Kennslubókin kafli 4 - Menntaskólinn við Hamrahlíð

86 KAFLI 5. RUNUR OG RAÐIR
Dæmi 2. Skammstafið eftirfarandi summur með summutákni.
(a) 1+4+9+16 (b) 3+5+7+9+11+13
(c) 3+6+11+18 (d) 0+2+6+12+20+30+42
(e) 4+5+6+7+8+9 (f) 2+6+12+20+30+42+56
Dæmi 3. Skrifið án summutákns. Sýnið fyrstu þrjá og síðustu tvo liði summunnar.
n∑
n∑
n+1
∑
(a) k(k+3)
(b) k2 k
1
(c)
k(k+1)
k=1
5.1.3 Þrepun
k=1
Mengi heiltalna,{...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}, er táknað meðZ. Jákvæði hluti þessa
mengis,{1,2,3,...}, er táknaður meðZ + .
k=1
Dæmi 5.1.3. Mynstrið
1 = 1 2
1 + 3 = 2 2
1 + 3 + 5 = 3 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
sýnir að fyrsta oddatalan og summur fyrstu tveggja, fyrstu þriggja og fyrstu
fjögurra oddatalna eru ferningar. Giska má á eftirfarandi formúlu:
1+3+5+···+(2n−1)=n 2 , n∈Z + (5.1)
Með öðrum orðum að summa fyrstunoddatalnanna sé ferningurinnn 2 .
Dæmi 5.1.4. Lítum á stærðina 4n 3 − 18n 2 + 32n−15 og reiknum gildið fyrir
n=1,2,3,4.
n 1 2 3 4
4n 3 −18n 2 +32n−15 3 9 27 81
Svo virðist sem stærðin 4n 3 −18n 2 +32n−15 sé veldi af þremur. Þetta bendir til
þess að:
4n 3 −18n 2 +32n−15=3 n , n∈Z + . (5.2)
Dæmi 5.1.5. Athugum eftirfarandi afleiður:
( ) 1 ′
= −1 ( ) 1 ′′
x x 2, = 1·2 ( ) 1 ′′′
x x 3 , = −1·2·3
x x 4 ,
( 1
x
) (4)
= 1·2·3·4
Þetta bendir til þess að:
( ) 1 (n)
= (−1)n·1·2·3·····n
x x n+1 , n∈Z + . (5.3)
x 5