Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4â6 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4â6 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4â6 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Stæ <strong>503</strong><br />
<strong>Seinni</strong> <strong>hluti</strong> <strong>Kaflar</strong> 4–6<br />
Menntaskólinn við Hamrahlíð<br />
Vor 2013
Efnisyfirlit<br />
Efnisyfirlit 2<br />
4 Hagnýting heildunar 65<br />
4.1 Flatarmál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
4.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ás . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
4.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4.1.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
4.2 Rúmmál snúða . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
4.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
4.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
5 Runur og raðir 83<br />
5.1 Summutáknið, þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.1.1 Summutáknið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
5.1.2 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
5.1.3 Þrepun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
5.1.4 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
5.2 Runur og raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
Runur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
Raðir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
5.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
5.2.2 Mismuna- og kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
Mismunarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
Kvótarunur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
5.2.3 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
6 Diffurjöfnur 101<br />
6.1 Inngangur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
6.1.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
6.2.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
6.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
6.3.1 Æfing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
2
64 EFNISYFIRLIT<br />
Svör við æfingum<br />
Æfing 4.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 6.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 6.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
Æfing 6.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
i<br />
i<br />
v<br />
vi<br />
vi<br />
vi<br />
viii<br />
viii<br />
viii
Kafli 4<br />
Hagnýting heildunar<br />
4.1 Flatarmál<br />
4.1.1 Svæði ákvarðað af einum ferli ogx-ás<br />
Í kafla 2 var sýnt að ef ferill falls y = f(x) liggur ofan við x-ás þá má reikna<br />
flatarmál svæðisins sem ferillinn og x-ás afmarka á bili [a,b] með því að reikna<br />
ákveðna heildið af fallinuf(x) á bilinu[a,b].<br />
y=f(x)<br />
A<br />
A<br />
y=f(x)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
A= ∫ b<br />
a f(x)dx=[ F(x) ] b<br />
a =F(b)−F(a)<br />
Ef ferill fallsins y = f(x) liggur fyrir neðan x-ás þá er ferill fallsins y = −f(x)<br />
fyrir ofan ásinn. Flatarmál svæðisins semx-ás og ferillf(x) afmarka á bili[a,b]<br />
er jafnt flatarmáli svæðisins semx-ás og ferilly=−f(x) afmarka.<br />
a<br />
b<br />
a<br />
y=f(x)<br />
b<br />
y=f(x)<br />
A= ∫ b<br />
a −f(x)dx=−[ F(x) ] b<br />
a =−( F(b)−F(a) )<br />
65
66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Þegar ferill fallsinsy =f(x) liggur að hluta til ofan viðx-ás og að hluta til neðan<br />
við x-ás og finna á flatamál svæðisins á milli ferils ogx-áss þarf að finnax-hnit<br />
punktanna þar sem ferillin fer yfir ásinn.<br />
a<br />
• • •<br />
x 1 x 2 x 3<br />
b<br />
Á myndinni hér að ofan eru x-hnit skurðpunktanna þar sem ferillinn fer yfir<br />
x-ásinn kölluð x 1 , x 2 og x 3 . Heildarflatarmál svæðisins sem afmarkast af ferli<br />
fallsinsf(x) ogx-ás á bilinu[a,b] er:<br />
A=<br />
∫ x1<br />
a<br />
∫ x2<br />
∫ x3<br />
∫ b<br />
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx+ f(x)dx<br />
x 1 x 2 x 3<br />
=− [ F(x) ] x 1<br />
a +[ F(x) ] x 2<br />
x 1<br />
− [ F(x) ] x 3<br />
x 2<br />
+ [ F(x) ] b<br />
x 3<br />
Dæmi 4.1.1. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=2(1−x 2 ) og<br />
x-ás afmarka.<br />
Lausn: Þar sem ekkert bil [a,b] er tiltekið þá ráðast heildunarmörk af skurðpunktum<br />
ferils viðx-ás. Skurðpunktarnir eru fundnir með því að leysa jöfnuna<br />
svo<br />
f(x)=0<br />
eða 2(1−x 2 )=0<br />
2(1−x)(1+x)=0<br />
svo x=−1 eða x= 1.<br />
Þegar ferill fallsins er teiknaður sést að svæðið er ofan viðx-ás. Flatarmálið er því<br />
heildi fallsinsf(x) á bilinu[−1,1].<br />
−1<br />
• •<br />
1<br />
f(x)=2(1−x 2 )<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
f(x)dx= 2(1−x 2 )dx<br />
−1 −1<br />
[ )] 1<br />
= 2<br />
(x− x3<br />
3 −1<br />
= 2(1−1/3)−2(−1+1/3)<br />
= 4/3+4/3=8/3
4.1. FLATARMÁL 67<br />
Dæmi 4.1.2. Reiknum heildarflatarmál svæðisins sem ferill fallsins<br />
f(x)=(x+1)sin(πx) ogx-ás afmarka á bilinu[−1,2].<br />
-1<br />
• 0 • •<br />
1 2<br />
•<br />
f(x)=(x+1)sin(πx)<br />
Lausn: Svæðið sem ferill f(x) og x-ás afmarka á bilinu [−1,2] er að hluta til<br />
fyrir ofanx-ás og að hluta til fyrir neðanx-ás. Þess vegna er ekki hægt að reikna<br />
flatarmál svæðisins með einu heildi. Tveir hlutar svæðisins eru fyrir neðanx-ásinn<br />
og einn <strong>hluti</strong> fyrir ofan x-ásinn; alls 3 hlutar. Heildarflatarmálið er því summa<br />
þriggja heilda:<br />
A=<br />
∫ 0 ∫ 1 ∫ 2<br />
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx<br />
−1 0 1<br />
Stofnfall fallsinsf(x) finnst með hlutheildun:<br />
∫<br />
(x+1)sin(πx)dx=(x+1)·−1<br />
π ·cos(πx)− ∫<br />
1·−1<br />
π cos(πx)dx<br />
Heildarflatarmál svæðisins er því:<br />
=− (x+1)cos(πx)<br />
π<br />
[ sin(πx)−π(x+1)cos(πx)<br />
A=−<br />
= 1 π + 3 π + 5 π<br />
π 2<br />
+ 1 π · 1<br />
π ·sin(πx)<br />
= sin(πx)−π(x+1)cos(πx)<br />
π 2<br />
] 0<br />
−1<br />
[ ] 1 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)<br />
+<br />
π 2 0<br />
[ ] 2 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)<br />
−<br />
π 2 1<br />
= 9 π
•<br />
•<br />
•<br />
68 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Dæmi 4.1.3. Ferill fallsinsf(x)= √ x og línany =−2x+10 skerast í punktinum<br />
(4,2) eins og sýnt er á mynd.<br />
(a) Finnum skurðpunkt línunnar viðx-ás.<br />
(b) Finnum flatarmál skyggða svæðisins.<br />
(4,2)<br />
•<br />
Lausn: (a) Línan skerx-ás þegar<br />
−2x+10=0<br />
Það gerist þegarx= 5.<br />
(b) Skyggða svæðinu má skipta í tvo hluta.<br />
Annar <strong>hluti</strong>nn afmarkast af x-ás og ferli<br />
fallsins y= √ x á bilinu [0,4]. Hinn<br />
<strong>hluti</strong>nn er þríhyrningur með flatarmál 1.<br />
(4,2)<br />
•<br />
4 5<br />
Flatarmál skyggða svæðisins er því:<br />
∫ 4<br />
0<br />
√ xdx+1=<br />
[ 2<br />
3 x3/2 ] 4<br />
0+1= 16<br />
3 +1= 19 3<br />
Dæmi 4.1.4. Athugum falliðf(x)=|x−1|, −2≤x≤ 2.<br />
Á myndinni hér til hægri sést ferill fallsins f .<br />
Finnum gildi fastanskef<br />
∫ 0 ∫ 2<br />
|x−1|dx=k |x−1|dx<br />
−2<br />
0<br />
−2 1 2
•<br />
•<br />
•<br />
4.1. FLATARMÁL 69<br />
Lausn: Heildið vinstra megin jafnaðarmerkis er<br />
flatarmál svæðis sem ferill f og x-ás afmarka á<br />
bilinu [−2,0]. Heildið hægra megin er flatarmál<br />
svæðis sem ferillf ogx-ás afmarka á bilinu[0,2].<br />
Flatarmál þessara svæða eru auðreiknuð; 4 og 1.<br />
Jafnan verður því<br />
(−2,3)<br />
(0,1) (2,1)<br />
Þá erk=4.<br />
4=k·1<br />
−2 1 2<br />
4.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum<br />
Setning 4.1.1. Ef fölliny=f(x) ogy=g(x) eru samfelld á bili[a,b] og<br />
g(x)≤f(x) fyrir öllx∈[a,b]<br />
þá er flatarmál svæðisins milli ferlanna á bilinu[a,b]<br />
A=<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)−g(x)<br />
)<br />
dx.<br />
Sönnun. Ef ferlar beggja falla eru ofan við x-ás þá er flatarmál svæðisins á milli<br />
ferlanna mismunurinnA=A f −A g eins og sýnt er á myndinni hér að neðan.<br />
A f<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
A<br />
f(x)<br />
A g<br />
g(x)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
A=A f −A g =<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
f(x)dx− g(x)dx=<br />
a<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)−g(x)<br />
)<br />
dx<br />
Ef svæðið milli ferlanna er ekki allt ofan við x-ásinn þá er báðum ferlum hliðrað<br />
upp með því að leggja fasta jákvæða tölukviðf(x) ogg(x).<br />
f(x)+k<br />
A<br />
f(x)<br />
b<br />
A<br />
g(x)+k<br />
a<br />
g(x)<br />
a<br />
b
g, neðri ferill<br />
•<br />
70 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Flatarmálið milli ferlanna er þá<br />
A=<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
(f(x)+k)−(g(x)+k<br />
)<br />
dx=<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)−g(x)<br />
)<br />
dx<br />
Þegar svæði er afmarkað af ferlum tveggja fallaf(x) ogg(x) þar semg(x)≤f(x)<br />
þá er ferill fallsinsf(x) kallaður efri ferill svæðisins og ferill fallsinsg(x) kallaður<br />
neðri ferill svæðisins. Mismunurinn<br />
f(x)−g(x)=„Efri ferill−Neðri ferill “<br />
