Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

4.1. FLATARMÁL 67
Dæmi 4.1.2. Reiknum heildarflatarmál svæðisins sem ferill fallsins
f(x)=(x+1)sin(πx) ogx-ás afmarka á bilinu[−1,2].
-1
• 0 • •
1 2
•
f(x)=(x+1)sin(πx)
Lausn: Svæðið sem ferill f(x) og x-ás afmarka á bilinu [−1,2] er að hluta til
fyrir ofanx-ás og að hluta til fyrir neðanx-ás. Þess vegna er ekki hægt að reikna
flatarmál svæðisins með einu heildi. Tveir hlutar svæðisins eru fyrir neðanx-ásinn
og einn hluti fyrir ofan x-ásinn; alls 3 hlutar. Heildarflatarmálið er því summa
þriggja heilda:
A=
∫ 0 ∫ 1 ∫ 2
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx
−1 0 1
Stofnfall fallsinsf(x) finnst með hlutheildun:
∫
(x+1)sin(πx)dx=(x+1)·−1
π ·cos(πx)− ∫
1·−1
π cos(πx)dx
Heildarflatarmál svæðisins er því:
=− (x+1)cos(πx)
π
[ sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
A=−
= 1 π + 3 π + 5 π
π 2
+ 1 π · 1
π ·sin(πx)
= sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
π 2
] 0
−1
[ ] 1 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
+
π 2 0
[ ] 2 sin(πx)−π(x+1)cos(πx)
−
π 2 1
= 9 π