Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

94 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
5.2.1 Æfing
Dæmi 1. Finnið fyrstu þrjá liði rununnar sem hefur þannn-ta lið sem tiltekinn er:
(a)a n = 2n
(
1
2 n−1
(b)a n =
3n+1 n 2 (c)a n =
+1
3)
Dæmi 2. Skrifið niður næstu þrjá liði rununnar sem byrjar svona:
(a) 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1
81 ,... (b) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,...
Dæmi 3. Finniðn-ta lið rununnar sem byrjar svona:
(a) 1, 1 3 , 1 5 , 1 7 ,... (b) 1 3 , 1 6 , 1 9 , 1 12 ,...
Dæmi 4. Eftirfarandi runur eru skilgreindar með rakningarformúlum. Finnið fimm
fyrstu liði hverrar runu
(a)a 1 = 2, a n = 2 3 a n−1, n≥2.
(b)a 1 = 1, a 2 = 1, a n =a n−1 +a n−2 , n≥3.
(c)a 1 = 2, a n = √ 2+a n−1 , n≥2.
5.2.2 Mismuna- og kvótarunur
Mimunarunur og kvótarunur eru tveir mikilvægir flokkar runa.
Mismunarunur
Skilgreining 5.2.3. Runa (a n ) kallast mismunaruna ef mismunur samliggjandi
liða er ávallt fasti. Þetta þýðir að jafnan
a n+1 =a n +d (5.6)
gildir fyrir ölln∈Z + . Talandkallast mismunur rununnar.
Setning 5.2.1. Ef(a n ) er mismunaruna með mismundþá gildir eftirfarandi:
a n =a 1 +(n−1)d, n∈Z +
Sönnun. Þessi regla er sönnuð með þrepun. Fyrst er sýnt að jafnan er rétt fyrir
n=1. Reiknað er út úr hægri hlið (HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
HH:
a 1 +(1−1)d=a 1 +0·d
=a 1 .
VH: a 1 .