er heildaður fráatilbtil að ákvarða flatarmál svæðisins sem ferlarnir afmarka.<br />
A<br />
f , efri ferill<br />
Svæðið afmarkast að ofan af efri ferli,<br />
y = f(x) og að neðan af neðri ferli,<br />
y=g(x).<br />
A=<br />
∫ b<br />
a<br />
( Efri ferill−Neðri ferill ) dx<br />
=<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)−g(x)<br />
)<br />
dx<br />
a<br />
b<br />
Dæmi 4.1.5. Finnum flatarmál svæðisins sem ferlar fallanna f(x) = 2x og<br />
g(x)=x 2 −4x afmarka.<br />
Lausn: Þegar ferlar fallanna eru teiknaðir í hnitakerfið sést að fleygboginn<br />
g(x) = x 2 − 4x myndar neðri feril og línan f(x) = 2x er efri ferill. Ekkert er<br />
minnst á bil[a,b] sem heilda á yfir svo heildunarmörkin ráðast af skurðpunktum<br />
ferlanna sem eru(0,0) og(6,12); heildað er yfir bilið[0,6].<br />
f(x)=2x<br />
A<br />
g(x)<br />
=<br />
x 2 − 4x<br />
(6,12)<br />
A=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫ 6<br />
0<br />
∫ 6<br />
0<br />
∫ 6<br />
0<br />
(<br />
f(x)−g(x)<br />
)<br />
dx<br />
(<br />
2x−(,x 2 −4x) ) dx<br />
(6x−x 2 )dx<br />
[3x 2 − x3<br />
3<br />
] 6<br />
0<br />
= 3·36− 63<br />
3 = 36
•<br />
4.1. FLATARMÁL 71<br />
Athugum hvernig reikna á flatarmál skyggða svæðisins á meðfylgjandi mynd.<br />
y=f(x)<br />
y=g(x)<br />
f efri<br />
ferill<br />
• •<br />
g<br />
efri<br />
ferill<br />
f efri ferill<br />
a x 1 x 2 b<br />
Flatarmálið er sem summa heilda:<br />
A=<br />
∫ x1<br />
a<br />
∫<br />
( ) x2<br />
∫<br />
( ) b<br />
( )<br />
f(x)−g(x) dx+ g(x)−f(x) dx+ f(x)−g(x) dx<br />
x 1 x 2<br />
Dæmi 4.1.6. Finnum flatarmál skyggða svæðisins sem föllin f(x) = x + 1 og<br />
g(x)=x 2 −1 afmarka á bilinu[−2,2].<br />
Lausn: Ferlarnir eru teiknaðir í hnitakerfi til að sjá hvort þeir skerist og hvaða ferill<br />
er efri ferill. Ferlarnir skerast í (-1,0) og (2,3). Falliðf er neðri ferill á bilinu[−2,−1]<br />
en efri ferill á bilinu[−1,2]. Flatarmál skyggða svæðisins er<br />
g(x)<br />
f(x)<br />
•<br />
(2,3)<br />
A=<br />
∫ −1<br />
−2<br />
(<br />
g(x)−f(x)<br />
)<br />
dx<br />
∫ 2<br />
( )<br />
+ f(x)−g(x) dx<br />
−1<br />
=<br />
∫ −1<br />
−2<br />
(<br />
(x 2 −1)−(x+1) ) dx<br />
∫ 2<br />
(<br />
+ (x+1)−(x 2 −1) ) dx<br />
−1<br />
−2 −1 2<br />
=<br />
∫ −1<br />
−2<br />
[ x<br />
3<br />
=<br />
(<br />
x 2 −x−2 ) dx+<br />
3 −x2 2 −2x ] −1<br />
−2<br />
∫ 2<br />
−1<br />
(<br />
2+x−x<br />
2 ) dx<br />
] 2<br />
+<br />
[2x+ x2<br />
2 −x3 3 −1<br />
= 11 6 + 9 2 = 19 3<br />
4.1.3 Æfing<br />
Dæmi 1. Teiknið feril gefna fallsins.<br />
fallsins ogx-ás afmarka.<br />
Finnið flatarmál svæðisins sem ferill<br />
(a)f(x)=x 3 á bilinu[0,3]. (b)f(x)=4−x 2 .<br />
(c)f(x)=x 3 −4x á bilinu[−2,0].<br />
(d)f(x)=x 3 −4x á bilinu[2,4].
72 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Dæmi 2. Teiknið feril gefna fallsins.<br />
fallsins ogx-ás afmarka.<br />
Finnið flatarmál svæðisins sem ferill<br />
(a)f(x)=e x +1 á bilinu[0,1].<br />
(c)f(x)= 3<br />
2−x<br />
(b)f(x)=e 2x −1 á bilinu[1,2].<br />
3<br />
á bilinu[−1,1]. (d)f(x)= +1 á bilinu[−1,1/2].<br />
x−1<br />
Dæmi 3. Teiknið ferla gefnu fallanna.<br />
fallanna afmarka.<br />
(a)f(x)=2−x 2 ,g(x)=x.<br />
(b)f(x)=x+2,g(x)=x 2 +x−2.<br />
(c)f(x)=4−x,g(x)= 2<br />
x−1 .<br />
Finnið flatarmál svæðisins sem ferlar<br />
Dæmi 4. (a) Teiknið ferla fallannaf(x)= √ x ogg(x)=6−x í hnitakerfið. Finnið<br />
hnit skurðpunkts ferlanna.<br />
(b) Finnið flatarmál svæðisins, í fyrsta fjórðungi, sem afmarkast af ferlum fallanna<br />
ogx-ás.<br />
Dæmi 5.<br />
y= 3 2 x2 −6x+3.<br />
Á myndinni hér að neðan sést ferill fallsinsy=<br />
3 ∣ ∣∣∣<br />
∣<br />
2 x−3 og fleygboginn<br />
3<br />
-3<br />
(a) Finnið fasta a, b og c þannig að flatarmál skyggða svæðisins megi rita sem<br />
heildið ∫ 2<br />
(ax 2 +bx+c)dx,<br />
0<br />
(b) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.
•<br />
•<br />
•<br />
4.1. FLATARMÁL 73<br />
Dæmi 6. Skoðum feril fallsinsf(x)=x 3 −x 2 −4x+4.<br />
∫ 2<br />
(a) Reiknið heildið f(x)dx.<br />
−2<br />
(b) Er gildi heildisins jafnt heildarflatarmáli skyggða<br />
svæðisins? Rökstyðjið svarið.<br />
−2<br />
1 2<br />
Dæmi 7. Gefið er falliðy= ln ( tan(x) ) 0
74 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Dæmi 10. Myndin sýnir feril fallsinsf(x)= √ x og snertil ferilsins í punktix=a.<br />
P(a,f(a))<br />
•<br />
(a) Finnið jöfnu snertils í punktinumP.<br />
(b) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 75<br />
4.2 Rúmmál snúða<br />
4.2.1 Snúður ákvarðast af einum ferli<br />
Gerum ráð fyrir að falliðy=f(x) sé samfellt og jákvætt á bili[a,b]. Ferill fallsins<br />
ogx-ás afmarka svæði. Ef svæðinu er snúið einn hring umx-ás mun það mynda<br />
3-víðan hlut, svokallaðan snúð, meðx-ásinn sem samhverfuás.<br />
y=f(x)<br />
a<br />
b<br />
Setning 4.2.1. Rúmmál snúðsins sem fæst við að snúa svæðinu, sem afmarkast<br />
afx-ás og ferli jákvæðs samfellds fallsy =f(x) á bili[a,b], einn hring um<br />
x-ás er<br />
V =π<br />
∫ b<br />
a<br />
f 2 (x)dx<br />
Sönnun. Gerum ráð fyrir aðy =f(x)≥0, samfellt og vaxandi fall á bilinu[a,b].<br />
LátumV(x) tákna rúmmál snúðsins sem fæst með því að snúa svæðinu milli ferils<br />
f og x-áss á bilinu [a,x] þar sem a ≤ x ≤ b. Eins og sjá má á meðfylgjandi<br />
myndum verðurV(x) því stærra semx er stærra.V(x) er því fall afx.<br />
y=f(x)<br />
y=f(x)<br />
y=f(x)<br />
b<br />
b<br />
•<br />
V(x)<br />
V(x)<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
V(b)<br />
a<br />
x=b
•<br />
•<br />
76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
f(x)<br />
y=f(x)<br />
f(x 0 )<br />
a<br />
b<br />
Á myndinni hér til hliðar er ferill fallsins<br />
y = f(x) í stærri mælikvarða. Rúmmál<br />
snúðsins á myndinni erV(x)−V(x 0 ) því<br />
það er mismunur rúmmála tveggja snúða:<br />
Snúðsins sem ferill fallsins f(x) og x-ás<br />
afmarka á bilinu [a,x] og snúðsins sem<br />
ferill fallsinsf(x) ogx-ás afmarka á bilinu[a,x<br />
0 ].<br />
x 0<br />
x<br />
Snúðurinn hefur breiddina(x−x 0 ). Hann er stærri en sívalningur með hæð(x−x 0 )<br />
og radíusf(x 0 ) og minna en sívalningur með hæð(x−x 0 ) og radíusf(x). Þar sem<br />
rúmmál sívalnings með radíusr og hæðherπr 2 h fæst tvöfalda ójafnan<br />
π ( f(x 0 ) ) 2·(x−x0 )≤V(x)−V(x 0 )≤π ( f(x) ) 2·(x−x0 ).<br />
Þar sem(x−x 0 ) er jákvæð stærð er þetta jafngilt tvöföldu ójöfnunni<br />
π ( f(x 0 ) ) 2<br />
≤<br />
V(x)−V(x 0 )<br />
x−x 0<br />
≤π ( f(x) ) 2<br />
. (4.1)<br />
Þegarxstefnir áx 0 þá stefnir ( f(x) ) 2<br />
á<br />
(<br />
f(x0 ) ) 2<br />
vegna þess aðf (og þar meðf 2 )<br />
er samfellt fall. Kvótinn<br />
V(x)−V(x 0 )<br />
x−x 0<br />
er klemmdur á milli π ( f(x 0 ) ) 2<br />
og π<br />
(<br />
f(x)<br />
) 2. Hann hlýtur því líka að stefna á<br />
π ( f(x 0 ) ) 2<br />
.<br />
Athugasemd 1. Hér á undan var gert ráð fyrir að x > x 0 . Sýna má að tvöfalda<br />
ójafnan (4.1) gildir einnig efx
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 77<br />
Um sérhvertx á bilinu[a,b] gildir semsagt aðV ′ (x)=π ( f(x) ) 2<br />
. Falliðy=V(x)<br />
er því stofnfall fallsinsy=π ( f(x) ) 2<br />
og því er<br />
V(x)=F(x)+k (4.2)<br />
þar semF(x) er eitthvert stofnfall fyrirπ ( f(x) ) 2<br />
. Ef við setjumainn fyrirx fæst:<br />
eða<br />
V(a)=F(a)+k<br />
0=F(a)+k (vegna þess aðV(a)=0)<br />
Þar sem 0=F(a)+k þá hlýturk=−F(a). Jöfnu (4.2) má því skrifa á forminu<br />
V(x)=F(x)−F(a)=<br />
∫ x<br />
a<br />
π ( f(x) ) 2<br />
dx (4.3)<br />
Rúmmál snúðsins á bilinu [a,b] er V(b) eins og sést á mynd á blaðsíðu 75.<br />
Samkvæmt jöfnu (4.3) erV(b)=F(b)−F(a). Því fæst:<br />
Rúmmál snúðsins sem myndast við að ferli samfellds falls y = f(x) ≥ 0 á bili<br />
[a,b] er snúið einn hring umx-ás er:<br />
V =π<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)<br />
) 2dx (4.4)<br />
Dæmi 4.2.1. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsins<br />
y= 1+x 2 er snúið umx-ás á bilinu[−1,1].<br />
Lausn:<br />
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins<br />
∫ 1<br />
−1<br />
V =π (1+x 2 ) 2 dx<br />
∫ 1<br />
=π (1+2x 2 +x 4 )dx<br />
−1<br />
[<br />
=π x+ 2 3 x3 + 1 ] 1<br />
5 x5 −1<br />
=π<br />
(1+ 2 3·13 + 1 )<br />
5·15<br />
−π<br />
((−1)+ 2 3·(−1)3 + 1 )<br />
5·(−1)5<br />
=π·56<br />
15
78 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Dæmi 4.2.2. Reiknum rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar ferli fallsins<br />
y= √ x er snúið umx-ás á bilinu[0,2].<br />
Lausn:<br />
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál snúðsins<br />
V =π<br />
=π<br />
∫ 2<br />
0<br />
∫ 2<br />
0<br />
(√<br />
x<br />
) 2dx<br />
xdx<br />
[ ] 1 2<br />
=π<br />
2 x2 0<br />
( 1<br />
=π<br />
2·22 − 1 )<br />
2·02<br />
= 2π<br />
Setning 4.2.2 (Rúmmál kúlu). Rúmmál kúlu með radíusR erV = 4 3 πR3 .<br />
Sönnun. Kúla með radíus R myndast þegar hálfhring með radíus R er snúið um<br />
x-ás.<br />
Jafna hálfhringsins erx 2 +y 2 =R 2 , y≥ 0. Þegar jafnan er leyst fyriry fæst:<br />
y= √ R 2 −x 2 −R≤x≤R<br />
Hálfhringurinn er því ferill fallsinsf(x)= √ R 2 −x 2 , −R≤x≤R.
