Kwadratury numeryczne - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
• interpolacja wielomianowa stopnia 1 ( n = 1), czyli funkcją liniową:
b
n = 1 → F
() 1
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L ( x)
∫ F ∑ j ∫
a
1
j=
0
b
a
() 1
( x) ≅ F( x ) ⋅ L ( x)
j
1
∑
j=
0
⋅dx
=
j
j
( b − a)
2
⋅
[ F( x ) + F( x )]
• interpolacja wielomianowa stopnia 2 ( n = 2 ), czyli funkcją kwadratową:
b
( 2
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
2
j=
0
n = 2 → F
b
a
j
( 2
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
⋅dx
=
2
∑ j
j=
0
( b − a)
6
⋅
j
0
[ F( x ) + 4⋅
F( x ) + F( x )]
• interpolacja wielomianowa stopnia 3 ( n = 3), czyli funkcją trzeciego stopnia:
b
( 3
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
3
j=
0
b
a
n = 3 → F
j
⋅dx
=
3
( 3
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∑
j=
0
( b − a)
8
⋅
j
j
0
[ F( x ) + 3⋅
F( x ) + 3⋅
F( x ) + F( x )]
0
1
1
1
2
, (4)
2
, (5)
3
, (6)
Kwadratury te noszą kolejno nazwy wzorów prostokątów, trapezów, Simpsona i Newtona. Dokładność
kwadratury można podnieść zwiększając dokładność interpolacji (patrz rozdział poświęcony
interpolacji). W szczególności jest to możliwe przy rezygnacji z warunku równomiernego rozmieszczenia
węzłów interpolacji. I tak, jeżeli węzły interpolacji zostaną przyjęte w miejscach zerowych
wielomianów Legendre’a, będziemy mieli do czynienia z kwadraturami typu Gaussa – Legendre’a.
Ponieważ wielomiany Legendre’a podobnie jak wielomiany Czebyszewa (patrz rozdział
Interpolacja) mają wszystkie miejsca zerowe w przedziale [ − 1,1]
, to standardowo wzory te są podawane
dla takiego właśnie przedziału, i wówczas wyglądają następująco:
gdzie
1
∫
−1
F
n
( ξ ) ⋅ dξ = ∑w
j
⋅ F( ξ j
)
j=
0
, (7)
w
j
oznaczają wagi, a ξ
j
węzły kwadratury. Jeżeli całkowanie ma być dokonane w dowolnym
przedziale [ a, b]
konieczna jest zmiana zmiennych:
co prowadzi do:
b
∫
a
F
b − a
2
a + b b − a
x = + ξ ⋅
[ a,
b] [ −1,1]
2 2
2⋅
x − a − b
[ a , b]
ξ =
[ −1,1]
b − a
( x) ⋅dx
= ⋅ F x( ξ )
1
∫
n
b − a
( ) ⋅dξ
= ⋅∑w
j
⋅ F( x( ξ
j
))
2
−1 j=
0
, (8)
. (9)
Po przyjęciu położeń węzłów wartości wag wyznacza się w taki sposób, aby kwadratura dawała
ścisłe wyniki dla jednomianów możliwie najwyższego stopnia. Ponieważ operacja taka jest dość
żmudna i musi być wykonana z dużą dokładnością, praktyczniej jest korzystać z wartości tablico-
2