Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

98 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Sönnun. Ef kvótinn erq=1 þá er summanfyrstu liða kvótarununnar
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
=a 1 +a 1·1+a 1·1 2 +···+a 1·1 n−1
=a 1 +a 1 +a 1 +···+a 1 n jafnir liðir
=n·a 1
Ef kvótinnq≠1 þá má rita
s n =a 1 +a 2 +a 3 +···+a n
=a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +···+a 1 q n−1 . (a)
Nú er margfaldað beggja vegna jafnaðarmerkis meðq:
s n q=a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3···+a 1 q n
(b)
Með því að draga jöfnu (b) frá jöfnu (a) fæst:
s n −s n q=a 1 −a 1 q n
s n (1−q)=a 1 (1−q n )
svo
s n =a 1
1−q n
1−q
þar semq≠1
5.2.3 Æfing
Dæmi 1. Í mismunarunu era 20 = 32 ogd=3. Finniða 1 .
Dæmi 2. Í kvótarunu era 8 = 729
512 ogq= 3 2 . Finniða 1.
Dæmi 3. Í mismunarunu era 32 = 48 oga 17 = 18. Finniða 1 ogd.
Dæmi 4. Finnið fyrstu fimm liði mismunarununnar
x 1 ,x 2 ,x 3 ,...
þar semx 15 = 19 ogx 28 =− 1 2 .
Dæmi 5. Í kvótarunu era 3 =− 4 9 oga 6= 32
243 . Finniða 1 ogq.
Dæmi 6. Finnið fimm fyrstu liði kvótarununnar
t 1 ,t 2 ,t 3 ,...
þar sem sjötti liðurinn ert 6 = 0.32 og ellefti liðurinn ert 11 = 0.0001024.
Dæmi 7. Finnið tuttugasta lið rununnar 9,15,21,27,33,....