. Obliczyć iloraz Rayleigha
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
{} k
{ k+1} { k}
A ⋅ X = W
{ k+1 } { k} T { k+1}
λ = W ⋅ X ;
{ k}
X
= ;
{} k T {} k
X ⋅ X
4. Sprawdzić warunek (66).
W zależności od wyniku sprawdzenia albo należy wrócić do 1., albo zakończyć pracę.
Jeżeli metodę iteracji odwrotnej zastosujemy do macierzy po przesunięciu widma wartości własnych
o liczbę d (83), uzyskamy zbieżność rozwiązania nie do najbliższej zeru wartości własnej
macierzy wyjściowej a do wartości własnej najbliższej tej zadanej liczbie. W ten sposób można,
stosując wariant metody potęgowej, wyznaczyć dowolną wartość własną macierzy.
Uogólniony problem własny
Uogólnionym problemem własnym nazywamy zadanie w postaci:
A⋅ V = λ ⋅ B ⋅V
. (86)
Jeżeli wyznacznik macierzy B jest różny od zera zadanie takie można formalnie sprowadzić do
−1
standardowego problemu własnego przez obustronne pomnożenie przez macierz B , co prowadzi
do:
−1
B ⋅ A⋅V
= λ ⋅V
. (87)
Takie postępowanie ma jednak zasadniczą wadę spowodowaną numeryczną złożonością procedury
(odwracanie macierzy), oraz możliwością utraty stabilności w trakcie obliczeń. Ponadto, jeżeli macierz
B jest pasmowa (częsty przypadek) to macierz odwrotna do niej najczęściej taka nie jest, co
w przypadku dużych zadań może być kłopotliwe.
Jeżeli macierz B jest symetryczna i dodatnio określona możliwy jest następujący sposób postępowania,
polegający na zastosowaniu rozkładu L ⋅ L
T
:
co po podstawieniu do (86) daje:
a po lewostronnym pomnożeniu przez
B
T
= L ⋅ L , (88)
A⋅ X = λ ⋅ L ⋅ L
T ⋅ X , (89)
−1
L :
−1
−
L ⋅ A⋅
X = λ ⋅ L
Jeżeli dokonamy teraz podstawienia:
T
T
⋅ L ⋅ L ⋅ X = λ ⋅ L ⋅ X . (90)
1
T
−T
L ⋅ X = Y , czyli X = L ⋅Y
, (91)
to problem (86) sprowadzimy do standardowego problemu własnego (1), z wartościami własnymi
zachowanymi z zadania (86), ale zmienionymi wektorami własnymi:
− −T
1L
4243
⋅ A⋅
L ⋅Y
= λ ⋅Y
, (92)
C
który możemy rozwiązać na przykład jedną z przedstawionych powyżej metod. Znając wektory
własne problemu (92) możemy w każdej chwili wrócić do wektorów własnych zadania wyjściowego
(86), korzystając z zależności (91). Jeżeli natomiast w trakcie rozwiązywania zadania (86) meto-
16

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
dą potęgową przy uwzględnieniu zależności (88) chcemy uniknąć konieczności odwracania macierzy
L i L możemy zastosować procedurę postępowania przedstawioną
T
poniżej:
Dokonać rozkładu
1. Znormalizować wyznaczony wektor W
2. Obliczyć wektor
T
L ⋅ L macierzy B i przyjąć wektor startowy
{} k
{ k}
Y
= ;
{} k T {} k
Y ⋅Y
{ 0}
Y ;
{} k
X rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych
{ k+1}
3. Obliczyć wektor Y rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych
co jest równoznaczne wykonaniu kroku potęgowego;
{ } { } { }
k+1 k T k+1
4. Obliczyć iloraz Rayleigha λ = W ⋅Y
;
{} k { k}
⋅ W ;
T
L X =
L ⋅Y
{ k+1} { k}
= A⋅
X
5. Sprawdzić warunek (66).
Dokładnie tak samo jak we wcześniej rozważanych przykładach, jeżeli warunek (66) został spełniony,
kończymy obliczenia, w przeciwnym razie wracamy do 1.
W tym miejscu warto zwrócić uwagę na fakt, że w trakcie obliczeń (punkt 2.) w każdej iteracji jest
znajdowany wektor własny oryginalnego problemu własnego (86), tak więc nie należy go obliczać
ponownie na zakończenie pracy.
