Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Kafli 6<br />
Diffurjöfnur<br />
6.1 Inngangur<br />
Diffurjafna er jafna sem lýsir sambandi óþekkts falls við eigin afleiðu(r).<br />
Diffurjöfnur eru mikilvægar t.d. í verkfræði, eðlisfræði og hagfræði þar sem<br />
reynt er að lýsa sambandi ástands (falls) og breytingar ástandsins (afleiðu).<br />
Þetta kemur vel í ljós í aflfræði þar sem hreyfingu hlutar er lýst með<br />
staðsetningu sem falli af tíma og hraða sem falli af tíma. Lögmál<br />
Newtons, sem lýsa sambandi staðsetningar, hraða og hröðun hlutar í<br />
tengslum við hina ýmsu krafta er verka á hlutinn, eru sett fram sem<br />
diffurjöfnur þar sem staðsetning er óþekkt fall af tíma. Diffurjafna óþekkts<br />
falls af einni breytistærð kallast venjuleg diffurjafna.<br />
Stig diffurjöfnu er hæsta afleiða óþekkta fallsins í jöfnunni.<br />
(i) y ′ +2y= cos(x) er dæmi um fyrsta stigs diffurjöfnu.<br />
(ii) xy ′′ +(x 2 +1)y ′ +3y=(x 4 +2x)ln(x) er dæmi um annars stigs diffurjöfnu.<br />
Lausn diffurjöfnu er sérhvert það fall sem uppfyllir diffurjöfnuna.<br />
(i) Með reikningi má sannreyna aðy=e 2x er lausn á diffurjöfnunni<br />
y ′ −2y= 0.<br />
því að séy ′ = 2e 2x ogy=e 2x sett inn í jöfnuna fæst<br />
y ′ −2y= 2e 2x −2e 2x = 0.<br />
(ii) Það má sannreyna aðy=x+1+2e x er lausn á diffurjöfnunni<br />
y ′ =y−x.<br />
101