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 79<br />
Samkvæmt jöfnu (4.4) er rúmmál kúlunnar<br />
∫ R<br />
−R<br />
(√<br />
V =π R 2 −x 2) 2<br />
dx<br />
∫ R<br />
=π (R 2 −x 2 )dx<br />
−R<br />
[<br />
=π R 2 x− 1 ] R<br />
3 x3 −R<br />
=π<br />
(R 2·R− 1 )<br />
3·R3 −π<br />
(R 2·(−R)− 1 )<br />
3·(−R)3<br />
= 4 3 πR3<br />
4.2.2 Snúður ákvarðast af tveimur ferlum<br />
Þegar svæði, sem snúið er um x-ás, ákvarðast af ferlum tveggja falla, y = f(x)<br />
og y=g(x), og báðir ferlarnir liggja sömu megin við snúningsás, þá er rúmmál<br />
snúðsins sem myndast við snúninginn mismunur rúmmála þeirra snúða sem fram<br />
koma þegar ferlum fallannaf ogg er snúið um ásinn.<br />
y=f(x)<br />
y=g(x)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
Snúðurinn sem ferill fallsins f(x) myndar hefur stærri radíus en snúðurinn sem<br />
ferill fallsinsg(x) myndar. Rúmmál snúðsins sem myndast við snúning svæðisins<br />
milli ferlanna er því<br />
V =π<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
f(x)<br />
) 2dx−π<br />
∫ b<br />
a<br />
(<br />
g(x)<br />
) 2dx<br />
eða<br />
V =π<br />
∫ b<br />
a<br />
((<br />
f(x)<br />
) 2− (<br />
g(x)<br />
) 2 )<br />
dx (4.5)
80 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR<br />
Dæmi 4.2.3. Reiknum rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu, sem ferlarnir<br />
y= √ x ogy=x 2 afmarka, er snúið einn hring umx-ás.<br />
Lausn:<br />
Þegar ferlarnir tveir eru teiknaðir sést aðy= √ x myndar stærri snúðinn.<br />
y=x 2 y= √ x<br />
1<br />
Samkvæmt jöfnu (4.5) er rúmmál snúðsins<br />
V =π<br />
∫ 1<br />
0<br />
((√<br />
x<br />
) 2− (<br />
x<br />
2 ) 2)<br />
dx<br />
∫ 1<br />
=π (x−x 4 )dx<br />
0<br />
[ 1<br />
=π<br />
2 x2 − 1 ] 1<br />
5 x5 0<br />
( 1<br />
=π<br />
2 5)<br />
− 1<br />
= 3π<br />
10<br />
4.2.3 Æfing<br />
Dæmi 1. Í hverjum lið hér á eftir afmarka tveir ferlar svæði. Finnið rúmmál snúðsins<br />
sem fram kemur þegar umræddu svæði er snúið hring umx-ásinn.<br />
(a)y=x 2 ogx-ás á bilinu[0,3].<br />
(b)y= 1−x 2 ogx-ás.<br />
(c)y=x 2 +1 ogy=x+3. (d)y= 6−x 2 ogy= 2.<br />
(e)y=x 2 ogy= 8−x 2 .
•<br />
•<br />
4.2. RÚMMÁL SNÚÐA 81<br />
Dæmi 2. Finnið rúmmál snúðsins sem fram kemur þegar svæðinu sem afmarkast<br />
af gefna ferlinum ogx-ás er snúið umx-ásinn á bilinu[2,4].<br />
(a)f(x)= 1 2 x+1. (b)f(x)=x2 +1. (c)f(x)=xe x .<br />
(d)f(x)= √ x. (e)f(x)=e x +2e −x . (f)f(x)=sin<br />
Dæmi 3.<br />
( πx<br />
4<br />
)<br />
.<br />
Á myndinni sést ferill jöfnunnar<br />
y 2 =x(5−x) 2<br />
(a) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.<br />
(b) Finnið rúmmál snúðsins sem myndast<br />
þegar svæðinu er snúið umx-ás.<br />
Dæmi 4.<br />
A<br />
B<br />
C 2<br />
Á myndinni sjást ferlar fallanna<br />
f(x)= 9ln(x) og g(x)=xln(x).<br />
x<br />
C (a) Ákvarðið hvort fallið f eða g myndar<br />
1<br />
ferilinnC 1 og hvort myndar ferilinnC 2 .<br />
(b) Finnið hnit punktannaAogB.<br />
(c) Finnið flatarmál skyggða svæðisins.<br />
(d) Finnið rúmmál snúðsins sem myndast<br />
þegar svæðinu er snúið umx-ás.
Kafli 5<br />
Runur og raðir<br />
5.1 Summutáknið, þrepun<br />
5.1.1 Summutáknið<br />
Í stærðfræði kemur sú staða oft upp að leggja þarf saman og finna summu<br />
mikils fjölda talna. Summutáknið gerir mögulegt að skammstafa slíka samlagningu.<br />
Þannig er<br />
n∑<br />
k=1<br />
skammstöfun áa 1 +a 2 +a 3 +a 4 +···+a n , summuntalna. Í skammstöfuninni<br />
sést eftirfarandi:<br />
summutákn<br />
vísir<br />
n∑<br />
a k<br />
endir<br />
a k<br />
k=1<br />
byrjun<br />
liðir<br />
• summutákn gefur til kynna að skammstöfunin táknar samlagningu.<br />
• vísir er notaður til að tölusetja liði summunnar. Vísirinn tekur heiltölugildi.<br />
• byrjun er fyrsta gildi vísis. Oftast er byrjunargildið 1 eða 0 en getur verið<br />
hvaða heiltala sem er.<br />
• endir er lokagildi vísis. Vísirinn tekur öll heiltölugildi frá og með byrjunargildi<br />
til og með lokagildi.<br />
• liðir summunnar eru oftast tilteknir með formúlu sem framkallar liðina jafn<br />
óðum og vísirinn hækkar.a k er liður númerkísummunni.<br />
83
84 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Ólíkir bókstafir notaðir til að tákna vísi:<br />
Vísi summu má tákna með mismunandi bókstöfum og því eru eftirfarandi summur<br />
jafnar<br />
n∑ n∑ n∑ n∑<br />
a k = a j = a q = a i ... og svo framvegis.<br />
k=1 j=1 q=1 i=1<br />
Jaðargildi summutáknsins:<br />
(i) Með summutákninu má tákna „summu“ einnar tölu. Ef byrjunargildi vísis er<br />
það sama og lokagildi vísis þá hefur summan aðeins einn lið.<br />
3∑<br />
2 k = 2 3 ,<br />
k=3<br />
0∑<br />
2j= 2·0=0,<br />
j=0<br />
50∑<br />
i=50<br />
1<br />
i = 1 50<br />
(ii) Ef byrjunargildi vísis er hærra en lokagildi þá er summan skilgreind sem 0.<br />
2∑<br />
2 k = 0,<br />
k=4<br />
7∑<br />
(2j+1)=0,<br />
j=11<br />
19∑<br />
i=20<br />
1<br />
i = 0<br />
Dæmi 5.1.1. Reiknum summurnar<br />
5∑<br />
(a) (2k+1)<br />
k=1<br />
Lausn: (a) Hér er fyrsta gildi vísisins k = 1. Fyrsti liður summunnar verður því<br />
(2·1+1). Síðan er gildi vísisins hækkað um 1 í hvert sinn sem nýr liður summunnar<br />
er framkallaður uns hæsta og síðasta gildi vísisins er náð,k=5. Summan verður<br />
því<br />
5∑<br />
(2k+1)=(2·1+1)+(2·2+1)+(2·3+1)+(2·4+1)+(2·5+1)<br />
k=1<br />
= 3+5+7+9+11<br />
= 35<br />
(b) Hér er fyrsta gildi vísisinsi=0sem framkallar fyrsta lið summunnar 2 0 . Nýir<br />
liðir eru svo framkallaðir, koll af kolli, uns vísirinn hefur náð sínu hæsta og síðasta<br />
gildi,i=7. Summan er<br />
(b)<br />
7∑<br />
i=0<br />
7∑<br />
2 i = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 +2 7<br />
i=0<br />
= 1+2+4+8+16+32+64+128<br />
= 255<br />
2 i
5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 85<br />
Dæmi 5.1.2. Skrifum eftirfarandi summur með summutákni.<br />
(a) 1+3+5+7+···+51<br />
Lausn: Hér eru lagðar saman oddatölur frá 1 til 51. a k = 2k−1 er oddatala fyrir<br />
allar heiltölurkog summuna má því skrifa sem<br />
1+3+5+7+···+51=<br />
26∑<br />
k=1<br />
(2k−1)<br />
Athugið aða k = 2k+1 er líka oddatala og summuna má því einnig skrifa sem<br />
1+3+5+7+···+51=<br />
(b) 2+4+6+8+···+100.<br />
25∑<br />
k=0<br />
(2k+1)<br />
Lausn: Hér eru lagðar saman sléttar tölur frá 2 upp í 100. a k = 2k er slétt tala<br />
fyrir allar heiltölurkog summuna má því skrifa sem<br />
2+4+6+8+···+100=<br />
50∑<br />
k=1<br />
2k<br />
Athugasemd 2. Ef lagðir eru samann+1 liðir,a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,a n+1 þá má skrifa<br />
n+1<br />
∑<br />
k=1<br />
a k =<br />
=<br />
=<br />
n∑<br />
a k +a n+1<br />
k=1<br />
n−1<br />
∑<br />
k=1<br />
n−2<br />
∑<br />
k=1<br />
=···<br />
q∑<br />
= a k +<br />
k=1<br />
a k +(a n +a n+1 )<br />
a k +(a n−1 +a n +a n+1 )<br />
n+1<br />
∑<br />
k=q+1<br />
a k<br />
ef 1≤q≤n<br />
5.1.2 Æfing<br />
Dæmi 1. Reiknið summurnar<br />
3∑<br />
4∑<br />
5∑<br />
(a) i 3<br />
(b) (j 2 +1) (c)<br />
(d)<br />
i=1<br />
6∑<br />
(5r−2)<br />
(e)<br />
j=2<br />
6∑<br />
n(n+1)<br />
