Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

96 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Setning 5.2.2. Summunfyrstu liða mismunarunu má skrifa á eftirfarandi tvo
vegu:
⎧
n
n·a1+a
, n∈Z
⎪⎨
+
2
s n =
⎪⎩ n· 2a 1+(n−1)d
, n∈Z +
2
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með aðferð sem eignuð er þýska stærðfræðingnum
Gauss. Summans n er skrifuð tvisvar; fyrst frá fyrsta lið tiln-ta liðs og svo öfugt,
frán-ta lið til þess fyrsta:
s n =a 1 +(a 1 +d)+(a 1 +2d)+···+ ( a 1 +(n−1)d )
s n =a n +(a n −d)+(a n −2d)+···+ ( a n −(n−1)d )
Nú er lagt saman beggja vegna jafnaðarmerkis:
2s n =(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+(a 1 +a n )+···+(a 1 +a n )
=n(a 1 +a n )
og því fæst
s n =n·a1+a n
2
Samkvæmt reglu 5.2.1 era n =a 1 +(n−1)d og því má einnig rita summunas n á
eftirfarandi formi:
s n =n·a1+a n
2
=n·a1+(a 1 +(n−1)d)
2
=n· 2a 1+(n−1)d
2
Dæmi 5.2.9. Í leikhúsi eru 20 sætaraðir. Í fyrstu röð eru 17 sæti og í hverri röð þar
á eftir er fjöldi sæta tveimur fleiri en í röðinni á undan.
(a) Hvað eru mörg sæti í 20. sætaröðinni?
(b) Hvað eru sætin mörg alls í leikhúsinu?
Lausn:
(a) Fjöldi sæta í röð myndar mismunarunu
17,19,21,23,...
með mismund=2. Fyrsti liður rununnar era 1 = 17 og því verður fjöldi sæta í röð
n
a n =a 1 +(n−1)d eða a n = 17+(n−1)·2