Kwadratury numeryczne - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Możliwości podnoszenia dokładności kwadratury wiążą się oczywiście z:
• zwiększaniem liczby węzłów w przedziale całkowania (podnoszenie stopnia wielomianu interpolującego);
istotnym ograniczeniem jest tu występowanie efektu Rungego (patrz Interpolacja),
powodujące, że do praktycznego stosowania nadają się wyłącznie kwadratury
względnie niskiego (nie wyżej niż czwarty do siódmego) stopnia;
• wykorzystaniem addytywności całki, podzieleniem przedziału całkowania na wiele części i
stosowanie w każdej z nich kwadratury niskiego rzędu (tak zwane kwadratury złożone).
Dla praktycznego prześledzenia sposobu postępowania przy numerycznym obliczaniu całek wyznaczymy
wartość wyrażenia:
4
∫
1
ln
4
( ) ⋅ dx = ( x ⋅ln(
x)
− x) = 2. 545177
x , (11)
korzystając z różnych kwadratur. I tak kolejno korzystając ze wzorów (3)-(6) otrzymujemy odpowiednio
dla kwadratur typu Newtona:
4
∫
1
4−1
⎪ ( ln(1,0) + ln(4,0) ) ⋅
2
⎨
4−1
⎪ ( ln(1,0) + 4⋅ln(2,5)
+ ln(4,0) ) ⋅
6
⎪( ln(1,0) + 3⋅ln(2,0)
+ 3⋅ln(3,0)
+ ln(4,0) )
⎩
1
3
⎧
ln(1,0) ⋅
1
= 0,000000
⎪
= 2,079442
ln( x ) ⋅ dx =
, (12)
= 2,525729
4
⋅
4−1
8
= 2,535590
a dla kwadratur typu Gaussa po dokonaniu transformacji (8) 1 na położeniach węzłów danych w Ta-
1 ,4 :
blicy 1 w celu sprowadzenia ich do przedziału [ ]
otrzymujemy ostatecznie:
4
∫
1
⎧
x
x
x
x
(1)
(2)
(3)
(4)
:
{
x
(1)
1
⎧x
: ⎨
⎩x
⎧ x
⎪
: ⎨x
⎪
⎩x
⎧x1
⎪
x2
: ⎨
⎪x3
⎪
⎩x4
(4)
(4)
(4)
(4)
=
(2)
1
(2)
2
(3)
1
(3)
2
(3)
3
1+
4
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
+ 0,000000⋅
1+
4
2
− 0,577350⋅
+ 0,577350⋅
− 0,774596⋅
+ 0,000000⋅
+ 0,774596⋅
− 0,861136⋅
− 0,339981⋅
+ 0,339981⋅
+ 0,861136⋅
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
= 2,500000
= 1,633974
= 3,366025
= 1,338105
= 2,500000
= 3,661895
= 1,208296
= 1,990028
= 3,009972
= 3,791704
⎪
(2) (2) (2) (2) 4−1
( ln( x1
) ⋅ w1
+ ln( x2
) ⋅ w2
) ⋅
2
⎨
(3) (3) (3) (3) (3) (3) 4−1
⎪ ( ln( x1
) ⋅ w1
+ ln( x2
) ⋅ w2
+ ln( x3
) ⋅ w3
) ⋅
2
(4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4)
⎪( ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w )
⎩
ln( x
) ⋅ w
, (13)
= 2,748872
= 2,557122
ln( x ) ⋅dx
=
.(14)
= 2,546084
1
1
2
2
(1)
1
(1)
1
3
⋅
4−1
2
3
4
4
⋅
4−1
2
= 2.545254
Zestawmy tak obliczone wartości całki w tablicy w celu porównania dokładności uzyskanych wyników.
W kolejnych kolumnach Tablicy 2 przedstawiono liczbę węzłów kwadratury n , wyniki całkowania
kwadraturą typu Newtona i Gaussa oraz błąd względny procentowy tych wyników obliczony
w stosunku do wartości analitycznej całki.