r=4<br />
n=3<br />
k=3<br />
(f)<br />
k=3<br />
k 3<br />
5∑<br />
(k+1)(k+2)
86 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Dæmi 2. Skammstafið eftirfarandi summur með summutákni.<br />
(a) 1+4+9+16 (b) 3+5+7+9+11+13<br />
(c) 3+6+11+18 (d) 0+2+6+12+20+30+42<br />
(e) 4+5+6+7+8+9 (f) 2+6+12+20+30+42+56<br />
Dæmi 3. Skrifið án summutákns. Sýnið fyrstu þrjá og síðustu tvo liði summunnar.<br />
n∑<br />
n∑<br />
n+1<br />
∑<br />
(a) k(k+3)<br />
(b) k2 k<br />
1<br />
(c)<br />
k(k+1)<br />
k=1<br />
5.1.3 Þrepun<br />
k=1<br />
Mengi heiltalna,{...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}, er táknað meðZ. Jákvæði <strong>hluti</strong> þessa<br />
mengis,{1,2,3,...}, er táknaður meðZ + .<br />
k=1<br />
Dæmi 5.1.3. Mynstrið<br />
1 = 1 2<br />
1 + 3 = 2 2<br />
1 + 3 + 5 = 3 2<br />
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2<br />
sýnir að fyrsta oddatalan og summur fyrstu tveggja, fyrstu þriggja og fyrstu<br />
fjögurra oddatalna eru ferningar. Giska má á eftirfarandi formúlu:<br />
1+3+5+···+(2n−1)=n 2 , n∈Z + (5.1)<br />
Með öðrum orðum að summa fyrstunoddatalnanna sé ferningurinnn 2 .<br />
Dæmi 5.1.4. Lítum á stærðina 4n 3 − 18n 2 + 32n−15 og reiknum gildið fyrir<br />
n=1,2,3,4.<br />
n 1 2 3 4<br />
4n 3 −18n 2 +32n−15 3 9 27 81<br />
Svo virðist sem stærðin 4n 3 −18n 2 +32n−15 sé veldi af þremur. Þetta bendir til<br />
þess að:<br />
4n 3 −18n 2 +32n−15=3 n , n∈Z + . (5.2)<br />
Dæmi 5.1.5. Athugum eftirfarandi afleiður:<br />
( ) 1 ′<br />
= −1 ( ) 1 ′′<br />
x x 2, = 1·2 ( ) 1 ′′′<br />
x x 3 , = −1·2·3<br />
x x 4 ,<br />
( 1<br />
x<br />
) (4)<br />
= 1·2·3·4<br />
Þetta bendir til þess að:<br />
( ) 1 (n)<br />
= (−1)n·1·2·3·····n<br />
x x n+1 , n∈Z + . (5.3)<br />
x 5
•<br />
•<br />
•<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
•<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
(<br />
1<br />
2<br />
5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 87<br />
Dæmi 5.1.6. (<br />
1<br />
2<br />
) 1 ( 1<br />
= 1− 1<br />
2)<br />
) 1<br />
+<br />
) 2 (<br />
1<br />
2<br />
= 1− 2)<br />
) 1<br />
+<br />
) 2<br />
+<br />
) 3 (<br />
= 1− 1 3<br />
2)<br />
) 1<br />
+<br />
) 2<br />
+<br />
) 3<br />
+<br />
) 4 (<br />
= 1− 1 4<br />
2)<br />
Þetta bendir til þess að:<br />
( 1<br />
2<br />
) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 n ( ) 1 n<br />
+ + +···+ = 1− , n∈Z + (5.4)<br />
2 2 2 2<br />
Þrepasönnun er sérstök aðferð sönnunar sem notuð er til þess að sýna fram á að<br />
tiltekin fullyrðing, til dæmis jafna (5.4) hér að ofan, sé sönn fyrir allar náttúrlegar<br />
tölur. Aðferðin er eftirfarandi:<br />
Aðferð þrepunar. Gerum ráð fyrir aðP(n) sé fullyrðing um heiltölunan. Ef<br />
hægt er að sýna að eftirfarandi gildir:<br />
(1)P(n 1 ) er sönn.<br />
(2) EfP(n) er sönn fyrir einhverja heiltölun≥n 1 þá erP(n+1) einnig sönn.<br />
Þá má álykta aðP(n) sé sönn fyrir allar heiltölurn≥n 1 .<br />
Þrepasönnun má líkja við ferð upp<br />
óendanlegan stiga.<br />
n 1<br />
n<br />
n+1<br />
(1) Fyrst er sýnt hvernig komast megi upp í<br />
fyrsta þrep stigans.<br />
(2) Svo er sýnt að sama hvar maður er staddur<br />
í stiganum þá getur maður stigið upp í næsta<br />
þrep.<br />
Oftast ern 1 = 1 en þó eru dæmi um fullyrðingarP(n) sem eru réttar fyrirn≥2,<br />
n≥3 eða hærra. Þá ern 1 = 2,n 1 = 3 eða hærra.<br />
Athugasemd 3. Forsendan í lið (2):<br />
Gerum ráð fyrir aðP(n) sé sönn fyrir einhverja heiltölun<br />
kallast þrepunarforsenda. Eins og kemur fram í eftirfarandi dæmum þá er þrepunarforsendan<br />
alltaf tiltekin í öðru skrefi sönnunarinnar.
88 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Dæmi 5.1.7. Sönnum jöfnu (5.1) með þrepun, þ.e. sönnum að<br />
n∑<br />
P(n) : (2k−1)=n 2 , n∈Z +<br />
k=1<br />
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið<br />
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:<br />
(1)P(1)<br />
VH:<br />
Jafnan er því sönn fyrirn=1.<br />
(2)P(n) ⇒P(n+1)<br />
HH: 1 2 = 1<br />
1∑<br />
(2k−1)=(2·1−1)=1<br />
k=1<br />
Gerum ráð fyrir að<br />
n∑<br />
(2k−1)=n 2 (þrepunarforsenda)<br />
k=1<br />
Viljum sýna að<br />
En<br />
n+1<br />
∑<br />
(2k−1)=(n+1) 2<br />
k=1<br />
n+1<br />
∑<br />
(2k−1)=<br />
k=1<br />
n∑<br />
(2k−1) +(2·(n+1)−1)<br />
k=1<br />
= n 2 +(2·(n+1)−1), skv. þrepunarforsendu<br />
=n 2 +2n+1<br />
=(n+1) 2<br />
Dæmi 5.1.8. Notum þrepun til að sanna eftirfarandi:<br />
n∑<br />
P(n) : k= n(n+1) , n∈Z + (5.5)<br />
2<br />
k=1<br />
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið<br />
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:<br />
(1)P(1)<br />
Jafnan er því sönn fyrirn=1.<br />
1(1+1)<br />
HH: = 1<br />
2<br />
1∑<br />
VH: k=1<br />
k=1
5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89<br />
(2)P(n) ⇒P(n+1)<br />
Gerum ráð fyrir að<br />
n∑<br />
Viljum sýna að<br />
En<br />
k=1<br />
n+1<br />
∑<br />
k=1<br />
n+1<br />
∑<br />
k=1<br />
k= n(n+1)<br />
2<br />
k= (n+1)( (n+1)+1 )<br />
2<br />
= (n+1)(n+2)<br />
2<br />
n∑<br />
k= k +(n+1)<br />
k=1<br />
= n(n+1)<br />
2<br />
= n(n+1)+2(n+1)<br />
2<br />
= n2 +3n+2<br />
2<br />
= (n+1)(n+2)<br />
2<br />
(þrepunarforsenda)<br />
+(n+1), skv. þrepunarforsendu<br />
Dæmi 5.1.9. Sannið með þrepun að eftirfarandi jafna gildir:<br />
P(n) :<br />
d<br />
dx (xn )=nx n−1 , n∈Z + .<br />
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið<br />
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:<br />
(1)P(1)<br />
d (<br />
VH: x<br />
1 ) = d<br />
dx dx x= 1<br />
HH: 1·x 1−1 = 1·x 0 = 1<br />
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
90 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
(2)P(n) ⇒P(n+1)<br />
Gerum ráð fyrir að<br />
d<br />
dx (xn )=nx n−1 (þrepunarforsenda)<br />
Viljum sýna að<br />
d (<br />
x<br />
n+1 ) =(n+1)x (n+1)−1<br />
dx<br />
=(n+1)x n<br />
En<br />
d (<br />
x<br />
n+1 ) = d<br />
dx dx (xn·x)<br />
= d<br />
dx (xn ) ·x+x n d<br />
dx (x)<br />
= nx n−1 ·x+x n·1, skv. þrepunarforsendu<br />
=nx n +x n<br />
=(n+1)x n<br />
5.1.4 Æfing<br />
Dæmi 1. Sannið eftirfarandi með þrepun:<br />
n∑<br />
(a) (3i−2)= 1 2 n(3n−1), n∈Z+ . (b)<br />
(c)<br />
(e)<br />
i=1<br />
n∑<br />
(2k−1) 2 = 1 3 n(4n2 −1), n∈Z + .<br />
k=1<br />
n∑<br />
k=0<br />
r k = 1−rn+1<br />
, n≥0, r ≠ 1.<br />
1−r (f)<br />
(d)<br />
n∑<br />
(4k−3)=n(2n−1), n∈Z + .<br />
k=1<br />
n∑<br />
i=1<br />
∑ n<br />
j=2<br />
Dæmi 2. Sannið jöfnu (5.4) í dæmi 5.1.6 með þrepun.<br />
i 3 = n2 (n+1) 2<br />
, n∈Z + .<br />
4<br />
1<br />
j 2 −j = 1− 1 n , n≥2.<br />
5.2 Runur og raðir<br />
Runur<br />
Skilgreining 5.2.1. Ef sérhverri náttúrlegri töluner úthlutað rauntölua n þá<br />
myndar raðaða mengið<br />
{a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,...} sem táknað er með(a n )<br />
svokallaða rauntalnarunu. Stök rununnar kallast liðir rununnar. Þeir eru<br />
tölusettir<br />
Fyrsti liður rununnar era 1 , annar liður rununnar era 2 , þriðji liður rununnar era 3<br />
og svo framvegis.n-ti liður rununnar era n .
