Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

108 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
Dæmi 6.3.3. Finnum sérlausn diffurjöfnunnar
xy ′ −2y=x 3 , y(4)=2
Lausn: Fyrst er almenn lausn fundin.
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:
y ′ − 2 x y=x2
Þá erP(x)=− 2 x ogQ(x)=x2 .
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er
∫
P(x)dx
µ(x)=e∫
=e −
2
x dx =e −2ln(x) =e ln(x−2) =x −2 .
Lausn diffurjöfnunnar er reiknuð: Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er lausnin
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
Notum nú byrjunargildið til að finnak:
= 1 ∫ µ(x) Q(x)
{}}{
x −2 x −2·
{}}{ ∫
x 2 dx=x 2 1dx
=x 2 (x+k)=x 3 +kx 2
y(4)=2
svo 4 3 +4 2 k=2 og því k= −31
8
Sérlausnin sem leitað er að er þvíy=x 3 − 31 8 x2 .
6.3.1 Æfing
Dæmi 1. Finnið almenna lausn eftirfarandi jafna. Finnið einnig sérlausn þar sem
það á við.
(a)y ′ + 1 x y=x3 −3. (b)y ′ + 2 x y=x2 +2.
(c)x 2 y ′ +3xy= sin(2x)
(d)y ′ −xy=xe x2 ,y(0)=5
(e)y ′ −tan(x)y= 3e −sin(x) ,y(0)=4
Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna
x 2 y ′ +(1−2x)y=x 2 .
Finnið svo sérlausnina sem uppfylliry(1)=0.