Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

g, neðri ferill
•
70 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Flatarmálið milli ferlanna er þá
A=
∫ b
a
(
(f(x)+k)−(g(x)+k
)
dx=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
Þegar svæði er afmarkað af ferlum tveggja fallaf(x) ogg(x) þar semg(x)≤f(x)
þá er ferill fallsinsf(x) kallaður efri ferill svæðisins og ferill fallsinsg(x) kallaður
neðri ferill svæðisins. Mismunurinn
f(x)−g(x)=„Efri ferill−Neðri ferill “
er heildaður fráatilbtil að ákvarða flatarmál svæðisins sem ferlarnir afmarka.
A
f , efri ferill
Svæðið afmarkast að ofan af efri ferli,
y = f(x) og að neðan af neðri ferli,
y=g(x).
A=
∫ b
a
( Efri ferill−Neðri ferill ) dx
=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
a
b
Dæmi 4.1.5. Finnum flatarmál svæðisins sem ferlar fallanna f(x) = 2x og
g(x)=x 2 −4x afmarka.
Lausn: Þegar ferlar fallanna eru teiknaðir í hnitakerfið sést að fleygboginn
g(x) = x 2 − 4x myndar neðri feril og línan f(x) = 2x er efri ferill. Ekkert er
minnst á bil[a,b] sem heilda á yfir svo heildunarmörkin ráðast af skurðpunktum
ferlanna sem eru(0,0) og(6,12); heildað er yfir bilið[0,6].
f(x)=2x
A
g(x)
=
x 2 − 4x
(6,12)
A=
=
=
=
∫ 6
0
∫ 6
0
∫ 6
0
(
f(x)−g(x)
)
dx
(
2x−(,x 2 −4x) ) dx
(6x−x 2 )dx
[3x 2 − x3
3
] 6
0
= 3·36− 63
3 = 36