5.2. RUNUR OG RAÐIR 91<br />
Athugasemd 4. Algengt er að nota aðra bókstafi, t.d. s n , x n , u n í stað a n til að<br />
tákna liði runu.<br />
Athugasemd 5. Í sumum tilfellum er hentugt að tala um endanlega runu. Með<br />
endanlegri rauntalnarunu er átt við endanlegt raðað mengi rauntalna<br />
{a 1 ,a 2 ,a 3 ,···,a n }<br />
Til aðgreiningar frá endanlegum runum þá er runan sem nefnd er í skilgreiningu<br />
5.2.1 oft sögð vera óendanleg. Í þessum kafla mun hugtakið runa alltaf vera<br />
notað um óendanlegar runur nema annað sé skýrt tekið fram.<br />
Dæmi 5.2.1. Algengustu dæmin um runur eru þannig að tiltekin jafna segir til um<br />
með hvaða hættin-ti liður rununnar er fundinn. Jafnan<br />
a n = 1 n , n∈N<br />
skilgreinir því rununa<br />
1, 1 2 , 1 3 ,···, 1 n ,···.<br />
Dæmi 5.2.2. Stundum eru tvær eða fleiri formúlur notaðar til að skilgreina rununa.<br />
a 2n−1 = 1, a 2n = 2n 2 , n∈N<br />
Níu fyrstu liðir rununnar eru<br />
1,2,1,8,1,18,1,32,1.<br />
Dæmi 5.2.3. Algeng aðferð til að skilgreina runur er að útskýra hvernig reikna skuli<br />
liðina út frá gefinni byrjun, svokallaðri rakningarformúlu.<br />
a 1 =a 2 = 1, a n+1 =a n +a n−1<br />
fyrirn≥2.<br />
Í þessu tilfelli ákveður rakningarformúlan mjög þekkta runu talna, svokallaða<br />
Fibonacci runu † . Nokkrir fyrstu liðir rununnar eru:<br />
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...<br />
† Fibonacci, einnig þekktur sem Leonardo frá Pisa ( 1175-1250), notaði þessa runu við rannsókn<br />
á fjölda kanína.
92 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Dæmi 5.2.4. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem er skilgreind á eftirfarandi<br />
hátt:<br />
(a)a n = 2n−1<br />
(b)x n = (−1)n−1<br />
n<br />
(c)u n = 2n −1<br />
(d)s<br />
2 n n = (−1)n−1 n<br />
n+1<br />
Lausn:<br />
(a) 1,3,5,7,9,... (b) 1,− 1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 ,...<br />
(c) 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15<br />
16 , 31<br />
32 ,... (d) 1 2 ,−2 3 , 3 4 ,−4 5 , 5 6 ,...<br />
Dæmi 5.2.5. Ákvörðumn-ta lið hverrar runu.<br />
(a) 1, 1 4 , 1 9 , 1<br />
,... (b) 3, 6, 9, 12,...<br />
16<br />
(c) 1,− 1 3 , 1 5 ,−1 ,... (d) 5, 9, 13, 17,...<br />
7<br />
Lausn: (a) Nefnarar liðanna í þessari runu eru ferningar. Liðina má rita á forminu<br />
Þá má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 1 n 2 .<br />
1 1 1 1<br />
1 2, 2 2, 3 2, 4 2,···<br />
(b) Liðirnir eru allir margfeldi af þremur. Liðina má rita á forminu<br />
svon-ti liðurinn era n = 3·n.<br />
3·1, 3·2, 3·3, 3·4,...<br />
(c) Nefnarar gefnu liðanna eru oddatölur í vaxandi röð og formerki er til skiptis+<br />
og−.n-ti liðurinn er því<br />
a n = (−1)n−1<br />
2n−1<br />
(d) Í þessari runu er bilið milli samliggjandi liða fjórir; frá og með öðrum lið er hver<br />
liður 4 stærri en liðurinn á undan. Liðina má rita svona<br />
4·1+1, 4·2+1, 4·3+1, 4·4+1,...<br />
Því má álykta aðn-ti liðurinn séa n = 4·n+1.
5.2. RUNUR OG RAÐIR 93<br />
Dæmi 5.2.6. Finnum fimm fyrstu liði rununnar sem skilgreind er með eftirfarandi<br />
rakningarformúlu:<br />
(a) a 1 =−2<br />
a n = 1−2a n−1 , n≥2<br />
Lausn: (a)<br />
a 2 = 1−2a 1 = 1−2(−2)=5<br />
a 3 = 1−2a 2 = 1−2(5)=−9<br />
(b) a 1 = 1<br />
a 2 = 3<br />
a n = a n−2+a n−1<br />
2<br />
a 4 = 1−2a 3 = 1−2(−9)=19<br />
a 5 = 1−2a 4 = 1−2(19)=−37<br />
(b)<br />
a 3 = a 1+a 2<br />
2<br />
a 4 = a 2+a 3<br />
2<br />
= 1+3<br />
2<br />
= 3+2<br />
2<br />
= 2<br />
= 5 2<br />
a 5 = a 3+a 4<br />
2<br />
= 2+ 5 2<br />
2<br />
= 9 4<br />
Raðir<br />
Skilgreining 5.2.2. Efa 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n er endanleg runa þá er summan<br />
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n<br />
kölluð endanleg röð eða einfaldlega röð.<br />
Röðin<br />
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n<br />
er oft skammstöfuð með summutákninu á eftirfarandi hátt:<br />
n∑<br />
a 1 +a 2 +a 3 +···+a n =<br />
Þegar unnið er með raðir þá er áhersla lögð á hlutsummur. Hlutsummur raðarinnar<br />
n∑<br />
a k =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n<br />
k=1<br />
eru:<br />
fyrsta hlutsumma: s 1 =a 1 ,<br />
önnur hlutsumma: s 2 =a 1 +a 2 ,<br />
þriðja hlutsumma: s 3 =a 1 +a 2 +a 3 ,<br />
.<br />
n∑<br />
n-ta hlutsumma: s n = a k .<br />
k=1<br />
k=1<br />
a k
94 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
5.2.1 Æfing<br />
Dæmi 1. Finnið fyrstu þrjá liði rununnar sem hefur þannn-ta lið sem tiltekinn er:<br />
(a)a n = 2n<br />
(<br />
1<br />
2 n−1<br />
(b)a n =<br />
3n+1 n 2 (c)a n =<br />
+1<br />
3)<br />
Dæmi 2. Skrifið niður næstu þrjá liði rununnar sem byrjar svona:<br />
(a) 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1<br />
81 ,... (b) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,...<br />
Dæmi 3. Finniðn-ta lið rununnar sem byrjar svona:<br />
(a) 1, 1 3 , 1 5 , 1 7 ,... (b) 1 3 , 1 6 , 1 9 , 1 12 ,...<br />
Dæmi 4. Eftirfarandi runur eru skilgreindar með rakningarformúlum. Finnið fimm<br />
fyrstu liði hverrar runu<br />
(a)a 1 = 2, a n = 2 3 a n−1, n≥2.<br />
(b)a 1 = 1, a 2 = 1, a n =a n−1 +a n−2 , n≥3.<br />
(c)a 1 = 2, a n = √ 2+a n−1 , n≥2.<br />
5.2.2 Mismuna- og kvótarunur<br />
Mimunarunur og kvótarunur eru tveir mikilvægir flokkar runa.<br />
Mismunarunur<br />
Skilgreining 5.2.3. Runa(a n ) kallast mismunaruna ef mismunur samliggjandi<br />
liða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnan<br />
a n+1 =a n +d (5.6)<br />
gildir fyrir ölln∈Z + . Talandkallast mismunur rununnar.<br />
Setning 5.2.1. Ef(a n ) er mismunaruna með mismundþá gildir eftirfarandi:<br />
a n =a 1 +(n−1)d, n∈Z +<br />
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með þrepun. Fyrst er sýnt að jafnan er rétt fyrir<br />
n=1. Reiknað er út úr hægri hlið (HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:<br />
(1)P(1)<br />
HH:<br />
a 1 +(1−1)d=a 1 +0·d<br />
=a 1 .<br />
VH: a 1 .
5.2. RUNUR OG RAÐIR 95<br />
Jafnan er því rétt fyrirn=1.<br />
(2)P(n) ⇒P(n+1)<br />
Gerum ráð fyrir að<br />
a n =a 1 +(n−1)d (þrepunarforsenda)<br />
Viljum sýna að<br />
a n+1 =a 1 +([n+1]−1)d<br />
=a 1 +nd<br />
En a n+1 = a n +d<br />
= a 1 +(n−1)d +d, skv. þrepunarforsendu<br />
=a 1 +nd−d+d<br />
=a n +nd<br />
Athugasemd 6. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:<br />
a s =a t +(s−t)d<br />
Dæmi 5.2.7. (a) Runan<br />
1,2,3,4,...<br />
er mismunaruna með mismund=1.<br />
(b) Runan<br />
1,3,5,7,...<br />
er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta oddatalan<br />
a n = 1+(n−1)·2, n∈Z + .<br />
(c) Runan<br />
2,4,6,8,...<br />
er mismunaruna með mismund=2. Hér ern-ta slétta talan<br />
a n = 2+(n−1)·2 n∈Z + .<br />
Dæmi 5.2.8. Í mismunarunu er a 1 = 120 og a 10 = 57. Finnum mismuninn og<br />
fimmtánda lið rununnar,a 15 .<br />
Lausn: Samkvæmt reglu 5.2.1 gildir<br />
a 10 =a 1 +9d svo 57=120+9d og því d=−7.<br />
Samkvæmt sömu reglu er:<br />
a 15 =a 1 +14d=120+14·(−7)<br />
svo a 15 = 22.
