Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

Kafli 6
Diffurjöfnur
6.1 Inngangur
Diffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).
Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar sem
reynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).
Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst með
staðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. Lögmál
Newtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar í
tengslum við hina ýmsu krafta er verka á hlutinn, eru sett fram sem
diffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekkts
falls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.
Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.
(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.
(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.
Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.
(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunni
y ′ −2y= 0.
því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæst
y ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.
(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunni
y ′ =y−x.
101