Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

•
•
•
4.1. FLATARMÁL 69
Lausn: Heildið vinstra megin jafnaðarmerkis er
flatarmál svæðis sem ferill f og x-ás afmarka á
bilinu [−2,0]. Heildið hægra megin er flatarmál
svæðis sem ferillf ogx-ás afmarka á bilinu[0,2].
Flatarmál þessara svæða eru auðreiknuð; 4 og 1.
Jafnan verður því
(−2,3)
(0,1) (2,1)
Þá erk=4.
4=k·1
−2 1 2
4.1.2 Svæði ákvarðað af tveimur ferlum
Setning 4.1.1. Ef fölliny=f(x) ogy=g(x) eru samfelld á bili[a,b] og
g(x)≤f(x) fyrir öllx∈[a,b]
þá er flatarmál svæðisins milli ferlanna á bilinu[a,b]
A=
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx.
Sönnun. Ef ferlar beggja falla eru ofan við x-ás þá er flatarmál svæðisins á milli
ferlanna mismunurinnA=A f −A g eins og sýnt er á myndinni hér að neðan.
A f
f(x)
g(x)
A
f(x)
A g
g(x)
a
b
a
b
a
b
A=A f −A g =
∫ b
a
∫ b
f(x)dx− g(x)dx=
a
∫ b
a
(
f(x)−g(x)
)
dx
Ef svæðið milli ferlanna er ekki allt ofan við x-ásinn þá er báðum ferlum hliðrað
upp með því að leggja fasta jákvæða tölukviðf(x) ogg(x).
f(x)+k
A
f(x)
b
A
g(x)+k
a
g(x)
a
b