96 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Setning 5.2.2. Summunfyrstu liða mismunarunu má skrifa á eftirfarandi tvo<br />
vegu:<br />
⎧<br />
n<br />
n·a1+a<br />
, n∈Z<br />
⎪⎨<br />
+<br />
2<br />
s n =<br />
⎪⎩ n· 2a 1+(n−1)d<br />
, n∈Z +<br />
2<br />
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með aðferð sem eignuð er þýska stærðfræðingnum<br />
Gauss. Summans n er skrifuð tvisvar; fyrst frá fyrsta lið tiln-ta liðs og svo öfugt,<br />
frán-ta lið til þess fyrsta:<br />
s n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+···+ ( a 1 +(n−1)d )<br />
s n =a n +(a n −d)+(a n −2d)+···+ ( a n −(n−1)d )<br />
Nú er lagt saman beggja vegna jafnaðarmerkis:<br />
2s n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+···+(a 1 +a n )<br />
=n(a 1 +a n )<br />
og því fæst<br />
s n =n·a1+a n<br />
2<br />
Samkvæmt reglu 5.2.1 era n =a 1 +(n−1)d og því má einnig rita summunas n á<br />
eftirfarandi formi:<br />
s n =n·a1+a n<br />
2<br />
=n·a1+(a 1 +(n−1)d)<br />
2<br />
=n· 2a 1+(n−1)d<br />
2<br />
Dæmi 5.2.9. Í leikhúsi eru 20 sætaraðir. Í fyrstu röð eru 17 sæti og í hverri röð þar<br />
á eftir er fjöldi sæta tveimur fleiri en í röðinni á undan.<br />
(a) Hvað eru mörg sæti í 20. sætaröðinni?<br />
(b) Hvað eru sætin mörg alls í leikhúsinu?<br />
Lausn:<br />
(a) Fjöldi sæta í röð myndar mismunarunu<br />
17,19,21,23,...<br />
með mismund=2. Fyrsti liður rununnar era 1 = 17 og því verður fjöldi sæta í röð<br />
n<br />
a n =a 1 +(n−1)d eða a n = 17+(n−1)·2
5.2. RUNUR OG RAÐIR 97<br />
Sér í lagi er fjöldi sæta í 20. röða 20 = 17+19·2=55.<br />
(b) Heildarfjöldi sæta í leikhúsinu er<br />
s 20 = 20·a1+a 20<br />
2<br />
= 20· 17+55<br />
2<br />
= 720<br />
Kvótarunur<br />
Skilgreining 5.2.4. Runa(a n ) kallast kvótaruna ef kvóti (hlutfall) samliggjandi<br />
liða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnan<br />
gildir fyrir ölln∈Z + . Talanqkallast kvóti rununnar.<br />
a n+1 =q·a n (5.7)<br />
Setning 5.2.3. Ef(a n ) er kvótaruna með kvótaq þá gildir eftirfarandi:<br />
a n =a 1·q n−1 , n∈Z +<br />
Sönnun. Verkefni.<br />
Athugasemd 7. Efs ogt eru jákvæðar heilar tölur þá gildir eftirfarandi:<br />
a s =a t·q s−t<br />
Dæmi 5.2.10. Runan<br />
1<br />
2 , 1 4 , 1 8 , 1<br />
16 ,···<br />
er kvótaruna með fyrsta liða 1 = 1 2 og kvóta 1 .n-ti liður rununnar er<br />
2<br />
a n =a 1·q n−1 =<br />
2·<br />
1 ( 1 n−1<br />
2)<br />
Eftirfarandi regla gildir um hlutsummur kvótarunu:<br />
Setning 5.2.4. Summanfyrstu liða kvótarunu er gefin með jöfnunni<br />
⎧<br />
⎪⎨ a 1· 1−qn efq≠1<br />
s n = 1−q<br />
⎪⎩ n·a 1 efq=1
98 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
Sönnun. Ef kvótinn erq=1 þá er summanfyrstu liða kvótarununnar<br />
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n<br />
=a 1 +a 1·1+a 1·1 2 +···+a 1·1 n−1<br />
=a 1 +a 1 +a 1 +···+a 1 n jafnir liðir<br />
=n·a 1<br />
Ef kvótinnq≠1 þá má rita<br />
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n<br />
=a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +···+a 1 q n−1 . (a)<br />
Nú er margfaldað beggja vegna jafnaðarmerkis meðq:<br />
s n q=a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3···+a 1 q n<br />
(b)<br />
Með því að draga jöfnu (b) frá jöfnu (a) fæst:<br />
s n −s n q=a 1 −a 1 q n<br />
s n (1−q)=a 1 (1−q n )<br />
svo<br />
s n =a 1<br />
1−q n<br />
1−q<br />
þar semq≠1<br />
5.2.3 Æfing<br />
Dæmi 1. Í mismunarunu era 20 = 32 ogd=3. Finniða 1 .<br />
Dæmi 2. Í kvótarunu era 8 = 729<br />
512 ogq= 3 2 . Finniða 1.<br />
Dæmi 3. Í mismunarunu era 32 = 48 oga 17 = 18. Finniða 1 ogd.<br />
Dæmi 4. Finnið fyrstu fimm liði mismunarununnar<br />
x 1 ,x 2 ,x 3 ,...<br />
þar semx 15 = 19 ogx 28 =− 1 2 .<br />
Dæmi 5. Í kvótarunu era 3 =− 4 9 oga 6= 32<br />
243 . Finniða 1 ogq.<br />
Dæmi 6. Finnið fimm fyrstu liði kvótarununnar<br />
t 1 ,t 2 ,t 3 ,...<br />
þar sem sjötti liðurinn ert 6 = 0.32 og ellefti liðurinn ert 11 = 0.0001024.<br />
Dæmi 7. Finnið tuttugasta lið rununnar 9,15,21,27,33,....
5.2. RUNUR OG RAÐIR 99<br />
Dæmi 8. Hversu marga liði rununnar 2,2.3,2.6,2.9,... þarf að leggja saman til að<br />
summan verði stærri en 100?<br />
Dæmi 9. Gefin er kvótaröð<br />
(a) Finnið kvóta raðarinnar,q.<br />
(b) Finnið 15. lið raðarinnar.<br />
405+270+180+···<br />
Dæmi 10. Í mismunarunu er 15. liðurinna 15 = 92 og 3. liðurinn era 3 = 56.<br />
(a) Ákvarðið<br />
(i) mismun rununnar,d<br />
(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .<br />
(b) Finniðs 12 .<br />
Dæmi 11. Kvótaruna er þannig að fjórði liður era 4 = 135 og a 9<br />
a 4<br />
= 3 5 .<br />
(a) Finnið<br />
(i) kvóta rununnar,q<br />
(ii) fyrsta lið rununnar,a 1 .<br />
(b) Finnið töluraogbíQef gefið er aðs 10 =a(b−1),<br />
Dæmi 12. Gefin er runa(a n ) meða n = 1−9n,n∈N.<br />
(a) Finniða 1 ,a 2 oga 3 .<br />
(b) Finnið<br />
10∑<br />
k=1<br />
(1−9k).<br />
Dæmi 13. n-ti liður runu(a n ) er<br />
a n = 2 3·3n , n∈N<br />
Reiknið summuna<br />
20∑ 2<br />
3·3n .<br />
n=1<br />
Dæmi 14. Fyrstu þrír samliggjandi liðir mismunarunu eru<br />
k−2, 2k+1 og 4k+2<br />
(a) Finnið gildið ák.<br />
(b) Finnið
100 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR<br />
(i) a 10<br />
(ii) s 10<br />
Dæmi 15. Fyrstu þrír liðir kvótarunu eru<br />
√<br />
3+1, x, og<br />
√<br />
3−1, þar semx> 0.<br />
Finniðx.<br />
Dæmi 16. Reiknið summuna<br />
1<br />
2 +1+2+22 +···+2 10<br />
Dæmi 17. Kvótaruna er þannig að sérhver liður er summa tveggja næstu liða, þ.e.<br />
a k =a k+1 +a k+2 .<br />
Kvóti rununnar er jákvæður. Ákvarðið gildi hans.<br />
Dæmi 18. Í mismunarunu gildir aða p =q oga q =p.<br />
(a) Finnið mismuninnd.<br />
(b) Tákniða 1 meðp ogq.<br />
Dæmi 19. Reiknið<br />
1+2+3+4+···+10<br />
1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 +···+ 1<br />
512<br />
Dæmi 20. Finnið tölux þannig að 2+x, 6+x og 13+x mynda þrjá samliggjandi<br />
liði kvótaraðar.
Kafli 6<br />
Diffurjöfnur<br />
6.1 Inngangur<br />
Diffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).<br />
Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar sem<br />
reynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).<br />
Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst með<br />
staðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. Lögmál<br />
Newtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar í<br />
tengslum við hina ýmsu krafta er verka á <strong>hluti</strong>nn, eru sett fram sem<br />
diffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekkts<br />
falls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.<br />
Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.<br />
(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.<br />
(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.<br />
Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.<br />
(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunni<br />
y ′ −2y= 0.<br />
því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæst<br />
y ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.<br />
(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunni<br />
y ′ =y−x.<br />
101
102 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR<br />
Lausn diffurjöfnu er annarsvegar sérlausn og hinsvegar almenn lausn. Með<br />
sérlausn er átt við einhverja eina tiltekna lausn jöfnunnar en með almennri<br />
lausn er átt við lausn sem felur allar mögulegar lausnir í sér.<br />
Dæmi 6.1.1. Diffurjafnan<br />
hefur almenna lausn<br />
y ′ (x)=f(x).<br />
∫<br />
y= f(x)dx=F(x)+k<br />
þar semker ótiltekinn fasti. Ef fastanumker gefið ákveðið gildi, til dæmisk=3,<br />
þá fæst sérlausn diffurjöfnunnar sem ery=F(x)+3.<br />
Setning 6.1.1. Almenn lausn diffurjöfnunnar<br />
er<br />
dy<br />
dx =f(x)<br />
∫<br />
y= f(x)dx=F(x)+k.<br />
6.1.1 Æfing<br />
Dæmi 1. Sýnið að falliðy er lausn á diffurjöfnunni.<br />
(a) 10y ′ +7y= 0 , y= 5e −0.7x .<br />
(b)y ′ +2y=e 3x , y= 2e −2x +0.2e 3x .<br />
(c)xy ′ −3y=x 3 , y=x 3 ln(x)+10x 3 .<br />
(d)(x 2 +4)y ′ +3xy=x , y= 1 3 + 16<br />
3 (x2 +4) −3/2 .<br />
(e)y ′ −2y= sin(x)+cos(x) , y=Ce 2x −0.2sin(x)−0.6cos(x).<br />
Dæmi 2. Finnið almenna lausn á gefnu diffurjöfnunni. Finnið einnig sérlausn í<br />
liðum (c) og (d) sem uppfyllir gefna skilyrðið.<br />
(a)y ′ = 1+sin(2x). (b)y ′ = 6x+3<br />
x 2 +x .<br />
(c)y ′ =x 3/2 , y(1)=1. (d)y ′ =<br />
2x<br />
(x−1)(x+1) , y(2)=4.<br />
(e)y ′ =xcos(x 2 ).<br />
(f)y ′ = 2x 2 cos(2x).
6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 103<br />
6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur<br />
Skilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breytur<br />
ef hægt er að rita jöfnuna á forminu<br />
dy<br />
dx<br />
=f(x)·g(y) (6.1)<br />
Jöfnu (6.1) má umrita á formið<br />
1<br />
dy=f(x)dx (6.2)<br />
g(y)<br />
Þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna<br />
jafnaðarmerkis til að finna lausn diffurjöfnunnar:<br />
∫ ∫<br />
1<br />
g(y) dy= f(x)dx<br />
Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðG(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) má<br />
skrifa lausnina á forminu<br />
G(y)=F(x)+k (6.3)<br />
Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) er<br />
síðan leyst fyriry ef hægt er.<br />
Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur sem<br />
einnig eru lausnir jöfnunnar.<br />
Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dy<br />
dx =−x og finnum svo sérlausn sem uppfyllir<br />
y<br />
skilyrðiðy(3)=4.<br />
Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):<br />
ydy=−xdx<br />
Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:<br />
∫ ∫<br />
ydy=− xdx<br />
1<br />
2 y2 =− 1 2 x2 +k 1<br />
y 2 =−x 2 +2k 1 = 2k 1 −x 2 =k−x 2<br />
Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þá<br />
y=± √ k−x 2 .<br />
Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Við setjum 3 inn fyrir<br />
x og 4 fyriry og þá fæst:<br />
√<br />
k−3 2 = 4, k=25.<br />
Sérlausnin ery= √ 25−x 2 .
