Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 107
Lausn:
Umritun jöfnu: Deilt beggja vegna jafnaðarmerkis meðx. þá fæst
y ′ + 1 x y=e2x x
svoP(x)= 1 x ogQ(x)=e2x x .
Heildunarþáttur fundinn:
µ(x)=e∫
P(x)dx
=e∫ 1
x dx =e ln(x) =x (heildunarfasta og algildi sleppt).
Lausn diffurjöfnu er reiknuð: Við beitum reglu 6.3.1 og reiknum lausnina samkvæmt
jöfnu (6.7)
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
Q(x)
∫ {}}{
µ(x)
{}}{ e 2x
x ·
x dx= 1 x
= 1 x
=
x( 1 ) 1
2 e2x +k
= e2x +2k
2x
∫
e 2x dx
Dæmi 6.3.2. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar
xy ′ −xy=−x 2 .
Lausn:
Umritun jöfnu: Deilum beggja vegna jafnaðarmerkis meðx:
Þá erP(x)=−1 ogQ(x)=−x.
y ′ −y=−x
Heildunarþáttur fundinn: Heildunarþáttur er
µ(x)=e∫
P(x)dx
=e∫
−1dx
=e −x (heildunarfasta sleppt).
Lausn diffurjöfnu reiknuð:Samkvæmt jöfnu (6.7) í reglu 6.3.1 er almenn lausn
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx
= 1 ∫
−xe −x dx
e −x
=e x (xe −x +e −x +k) (hlutheildun)
=x+1+ke x