Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

106 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
er reiknað. Áhrifa fastans gætir ekki í jöfnu (6.7) þegar lausn diffurjöfnunnar er
reiknuð.
Í öðru lagi þá má sleppa algildi logra í útkomu óákveðna heildisins
∫
P(x)dx.
Áhrifa algildis gætir heldur ekki í jöfnu (6.7).
Tökum sem dæmiP(x)=1/x. Reiknum tvo heildunarþætti,µ 1 (x) þar sem hvorki
heildunarfasti né algildi er sleppt og µ 2 (x) þar sem heildunarfasta og algildi er
sleppt. Hér er
∫
P(x)dx=
Heildunarþátturinnµ 1 (x) er
⎧
∫ 1 ⎨
x dx= ln|x|+k hvorki heildunarfasta né algildi sleppt
⎩ln(x)
bæði algildi og heildunarfasta sleppt
µ 1 (x)=e ln|x|+k =e ln|x|·e k =c|x|,
þar sem fastinne k hefur verið táknaður meðc. Ef heildunarfasta og algildi er sleppt
fæst heildunarþátturinn
µ 2 (x)=e ln(x) =x.
Nú gildir eftirfarandi:
∫
1
µ 1 (x)·Q(x)dx=
µ 1 (x)·
c|x|·
1 ∫
c|x|·Q(x)dx
=
c|x|·
c ∫
|x|·Q(x)dx
=
|x|·
1 ∫
|x|·Q(x)dx
=
±x·
1 ∫
±x·Q(x)dx
=
±x·
±1 ∫
x·Q(x)dx
=
x·
1 ∫
x·Q(x)dx
= 1 ∫
µ 2 (x)·Q(x)dx
µ 2 (x)·
Þá er ljóst að heildunarþættirnir tveir,µ 1 (x) ogµ 2 (x) leiða til sömu lausnar; hægri
hlið jöfnu (6.7) er sú sama hvort sem notaður er heildunarþátturinn µ 1 (x) eða
heildunarþátturinnµ 2 (x).
Dæmi 6.3.1. Finnum almenna lausn diffurjöfnunnar
á bilinu]0,∞[.
xy ′ +y=e 2x