104 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR<br />
Dæmi 6.2.2. Leysum diffurjöfnuna dy<br />
dx =y2 .<br />
Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):<br />
1<br />
y 2dy=dx.<br />
Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:<br />
∫ ∫ 1<br />
y 2dy= dx<br />
svo<br />
svo<br />
−1<br />
y<br />
=x+k svo<br />
y= −1<br />
x+k<br />
Núllstöð fallsinsg(y)=y 2 ,y= 0 er einnig lausn.<br />
6.2.1 Æfing<br />
Dæmi 1. Leysið eftirfarandi diffurjöfnur.<br />
(a) dy<br />
dx = y dy<br />
. (b)<br />
x+1 dx =x(y+1).<br />
(c) dy<br />
dx = x<br />
y+1<br />
Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna<br />
dy<br />
dx = 3−y<br />
1+2x<br />
(d) dy<br />
dx =xsin(x) e y<br />
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,2).<br />
Dæmi 3. Leysið diffurjöfnuna<br />
e −xdy<br />
dx =(1−y)2<br />
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(0,0).<br />
Dæmi 4. Leysið diffurjöfnuna<br />
x 2dy<br />
dx =y−xy<br />
Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,1).
6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 105<br />
6.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi<br />
Skilgreining 6.3.1. Diffurjafna á forminu<br />
a(x)·y ′ +b(x)·y=c(x) (6.4)<br />
þar sem a(x), b(x) og c(x) eru einhver föll, kallast fyrsta stigs línuleg<br />
diffurjafna. Efc(x)=0fyrir öllx þá er jafnan sögð vera óhliðruð, annars er<br />
jafnan hliðruð<br />
Jöfnu (6.4) þarf að umrita á formið<br />
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.5)<br />
svo unnt sé að leysa hana. Stuðullinn viðy ′ er þá 1. Lausn jöfnu (6.5) fæst síðan<br />
með eftirfarandi reglu:<br />
Setning 6.3.1. Látum<br />
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.6)<br />
vera fyrsta stigs diffurjöfnu þar semP(x) ogQ(x) er samfelld föll á opnu bili<br />
I. Almenn lausn jöfnunnar á bilinuI er<br />
y=<br />
µ(x)·<br />
1 ∫<br />
µ(x)Q(x)dx (6.7)<br />
þar semµ(x)=e ∫ P(x)dx er kallaður heildunarþáttur.<br />
Sönnun. Margföldum báðar hliðar gefnu diffurjöfnunnar með heildunarþættinum<br />
µ(x):<br />
µ(x)·y ′ +µ(x)P(x)y=µ(x)·Q(x)<br />
Þar semµ ′ (x)=µ(x)P(x) má rita þessa jöfnu á forminu<br />
(<br />
µ(x)y<br />
) ′=µ(x)·Q(x)<br />
µ(x)y er því stofnfall fallsinsµ(x)·Q(x). Því má rita<br />
∫<br />
µ(x)y= µ(x)·Q(x)dx<br />
svo y=<br />
µ(x)·<br />
1 ∫<br />
µ(x)·Q(x)dx.<br />
Athugasemd 9. Nú skal bent á tvö atriði varðandi heidunarþáttinnµ(x):<br />
Í fyrsta lagi þá má sleppa heildunarfastanumk þegar óákveðna heildið<br />
∫<br />
P(x)dx
106 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR<br />
er reiknað. Áhrifa fastans gætir ekki í jöfnu (6.7) þegar lausn diffurjöfnunnar er<br />
reiknuð.<br />
Í öðru lagi þá má sleppa algildi logra í útkomu óákveðna heildisins<br />
∫<br />
P(x)dx.<br />
Áhrifa algildis gætir heldur ekki í jöfnu (6.7).<br />
Tökum sem dæmiP(x)=1/x. Reiknum tvo heildunarþætti,µ 1 (x) þar sem hvorki<br />
heildunarfasti né algildi er sleppt og µ 2 (x) þar sem heildunarfasta og algildi er<br />
sleppt. Hér er<br />
∫<br />
P(x)dx=<br />
Heildunarþátturinnµ 1 (x) er<br />
⎧<br />
∫ 1 ⎨<br />
x dx= ln|x|+k hvorki heildunarfasta né algildi sleppt<br />
⎩ln(x)<br />
bæði algildi og heildunarfasta sleppt<br />
µ 1 (x)=e ln|x|+k =e ln|x|·e k =c|x|,<br />
þar sem fastinne k hefur verið táknaður meðc. Ef heildunarfasta og algildi er sleppt<br />
fæst heildunarþátturinn<br />
µ 2 (x)=e ln(x) =x.<br />
Nú gildir eftirfarandi:<br />
∫<br />
1<br />
µ 1 (x)·Q(x)dx=<br />
µ 1 (x)·<br />
c|x|·<br />
1 ∫<br />
c|x|·Q(x)dx<br />
=<br />
c|x|·<br />
c ∫<br />
|x|·Q(x)dx<br />
=<br />
|x|·<br />
1 ∫<br />
|x|·Q(x)dx<br />
=<br />
±x·<br />
1 ∫<br />
±x·Q(x)dx<br />
=<br />
±x·<br />
±1 ∫<br />
x·Q(x)dx<br />
=<br />
x·<br />
1 ∫<br />
x·Q(x)dx<br />
= 1 ∫<br />
µ 2 (x)·Q(x)dx<br />
µ 2 (x)·<br />
Þá er ljóst að heildunarþættirnir tveir,µ 1 (x) ogµ 2 (x) leiða til sömu lausnar; hægri<br />
hlið jöfnu (6.7) er sú sama hvort sem notaður er heildunarþátturinn µ 1 (x) eða<br />
heildunarþátturinnµ 2 (x).<br />
Dæmi 6.3.1. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar<br />
á bilinu]0,∞[.<br />
xy ′ +y=e 2x
6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 107<br />
Lausn:<br />
Umritun jöfnu: Deilt beggja vegna jafnaðarmerkis meðx. þá fæst<br />
y ′ + 1 x y=e2x x<br />
svoP(x)= 1 x ogQ(x)=e2x x .<br />
Heildunarþáttur fundinn:<br />
µ(x)=e∫<br />
P(x)dx<br />
=e∫ 1<br />
x dx =e ln(x) =x (heildunarfasta og algildi sleppt).<br />
Lausn diffurjöfnu er reiknuð: Við beitum reglu 6.3.1 og reiknum lausnina samkvæmt<br />
jöfnu (6.7)<br />
y=<br />
µ(x)·<br />
1 ∫<br />
µ(x)Q(x)dx<br />
Q(x)<br />
∫ {}}{<br />
µ(x)<br />
{}}{ e 2x<br />
x ·<br />
x dx= 1 x<br />
= 1 x<br />
=<br />
x( 1 ) 1<br />
2 e2x +k<br />
= e2x +2k<br />
2x<br />
∫<br />
e 2x dx<br />
Dæmi 6.3.2. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar<br />
xy ′ −xy=−x 2 .<br />
Lausn:<br />
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:<br />
Þá erP(x)=−1 ogQ(x)=−x.<br />
y ′ −y=−x<br />
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er<br />
µ(x)=e∫<br />
P(x)dx<br />
=e∫<br />
−1dx<br />
=e −x (heildunarfasta sleppt).<br />
Lausn diffurjöfnu reiknuð:Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er almenn lausn<br />
y=<br />
µ(x)·<br />
1 ∫<br />
µ(x)Q(x)dx<br />
= 1 ∫<br />
−xe −x dx<br />
e −x<br />
=e x (xe −x +e −x +k) (hlutheildun)<br />
=x+1+ke x
108 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR<br />
Dæmi 6.3.3. Finnum sérlausn diffurjöfnunnar<br />
xy ′ −2y=x 3 , y(4)=2<br />
Lausn: Fyrst er almenn lausn fundin.<br />
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:<br />
y ′ − 2 x y=x2<br />
Þá erP(x)=− 2 x ogQ(x)=x2 .<br />
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er<br />
∫<br />
P(x)dx<br />
µ(x)=e∫<br />
=e −<br />
2<br />
x dx =e −2ln(x) =e ln(x−2) =x −2 .<br />
Lausn diffurjöfnunnar er reiknuð: Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er lausnin<br />
y=<br />
µ(x)·<br />
1 ∫<br />
µ(x)Q(x)dx<br />
Notum nú byrjunargildið til að finnak:<br />
= 1 ∫ µ(x) Q(x)<br />
{}}{<br />
x −2 x −2·<br />
{}}{ ∫<br />
x 2 dx=x 2 1dx<br />
=x 2 (x+k)=x 3 +kx 2<br />
y(4)=2<br />
svo 4 3 +4 2 k=2 og því k= −31<br />
8<br />
Sérlausnin sem leitað er að er þvíy=x 3 − 31 8 x2 .<br />
6.3.1 Æfing<br />
Dæmi 1. Finnið almenna lausn eftirfarandi jafna. Finnið einnig sérlausn þar sem<br />
það á við.<br />
(a)y ′ + 1 x y=x3 −3. (b)y ′ + 2 x y=x2 +2.<br />
(c)x 2 y ′ +3xy= sin(2x)<br />
(d)y ′ −xy=xe x2 ,y(0)=5<br />
(e)y ′ −tan(x)y= 3e −sin(x) ,y(0)=4<br />
Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna<br />
x 2 y ′ +(1−2x)y=x 2 .<br />
Finnið svo sérlausnina sem uppfylliry(1)=0.
