Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við HamrahlÃð
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5.1. SUMMUTÁKNIÐ, ÞREPUN 89<br />
(2)P(n) ⇒P(n+1)<br />
Gerum ráð fyrir að<br />
n∑<br />
Viljum sýna að<br />
En<br />
k=1<br />
n+1<br />
∑<br />
k=1<br />
n+1<br />
∑<br />
k=1<br />
k= n(n+1)<br />
2<br />
k= (n+1)( (n+1)+1 )<br />
2<br />
= (n+1)(n+2)<br />
2<br />
n∑<br />
k= k +(n+1)<br />
k=1<br />
= n(n+1)<br />
2<br />
= n(n+1)+2(n+1)<br />
2<br />
= n2 +3n+2<br />
2<br />
= (n+1)(n+2)<br />
2<br />
(þrepunarforsenda)<br />
+(n+1), skv. þrepunarforsendu<br />
Dæmi 5.1.9. Sannið með þrepun að eftirfarandi jafna gildir:<br />
P(n) :<br />
d<br />
dx (xn )=nx n−1 , n∈Z + .<br />
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrirn=1. Reiknað er út úr hægri hlið<br />
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:<br />
(1)P(1)<br />
d (<br />
VH: x<br />
1 ) = d<br />
dx dx x= 1<br />
HH: 1·x 1−1 = 1·x 0 = 1<br />
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
Change language