Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

102 KAFLI 6. DIFFURJÖFNUR
Lausn diffurjöfnu er annarsvegar sérlausn og hinsvegar almenn lausn. Með
sérlausn er átt við einhverja eina tiltekna lausn jöfnunnar en með almennri
lausn er átt við lausn sem felur allar mögulegar lausnir í sér.
Dæmi 6.1.1. Diffurjafnan
hefur almenna lausn
y ′ (x)=f(x).
∫
y= f(x)dx=F(x)+k
þar semker ótiltekinn fasti. Ef fastanumker gefið ákveðið gildi, til dæmisk=3,
þá fæst sérlausn diffurjöfnunnar sem ery=F(x)+3.
Setning 6.1.1. Almenn lausn diffurjöfnunnar
er
dy
dx =f(x)
∫
y= f(x)dx=F(x)+k.
6.1.1 Æfing
Dæmi 1. Sýnið að falliðy er lausn á diffurjöfnunni.
(a) 10y ′ +7y= 0 , y= 5e −0.7x .
(b)y ′ +2y=e 3x , y= 2e −2x +0.2e 3x .
(c)xy ′ −3y=x 3 , y=x 3 ln(x)+10x 3 .
(d)(x 2 +4)y ′ +3xy=x , y= 1 3 + 16
3 (x2 +4) −3/2 .
(e)y ′ −2y= sin(x)+cos(x) , y=Ce 2x −0.2sin(x)−0.6cos(x).
Dæmi 2. Finnið almenna lausn á gefnu diffurjöfnunni. Finnið einnig sérlausn í
liðum (c) og (d) sem uppfyllir gefna skilyrðið.
(a)y ′ = 1+sin(2x). (b)y ′ = 6x+3
x 2 +x .
(c)y ′ =x 3/2 , y(1)=1. (d)y ′ =
2x
(x−1)(x+1) , y(2)=4.
(e)y ′ =xcos(x 2 ).
(f)y ′ = 2x 2 cos(2x).