Svör við æfingum<br />
Æfing 4.1.3<br />
Dæmi 1.<br />
28<br />
(a)<br />
A= ∫ 3<br />
0 x3 dx= 81 4<br />
(b)<br />
4<br />
A= ∫ 2<br />
−2 (4−x2 )dx= 32 3<br />
−1<br />
(c)<br />
1 2 3<br />
3<br />
−3<br />
(d)<br />
40<br />
−2<br />
−1<br />
1 2<br />
A= ∫ 0<br />
−2 (x3 −4x)dx= 4<br />
A= ∫ 4<br />
2 (x3 −4x)dx= 36<br />
−3 −2<br />
Dæmi 2.<br />
−1<br />
(b)<br />
1 2 3 4<br />
(a)<br />
2<br />
40<br />
A= ∫ 2<br />
1 (e2x −1)dx<br />
−1<br />
A= ∫ 1<br />
0 (ex +1)dx=e 1<br />
1 2<br />
= e4 −e 2<br />
2<br />
−1<br />
i
ii<br />
SVÖR VIÐ ÆFINGUM<br />
(c)<br />
2<br />
−1 1/2<br />
(d)<br />
−1 A= ∫ 1<br />
1<br />
−1 dx= 3ln(3)<br />
3<br />
2−x<br />
−5<br />
A= ∫ 1/2<br />
−1 − (<br />
3<br />
x−1 +1 )dx= 6ln(2)− 3 2<br />
Dæmi 3.<br />
A= ∫ 1<br />
−2 ([2−x2 ]−[x])dx= 9/2<br />
(b)<br />
(a)<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
1<br />
−3<br />
−2 −1 1 2<br />
A= ∫ 2<br />
−2 ([x+2]−[x2 +x−2])dx= 32/3<br />
(c)<br />
1 4<br />
A= ∫ 2 3<br />
3<br />
2 ([4−x]−[2/(x−1)])dx= 3/2−2ln(2)
ÆFING 4.1.3<br />
iii<br />
Dæmi 4.<br />
(a)<br />
(4,2)<br />
•<br />
(b)<br />
(4,2)<br />
•<br />
1 2 3 4 5 6<br />
Flatarmálið er<br />
1 2 3 4 5 6<br />
A=<br />
∫ 4<br />
0<br />
√<br />
xdx+ þríhyrningur<br />
= 16<br />
3 + 1 2 2·2=22/3<br />
Dæmi 5. (a) Flatarmál skyggða svæðisins er tvöfalt flatarmál svæðisins sem ákvarðast<br />
af bilinu[0,2], vegna samhverfu, en á því bili er jafna algildisfallsins<br />
Flatarmálið má því rita sem<br />
∫ 2<br />
A=2<br />
0<br />
y= 3− 3 2 x<br />
∫ 2 (<br />
(lína−fleygbogi)dx= 2<br />
0<br />
=<br />
=<br />
∫ 2<br />
0<br />
∫ 2<br />
0<br />
3− 3 [ ]) 3<br />
2 x− 2 (x−2)2 −3 dx<br />
(6−3x−3(x−2) 2 +6)dx<br />
(9x−3x 2 )dx<br />
Þá era=−3,b=9ogc= 0.<br />
(b) Flatarmálið er<br />
∫ 2 [ ] 9 2<br />
(9x−3x 2 )dx=<br />
0 2 x2 −x 3 = 10<br />
0<br />
Dæmi 6. (a) Gildi heildis er 32/3.<br />
(b) Nei. Flatarmál skyggða svæðisins er<br />
∫ 1 ∫ 2<br />
f(x)dx− f(x)dx<br />
−2 1<br />
en heildið í lið (a) er summan<br />
∫ 1 ∫ 2<br />
f(x)dx+ f(x)dx<br />
−2 1
iv<br />
SVÖR VIÐ ÆFINGUM<br />
Dæmi 7. (a) Til að jafnan gildi þarfa=2.<br />
(b) Flatarmál skyggða svæðisins er ln(3)/2.<br />
Dæmi 8. (a) Jafna snertils er<br />
y=f(2)+f ′ (2)(x−2)<br />
= 2+2(x−2)<br />
= 2x−2<br />
(b)<br />
Snertill skerx-ás í 1. Reiknum flatarmálið sem mismun<br />
•<br />
P(2,2)<br />
A=<br />
∫ 2<br />
0<br />
= 8 3 −1<br />
(x 2 −2x+2)dx− þríhyrningur<br />
= 5 3<br />
1<br />
Dæmi 9. (a) Jafna snertils er<br />
y=f(a 2 )+f ′ (a 2 )(x−a)<br />
=a 3 + 3 2 a(x−a2 )<br />
=a 3 + 3 2 ax− 3 2 a3<br />
= 3 2 ax− 1 2 a3<br />
(b)<br />
Snertill skerx-ás ía 2 /3. Reiknum flatarmálið sem mismun<br />
a 2 /3<br />
a 2<br />
•<br />
P(a 2 ,a 3 )<br />
A=<br />
∫ a 2<br />
0<br />
x 3/2 dx− þríhyrningur<br />
= 2 5 a5 − 1 2·2<br />
3 a2·a 3<br />
= a5<br />
15<br />
Dæmi 10. (a) Jafna snertils er<br />
y=f(a)+f ′ (a)(x−a)<br />
= √ a+ 1<br />
2 √ a (x−a)<br />
= √ a+ 1<br />
2 √ a x− 1 √<br />
a<br />
2<br />
= 1<br />
2 √ a x+ 1 √<br />
a<br />
2
•<br />
•<br />
ÆFING 4.2.3<br />
v<br />
(b)<br />
Snertill skery-ás í √ a/2. Reiknum flatarmálið sem mismun<br />
√ a/2<br />
P(a,f(a))<br />
a<br />
∫ a<br />
√<br />
A=trapisa− xdx<br />
0<br />
= 2·a·(√ 1 a+ √ [ ] 2 a<br />
a/2)−<br />
3 x3/2 0<br />
= 3 4 a3/2 − 2 3 a3/2<br />
= 1 12 a3/2<br />
Æfing 4.2.3<br />
Dæmi 1.<br />
(a)<br />
Rúmmálið er<br />
3<br />
V =π<br />
∫ 3<br />
0<br />
[x 2 ] 2 dx=π 243<br />
5<br />
3<br />
(b)<br />
−1 1<br />
Rúmmálið er<br />
(c)<br />
V =π<br />
∫ 1<br />
[1−x 2 ] 2 dx=π 16<br />
−1 15<br />
−1 1<br />
Rúmmálið er<br />
(d)π 384<br />
5<br />
−1 2<br />
(e)π 512<br />
3<br />
V =π<br />
∫ 2<br />
−1<br />
(<br />
[x+3] 2 −[1+x 2 ] 2) dx=π 117<br />
5<br />
−1 2<br />
Dæmi 2.<br />
(a)π 38 3 .<br />
(b)π3566 15<br />
( 25e<br />
8<br />
(c)π<br />
4<br />
)<br />
− 5e4<br />
4<br />
(d) 6π<br />
(e)<br />
π e8 −e 4 +16+4e −4 −4e −8<br />
2<br />
(f)π
vi<br />
SVÖR VIÐ ÆFINGUM<br />
Dæmi 3.<br />
(a) 40√ 5<br />
3<br />
Dæmi 4.<br />
(b)π 625<br />
12<br />
(a)f er kúrfanC 2 ogg er kúrfanC 1 .<br />
(b)A=(1,0) ogB=(3,3ln(3))<br />
(c) 9ln2 (3)<br />
− 9ln(3) +2<br />
( 2 2 )<br />
2864<br />
(d)π<br />
27 −48ln(3)−36ln2 (3)<br />
Æfing 5.1.2<br />
Dæmi 1.<br />
(a) 36 (b) 32 (c) 216<br />
(d) 69 (e) 104 (f) 92<br />
Dæmi 2.<br />
4∑<br />
(a)<br />
(d)<br />
k=1<br />
k 2<br />
6∑<br />
(k 2 +k) (e)<br />
6∑<br />
(b) (2k+1)<br />
k=1<br />
k=0<br />
k=1<br />
6∑<br />
(k+3)<br />
(c)<br />
(f)<br />
4∑<br />
(2+k 2 )<br />
k=1<br />
7∑<br />
(k 2 +k)<br />
k=1<br />
Dæmi 3.<br />
(a) 1·4+2·5+3·6+···+(n−1)·(n+2)+n·(n+3)<br />
(b) 1·2 1 +2·2 2 +3·2 3 +···+(n−1)·2 n−1 +n·2 n<br />
1<br />
(c)<br />
1·2 + 1<br />
2·3 + 1<br />
3·4 +···+ 1<br />
n·(n+1) + 1<br />
(n+1)·(n+2)<br />
Æfing 5.2.1<br />
Dæmi 1. (a) 2/4,4/7,6/10. (b) 1/2,1/5,1/10. (c) 1,2/3,4/9.<br />
Dæmi 2. (a) 1/243,1/729,1/2187. (b) 1/32,1/64,1/128.<br />
Dæmi 3. (a)a n =<br />
1<br />
2n−1 . (b)a n= 1<br />
3n .<br />
Dæmi 4. (a) 2,4/3,8/9,16/27,32/81. (b) 1,1,2,3,5. (c) 2,2,2,2,2.<br />
Æfing 5.2.3<br />
Dæmi 1. a 1 =−25
ÆFING 5.2.3<br />
vii<br />
Dæmi 2. a 1 = 1 12<br />
Dæmi 3. a 1 =−14, d=2.<br />
Dæmi 4. d=− 3 2 ,x 1= 40. Fyrstu fimm liðir eru:<br />
40,38.5,37,35.5,34.<br />
Dæmi 5. a 1 =−1, q=− 2 3<br />
Dæmi 6. q= 1 5 ,t 1= 1000. Fyrstu fimm liðir eru:<br />
1000,200,40,8,8/5.<br />
Dæmi 7. 123<br />
Dæmi 8. 21<br />
Dæmi 9.<br />
(a) 2/3 (b) 405·(2/3) 14 = 81920<br />
59049<br />
Dæmi 10.<br />
(a)(i) 3, (ii) 50 (b) 798<br />
Dæmi 11.<br />
(a)(i) 3, (ii) 5 (b)a= 5 2 ,b= 310 .<br />
Dæmi 12.<br />
(a)a 1 =−8,a 2 =−17,a 3 =−26 (b) -485<br />
Dæmi 13. 3 20 −1.<br />
Dæmi 14.<br />
(a) 2 (b)(i) 45 (ii) 225<br />
Dæmi 15.<br />
√ 2<br />
Dæmi 16.<br />
2 11 −1/2.<br />
Dæmi 17.
viii<br />
SVÖR VIÐ ÆFINGUM<br />
q= −1+√ 5<br />
2<br />
Dæmi 18.<br />
(a)d=−, (b)a 1 =p+q−1<br />
Dæmi 19.<br />
Teljari er 10·11<br />
2<br />
= 55 og nefnari er 1· 1−(1/2)10<br />
= 1023<br />
1−(1/2)<br />
512<br />
. Brotið er<br />
2560<br />
93<br />
Dæmi 20.<br />
x= 10/3<br />
Æfing 6.1.1<br />
Dæmi 2.<br />
(a)y=x− 1 2 cos(2x)+k (b)y= 3ln|x2 +x|+k<br />
(c)y= 1 5 (2x5/2 +3) (d)y= ln<br />
∣ (x+1)(x−1)<br />
∣<br />
3<br />
∣+4<br />
(e)y= 1 2 sin(x2 )+k<br />
(f)y=x 2 sin(2x)+xcos(2x)− 1 2 sin(2x)+k.<br />
Æfing 6.2.1<br />
Dæmi 1.<br />
{<br />
y = 0<br />
(a)<br />
y =k(x+1)<br />
(b)<br />
(d)y= ln ( sin(x)−xcos(x)+k )<br />
⎧<br />
⎪⎨ y = 3<br />
Dæmi 2.<br />
⎪⎩ (3−y) 2 k<br />
=<br />
|2x+1|<br />
⎧<br />
⎨<br />
Dæmi 3.<br />
⎩<br />
y = 1<br />
1<br />
1−y =ex +k<br />
{<br />
y =−1<br />
y =ke x2 /2 −1<br />
Sérlausn:y= 3−<br />
Sérlausn:y= 1−e −x<br />
(c)(y+1) 2 =x 2 +k<br />
√<br />
3<br />
2x+1 , x>−1/2<br />
⎧<br />
⎨ y = 0<br />
Dæmi 4.<br />
⎩ ln|y| =− 1 x −ln|x|+k Sérlausn:y=x −1 e 1−x−1 , x> 0<br />
Æfing 6.3.1<br />
Dæmi 1.
ÆFING 6.3.1<br />
ix<br />
(a)y= 2x5 −15x 2 +k<br />
10x<br />
(b)y= 3x5 +10x 3 +k<br />
15x 2<br />
(c)y= sin(2x)−2xcos(2x)+k<br />
4x 3<br />
(d)y=e x2 +ke x2 /2<br />
Sérlausn:y=e x2 +4e x2 /2<br />
(e)y= k−3e−sin(x)<br />
cos(x)<br />
Sérlausn:y= 7−3e−sin(x)<br />
cos(x)<br />
Dæmi 2.y=x 2 +kx 2 e x−1 Sérlausn:y=x 2 (1−e x−1 −1 )