Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FYRSTA STIGI 105
6.3 Línulegar diffurjöfnur af fyrsta stigi
Skilgreining 6.3.1. Diffurjafna á forminu
a(x)·y ′ +b(x)·y=c(x) (6.4)
þar sem a(x), b(x) og c(x) eru einhver föll, kallast fyrsta stigs línuleg
diffurjafna. Efc(x)=0fyrir öllx þá er jafnan sögð vera óhliðruð, annars er
jafnan hliðruð
Jöfnu (6.4) þarf að umrita á formið
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.5)
svo unnt sé að leysa hana. Stuðullinn viðy ′ er þá 1. Lausn jöfnu (6.5) fæst síðan
með eftirfarandi reglu:
Setning 6.3.1. Látum
y ′ +P(x)y=Q(x) (6.6)
vera fyrsta stigs diffurjöfnu þar semP(x) ogQ(x) er samfelld föll á opnu bili
I. Almenn lausn jöfnunnar á bilinuI er
y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)Q(x)dx (6.7)
þar semµ(x)=e ∫ P(x)dx er kallaður heildunarþáttur.
Sönnun. Margföldum báðar hliðar gefnu diffurjöfnunnar með heildunarþættinum
µ(x):
µ(x)·y ′ +µ(x)P(x)y=µ(x)·Q(x)
Þar semµ ′ (x)=µ(x)P(x) má rita þessa jöfnu á forminu
(
µ(x)y
) ′=µ(x)·Q(x)
µ(x)y er því stofnfall fallsinsµ(x)·Q(x). Því má rita
∫
µ(x)y= µ(x)·Q(x)dx
svo y=
µ(x)·
1 ∫
µ(x)·Q(x)dx.
Athugasemd 9. Nú skal bent á tvö atriði varðandi heidunarþáttinnµ(x):
Í fyrsta lagi þá má sleppa heildunarfastanumk þegar óákveðna heildið
∫
P(x)dx