Przedstawiony powyżej sposób postępowania zastosujemy do wyznaczenia dominującej wartości
własnej uogólnionego problemu własnego opisanego symetrycznymi macierzami A [ 4×4]
i B [ 4×4]
, z
dokładnością ε λ
ε = 0, 0001 :
= v
⎡ 2 1 −3
2 ⎤ ⎡4
2 2 8 ⎤
⎢
1 −3
−6
−2
=
⎥ = ⎢2
10 −5
10
A , B
⎥ . (93)
−3
−6
4 1
2 −5
9 −2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 2 −2
1 3 ⎦ ⎣8
10 −2
46 ⎦
{ 0}
Operacje wstępne – rozkład macierzy B i wektor startowy Y :
⎡4
2 2 8 ⎤ ⎡2
0 0 0 ⎤ ⎡2
1 1 4 ⎤ ⎡−1
⎤
⎢2
10 −5
10
= ⎥
T
= ⋅ = ⎢1
−3
0 0
⎥ ⋅ ⎢0
−3
2 −2
⎥ {} 0
B L L
, ⎢
1
Y = ⎥
2 −5
9 −2
1 2 −2
0 0 0 −2
1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −
. (94)
1
⎥
⎣8
10 −2
46 ⎦ ⎣4
−2
1 −5
⎦ ⎣0
0 0 −5
⎦ ⎣ 1 ⎦
1. Normalizacja:
2. Układ równań:
W
{} 0
=
Y
1
Iteracja pierwsza:
{} 0 T {} 0
⋅Y
⋅Y
{} 0
=
1
⎡
⋅ ⎢
4 ⎢
⎣
−1
1
−1
1
⎤ ⎡
⎥ = ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
−0,500
0,500
−0,500
0,500
⎤
⎥
⎥
⎦
. (95)
⎡2
1 1 4 ⎤ ⎡−0,500⎤
⎡−0,167⎤
{} 0 {} 0
⎢0
−3
2 −2
⎥ {} 0 ⎢ 0,500⎥
{} 0
⋅ = ⇔
⋅ = ⇒ = ⎢ 0,033
L T X W
X
X ⎥ . (96)
0 0 −2
1
⎢ ⎥ ⎢−0,500⎥
⎢
0,200⎥
⎣0
0 0 −5
⎦ ⎣
0,500⎦
⎣−0,100⎦
,
17

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
3. Układ równań:
⎡2
0 0 0 ⎤ ⎡ 2 1 −3
2 ⎤ ⎡−0,167⎤
⎡−0,550⎤
{} 1
{ 0} ⎢1
−3
0 0
⎥ {} 1
⎢
1 −3
−6
−2
⎥ ⎢
0,033⎥
{} 1
⋅ = ⋅ ⇔
⋅ =
⋅ ⇒ = ⎢
0,239
L Y A X
Y
Y ⎥ .
1 2 −2
0
−3
−6
4 1 0,200
−0,536
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣4
−2
1 −5
⎦ ⎣ 2 −2
1 3 ⎦ ⎣−0,100⎦
⎣−0,543⎦
(97)
4. Iloraz Rayleigha:
⎡−0,550⎤
{} 0 {} 0 {} 1
0,239
λ = W
T ⋅Y
= [ −0,500
0,500 −0,500
0,500] ⋅ ⎢ ⎥ = 0, 391111 .
−0,536
⎢ ⎥
⎣−0,543⎦
(98)
5. Warunki zakończenia obliczeń mogą być sprawdzone dopiero po drugiej iteracji, w takim razie
powracamy do punktu 1. i kontynuujemy obliczenia.
Iteracja druga:
1. Normalizacja:
⎡−0,550⎤
⎡−0,567⎤
{} 1 1
{} 1 1
⎢
0,239⎥
= ⎢
0,246
W = ⋅Y
= ⋅
⎥
{} 1 T {} 1
−0,536
−0,552
Y ⋅Y
0,941591 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−0,543⎦
⎣−0,559⎦
. (99)
2. Układ równań:
⎡2
1 1 4 ⎤ ⎡−0,567⎤
⎡−0,706⎤
{} 1 {} 1
⎢0
−3
2 −2
⎥ {} 1 ⎢ 0,246⎥
{} 1
⋅ = ⇔
⋅ = ⇒ = ⎢ 0,065
L T X W
X
X ⎥
0 0 −2
1
⎢ ⎥ ⎢−0,552⎥
⎢
0,332⎥
⎣0
0 0 −5
⎦ ⎣−0,559⎦
⎣
0,112⎦
. (100)
3. Układ równań:
⎡2
0 0 0 ⎤ ⎡ 2 1 −3
2 ⎤ ⎡−0,706⎤
⎡−1,060⎤
{} 2
{} 1
⎢1
−3
0 0
⎥ {} 2
⎢
1 −3
−6
−2
⎥ ⎢
0,065⎥
{} 2
⋅ = ⋅ ⇔
⋅ =
⋅ ⇒ = ⎢
0,686
L Y A X
Y
Y ⎥ .
1 2 −2
0
−3
−6
4 1 0,332
−1,428
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣4
−2
1 −5
⎦ ⎣ 2 −2
1 3 ⎦ ⎣ 0,112⎦
⎣−1,233⎦
(101)
4. Iloraz Rayleigha:
⎡−1,060⎤
{} 1 {} 1 { 2}
0,686
λ = W
T ⋅Y
= [ −0,567
0,246 −0,552
−0,559] ⋅ ⎢ ⎥ = 2, 248323 .
