Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

6.2. DIFFURJÖFNUR MEÐ AÐSKILJANLEGAR BREYTUR 103
6.2 Diffurjöfnur með aðskiljanlegar breytur
Skilgreining 6.2.1. Fyrsta stigs diffurjafna er sögð hafa aðskiljanlegar breytur
ef hægt er að rita jöfnuna á forminu
dy
dx
=f(x)·g(y) (6.1)
Jöfnu (6.1) má umrita á formið
1
dy=f(x)dx (6.2)
g(y)
Þessi umritun kallast að aðskilja breytistærðir. Síðan er heildað beggja vegna
jafnaðarmerkis til að finna lausn diffurjöfnunnar:
∫ ∫
1
g(y) dy= f(x)dx
Ef stofnfall 1/g(y) er táknað meðG(y) og stofnfallf(x) er táknað meðF(x) má
skrifa lausnina á forminu
G(y)=F(x)+k (6.3)
Þegar lausnin er rituð á þessu formi er talað um fólgið form lausnar. Jafna (6.3) er
síðan leyst fyriry ef hægt er.
Athugasemd 8. Núllstöðvar fallsinsg(y) í diffurjöfnu (6.1) eru láréttar línur sem
einnig eru lausnir jöfnunnar.
Dæmi 6.2.1. Leysum diffurjöfnuna dy
dx =−x og finnum svo sérlausn sem uppfyllir
y
skilyrðiðy(3)=4.
Lausn: Jafnan er umrituð á form jöfnu (6.2):
ydy=−xdx
Heildum svo beggja vegna jafnaðarmerkis:
∫ ∫
ydy=− xdx
1
2 y2 =− 1 2 x2 +k 1
y 2 =−x 2 +2k 1 = 2k 1 −x 2 =k−x 2
Lausnarformið y 2 = k−x 2 er fólgið form. Við getum leyst fyrir y og fáum þá
y=± √ k−x 2 .
Sérlausn sem uppfyllir skilyrðiðy(3)=4er jákvæða lausnin. Við setjum 3 inn fyrir
x og 4 fyriry og þá fæst:
√
k−3 2 = 4, k=25.
Sérlausnin ery= √ 25−x 2 .