Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR
Þegar ferill fallsinsy =f(x) liggur að hluta til ofan viðx-ás og að hluta til neðan
við x-ás og finna á flatamál svæðisins á milli ferils ogx-áss þarf að finnax-hnit
punktanna þar sem ferillin fer yfir ásinn.
a
• • •
x 1 x 2 x 3
b
Á myndinni hér að ofan eru x-hnit skurðpunktanna þar sem ferillinn fer yfir
x-ásinn kölluð x 1 , x 2 og x 3 . Heildarflatarmál svæðisins sem afmarkast af ferli
fallsinsf(x) ogx-ás á bilinu[a,b] er:
A=
∫ x1
a
∫ x2
∫ x3
∫ b
−f(x)dx+ f(x)dx+ −f(x)dx+ f(x)dx
x 1 x 2 x 3
=− [ F(x) ] x 1
a +[ F(x) ] x 2
x 1
− [ F(x) ] x 3
x 2
+ [ F(x) ] b
x 3
Dæmi 4.1.1. Reiknum flatarmál svæðisins sem ferill fallsinsf(x)=2(1−x 2 ) og
x-ás afmarka.
Lausn: Þar sem ekkert bil [a,b] er tiltekið þá ráðast heildunarmörk af skurðpunktum
ferils viðx-ás. Skurðpunktarnir eru fundnir með því að leysa jöfnuna
svo
f(x)=0
eða 2(1−x 2 )=0
2(1−x)(1+x)=0
svo x=−1 eða x= 1.
Þegar ferill fallsins er teiknaður sést að svæðið er ofan viðx-ás. Flatarmálið er því
heildi fallsinsf(x) á bilinu[−1,1].
−1
• •
1
f(x)=2(1−x 2 )
∫ 1 ∫ 1
f(x)dx= 2(1−x 2 )dx
−1 −1
[ )] 1
= 2
(x− x3
3 −1
= 2(1−1/3)−2(−1+1/3)
= 4/3+4/3=8/3