−1,428
⎢ ⎥
⎣−1,233⎦
(102)
5. Warunki zakończenia obliczeń:
{} 1 { 0}
λ − λ 2,248323−
0,391111
wλ
= =
= 0,826043 > ε
{} 0
λ
λ
2,248323
⎡−0,567
⎤ ⎡−0,500
⎤
{} 1 { 0}
0,246 0,500
wv
= W −W
= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = 1,092649 > ε
−0,552
−0,500
v
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−0,559
⎦ ⎣ 0,500 ⎦
czyli konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
, (103)
18

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Iteracja trzecia:
1. Normalizacja:
⎡−1,060⎤
⎡−0,467⎤
{} 2 1
{} 2 1
⎢
0,686⎥
= ⎢
0,302
W =
⋅Y
= ⋅
⎥
{} 2 T {} 2
−1,428
−0,629
Y ⋅Y
5,153832 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−1,233⎦
⎣−0,543⎦
. (104)
2. Układ równań:
⎡2
1 1 4 ⎤ ⎡−0,467⎤
⎡−0,671⎤
{} 2 {} 2
⎢0
−3
2 −2
⎥ {} 2 ⎢ 0,302⎥
{} 2
⋅ = ⇔
⋅ = ⇒ = ⎢ 0,073
L T X W
X
X ⎥
0 0 −2
1
⎢ ⎥ ⎢−0,629⎥
⎢
0,369⎥
⎣0
0 0 −5
⎦ ⎣−0,543⎦
⎣
0,109⎦
. (105)
3. Układ równań:
⎡2
0 0 0 ⎤ ⎡ 2 1 −3
2 ⎤ ⎡−0,671⎤
⎡−1,080⎤
{} 3
{} 2
⎢1
−3
0 0
⎥ {} 3
⎢
1 −3
−6
−2
⎥ ⎢
0,073⎥
{} 3
⋅ = ⋅ ⇔
⋅ =
⋅ ⇒ = ⎢
0,747
L Y A X
Y
Y ⎥ .
1 2 −2
0
−3
−6
4 1 0,369
−1,374
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣4
−2
1 −5
⎦ ⎣ 2 −2
1 3 ⎦ ⎣ 0,109⎦
⎣−1,279⎦
(106)
4. Iloraz Rayleigha:
⎡−1,080⎤
{} 2 {} 2 {} 3
0,747
λ = W
T ⋅Y
= [ −0,467
0,302 −0,629
0,543] ⋅ ⎢ ⎥ = 2, 288566 .
−1,374
⎢ ⎥
⎣−1,279⎦
(107)
5. Warunki zakończenia obliczeń:
{} 2 {} 1
λ − λ 2,288566 − 2,248323
wλ
= =
= 0,017584 > ε
{} 1
λ
λ
2,288566
⎡−0,467
⎤ ⎡−0,567
⎤
{} 2 {} 1 0,302 0,246
wv
= W −W
= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = 0,138843 > ε
−0,629
−0,551
v
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−0,543
⎦ ⎣−0,559
⎦
czyli konieczne jest wykonanie następnej iteracji.
W toku dalszych obliczeń można się przekonać, że po siedmiu iteracjach:
{} 7 {} 6
λ − λ 2,290751−
2,290603
wλ
= =
= 0,000065 < ε
{} 7
λ
λ
2,290751
⎡−0,467
⎤ ⎡−0,464
⎤
{} 7 {} 6 0,319 0,313
wv
= W −W
= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = 0,011241 > ε
−0,609
−0,617
v
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−0,556
⎦ ⎣−0,554
⎦
, (108)
, (109)
czyli został spełniony warunek (66) 1 (błąd zbieżności ze względu na wartość własną), a po 22 iteracjach:
w
λ
=
w
v
{ 22} { 21}
λ
=
{ 22}
λ
− λ
W
2,290918 − 2,290918
=
= 0,000000004 < ελ
2,290918
⎡−0,
466 ⎤ ⎡−0,
466 ⎤
0,
317 0,
317
−W
= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = 0,000097 < ε
−0,
612 0,
612
v
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣−0,
555 ⎦ ⎣−0,
555 ⎦
{ 22} { 21}
. (110)
19

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
czyli został spełniony warunek (66) 2 (błąd zbieżności ze względu na wektor własny). Jak widać,
uzyskanie takiej samej dokładności w przypadku wektora własnego, jak w przypadku wartości własnej
w tym przypadku wymaga wykonania około trzykrotnie większej liczby iteracji.
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0.1
0.01
1.10 3
λ n
w n
1.10 4
1.10 5
1.10 6
1.10 7
1.10 8
1.10 9
Rys. 3 Zbieżność metody potęgowej dla dominującej wartości własnej ( λ ) i odpowiadającego jej
wektora własnego ( w ) w kolejnych iteracjach ( n ) uogólnionego problemu własnego, skala
logarytmiczna.
nn ,
20