Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

88 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 5.1.7. Sönnum jöfnu (5.1) með þrepun, þ.e. sönnum að
n∑
P(n) : (2k−1)=n 2 , n∈Z +
k=1
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
VH:
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
(2)P(n) ⇒P(n+1)
HH: 1 2 = 1
1∑
(2k−1)=(2·1−1)=1
k=1
Gerum ráð fyrir að
n∑
(2k−1)=n 2 (þrepunarforsenda)
k=1
Viljum sýna að
En
n+1
∑
(2k−1)=(n+1) 2
k=1
n+1
∑
(2k−1)=
k=1
n∑
(2k−1) +(2·(n+1)−1)
k=1
= n 2 +(2·(n+1)−1), skv. þrepunarforsendu
=n 2 +2n+1
=(n+1) 2
Dæmi 5.1.8. Notum þrepun til að sanna eftirfarandi:
n∑
P(n) : k= n(n+1) , n∈Z + (5.5)
2
k=1
Sönnun. Fyrst er sýnt að jafnan er sönn fyrir n = 1. Reiknað er út úr hægri hlið
(HH) og vinstri hlið (VH) og borið saman:
(1)P(1)
Jafnan er því sönn fyrirn=1.
1(1+1)
HH: = 1
2
1∑
VH: k=1
k=1