Kwadratury numeryczne - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Tablica 3. Porównanie efektywności metod całkowania
n
Newton
Gauss
h ile całka błąd h ile całka błąd
1 0,00011 26850 2,545100 0,003% 0,05000 60 2,545255 0,003%
2 0,03488 87 2,545101 0,003% 0,60000 10 2,545230 0,002%
3 0,30000 11 2,545098 0,003% 1,50000 6 2,545224 0,002%
4 0,20000 13 2,545142 0,003% 3,00000 4 2,545254 0,003%
W kolejnych kolumnach tablicy, dla obydwu metod całkowania, przedstawiono długość pojedynczego
przedziału całkowania (h), całkowitą liczbę punktów, w których należało obliczyć wartość
funkcji podcałkowej (ile), obliczoną wartość całki (całka) oraz błąd względny procentowy uzyskanego
wyniku w stosunku do wartości ścisłej (błąd).
Ponieważ zasadniczym czynnikiem wpływającym na czas całkowania jest liczba obliczeń wartości
funkcji podcałkowej, zgodnie z oczekiwaniem okazało się, że najbardziej efektywna z rozważanych
powyżej jest czteropunktowa kwadratura Gaussa.
Problemem z którym spotykamy się dość często przy numerycznym całkowaniu jest problem granic
niewłaściwych (czyli w − ∞ lub + ∞ ). Możemy sobie z nim poradzić na dwa sposoby:
• przez odpowiednią zmianę zmiennych (typu x =
1
t ):
b
∫
a
1
a
1 ⎛1⎞
f ( x)
⋅dx
= ∫ ⋅ f ⎜ ⎟⋅dt
; (20)
2
1 t ⎝ t ⎠
b
• zastosowanie kwadratur specjalnych:
∞
∫
0
∞
∫
x
0
∞
∫
α
−∞
(1 − x)
e
α
⋅e
−x
−x
2
⋅ f ( x)
⋅dx
=
⋅(1
+ x)
⋅ f ( x)
⋅dx
=
β
∑
n
∑
j=
1
n
j=
1
⋅ f ( x)
⋅dx
=
w ⋅ f ( x )
j
j
w ⋅ f ( x )
n
∑
j=
1
j
j
j
w ⋅ f ( x )
j
, (21)
kwadratury te noszą odpowiednio nazwy Gaussa–Laguerre’a, Gaussa–Hermita i Gaussa–
Jacobiego.
Stosując kwadratury te należy pamiętać o tym, że ich współczynniki (położenia węzłów i wagi) są
określone i mogą być używane jedynie wówczas gdy przedział całkowania i funkcja podcałkowa
mają postać dokładnie taką jak we wzorach (21).
W przypadku osobliwości całkowalnej (np. typu (22) ) powinniśmy najpierw przez odpowiednią
zmianę zmiennych pozbyć się osobliwości i dopiero wtedy zastosować którąś z standardowych
kwadratur.
1
( x − a)
Stosowne wzory przedstawiono poniżej:
γ
,
0 ≤ γ < 1
. (22)
b
∫
a
x − a = t
1−γ
( b−a)
1
f ( x)
⋅dx
= ⋅
−
∫ t
1 γ
0
1−
1
γ
1−
1
γ
⋅ f ( t
1−
1
γ
+ a)
⋅dt
. (23)
6