KennslubÃ³kin kafli 4 - MenntaskÃ³linn viÃ° HamrahlÃÃ°

More documents

Recommendations

Info

6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 103 6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur Skilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breytur ef hægt er að rita jöfnuna á forminu dy dx =f(x)·g(y) (6.1) Jöfnu (6.1) má umrita á formið 1 dy=f(x)dx (6.2) g(y) Þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna jafnaðarmerkis til að finna lausn diffurjöfnunnar: ∫ ∫ 1 g(y) dy= f(x)dx Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðG(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) má skrifa lausnina á forminu G(y)=F(x)+k (6.3) Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) er síðan leyst fyriry ef hægt er. Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur sem einnig eru lausnir jöfnunnar. Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dy dx =−x og finnum svo sérlausn sem uppfyllir y skilyrðiðy(3)=4. Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2): ydy=−xdx Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis: ∫ ∫ ydy=− xdx 1 2 y2 =− 1 2 x2 +k 1 y 2 =−x 2 +2k 1 = 2k 1 −x 2 =k−x 2 Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þá y=± √ k−x 2 . Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Við setjum 3 inn fyrir x og 4 fyriry og þá fæst: √ k−3 2 = 4, k=25. Sérlausnin ery= √ 25−x 2 .
104 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR Dæmi 6.2.2. Leysum diffurjöfnuna dy dx =y2 . Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2): 1 y 2dy=dx. Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis: ∫ ∫ 1 y 2dy= dx svo svo −1 y =x+k svo y= −1 x+k Núllstöð fallsinsg(y)=y 2 ,y= 0 er einnig lausn. 6.2.1 Æfing Dæmi 1. Leysið eftirfarandi diffurjöfnur. (a) dy dx = y dy . (b) x+1 dx =x(y+1). (c) dy dx = x y+1 Dæmi 2. Leysið diffurjöfnuna dy dx = 3−y 1+2x (d) dy dx =xsin(x) e y Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,2). Dæmi 3. Leysið diffurjöfnuna e −xdy dx =(1−y)2 Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(0,0). Dæmi 4. Leysið diffurjöfnuna x 2dy dx =y−xy Finnið svo sérlausnina sem fer í gegnum punktinn(1,1).
Page 1 and 2: Stæ 503 Seinni hluti Kaflar 4-6 Me
Page 3 and 4: 64 EFNISYFIRLIT Svör við æfingum
Page 5 and 6: 66 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR Þ
Page 7 and 8: • • • 68 KAFLI 4. HAGNÝTING
Page 9 and 10: g, neðri ferill • 70 KAFLI 4. HA
Page 11 and 12: 72 KAFLI 4. HAGNÝTING HEILDUNAR D
Page 15 and 16: • • 76 KAFLI 4. HAGNÝTING HEIL
Page 22 and 23: Kafli 5 Runur og raðir 5.1 Summut
Page 24 and 25: 5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 85 Dæm
Page 26 and 27: • • • ( 1 2 ( 1 2 ( 1 2 • (
Page 28 and 29: 5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89 (2)P
Page 30 and 31: 5.2. RUNUR OG RAÐIR 91 Athugasemd
Page 32 and 33: 5.2. RUNUR OG RAÐIR 93 Dæmi 5.2.6
Page 34 and 35: 5.2. RUNUR OG RAÐIR 95 Jafnan er
Page 36 and 37: 5.2. RUNUR OG RAÐIR 97 Sér í lag
Page 38 and 39: 5.2. RUNUR OG RAÐIR 99 Dæmi 8. Hv
Page 40 and 41: Kafli 6 Diffurjöfnur 6.1 Inngangur
Page 44 and 45: 6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FY
Page 46 and 47: 6.3. LÍNULEGAR DIFFURJÖFNUR AF FY
Page 48 and 49: Svör við æfingum Æfing 4.1.3 D
Page 50 and 51: ÆFING 4.1.3 iii Dæmi 4. (a) (4,2)
Page 52 and 53: • • ÆFING 4.2.3 v (b) Snertill
Page 54 and 55: ÆFING 5.2.3 vii Dæmi 2. a 1 = 1 1

KennslubÃ³kin kafli 4 - MenntaskÃ³linn viÃ° HamrahlÃ­Ã°

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

KennslubÃ³kin kafli 4 - MenntaskÃ³linn viÃ° HamrahlÃÃ°